Closed String Field Theory Closed String Field Theory with Dynamical D-braneswith Dynamical D-branes

京都大学　大学院　京都大学　大学院　人間・環境学研究科　人間・環境学専人間・環境学研究科　人間・環境学専

攻攻阪上研究室　博士課程　阪上研究室　博士課程　

小林　晋平小林　晋平

於東工大2004 年 2 月 3 日

JHEP0310 (2003) 023共同研究者　　　

浅川　嗣彦 ( 京大基研 )松浦　　壮 　 ( 理研 )

目次目次1.1. 導入と動機導入と動機2.2. 弦理論とは弦理論とは3.3. HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論型閉弦の場の理論4.4. ソース項を持つ閉弦の場の理論ソース項を持つ閉弦の場の理論5.5. 結果とまとめ結果とまとめ6.6. 今後の展望今後の展望

１．導入と動機１．導入と動機宇宙の創生宇宙の創生

　　宇宙はどうやって誕生したのか？　　宇宙はどうやって誕生したのか？構造の形成構造の形成

　　プランクスケールで何が起きたのか？　　プランクスケールで何が起きたのか？物質の構成物質の構成

　　宇宙全体に存在する物質の　　宇宙全体に存在する物質の 1010 ％しかわ％しかわかっていないかっていない

　　→　　→超弦理論を用いて超弦理論を用いて　　　　　　　　　　　　これらの問題に　　　　　　　　　　　　これらの問題に

取り組む取り組む

超弦理論とは？超弦理論とは？弦という「ひも」状の弦という「ひも」状の 11 次元物体を基本構次元物体を基本構成要素とする理論成要素とする理論　　　　 cf.) cf.) 量子力学量子力学 // 場の理論の点粒子的描場の理論の点粒子的描像像

開いた弦（開いた弦（ open stringopen string ）と閉じた弦）と閉じた弦 (close(closed string)d string) 　の　の 22 種種

弦の振動状態で各種粒子を表す弦の振動状態で各種粒子を表す

弦の長さのスケール(string scale Planck scale(?) )

点粒子 閉弦 開弦

遠方（低エネルギー）から観測すれば、弦も点粒子に見える

超弦理論

超重力理論

相対性理論

ニュートン力学

エネルギースケール

超弦理論の特徴超弦理論の特徴重力まで含めた統一理論の候補重力まで含めた統一理論の候補

44 次元以上の高次元時空の存在を示唆次元以上の高次元時空の存在を示唆 ボゾン的弦理論ではボゾン的弦理論では 2626 次元次元 超弦理論では超弦理論では 1010 次元次元 D-braneD-brane のような高次元オブジェクトを内包のような高次元オブジェクトを内包

時空の非可換性を示唆時空の非可換性を示唆 相対論的にも興味深い相対論的にも興味深い

開弦が励起端点がくっつく

閉弦を放出閉弦のソース

D-brane

T-dual, S-dual 　などの操作→　別の摂動論の D-brane へ

　　→　別の摂動的超弦理論へ移行

超弦理論の問題点超弦理論の問題点摂動論しかわかっていない摂動論しかわかっていない 摂動的には無数の弦理論を定式化可能摂動的には無数の弦理論を定式化可能

それぞれいろいろな場・チャージを持つそれぞれいろいろな場・チャージを持つどれが「真の」理論なのかわからないどれが「真の」理論なのかわからない

弦同士の相互作用の仕方がわからない弦同士の相互作用の仕方がわからない不安定な系・時間依存する系が扱えない不安定な系・時間依存する系が扱えない

低エネルギー部分の効果しかわからない低エネルギー部分の効果しかわからない　　　　

今のところ何も予言していない今のところ何も予言していない数学的な整合性にのみ立脚数学的な整合性にのみ立脚

摂動的超弦理論のいろいろ摂動的超弦理論のいろいろ

E8E8

ヘテロ型超弦理論

SO(32)ヘテロ型超弦理論

I 型超弦理論

IIA 型超弦理論

IIB 型超弦理論

各種摂動論

本当の真空にいるのはどの理論か？

「完全な」弦理論のポテンシャル

D-braneD-brane の発見の発見 (Polchinski, ’94)(Polchinski, ’94)弦理論の非摂動的効果を表す物体弦理論の非摂動的効果を表す物体 RRRR チャージを持つチャージを持つ 開弦の端点がくっつく領域開弦の端点がくっつく領域 その上にゲージ場が住むその上にゲージ場が住む 空間空間 pp 次元に広がっているとき、次元に広がっているとき、 Dp-braneDp-brane というという　 　 IIAIIA 型超弦理論・・・型超弦理論・・・ D(2p)-braneD(2p)-brane が安定に存在が安定に存在

IIBIIB 型超弦理論・・・型超弦理論・・・ D(2p+1)-braneD(2p+1)-brane が安定に存在が安定に存在

各種摂動的超弦理論の間の各種摂動的超弦理論の間の双対性双対性の発見に役の発見に役立った立った

E8E8ヘテロ型超弦理論

SO(32) ヘテロ型 超弦理論

I 型超弦理論

IIA 型超弦理論

IIB 型超弦理論

M 理論？

D-brane の研究を通じ、各種摂動的超弦理論の間に双対性を発見

→ 　非摂動的弦理論の存在を示唆

コンパクト化

T 双対性

S 双対性

T 双対性

T 双対性

D-braneD-brane からわかったことからわかったこと各種摂動的超弦理論の間に双対性各種摂動的超弦理論の間に双対性

AdS/CFTAdS/CFT 対応対応 D-braneD-brane 上のゲージ場と上のゲージ場と D-braneD-brane 周りの時空に周りの時空に

対応関係がある対応関係がある

これらの解析は全てこれらの解析は全て　　　　　　　　 BPSBPS 状態の（安定な）状態の（安定な） D-braneD-brane　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

