cn_2-notas de aulas-sistemas lineares

Clculo Numrico-Sistemas Lineares Prof. Carlos Gonalves [1]

2 Sistemas Lineares

Introduo

Estima-se que em 75% dos problemas cientficos encontrados, a busca da soluo recai, em algum estgio, num sistema linear de equaes, e.g., Interpolao, ajuste de curvas, soluo de sistemas de equaes no lineares, soluo de equaes diferenciais usando diferenas finitas e clculo de autovalores e autovetores.

2.1 Conceitos Fundamentais

Definio 1: Matriz Real Uma matriz real = um conjunto com elementos de m linhas por n colunas, ordenados do seguinte modo:

= 11 12 121 22 2 1 2

= = 1, , = 1, , Se m=n ento a matriz dita quadrada.

Um vetor coluna uma matriz consistindo de uma nica coluna, i.e.,

= 11211

Definio 2: Matriz Diagonal

Uma matriz D dita diagonal = , = = 1, ,, onde: = 0, , = =1 0 00 2 0 0 0

Se = 1, = 1, ,, ento D dita matriz identidade de ordem m e denotada Im:


= 1 0 00 1 0 0 0 1 Definio 3: Igualdade de Matrizes

Sejam = , = 1, ,; = 1, , = , = 1, ,; = 1, ,

Ento = = , = 1, ,; = 1, ,. Operaes com Matrizes

Sejam = , = ,

Define-se ento:

Soma de Matrizes: ( + ) = + , = 1, ,; = 1, ,. Multiplicao da matriz por um real: () = , = 1, ,; =1, ,. Sejam

= , = ,

A matriz C o produto das matrizes A e B se,

= () = =1

Definio 4: Matriz Transposta

Seja a matriz A dada por = . Ento a transposta de A que denotamos por At e dada por:


= = = , = 1, ,; = 1, , Definio 5: Matriz Triangular

Matriz triangular uma matriz de uma das seguintes formas:

= 11 0 021 22 0 1 2

, = 11 12 10 22 2 0 0 U dita triangular superior e L triangular inferior.

Observe que: L triangular inferior = 0, > U triangular superior = 0, < Definio 6: Diz-se que uma matriz diagonalmente dominante se

|| > , i = 1, . . . , n=1

Definio 7: Determinante de uma Matriz

Determinante de uma matriz uma funo com valores reais, definida no conjunto das matrizes m x m : . Denotaremos det(A) o determinante de uma matriz quadrada Am x m.

As trs regras dadas a seguir so suficientes para computar det(A) para qualquer matriz Am x m.

i. O determinante de uma matriz no se altera se adicionarmos uma linha (coluna) multiplicada por um nmero outra linha (coluna);

ii. O determinante de uma matriz triangular dado pelo produto dos elementos da diagonal;

iii. Se duas linhas (colunas) so trocadas o valor do determinante multiplicado por -1.

Definio 8: Matriz Singular

Dizemos que Am x m singular se det(A) =0.


Definio 8: Matriz Inversa

Se A no singular ento existe a matriz inversa de A que denotamos A-1 e satisfaz:

1 = 1 =

2.2 Sistemas De Equaes Lineares

Sejam a matriz real Am x m, x e b vetores colunas. Um sistema de equaes lineares ou apenas sistema linear, uma equao do tipo = , onde:

11 12 121 22 2

1 2

12

= 12

Equao 1

A Equao 1 e a forma = so formas vetoriais do sistema de equaes. Um sistema linear tambm pode ser escrito como se segue:

111 + 122 + + 1 = 1211 + 222 + + 2 = 2

11 + 22 + + =

Equao 2

Ou ainda,

= = , = 1, ,=1

Resolver o sistema da Equao 1 significa determinar um vetor coluna =(1, , ) satisfazendo todas as equaes da Equao 2. Claro est que se A no singular, ento temos que:

= = 1


Teoricamente o problema est solucionado, todavia, na prtica, determinar a inversa de uma matriz no uma tarefa computacional fcil.

2.2.1 Classificao Quanto Ao Nmero De Solues

Um sistema linear pode ser classificado quanto ao nmero de solues que admite, da seguinte forma:

a) Sistema possvel ou consistente: todo sistema que possui ao menos uma soluo. Um sistema linear possvel :

i. Determinado, se admite uma nica soluo; ii. Indeterminado, se admite mais de uma soluo.

b) Sistema impossvel ou inconsistente: todo sistema linear que no tem soluo.

