國立屏東大學科普傳播學系

數理教育碩士班碩士論文

線段圖表徵對國小六年級學童解分數兩步

驟文字題之影響

指導教授：劉曼麗 博士

研究生：黎苑彤 撰

中 華 民 國 一 百 零 五 年 一 月

i

謝誌

回首研究所求學過程，一路走來，兼顧學業和工作，雖然辛苦但也獲得許多

知識和能力。我很幸運，能遇到許多幫助我的貴人，謝謝你們，感謝這一路走

來，幫助過或支持過我的人。

首先我要感謝我的指導教授—劉曼麗老師。老師的豐富教學知識讓我對數

學概念和學童容易迷失的數學概念有更深的了解，老師的研究熱忱讓我不敢輕

忽論文研究的每一個小細節；感謝老師辛苦的指導，字字句句琢磨，帶著文筆

極差寫作功力鴨蛋的我，完成了論文。

接著我要感謝的是陳正昌教授。老師對學生的關心和耐心的傳授知識，讓

我反思並改進面對學生的態度和自己的教學。謝謝您不厭其煩的為我解決統計

上的疑惑。

同時我也要感謝徐偉民教授。老師上課幽默且嚴謹，啟發我另一種的教學

能力，並透過老師的指引，找到這篇論文的架構，感謝徐老師和郭文金老師口

考時提供寶貴的建議，使我的論文更加精緻。

感謝我身邊的研究所同學和不認識的屏東高雄老師們，謝謝你們寶貴的意

見讓我修正試題，感謝肯讓我施測學童，沒有你們這篇論文是出不來的。

感謝家人從旁給予支持及打氣，讓我能工作和學業兼顧，若沒有你們在背

後支持，實在很難走下去。

感謝有這麼多貴人的相助，謝謝你們的幫助，對你們的幫助，無限感恩。

苑彤 謹誌

105 年 1月

ii

線段圖表徵對國小六年級學童分數兩步驟文字題之影響

摘要 本研究的主要目的是探討「線段圖表徵」對國小六年級學童解分數兩

步驟文字題之影響。分數兩步驟問題包括四類，第一類為加減型問題、第

二類為加（減）乘型問題、第三類為加（減）除型問題以及第四類為乘除

型問題。本研究以高雄市四所國民小學六年級學童總計100名為研究對象。

資料蒐集以筆試為主，訪談為輔。依據筆試資料將其中的 88 份有效試卷進

行描述統計、單因子相依樣本變異數分析、相依樣本 t 考驗等統計分析。

再依據訪談 6 名不同程度的學童，來探討線段圖表徵在分數兩步驟文字題

對學生的影響情形。本研究主要發現如下：

一、在分數兩步驟文字題中置入「線段圖」，對於全體學童解題表現，在

第一類加減型、第三類加（減）除型及第四類乘除型是有助益的。

二、在分數兩步驟文字題中置入「線段圖」，對於高分組學童解題表現，

助益不大。

三、在分數兩步驟文字題中置入「線段圖」，對於中分組學童解題表現，

在第三類型加（減）除型和第四類乘除型是有助益。

四、在分數兩步驟文字題中置入「線段圖」，對於低分組學童解題表現，

在第一類加減型和第四類乘除型是有助益。

五、全體而言，在分數兩步驟文字題中置入「線段圖」，對於學童較易幫

助他們掌握題意或關係，進而能找出適當的運算以進行解題。

此外，本研究對於教師教學、學生學習分數兩步驟文字題、以及未來的後

續研究，根據研究結果提出建議。

關鍵字：線段圖、六年級學生、分數、兩步驟文字題

iii

The Effect on Line Graph for Sixth-grade Students’ Fraction

in Two-step Wordage Question forms

Abstract

The study aims to explore the effect on line graph for sixth-grade students’

fraction in two-step wordage question forms. Fraction of the two-step

problematic mathematical questions which includes four types, the first type is

addition and subtraction questions, the second type is addition (subtraction)

multiplication questions, the third type is addition (subtraction) division

questions and the final type is multiplication and division questions. In this

study, eighty-eight sixth grade students in Kaohsiung elementary schools were

chosen for the study. Data collection were focused on written tests, and

supplemented by interviews. According to written tests, the data included

descriptive statistics, one-way analysis of variance for dependent samples, t-test

dependent samples and so on. Moreover, by interviewing six students with

different mathematical levels to explore the effects using line graphs to solve

sixth-grade students’ fraction of the two-step wordage mathematical questions.

The followings are found：

1. First type is addition and subtraction questions, the third type addition

(subtraction) division questions and the fourth type multiplication and

division questions. The above mentioned three type were most helpful for all

students by insert the line graph in the fraction of the two-step wordage

mathematical questions.

2. As for high score group of students such method did not show significant

effect on the performance of problem-solving.

3. The data indicated it’s helpful for middle level group of students on

problem-solving performance by apply the line graph in the fraction of the

two-step wordage form questions on the third type addition(subtraction)

division questions and the fourth type multiplication and division questions.

4. It’s helpful for low group students problem-solving performance to insert the

line graph in the fraction of the two-step word problems on the first type

addition and subtraction problem and the fourth type multiplication and

iv

division problems.

5. Overall, by adding line graph in fraction using two step wordage question

form will assist students to easily control the “real” mathematical questions

and relationships. Hence help students to find appropriate approach and

method in solving relevant mathematical questions.

Furthermore, the researcher made suggestions based on the results for teaching,

learning fractions in two-step wordage question forms, and future follow-up

studies.

Key words：Line graph、Sixth-graders、fraction 、fraction of the two-step word

problem

v

目次

謝誌 ........................................................................................................................................ i

摘要 ....................................................................................................................................... ii

Abstract .................................................................................................................................iii

目次 ....................................................................................................................................... v

圖次 ..................................................................................................................................... vii

表次 ................................................................................................................................. ix

第壹章 緒論 ................................................................................................................... 1

第一節 研究動機 ....................................................................................................... 1

第二節 研究目的 ....................................................................................................... 3

第三節 研究問題 ....................................................................................................... 3

第四節 名詞解釋 ....................................................................................................... 4

第四節 研究範圍和限制 ......................................................................................... 5

第貳章 文獻探討 ........................................................................................................... 7

第一節 數學解題理論 ............................................................................................... 7

第二節 文字題類型的探討、相關研究和現行教材分析 ................................... 15

第三節 表徵理論與數學學習之關聯 ..................................................................... 29

第參章 研究設計 ......................................................................................................... 41

第一節研究架構 ....................................................................................................... 41

第二節研究工具 ....................................................................................................... 43

第三節 研究對象 ..................................................................................................... 49

第四節研究流程 ....................................................................................................... 50

第五節資料蒐集與分析 ........................................................................................... 51

第肆章 研究結果與討論 ............................................................................................. 53

第一節 學童在無置入線段圖分數兩步驟文字題的列式解題表現 ..................... 53

vi

第二節 學童在有置入線段圖分數兩步驟文字題的列式解題表現 ..................... 62

第三節 學童在有無線段圖分數兩步驟文字題列式解題表現之差異情形 ....... 75

第伍章 結論與建議 ..................................................................................................... 89

第一節 研究結論 ................................................................................................... 89

第二節 建議 ........................................................................................................... 92

參考文獻 ....................................................................................................................... 94

中文部分 ................................................................................................................... 94

外文部分 ................................................................................................................... 99

附錄 ............................................................................................................................. 102

附錄一 ..................................................................................................................... 102

附錄二 ..................................................................................................................... 113

附錄三 ..................................................................................................................... 123

vii

圖次

圖 2-1-1 Polya（1957）的解題歷程的架構圖 .................................................. 9

圖 2-1-2 Schoenfeld 之解題基模大綱圖 .......................................................... 11

圖 2-1-3 Lester 數學解題「認知-後設認知」模式圖 ..................................... 13

圖 2-3-1 表徵系統的交互作用模式 ................................................................. 30

圖 2-3-2 基模圖示例 ......................................................................................... 31

圖 2-3-3 線圖示例（1） ................................................................................... 32

圖 2-3-4 線圖示例（2） ................................................................................... 32

圖 2-3-5 部分/全體圖示例（1） ...................................................................... 33