に限られているに限られている

D-braneD-brane と重力系と重力系D-braneD-brane 系は重力系への応用として面白い系は重力系への応用として面白い

DD ３３ -brane-brane はは 44 次元時空　（空間次元時空　（空間 33 次次元）元） 我々の宇宙？我々の宇宙？

D-braneD-brane とと black p-braneblack p-brane D-braneD-brane を低エネルギー近似を低エネルギー近似→→ ブラックホールと同じ計量ブラックホールと同じ計量→→D-braneD-brane でブラックホールが記述出来る？でブラックホールが記述出来る？

不安定な不安定な D-braneD-brane 系系

重力系はほとんどが不安定で動的重力系はほとんどが不安定で動的

これまで理解されているのは安定なこれまで理解されているのは安定な D-D-branebrane 系のみ系のみ

しかし、不安定で動的なしかし、不安定で動的な D-braneD-brane 系も存系も存在在　　　　　　→重力系へ応用出来る　　　　　　→重力系へ応用出来る

不安定な不安定な D-braneD-brane 系系不安定な不安定な D-braneD-brane 系の例　系の例　 (1)(1) 非非 BPSBPS状態状態 D-braneD-brane 　（チャージのない　（チャージのない D-D-

branebrane ））

閉弦を放出D-brane が崩壊

真空に遷移

不安定な不安定な D-braneD-brane 系系不安定な不安定な D-braneD-brane 系の例（２）系の例（２） D/D/D-braneD-brane 系系

互いに逆符号のチャージをもつ互いに逆符号のチャージをもつ 22枚の枚の D-D-branebrane

¯

互いに引き合う消滅

不安定な不安定な D-braneD-brane 系の応用系の応用相対論・宇宙論的観点相対論・宇宙論的観点 D-braneD-brane 　インフレーション　インフレーション

(Dvali et al., Alexander et al., …)(Dvali et al., Alexander et al., …)　 　 cf.) Ekpyrotic cf.) Ekpyrotic 宇宙宇宙

(Khoury et al., …)(Khoury et al., …) cf.) cf.) ブレーンワールドブレーンワールド

(S.K. & Koyama, and too many authors!)(S.K. & Koyama, and too many authors!)タキオン宇宙論タキオン宇宙論

(Gibbons, Mukohyama, …)(Gibbons, Mukohyama, …) (( ブラックホールの蒸発ブラックホールの蒸発 ))

不安定な不安定な D-braneD-brane 系の応用系の応用素粒子論的観点素粒子論的観点

時間依存性のある時空上での弦理論の定式化時間依存性のある時空上での弦理論の定式化

タキオン凝縮　タキオン凝縮　 (A.Sen, …)(A.Sen, …)

弦の相互作用の構造理解弦の相互作用の構造理解

非摂動的弦理論の構築 非摂動的弦理論の構築

タキオン凝縮タキオン凝縮不安定な不安定な D-braneD-brane の崩壊は、の崩壊は、 D-braneD-brane 上上のタキオン場の凝縮過程によるもののタキオン場の凝縮過程によるもの

崩壊（または変形）後の時空にはタキオ崩壊（または変形）後の時空にはタキオンは存在しないンは存在しない

タキオン凝縮後には「真の」真空が選択タキオン凝縮後には「真の」真空が選択されるされる

Sen Sen の予想の予想1.1. 非非 BPS D-braneBPS D-brane 上のタキオン場が凝縮上のタキオン場が凝縮

すると、すると、 D-braneD-brane は崩壊して閉弦の真空は崩壊して閉弦の真空へ移行へ移行

2.2. タキオン場のポテンシャルの高さがもとタキオン場のポテンシャルの高さがもともとのもとの D-braneD-brane の張力に一致の張力に一致

3.3. タキオン場に非等方性があると、低い次タキオン場に非等方性があると、低い次元の元の D-braneD-brane に移行することもあるに移行することもある

真空の遷移真空の遷移

安定 D-brane のある真空

閉弦の真空（ D-brane のない真空）

遷移

不安定 D-brane のある真空

遷移

タキオンポテンシャルの高さがもタキオンポテンシャルの高さがもともとのともとの D-braneD-brane の張力に一致の張力に一致

T

Tachyon potentialV(T)

Tension of non-BPS D-brane

非等方性のあるタキオン場非等方性のあるタキオン場

Non-BPS D(2p+1)-branein type IIA string

BPS D(2p)-branein type IIA string

ここまでのまとめここまでのまとめ重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理論重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理論が必要が必要弦理論は未完成　（摂動論のみ完成）弦理論は未完成　（摂動論のみ完成）D-braneD-brane は弦理論の重要な構成要素は弦理論の重要な構成要素不安定不安定 D-braneD-brane 系の研究は弦理論の非摂動的効果や系の研究は弦理論の非摂動的効果や相互作用の性質を明らかにすることにつながる相互作用の性質を明らかにすることにつながる不安定・動的な不安定・動的な D-braneD-brane は重力系に応用可は重力系に応用可