2.2.2 Transformaes Elementares

Chamam-se transformaes elementares s seguintes operaes sobre as equaes de um sistema linear:

a) Trocar a ordem de duas equaes do sistema. b) Multiplicar uma equao do sistema por uma constante no nula. c) Adicionar duas equaes do sistema.

2.2.3 Definio: Dois sistemas lineares S1 e S2 sero equivalentes se S2 puder ser obtido de S1 atravs de transformaes elementares. Dois sistemas lineares equivalentes admitem a mesma soluo.

2.4 Resoluo De Um Sistema Linear

A soluo numrica de um sistema linear feita em geral por dois mtodos: o direto e o iterativo. Qual deles usar depender de cada caso.

2.4.1 Mtodos Diretos

Determinam a soluo de um sistema linear com um nmero finito de operaes, sem se considerar os erros de arredondamentos.

Mtodo de Eliminao de Gauss


Com (n-1) passos o sistema linear = transformado no sistema triangular superior equivalente, = , o qual se resolve facilmente por substituio retroativa.

Exemplo: Resolver pelo mtodo de Gauss o sistema:

21 + 32 3 = 541 + 42 33 = 321 32 + 3 = 1

Soluo: Escreva a matriz aumentada do sistema, i.e.,

= ( |) = 2 3 1 54 4 3 32 3 1 1

A estratgia transformar a matriz B0 = B em triangular superior, atravs de transformaes elementares em seus elementos, e.g., tomando-se como piv o coeficiente 11 = 2, e calculando-se os multiplicadores para 11 de tal ordem que os coeficientes 21 e 31 ao se somar com 11tornem-se zero (a 1 equao fica inalterada!).

Passo 1: Denotaremos os coeficientes dos pivs e as linhas nos sucessivos passos por

(1), = 1, ,, e (1), respectivamente, sendo os sobrescritos em parnteses o ndice da matriz transformada. Seja ento 11

(0) = 11 = 2, aps as operaes e eliminaes, vem: 1 = 2 3 1 50 2 1 70 6 2 6

Passo 2: Seja agora 22(1) = 2, logo,

2 = 2 3 1 50 2 1 70 0 5 15~ 21 + 32 3 = 501 22 3 = 701 + 02 + 53 = 15


Resolvendo o sistema triangular superior por substituio retroativa, tem-se como soluo = (1 2 3), que tambm soluo para o sistema dado.

Dispositivo Prtico

Pode-se montar um arranjo tabular como o mostrado abaixo para realizar as operaes e transformaes necessrias, ocupando pouco espao no papel.

Linha Multiplicador Coeficientes Termos Independentes

Transformaes

L1 2 3 -1 5 L2 21

(0) =-4/2=-2 4 4 -3 3 L3 31

(0) =-2/2=-1 2 -3 1 -1 L4 0 -2 -1 -7 -2*L1+L2 L5 54

(1) =-6/-2=3 0 -6 2 -6 -1*L1+L3 L6 0 0 5 15 -3*L4+L5

O sistema triangular superior obtido tem como equaes as linhas L1, L4 e L6, i.e.,

21 + 32 3 = 501 22 3 = 701 + 02 + 53 = 15

Cuja soluo obtida por substituio retroativa = (1 2 3). Clculo do Determinante O determinante da matriz de coeficientes [A] calculado a partir do produto dos coeficientes aii da diagonal principal, i.e.: || = = =3

=1

11 22 33

=1

= 2 (2) 5 = 20 Como o || 0, ento a soluo nica.


Exerccio 1: Resolva pelo mtodo de Gauss, usando 2 casas decimais, o sistema abaixo dado por:

1 + 2 + 3 = 421 + 32 + 3 = 91 2 3 = 2

Resp.: = (1 2 1) Exerccio 2: Resolva pelo mtodo de Gauss, usando arredondamento simtrico para 2 casas decimais durante os clculos, o sistema abaixo dado por:

8.71 + 3.02 + 9.33 + 11.04 = 16.424.51 8.82 + 11.53 45.14 = 49.752.31 84.02 23.53 + 11.44 = 80.821.01 81.02 13.23 + 21.54 = 106.3 Resp.: A resposta correta = (1 2 1 1), mas com os arredondamentos usados se obter valores aproximados um pouco menores.

