第二章 逻辑代数基础

内容提要

本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。

本章的内容本章的内容本章的内容本章的内容

2.1 概述

2.2 逻辑代数中的三种基本运算

2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式

2.4 逻辑代数的基本定理

2.5 逻辑函数及其表示方法

2.6 逻辑函数的化简方法

2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简

2.1 2.1 2.1 2.1 概述概述概述概述

1位二进制数码“0”和“1”:

2.1.1 二值逻辑和逻辑运算

表示数量的大、小

如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭，以及好和坏、真和伪、有和无等。

表示事物的两种不同的逻辑状态

这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。二值逻辑。

2.1 2.1 2.1 2.1 概述概述概述概述

当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为

逻辑运算逻辑运算。

2.1.1 二值逻辑和逻辑运算

基本的三种逻辑运算为：

“与”、“或”、“非”

数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。

2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具

2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具

逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（George Boole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。

注意：注意：注意：注意：1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。

2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。

2.2 2.2 2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算

在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。

1. 与运算

与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。

AA BB

Y

设开关闭合用设开关闭合用设开关闭合用设开关闭合用““““1111””””表示，断开用表示，断开用表示，断开用表示，断开用““““0000””””表示表示表示表示 ；灯亮用；灯亮用；灯亮用；灯亮用““““1111””””表示，表示，表示，表示，灯灭用灯灭用灯灭用灯灭用““““0000””””表示（逻辑赋值），则可得到表表示（逻辑赋值），则可得到表表示（逻辑赋值），则可得到表表示（逻辑赋值），则可得到表2.2.12.2.12.2.12.2.1所示的输入输出所示的输入输出所示的输入输出所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表的逻辑关系，称为真值表的逻辑关系，称为真值表的逻辑关系，称为真值表 。。。。

表2.2.1 2.2.1 2.2.1 2.2.1 与逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 1

0

0

0

输出输入

这种与逻辑可以写成下面的表达式：

BAY ⋅=称为“与”逻辑式，这种运算称为“与”运算

“有0出0，全1为1”

AA BB

Y

＆A

BY

图2.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 与门逻辑符号

AB

Y

也可以用图也可以用图也可以用图也可以用图2.2.22.2.22.2.22.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，号，号，号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。实现与逻辑运算的门电路称为与门。实现与逻辑运算的门电路称为与门。实现与逻辑运算的门电路称为与门。

若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为

nAAAY ⋯21=

2. 或运算

或运算也叫逻辑加或逻辑或。

即当其中一个条件满足时，事件就会发生。

如图如图如图如图2.2.32.2.32.2.32.2.3所示所示所示所示，只要开关，只要开关，只要开关，只要开关AAAA、、、、BBBB有一个闭合时灯就会亮。有一个闭合时灯就会亮。有一个闭合时灯就会亮。有一个闭合时灯就会亮。

BBBB

YYYY

AAAA

“有1出1，全0为0”

其逻辑式为

表2.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 或逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 1

1

1

0

输出输入

上式说明：当逻辑变量A、B有一个为1时，逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0，Y才为0。

BAY +=

实现或逻辑运算的门电路称为或门。实现或逻辑运算的门电路称为或门。实现或逻辑运算的门电路称为或门。实现或逻辑运算的门电路称为或门。

A

BY

图2.2.4 2.2.4 2.2.4 2.2.4 或门逻辑符号

1≥ AB

Y

若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为

nAAAY +++= ⋯21

3. 非逻辑运算

条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反。

例例例例

AAAAYYYY

RRRR

非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为

用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.3所示

表2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 非逻辑真值表

A Y

0

1

1

0

AY ′=注：上式也可写成 等或 AYAY ~==

其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图2.2.62.2.62.2.62.2.6所示，所示，所示，所示，实现非逻辑运算实现非逻辑运算实现非逻辑运算实现非逻辑运算的门电路称为非门的门电路称为非门的门电路称为非门的门电路称为非门

A Y

图2.2.6 2.2.6 2.2.6 2.2.6 非门逻辑符号

1 A Y

4. 与非（NAND）逻辑运算

与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：

)( ′= ABY表2.2.4 2.2.4 2.2.4 2.2.4 与非逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 0

1

1

1

输出输入

““““有有有有0000出出出出1111，全，全，全，全1111为为为为0000””””

＆A

BY

图2.2.7 2.2.7 2.2.7 2.2.7 与非门逻辑符号

AB

Y

5. 或非（NOR）运算

或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为：

)( ′+= BAY有有有有““““1111””””出出出出““““0000””””全全全全““““0000””””出出出出““““1111””””

表2.2.5 2.2.5 2.2.5 2.2.5 或非逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 0

0

0

1

输出输入

A

BY

图2.2.8 2.2.8 2.2.8 2.2.8 或门逻辑符号

1≥ AB

Y

是“先与后或再非”三种运算的

组合。以四变量为例，逻辑

表达式为：

)( ′+= CDABY

6666. . . . 与或非运算与或非运算与或非运算与或非运算

图 2.2.9 2.2.9 2.2.9 2.2.9 与或非门逻辑符号

AB

Y

CD

AB

Y1≥

CD

＆

BABABAY ′+′=⊕=

其布尔表达式（逻辑函数式）为

7. 7. 7. 7. 异或运算异或运算异或运算异或运算

表2.2.6 2.2.6 2.2.6 2.2.6 异或逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 0

1

1

0

输出输入

图2.2.10 2.2.10 2.2.10 2.2.10 异或门逻辑符号

AB

YA

BY

=1

符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”。

其真值表如表2.2.6所示

异或运算的性质异或运算的性质异或运算的性质异或运算的性质

AAAAAAAA=⊕=⊕

=⊕=⊕

0101

1. 交换律： ABBA ⊕=⊕

2. 结合律： CBACBA ⊕⊕=⊕⊕ )()(

ACABCBA ⊕=⊕ )(3.分配律：

推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为“0”；若奇数个变量取1时，则函数为1.

