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ÁLGEBRA

Divisibilidad1. Un polinomio P(x) al ser dividido por (x – 1) da como

resto 5 y al ser dividido por (x - 2) da como resto 6. Calcular el resto de dividir dicho polinomio P(x) por el producto de (x – 1) y (x –2) a) x +1 b) x + 4 c) x – 3 d) x + 2 e) x – 1

2. Al dividir un polinomio se obtuvo como

residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficiente es

igual a 3. Encontrar el resto de dividir .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Al dividir un polinomio , se obtiene un

cociente Q(x) y un resto (3x - 1). Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6). Hallar el resto de dividir

a) 6 b) 5 c) x -1 d) –7 e) x + 1

4. Calcular el resto de dividir , sabiendo

que el término independiente del cociente es 4 y además el término independiente del polinomio P(x) es 6.

a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) -185. Un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es

la unidad es divisible por (x – 2) y (x – 1) separadamente; al dividirlo por (x – 3) el resto es 20. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio.

a) –2 b) 1 c) –1 d) 0 e) 26. Un polinomio P(x) al ser dividido separadamente por:

(x + 3) y (x - 5) da como resto: -13 y 3 respectivamente. Hallar el resto de dividir: P(x) entre: (x - 5)(x + 3).a) 2x + 9 b) 3x – 7 c) 3x + 7d) 2x + 1 e) 2x – 7

7. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+5) deja como residuo –9 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a:3.encontrar el residuo de dividir P(x)entre x-1.a) 16 b) 9 c) 13 d) 8 e) 12

8. Al dividir un polinomio P(x) entre los binomios (x - 1) y (x + 2) se obtienen como restos 5 y -7 respectivamente. Encontrar el resto de dividir dicho polinomio entre: (x - 1) (x + 2).

a)4x + 1 b)x + 1 c)2x + 4 d)x + 1 e)3x + 39. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado

divisible por (2x +1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P(x).a) -4 b) -3 c) -5 d) 4 e) 2

10. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P(x). a) – 4 b) – 3 c) – 5 d) 4 e) 2

11. Al dividir un polinomio P(x) entre(x+3) se encontró como residuo –7 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3 encontrar el residuo de dividir P(x) entre: x –1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio mónico P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente por (x + 1) y (x + 3) y cuyo término independiente sea igual a : - 6a) -8 b) -7 c) -9 d) -10 e) -12

13. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio p(x) si se sabe que es de tercer grado, su primer coeficiente es la unidad, es divisible entre (x-2)(x +1) y carece de término cuadrático?.

a)- 4 b)- 3 c)1 d)2 e) 414. Los residuos obtenidos al dividir un polinomio F(x)

entre: (x-3) y (x+2), en forma separada son 25 y –5, respectivamente. Hallar el residuo de dividir F(x) entre: x2 – x – 6 a) 6x+7 b) 6x c) 7 d) 3x+2 e) 2x+4

15. Si al dividir P(x) entre (x2-x) (x-3) se hallar por resto (6x+5), hallar el resto de dividir P(x) entre: x-3 a) 20 b) 23 c) 2 d) 12 e) 18

Cocientes notables

Llamaremos cocientes notables (C.N) a los cocientes que se obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad de efectuar la división.

Las divisiones indicadas que dan origen a los cocientes notables son de la forma:

; n N

ESTUDIO DE LOS CUATRO CASOS

CASO I:

El Residuo es cero para cualquier valor de “n”.

CASO II:

El Residuo es cero si “n” es par.

CASO III:

El Residuo es cero si “n” es impar

CASO IV:

El Residuo es

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.

Si la expresión es un C.N., se cumple que:

= Número de términos

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL

En la división:

un término de lugar k (término cualquiera) del cociente está dado por la fórmula:

(Signo)

Regla para determinar el signoa) Si el divisor es de la forma (x – a), todos los términos

del C.N. son positivos.b) Si el divisor es de la forma (x + a), se debe tener en

cuenta que: :i) Los términos de lugar impar del desarrollo del

cociente notable son positivos.ii) Los términos de lugar par del desarrollo del

cociente notable son negativos.iii)

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ÁLGEBRA

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL (Contado de Derecha a Izquierda)

Dónde:

: Término de lugar k contado a partir del término final.

