弱い相互作用Weak Interaction

大学院講義素粒子実験

2018年12月21日(金)

1

予定・シラバス

• 1回目 10月10日(水)

• 2回目 10月12日(金)

• 3回目 10月19日(金)

• 4回目 10月26日(金)

• 5回目 11月2日(金)

• 6回目 11月9日(金)

• 7回目 11月16日(金)

• 8回目 11月22日(木)

• 9回目 11月30日(金)

• 10回目 12月7日(金)

• 11回目 12月14日(金)

• 12回目 12月21日(金)

• 13回目 1月11日(金)

• 14回目 1月25日(金)

• 15回目 2月1日(金)

織田

川越

2

カイラリティ演算子Chirality operator• 𝛾5 ≡ 𝑖𝛾0𝛾1𝛾2𝛾3 = −𝑖𝛾0𝛾1𝛾2𝛾3 = 𝛾5• カイラル表現 Chiral representation

• 𝛾5 =−𝐼

𝐼

• ディラック表現 Dirac representation

• 𝛾5 =𝐼

𝐼

• マヨラナ表現 Majorana representation

• 𝛾5 =𝜎2

−𝜎2

3

カイラリティ演算子の性質Property of chirality operator• カイラリティ演算子は以下のような性質を持つ。

The chirality operator has the following property:

• 𝛾5 = 𝑖𝛾0𝛾1𝛾2𝛾3 = 𝛾5

• 𝛾5† = 𝛾5

• 𝛾𝜇𝛾5 = −𝛾5𝛾𝜇

• 𝛾5𝛾𝜇 † = 𝛾𝜇𝛾5

• 𝛾5 2 = 𝐼

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Bilinear covariants (双線形共変変数)

• 𝜓: スピノル Spinor

• Consider ത𝜓(4 × 4)𝜓を考える。• 4 × 4: ガンマ行列の積 product of gamma matrices

• ローレンツ変換に対する性質から、以下のように呼ばれる。Based on the property under the Lorentz transformation, the following have names.

• ത𝜓𝜓: スカラー Scalar

• ത𝜓𝛾𝜇𝜓: ベクトル Vector

• ത𝜓𝜎𝜇𝜈𝜓: テンソル Tensor

• 𝜎𝜇𝜈 =𝑖

2𝛾𝜇𝛾𝜈 − 𝛾𝜈𝛾𝜇

• ത𝜓𝛾5𝛾𝜇𝜓: 軸性ベクトル Axial vector

• ത𝜓𝛾5𝜓: 擬スカラー Pseudoscalar

5

左手型、右手型Left-handed, right-handed• 左手型 Left-handed

• カイラリティ演算子𝛾5の固有値が−1。The eigenvalue of the chirality operator 𝛾5 is −1.

• 右手型 Right-handed • カイラリティ演算子𝛾5の固有値が+1。

The eigenvalue of the chirality operator 𝛾5 is +1.

• 質量がゼロの粒子では、カイラリティとヘリシティの固有状態は一致する。In case of a massless particle, the eigenstates of the chirality and the helicity are the same.

6

Ԧ𝑝

Ԧ𝑠

Ԧ𝑝

Ԧ𝑠

右手 Right-handedヘリシティ正Positive helicity

左手 Left-handedヘリシティ負Negative helicity

射影演算子 Projection operators

• スピノルの左手型の部分を抽出する射影演算子𝑃𝐿を以下のように定義する。The projection operator 𝑃𝐿 which extracts the left-handed component of a spinor is defined as follows.

• 𝜓𝐿 ≡ 𝑃𝐿𝜓 =1−𝛾5

2𝜓

• 同様に、スピノルの右手型の部分を抽出する射影演算子𝑃𝑅を以下のように定義する。Similarly, the projection operator 𝑃𝑅 which extracts the right-handed component of a spinor is defined as follows.

• 𝜓𝐿 ≡ 𝑃𝑅𝜓 =1+𝛾5

2𝜓

7

射影演算子 Projection operators

• カイラル表現では以下のようになるので、射影演算子であることがわかりやすい。In the chiral representation, they are as follows and it is easy to see they are projection operators.