4.与常数异或

BAABBABAY ′′+=′⊕== )(⊙

8. 8. 8. 8. 同或运算同或运算同或运算同或运算

其布尔表达式为

表2.2.7 2.2.7 2.2.7 2.2.7 同或逻辑真值表

A B Y

0 0

0

0

1

1

1 1 1

0

0

1

输出输入

A

BY

图2.2.11 2.2.11 2.2.11 2.2.11 同或门逻辑符号

=AB

Y

符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0” 。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，

其真值表如表2.2.7所示

其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示

常用逻辑门电路符号图

2.3 2.3 2.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式

表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式

表2.3.1 逻辑代数的基本公式

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

公 式

00 =⋅ AAA =⋅1

AAA =⋅0=′⋅ AAABBA ⋅=⋅

CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ )()(CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(

BABA ′+′=′⋅ )(AA =′′)(

序号

10

11

12

13

14

15

16

17

18

公 式

AA =+0AAA =+

1=′+ AA

ABBA +=+CBACBA ++=++ )()(

)()( CABACBA +⋅+=⋅+BABA ′⋅′=′+ )(

1001 =′=′

11 =+ A

返回A

返回B

A · 0 = 0 A + 0 = A

A · 1 = A A + 1 = 1

2. 交换律、结合律、分配律

a. 交换律： AB= BA A + B=B + A

b. 结合律：A（BC） =（ AB）C

A +（ B ＋C）= （A＋B） + C

c. 分配律：A( B + C) = AB + AC

A + BC = (A + B)(A + C)

1.1.1.1.关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理

说明：由表中可以看出

链接A

a. 互补律：

b. 重叠律：

c. 还原律：

d. 吸收律：

e. 摩根定律：

3.3.3.3.逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理

链接B

(A · B)'= A' + B'

(A + B)' = A' · B'

( A')' = A

A · A' = 0 A + A' = 1

A · A = A A + A = A

A + A B = A

A (A+B) = A

A + A' B = A + B

例：用真值表证明摩根定律 BBBB AAAABBBBAAAA 　====++++

BA+ )'( BA + 'A 'B ''BABA

∴(A+B)'=A'·B'

证明证明证明证明::::

0 00 00 00 0

0 10 10 10 1

1111 0 0 0 0

1 11 11 11 1

0000

1111

1111

1111

1111

0000

0000

0000

1111

1111

0000

0000

1111

0000

1111

0000

1111

0000

0000

0000

2.3.2 2.3.2 2.3.2 2.3.2 若干常用公式若干常用公式若干常用公式若干常用公式

表2.3.2为常用的一些公式

序号

21

22

23

24

25

26

公 式

ABABA =′⋅+⋅ABAA =+ )(

CABABCCABA ⋅′+⋅=+⋅′+⋅

ABAABABAA ′=′⋅⋅′′⋅=′⋅⋅ )()(

ABAA =⋅+BABAA +=′+

CABABCDCABA ⋅′+⋅=+⋅′+⋅

表2.3.2 常用公式

说明：说明：说明：说明：21. A＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；

22. A+A′B = A ( 1 + B ) + A'B = A + AB + A'B = A + ( A + A' ) B = A + B：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则该取反因子多余，从该项中删除；

23. AB + A B′ ＝A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；

24. A（A＋B）＝A+AB=A(1+B)=A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉；

22225.AB5.AB5.AB5.AB＋＋＋＋A A A A ′′′′ C C C C＋＋＋＋BC BC BC BC ＝＝＝＝ABABABAB＋＋＋＋A A A A ′′′′ C C C C＋＋＋＋BC BC BC BC ( A + A') =( A + A') =( A + A') =( A + A') = AB(1+C)+A'C(1+B)=AB(1+C)+A'C(1+B)=AB(1+C)+A'C(1+B)=AB(1+C)+A'C(1+B)=ABABABAB＋＋＋＋A A A A ′′′′ C C C C 在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉删掉删掉删掉((((冗余律冗余律冗余律冗余律))))；；；； 公式公式公式公式ABABABAB＋＋＋＋A A A A ′′′′ C C C C＋＋＋＋BCD BCD BCD BCD ＝＝＝＝ ABABABAB＋＋＋＋A A A A ′′′′ C C C C 的原理和上述相的原理和上述相的原理和上述相的原理和上述相

同同同同；；；；为什么？为什么？为什么？为什么？26. A（A · B）′ ＝ A ( A' + B' ) = A B ′ 如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；

A ′ （A · B）′ ＝ A'(A' + B' ) = A' + A'B' = A ′ 当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项。

2.4 2.4 2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理

内容：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现 A的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。