　不安定　不安定 D-braneD-brane 系の記述・解析が重要系の記述・解析が重要

D-braneD-brane の崩壊過程や生成などの崩壊過程や生成などのダイナミクスを記述することのダイナミクスを記述すること

ででこれらの問題を解明するこれらの問題を解明する

閉弦の場の理論閉弦の場の理論（（ Closed String Field TheoryClosed String Field Theory ））

を用いるを用いる

従来の（超）弦理論での解析を超える目的のために・・・

なぜならば・・・なぜならば・・・相互作用相互作用が本質的な役割を果たすので、が本質的な役割を果たすので、弦弦の場の理論が必要の場の理論が必要になるになる（弦理論は弦の一体系、（弦理論は弦の一体系、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 on-shellon-shell しかしか扱えない）扱えない）宇宙論、宇宙論、 BHBH などとの関連を見越し、などとの関連を見越し、重力重力子を含む閉弦子を含む閉弦を考えるを考える超重力理論に含まれていない、弦の超重力理論に含まれていない、弦のmassive modemassive mode の効果も取り入れたいの効果も取り入れたい（低エネルギーに限らない解析を試みる）（低エネルギーに限らない解析を試みる）

超重力理論

閉弦の場の理論 D-brane

Black p-brane解

massless massless(?)

古典解

古典解

EOM を解く

EOM を解く

h h

h, B,,..

戦術戦術閉弦の場の理論閉弦の場の理論 HIKKOHIKKO 型　型　

(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86)(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86) WittenWitten 型　など型　など相互作用が単純なことから相互作用が単純なことから HIKKOHIKKO 型を選ぶ型を選ぶ議論は型に依らないようにする議論は型に依らないようにするソースを閉弦の場の理論に付け加えるソースを閉弦の場の理論に付け加える　・・・ ソースが　・・・ ソースが D-braneD-brane の一般化の一般化宇宙論・相対論では馴染み深いテクニック宇宙論・相対論では馴染み深いテクニック

本研究のまとめと結果本研究のまとめと結果動的な動的な D-braneD-brane のような一般的なソースを、のような一般的なソースを、閉弦の場の理論で扱うための形式を構築閉弦の場の理論で扱うための形式を構築

理論の対称性から、ソースが従うべき拘束理論の対称性から、ソースが従うべき拘束条件を導いた条件を導いた

拘束条件が低エネルギー理論における「エ拘束条件が低エネルギー理論における「エネルギー・運動量テンソルの共変保存則」ネルギー・運動量テンソルの共変保存則」に対応することを発見に対応することを発見

２．弦理論とは２．弦理論とは1.1. 作用・対称性・臨界次元・場作用・対称性・臨界次元・場

PolyakovPolyakov 作用・共形対称性・作用・共形対称性・ 2626 次元・次元・ X,X,b,cb,c

2.2. BRSTBRST 量子化量子化 BRSTBRST 不変性から物理的状態が決まる不変性から物理的状態が決まる

3.3. D-braneD-brane 弦以外にも重要なオブジェクトがある弦以外にも重要なオブジェクトがある

２．弦理論とは　２．弦理論とは　 (1)(1)~ ~ 作用・対称性・場 作用・対称性・場 ~~

11 次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子論的運動を考えたい論的運動を考えたい　　　　　　　　（背景時空は平坦）　　　　　　　　（背景時空は平坦）

cf.) cf.) 自由な相対論的点粒子の作用自由な相対論的点粒子の作用

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ds:ds: 微小微小な世界線な世界線

　→粒子の世界線の長さが極値をとるように　→粒子の世界線の長さが極値をとるように　　　　　　　　　　　　　　　運動が決まる　　　　　　　　　　　　　　　運動が決まる

,dsmS

X0

Xi

X0

Xi

= -1 = -1

= 0

= 2

= 1

= 0

= 1

= 2

= 0 =

点粒子の世界線

開いた弦の世界面

自由な相対論的「ひも」（弦）の作用自由な相対論的「ひも」（弦）の作用

DD 次元の平坦な時空中を運動する弦次元の平坦な時空中を運動する弦

点粒子との類推点粒子との類推→弦の世界「面」が作用になる→弦の世界「面」が作用になる→→南部・後藤作用南部・後藤作用

　→これが極小をとるように運動が決まる　→これが極小をとるように運動が決まる

,,,

,det'2

12

1

baXXh

hddS

baab

abNG

PolyakovPolyakov 作用作用

補助場として世界面の計量　補助場として世界面の計量　 abab を導入を導入

→南部・後藤作用を書き直す→南部・後藤作用を書き直す

XXddXS ba

ab2/1

'4

1,

Polyakov Polyakov 作用の特徴作用の特徴一般座標変換不変性一般座標変換不変性時空の各点で座標変換可能時空の各点で座標変換可能

WeylWeyl 変換不変性変換不変性時空の各点でスケール変換可能時空の各点でスケール変換可能

　　　　上記２つを使ってゲージ固定した後　　　　上記２つを使ってゲージ固定した後もも　　　共形変換不変性がある　　　共形変換不変性がある

エネルギー・運動量テンソルエネルギー・運動量テンソル作用の対称性より、エネルギー・運動量作用の対称性より、エネルギー・運動量テンソルが特定の条件式を満たす。テンソルが特定の条件式を満たす。

XXXX

ST

ccabba

ab

ab

2

1

'

