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CMC-021-0 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE

Aulas: 3 e 4

SISTEMAS LINEARES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED)

1. Introdução•Sistemas, sistemas físico e sistemas de engenharia•Excitação & resposta de um sistema•Dinâmica - Análise dinâmica e seus estágios:

• modelos físicos• modelos matemáticos. Podem ser na forma de

•um sistema de equações diferenciais ou•sistema de equações integrais•diferenças finitas

• resolução do sistema de equações e interpretação dos resultados..

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1. Introdução (cont.)

• Na terminologia de análise de sistemas em controle, sistemassão frequentemente chamados de plantas ou processos

• A excitação é conhecida como sinal de entrada (input signal) ou simplesmente entrada (input)

• A resposta é conhecida como sinal de saída (output signal) ou simplesmente saída (output).

• As relações de causa-efeito são comumente mostradas naforma de diagramas de bloco, como segue

Sistema (Planta, Processo)

Entrada Saída

1/14/04 3

Exemplo ilustrativo para excitação (entrada) e resposta(saída)

Fd e Fg são excitaçõesatuando na direção oposta aomovimento. As respostas são

Fg Forcagravitacional

h(t)

Superfície da Terra

Fd (Força de arrasto)

V(t) (velocidade)

)t(h)t(v)t(h &= e

Esta figura mostra um sistemanão controlado pois não hánenhuma força aplicada por projeto. As únicas forçasatuantes são ambientais: a gravitacional e do arrasto

SistemaEnt Saída

Sistema não Controlado

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h(t)

Fg Forcagravitacional

Superfície da Terra

Fd (Força de arrasto)

V(t) (velocidade)

T, Empucho aplicado

Se queremos prescreveruma saída desejada entãoé necessário impor uma entrada especificada e submeter o sistema à entrada desejada atravésde um controlador. Destaforma podemos impor um comportamento prescritoao sistema.

Exemplo ilustrativo para excitação imposta por projeto (T)

Conted i

Sist saída

Sistema em malha aberta

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h(t)

Fg Forcagravitacional

Superfície da Terra

Fd (Força de arrasto)

V(t) (velocidade)

T, Empuxo aplicado

Note que no sistema anterior a saídanão afeta a entrada. Se quisermosque o erro da saída seja corrigido via input então um dispositivo de medida(MD) é considerado. A saída é comparada com um valor de referencia (cd), gerando o erro dasaída (e) que entra no controlador (c). Baseado neste erro o controladorfornece o comando (i) necessáriopara reduzir o erro para zero.

Exemplo ilustrativo para excitação imposta por projeto (T)

Acelerômetro

(d=device, i=input, c=controller, o=output, M=measuring, D=Desired)Sistema em malha fechada

cd c Sys

MD

Di Doe i

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1. Introdução (Cont.)

•Características da Excitação - Resposta

•São governadas pelas leis da Física•São descritas por um sistema de parâmetros (concentrados oudistribuídos)

•O comportamento dos sistemas descritos por parâmetrosconcentrados é governado por equações diferenciais ordinárias.

•O comportamento dos sistemas descritos por parâmetrosdistribuídos são governados por equações diferenciais parciais.

•Nas equações diferenciais os parâmetros aparecem na forma de coeficientes que podem ser constantes no tempo ou não.

•Sistemas invariantes no tempo são aqueles nos quais oscoeficientes não dependem do tempo.

•Sistemas variantes no tempo são aqueles nos quais oscoeficientes são dependentes do tempo.

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2. Conceito de Sistema Linear e Superposição

• Sistemas Lineares: linearidade é uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na análisematemática.

• Para introduzir o conceito de linearidade considere o diagrama de blocos que se segue, onde r(t) e c(t) são a entrada e a saída, respectivamente.

Sistema (Planta, Processo)

r(t) c(t)

Considere para um mesmo sistema dois pares de entrada e saída, r1(t), c1(t) e r2(t ), c2(t), respectivamente.