利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式。

证明：方程的左边有A的地方代入G得：

B[(A+D)+C] ＝B(A+D)+BC＝BA+BD+BC

方程的右边有A的地方代入G得：

B(A+D)+BC＝BA+BD+BC

故 B[(A+D)+C] ＝ B(A+D)+BC

例例例例2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 若若若若B(AB(AB(AB(A++++C)C)C)C)＝＝＝＝BABABABA++++BCBCBCBC，现将所有出现，现将所有出现，现将所有出现，现将所有出现AAAA的地方的地方的地方的地方都代入函数都代入函数都代入函数都代入函数GGGG＝＝＝＝AAAA++++DDDD，则证明等式仍成立，则证明等式仍成立，则证明等式仍成立，则证明等式仍成立

证明：设G＝BC

BAAB ′+′=′)(代入公式左右的B中

CBABCAGAABCAG

′+′+′=

′+′=′+′=′=′= )()(）（左

CBACBACBA ′⋅′⋅′=′+⋅′=′++ )()(

同理设G＝B＋C代入式子左右的B

例例例例2.4.2 2.4.2 2.4.2 2.4.2 试用代入试用代入试用代入试用代入定理定理定理定理证明摩根定律适用证明摩根定律适用证明摩根定律适用证明摩根定律适用于于于于多变量多变量多变量多变量的情况的情况的情况的情况。。。。

可得

CBABCAGA ′+′+′=′+′=′+′= )(右

故： CBAABC ′+′+′=′)(

可得

2.4.2.4.2.4.2.4.2 2 2 2 反演定理

注意：

1. 变换中必须保持括号、乘、加的先后次序； 2. 不属于单个变量上的非号处理办法：

对于任意一个逻辑式Y，做如下处理：

①运算符“.”与“+”互换,“⊙”与“⊕⊕⊕⊕”互换；

②常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；

③原变量换成反变量，反变量换成原变量。

那么得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式Y''''。 F

非号保留，而非号下面的函数式按反演定理变换；

将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。

解：由反演定理

DCBDACADCBCCBDACA

DCCBAY

′′′+′′+′=

′′′+′′+′′+′=

′+′′+′=′ ))((

或直接求反

DCBDACADCBCCBDACA

DCCBADCCBA

DCCBADCCBAY

′′′+′′+′=

′′′+′′+′′+′=

′+⋅′′+′=

′+⋅′++′=

′′⋅′+=′′++=′

)()()(])([

)(])([])([

例例例例2.4.3 2.4.3 2.4.3 2.4.3 已知已知已知已知YYYY＝＝＝＝AAAA（（（（BBBB＋＋＋＋C C C C ）＋）＋）＋）＋CCCC ′′′′DDDD ，求，求，求，求YYYY ′′′′

解：由反演定理解：由反演定理解：由反演定理解：由反演定理

例2.4.4 若 Y＝[（A ′ B） ′ ＋C＋D] ′ +C，求反函数

DCCBCADCCCCBCACDCBA

CDCBACDCBAY

′+′′+′=′+′+′′+′=

′⋅++′+=

′⋅′′+′′+′′′+=

′⋅′′⋅′⋅′′+=′

)())()(])([(

])[(

或直接求反得

DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBA

CDCBACDCBAY

′+′′+′=′+′+′′+′=

′⋅++′+=′⋅++′′=

′⋅′′++′′=′+′++′′=′

)(])[(}]){[(}]){[(

求逻辑函数F的反函数 )''(]')'([ YXDCBAF ++++=

解

YXDCBAF ⋅+= ]')'''(''['

课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习

1）根据反演规则

YXDCBAF ⋅++++= )'('

2）将[ ]内的项作为整体

YXDCBAF ⋅++= )]'(''['3）将（C+D)'作为一个变量

2.4.3.3.3.3.对偶定理定理定理定理

对偶式

设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成“·”， “·”换成“+” ，“1” 换成“0”， “0” 换成“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。

如：

CBAYCBAY D ′+=′+= )()0(')1)(( +⋅+⋅=⋅+′+= CABAYCABAY D

])([])([ ′′′+⋅′=′′′+′= CBAYCBAY D

对偶对偶对偶对偶定理定理定理定理如果两个如果两个如果两个如果两个逻辑逻辑逻辑逻辑函数函数函数函数YYYY和和和和GGGG相等，则其对偶式相等，则其对偶式相等，则其对偶式相等，则其对偶式YYYYDDDD

和和和和GGGGDDDD也必然相等，也必然相等，也必然相等，也必然相等，反之一样反之一样反之一样反之一样。。。。

例1.1.5 试利用对偶定理，证明分配律： A＋BC=(A+B)(A+C)成立。

证明：设Y＝ A＋BC，G＝ (A+B)(A+C)，则对偶式分别为

YD=A(B+C)=AB+AC

GD=AB+AC

故Y＝G，即A + BC = ( A+B )( A+C )

由于： YD=GD

证明：设 BAGBAAY +=′+=则它们的对偶式为

ABGABABAABAAY DD ==+′⋅=+′⋅= )(

由于 DD GY =

故Y＝G，即

BABAA +=′+

例例例例1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 试利用对偶试利用对偶试利用对偶试利用对偶定理，定理，定理，定理，证明吸收律证明吸收律证明吸收律证明吸收律AAAA＋＋＋＋AAAA′′′′BBBB＝＝＝＝AAAA＋＋＋＋BBBB 成立成立成立成立。。。。