圖 2-3-6 部分/全體圖示例（2） ...................................................................... 33

圖 2-3-7 腳本圖示示例 ..................................................................................... 34

圖 2-3-8 康軒版分數加減法線段圖表徵圖 ..................................................... 38

圖 2-3-9 康軒版分數乘法線段圖表徵圖 ......................................................... 38

圖 2-3-10 南一版分數除法線段圖表徵圖 ......................................................... 38

圖 2-3-11 康軒版分數除法線段圖表徵圖 ......................................................... 39

圖 2-3-12 翰林版分數除法線段圖表徵 ............................................................. 39

圖 2-3-13 南一版分數四則線段圖表徵 ............................................................. 39

圖 2-3-14 康軒分數四則線段圖表徵 ................................................................. 40

圖 3-4-1 研究流程 ............................................................................................. 50

圖 4-4-1 全體學童在無置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ..................... 54

圖 4-1-2 高分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ................. 56

圖 4-1-3 中分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ................. 57

圖 4-1-4 低分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ................. 59

圖 4-2-1 全體學童在有置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ..................... 63

圖 4-2-2 高分組學童在有置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ................. 65

圖 4-2-3 中分組學童置入線段圖在四類型平均數統計圖 ............................. 67

圖 4-2-4 低分組學童在有置入線段圖四類型問題平均數統計圖 ................. 68

file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528274file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528278file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528279file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528280file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528281file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528282file:///C:/Users/user/Desktop/線段圖表徵對國小六年級在分數兩步驟解題之影響327.docx%23_Toc453528283

viii

圖 4-3-1 全體學童在有無線段圖的四類型平均數比較統計圖 ..................... 75

圖 4-3-2 高分組學童在有無線段圖的四類型平均數比較統計圖 ................. 77

圖 4-3-3 中分組學童在有無線段圖的四類型平均數比較統計圖 ................. 79

圖 4-3-4 低分組學童在有無線段圖的四類型平均數比較統計圖 ................. 81

ix

表次

表 2-1-1 Schonenfeld 之數學解題階段及相關問題表 ................................. 10

表 2-1-2 Mayer 的解題模式、知識類型與實例 ........................................... 14

表 2-1-3 各家學者解題歷程比較表 ................................................................. 15

表 2-2-1 加減法問題類型和例子彙整表 ......................................................... 17

表 2-2-2 乘除法問題類型和例子彙整表 ......................................................... 20

表 2-2-3 兩步驟文字題類型彙整表 ................................................................. 24

表 2-2-4 九年一貫課程綱要（97 課綱＆92 課綱）彙整表 ........................... 26

表 2-2-5 六下三版本分數文字題二步驟題型分布情形彙整表 ..................... 27

表 2-3-1 國內線段表徵策略解題之相關研究 ................................................. 35

表 2-3-2 南一版康軒版翰林版線圖使用年級和單元 ..................................... 37

表 3-2-1 分數乘除兩步驟文字題測驗之項目分析 ......................................... 44

表 3-2-2 兩份試卷部分試題內容對照表 ......................................................... 45

表 3-2-3 專家修正意見和修正後題目 ............................................................. 46

表 3-2-4 訪談大綱 ............................................................................................. 48

表 3-5-1 接受晤談的受試者代碼、身份及學習情形 ..................................... 51

表 4-1-1 全體學童在無置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 ..... 54

表 4-1-2 全體學童在無置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ............. 54

表 4-1-3 高分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 55

表 4-1-4 高分組學童在無置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ......... 56

表 4-1-5 中分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 57

表 4-1-6 中分組學童在無置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ......... 58

表 4-1-7 低分組學童在無置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 58

表 4-1-8 低分組學童在無置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ......... 59

表 4-1-9 學童在無置入線段圖四類型問題測驗表現統計摘要表 ................. 60

表 4-1-10 學童在無置入線段圖第三類型寫錯和訪談實例結果分析舉隅 ..... 61

表 4-1-11 學童在無置入線段圖第四類型問題寫錯和訪談實例結果分析舉隅

x

............................................................................................................................... 62

表 4-2-1 全體學童在有置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 ..... 62

表 4-2-2 全體學童在有置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ............. 63

表 4-2-3 高分組學童在有置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 64

表 4-2-4 高分組學童在有置入線段圖四類型問題變異數分析摘要 ............. 65

表 4-2-5 中分組學童在有置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 66

表 4-2-6 中分組學童在有置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ......... 67