Observaciones:

- Si el número de términos “ n ” de un C. N es par, existe dos términos centrales en su desarrollo, donde los lugares son :

- Si el número de términos “n” de un C. N es impar, existe un término central en su desarrollo, donde el lugar es :

1. Hallar el número de términos del siguiente cociente

notable:

a) 10 b) 6 c) 5 d) 3 e) 8

2. ¿Cuántos términos posee el cociente notable originado

por?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

3. Hallar el t22 del desarrollo del C.N.

a) x45y63 b) –x45y63 c) x63y45 d) -x63y45 e) N.A.

4. El grado absoluto del termino de lugar 6 del siguiente

C.N

a) 10 b) 19 c) 9 d) 21 e) 18

5. ¿Cuál es el tercer término en el C.N:

a) 4x4y2 b) –4x4y2 c) 16x4y2 d) 12x4y2 e) 4x4y

6. Si A es el penúltimo termino del C.N generado por:

; hallar el término A:

a) x9y8 b) –x4y8 c) x4y8 d) x8y9 e) –x8y9

7. Qué lugar ocupa en el desarrollo del C.N.: el

término que tiene como G.A 36. a) 1er b) 2do c) 3ero d) 4to e) 5to8. Encontrar el término vigésimo en el cociente notable

originado al dividir:

a) x - 2 b) x - 1 c) 1 – x d) x2 + 3 e) x2 - 59. Hallar el valor numérico de término central del

cociente notable originado al dividir:

; para: x= 3, y = 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 510. Suponiendo que: a160b36, se encuentra contenido en el

desarrollo del cociente:

. Calcular: n - m

a) 7 b) 13 c) 6 d) 9 e) 10

11. Hallar “n” si en el cociente notable:

el penúltimo término de su desarrollo es: ab5 + 2b6

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 1012. Suponiendo que x24y3 se encuentra conteniendo en el

desarrollo del C.N. calcular:

a) 24 b) 36 c) 12 d) 48 e) 60

13. Calcular “m” en: si es un C.N.

a) 5 b) 4 c) 11 d) 7 e) 1614. Calcular m x n si el t42 del C.N. es x345y984

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

15. El número de términos de: es 8. ¿Cuál es el 5to

término? a) x20y9 b) x8y18 c) x9y20 d) x18y9 e) x12y20

16. Si: es una división exacta el valor numérico de:

a) 62 b) 58 c) 90 d) 61 e) 6017. Simplificar la expresión:

a) b) c)

d) e) N.A

18. Reducir:

a) b) c)

d) e) N.A.

19. Simplificar la expresión:

a) b) c)

d) e) N.A.

20. El cociente que dio origen al siguiente desarrollo:

Es:

a) b) c)

d) e) N.A.

21. Simplificar:

a) b) c)

d) e) N.A.

22. Calcular:

a) 0.9 b) 0.8 c) 0.1 d) 0.4 e) 0.623. Simplificar:

a) x+1 b) x c) x-1 d) 0 e) 124. Simplificar:

a) b) c)

d) e) N.A.

25. Reducir:

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a) n b) n-1 c) n+1 d) n2 -1 e) n2

26. Encuentre el cociente notable que dió origen al siguiente desarrollo:

a) b) c)

d) e)