1

4),( 2/1

エネルギー・運動量共変保存則エネルギー・運動量共変保存則一般座標変換不変性より、エネルギー・一般座標変換不変性より、エネルギー・運動量テンソルの共変保存則が得られる運動量テンソルの共変保存則が得られる

abbaab ;;

0 abaT

臨界次元臨界次元WeylWeyl 不変性より、エネルギー・運動量テンソル不変性より、エネルギー・運動量テンソルはは tracelesstraceless になる。になる。

量子論でもこれが成立するために、ボゾン的弦量子論でもこれが成立するために、ボゾン的弦理論なら理論なら 2626 次元次元、超弦理論なら、超弦理論なら１０次元１０次元が必要が必要

abab 2

0aaT

ゲージ固定後の作用　ゲージ固定後の作用　

座標を座標を EuclideanEuclidean にに WickWick 回転回転

複素座標を導入複素座標を導入

i 21 ,

,,,,

,2

1,

2

1

,,

2121

2121

wwwwww

ww

ccccbbbb

ii

iwiw

ゲージ固定後の作用　（つづき）ゲージ固定後の作用　（つづき）

ゲージ固定することで、ゲージ固定することで、 (b,c)-ghost (b,c)-ghost が入るが入る

ゲージ固定後も共形対称性を持つゲージ固定後も共形対称性を持つ運動方程式を解き、解をモード展開運動方程式を解き、解をモード展開→質量などの各スペクトルを調べる→質量などの各スペクトルを調べる

cbcbXXzdS

'

1

2

1 2

gaugeconformale abab :2

モード展開モード展開

ここで、ここで、

nnn

zzn

nn

zz

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

z

LzTzT

z

LzTzT

z

czc

z

czc

z

bzb

z

bzb

zizX

zizX

,~

)()(~

,)()(

,~

)(,)(

,~

)(,)(

,~

2

')(,

2

')(

22

11

22

11

21expexp iiwz

共形対称性　共形対称性　(Conformal Symmetry)(Conformal Symmetry)

一般座標変換・一般座標変換・ WeylWeyl 変換を使って、計量を固変換を使って、計量を固定した後でも残る対称性定した後でも残る対称性

w →w → 　　 w’ = f(w) w’ = f(w) という変換のもとで作用が不という変換のもとで作用が不変変 HolomorphicHolomorphic なものをなものを holomorphicholomorphic に移す変換に移す変換

世界面をゴム膜のように自由に変形することが世界面をゴム膜のように自由に変形することが出来る出来る

弦理論の計算に共形場の理論が使える弦理論の計算に共形場の理論が使える

弦理論に現れる状態弦理論に現れる状態

第第 11量子化量子化

0,],[,]ˆ,ˆ[

)'()]'(ˆ),(ˆ[

nmnmipx

iPX

重心の量子化 振動モードの量子化

0)(;, ˆ xeknnstate xiklili

弦の運動を表すのは南部・後藤作用もし弦の運動を表すのは南部・後藤作用もしくはくはPolyakovPolyakov 作用作用

作用はいくつかの対称性をもつ作用はいくつかの対称性をもつ

運動方程式を解く運動方程式を解く→解をモード展開して量子化→解をモード展開して量子化→弦の状態を決めていく→弦の状態を決めていく

２．弦理論とは　２．弦理論とは　 (2)(2)～～ BRSTBRST量子化～量子化～

ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変性の名残りの性の名残りの BRSTBRST 不変性がある不変性がある

　→　→ BRSTBRST変換変換

　　のもとで作用が不変　　のもとで作用が不変.~)~(~,)~(

),~~

(~

),(

,)~(

ccciccccic

TTibTTib

XcciX

BB

gXB

gXB

B

BRSTBRST カレントとチャージカレントとチャージBRSTBRST カレントカレント

BRSTBRST チャージチャージ

ccbccTj XB

2

2

3::

nnmnm

nmnn

BBB

bccnm

Lc

jzdjdzi

Q

::2

~2

1

,

BRSTBRST チャージの性質チャージの性質冪零性　冪零性　 (nilpotency)(nilpotency)BRSTBRST チャージチャージ QQBB は、 を満たは、 を満たすすただし、ただし、 2626 次元のときのみ次元のときのみ（超弦理論では（超弦理論では 1010 次元）次元）

物理的状態条件物理的状態条件物理的状態物理的状態 || はは BRSTBRST 不変不変

02 BQ

0BQ

物理的状態物理的状態BRSTBRST 不変性を満たす閉弦の物理的状態の不変性を満たす閉弦の物理的状態の例例基底状態 基底状態 (tachyon state)(tachyon state)

第第 11 励起状態 励起状態 (massless state)(massless state)

'

4

'

4

;0

22

mk

k

00,0

;0~;22

11

mkekek

keke

閉弦と重力子閉弦と重力子閉弦の閉弦の massless modemassless mode

→→ 時空中では時空中では 22階のテンソル階のテンソル→重力子・→重力子・ BB 場・ディラトンに分解でき場・ディラトンに分解できるる

kccbcbckS

bcbckD

kB

khke

111111

1111

1111

1111

~]~~)(

2

1

~~)(ˆ

2

1

~~)(22

1

~~)(ˆ22

1[;