Sistema(Planta, Processo)

r1(t)c1(t) Sistema

(Planta, Processo)

r2(t)c2(t)

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Agora para o mesmo sistema , considere uma entrada r3(t) dada por de uma combinação linear da forma

)t(r)t(r)t(r 22113 αα +=

Se a saída c3 para esta entrada for também combinação linear da mesma forma, isto é

)t(c)t(c)t(c 22113 αα +=

então o sistema é linear. Por outro lado se para a referidacombinação linear de entrada r3(3), a saída for diferente de c3(t), ou seja

)t(c)t(c)t(c 22113 αα +≠

então o sistema é não-linear.

2. Conceito de Sistema Linear (Cont.)

1/14/04 9

Concluindo: para um sistema linear as respostas a várias excitaçõesdiferentes podem ser encontradas separadamente e depois combinadaslinearmente para se determinar a resposta do sistema ao conjunto das váriasentradas. Este princípio é conhecido como o princípio da superposição e é o principio mais importante da teoria dos sistemas lineares.

2. Conceito de Sistema Linear (Cont.)

Portanto um sistema linear é um sistema que tem as propriedades• uma entrada r1(t) produz uma saída c1(t)• uma entrada r2(t) produz uma saída c2(t)• uma entrada α1r1(t)+α2r2 produz uma saída α1c1+α2c2

Notas: Os sistema lineares podem ser frequentemente representados por equações diferenciais. Um termo linear é aquele em que a variáveldependente e suas derivadas são de primeiro grau. Um equaçãodiferencial linear possui somente termos lineares.

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3. Equações Diferenciais

Equações diferenciais são igualdades algébricas ou transcendentaisenvolvendo diferenciais ou derivadas. Por exemplo a segunda Lei de Newton estabelece que a força é igual a taxa de variação no tempo da quantidade de movimento P. Portanto é uma equação diferencial:

(escalar) ou (vetorial) Pdtd

Fdtd

== PF

Onde P pode ser escrito como P =m v. Expandindo a derivada:

(escalar) ou (vetorial) v dtd

mmdtd

vFdtd

mmdtd

+=+= vvF

Onde é a velocidade e m é massa do corpo

3.1. Conceitos

v

1/14/04 11

Consideremos outro exemplo. A lei de Ohm pode ser escritaalternativamente como uma equação algébrica relacionando a tensão v, a resistência R e a corrente i. Sabemos que a corrente irepresenta a taxa de variação no tempo da carga q. Então a Lei de Ohm pode ser escrita na forma de equação diferencial:

dtdq

RRiv ==

1/14/04 12

3.2. Equações Difenciais Variantes e Invariantes com relação ao tempo t

• Os sistemas dinâmicos representados por ED nas quaisos coeficientes das derivadas não variam no tempo são denominados invariantes no tempo. Significa que oscoeficientes das derivadas são constantes com relação ao tempo t.

• Sistemas de ED variantes no tempo são aqueles nos quais os coeficientes das derivadas são dependentes do tempo ou seja os coeficientes das derivadas são variantes com relação ao tempo.

• Exemplo de um sistema de controle variável no tempo é o sistema de controle de uma espaçonave que consomecombustível pois neste caso a massa do veículo varia no tempo.

1/14/04 13

Considere a segunda Lei de Newton quando se tem variação de massa

( ) )t(vdtd

)t(m)t(v)t(mdtd

)t(v)t(mdtd

Pdtd

F +

===

Considere um corpo girante em torno de um eixo. O torque é dado por

ω+ω

=ω==

dtd

IIdtd

)I(dtd

Hdtd

T

Onde I é o momento de inérciaem torno do eixo de rotação. Se o corpo queima combustívelenquanto gira, o momento de inércia, que é função da massa, varia com o tempo.