2.5 2.5 2.5 2.5 逻辑函数逻辑函数逻辑函数逻辑函数及其表示方法及其表示方法及其表示方法及其表示方法

),( 21 nAAAFY ⋯=

其中：A1, A2 …An称为n个输入逻辑变量，取值只能是“0” 或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是“0”或是“1”。

则F称为n变量的逻辑函数。

在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即

如 Y＝A（B ′+C），表示输出等于变量B取反和变量C的或，再和变量A相与。

2.5.1 逻辑函数

一 、逻辑真值表

2.5.22.5.22.5.22.5.2逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法 逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下：

如表2.5.1表示的异或逻辑关系的函数，即

YBA

011

101

110

000

输出输入

表2.5.1

Y＝A ′B ＋AB ′

二二二二 、逻辑函数式、逻辑函数式、逻辑函数式、逻辑函数式 按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代数式。与普通函数式不同的是，逻辑函数式中的输入输出变量都是二值逻辑变量。

如异或关系的逻辑函数可写成

Y＝A ′B ＋AB ′

三、 逻辑图法 采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。

图2.5.1表示的是异或关系的逻辑图

A

BY

=1

图2.5.1

四四四四、、、、波形图法波形图法波形图法波形图法 一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。

如图2.5.2表示异或逻辑关系的波形。

五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换

在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑函数方法的转换。

1. 真值表与逻辑函数式的相互转换

通过下面的例子得出由真值表写出逻辑函数的方法

（1）由真值表写逻辑函数式

解：逻辑式为解：逻辑式为解：逻辑式为解：逻辑式为

CBACBACBA

CBABACABBAABCCBACBACBAY

⊕⊕=

′⋅⊕+⋅′⊕=

′′+′++′′=+′′+′′+′′=

)()()(

)()(1

ABCBAABCBABA

ABCCABCBABCAY

+⊕=+′+′=

+′+′+′=

)()(

2

如何得到上述逻辑表达式的？

输入 输出

A B C Y1

00001111

00110011

01010101

01101001

表2.5.2输出

Y2

00010111

例2.5.1 某逻辑函数的真值表如表2.5.2所示，写出逻辑函数式

②对应每个输出为对应每个输出为对应每个输出为对应每个输出为““““1111””””变量组合关系为与的关系，即乘变量组合关系为与的关系，即乘变量组合关系为与的关系，即乘变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为积项，其中如图输入变量取值为积项，其中如图输入变量取值为积项，其中如图输入变量取值为““““1 1 1 1 ””””的写成原变量，输的写成原变量，输的写成原变量，输的写成原变量，输入变量取值为入变量取值为入变量取值为入变量取值为““““0000””””的写成反变量，如的写成反变量，如的写成反变量，如的写成反变量，如A A A A ′′′′BBBB ′′′′CCCC、、、、A'BC'...A'BC'...A'BC'...A'BC'...③将这些乘积项相加，即得到上页输出的逻辑式。

①找出真值表中使逻辑函数为“1”的输入变量的组合；

输入 输出

A B C Y1

00001111

00110011

01010101

01101001

输出

Y2

00010111

例例例例2.5.2 2.5.2 2.5.2 2.5.2 已知真值表如表已知真值表如表已知真值表如表已知真值表如表2.5.32.5.32.5.32.5.3所示，试写出输出的逻辑所示，试写出输出的逻辑所示，试写出输出的逻辑所示，试写出输出的逻辑函数函数函数函数

输入 输出

A B C Y00001111

00110011

01010101

10010110

表2.5.3解：其输出的逻辑函数为

CABCBABCACBAY ′+′+′+′′′=

（（（（2222）由逻辑函数式写出真值表）由逻辑函数式写出真值表）由逻辑函数式写出真值表）由逻辑函数式写出真值表 将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得到输出值，并以表的形式表示出来。

例2.5.3 写出逻辑函数Y＝AB ′＋C ′的真值表

解：其真值表如表2.5.4所示。输入 输出

A B C Y00001111

00110011

01010101

10111110

表2.5.4

2.2.2.2.逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换（1）由逻辑函数式画出逻辑图

用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得到所求的逻辑图

例2.5.4 画出逻辑函数Y＝[（AB+C ′） ′＋（ AC ′） ′＋B] ′的逻辑电路

解：其实现电路如图2.5.3所示

≥1

＆AB

C

≥1

1

＆Y

图2.5.3 例2.5.4的电路

＆

1≥＆1

A

B

C

Y

图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路

＆

CA′

（（（（2222）由逻辑图写出逻辑函数式）由逻辑图写出逻辑函数式）由逻辑图写出逻辑函数式）由逻辑图写出逻辑函数式 已知逻辑图，根据逻辑门的输入输出关系，写出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函数式

例2.5.5 已知逻辑电路如图2.5.4，试写出输出端的逻辑函数式，并写出真值表

AB

A′

BC

解：输出的逻辑式为

BCCAABY +′+=

由逻辑式写出真值表，如表由逻辑式写出真值表，如表由逻辑式写出真值表，如表由逻辑式写出真值表，如表2.5.52.5.52.5.52.5.5所示所示所示所示

输入 输出

A B C Y00001111

00110011

01010101

01010011

表2.5.5BCCAABY +′+=

例例例例2.5.6 2.5.6 2.5.6 2.5.6 设计一个逻辑电路，当三个输入设计一个逻辑电路，当三个输入设计一个逻辑电路，当三个输入设计一个逻辑电路，当三个输入AAAA、、、、BBBB、、、、CCCC至至至至少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图。。。。

