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Cálculo NuméricoAula 2Nivan Ferreira
Baseados no slide do professor Guilherme Amorim
Bases Numéricas
Qual a representação de (101,01)2 na base 10?
Qual a representação de (18,5)10 na base 2?
Qual a representação de (0,375)10 na base 2?
Qual a representação de (0,8)10 na base 2?
Qual a representação de (1101, 1100)2 na base 10?
Noções de Aritmética de Máquina
Representação dos Números
• Quantas formas diferentes temos de representar o número 0,3?
3
10
6
200,3 𝑥 100
3 𝑥 10−1 30 𝑥 10−2
Representação dos Números
• E qual a forma mais utilizada de presentar o número 0,3 no computador?
3 𝑥 10−1
Aritmética de Ponto Flutuante
• Definição: Dados 𝑏 > 1 (base), 𝑡 > 0 (precisão) e números inteiros 𝑒1e 𝑒2, um número real 𝑥 (𝑥 ∈ ℝ) é dito um número de máquina (de ponto
flutuante normalizado) se são válidos os seguintes itens:
onde:
Convenção utilizada no curso
Aritmética de Ponto Flutuante
Sistema de Ponto Flutuante
O conjunto de todos os números de máquina é chamado de sistema de ponto flutuante, geralmente representado por
F (b, t, e1 e e2).
Exemplo
• Seja uma máquina que trabalha com o sistema de ponto flutuante
F (10, 4, -9, 9).
• O número real 34,21 é um número desta máquina?• Sim. 3,421 x 101
• O número real 0,42162 é um número desta máquina?• Não. 4,216 x 10-1
Exemplos
• Represente os seguintes número em ponto flutuante F (10, 5, -9, 9) :• p
• 2/7
• 0,01523
• 2
6
Observações
• A representação de ponto flutuante na forma normalizada (𝑑0≠0) de um número real 𝑥 é única.
• 0 (zero) é um número de máquina especial representado por ± 0,000…0 × 𝑏𝑒1;
• Se 𝑥 é um número de máquina, então −𝑥 também o é;
• Os dígitos 𝑑0, 𝑑1, 𝑑2, ..., 𝑑𝑡−1, de m são ditos os t primeiros dígitos significativos de 𝑥.
Observações
• Se 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟+1 = 𝑑𝑟+2 = 𝑑𝑡−1 = 0, 𝑟 ≥ 1, ainda assim estes dígitos são considerados significativos;
• O menor número de máquina positivo é:• 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 1,000…0 × 𝑏𝑒1
• O maior número de máquina positivo é:• 𝑥𝑚𝑎𝑥 = (𝑏 − 1), (𝑏 − 1)(𝑏 − 1) × 𝑏𝑒2
• Logo, a região dos números reais que pode ser representada em um computador é dada por:• ℜ = −𝑥𝑚𝑎𝑥; −𝑥𝑚𝑖𝑛 ∪ 0 ∪ 𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥
Exemplo
b, t, e1, e2 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑚𝑎𝑥
10, 5, -5, 5 1,0000 × 10−5 9,9999 × 105
2, 4, -10, 10 1,000 × 2−10 1,111 × 210
Proposição
• F é um subconjunto finito dos números racionais.
• Demonstração:• Parte 1: 𝐹 ⊂ 𝑄 (Conjunto dos Números Racionais)
Proposição
• Demonstração (Parte 2): F é finito.• Podemos calcular a quantidade de números que podem ser representados,
ou seja, o número de elementos de F.
• Calculando a quantidade, garantimos que F é finito.
Proposição
• Demonstração (Parte 2): F é finito.
Exemplo
Definição
Dois números de máquina x1 e x2, x1<x2, são ditos consecutivos se e somente se entre x1 e x2 não existe outro elemento de máquina.
Proposição
• Fixado o expoente e, dois números consecutivos de uma máquina qualquer 𝒙𝟏 = 𝒎𝟏 × 𝒃𝒆 e 𝒙𝟐 = 𝒎𝟐 × 𝒃𝒆, 𝒙𝟏< 𝒙𝟐, se diferenciam por: 𝒃(𝒆−𝒕+𝟏)
• Demonstração
Exemplo
Observação
• “Notar que em a e b são representados valores totalmente diferentes. No primeiro caso, temos uma distância de 10-12 , no segundo chegamos a 106. Isto mostra que em uma máquina não existe uma distribuição uniforme de seus números, embora para um fixado expoente ela seja uniforme.”