1/14/04 14

3.3. Equações Diferenciais Lineares e não Lineares

O conceito de linearidade dado para sistemas lineares se aplica tambem para sistemas de ED:

•uma entrada r1(t) produz uma saída c1(t)•uma entrada r2(t) produz uma saída c2(t)•uma entrada α1r1(t)+α2r2 produz uma saída α1c1+α2c2

Uma ED linear só possui termos lineares (as variáveisdependentes e suas derivadas são de primeiro grau). Exemplos:

02

2

=++ kxdtdxc

dtxdm

02

2

=θ+θlg

dtd

As derivadas são de segunda ordemmas de grau 1 nas duas ED. Temostambem uma derivada de primeiraordem na primeira ED. Tanto as derivadas quanto as variáveis são de grau 1. Todos os termos nas ED são de grau 1.

1/14/04 15

Uma ED é não linear se possui termos de segundo grau ou de graumais alto nas variáveis dependentes e suas derivadas, se contêmfunções transcendentais ou se possui produtos de variáveis. Exemplos

02

2

2

=+

y

dtyd O termo na derivada de segunda ordem é de grau

2, portanto a ED é não linear.

02

2

=θ+θ senlg

dtd Aqui a função senθ é não linear portanto a ED é

não linear

( ) 0122

2

=+−+ xdtdxx

dtxd Aqui o x2 tem grau 2

tAsenxdtdx

dtxd

ω=+

+

2

2

2

Note aqui a derivada de grau 2 (segundotermo

1/14/04 16

3.4. Causalidade e sistemas fisicamente realizáveis

Um sistema no qual o tempo é a variável independente é chamado causal se a saída atual depende apenas dos valorespresente e passados das entradas, isto é, se y(t) é a saída, entãoy(t) depende apenas da entrada x(t) para valores de τ ≤ t

3.5. Sistemas Linearizados e Lineares por Partes

Nenhum sistema físico real pode ser descrito de forma exata por uma equaçao diferencial linear invariante no tempo. Entretantomuitos sistemas podem ser representados razoavelmente bemdentro de uma faixa limitada de operação aproximados por equações diferenciais lineares. Considere por exemplo um sistema massa-mola sem amortecimento mostrado a seguir:

1/14/04 17

m

x

A ED do movimento é

x0

-x0

02

2

=+ )x(fdt

xdm

Entretanto se a gradeza absoluta de x não exceder a x0, entãof(x)=kx onde k é uma constante. Assumindo a hipótese de que o deslocamento x não excede o valor x0 temos uma ED linear:

02

2

=+ kxdt

xdm válida para 0xx ≤

f(t)

kx

-kx

1/14/04 18

Suponhamos agora que o deslocamento ultrapasse x0. Seja a curvade força da mola aproximada por três retas, segundo as EDsabaixo

02

2

=+ kxdt

xdm válida para 0xx ≤

012

2

=± Fdt

xdm Quando 0xx >

f(t)

kx

-kx

-x0 x0

1/14/04 19

Consideremos o exemplo do pêndulo plano

θ

A equação não linear que descreveo movimento pêndulo é:

02

2

=θ+θ sengdtd

ll

g

Se for do interesse o comportamento do sistema parapequenos ângulos o sistema podeser linearizado em torno do pontode equilíbrio θ=0 para obter o sistema liner associado:

02

2

=θ+θlg

dtd

1/14/04 20

3.5. Operador Diferencial D e a Equação Característica

Seja a ED linear de n-ésima ordem, invariante no tempo (coeficientes constantes)

xyadtdya

dtda

dtyd

n

n

nn

n

=+++++−

−

− 011

1

1 L

Seja D um operador diferencial:dtd

D = Para n-ésima ordemn

nn

dtd

D =

A ED de n-ésima ordem pode ser escrita como:

( )

ticocaracterís polinômio chamado é

ou

01

1n

1n

n

01

1n

1n

n

01

1n

1n

n

aDaDaD

xyaDaDaDxyaDyayDayD

++++

=++++=++++

−

−

−

−

−

−

L

LL

ticacaracterís equação chamada é 0011

1 =++++ −− aDaDaD n

nn L

1/14/04 21

O teorema fundamental da álgebra estabelece que a equação

característica 0011

1 =++++ −− aDaDaD n

nn L Tem n soluções.