表 4-2-7 低分組學童在有置入線段圖四類型問題平均數和標準差摘要表 . 68

表 4-2-8 低分組學童在有置入線段圖四類型問題變異數分析摘要表 ......... 69

表 4-2-9 學童在有置入線段圖四類型問題測驗表現統計摘要表 ................. 69

表 4-2-10 學童對第一類加減型線段圖訪談結果分析舉隅 ............................. 71

表 4-2-11 學童對第二類加（減）乘型線段圖訪談結果分析舉隅 ................. 71

表 4-2-12 學童對第三類加（減）除型線段圖訪談分析舉隅 ......................... 72

表 4-2-13 學童對第四類乘除型線段圖訪談分析舉隅 ..................................... 74

表 4-3-1 全體學童在有無線段圖的四類型成對樣本 t 考驗分析摘要表 ...... 75

表 4-3-2 高分組在有無線段圖四類型的成對樣本 t 考驗分析摘要表 .......... 77

表 4-3-3 中分組在有無線段圖四類型的成對樣本 t 考驗分析摘要表 .......... 79

表 4-3-4 低分組在有無線段圖四類型的成對樣本 t 考驗分析摘要表 .......... 81

表 4-3-5 在四類型有無線段圖得分表現之差異性考驗結果總表 ................. 83

表 4-3-6 訪談高分組的學童對題目中置入線段圖的輔助力舉隅 ................. 84

表 4-3-7 訪談中分組的學童對題目中置入線段圖的輔助力舉隅 ................. 84

表 4-3-8 訪談低分組的學童對題目中置入線段圖的輔助力舉隅 ................. 86

表 4-3-9 訪談中分組的學童對題目中置入線段圖的輔助力舉隅 ................. 86

1

第壹章 緒論

本章首先說明研究者的研究動機、研究目的、研究問題、研究範圍之

限制，並針對相關名詞加以釐清。

第一節 研究動機

自 80 年代開始，數學教育的核心轉為問題解決，美國「全國數學教師

協會」（National Council of Teachers of thematics[NCTM]）於 1989 年出版的

「中小學數學課程及評量標準」中，將「問題解決」列為課程標準之一；

我國九年一貫課程也明確指出「學習應用問題的解題方法」為學習數學領

域的教學總目標之一（教育部，2004）。在國小階段的「應用問題」即為文

字題，文字題的情境提供了數學概念、運算和真實生活間的連繫，使得數

學具有解決生活問題的意義（吳昭容、黃一蘋，2003 ），由此可知，我們

從小培養學童的數學能力，不外乎是希望從解決數學問題外，進而學會解

決日常中遇到的所有問題，這就是數學教育目地所在，讓學童擁有問題解

決的能力（劉秋木，1996）。為了找到解答方法，學生必須利用他們的知識，

來解決數學問題。在此過程中，通常他們會對數學有新的理解；問題解決

不僅是學習數學的一個目標，也是學習數學的一種主要方式；學生要經常

不斷的去思考、理解和推理，重視解題歷程，才能解決複雜的問題。然而，

解決文字題除了需要計算能力之外，還要有了解文字題題意的語文能力、

將語文形式轉化成數學形式的表徵能力、計畫解題方向的策略能力等等不

同的能力（涂金堂、林佳蓉，2000），這種能力比解一般計算題涉及更高的

認知層次，因此許多學生視解決文字題為畏途。教學者若能在教學時，使

用有效的教學策略，來輔助理解文字題並發展解決文字題能力，是有其必

要性的。此乃研究者想探討的方向之一。

我們從九年一貫數學課程綱要的能力指標「數與量」和分年細目中的

2

92 課綱和 97 課綱中看出，學童在一、二階段中的四則運算和兩步驟問題解

題能力，愈來愈重要，並且相互呼應成為學習的重點。而劉秋木（1996）

在數學教學研究中指出分數是國小數學最難學的課程。分數概念的學習是

學童在學習數學歷程中的一個關鍵點，是往後學童學習數學的基礎。很多

數學知識都跟分數有關聯如：比例、百分率、有理數等等概念，所以分數

所包含的意義十分豐富。根據使用的情境不同而有不同的意義（黃怡琄，

2005），於是從分數產生的迷思就很多了，加上文字題的情境研判，學童不

知所措，學童對文字題常會釐不清題意，找不到解題的方向。九年一貫課

程上規劃學童要先熟悉單一步驟文字題的解題之外，也要能進行多步驟文

字題解題；多步驟文字題中最基本的題型則是兩步驟文字題，因此兩步驟

文字題是否學好，會影響往後解決多步驟文字題的表現（謝佳伶，2007）。

而兩步驟的文字題又比單一步驟文字要困難 (Quintero, 1984)，學生在兩步

驟文字題的轉譯方面更加不容易，產生判斷錯誤或誤解，導致最後解題策

略失敗。綜觀單一步驟文字題解題的研究，大多針對整數文字題，試圖以

不同語意和類型來觀察學生解題表現，反觀兩步驟文字題卻很少見到這樣

的研究（謝佳伶，2007），更不用說以分數為主題來研究兩步驟文字題，所

以學童對於分數兩步驟文字題，不同類型的問題解題表現有其探討的必要

性。此乃研究者想探討的方向之二。

國內外有不少學者和教育工作者針對文字題進行研究（涂金堂，2007；

甯自強，1999；張再明，1994；Mayer, 1982； Silver, 1981）希望找出幫助

教師教學，並解決學童解文字題時的盲點。在這許多幫助文字題解題的建

議中，歸納出在解題一開始，要求學童用圖示表徵將文字題中相對應的條

件表示出來，是一種有助於幫助分析文字題的方法。亦有數學教育工作者

研究發現，挑戰複雜的數學文字題或學習數學文字題遇到障礙時，可使用

圖示表徵作為工具，來提升解題能力的經驗（Van Garderen, Scheuermann &

Poch, 2014 ）。對解題有障礙學生更需要具體策略的介入來解決問題，目的

在於提供學生明確的視覺提示，利用視覺線索來幫助解題（黃培晏，2012）。

鄭昭明（1993）認為適當的問題圖解化或具體化，有助於問題解決。國內

許多研究也證實使用圖示策略來幫助文字題的理解，有正趨向的效果（方

3

美珍，2006；林秀燕，2005；莊其臻，2008；羅秋霞，2006）。圖示表徵的

方式很多種，目前國內外探討數學文字解題成效之研究中，大多使用線段

圖、畫圖、基模圖和示意圖等外在表徵，其中線段圖表徵方式是最常被使

用 （陳麗帆，2011），且許多文字題的補救教學研究也証明使用線段圖能

提升學童的解題能力 （李虹韻，2009；周純妃，2014；連玉真，2014；黃

培晏，2012），所以本研究也選擇線段圖來探討，在分數兩步驟文字題裡，

置入線段圖對各種程度的學童的影響為何？這是本研究者想探討的方向之

三。

第二節 研究目的

依據上述的研究動機，本研究的研究目的有三。

一、探討全體和高、中、低分組學童在無置入線段圖四類型的問題列

式解題之表現情形。

二、探討全體和高、中、低分組學童在有置入線段圖四類型的問題列

式解題之表現情形。

三、比較全體和高、中、低分組學童在四類型問題有線段圖與無線段

圖問題表現之差異情形。

第三節 研究問題

一、學童在無置入線段圖的分數兩步驟文字題列式解題之表現情形為何？

（一）在無置入線段圖的分數兩步驟文字題（四類型問題），全體學童列

式解題之表現情形為何？

（二）在無置入線段圖的分數兩步驟文字題（四類型問題），不同程度學

童（高、中、低）列式解題之表現情形為何？

4

二、學童在有置入線段圖分數兩步驟文字題列式解題之表現情形為何？

（一）在有置入線段圖的分數兩步驟文字題（四類型問題），全體學童

列式解題之表現情形為何？

（二）在有置入線段圖的分數兩步驟文字題（四類型問題），不同程度

學童（高、中、低）列式解題之表現情形為何？

三、 學童在分數兩步驟文字題，線段圖對其列式解題之影響情形為何？

（一）全體學童列式解題，做答有無線段圖的分數兩步驟文字題（四

類型問題），其列式解題表現是否有差異？

（二）不同程度學童（高、中、低）列式解題，做答有無線段圖的分

數兩步驟文字題（四類型問題），其列式解題表現是否有差異？

除了上述研究目地外，本研究也透過訪談來了解學童對分數兩步驟文

字題的解題想法以及線段圖在問題中對學童解題的助益情形。

第四節 名詞解釋

一、國小六年級學童

本研究所指的國小六年級學童是 102 學年度就讀國小六年級的學童。

研究對象所使用的是 101 年九年一貫課程綱要版本的數學領域教材，但因

學童來自不同學校，使用的教科書版本並沒有一致。

二、文字題

文字題又稱為應用問題，以語文描述數學問題情境，讓學童運用數學

概念、計算能力和解題策略來解決情境中的問題。

三、兩步驟文字題

以運算步驟來區分文字題的類型，根據解題過程中，要經過幾次的運

算才能解決問題，使用的運算符號不限制加，兩步驟文字題解題則需經過

5

二個運算步驟 （甯自強，1995）。

四、線段圖

線段圖是圖象表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，使問

題中數量關係具體化幫助學生分析題意，解答問題。線段圖並非嚴格定義

的數線，因並未標示原點，也未標示出一個單位長度，而是線段長短代表

數量的大小，線段圖呈現方式為用弧線來表示已知數或未知數的起點和終

點，用？來表示未知數（吳昭容，1990）。

五、不同程度學童

依研究對象於研究者自編的數學分數兩步驟文字題之紙筆測驗成績分

為高分組 H（前 27%）、中分組 M（中間 46%）、低分組（後 27%）。

六、四類型問題

本研究依運算方式將分數兩步驟文字題分成四類，分別為第一類加減

型，第二類加（減）乘型，第三類加（減）除型及第四類乘除型（吳金聰、

劉曼麗，2007）。

第四節 研究範圍和限制

本研究的範圍和限制有二：一是研究對象，二是研究工具。茲分述如

下：

一、研究對象的範圍和限制

研究者考慮取樣的便利性，取樣的地區以屏東和高雄市區學校為主：

第一次預試以高雄市文文國小六年級學童 6 人為研究對象，用來第一次修

正本研究測驗內容；第二次預試對象為屏東市安安國小六年級和高雄市木

木國小六年級共 119 人為研究對象，用來第二次修正本研究測驗內容；施

測學童數學學習版本含括三種，分別為康軒版、南一版和翰林版三種版本。

正式施測範圍以高雄市中，位於研究者工作地周遭的四所國小為主，共 88

6

人（原準備 130 份試卷，回收 100 份並剔除 12 份做答無效者）。本研究結

果以這四所國小的六年級學童為主，不可過度推論至其它年級、地域的學

童。

二、研究工具的限制

由於本研究採取紙筆作答的方式收集資料，因此研究者只能從學生的

作答情況來判斷他（她）們是否具備某些概念，但這樣的結果無法完全代