重力子

B 場

ディラトン

BRSTBRST 不変であることから、弦の物理的状不変であることから、弦の物理的状態が決まる態が決まる

閉じた弦（閉弦）の閉じた弦（閉弦）の massless modemassless mode には、には、

重力を媒介する粒子（重力子：重力を媒介する粒子（重力子：gravitongraviton ）が）が含まれている含まれている

２．弦理論とは　（３）２．弦理論とは　（３）～～ D-braneD-brane～～

開弦 開弦 (open string) (open string) の端点がくっつく領域の端点がくっつく領域 閉弦 閉弦 (closed string) (closed string) のソースのソース

←これら２つの読み替えは共形対称性が←これら２つの読み替えは共形対称性が　 保証　 保証空間空間 pp 次元に広がっているとき、次元に広がっているとき、 Dp-braneDp-brane

開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位超弦理論では、超弦理論では、 RRRR チャージを持つチャージを持つ IIAIIA 型では型では D(2p)-braneD(2p)-brane が安定に存在が安定に存在 IIBIIB 型では型では D(2p+1)-braneD(2p+1)-brane が安定に存在が安定に存在

開弦での見方開弦での見方～～ D-braneD-brane～～

iii xXpiX

XpX

0

0

|:25,,1

0|:,,1,0

X0

X Xi開弦

D-brane

Open string channel Open string channel & Closed string channel& Closed string channel

閉弦

境界状態

開弦

D-brane

),(),(

&'

iiwwiw

閉弦での見方閉弦での見方～境界状態～～境界状態～

BxBXpiX

BXpXiii

0

0

|:25,,1

0|:,,1,0

閉弦

D-brane ( 境界状態 )

Black p-braneBlack p-brane 　解　解超重力理論の古典解超重力理論の古典解

D-braneD-brane と同じ対称性を課して超重力理論と同じ対称性を課して超重力理論の運動方程式を解くの運動方程式を解く

質量・チャージを持つ質量・チャージを持つ

D-braneD-brane の低エネルギー表現だと考えられの低エネルギー表現だと考えられているている

Black p-braneBlack p-brane の具体的な形の具体的な形

,)()!1(2

1

2

1

2

1 21

2

2

naD Fe

nRgxdS

,)2(2

1,

)2(2

3,1)(

,)()(,)(

,)()(

3

101

2/)(

222

D

pB

D

pDA

r

QrH

rHrCrHe

dxdxrHdxdxrHds

pD

p

par

jiij

BA

22章のまとめ章のまとめ平坦な平坦な DD 次元時空中を運動する弦の作用を次元時空中を運動する弦の作用を考えた（南部・後藤作用 考えた（南部・後藤作用 or Polyakovor Polyakov 作作用）用）弦が掃く世界面上の理論は、弦が掃く世界面上の理論は、 conformalconformal 対対称性を持った称性を持った DD 個のスカラー場の理論個のスカラー場の理論ゲージ固定により、ゲージ固定により、 (b,c)-ghost (b,c)-ghost という場という場も入るも入る2626 次元（超弦理論なら次元（超弦理論なら 1010 次元）のときの次元）のときのみ量子異常がなくなる。このときみ量子異常がなくなる。このとき BRSTBRSTチャージは冪零性をもつチャージは冪零性をもつ

２章のまとめ　（つづき）２章のまとめ　（つづき）物理的状態は物理的状態は BRSTBRST 不変　不変　 Q|Q|=0=0 閉弦の閉弦の massless mode massless mode には重力子（には重力子（ gravitogravito

nn ）やディラトン）やディラトン (dilaton)(dilaton) が入るが入る

D-braneD-brane と呼ばれる物体が存在と呼ばれる物体が存在D-braneD-brane は弦と並ぶ代表的配位は弦と並ぶ代表的配位理論の重要な構成要素理論の重要な構成要素 開弦の端点がくっつく領域開弦の端点がくっつく領域 閉弦のソース（境界状態）閉弦のソース（境界状態） 低エネルギーで低エネルギーで black p-braneblack p-brane 解だと考えら解だと考えら

れているれている

３．３． HIKKOHIKKO 型　閉弦の場の理型　閉弦の場の理論論

1.1. 記法記法弦理論と弦の場の理論の違い弦理論と弦の場の理論の違い

2.2. HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論の作用型閉弦の場の理論の作用

3.3. HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論の型閉弦の場の理論の BRSTBRST 対称対称性性

３．３． HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論　型閉弦の場の理論　（１）（１）～記法～～記法～

モード展開モード展開

nnn

nnn

nnμμ

nnn

z

czc

z

bzb

znizpix(z)X

zizX

12

1

)(,)(

1

2

'ln

2

'