• 𝛾5 =−𝐼 00 𝐼

• 𝑃𝐿 =1−𝛾5

2=

𝐼 00 0

• 𝑃𝑅 =1+𝛾5

2=

0 00 𝐼

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射影演算子 Projection operators

• 射影演算子として満たすべき以下のような性質がある。There are the following properties which are satisfied if they projection operators.

• 𝑃𝐿2 = 𝑃𝐿

• 𝑃𝑅2 = 𝑃𝑅

• 𝑃𝐿† = 𝑃𝐿

• 𝑃𝑅† = 𝑃𝑅

• 𝑃𝐿𝑃𝑅 = 𝑃𝑅𝑃𝐿 = 0

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弱い相互作用Weak interaction• 例えば、以下の過程は弱い相互作用によるものである。For example, the following processes are caused by the weak interaction.• 𝜇− → 𝜈𝜇 + 𝑒− + ഥ𝜈𝑒 (ミューオンの崩壊, muon decay)

• 𝑛 → 𝑝 + 𝑒− + ഥ𝜈𝑒 (中性子の𝛽崩壊, neutron 𝛽 decay)

• 𝜋− → 𝜇− + 𝜈𝜇 (荷電パイオンの崩壊, charged pion decay)

• 質量を持つゲージ粒子 (𝑊−, 𝑊+, 𝑍0) が媒介する相互作用。An interaction mediated by gauge bosons (𝑊−, 𝑊+, 𝑍0) with masses.

10

ミューオンの崩壊Muon decay

• 𝜇− 𝑝 → 𝑒− 𝑝′ + ഥ𝜈𝑒 𝑘′ + 𝜈𝜇 𝑘

• −𝑖ℳ =

ത𝑢 𝑘 𝑖𝑔𝑊𝛾𝜇𝑢 𝑝

−𝑖 𝑔𝜇𝜈−𝑞𝜇𝑞𝜈

𝑀𝑊2

𝑞2−𝑀𝑊2 ത𝑢 𝑝′ 𝑖𝑔𝑊𝛾

𝜈𝑣 𝑘′

11

𝜇− 𝑝

𝜈𝜇 𝑘

𝑒− 𝑝′

ഥ𝜈𝑒 𝑘′

𝑊− 𝑞

質量があるスピン1のプロパゲーターPropagator of a massive spin-1 particle

ミューオンの崩壊Muon decay

• 弱い相互作用ではパリティが最大限破れている。Parity is maximally violated in the weak interaction.

−𝑖ℳ = ത𝑢 𝑘 𝑖𝑔𝑊𝛾𝜇

1 − 𝛾5

2𝑢 𝑝

×

−𝑖 𝑔𝜇𝜈 −𝑞𝜇𝑞𝜈𝑀𝑊2

𝑞2 −𝑀𝑊2 × ത𝑢 𝑝′ 𝑖𝑔𝑊𝛾

𝜈1 − 𝛾5

2𝑣 𝑘′

ℳ = −𝑔𝑊2 ത𝑢 𝑘 𝛾𝜇

1 − 𝛾5

2𝑢 𝑝

×

𝑔𝜇𝜈 −𝑞𝜇𝑞𝜈𝑀𝑊2

𝑞2 −𝑀𝑊2 × ത𝑢 𝑝′ 𝛾𝜈

1 − 𝛾5

2𝑣 𝑘′

12

V-A型相互作用V-A type interaction

ミューオンの崩壊Muon decay

• Assume 𝑞2 ≪ 𝑀𝑊2 を仮定

• ℳ ≈𝑔𝑊2

𝑀𝑊2 ത𝑢 𝑘 𝛾𝜇

1 − 𝛾5

2𝑢 𝑝 ത𝑢 𝑝′ 𝛾𝜈

1 − 𝛾5

2𝑣 𝑘′

• フェルミ定数を以下のように定義する。Define the Fermi constant as follows.