解：由逻辑要求写出真值表，如表2.5.6所示

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

11101000

表2.5.6

CBCABABACBABAACBACBACABACBACBACBACBBACBACBABA

CBACBACCBACBACBACBACBAY

′′+′′+′′=

′+′′+′′=

′+′′+′′=

′′+′′+′′=

′′+′+′′=

′′+′+′′=

′′+′′+′′=

′′+′′++′′′=

′′+′′+′′+′′′=

)()(

)()(

)(

由真值表写出逻辑式为由真值表写出逻辑式为由真值表写出逻辑式为由真值表写出逻辑式为

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

11101000

表2.5.6

其实现的逻辑图如图其实现的逻辑图如图其实现的逻辑图如图其实现的逻辑图如图2.5.52.5.52.5.52.5.5所示所示所示所示

1

1

1

＆

＆

＆

A

B

C

1≥Y

图2.5.5 例2.5.6的逻辑电路

3.3.3.3.波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换（1）由波形图得到真值表

根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值

例2.5.7 已知逻辑函数Y的输出波形如图2.5.6所示，试分析其逻辑功能。

AAAA

BBBBtttt

tttt

OOOO

OOOOYYYY

ttttOOOO图2.5.6 例2.5.7的波形

解：由所给的波形写出输入输出的真值表，如表2.5.7所示

由真值表可知，当输入变量由真值表可知，当输入变量由真值表可知，当输入变量由真值表可知，当输入变量AAAA、、、、BBBB取值相同时，输出取值相同时，输出取值相同时，输出取值相同时，输出YYYY＝＝＝＝1111；；；； AAAA、、、、BBBB取值不同时，输出取值不同时，输出取值不同时，输出取值不同时，输出YYYY＝＝＝＝0000。故输出和输。故输出和输。故输出和输。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为入是同或关系。其逻辑函数式为入是同或关系。其逻辑函数式为入是同或关系。其逻辑函数式为

AAAA

BBBBtttt

tttt

OOOO

OOOOYYYY

ttttOOOO图2.5.6 例2.5.7的波形

YBA

111

001

010

100

输出输入

表2.5.7

ABBAY +′′=

例例例例2.5.8 2.5.8 2.5.8 2.5.8 已知图已知图已知图已知图2.5. 72.5. 72.5. 72.5. 7所示是某个数字逻辑电路的输入所示是某个数字逻辑电路的输入所示是某个数字逻辑电路的输入所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑功能功能功能功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示

AAAA

BBBB

CCCC

YYYY

tttt

tttt

tttt

tttt

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO图2.5.7 例2.5.8的波形

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

01101001

表2.5.8

由真值表写出输出的逻辑式由真值表写出输出的逻辑式由真值表写出输出的逻辑式由真值表写出输出的逻辑式

CBACBACBA

BCCBACBCBAABCCBACBACBAY

⊕⊕=

′⊕+⊕′=+′′+′+′′=+′′+′′+′′=

)()()()(

由真值表可知，当输出有奇数个“1”时，输入为“1”。故此电路为“判奇电路”，其逻辑图如图2.5.8所示

=1 =1

图2.5.8

AAAA

BBBB

CCCC

YYYY

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

01101001

表2.5.8

（（（（2222）由真值表画出波形图）由真值表画出波形图）由真值表画出波形图）由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。

例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

11001000

表2.5.9解：由真值表画出输入输出波形如图2.5.9所示

AAAA

BBBB

CCCC

YYYY

tttt

tttt

tttt

tttt

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

图2.5.9 例2.5.9的波形

输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为

CBACBACBAY

′′+′′+′′′=

输入 输出

A B C Y

00001111

00110011

01010101

11001000

表2.5.9

课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习

1. 1. 1. 1. 逻辑式为Y=AB+A'B'Y=AB+A'B'Y=AB+A'B'Y=AB+A'B'，试给出逻辑真值表。2. 2. 2. 2. 逻辑真值表如下表所示，试写出其逻辑表达式。

课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习

3. 3. 3. 3. 逻辑图如下所示，试给出其逻辑函数图如下所示，试给出其逻辑函数图如下所示，试给出其逻辑函数图如下所示，试给出其逻辑函数。

A

B

C

1

&

&

&

≥1Y

课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习

4. 4. 4. 4. 逻辑表达式为Y=ABC+A'BC+AB'CY=ABC+A'BC+AB'CY=ABC+A'BC+AB'CY=ABC+A'BC+AB'C，试绘出其逻辑图。如果用与非门实现该逻辑功能，请推导其逻辑函数式。

2.5.3 2.5.3 2.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准形式形式形式形式

一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表达式表示，或可以化为标准形式。

标准形式有两种：

标准与或式——“最小项之和”

标准或与式——“最大项之积”

2.5.3 2.5.3 2.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准逻辑函数的两种标准形式形式形式形式

1.最小项

a. 定义: 在n变量（A1~An）逻辑函数中，若 m 是由所有这n个变量组成的乘积项（与项），且m中包含的每一个变量都以原变量（A i ）或反变量（A ′i ）的形式出现一次且仅一次，则称m 是n变量的最小项。