)(

交換子交換子

Ghost 0-modeGhost 0-mode

0,

0,

,

,,,

nmnm

nmnm

cb

mipx

.1,

,~

2

1,

~

,~,~2

1

00

000000

000000

cb

bbbbbb

cccccc

量子力学と場の理論の関係量子力学と場の理論の関係～点粒子の場合～～点粒子の場合～

第第 11量子化量子化

古典場の理論古典場の理論第第 11量子化で現れる全ての状態を足し上量子化で現れる全ての状態を足し上げるげる

0]ˆ,ˆ[ ˆ xekstateipx xik

kxcdkxx

kcdk

k

k

)(

量子力学と場の理論の関係量子力学と場の理論の関係～弦理論の場合～～弦理論の場合～

第第 11量子化量子化

0,],[,]ˆ,ˆ[

)'()]'(ˆ),(ˆ[

nmnmipx

iPX

重心の量子化 振動モードの量子化

0)(;, ˆ xeknnstate xiklili

古典場の理論古典場の理論第第 11量子化で現れる全ての状態を足し上量子化で現れる全ての状態を足し上げるげる

)()]([

;0)(;0)(

;0;0)(

;,

211

1

,

XX

kkCkkB

kAkkTdk

knndkli nn

lik

閉弦の場閉弦の場|| の中にタキオンの中にタキオン (tachyon)(tachyon) ・重力子・重力子 (gravi(gravi

ton)ton) ・ディラトン・ディラトン (dilaton)(dilaton) などのいろいなどのいろいろな場が入っている。ろな場が入っている。

MassiveMassive なものも含む。具体的にはなものも含む。具体的には

の下、の下、

000 ccc

弦の場の物理的場による分解弦の場の物理的場による分解

}.~])~~)((

2

)~~)((

2{[

)2(

},~])~~)((

2

1

)~~)((

2

1)~~)((

22

1

)~~)((22

1)(

)2(

111111

111126

26

111111

11111111

111126

26

kccbbkei

bbkbikd

kccbcbckS

bcbckDkB

khkTkd

閉弦の場が満たす条件閉弦の場が満たす条件1.1. Level matching conditionLevel matching condition

閉弦の対称性から決まる条件閉弦の対称性から決まる条件

2.2. Reality conditionReality condition場が実であるための条件場が実であるための条件

00 L

hc

弦場には、弦のありとあらゆる物理的状弦場には、弦のありとあらゆる物理的状態が入っている態が入っている

３．３． HIKKOHIKKO 型の閉弦の場の理論　型の閉弦の場の理論　（２）～作用～（２）～作用～

ここで、 ここで、 は は || の汎関数表示の汎関数表示

XXdXX )(

,32

1

gQS

BRSTBRST チャージ　チャージ　 QQ

,)~~('

,)~~(

,~

,'

0

)()(

1

22000

000

n

mnn

mnn

nnnnn

LcLcQ

ccccnM

mLLL

QMbLcQ

Q は冪零性　　　　　　をみたすGhost 0－mode で分解する　

02 Q

作用の形について作用の形について

運動項運動項

QS2

10

0Q

で変分

On-shell での、物理的状態であるための条件

低エネルギー有効作用との関連低エネルギー有効作用との関連

}||12

1||6)(

2

1

2||2

1{

'2

1

2

12

1

22)2(2

2226

0000000

0

HDRg

TTxd

QccMccLcc

QS

重力理論の運動項を再現

相互作用項相互作用項

対応するグラフ

場の理論のグラフ（ 4 点相互作用が１つ）

弦理論のグラフ（ 3 点相互作用が２つ）

相互作用 相互作用

弦の相互作用の一般論弦の相互作用の一般論(Le Clair, Peskin and Preitschopf)(Le Clair, Peskin and Preitschopf)

iiii

d

i

iiii

SLPP

zwhzdw

dzwh

zhzhzhv

)(),(

)]([)]([)]([ 2111222333112233123

h3

h2

h1

3 disks sphere

LPP’s 3-point vertex LPP’s 3-point vertex

stringsoflabelssr

bM

bNcN

ppppdpdpdv

i m r

rm

rim

sr mn sr mn

sm

rsnm

rn

sm

rsnm

rn

DDDDDLPP

:3,2,1,

,

~

2

1exp

)()2(~~~

1,0,1 1

)(

, 0, , 1,2

)()()()(

321321321

)3(

（例）　（例）　 bc-ghostbc-ghost のの 22 点相関関点相関関数数

これを満たすようにこれを満たすように NeumannNeumann係数を決め係数を決めるる

'

1)'()(

zzzczb

CFT

.)()(

1

))((2

))((2

~

)()(

1)'(22)'(1

ss

rr

ssn

ss

rrn

rrrs

nm

whwh

whwi

dwwhw

i

dwN

HIKKOHIKKO のの 33 点相関関数点相関関数

1

3

2

w1

w3

w2

32

1

)ln()ln()ln(

,

)(||0,0,)(ln

)(||0,0,ln

||0,0,ln

332211

212133

21222

111

zzzzzz

iw

iw

w

ρ>0<0 0

z

hr fM gr

gr

fM

z1z2z3

積の定義積の定義内積内積

ReflectorReflector

--積積

12

)2(0)2,1( bR

AAR12

)2,1(

--積の性質積の性質

).()1()()1()()6(

,0)()1()()1()()1()5(

,)1()()4(

,)1()3(

,)1()2(

,)1()1(

|)|||(|||)|||(||

||||||||||||

||

||||

||

||||

QQQ

QQ

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は３点相互作用型閉弦の場の理論は３点相互作用を持つを持つ

グラフを書き下せば、全ての反応の様子グラフを書き下せば、全ての反応の様子がわかるがわかる

低エネルギー極限で、われわれがよく知低エネルギー極限で、われわれがよく知っている重力理論を再現っている重力理論を再現

３．３． HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論型閉弦の場の理論（３）（３）

～～ BRSTBRST 対称性～対称性～BRSTBRST 変換変換

BRSTBRST 変換の冪零性変換の冪零性

弦場の理論の作用の弦場の理論の作用の BRSTBRST 対称性対称性

.0

gQSb BB

02 B

002 SBB

ゲージ対称性ゲージ対称性　 　 BRSTBRST変換の冪零変換の冪零

性性

作用のゲージ不変性 作用のゲージ不変性

ここでゲージ変換は ここでゲージ変換は

02 B

0SB

gQ 2

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は、型閉弦の場の理論は、 BRSTBRST 対称対称性を持つ性を持つ

cf.) cf.) 世界面上の理論の世界面上の理論の BRSTBRST 対称性対称性

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は、ゲージ対称型閉弦の場の理論は、ゲージ対称性も持つ性も持つ