表學生的所有想法。為了減少針對紙筆分析的錯誤，並了解學童對線段圖

的想法，於是增加訪談個案來驗證紙筆分析結果；此外，本研究因時間的

考量不能全面對施測學童進行訪談，所以挑選該類代表性的學童進行訪談，

取高、中、低分組各 2 名學童，訪談四類型題目對高、中、低分組學童的

影響，以及線段圖對學童在分數兩步驟列式解題的影響；本研究的研究內

容主要是分析學童在有無線段圖的分數兩步驟文字題中，對四類型問題的

列式得分表現；和學童在有無線段圖，對四類型問題列式得分的差異。解

題過程中，學童所計算的答案正碓與否並非本研究欲探討的，所以學童答

案的準確與否並未列入研究項目之中。於是本研究結果的使用，還有謹慎

與保留之處。

7

第貳章 文獻探討

本研究的目的在探討學童在有無線段圖的分數兩步驟文字題中，四類

型問題的列式得分表現；與學童在有無線段圖，四類型問題列式得分的差

異。相關的概念在這個章節探討。本章共分為三節，第一節為數學解題理

論；第二節主要是文字題類型的探討、現行研究和相關教材分析；第三節

為表徵理論與數學學習之關聯探討。

第一節 數學解題理論

一、數學解題的意義

培養學童用自己的知識解決問題是現今數學教育的著重點。解文字題

即是培養問題解決的方法之一。文字題在數學課程的比例愈來愈多，國小

數學課程主要就是以文字題來評量學童解決問題的能力，但學童的解題表

現卻不佳。依據 Mayer 定義，文字題是藉著文字敘述問題的一種計算題型，

學生在解數學文字題時，不僅要熟悉數學計算過程，也要能閱讀問題的語

意部分，理解問題的要求以及理解文字所提供的條件來解決問題（Mayer,

1992）。

數學解題是指當解題者面對一個數學問題時，無法馬上發現得到正確

答案的過程，需要結合運用已知的數學概念、原理、方法，去求得解答的

一種心理歷程（涂金堂，1996；Lester, 1980）。所以解題是一種創造性思考，

一連串自我發現、自我建構的活動歷程（陳國雄，2006）。

解題過程中，學童會自發性的產生各種行為，如閱讀題目、重組資料、

猜測、嘗試、畫圖、回憶（李虹韻，2009）；學童運用各種技巧、方法，對

題目進行分析、推理、轉譯並整合的過程，是有益於數學知識的建構。本

節將從數學解題歷程與數學解題策略來探討數學解題。

8

二、數學解題的歷程

數學解題歷程包含許多複雜的心智活動，很多學者做了相關研究，並

提出不同架構，他們把解題時的解題順序和要必備的能力，整理為幾個階

段或步驟，以下將研究歸納如下：

（一）重視解題策略的解題歷程模式

Polya 解題模式

Polya 透過三本書來讓大家學會數學解題「怎樣解題」（1945）、「數學

與合情推理」（1954）、「數學發現」（1962），Polya 復興啟發法目的是在啟

發方向，但卻不能保證一定成功，其中要善於運用「問句」和「提示」，Polya

（1945）「怎樣解題」（How to Solve It）—書中則將數學解題歷程區分為四

個程序做解釋：

1.瞭解問題

由問題所給的暗示，瞭解已知條件與未知條件，並根據先備知識，進

行求解，並做一個圖導入適當的計畫，分開條件的各個部分。

2.擬定計畫

尋找未知數及已知數之間的關係，如果找不到就得考慮一些輔助問

題。

（1）判斷解題所需的公式。

（2）輔助工具的應用，例：畫圖、畫表格…等。

（3）思考有無類似的問題。

3.實施計畫

根據先前擬定的計畫，進行策略執行。

4.回顧解答

檢核所得到的解答，或試著用不同的方法得出結果，能運用在別種相

似的題目。

Polya 的數學解題模式如圖 2-1-1 所示，著重於解題策略的應用，藉

著解題策略的使用，協助解題者順利解題；這四個階段是啟發解題的方法，

每個階段都很重要，這四個階段並非一定要依序直線進行，要看題目的狀

9

況折返或環繞，來達到解決問題。

資料來源：修編自 Polya, G.（1957）. How To Solve It. London : Doubleday.

觀察 Polya 的解題四階段歷程，可看出最明顯的特徵是，將解題歷程

視為「階段」。後來的學者，大都根據這四階段為基礎，加以編修。

（二）重視後設認知的解題歷程模式

1.Schoenfeld 解題模式

Schoenfeld（1985）在所著作的（Mathematical problem solving）一書

中，強調解題歷程著重在解題者的心理層面，以 Polya 的解題為基礎，認

為數學解題需考慮四個變項：資源（resource）、捷思（heuristics）、控制

（control）、及信念系統（belief system），其解釋如下：

1.資源：指解題者的先備知識有相關解題的知識，而這些數學知識

包含了數學事實、程序及技巧等訊息。

2.捷思：重視解題者在解題歷程所使用的策略，例如簡化問題、畫

表格、畫圖、猜測…等等。

3.控制：解題者解題時，如何選擇目標和次目標、如何決定計畫、

圖 2-1-1 Polya（1957）的解題歷程的架構圖

10

及如何監控與評估解題結果等方面。Schoenfeld 認為控制的因素與心理學上

的後設認知有相當大的關連性。

4.信念系統：解題者對於數學的觀點，擁有的數學觀會影響其解題的行

為。

而 Schoenfeld 提出，其中控制是很重要的，牽涉是否能有效運用資源

及是否採用適當捷思策略，自控制的觀點，將解題歷程階段區分為讀題、

分析、探索、計劃-執行、驗証、轉移等階段。茲以表 2-1-1 列如下。

表 2-1-1

Schonenfeld 之數學解題階段及相關問題表

解題步驟 解題過程

讀題 （Reading）

R1：注意到問題所有條件嗎?條件是明顯的?或模糊的?

R2：正確了解目標狀態嗎?目標狀態是明顯的?或模糊的?

R3：是否評估解題者現有知識與問題的關係?

分析 （Analysis）

A1：選擇什麼觀點? 選擇是明顯的或是不明顯的?

A2：選擇問題條件採取行動嗎?

A3：選擇問題目標採取行動嗎?

A4：條件和目標執行是否依計畫有系統的進行?

A5：解題者所採取的行動是否合理？

探索 （Exploration）

E1：本階段是問題的條件引起的? 或目標引起的?

E2：所採行動有方向或重點嗎? 行動有目的嗎?

E3：有無監視行為?監視行為的有無對解答的結果有何影響?

E4：解題者所採取的行為是否合理?

計畫-執行 （ Planning-Impleme

ntation）

PI1：是否有計畫行為?

PI2：計畫與解題有關係嗎? 是否適當? 是否有良好架構?

PI3：受試者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性?

PI4：執行是否依計畫有系統的進行?

PI5：是否在局部或全體層次評估執行?

PI6：評估之有無對結果的影響如何?

驗證（Verification）

V1：否重新檢查解答?

V2：有無考驗解答? 如果有的話，如何考驗?

V3：有無歷程及解答的評估? 對結果的信心有多少?

轉移 （Transition）

T1：對解題的當前狀態有無評估? 若放棄一種解題途徑，是否企圖利

用其中有用的部分?

T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局部與全體影響如

何? 所採行動適當或必要嗎?

T3：是否評估採取新途徑的短程或長程的影響? 或是接跳入新的方法?

T4：採用新途徑後有無評估短程及長程影響如何? 行動是否適當或必

要嗎?

資料來源：修改自 Schoenfeld, H.A.（1985）. Mathematical problem solving. Orlando, F. L:

11

Academic Press.

Schoenfeld 也將此六個階段列成解題基模的大綱如圖 2-1-2：

圖 2-1-2 Schoenfeld 之解題基模大綱圖

資料來源： 修改自 Schoenfeld H.A.（1985）. Mathematical problem solving. Orlando, F. L:

Academic Press.

Schoenfeld 認為教師在教學歷程中，教給學生許多解題策略，在某個

程度上是有所幫助。當遇到問題情境時，要如何選擇適當的策略，並節省

解決問題的時間，均需要控制系統的監控與調整，而這正是 Polya 的解題

歷程所欠缺的。將後設認知與解題歷程結合，才是對學童學習最好的方法。

2.Lester解題模式

Lester（1980）以數學解題認知—後設認知模式，將數學解題與後設認

知的關係明確的表示出，以融合 Polya（1957）的解題模式以及 Flavell 和

12

Wellman （1977）的後設記憶概念，提出一個後設認知的模式。在這模式

中，認知成分共有四項：導引（orientation）、組織（organization）、執行

（execution）、及驗證（verification）；而後設認知成分共有三項：個人（person）、

工作（task）及策略（strategy）。Lester 認為每一個解題歷程的階段，都有

需要考慮的問題，要將這些問題連接起來，就需要後設認知的運作。例如

在導引階段，解題者利用關建字來找解題方向就是運用自己的後設認知，

在組織階段，解題者藉著以前做過相似的問題，採用類以的方法來組織問

題也是用解題者本身的後設認知，在執行階段，小心計算過程是否有誤也

是利用本身的後設認知，最後驗證階段，判別答案是否合理或是可以再引

用延伸到別種題目，也是運用後設認知。這個後設認知的模式，可以將數

學解題分為六個階段（引自凃金堂，1995）：

1.問題的知覺：解題者對所面臨的情境，要知覺到是個問題，並且有

想要解決的意願。

2.問題理解：包括兩個子階段（1）轉譯，解題者將問題提供的訊息轉

譯成解題者能了解的名詞。（2）內化，解題者挑選相關的訊息，且判斷這

些訊息的相關程度。

3.目標分析：將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧，將訊息歸類，

做成細目，釐清問題結構，以便更了解題目的內涵。

4.計畫的發展：解題者在這個階段擬定一個計畫，認清可行的解題策

略。

5.計畫的執行：徹底試驗擬好的計畫。

6.程序和解答的評估：要檢查答案是否有意義，從目標分析到發現答

案的過程都需要加以評估。

13

圖 2-1-3 Lester 數學解題「認知-後設認知」模式圖

資料來源：修改自 Garofalo, J., & Lester, F.K.(1985). Metacognition cognitive monitoring and

mathematical performance. Journal for Research in Mathematics Education,16, 163-176.