Cada valor de D representa uma solução da equação característica.Por exemplo, considere a equação diferencial:

−−

=

=++

++=++

21

D

02D3D

2D3Dxy2dtdy

3dt

yd

2

2

2

2

:soluções duas possui que

, ética caracterís equação A

é ticocaracterís polinômio cujo

1/14/04 22

3.6. Independência Linear e Conjuntos Fundamentais

Um conjunto de n funções do tempo ( ) ( ) ( )tftftf nL21 ,

É chamado linearmente independente se o único conjunto de constantes c1, c2, … , cn, para o qual

( ) ( ) ( ) 02211 =++ tfctfctfc nnL

para todo t, for as constantes 021 ==== nccc L

Exemplo: sejam as funções

22

1

t)t(f

t)t(f

=

=

( ) tcc

0tccttctc2

121

2

21 =−⇒=+=+ Não existem constantes que satisfaçamesta relação.

1/14/04 23

Uma equação diferencial homogênea de n-ésima ordem

00

=∑=

i

in

ii dt

yda

apresenta pelo menos um conjunto de n-soluções linearmenteindependentes. Qualquer conjunto de n soluções linearmenteindependentes de uma equação diferencial de ordem n é chamadoum conjunto fundamental de soluções

Não existe um conjunto fundamenal único. Outros conjuntosfundamentais podem ser gerados a partir de um dado conjuntofundamental. Considere a seguinte técnica para implementar estaidéia:

1/14/04 24

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑==∑=

= ==

n

1i

n

1iininii22

n

1iii11

n21

n21

)t(yatz,)t(yatz)t(yatz

tz,,tz,tz

)t(y)t(y),t(y

, ,

: funções n de conjunto um

Entãosoluções. de fundamenal conjunto um seja

L

L

L

Onde os aji são um conjunto de n2 constantes. Cada y(t) é uma solução da ED. O conjunto de soluções é um conjunto fundamental se o determinante

0

21

22221

11211

≠

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

LMMMM

LL

zAyAyz 1−=⇒=

1/14/04 25

Exemplo: A equação para o movimento harmônico simples

022

2

=ω+ ydt

yd Tem como conjunto fundamental

tcosytseny ω=ω= 21 e

Um segundo conjunto fundamental pode então ser gerado com

tjtj etjsentcoszetjsentcosz ω−ω =ω−ω==ω+ω= 21 e

Raízes Distintas

Em geral, se a solução da equação característica tem raízesdistintas D1, D2, …, Dn então um conjunto fundamental para uma ED homogênea

tDn

tDtD

n

nn

ii

neyeyeydt

yda ====∑

=

, , , funções de conjunto um é L2121

0

0

1/14/04 26

Exemplo: A equação diferencial

−−

=

=++

++=++

21

D

02D3D

2D3Dxy2dtdy

3dt

yd

2

2

2

2

:soluções duas possui que

, ética caracterís equação A

é ticocaracterís polinômio cujo

Um conjunto fundamental para esta equação é

t

t

ey

ey

22

1

−

−

=

=

1/14/04 27

Múltiplas raízes

Se a equação característica tem raízes múltiplas, então para cadaraíz de Di de multiplicidade ni há ni elementos do conjuntofundamenal

tDntDtD nii et tee 1− , , , L

Exemplo: considere a equação diferencial

1012

02

2

2

2

−==++

=++

DDD

ydtdy

dtyd

múltiplas raízes possuindo

é ticacaracterís equação cuja

Tem um conjunto fundamental constituído de t

t

tey

ey−

−

=

=

2

1

1/14/04 28

3.7. Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Lineares com Coeficientes Constantes.