４．ソース項を持つ弦の場の理４．ソース項を持つ弦の場の理論論

HIKKOHIKKO 型の閉弦の場の理論に、ソース項型の閉弦の場の理論に、ソース項 JJを入れるを入れる弦の場弦の場が従う運動方程式を導くが従う運動方程式を導くソース項ソース項 JJ が従う拘束条件があることを示すが従う拘束条件があることを示すソースとしては特に境界状態に注目ソースとしては特に境界状態に注目

　境界状態・・・　境界状態・・・ D-braneD-brane を閉弦の見方でを閉弦の見方で　　　　　　　　　　　　　　　　　　あ　　　　　　　　　　　　　　　　　　あらわしたものらわしたもの

４．ソース項を持つ閉弦の場の理４．ソース項を持つ閉弦の場の理論論

1.1. 作用・運動方程式・ソースの拘束条件作用・運動方程式・ソースの拘束条件

2.2. ソースとしての境界状態ソースとしての境界状態

3.3. 摂動展開摂動展開

4-1.4-1. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～作用・運動方程式・拘束条論～作用・運動方程式・拘束条

件～件～

　　　　　　　　

　　　　　　　　 JJ が任意の物質カレントを表すが任意の物質カレントを表す

Jg

QS 32

1

HIKKO の閉弦の場の理論の作用

ソース項

閉弦の場の運動方程式閉弦の場の運動方程式

0 JgQ

ソース項入りの運動方程式

整合性条件整合性条件BRSTBRST チャージチャージ QQ の冪零性の冪零性

　　　　　　　　　　整合性条件が存在整合性条件が存在

.2

)(

)(0

JgQJ

gJQ

JgQQ

BRSTBRST 変換の冪零性と変換の冪零性と整合性条件整合性条件

ここで以下を使ったここで以下を使った

.2

2

0 2

JgQJ

gQ BB

B

JgQB

BRST変換の定義と運動方程式

ソースが従う拘束条件ソースが従う拘束条件以下の以下の拘束条件拘束条件を得るを得る

JJ が従う運動方程式ともいえるが従う運動方程式ともいえるこれは本研究により初めて定式化されたこれは本研究により初めて定式化された

02 JgQJ

拘束条件の物理的意味（１）拘束条件の物理的意味（１）～～ Chern-SimonsChern-Simons 理論との比較～理論との比較～作用作用

Jg

QS 32

1

対応

JAAAAg

dAAS 32

1

運動方程式と微分運動方程式と微分

JgQB

JAgAdADAF )(

BRST 変換　 B=Q+g　が共変微分　 D=d+gA に対応

対応

BianchiBianchi恒等式と拘束条件恒等式と拘束条件

0)(02 AJJAgdJDJADDF

0202 JgQJJBBB

対応

冪零性　 2B=0 は

Bianchi恒等式の存在と等価

拘束条件の物理的意味（２）拘束条件の物理的意味（２）～低エネルギー理論との比較～～低エネルギー理論との比較～

0 JgQ

02 JgQJ

0)( gJQ

TG

0 T

0)]()[( tTg

閉弦の場の理論 Einstein 重力

BRST変換の冪零性 Bianchi恒等式

対応

拘束条件の物理的意味（３）拘束条件の物理的意味（３）これより、これより、

は、は、閉弦の場の理論における閉弦の場の理論における

　　　　　　　物質のエネルギー・運動量保存　　　　　　　物質のエネルギー・運動量保存則則だとわかるだとわかる

→実際、展開した形は低エネルギーのものと→実際、展開した形は低エネルギーのものと　　　一致　　　一致

02 JgQJJB

古典解の導出について古典解の導出について運動方程式だけでなく、ソースに対する運動方程式だけでなく、ソースに対する拘束条件（エネルギー・運動量保存則）拘束条件（エネルギー・運動量保存則）も満たさなければならないも満たさなければならない

任意のソースに対して運動方程式の解が任意のソースに対して運動方程式の解が整合的であるとは限らない整合的であるとは限らない

4-2.4-2. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～ソースとしての境界状態～論～ソースとしての境界状態～

ソースとしてソースとして境界状態境界状態を考えるを考える

ghost modeghost mode まで含めた正しい境界条件まで含めた正しい境界条件

D-brane を閉弦の見方で記述したもの

閉弦のソース

0,0'0 ppp BMBQBQ

X0

xi

X 閉弦

閉弦のソースとしての境界状態

境界状態の具体形境界状態の具体形

0~~~~1exp

)(2

1101

25

cccbcbcSn

xT

B

nnnnnnn

ippp

Tp : D-brane （境界状態）の張力S (, -ij)

