code festival 予選b 解説

CODE FESTIVAL 2014 予選B解説

AtCoder株式会社代表取締役

高橋直大

2014/10/26 1

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A問題あるピアニスト

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A問題

• 問題概要

– 2つの整数A,Bが与えられる。

– 大きい方を出力してください。

• 解説

– 比較演算子とif文を使って場合分けする

– 諸言語で予め実装されているmax関数等を使う

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B問題歩く人

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B問題問題概要

• 要素数Nの数列Aが与えられる。

• A[ 1]～A[i]の総和がKを超える最小のiを求めよ。

• 制約

– 1 ≦ N ≦ 100,000

– 1 ≦ A[i] ≦ 100,000

– 1 ≦ K ≦ 1,000,000,000

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B問題アルゴリズム

• 毎日、その日までに累計で何歩歩いたか求める。

– 累計歩数を保存しておく別の変数を用意してそれに次々A[i]を足していけば良い。

• 各日について累計K歩を達成できたか求める。

– 簡単なif文

• 初めて累計K歩を達成した日を出力すれば良い。

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C問題錬金術士

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C問題問題概要

• 2N( Nは整数) 文字の文字列S1, S2,S3がある

• S1の半分とS2の半分を取ってきて並び替えることでS3が構成可能か判断せよ。

• 制約

– 2 ≦ 2 N ≦ 100,000

– S1,S2,S3は大文字アルファベットのみから構成される

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C問題アルゴリズム

• 構成する際に並び替えることができるので、S1,S2,S3の文字列の順番は答えに影響しない

– 各アルファベットを何個ずつ含むかだけが必要

• まずはN文字ずつ取り出すという制約を無視する

– 取り出し方をアルファベットごとに独立して考えることが出来る

– 例えば「'A'をS1から何個取り出すか」と「'B'をS1から何個取り出すか」は全く影響しあわない

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• 各アルファベットについてS1から取り出すことが出来る文字数の範囲を求める

• S1から取り出す文字数が少なすぎると、S2から取り出す文字数にかかわらず、S3を構成するのに足りなくなる

– 例：S1='AABB' S2='AAAB' S3='ABBB'のときS1から' B 'を1つしか取り出さないとすると、S３を構成できなくなる

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• S1から取り出す文字数が多すぎると、S2から取り出す文字数にかかわらず、S3を構成するのに余ってしまう

– 例：S1=‘AAAB’ S2=‘AABB’ S3=‘ABBB’のときS1から‘ A’を3つも取り出すとすると、S３を構成するのに余ってしまう

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• あるアルファベットがS1,S2,S3にそれぞれC1,C2,C3文字ずつ含まれていたとすると、S1から取り出すこ

とが出来る文字数の範囲は

– max(0, C3-C2) ～ min(C1, C3)

– この間の値は全てとれる

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• 各アルファベットについてこの範囲をもとめて、うまく総和がN/2にすることが出来るか判断すれば良い

• できるだけ少なくS1から取り出した時の文字数と、できるだけ多くS1から取り出した時の文字数の間にN/２があるかどうか判断する。

– それぞれさきほどの max(0,. C3-C2) ～ min(C1, C3) の総和を取れば求めることが出来る

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D問題登山家

1. 問題概要

2. アルゴリズム

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D問題問題概要

• 要素数Nの数列Aが与えられる。

• 各i( 1≦i≦N)に対してiとjの間の全てのk( jも含む)についてA[k]≦ A[ i]であるようなjの個数を求めよ。

• 制約

– 1≦N≦ 100,000

– 1≦A[i]≦100,000

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D問題アルゴリズム

• 図示

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• 山小屋iから見える範囲

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• これはiを含むある区間である

• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる

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• 両端をどう求めるか？

– 全探索

– DP

– stackをつかう

– 二分探索

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– 全探索

– DP


– 二分探索

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• 山小屋iがそれより東の山小屋をどこまで見ることが出来るかを求める

– 山小屋iから東向きに順番に調べていき、初めて見えなくなった山小屋の一つ前まで見える

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• 例

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• OK

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• OK

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• OK

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• NG

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• 3つまで見える

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• 西側についても同様に求めて最後に足し合わせる

• 各iについてO(N)かかる

– 合計でO(N^2)

– 部分点(30点)が得られる

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– 全探索

– DP


– 二分探索

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• dp[i] = 山小屋iの東側で見えない山小屋の中で最も西にあるもの

• 先ほどの例でNGにあたる山小屋

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• NG

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• 東から順番にdp[i]の値を埋めていく

• dp[i] = i+1

• h[dp[i]] > h[i]になるまでdp[i] = dp[dp[i]]という代入をしつづける

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• 例

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• 一番東に無限に高いhをもつ番兵をつくると実装しやすい

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• dp[i] = i+1から開始

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• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する

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• dp[i] =i +1から開始

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• dp[i] = dp[dp[i]]という操作を最悪でO(N)回するので総計算量はO(N^2)？

– 実はO(N)

• dp[i] = dp[dp[i]]という操作（先ほどの例では黒い矢印をたどること）は各矢印についてたかだか1回しか行われない

– 矢印はO(N)個しかないので総計算量はO(N)

• 満点が得られる

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• dp[i] = dp[dp[i]]という操作を最悪でO(N)回するので総計算量はO(N^2)？

– 実はO(N)

• dp[i] = dp[dp[i]]という操作（先ほどの例では黒い矢印をたどること）は各矢印についてたかだか1回しか行われない

– 矢印はO(N)個しかないので総計算量はO(N)

• 満点が得られる

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– 全探索

– DP


– 二分探索

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• stackを用意する

• 東から順番に

– h[i] が h[ stackの先頭]より大きい限りstackの先頭をpopし続ける

– dp[ i] = stackの先頭

– iをstackの先頭にpushする

• というふうにやると先ほどと同じdp[i]が得られる

• 実質やっていることはDP解と同じ

– こちらのほうがO(N)であることがわかりやすい

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– 全探索

– DP


– 二分探索

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• iについて、h[i]より高い山小屋の位置が全てわかっていれば、二分探索(Successor)で見える範囲の両端を求めることが出来る

• 高い順に山小屋を追加していき、毎回二分探索すれば良い

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• 例

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• h[i]が大きい順にiをset等のデータ構造に追加していく

• 追加する前にiのupper_boundとその前を調べる

• 高さが同じ山小屋が複数あるときは、すべてについて二分探索をした後にsetに追加する

• 総計算量は

– O(NlogN)

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• この解法を思いつく人が一番多いと予想される

• しかし、挿入と探索が効率的にできるデータ構造を実装するのはコンテスト時間内では慣れていないと難しい

– set等が予め用意されていない言語だと、この解法は実装しづらい

– そういう時は先程のDPやstackを使った解法を実装すれば良い

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