• Seja a classe de EDO i

im

iii

in

ii dt

xdb

dtyd

a ∑∑==

=11

• onde x = x(t), é uma entrada conhecida e y=y(t) é a saídaprocurada. Se esta equação descreve um sistema físico entãogeralmente n ≤ m e n é ordem da EDO.

e as condições

Iniciais:

0t1n

1n

0t dtyd

,dtdy

),0(y=

−

−

=L ∞<≤ t0

• A solução deste tipo de EDO pode ser dividida em duaspartes: uma relativa ao movimento livre (solução da homogênea) e outra relativa ao movimento forçado (soluçãoparticular - entrada ≠ 0). A solução do sistema é a soma das duas soluções

1/14/04 29

Resposta Livre - Solução da Homogênea

• A solução da homogênea corresponde ao caso no qual a excitação (entrada) é zero. Signfica que a solução da homogêneapode ser obtida inteiramente em termos da excitação inicial. Para excitação zero podemos escrever a EDO na forma:

00

=∑=

n

ii

i

i dtyd

a Cuja solução depende somente das condições iniciais

Exemplo: Considere a EDO homogênea de primeira ordem:

( ) cyydtdy

==+ 00 inicial condição às sujeita

A solução é tcety −=)(

1/14/04 30

A resposta livre pode ser sempre escrita na forma de uma combinação linear dos elementos de um conjunto fundamental. Portanto se y1(t), y2(t),…, yn(t) constituem um conjunto fundamental de soluções, então qualquer resposta livre ya(t) da EDO pode ser representado na forma

( ) ( )∑=

=n

iiia tycty

1

( )00

01

1

== −

−

tdtyd

tdtdy

yn

n

,L , ,onde as constantes cisão determinados em função das condiçõesiniciais:

1/14/04 31

Resposta Livre (cont.)

Para o sistema de n equações algébricas

( ) ( )0000

001

1

11

1

11 ==

===

==

−

−

=−

−

==∑∑∑ tdt

dyc

tdtdy

tdtdy

ctdt

dyycy

n

ni

n

iin

ni

n

ii

n

iii , , ,L

A independência linear de y(t) garante que uma solução para estasequações pode ser obtida para ci , i=1,2,…, n.

1/14/04 32

Resposta livre y(t) da EDO

( )

=

=

=++

1

00

232

2

dtdy

y

xydtdy

dtyd

iniciais condições as sujeita

Considere o seguinte exemplo:

cuja solução pode ser escrita na forma tt ececty 221

−− +=)(

c1 e c2 são coeficientes a determinar enquanto que e-t e e-2t

representam o conjunto fundamental de soluções. Como y(t) devesatisfazer as condições iniciais temos:

=−−=+

−−===

+==12

021

000

21

212121 cc

cccc

tdtdy

ccy seja ou e )(

cuja solução fornece c1 = 1 e c2 = -1

1/14/04 33

Resposta Forçada - Solução Particular

A resposta forçada yb de uma EDO é a solução da ED quando todasas condições iniciais são consideradas identicamente nulas

( ) 00

00

001

1

==

==

=−

−

tdtdy

tdtdy

yn

n

, , ,L

Esta definição implica que a resposta forçada (excitação ≠ 0 ) depende apenas da entrada x(t).A resposta forçada para uma EDO de coeficientes constantes podeser escrita em termos de uma integral de convolução:

( ) ( )∫ ∑

ττ−=

=

t m

ii

i

ib dtd

ydbtwty

00

Onde w( t-τ ) é a função peso da ED

1/14/04 34

A função peso de uma EDO de coeficientes constantes pode ser escritacomo

( )( )