𝐺𝐹 ≡1

2 2

𝑔𝑊2

𝑀𝑊2 1 +

𝑖

𝑟𝑖 ≈1

2 2

𝑔𝑊2

𝑀𝑊2

• ℳ =

2 2𝐺𝐹 ത𝑢 𝑘 𝛾𝜇1 − 𝛾5

2𝑢 𝑝 ത𝑢 𝑝′ 𝛾𝜈

1 − 𝛾5

2𝑣 𝑘′

13

ミューオンの崩壊Muon decay

• ミュー粒子の崩壊幅は以下のように計算される。The decay width of the muon is calculated as follows.

• Γ𝜇 =ℏ

𝜏𝜇=

𝐺𝐹2 𝑚𝜇𝑐

2 5

192𝜋31 + σ𝑖 ∆𝑞

(𝑖) ≈𝐺𝐹2 𝑚𝜇𝑐

2 5

192𝜋3

• 𝐺𝐹/ ℏ𝑐3 = 1.166 378 7(6) × 10−5 GeV-2

• http://pdg.lbl.gov/2018/reviews/rpp2018-rev-phys-constants.pdf

14

𝜇+ → 𝑒+ + 𝜈𝑒 + ҧ𝜈𝜇崩壊 decay

https://arxiv.org/abs/1211.0960

指数関数的減少Exponential decrease

背景事象の寄与Background contribution

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W粒子の質量W boson mass

• 𝐺𝐹 ≈1

2 2

𝑔𝑊2

𝑀𝑊2

• 𝑀𝑊 ≈𝑔𝑊2

2 2𝐺𝐹=

𝑔𝑊2

4𝜋

2𝜋

𝐺𝐹

• Assume 𝑔𝑊2

4𝜋=

1

100= 0.01と仮定すると、

• We get 𝑀𝑊 ≈ 61 GeV/c2 が得られる。

• 𝑀𝑊 = 80.379 ± 0.012 GeV/c2

• http://pdg.lbl.gov/2018/listings/rpp2018-list-w-boson.pdf

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スピン0の粒子𝜙の崩壊Decay of spin-0 particle 𝜙• パリティが保存すると仮定する。

Assume parity is conserved.

• 2個の擬スカラー粒子𝜙1と𝜙2への崩壊を考える。Consider the decay into two pseudoscalar particles 𝜙1and 𝜙2.

• 全角運動量の保存から、𝜙1と𝜙2の相対運動の軌道角運動量は𝐿 = 0である。From the conservation of the total angular momentum, the angular momentum of the relative motion between 𝜙1 and 𝜙2 is 𝐿 = 0.

• 𝜙の固有パリティはパリティの保存により、From the conservation of the parity, the intrinsic parity of 𝜙 is

𝜂𝜙 = 𝜂𝜙1 ∙ 𝜂𝜙2 = −1 2 = 1

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スピン0の粒子𝜙の崩壊Decay of spin-0 particle 𝜙• 3個の擬スカラー粒子𝜙3と𝜙4と𝜙5への崩壊を考える。Consider the decay into three pseudoscalar particles 𝜙3 , 𝜙4 and 𝜙5.

• 全角運動量の保存から、相対運動の2つの軌道角運動量は等しい。From the conservation of the total angular momentum, the two angular momenta of the relative motion are the same.

𝐿34 = 𝐿5• 𝜙の固有パリティはパリティの保存により、

From the conservation of the parity, the intrinsic parity of 𝜙 is𝜂𝜙 = 𝜂𝜙3 ∙ 𝜂𝜙4 ∙ 𝜂𝜙5 ∙ −1 2𝐿34 = −1 3 ∙ −1 2 = −1

18 3

4

5

𝐿34𝐿5

スピン0の粒子𝜙の崩壊Decay of spin-0 particle 𝜙• パリティが保存する時、擬スカラー(0−)粒子2個に崩壊できるのは、スカラー(0+)粒子のみで、擬スカラー(0−)粒子3個に崩壊できるのは、擬スカラー(0−)粒子のみである。

• When parity is conserved, only scalar (0+) particles decay into two pseudoscalar (0−) particles and only pseudoscalar (0−) particles decay into two pseudoscalar(0−) particles.