Suponha que voc tenha obtido = (0.97 1.98 0.97 1). Uma medida para avaliar a preciso dos clculos estimar o resduo, que dado por:

= Ou seja,

= 16.449.780.8106.3

8.7 3.0 9.3 11.024.5 8.8 11.5 45.152.3 84.0 23.5 11.421.0 81.0 13.2 21.5 0.971.980.971.00

Donde:

= 0.0420.2140.5940.594


2.4.1.1 Refinamento de Solues

Ao se trabalhar com aproximaes nos clculos, as imprecises so inevitveis devido propagao dos erros nos arredondamentos, assim, podemos melhorar uma soluo encontrada minimizando o efeitos destes erros na soluo final usando a tcnica dos resduos. A tcnica a seguinte:

Seja (0)a soluo aproximada para o sistema Ax = b. Ento a soluo melhorada obtida de (1) = (0) + (0), onde (0) parcela de ajuste. Assim:

(1) = (0) + (0) = (0) + (0) = Segue-se que:

(0) = (0) (0) = (0) Logo, para obter-se a parcela de ajuste, basta resolver agora o sistema linear (0) = (0). Caso se deseje melhor uma aproximao o processo repetido, i.e., resolve-se um novo sistema (1) = (1), onde (1), (1), so a parcela de ajuste para (1), e (1) o resduo produzido por (1), respectivamente.

Exemplo: Do sistema linear do exemplo anterior, vimos que:

= (0.97 1.98 0.97 1) Com resduo = (0.042 0.214 0.594 0.594). Ento, (1) = (0) + (0) e = (0), o clculo do ajuste feito pelo sistema (0) = (0), que fornece o resultado:

(0) = (0.0295 0.0195 0.0294 0.0000) A nova soluo ser:

(1) = (0) + (0) = (1.000 2.000 0.999 1.000) Cujo resduo :


(1) = (0.009 0.011 0.024 0.013) O processo pode ser refeito at que o resduo chegue a zero ou prximo disso. Fica como exerccio a repetio deste processo, no qual se verificar que o (2) = (0.0 0.0 0.0 0.0), como desejado.

Exemplo: Interpolao polinomial.

Imagine que queiramos passar um polinmio quadrtico (i.e., uma parbola), pelos pontos A=(x1,y1), B=(x2,y2), e C=(x3,y3) (v. figura).

Um polinmio quadrtico escrito, na sua forma geral, como:

() = + + Ora, como o objetivo determinar o polinmio quadrtico, as incgnitas so os trs coeficientes a, b e c. Para encontrar as incgnitas dispomos de trs equaes, pois o grfico do polinmio deve passar pelos trs pontos dados: p(x1)=y1, p(x2)=y2, e p(x3)=y3..

Explicitando as equaes, ficamos com:

1

2 + 1 + = 12

2 + 2 + = 23

2 + 3 + = 3 Reescrevendo-as evidenciamos o carter de sistema linear do problema, pois as incgnitas agora so a, b, e c, vem:

12 + 1 + = 122 + 2 + = 232 + 3 + = 3

De acordo com as condies dadas, pede-se determinar a parbola que passa pelos pontos A=(0.54,1.99), B=(2.46,-1.03), C=(4.02,-1.65), usando arredondamento simtrico com duas decimais.


Soluo: Aps formar o sistema linear abaixo, vamos usar o mtodo de Gauss para resolv-lo.

0.54 + 0.54 + = 1.992.46 + 2.46 + = 1.024.02 + 4.02 + = 1.65

O dispositivo prtico teria a seguinte apresentao:

Linha Multip. Coeficientes T. Indep. Transf. Var. (1)

0,2916 0,54 1 1,99

a=0,334443

(2) -20,7531 6,0516 2,46 1 -1,02 m21*L1+L2 (3) -55,4198 16,1604 4,02 1 -1,65 m31*L1+L3 (4)

0 -8,74667 -19,7531 -42,3186

b=-2,57104

(5) -2,96189 0 -25,9067 -54,4198 -111,935 (6)

0 4,086721 13,40786

c=3,280837

A resposta ser o vetor coluna = ( ) que obtido a partir da soluo aproximada do sistema linear dado pelo mtodo de Gauss, i.e., = (0.33 2.57 3.28). Assim, a equao procurada ser:

() = 0.332 2.57 + 3.28 Mtodo de Jordan

Pode ser considerado como uma variante do mtodo de Gauss, e consiste em fazer transformaes elementares sobre as equaes do sistema linear dado, at que se obtenha um sistema diagonal equivalente, i.e.,

11 0 00 22 0 0 0

12

= 12

Cuja soluo ser o vetor coluna:

= 1 11 2 22


2.4.2 Mtodos Iterativos

Os mtodos iterativos so menos suscetveis a propagao de erros de arredondamento (devido a sua autocorreo) do que os mtodos diretos, alm de serem indicados para um sistema cuja matriz dos coeficientes esparsa (muitos elementos iguais a zero). Computacionalmente razoavelmente so fceis de implementar, j existindo cdigos prontos em Fortran ou C na literatura e na internet, por exemplo.

Critrios de Convergncia

Antes de usarmos um mtodo iterativo a um sistema linear, importante verificarmos a sua possvel convergncia para uma soluo.

Definio: Uma matriz A estritamente diagonalmente dominante se:

=1

< ||, = 1, 2, ,. Demonstra-se que se a matriz dos coeficientes do sistema linear estritamente diagonalmente dominante, ento o mtodo iterativo usado convergente.

O mtodo iterativo para resolver o sistema linear = , onde A diagonalmente dominante, consiste em escrev-lo na forma equivalente como:

= + []1[][]1 Donde partimos de uma aproximao inicial (0)e fazemos as iteraes sucessivas:

(1) = (0) + ; ; (+1) = () + Se lim

() 0, dizemos que a sequncia de aproximaes ()

converge para x.

No sistema inicial temos:


111 + 122 + + 1 = 1211 + 222 + + 2 = 2

11 + 22 + + =

Explicitando as equaes como segue:

1 = 111 (1 122 133 1)

2 = 122 (2 211 233 2)

= 1 ( 11 22 11)

S podemos escrever as equaes acima se 0, se isto no acontecer, ento deve-se rearrumar as equaes para que o sistema fique na forma desejada.

2.4.2.1 Mtodo de Jacobi-Richardson

Consiste nas etapas:

a) Escolher um vetor aproximao inicial arbitrrio, (0). Na falta de melhor alternativa pode-se usar (0) = 0, = 1, 2, ,.

b) Gerar as aproximaes sucessivas: (+1) = () + , = 0, 1, ,. c) Continuar at que seja satisfeito um dos critrios de parada abaixo:

i. max1

(+1)()

(+1) < , com dado, ou, ii. > , onde M o nmero de iteraes.

Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo com erro relativo < 102.

101 + 22 + 3 = 71 + 52 + 3 = 821 + 32 + 103 = 6

Soluo: V-se que a matriz dos coeficientes diagonalmente dominante, pois:

Clculo Numrico-Sistemas Lineares Prof. Carlos Gonalves [14] |12| + |13| = |2| + |1| < |10| = |11||21| + |23| = |1| + |1| < |5| = |22||31| + |32| = |2| + |3| < |10| = |33| Logo, o sistema converge. Ento, aps dividirmos as equaes por seus respectivos elementos da diagonal principal, teremos as seguintes equaes de iterao:

1(+1) = 0.22() 0.13() + 0.72

(+1) = 0.21() 0.23() 1.63

(+1) = 0.21() 0.32() + 0.6 Iniciando com (0) = (0.7 1.6 0.6), obtemos para (1):

1(1) = 0.22(0) 0.13(0) + 0.7 = 0.2(1.6) 0.1(0.6) + 0.72

(1) = 0.21(0) 0.23(0) 1.6 = 0.2(0.7) 0.2(0.6) 1.63

(1) = 0.21(0) 0.32(0) + 0.6 = 0.2(0.7) 0.3(1.6) + 0.6 Efetuando-se as operaes e continuando com as iteraes, geramos a tabela abaixo:

k 0 1 2 3 4 5 1 0,7 0,96 0,978 0,9994 0,99792 1,000236 2 -1,6 -1,86 -1,98 -1,9888 -1,99956 -1,99894 3 0,6 0,94 0,966 0,9984 0,99676 1,000284

A parada deve acontecer quando:

(4) (3) = 0.00150.01080.0016 Logo,

max13

(4) (3)

(4) = 0.01081,9996 0.0054 < 102 Ento a soluo para o sistema linear dado :


= (0.9979 1.9996 0.9978)

2.4.2.2 Mtodo de Gauss-Seidel

Representa uma acelerao na convergncia do mtodo de Jacobi-Richardson, dado que uma varivel calculada na iterao, j usada no cmputo de outra varivel na mesma iterao.

