第二章排列与组合

集合的排列和组合

多重集排列北航计算机学院：李建欣

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主要内容

集合的循环排列

集合的组合

多重集的排列

应用例子

排列

线性排列

循环排列

排列

普通集排列

多重集排列

组合？

回顾

加法原理：设集合S划分为S1, S2,…, Sm。则：

|S|=|S1|+|S2|+…+|Sm |

乘法原理设S是P和Q的乘积（即S＝P×Q），则

|S|＝|P|×|Q|

集合的线性排列

排列计数

C2

C1

C5

C4

C3

25

40

45

60 55

80

120

50

60

70

多少所有可能不同的巡回路径？

几个热身问题？ 10个人排成一列，其中2个人不愿彼此相邻，有多少种排法？

解法：共P(10,10)种,减去有5个（？）位置相邻，两次先后位置换2，P(10,10)-5x2xP(8,8)

10个人围坐一个圆桌，其中2个人不愿彼此挨着就座，问有多少种座位摆放方法？

10颗珠子做一个项链，其中2颗珠子不能被串在一起，问有多少种项链构成样式？

4321 109

P(10,10)-2*9*P(8,8)

什么是循环排列？

定义：把元素排成首尾相连的一个圈，只考虑元素间的相对顺序的排列称循环排列。

1

2

3

4

6

5

循环排列计数

定理2.2.2 n个元素集合的循环r排列个数为：

特别地，n元素的循环排列个数=(n1)!)!(

!),(rnr

nr

rnP

证明思路：利用除法原理，把线性r-排列的集合划分成若干部分。

思考：该问题应用除法原理的条件是什么？

应用

例3：10个人围坐一个圆桌，其中2个人不愿彼此挨着就座，问有多少种座位摆放方法？

解1：总的排列数除去不满足条件的排列数。总的排列数为(101)！

2个连续情况的排列数：2×(9－1)！即：9!－2×8!＝7×8！

解2：设P1，P2不挨着坐，固定其中一个P1的位置，那么， P2可选位子是7， 然后，余下8人可任意坐，按线性排列方法计数：7×8！

P1

P2P2

2.3 集合的组合

定义：从n个元素中无序地取出r个元素，称n元素集合的r-组合。

用 表示n元素集合的全部r-组合数。

约定：（1） =1（2）当r>n时， =0

r

n

00

r

n

定理2.3.1：组合公式

定理2.3.1：对于整数n和r, r n, 有：

P(n, r)=r!

即

rn

)!(!!

rnrn

rn

如何证明？

证明：对P(n, r)计数可分为两步：

1）从集合中无序选取r个元素：

2）对选取的元素排序计数：r!

由乘法原理得到：

P(n, r)=r!

r

n

r

n

定理2.3.1的证明

推论2.3.1

推论2.3.1： 对于整数r，0r n，

＝

n-r

n

r

n

应用

例：平面上25个点，假设不存在3点共线情况，问这些点可以组成多少条直线？多少个三角形？

225

325

解：1）每两个点确定一条直线：

2）每三个点确定一个三角形：

练习：

例：如果每个词都包含3，4或5个元音，那么字母表中26个字母可以构造多少个8字母词？

假设每个词中的字母使用次数没有限制

定理2.3.2：下述公式成立： n

nnnnn

2210

证明：对n元集合S的所有组合用不同方法计数。1）对所有r-组合运用加法原理得：

nnnnn

210

2）对于S的每一个元素编号，那么对任何一个组合C，S的一个元素x有2种可能，由乘法原理，n个元素共有2n。即完成定理证明。

n21

定理2.3.2证明

无限重复数多重集的排列

定理2.4.1：令S是多重集，它有k个不同的

元素，每个元素都有无限重复次数，那么，S的r-排列个数为kr

注：若S的每种元素的重数都大于或等于r，结论同样成立。

证明：S的一个r-排列的第一项可选择k种元素中任何一种，其他r1项同样有k种选择，由乘法原理共有kr种。

注：问题等价于k个数字r-排列(允许重复)

个数。

r21kkk

定理2.4.1的证明

例1：具有4位数字的三进制数的个数是多少？

4321

问题等价于：多重集{0, 1, 2}的4-排列个数。有34个。

无限重复数多重集：练习

定理2.4.2：令S是多重集，它有k个不同的元素，每个元素的重复数分别为n1，n2，…，nk，那么，S的排列数等于

其中n= n1+n2+…+nk

!!!!

21 knnnn

（有限）多重集的排列

定理2.4.2证明设S＝{n1a1, n2a2,…, nkak}，S的n-排列。问题相当于将所有这些元素放到n个有序位置的方法。

n1个a1的放置方法有 种，

n2个a2的放置位置剩下nn1个，因此，有种。

继续下去，运用乘法原理。

n32

1

1nn

2

1

nnn

S的排列总数为：

＝

＝

k

k

nnnn

nnn

nn 11

2

1

1

)!(!)!(

)!(!)!(

)!(!!

1

11

212

1

11 kk

k

nnnnnnn

nnnnnn

nnnn

!!!!

21 knnnn

定理2.4.2证明（续）

对角线项相约去！

应用

例：求字母多重集{1M, 4I, 4S, 2P }的排列数。

n=1+4+4+2=11，排列总数为： !2!4!4!1!11

小结

集合循环排列

多重集排列

无限重复数多重集排列

有限重复数多重集排列

作业

2.7习题

8，10, 11