Lester 認為只重視解題策略而忽視了後設認知對解題的影響是不行的，

雖然無法直接觀察出後設認知活動，但仍有其重要的影響。解題是指當面

臨一種情境時，沒有一種保證可以解決的算則，個人必須運用所有可獲得

的資源去完成解答，運用過去所學的知識、概念、原理和經驗等將認知結

構重組而產生策略以求得解答。

（三）認知心理學取向的解題歷程模式

Mayer 解題模式

Mayer（1992）對數學解題歷程及其所含括的知識作了結構性的分析。

數學解題歷程分為問題表徵與問題解決兩個階段。問題表徵包含問題轉譯

與問題整合；問題解決包含解題計畫與監控和執行解題。茲將兩大階段、

四大成份，涉及之各種知識分述如下：

1.問題表徵：指解題者將數學問題中的文字或圖案轉換成心理表徵。

（1）問題轉譯：所要知識為「語意知識」，解題者先要具備語文和

事實知識，先了解題目的情境，明暸題目中的已知條件和目標，自行轉化

成自己可理解的內在表徵。

（2）問題整合：所要知識為「基模知識」，解題者先要具備基本的

知識，以辨認出有用與無用資訊，並以現有的條件進行解題。

2.問題解決：為解題者選擇解題程序並執行計算以得到答案的過程。

（1）解題計劃與監控：所要知識為「語意策略知識」，解題者先要

具備策略知識，讓圖畫、符號或算式來表徵題目意思。

14

（2）執行解題：所要知識為「程序性知識」，解題者先要具備程序

性知識，運用演算規則求出正解。

Mayer 舉了一個地磚的例子來說明解題歷程中的解題步驟、知識類

型及所需用到的解題技巧，茲加以整理如表 2-1-2：

題目：地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是

0.72 元，那麼一個長 7.2 公尺，寬 5.4 公尺的矩形房間鋪滿磚一共要花多少

錢？

表 2-1-2

Mayer 的解題模式、知識類型與實例

階段 成

份

知識類型 例子：地磚問題 解題技巧

問 題

表徵

問

題

轉

譯

語言知識 長 7.2公尺，寬 5.4公

尺的矩形房間

（1）重述問題的已知條件

（2）重述問題的解題目標

事實知識 1 公尺＝100 公分 （1）認識有關及無關的資料

（2）決定解筨所需要的資料

基

模

知

識

基模知識 面積＝長×寬 認識問題的類型

認識有關及無關的資料

決定解答問題所需的資料

用圖示或圖畫來表示問題

問 題

整合

解

題

計

畫

與

監

控

策略知識 用 7.2 公尺×5.4 公尺

來找房間面積。然後以

0.3 公尺×0.3 公尺來

找每塊地磚的面積。然

後用房間面積除以每

塊地磚面積來找所需

地磚個數，然後將數乘

以 0.72 美元來找出所

需的總價格。

以「數字語句」或「方程式」

或「必須的運算列單」來表示

問題

建立次目標

下結論

執

行

計

畫

程序性知識 7.2×5.4＝38.88

0.3×0.3＝0.09

38.8872÷0.09＝432

432×0.72＝311.04

進行單純的運算

進行連續的運算

資料來源：修改自 Thinking problem solving, cognition（2nd ed ）, by R.E. Mayer, 1992, New York: W. H. Freeman.引自林清山（譯）（1997）。教育心理學-認知取向（頁