De modo similar ao mtodo de Jacobi-Richardson, o mtodo segue as seguintes etapas:

a) Escolher um vetor aproximao inicial arbitrrio, (0). Na falta de melhor alternativa pode-se usar (0) = 0, = 1, 2, ,.

b) Gerar as aproximaes sucessivas para = 0, 1, ,: (+1) = ( (+1)1=1 ()=+1 )/ , = 1, ,.

c) Continuar at que seja satisfeito um dos critrios de parada abaixo:

i. max1

(+1)()

(+1) < , com dado, ou, ii. > , onde M o nmero de iteraes.

Critrio de Sassenfeld

Sejam as constantes definidas pelas frmulas de recorrncia:

= + =+1

, = , = 1, ,1=1 E seja = max

1.

Ento, se < 1, a sequncia (), gerada pelo mtodo de Gauss-Seidel converge para a soluo do sistema dado.

(Para a prova desse teorema, favor consultar a bibliografia).

Resumindo, se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante, ento o mtodo iterativo de Gauss-Seidel converge, pois


temos < 1. Note-se ainda que a convergncia no depende do valor inicial do vetor coluna.

Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo com erro relativo < 102, usando o mtodo de Gauss-Seidel com (0) = (0 0 0).

10 2 11 5 12 3 10123 = 14118

Soluo: Matriz dos coeficientes vem de:

1(+1) = 0.22() 0.13() + 1.4

2(+1) = 0.21(+1) 0.23() 2.2

3(+1) = 0.21(+1) 0.32(+1) + 0.8

Condio de convergncia:

1 = 3

=2

= 310 = 0.30002 = |21|1+|23| = 1350 = 0.2600

3 = |31|1+|32|2 = 69500 = 0.1380

Donde,

= max13

= max13

{0.3000 0.2600 0.1380} < 1 Logo, temos garantia de convergncia na sequncia iterativa, assim, para (0) = (0 0 0), temos:

1(1) = 0.22(0) 0.13(0) + 1.4

2(1) = 0.21(1) 0.23(0) 2.2 3

(1) = 0.21(1) 0.32(1) + 0.8 (1) = 1.40001.92000.0560

Efetuando-se as operaes e continuando com as iteraes, geramos a tabela abaixo:


k 0 1 2 3 4 5 1 0 1,4 1,0216 0,999262 0,999743 0,999977 2 0 1,92 2,00688 2,001424 2,000107 2,000001 3 0 -0,056 -0,00638 -0,00028 1,92E-05 4,42E-06

Teste da parada:

max13

(4) (3)

(4) = 0.00132,0001 0.0007 < 102 Assim, a soluo para o sistema ser (4), com a preciso pedida. 2.4.3 Matrizes Complexas

Seja o sistema linear = , onde as matrizes so complexas, i.e., = + = + = +

Equao 3

Onde M, N so matrizes reais de dimenso n x n, e c, d, s, t so matrizes reais de ordem n x 1.

Substituindo a Equao 3 na equao inicial: ( + )( + ) = + + ( + ) = +

Donde:

= + =

O qual, na notao matricial, se reduz a:

=

Equao 4


O sistema linear inicial foi reduzido ao sistema real da Equao 4. Portanto, basta resolver o sistema da Equao 4 por um dos mtodos j vistos anteriormente.

Exemplo: Resolver o sistema:

(1 + 2)1 + 32 = 5 + 4

1 + 2 = 1 Soluo: Vamos montar a matriz dos coeficientes:

= 1 + 2 3 + 01 + 0 1 + 0 = 1 31 1

+ 2 00 0

Termos independentes:

= 5 + 411 + 0 = 51

+ 40

Variveis:

= 12 = 12

+ 12

Escrevendo o sistema na forma da Equao 4, vem:

1 3 2 01 1 0 02 0 1 30 0 1 1

1212

= 5140 Resolvendo o sistema pelo mtodo de Gauss, vem que:

= (0 1 1 1) = ( 1 + ) 2.4.4 Noes de Condicionamento

(desenvolver)

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