27. Suponiendo que x143.y32se encuentra conteniendo en el

desarrollo: , Hallar n + p

a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) N.A

28. Calcular “n” en el desarrollo del C.N.:

a) 10 b) 8 c) 15 d) 12 e) 6

29. Hallar el tercer término en el siguiente C.N.:

a) x15y27 b) x10y18 c) x5y18 d) x5y9 e) x12y9

30. Calcular el número de términos del C.N: si el

penúltimo termino es: x2y82.a) 86 b) 82 c) 42 d) 43 e) 45

31. Calcular “ab” si el siguiente C.N. tiene en su desarrollo

como t60 = x56y708

a) 12 b) 6 c) 10 d) 20 e) 2

32. Calcular el número de términos del C.N.

a) 8 b) 11 c) 9 d) 12 e) 10

33. Calcular “n” si el cociente: es notable:

a) 1 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10

34. Si en el siguiente C.N: es notable. Hallar el

número de términos. a) 8 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25

35. Para que el cociente: .

Sea notable, el valor de n debe ser: a) 6 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

36. Si la siguiente división:

Da a lugar un cociente notable. Determinar el valor de m, e indicar su número de términos:

a) 4 y 32 b) 4 y 23 c) 5 y 32 d) 6 y 23 e) 23 y 3237. Determinar el número de términos del C.N:

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

38. Hallar el número de términos del C.N:

a) 8 b) 2 c) 3 d) 4 e) 539. Hallar el lugar que ocupa el termino de grado 101 en el

desarrollo de:

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

40. Calcular m si el grado absoluto del en el C.N es

309 ;

a) 45 b) 50 c) 40 d) 48 e)6041. Uno de los términos del desarrollo del cociente

notable es . Hallar el

lugar que ocupa dicho término contado a partir del final:

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

42. Sean:

, y

Hallar el número de términos de A.B.a) 20 b) 21 c) 40 d) 42 e) 42n

43. Sabiendo que xa y24 es el término central del desarrollo del cociente notable

x75 – yb

xc – y2

Calcular a + b + c a) 10 b) 40 c) 59 d) 89 e) 99

44. Sabiendo que al dividir , el segundo

término de su cociente es . ¿Cuántos términos

posee el cociente notable?:a) 4 b) 3 c) 5 d) 7 e) 6

45. Calcular el número de términos del desarrollo del C.N. que tienen los términos consecutivos

......+ x 70 y 12 - x 63 y 15 +......a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

46. Indicar el número de términos en el desarrollo del cociente notable:

Sabiendo que el G.A. del término quinto es 32. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

47. Encontrar el valor numérico del término 31, para a = -1, en el desarrollo del cociente notable:

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

48. El grado absoluto del término central del cociente

notable: , es 56. Hallar el número de

términos. a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 49. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:

, el término del lugar 8 contando a partir del

extremo final tiene grado absoluto 38, el número de términos del desarrollo es:

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 4050. Si el tercer término del desarrollo del cociente notable:

, tiene el valor númerico 1024, para

x=2. Calcular el valor de m.a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

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51. Si un término del cociente notable que resulta de

dividir: , es . Hallar el valor de

(n - p) a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

52. En el cociente notable: , calcular el valor

numérico del término central para x = 1; y = 2

a) 252 b) 254 c) 256 d) 251 e) 260

53. Si el desarrollo del C.N. , tiene un

término que contiene a , determinar (n + p)

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 1954. Si el séptimo término del cociente notable:

, es . Hallar

a) 425 b) 427 c) 429 d) 431 e) 433

55. Dado el desarrollo de: .¿Qué lugar

ocupa el término cuyo grado absoluto es 252? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 56. Hallar el valor numérico del término 15 para a = -2.

En el desarrollo del cociente: es:

a) 30 b) 31 c) 64 d) 33 e) 34

57. Si el cociente notable tiene 8 términos en su

desarrollo. Hallar a + b:

a) 56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 6458. En el desarrollo de:

, el término quinto es , además

q = p + 3. Hallar b - a

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

59. Hallar sabiendo que el quinto término del

cociente notable:

es :

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

60. Hallar el número de términos del cociente notable:

a) 12 b) 25 c) 75 d) 15 e) 21

61. Hallar sabiendo que el quinto término del

cociente notable:

es :

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

62. Sabiendo que uno de los términos del desarrollo

notable de : es: .Hallar:

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

Prof.: Carlos Niño Mendozanilac6383@hotmail.com

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