2.其编号以原变量出现时对应的值为“1”，以反变量出现时对应的值取“0”，按二进制排列时，其十进制数为i 。如下页例。

一、最小项和最大项

注：1.n个变量构成的最小项有2n个，通常用 mi 表示第i 个最小项，变量按A1~ An排列。

表表表表2.5.102.5.102.5.102.5.10、表、表、表、表2.5.112.5.112.5.112.5.11、表、表、表、表2.5.122.5.122.5.122.5.12分别为二变量、三变分别为二变量、三变分别为二变量、三变分别为二变量、三变量和四变量的最小项量和四变量的最小项量和四变量的最小项量和四变量的最小项

A B miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0mCBA ′′′

)( 1mCBA ′′

)( 2mCBA ′′

)( 3mBCA′

表2.5.11 三变量

C

0

0

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

)( 4mCBA ′′

)( 5mCBA ′

)( 6mCAB ′

)( 7mABC

十进制数

0

1

2

3

4

5

6

7

A B miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0mBA ′′

)( 1mBA′

)( 2mBA ′

)( 3mAB

表2.5.10 二变量

十进制数

0

1

2

3

A B miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0mDCBA ′′′′

)( 1mDCBA ′′′

)( 2mDCBA ′′′

)( 3mCDBA ′′

表2.5.12 四变量

C

0

0

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

)( 4mDCBA ′′′

)( 5mDCBA ′′

)( 6mDBCA ′′

)( 7mBCDA′

A B miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 8mDCBA ′′′

)( 9mDCBA ′′

)( 10mDCBA ′′

)( 11mCDBA ′

C

0

0

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

)( 12mDCAB ′′

)( 13mDCAB ′

)( 14mDABC ′

)( 15mABCD

D

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

D

b. b. b. b. 最小项的性质最小项的性质最小项的性质最小项的性质

A B miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0mBA ′′

)( 1mBA′

)( 2mBA ′

)( 3mAB

表2.5.10 二变量

十进制数

0

1

2

3

①对于任一个最小项，仅有一组变量取值使它的值为“1”，而其它取值均使它为“0”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最小项的值为“1”。

②n变量组成的全体最小项之逻辑和为“1”。即

112

0=∑

−

=

n

iim

b. b. b. b. 最小项的性质最小项的性质最小项的性质最小项的性质③任意两个最小项之积为“0”。

④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。

关于相邻性的定义：若两个最小项中只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。

如，ABC与A'BC、AB'C、ABC'具有相邻性。

2.2.2.2.最大项最大项最大项最大项a. 定义：在n变量（A1~An）逻辑函数中，若M是n个变量之和（或），且M中包含的每一个变量都以原变量（Ai）或反变量（A ′i ）的形式出现一次且仅一次，则M是n变量的最大项。

注：注：1.1. n个变量构成的最大项有2n个，通常用Mi表示第i个最大项，变量按A1~ An排列。

2.以原变量出现时对应的值为“0”，以反变量出现时对应的值取“1”，按二进制排列时，其十进制数为i 。

A B M iiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0MCBA ++

)( 1MCBA ′++

)( 2MCBA +′+

)( 3MCBA ′+′+

表2.5.14 三变量

C

0

0

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

)( 4MCBA ++′

)( 5MCBA ′++′

)( 6MCBA +′+′

)( 7MCBA ′+′+′

十进制数

0

1

2

3

4

5

6

7

表表表表2.5.132.5.132.5.132.5.13、表、表、表、表2.5.142.5.142.5.142.5.14分别为二变量、三变量的最大分别为二变量、三变量的最大分别为二变量、三变量的最大分别为二变量、三变量的最大项，四变量最大项项，四变量最大项项，四变量最大项项，四变量最大项可按同样方式写出。可按同样方式写出。可按同样方式写出。可按同样方式写出。

A B Miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0MBA+

)( 1MBA ′+

)( 2MBA +′

)( 3MBA ′+′

表2.5.13 二变量

十进制数

0

1

2

3

b. b. b. b. 最大项的性质最大项的性质最大项的性质最大项的性质

A B Miiii

0 0

0 1

01

1 1

)( 0MBA+

)( 1MBA ′+

)( 2MBA +′

)( 3MBA ′+′

表2.5.13 二变量

十进制数

0

1

2

3

①对于任一个最大项，仅有一组变量取值使它的值为“0”，而其它取值均使它为“1”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最大项也仅有一个最大项的值为“0”。