391-394）。台北：遠流。

在數學解題的研究領域中，大都以 Polya 的解題模式為基礎，從 Polya

（1957）最早提出數學解題的歷程模式，到 Schoenfeld（1985）加入後設

認知的觀點來看待解題以及 Mayer（1992）從心理學角度來詮釋解題的歷

些程，這些學者所持的觀點不盡想同，但卻強調一開始的問題理解與表徵

轉換是必經過程。研究者將各家學者針對解題所提出的的各項歷程，整理

15

比較如下表 2-1-3。在數學解題的歷程中，是否能成功解題，最主要的關鍵

在於對問題是否擬出一個適當的解題計畫，此即所謂的解題策略（黃敏晃，

1987）。 Lewis 和 Mayer（1987）的研究中，發現學生解答文字時最大的困

難是在問題表徵階段，而不是解題階段。問題表徵可以用圖畫或符號、算

式等外在表徵形式呈現。Mayer（1992）認為圖解方式可以幫助學生理解題

目，促使學生仔細思考問題。劉秋木（1996）則認為畫圖可以讓我們比較

容易看出各數量之間的關係，利於思考。而線段圖即為圖解的一種方式，

因此針對線段圖表徵轉換問題，來探討對分數兩步驟文字題解題策略的影

響，線段圖是否能將問題從抽像到具體化，讓學童能成功解題列式，這是

本研究想探討的。

表 2-1-3

各家學者解題歷程比較表

學者 解題歷程

Polya

（1945）

瞭解問題 擬定計畫 執行計畫 驗算與回

顧

Lester

（1980）

問題的察

覺

問題的理解 目標

分析

計畫的

發展

程序和解

答的評估

Schoenfeld

（1985）

讀題 分析 探究 計畫 驗證

Mayer

（1992）

問題轉譯 問題整合 解題計畫及監控 監控

資料來源：研究者自行整理

第二節 文字題類型的探討、相關研究和現

行教材分析

Mayer（1985）指出文字題主要是藉由文字敘述的計算題型式，學生解

數學文字題時，不僅要能熟悉計算的過程，同時也要能閱讀文字題語意的

部份，理解問題的要求及其所提供的條件來解決問題（引自林清山，1990）。

根據教育部（2004）所公佈的國民中小學九年一貫課程綱要，數學學習領

域的教學總目標為：培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能

力；學習應用問題的解題方法；奠定下一階段的數學基礎；培養欣賞數學

16

的態度及能力。應用問題即為文字題，從課綱看來，文字題在國小數學課

程中占有極重要的份量（吳昭容、黃一蘋，2003）。

以下針對單步驟文字題中的單步驟加減文字題、單步驟乘除文字題及兩

步驟文字題加以探討。

一、單步驟文字題

（一）單步驟加減文字題

Kintsch（1986）認為文字題類型是影響學生解題表現的重要因素之一。

文字題分類可依照文字題的「運算符號」、「問題情境」、「語意結構」來分

類（林碧珍，1988 ；Marshall, 1995）。其中「語意結構」被視為影響加減

文字題難度的關鍵因素（Carpenter, 1985），Carpenter（1985）將單步驟加

減文字題依基本語意結構分為改變題、合併題、比較題與等化題等四類。

茲將這四類分述如下：

1.改變型問題：包括兩個基本的型態，它們都含有行為。如果是給定

最初量和一個直接或間接行為，而引起最初量的增加，稱為改變/合併問題，

改變/合併問題涉及三種量（起始量、改變量、結果量），這三種量都有可

能是未知的，其中結果量是最大的。如果是從一個給定集合中取走一部分，

則稱為改變/分開問題；改變/分開問題涉及三種量（起始量、改變量、結果

量），這三種量都有可能是未知的，其中起始量是最大。

2.合併型問題：兩量同時併存的語意問題，此類問題不含直接或間接

的行為，僅伴隨著靜態的關係，探討一個集合和它的兩個互為補集的子集

合之間的關係。合併（併加）型問題，又稱「部分-部分-全體」型，是由二

個部分組合成一個全體，可分成部分未知或全體未知二種情形。

3.比較型問題：兩量比較的語意問題，這兩量分別稱為比較量及基準

量，以「爸爸比媽媽大 2 歲」為例，是以媽媽的年齡當基準，故媽媽的年

齡稱為基準量；而爸爸的年齡拿來和媽媽的年齡來比較，所以爸爸的年齡

為比較量；他們兩人相差的歲數稱為差量。所以比較型問題，包含三種量

17

（基準量、比較量、差量），這三種量都有可能是未知的。

4.等化型問題：題目中若有改變型問題與比較型問題，則形成等量（等

化）問題（黃敏晃、周筱亭，2000）。其問題像改變類問題一樣，含有行為，

但卻是在比較兩個互斥集合的大小。

由上述情形將這些改變、合併、比較與等化等四類題型依不同的未知

數關係整理如下表 2-2-1：

表 2-2-1

加減法問題類型和例子彙整表

問題類型 例子

改變/合併問題 結果量未知 小明有 5 顆糖，弟弟又給他 4 顆，小明現在有幾

果糖？

改變量未知 小明有 5 顆糖，弟弟又給他一些糖後，小明現在

共有 10顆糖，問弟弟給他幾顆糖？

起始量未知 小明有一些糖，弟弟又給他 7 顆糖後，小明現在

共有 10顆糖，問小明原來有幾顆糖？

改變/分開問題 結果量未知 小明原來有 15顆糖，他給弟弟 7顆糖後，問小明

還有幾顆糖?

改變量未知 小明原來有 15顆糖，他給弟弟一些糖後，還剩下

4 顆糖，問小明給弟弟幾顆糖?

起始量未知 小明原來有一些糖，他給弟弟 8 顆糖後，還剩下

4 顆糖，問小明原來有幾顆糖?