Ghost number 　は　３

物理的なセクターとカップルするソースにする物理的なセクターとカップルするソースにする

するとすると

相互作用 相互作用 g g を考えたとき通常の境界状態はを考えたとき通常の境界状態は　閉弦のソースとして整合的ではない！　閉弦のソースとして整合的ではない！ 相互作用の効果で境界状態は変形される相互作用の効果で境界状態は変形される

pBcJ 00

00 JQ

02 gJQJJB を満たさない

今までの境界状態の捉え方今までの境界状態の捉え方重力子を放出しても重力子を放出しても境界状態は不変境界状態は不変

本研究でわかった境界状態の様子本研究でわかった境界状態の様子

境界状態境界状態 (D-brane)(D-brane) が閉弦を放出が閉弦を放出閉弦との相互作用あり閉弦との相互作用あり→境界状態は変形したり、反跳して動いたりす→境界状態は変形したり、反跳して動いたりするる→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ

SenSen のタキオンマターについてのタキオンマターについて0g 0g

0 JQ 0 JgQ

0QJ 02 JgQJ

0 T 0

T

運動方程式

拘束条件

保存則

整合的なソースとは？整合的なソースとは？bulkbulk とと D-braneD-brane の相互作用の相互作用

開弦がブレーン上に励起開弦がブレーン上に励起

我々の予想我々の予想gg が０でないときの整合的なソースはが０でないときの整合的なソースは

0..,];[exp JtsBgXSJ Bpb

back reaction

4-3.4-3. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～摂動展開～論～摂動展開～

nn

n

nn

n JgJg

00

,

n

mmnmn

n

mmnmnn

JQJ

JQ

01

011

2

pBcJ 00

運動方程式と保存則の式に代入

ただし、

物理的なセクター物理的なセクターのみに注目のみに注目

0,0 Mc

nnnn jccJc 000 ,

Ghost 0-mode Ghost 0-mode による分解による分解（１）（１）

cc00- - ｜・・・｜・・・　　セクターセクター

はは LL00++| | =0 (on-shell condition) =0 (on-shell condition) 以外の物理的以外の物理的

条件を満たす条件を満たすjjnn はもともとはもともと jj00 がもつ性質がもつ性質 MM++|j|j00 =0=0 を保持を保持

.0

,0'

1

1

n

n

jM

Q

Ghost 0-mode Ghost 0-mode による分解　による分解　（２）（２）

cc00-- c c00

+ + ｜・・・｜・・・　　セクターセクター

|| の式は運動方程式。右辺が０ならの式は運動方程式。右辺が０なら on-shellon-shell 。。右辺はソースの効果と相互作用の効果による右辺はソースの効果と相互作用の効果による on-on-shellshell からのズレを表す。からのズレを表す。conformal background conformal background からのズレを表す。からのズレを表す。

n

mmnmn

n

mmnmnn

JbbjQ

bbjL

0001

000110

,2'

,

漸化式の物理的解釈　（１）漸化式の物理的解釈　（１）

0' 0 jQ

我々がおいた仮定からすでに満たされている。我々がおいた仮定からすでに満たされている。背景時空が 背景時空が conformal background conformal background であることであることを表す。を表す。

漸化式の物理的解釈　（２）漸化式の物理的解釈　（２）

000 jL

ソースが　ソースが　 off-shell off-shell 効果を表す。効果を表す。ソースにより時空が歪むことを表す。ソースにより時空が歪むことを表す。古典解のリーディングを担う。古典解のリーディングを担う。　　　　　　 ref.) Di Vecchia et al.ref.) Di Vecchia et al.

漸化式の物理的解釈　（３）漸化式の物理的解釈　（３）

00001 2' JbbjQ

バルクの場による反作用で、ソースが変形するバルクの場による反作用で、ソースが変形することを表す式。ことを表す式。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 cf.) D-brane recoilcf.) D-brane recoil

漸化式の物理的解釈　（４）漸化式の物理的解釈　（４）

0000110 bbjL

変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用により、バルクの場が受ける反作用を表す式。により、バルクの場が受ける反作用を表す式。

D-braneD-brane の変化の様子の変化の様子 (D-brane recoil)(D-brane recoil) とバルクとバルクの場の自己相互作用を確かに記述出来ている。の場の自己相互作用を確かに記述出来ている。

５．結論５．結論閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた系を扱う方法を開発した。系を扱う方法を開発した。閉弦の場の理論の作用の閉弦の場の理論の作用の BRSTBRST 不変性か不変性から、ソースに対する拘束条件を発見した。ら、ソースに対する拘束条件を発見した。 これは低エネルギーでの物質のエネルギー・これは低エネルギーでの物質のエネルギー・運動量保存則に対応運動量保存則に対応

古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件を同時に解く必要がある。を同時に解く必要がある。

結論（つづき）結論（つづき）バルクからの反作用を受けて、境界状態バルクからの反作用を受けて、境界状態は変化していくは変化していく 通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソー通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソー

スではないスではない SenSen のの rolling tachyonrolling tachyon 境界状態も変更が必要境界状態も変更が必要 閉弦の放出は我々の方法で扱うべき閉弦の放出は我々の方法で扱うべき境界状態の変化は開弦の励起によって表境界状態の変化は開弦の励起によって表されると考えられる。されると考えられる。

６．今後の展望６．今後の展望具体的な系に応用し、具体的な系に応用し、拘束条件を解く！拘束条件を解く！ 時間依存解　時間依存解　

(rolling tachyon revised,…)(rolling tachyon revised,…)古典的に不安定な重力系古典的に不安定な重力系 D-brane inflationD-brane inflation 特異点回避？特異点回避？開弦開弦 // 閉弦の双対性閉弦の双対性超弦場の理論への拡張超弦場の理論への拡張量子場への拡張量子場への拡張