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𝜃 − 𝜏パズル 𝜃 − 𝜏 puzzle

• 1950年代前半、当時𝜃+と𝜏+と呼ばれた中間子に関して𝜃 − 𝜏パズルと呼ばれる問題があった。In early 1950s, there was a problem called the𝜃 − 𝜏puzzle related two mesons called 𝜃+ and 𝜏+ at that time.

• スピン Spin: 𝐽𝜃+ = 𝐽𝜏+ = 0

• 質量 Mass: 𝑚𝜃+ ≅ 𝑚𝜏+

• 寿命 Lifetime: 𝜏𝜃+ ≅ 𝜏𝜏+

• 崩壊 Decays: • 𝜃+ → 𝜋+ + 𝜋0

• 𝜏+ → 𝜋+ + 𝜋+ + 𝜋−

• 現在の𝐾+中間子 Present 𝐾+ meson

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同じ粒子であることを示唆。Imply identical particles.

異なる粒子であることを示唆。Imply different particles.

LeeとYangの解決策と提案Lee and Yang’s solution and proposal• T.D. Lee and C.N. Yang, Phys. Rev. 104 (1956) 254.

• 𝜃+と𝜏+は同一の粒子で、弱い相互作用ではパリティが保存されないと考えた。Consider that 𝜃+ and 𝜏+ are identical particles and parity is not conserved in the weak interaction.

• 原子核の𝛽崩壊で原子核のスピン Ԧ𝑆と電子の運動量 Ԧ𝑝を測る実験が提案された。Experiments that measure the spin Ԧ𝑆 of the nucleus and the momentum Ԧ𝑝 of the electron in a nuclear 𝛽 decay were proposed.

21

𝑑

𝑢

𝑒−

ഥ𝜈𝑒

𝑊−

LeeとYangの提案Lee and Yang’s proposal• スピンと運動量の内積は、

The inner product of the spin and momentum isԦ𝑆 ∙ Ԧ𝑝 = 𝑆𝑝 cos 𝜃

• パリティ変換の下で、角度 𝜃 は以下のように変換する。Under the parity transformation, the angle 𝜃 is transformed as follows.• 𝜃 → 𝜋 − 𝜃

• cos 𝜃 → −cos 𝜃

• もし、反応率がcos 𝜃の奇数乗に依存すると、パリティ変換の下で不変でなく、パリティが破れていることになる。If the rate depends on odd power of cos 𝜃, the rate is not conserved under the parity transformation and the parity is violated.

22

Wuらの実験 Wu et al.’s experiment

• C.S.Wu et al., Phys. Rev. 105 (1957) 1413.

23

呉健雄

𝛽−(GT): 60Co(5+)60Ni(4+) g(E2): 60Ni(4+)60Ni(2+)g(E2): 60Ni(2+)60Ni(0+)

Wuらの実験 Wu et al.’s experiment24

60CoSpin 5

60Ni*Spin 4

Spin 1/2

ഥ𝜈𝑒

𝑒−

Spin 1/2

60CoSpin 5

60Ni*Spin 4

Spin 1/2

ഥ𝜈𝑒

𝑒−

Spin 1/2

右手型Right-handed

左手型Left-handed

崩壊Decay

崩壊Decay

パリティ変換Parity transformationスピン

Spin

運動量Momentum

Wuらの実験 Wu et al.’s experiment

• 低温で磁場をかけて、60Coを偏極させた。At cold temperature, a magnetic field was applied to polarize 60Co.

• 60Ni*からのγ線を検出することで、偏極度を求めた。By measuring gamma rays from 60Ni*, polarization was determined.

25

γ:0度と90度

β:0度と180度磁場の向きを変えた

26

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1957/summary/

"for their penetrating investigation of the so-called parity laws which has led to important discoveries regarding the elementary particles."