②n变量组成的全体最大项之逻辑积为“0”。即

012

0=∏

−

=

n

iiM

b. b. b. b. 最大项的性质最大项的性质最大项的性质最大项的性质③任意两个最大项之和为“1”。

④只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。

如，（A'+B+C)(A'+B'+C）=A'+C

3、最大项和最小项之间的关系

设有三变量A、B、C的最小项，如m5 ＝AB′C，对其求反得

CABm '5 =

55 '''' MCBACABm =++==由此可知对于n 变量中任意一对最小项 mi 和最大项Mi ，都是互补的，即

iiii mMMm == 或

Mi=m'i

二、二、二、二、 逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和形式形式形式形式标准与或式写法

1.将逻辑函数化为若干乘积项之和的形式；

2.利用基本公式A+A'=1将每个乘积项中缺失的因子补全，使得每个乘积项都成为最小项形式。

如 ABBAmmBAY +′′=+= 30),(

CABCBABCACBACBAmmmmmCBAY

′+′+′+′′+′′′=++++= 65310),,(

DCABDCBABCDACDBADCBADCBAmmmmmmDCBAY

′+′′+′+′′+′′′+′′′′=+++++= 13107310),,,(

例2.5.10 将逻辑函数Y＝A＋B ′C写成标准与或式

解：

∑=++++=

′+′′++′+′+′′=

′+′++′+′=′+=

)7,6,5,4,1(

)())((

17654

mmmmmm

CBACBAABCCABCBACBACBAACCBBACBAY

标准与或式写法

二、二、二、二、 逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和形式形式形式形式

特点：

2.不一定包含所有的最小项，但每一项必须为最小项。

1.式子为乘积和的形式；

三、三、三、三、 逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积形式形式形式形式

如 ))((),( 31 BABAMMBAY ′+′′+=⋅=

))()()()((),,( 75420

CBACBACBACBACBAMMMMMCBAF

′+′+′′++′++′+′+++=⋅⋅⋅⋅=

标准或与式写法

1.利用逻辑代数基本公式和定理，将任何逻辑函数式化成若干多项式相乘的或与形式；

2.利用基本公式AA'=0，或者利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C），将每个多项式中缺少的变量补齐。

例2.5.11 将逻辑函数Y＝AC＋ B ′C写成或与式

解：

∏==

′++′++′′++++=

′++′′++=

′++′++′++′′+′++′+=

′+′++′′+′+=+′′+=+′+=′+=

)6,4,3,2,0(

))()()(())((

))()()()()(())()((

))(())((

40632

632

632

MMMMMMBCABCABCABCAMMM

BBCABBCAMMMACACACBACBCBACBA

AACAACBCCBACCBBACACBACCBACY

三、三、三、三、 逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积逻辑函数的最大项之积形式形式形式形式

1.为和之积的形式；

标准或与形式的特点：

2.逻辑函数不一定包含所有的最大项， 但每一项必须为最大项。

四四四四、标准与或式和或与式之间的关系、标准与或式和或与式之间的关系、标准与或式和或与式之间的关系、标准与或式和或与式之间的关系

∑= imY

若某函数写成最小项之和的形式为

则此函数的反函数必为

)( ikmY k ≠=′ ∑如表2.5.15中

∑=++= )7,6,3(763 immmmY

)5,4,2,1,0(54210

∑=++++=′

kmmmmmmY

A B

0 00 1

01

1 1

表2.5.15 逻辑函数Y的真值表

C

00

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 01 1 1

1

1

1

00

0

0

0

Y

上式上式上式上式可可可可写成写成写成写成

54210

54210 )(mmmmm

mmmmmY′⋅′⋅′⋅′⋅′=

′++++=

利用反演定理可得

∏∏∑≠≠

==≠=ik

kik

kk MmikmY )(

五五五五、逻辑函数标准形式、逻辑函数标准形式、逻辑函数标准形式、逻辑函数标准形式的变换的变换的变换的变换

有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式：

与或式（最小项之和）

或与式（最大项之积）。

1.利用真值表

根据逻辑函数式写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小项和最大项。

标准与或式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“1”的项作为函数的最小项(乘积项）。若输入变量取“1”，则写成原变量；若输入变量取值为“0”，则写成反变量。不同的输出为“1”项构成“和”关系。

标准或与式写法标准或与式写法标准或与式写法标准或与式写法 ：：：：由真值表确定逻辑函数为由真值表确定逻辑函数为由真值表确定逻辑函数为由真值表确定逻辑函数为““““0000””””的项作的项作的项作的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取为函数的最大项（和项）。若输入变量取为函数的最大项（和项）。若输入变量取为函数的最大项（和项）。若输入变量取““““1111””””，则写成，则写成，则写成，则写成反变量；若输入变量取值为反变量；若输入变量取值为反变量；若输入变量取值为反变量；若输入变量取值为““““0000””””，则写成原变量。不同，则写成原变量。不同，则写成原变量。不同，则写成原变量。不同的输出的输出的输出的输出为为为为““““0000””””项构成项构成项构成项构成““““积积积积””””的关系。的关系。的关系。的关系。

CBCAABCBAY ′′+′+=),,(

例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式

A B

0 00 1

01

1 1

表2.5.16 2.5.16 2.5.16 2.5.16 例2.5.122.5.122.5.122.5.12的逻辑函数真值表

C

00

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Y

1

1

1

11

0

1

0

解：其真值表如表2.5.16所示

A B

0 00 1

01

1 1

表2.5.16 2.5.16 2.5.16 2.5.16 例2.5.122.5.122.5.122.5.12的逻辑函数真值表

C

00

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Y

1

1

1

11

0

1

0

ABCCABCBABCACBACBA

mCBAF

+′+

′′+′+′′+′′′=

=∑ )7,6,4,3,1,0(),,(

逻辑函数的标准或与式为

))((

)5,2(),,(

CBACBAMCBAF

′++′+′+=

=∏

则逻辑函数的标准与或则逻辑函数的标准与或则逻辑函数的标准与或则逻辑函数的标准与或式式式式为为为为

标准或与式的写法：在逻辑函数中，先将逻辑函数化为和积式。若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之积这一项，再利用A＝A＋BB ′＝（A＋B）（A＋B ′）使之变换为最大项。