<

≥

=

∑=

0 t para

para

0

01

ttyc

tw

n

iii

onde c1, c2, …, cn são constantes e o conjunto y1(t), y2(t), …, yn(t) é um conjunto fundamental da ED. W(t) é uma resposta livre da ED, requerendo n condições inciaispara completa especificação. Estas condições iniciais fixam osvalores das constantes ci i=1,2,…,n.As condições iniciais que todas as funções peso das ED linearesdevem satisfazer são

100

00

001

1

2

2

==

==

==

=−

−

−

−

tdtwd

tdtwd

tdtdw

wn

n

n

n

0, , , , L)(

1/14/04 35

Nota sobre a Integral de Convolução

A relação entre entrada-saída de um sistema linear pode ser descrita na forma integral

( ) ( ) ττ= ∫∞

∞−dtxtwty )(,

onde x(t) é a entrada e y(t) é a saída resultante. w (t,τ) é a funçãopeso do sistema. A integral da forma acima é chamada integral de convolução.

Se um sistema linear é descrito por uma integral de convolução, então a saída y(t) é uma soma ponderada (uma integral no limite) dos valores da entrada sobre o intervalo do infinito negativo parao positivo, ou seja, a contribuição para a saída y(t) da entrada x(τ),onde a ponderação é proporcionada por w(t, τ).

1/14/04 36

Considere o seguinte exemplo:

( )

=

=

=++

1

00

232

2

dtdy

y

xydtdy

dtyd

iniciais condições as sujeita

A função peso para esta ED é uma combinação linear do conjunto fundamental dado por e-t e e-2t ou seja

tt ecectw 221

−− +=)(

As constantes c1 e c2 são determinadas a partir das condiçõesiniciais que em duas equações algébricas:

=−−=+

−−===

+==12

021

000

21

212121 cc

cccc

tdtdw

ccw seja ou e )(

Fornecendo c1 = 1 e c2 = -1 e w(t) = e-t - e-2t

1/14/04 37

Para

( )

=

=

=

=++

1

1

00

232

2

)( txdtdy

y

xydtdy

dtyd

iniciais condições as sujeita

( ) ( ) ( )[ ] ( )ttt t tttttb eedeedeedxtwty 2

0 0 0

22 2121 −−τ−−−τ−− +−=τ=τ−=τττ−= ∫ ∫ ∫)()(

A resposta forçada é:

Resposta total: a resposta total de uma EDO linear de coeficientesconstantes é a soma das respostas livre (homogênea) e da respostaforçada (particular):

( ) ( ) ( )tttttba eeeeetytyty −−−−− −=+−+−=+= 1

21

2121 22)()()(

1/14/04 38

3.8. Resposta do Sistema: Estacionário e Transitório

• A natureza da resposta depende da excitação em adição àscaracterísticas dinâmicas do sistema em si mesmo. Nestesentido é conveniente distinguir entre resposta estadoestacionária e resposta transitória.

• Em geral a resposta estacionária é aquela na qual o sistema atinge um certo tipo de equilíbrio, tal como respostaconstante ou resposta cíclica sem aproximar de zero ou semcrescer indefinidamente no tempo.

• O tempo pouco importa em termos de regime estacionário. Em geral o estado estacionário ocorre no caso de excitaçãoconstante , harmônica ou periódica.

• A resposta transitória depende fortemente do tempo. Estaresposta normalmente ocorre no caso de excitação inicial ouexcitações externas diferentes das excitações associadas aoregime estacionário.

• A natureza da resposta afeta não apenas a resposta do sistema mas também a escolha de métodos para determinar a resposta.

1/14/04 39

• No caso excitação harmônica o método indicado é o do balanceamento harmônico. A resposta é conhecida comoresposta em frequência e o estudo da das características da resposta é determinada no domínio da frequência.

• No caso de excitação transitória o método da transformada de Laplace parece o mais recomendado. A investigação da respostatransitória é em geral feita no domínio do tempo.

• A resposta de estado estacionário e resposta transitóriaconstituem outro par de quantidades cuja soma é igual à respostatotal.