合併（併加）型 全體未知 小明有 5 顆糖，小花有 8 顆糖，他們一個有幾顆

糖？

部分未知 小明和小花一共有 20顆糖，其中小花有 4 顆，問

小明有幾顆糖？

比較型 差量未知 小明有 8 顆糖，小花有 3 顆糖，問小明比小花多

幾顆糖？

基準量未知 小花有 6 顆糖，小花比小明多 3 顆糖，問小明有

幾顆糖？

比較量未知 小明有 8 顆糖，小花比小明多 3 顆糖，問小花有

幾顆糖？

等量（等化）型 差量未知 小明有 9 顆糖，小花有 5 顆糖，小花要再得幾顆

糖，才會和小明一樣多？

基準量未知 小花有 10顆糖，小明再送出去 7顆糖就和小花一

樣多，問小明有幾顆糖？

比較量未知 小明有 5 顆糖，他再得 7 顆糖就和小花一樣多，

問小花有幾顆糖？

資料來源：修編自甯平獻（2010）。數學教材教法（頁 66）。台北市：五南圖書出版股份

有限公司。

Mayer（1992）認為一般文字題的陳述句型可分為三類：指定句、關係

18

句、及疑問句。「指定句」是指某一集合的數值的句子；「關係句」為二集

合的數量關係的句子；「疑問句」是指求未知集合的句子。如這個問題「小

花有 6 顆球，小花比小明多 3 顆球，問小明有幾顆球？」中，「小花有 6 顆

球」為指定句，「小花比小明多 3 顆球」為關係句，「問小明有幾顆球？」

為疑問句。文字比較題中的「關係句」可能就是學童對這類問題形成表徵

困難的主因。Lewis 和 Mayer（1987）依其語言性質及運算性質不同，將

文字題分為「一致語言」問題和「不一致語言」問題兩種，「一致語言」問

題是問題中的關係句敘述與所需運算是一致的，相反的，「不一致語言」問

題是問題中的關係句敘述與所需的運算是不一致的，對學生來說，「不一致

語言」問題比「一致語言」問題困難，這是在表徵階段，不同問題類型的

語意結構差異所致（Carpenter, 1985）；Lewis 和 Mayer（1987）提出「一致

性效果」來說明造成這類問題難易差異的原因為，學生在解題時產生最多

錯誤情況是「逆轉型錯誤」，也就是選擇了相反的運算如：讓用加法計算的

卻用了減法。

（二）加減文字題的相關研究

許多研究均指出，相較於改變類及合併類類型，比較類的數學文字題

對學生而言較為困難（林君玲，2013；胡秋綾，2008；翁嘉英，1988；謝

毅興，1991 ；Fusson, 1992）。

龔誼真（2012）研究中發現加減文字問題類型的難易性：差異量未知

題較簡單，比較量未知題次之，參照量未知題型難度最高；差異量未知題

比多問題又比比少問題容易；因為問題問句「A 比 B 少幾個？與 B 比 A 多

幾個」的轉換；比較量未知題較困難，因學童邏輯推理能力不足；參照量

未知題型難度最高，因為學童在決定運算符號時會受到空間接近原則效應

的影響。

Fuson 和 Willis（1988）在研究指出，在加減文字題問題情境中，當問

題的語意結構情境與所求未知數的解題略有衝突時，學生會無法使用正確

的解題策略。

19

胡秋綾（2008）研究中發現學童在比較類加減法文字題中，以題意陳

述方式為不一致性語言的參照量未知題最不易理解。標準算式的運算符號

為加法的題目類型，包括被比較量未知比多型和參照量未知比少型，困難

度相較之下高於其他的題目類型。學童理解問題的方式，在配對概念的表

現上優於等化概念。學童對於標準算式的接受程度高於開放算式，且傾向

將比較類加減法文字題與減法做連結。算式的未知數位置愈左邊，愈不容

易被理解。

林君玲（2013）研究中發現學童在面對加減型文字題中的「比較型未

知基準量」題型表現最差，符合「不一致語言」會產生「逆轉型錯誤」的

推論。

故本研究者在分數兩步驟文字題中的第一類加減型，針對「一致語言」

和「不一致語言」比較型來出題，觀察學童對這類型題目以分數來出題時，

學童列式解題能力為何？並觀察線段圖的置入對解題的影響。

（三）單步驟乘除法文字題

對於乘除法文字題的情境分類之研究，分析的方式很多，因其採用的

觀點不同而有不同的模式，以下針對 Greer（1992）以及 Kouba 和 Franklin

（1995）的觀點來加以說明。單步驟文字題乘除法問題依語意結構可分為

等值群組（含群組、比列）、倍數比較、組合（迪卡爾積）和面積問題（Greer,

1992）。以問題結構分類，則可分為「非對稱關係」和「對稱關係」二種（Kouba

& Franklin, 1995），在非對稱關係情境中，二個因數代表不同意義，具有不

同單位，例：等值群組和倍數比較問題；在對稱關係情境中，二個因數代

表同意義，具有同單位，例：組合和面積問題。將這些等值群組（含群組、

比列）、倍數比較、組合（迪卡爾積）和矩形面積問題四類題型，茲將分述

如下：

1.等值群組問題：等值群組問題是由一些相同個數的物體之集合所構

成的情境，以不同方式呈現，有些是自然重複的情形；換句話說有三種數

20

值（1）群組數量（2）群組大小（3）總數，每一個數都有可能是未知的部

分。群組數量和組群大小代表的意義不同，彼此間無法互換，若群組數量

和組群大小已知，而總數未知的問題即是乘法的等值群組型問題；若總數

和群組數量已知，組群大小未知的問題即是等分除的除法問題；若總數和

群組大小已知，群組數量未知的問題即是包含除的除法問題。

2.倍數比較問題：又稱乘法比較問題，比較型乘法是一種用「ｎ倍是

多少」來敘述情境。隱含著多對１的關係。這類的問題通常是倍數、折扣、

比例尺…...等；換句話說此類問題包含 2 個量的比較，在整數情境中，大

數（比較量）是小數（單位量）的特定倍數（單位量）；這三種量分別為（1）

單位量（小數）（2）比較量（大數）（3）單位數，每一種量都有可能是未

知的部分；若單位量或單位數未知時，可分類為等分除或包含除情境。

3.組合問題（迪卡爾積問題）：又稱為差積問題，是描述一種有序對關

係，每一個序對都是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有

順序的結合而成的；換句話說即為二集合中元素一對一配對組合，僅有組

合數未知和其中一集合元素個數未知二種。

4.矩形面積問題：矩形面積是將長方形任何一邊和相鄰一邊的長度相

乘，也可以把長方形分割成邊長為 1 公分的正方形，則長方形面積可以用

正方形面積的個數來計數，這樣一來圖示和由 n 行和 m 列所形成的棋盤圖

很相以，所以有研究者會將矩形面積問題和迪卡爾積問題合成一類成為組

合問題；換句話說指矩形面積問題是由二個相同單位形成的另一個新的單

位，僅有面積未知或矩形某一邊長未知二種。

由上述情形將這些等值群組（含群組、比列）、倍數比較、組合（迪卡

爾積）和矩形面積問題四類題型依不同的未知數關係整理如下表 2-2-2：

表 2-2-2

乘除法問題類型和例子彙整表

問題類型 例子

群組 總數未知

（乘法）

一個盒子裡有 5 顆糖，小明有 4 盒，問小明有幾

顆糖？

群組大小未知

（等分除）

小明有 15顆糖，要平分給 5 人，問每人可得幾顆

糖？ (續下頁)

21

群組數量未知

（包含除）

小明有 20顆糖，他想要每 5 顆裝成一盒，問他需

要幾個盒子？

比例 總數未知

（乘法）

一顆糖 6 元，問 4顆糖要幾元？

單位比率未知

（等分除）

5 顆糖 50 元，問一顆糖要幾元?