2.2.2.2.利用公式利用公式利用公式利用公式AAAA＋＋＋＋AAAA′′′′＝＝＝＝1111及及及及AAAA····AAAA′′′′＝＝＝＝0000将逻辑函数变换为与或将逻辑函数变换为与或将逻辑函数变换为与或将逻辑函数变换为与或式式式式、、、、或与式或与式或与式或与式。。。。标准与或式写法 ：在逻辑函数中，先将函数化成与或式（不一定是最小项），则在与项中利用公式A＋A′＝1添加所缺的逻辑变量，写成最小项的形式。

例2.5.13 试利用添加项的方法将下面逻辑函数转化成标准与或式

ACCDADCBADCBAY +′+′′=),,,(

解：标准与或式解：标准与或式解：标准与或式解：标准与或式：：：：

∑=++++++=

′′+′+

′++′′+′+′′=

′+′++′+′+′′=+′+′′=

)15,14,11,10,9,7,3(

)()()(),,,(

10141115379

mmmmmmmm

DCBADABCCDBAABCDCDBABCDADCBADDCBBACDBBADCBA

ACCDADCBADCBAY

例2.5.14 试用添加项方法将下面逻辑函数转化成标准或与式

))((),,( CBABACBAY ′+′+′′+=解:

∏==

′+′+′′+′++′+=

′+′+′′⋅+′+=

′+′+′′+=

)7,3,2())()((

))(())((),,(

732 MMMMCBACBACBA

CBACCBACBABACBAY

a. 在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为2n；

b. 由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反函数可以用i个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号与最小项编号相同。

总结总结总结总结

例例例例2222....5555....11115 5 5 5 将下面逻辑函数转化成两种标准将下面逻辑函数转化成两种标准将下面逻辑函数转化成两种标准将下面逻辑函数转化成两种标准形形形形式，并求式，并求式，并求式，并求其反函数其反函数其反函数其反函数

CBACBCACBAY ′++′=),,(解：标准与或式为

∑ ==

+++=′′+′+′++′=

′′++′++′=

′++′=

)7,5,3,1(

)()(),,(

7531

immmmmCBACBACBAABCBCA

CBAACBBABCACBACBCACBAY

标准或与式为

))()()((

)6,4,2,0(

)7,5,3,1(),,(

CBACBACBACBAkM

imCBACBCACBAY

+′+′++′+′+++=

==

==′++′=

∏∑

∏==

′++′++′′+′+′′+′+=

′′⋅′′⋅′⋅′′=

′′′+′++′=

′′++′=′

)7,5,3,1())()()((

)()()()()()(),,(

1573 MMMMMCBACBACBACBA

CBACBAABCBCACBACBAABCBCACBACBCACBAY

反函数为反函数为反函数为反函数为

2.5.4 2.5.4 2.5.4 2.5.4 逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换 除了上述标准与或式、标准或与式，还需要将逻辑函数变换成其它形式。

如给出的是一般与或式，要用与非门实现，需要将其变成与非——与非式。

一、与或式化为与非－与非式——利用反演定理

例2.5.16 将下式Y=AC+BC′用与非门实现，并画出逻辑图。

)')''()'(()')''(( BCACBCACY ⋅=+=

解：用二次求反，将第一级非号用摩根定理拆开，第二级保持不变。

如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，其逻辑电路如图函数，其逻辑电路如图函数，其逻辑电路如图函数，其逻辑电路如图2.5.102.5.102.5.102.5.10所示。所示。所示。所示。

＆

＆

＆

AAAACCCC

BBBBC′

YYYY

图 2.5.10 2.5.10 2.5.10 2.5.10 输入有反变量输入

如果只有原变量输入，另外要用与非门实现反相C ′，其逻辑电路如图2.5.11所示。

＆

＆

＆

AAAACCCC

BBBB

C′

YYYY

图2.5.11 2.5.11 2.5.11 2.5.11 输入只有原变量输入

1

二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式

例2.5.17 将Y=AC+BC ′用与或非门实现，画出逻辑图。

解：先用反演定理求函数Y的反函数Y ′ ，并整理成与或式，再将左边的反号移到等式右边，即两边同时求反。

''''')')(''()('

CBCABACBCACBACY

++=++=′′+=

多余项

二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式

CACBY '''' +=)''''( CACBY +=

这就可用与或门实现。其电路如图2.5.12所示。

＆CCCC

≥1

C′

A′

B′YYYY

图2.5.12 2.5.12 2.5.12 2.5.12 与或非实现逻辑函数

三、将与或式化为或非式三、将与或式化为或非式三、将与或式化为或非式三、将与或式化为或非式

解：先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求Y ′ 。用摩 根定理展开，再求Y，就可得到或非－或非式。

例2.5.18 将下式Y=AC+BC ′用或非门实现。

)''''('

CACBBCACY

+=+=

)''()'())'')((('

CACBCACBY

+++=++=

)')''()'(( CACBY +++=电路实现如图2.5.13所示。

1≥

1≥

1≥BBBB

CCCC

AAAAC′

YYYY

图2.5.13 2.5.13 2.5.13 2.5.13 或非门实现逻辑函数

或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演定理得到或非式定理得到或非式定理得到或非式定理得到或非式

))(())()()((

)4,3,1,0()7,6,5,2('

')()('

CBCACBACBACBACBA

MmBCACABCBAABC

BCAACBBABCACY

+′+=++′′+′+′++++=

==

′+′+′+=

′++′+=+=

∏∑

])()[(])))([(()(

′′′++′+=

′′′++=′′=CBCA

CBCAYY

█

作业作业作业作业

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题2.3

题2.5

题2.7

题2.8

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