• A resposta de estado estacionário é a parte da solução total que não se aproxima de zero quando t → ∞

• A resposta transitória é a parte da solução total que se aproximade zero quando t → ∞

No exemplo anterior ( )t

bs e121

)t(y)t(y)t(y −−=+=

A resposta estacionária é 21

=sy Enquanto que o transitório

Envolve o termo e-t. Note que a medida que t cresce a soluçãotende ao regime estacionário dado por ys .

1/14/04 40

3.9. Funções Singulares

• No estudo de sistemas de controle e das equações diferenciaisque os descrevem as funções singulares são amplamenteusadas e formam a base da análise dos sistemas lineares no domínio do tempo.

• A classe de funções singulares são caracterizadas pelo fatode todas as funções e suas derivadas serem contínuas no tempo exceto para algum dado valor do tempo.

• As funções singulares se caracterizam também pelo fato de que são funções que podem ser derivadas umas das outraspor integração ou diferenciação.

1/14/04 41

•Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac

É uma das funções singulares mais importantes e mais comumente encontradas. Matematicamente o Impulso Unitárioé definido por

( )( )∫ =−δ

≠=−δ∞

∞−1dttt

tt0tt

0

00 ,ε1

t0ε t

( )0tt −δ

A função Delta de Dirac pode ser entendida como resultado de um processo de limite. Em particular a função é zero excetosobre um pequeno intervalo de tempo nas vizinhanças de t = t0. Neste interavalo a amplitude é muito grande e igual a 1/ε . Quando ε → 0, o intervalo de tempo se aproxima de zero e a amplitude tende a infinito de modo a manter a area sob a curva constante e iguala unidade, daí o termo impulso unitário. A unidade de δ(t-t0) é o inverso to tempo (segundos, s-1).

Área=1

1/14/04 42

•Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (Cont)

• O impulso unitário pode ser usado para representar excitaçõesimpulsivas

• Amostragem: Uma propriedade da função Delta de Diracextremamente útil na solução de integrais envolvendo funçõesdelta. Matematicamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 tfdttttfdttttf =−δ=−δ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

De modo que a integral de uma função f(t) ponderada pelafunção delta de Dirac atuando em t = t0 é simplesmente a funçãof(t) avaliada em t = t0 . Esta propriedade é as vezes referida comopropriedade de amostragem.

1/14/04 43

Função Degrau Unitário

Matematicamente a função degrau unitário é definida como

( )

><

=−0

0 100tt

tttu

para para

t

u(t)

1

0 t0

• O degrau unitário é admensional• O degrau unitário é estreitamente relacionado com o impulso

unitário. A função degrau unitário é a integral do impulsounitário e o impulso unitário é a derivada temporal da funçãodegrau. Matematicamente

( ) ( ) ( ) ( )dt

ttdutdtttu 0

0

t

00

−=−ζδζ∫ −ζδ=−

∞− ou

1/14/04 44

Função Degrau Unitário (Cont.)

O efeito de se multiplicar uma função f(t) pela função degrauunitário é eliminar a porção de f(t) correspondendo a t < t0 e preservar a porção correspondente a t > t0. Por exemplo, considerea funçãof(t) = senωt e t0 = 0 e o efeito de se multiplica-la por u(t)

f(t)f(t).u(t)

<>ω

=00

0t

ttsentf

, ,

)( ou f(t)=u(t)senωt

1/14/04 45

Função Rampa Unitária: É definida como

( )

( ) ( ) ( )000

0

000 0

ttuttttr

tttttt

ttr

−−=−

<>−

=−

ntecompactame mais ou

para

para

t0

( )0ttr −

0

• A unidade da função rampa unitária é segundos (s)• A função rampa unitária está estreitamente relacionada com a

função degrau. Ela é a integral do degrau unitário e a funçãorampa é a derivada da função rampa:

( ) ( )

( ) ( )dt

ttdrttu

dtttuttrt

00

00

−=−

−=− ∫ ∞−

(