ニュートリノのヘリシティの測定Measurement of helicity of neutrinos• M. Goldhaber, L. Grodzins, and A. W. Sunyar, Phys. Rev. 109,

(1958) 1015.• 152Eumの電子捕獲で生じるニュートリノを使った。

Neutrinos produced by the electron capture of 152Eum were used.

• 152Eum (J=0) + e-

152Sm* (J=1) + ne

• 152Sm* (J=1) 152Sm (J=0) + g• Eu: ユーロピウム Europium (Z=63)• Sm: サマリウム Samarium (Z=62)• *: 励起状態 excited states• m: 核異性体準安定励起状態

isomer meta-stable excited states• t(152Eum) = 9.3 hours• t(152Sm*) = 3x10-14 second

27

http://www-nh.scphys.kyoto-u.ac.jp/gakusei/p3/p3_2003/report2003p3z.pdf

28

EuSpin 0

右手型Right-handed

スピンSpin

運動量Momentum

e-

Spin 1/2

Sm*Spin 1

ne

Spin 1/2

SmSpin 0

g

Spin 1Sm

Spin 0g

Spin 1

Sm*Spin 1

SmSpin 0

g

Spin 1Sm

Spin 0g

Spin 1

ne

Spin 1/2

左手型Left-handed

• Smの進行方向に出たガンマ線のヘリシティを調べれば、ニュートリノのヘリシティがわかる。

• If the helicity of gamma rays emitted to the direction of the motion of Sm is measured, the helicity of neutrinos is determined.

• 線源でガンマ線が発生する。Gamma rays are emitted from the source.

• 磁石の中の電子とガンマ線はコンプトン散乱する。

• Electrons in the magnet and gamma rays are scattered by Compton effect.

• 電子のスピンとガンマ線のスピンが平行か反平行かに、コンプトン散乱の断面積は依存する。Cross section of Compton scattering depends on the directions of spins of electrons and gamma rays (parallel or anti-parallel).

• Sm2O3で共鳴散乱すると、NaIにガンマ線が入る。If gamma rays are resonant scattered by Sm2O3, gamma rays are injected into NaI.

• ガンマ線がシンチレーション光になる。Gamma rays become scintillation light.

29

共鳴散乱 Resonant scattering30

• ニュートリノと反対方向、Sm*原子核と同じ方向にガンマ線が出ると、共鳴散乱が起こる。If a gamma ray is emitted in the opposite direction of the neutrino and the same direction of the Sm* nucleus, resonant scattering occurs.

https://ci.nii.ac.jp/naid/110006990270

31

https://ci.nii.ac.jp/naid/110006990270

• ガンマ線のヘリシティがマイナスの時に、共鳴散乱が起きた。When the helicity of gamma rays is negative, the resonant scattering occurs.

• ニュートリノのヘリシティはマイナス(左手型)。The helicity of neutrinos is negative (left-handed).

VA型相互作用 VA type interaction

1−𝛾5

2: V-A型相互作用 V-A type interaction

32

https://ci.nii.ac.jp/naid/110006990270

荷電パイ中間子の崩壊Decays of charged pions

• Γ 𝜋+ → 𝜇+ + 𝜈𝜇 =𝐺𝐹2

8𝜋𝑓𝜋2𝑚𝜋𝑚𝜇

2 1 −𝑚𝜇2

𝑚𝜋2

2

• ヘリシティ抑制 Helicity suppression

•Γ 𝜋+→𝑒++𝜈𝑒

Γ 𝜋+→𝜇++𝜈𝜇=

𝑚𝑒

𝑚𝜇

2𝑚𝜋2−𝑚𝑒

2

𝑚𝜋2−𝑚𝜇

2

2

= 1.2 × 10−4

33

p+

Spin 0

m+

Spin 1/2nm

Spin 1/2

スピンSpin

運動量Momentum

http://pdg.lbl.gov/2018/listings/rpp2018-list-pi-plus-minus.pdf