群組數量未知

（包含除）

一顆糖 8 元，小明有 32元可以買幾顆糖？

倍數比較 積數未知

（乘法）

小明有 5 顆糖，小花的糖果數是小明的 3 倍，問

小花有幾顆糖？

單位量未知

（等分除）

小明有 15顆糖，他的糖果數是小花的 3倍，問小

花有幾顆糖？

單位數未知

（包含除）

小明有 9 顆糖，小花有 45顆糖，問小花擁有的糖

是小明的幾倍？

組合 乘積未知 小明有 8 件上衣和 4 雙靯子，問他可以有幾種不

同的組合？ （一件上衣和一雙靯子為一種組合）

單位量未知 小明買了一些新的帽子和 3 雙靯子，他總共可以

組合出 18種組合，問小明買了幾頂帽子？ （一

件帽子和一雙靯子為一種組合）

矩形面積 面積未知 有一個長方形的長是 5 公分，寬是 2 公分，問長

方形的面積是幾平方公分？

邊長未知 有一長方形公園，長邊是 12 公尺，面積是 120平

方公尺，求寬邊是幾公尺？

資料來源：修編自甯平獻（2010）。數學教材教法（頁 68）。台北市：五南圖書出版股份

有限公司。

（四）乘除文字題的相關研究

陳淑琳（2002）研究發現二年級學童的解題表現，最容易的是等值

群組型問題，最難的是組合型問題。也會受數值大小的影響，乘數數值的

影響比被乘數的數值要大。乘法文字題的解題歷程方面學童能找出各類型

問題的已知條件，找出解題目標的表現較遜色，可以了解等組型、陣列型、

比較型問題的題意，但較不了解組合型的題意。

胡家戀（2003）研究發現三年級學童在除法文字題方面容易出錯之處

為：看到題目時不知用乘法還是除法算則、使用關鍵字解題導致解題失敗、

對比較型除法文字題和陣列型除法文字題不瞭解。

Christou 和 Philippou（1998）研究發現二到四年級學童解單步驟文字題

22

能力，依學童答對率高低，分成低成就、中下成就、中上成就、高成就，

低成就的學童能理解到等值群組問題；中下成就的學童能理解到等值群組

問題的結構；中上成就的學童能理解到比較型問題；高成就學童能理解簡

單的比例問題，但無法理解組合問題（迪卡爾積問題）。

謝旻虔（2008）研究發現國小四年級學童在問題整合過程中，問題表

徵容易遇到困難，每一種題型的總答對率都在 60％以下，由高到低為：等

組型(等分除)→等組型(乘)→比較型(乘)→矩形面積(乘)、比較型(除)→等組

型(包含除)→矩形面積(除)→迪卡爾積(除)→迪卡爾積(乘)。解題產生的錯誤

類型為 1.依據題目中兩個數字的大小來表徵，亦即把大的數字當被除數或

積。2.不了解題目中乘除運算關鍵字「平均」、「每個」、「搭配」、「配對」

及「基準量和比較量」的真正意涵。3.誤用關鍵字。4.空白類型，表示學童

缺乏該題型的基模知識，以笛卡爾乘積類型最多。

綜合以上研究，題型難易度由易到難應為：等值群組問題、比較型問

題、組合型問題（迪卡爾積問題）。

因為要使用分數來出題，所以本研究在分數兩步驟文字題中的第四類

乘除型，只針對等值群組（含群組、比列）、倍數比較型等二類題型來出題，

觀察學童對這類型題目以分數來出題，學童列式解題能力為何？並觀察線

段圖的置入對解題的影響為何。

二、兩步驟文字題

（一）兩步驟文字題分類

甯自強（1993）認為當使用兩個步驟才能解決問題時，該問題屬於兩

步驟文字題。解題的前半段要先設立子目標，當子目標解題成功，則成為

後半段解題活動成功的關鍵。Nesherh 和 Hershkovitz（1994）認為二個單一

步驟文字題的結合，可視為兩步驟文字題，其中第一步驟運算的結果會產

生一個新的資訊，稱之為隱含元素，在題目中是看不出來的，藉由隱含元

素連結到另一個單一步驟文字題，最後達到解題成功。

23

兩步驟文字題通常可以基模分類或運算分類，若依據解題基模不同，

可以將兩步驟文字題分為階層基模、分享全體基模和分享部分基模三種不

同的題型；再依不同的運算步驟可細分為 12 類。若依據運算形式，四則運

算的規則，則是運算分類，主要有（一）若無括弧且只有乘除或加減時，

則由左往右算，（二）若無括弧有乘除和加減時，則需先乘除後加減，（三）

若有括弧時，裡面的數字先運算，但括弧遵循前二個方法計算（吳金聰、

劉曼麗，2007）。在這樣的規則下所形成的解題步有兩步驟、三步驟，甚至

更多步驟。因本研究採取運算分類，來設計題目，以下針對運算分類來探

討，本文所涉及的分數四則混合運算只聚焦在兩步驟問題，其可形成以下

三類題型：

ａ★ｂ◆ｃ （ａ★ｂ）◆ｃ ａ★（ｂ◆ｃ）

其中★和◆代表＋、－、×、÷等四種運算符號。每一類型的第一個運

算符號有 4 情種形，而第二個運算符號也有 4 種情形，共可配出 16 種題型，

則三類題型可形成 48 種題型，又發現依運算順序相同，也算是重複題型。

因此 48 種題型扣掉 20 種重複結果，最後剩下 28 種題型。將這 28 種題型

又再分類成四大類，分述如下。

第一類加減型兩步驟，包括兩數的和（差）與第三數的和（差）。

例：ａ＋ｂ＋ｃ、ａ＋ｂ－ｃ、ａ－ｂ＋ｃ、ａ－ｂ－ｃ、ａ－（ｂ－

ｃ）、ａ－（ｂ＋ｃ）

第二類加（減）乘型兩步驟，包括兩數的積與第三數的和（差），兩數的和

（差）與第三數的積。

例：ａ＋ｂ×ｃ、ａ－ｂ×ｃ、ａ×ｂ＋ｃ、ａ×ｂ－ｃ、（ａ＋ｂ）×ｃ、（ａ

－ｂ）×ｃ、ａ×（ｂ＋ｃ）、ａ×（ｂ－ｃ）

第三類加（減）除型兩步驟，包括兩數的商與第三數的和（差），兩數的和

（差）與第三數的商以及第三數除以兩數的和（差）。

例：ａ＋ｂ÷ｃ、ａ－ｂ÷ｃ、ａ÷ｂ＋ｃ、ａ÷ｂ－ｃ、（ａ＋ｂ）÷ｃ、

24

（ａ－ｂ）÷ｃ、ａ÷（ｂ＋ｃ）、ａ÷（ｂ－ｃ）

第四類乘除型兩步驟，包括兩數的商乘（除）以第三數的積（商）和兩數

的積（商）除以第三數的商。

例：ａ×ｂ×ｃ、ａ×ｂ÷ｃ、ａ÷ｂ×ｃ、ａ÷（ｂ×ｃ）、ａ÷（ｂ÷ｃ）、ａ

÷ｂ÷ｃ

本研究以這 28 種題型為發展試題的依據，整理如表 2-2-3（顏色加深

處表題型重複），茲將 28 種題型的題目例舉於附錄三。

表 2-2-3

兩步驟文字題類型彙整表 ａ★ｂ◆ｃ （ａ★ｂ）◆ｃ ａ★（ｂ◆ｃ）

第一類 ａ+ｂ+ｃ （ａ+ｂ）+ｃ ａ+（ｂ+ｃ）

ａ+ｂ-ｃ （ａ+ｂ）－ｃ ａ+（ｂ-ｃ）

ａ+ｂ+ｃ （ａ-ｂ）+ｃ ａ-（ｂ+ｃ）

ａ-ｂ-ｃ （ａ-ｂ）-ｃ ａ-（ｂ-ｃ）

第二類 ａ+ｂ×ｃ （ａ+ｂ）×ｃ ａ+（ｂ×ｃ）

ａ-ｂ×ｃ （ａ-ｂ）×ｃ ａ-（ｂ×ｃ）

ａ×ｂ+ｃ （ａ×ｂ）＋ｃ ａ×（ｂ+ｃ）

ａ×ｂ-ｃ （ａ×ｂ）－ｃ ａ×（ｂ-ｃ）

第三類 ａ÷ｂ+ｃ （ａ÷ｂ）＋ｃ ａ÷（ｂ+ｃ）

ａ÷ｂ－ｃ （ａ÷ｂ）－ｃ ａ÷（ｂ-ｃ）

ａ-ｂ÷ｃ （ａ－ｂ）÷ｃ ａ-（ｂ÷ｃ）

ａ+ｂ÷ｃ （ａ＋ｂ）÷ｃ ａ+（ｂ÷ｃ）

第四類 ａ×ｂ×ｃ （ａ×ｂ）×ｃ ａ×（ｂ×ｃ）

ａ×ｂ÷ｃ （ａ×ｂ）÷ｃ ａ×（ｂ÷ｃ）

ａ÷ｂ×ｃ （ａ÷ｂ）×ｃ ａ÷（ｂ×ｃ）

ａ÷ｂ÷ｃ （ａ÷ｂ）÷ｃ ａ÷（ｂ÷ｃ）

資料來源：本研究者自行整理

註：顏色加深處表重覆題型

（二） 兩步驟文字題的相關研究

郭怡君（2012）研究發現國小二年級學生加、減與乘兩步驟文字題的

25

解題表現，發現學生在先加後乘的問題類型上表現較佳，其次是先乘後減，

再來是先乘後加，先減後乘的問題類型表現較差。錯誤解題類型有：誤解

題意、誤用關鍵字、無意義的列式、計算錯誤。錯誤解題原因有：基模知

識不足、問題轉譯產生困難、問題整合產生困難、沒有驗算和回顧的習慣。

Quintero（1984）研究發現五年級學生進行單步驟和兩步驟文字題解題

時，發現 66.6%的樣本在兩步驟文字題解題有困難，困難原因為：缺乏對

問題概念和關係的理解、使用錯誤的解題策略、用單步驟運算去解兩步驟

問題、表徵與運算的錯誤連結。

曹宗萍和林能傑（1995）研究發現國小三年級學生兩步驟文字題表現，

發現學童解題表現會因題型不同而有顯著差異。在基模方面，由難到易為

分享部分基模、階層基模、分享全體基模；在運算方面，由難到易為減除、

加除、減乘、加乘。

詹麗雯（2103）研究發現國小五年級學童在四則運算文字題解題歷程

各概念的表現，以「加、減兩步驟」的答題表現較佳；其他依序為「加（減）、

乘兩步驟」、「加（減）、除兩步驟」；而「乘、除兩步驟」的答題表現較差。

錯誤類型為計算錯誤、算式表徵不完整、不懂運用括號區分計算次序、看

錯題目的數值、使用關鍵字解題錯誤、語意理解能力不足、缺乏數學知識

與概念、隨意變更解題目標、忽略已知訊息及錯用資訊、四則運算規則運

用錯誤、任意使用運算符號。

江秀紋（2015）研究發現小六學童在分數應用問題測驗全體表現上，

不論是文字表徵、線段圖表徵、或是文字加線段圖表徵之解題表現均未達

顯著差異。從分數四則方面來看，加減法部分，學生在線段圖表徵的解題

表現顯著優於文字表徵；乘法部分，學生在文字表徵與文字加線段圖表徵

的解題表現皆顯著優於線段圖表徵；除法部分，學生在文字表徵、線段圖

表徵、文字加線段圖表徵的解題表現均沒有顯著差異。從運算類型來看，

改變類型的答對率優於併加類型，併加類型的答對率優於比較類型；分數

四則中當量除的答對率最低。性別因素方面，整份測驗男女生無顯著差異，

但女生在線段圖表徵以及文字加線段圖表徵的解題表現優於男生；解題習

慣方面，有使用線段圖的學生在整份測驗、文字表徵、文字加線段圖表徵

26

這三部分之解題表現均優於未使用線段圖的學生。

綜合上述研究發現，兩步驟文字題對學童而言是困難的。由第一節解

題理論文獻中，看出解題和表徵之間關係的微妙，解題失敗是因為學童不

容易將兩步文字題轉譯成正確的數學表徵，好的解題策略影響頗大，會使

解題成功的機會大幅度的提升；若能將好的、明確的解題策略教授給學童，

將有助於學童對於問題情境有更進一步理解、分析，並且能順利的發展解

決它的能力。在國小階段，教科書從國小三年級開始，就有單元陸陸續續

使用線段圖策略來表徵數學問題，讓學童理解問題，老師上課也會教授此

概念，但學童是否會分析、運用此解題策略？分數兩步驟文字題適合這種

方式表徵嗎？且因不同類題型，使用線段圖表徵會有顯著異差嗎？這些都

值得探討。下段針對現行綱要和教材加以分述如下。

三、現行綱要和教材分析

（一）數學課程標 92 課綱和 97 課綱之比較

本研究者藉由觀察 92 課綱和 97 課綱的分年細目發現，兩步驟文字題

提早學習了，而且學習內容描述和授課內容更加明確了，可由表 2-2-4 得

知。

表 2-2-4

九年一貫課程綱要（97課綱＆92課綱）彙整表

97 課綱 92 課綱

能

力

指

標

N-1-07能在具體情境中，解決加、減、

乘之兩步驟問題（不含連乘）。（修

N-1-08）

N-1-08能在具體情境中，解決簡單兩步

驟問題。

N-2-06能在具體情境中，解決兩步驟問

題（含除法步驟）。（修 N-1-08）

N-2-07能做整數四則混合運算，理解併

式，並解決生活中的問題。（修 N-2-03）

N-2-03能熟練整數四則混合運算，並解

決生活中的問題。

N-3-02能熟練整數四則混合運算，並解

決生活中的三步驟問題。（修 N-2-03）

分

年

細

目

1-n-06能做一位數之連加、連減與加減

混合計算。

1-n-06能作一位數之連加、連減與加減

混合計算。

2-n-09能在具體情境中，解決兩步驟問

題（加與減，不含併式）。

2-n-09能在具體情境中，解決兩步驟問

題（加、減與乘，不含併式）。

3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問

題。

3-n-06能在具體情境中，解決兩步驟問

題（加、減與除，不含併式）。

3-n-07能在具體情境中，解決兩步驟問 (續下頁)

27

題（加、減與除，不含併式）。（同 3-n-06）

3-n-08能在具體情境中，解決兩步驟問

題（連乘，不含併式）。（修 3-n-06）

4-n-04能在具體情境中，解決兩步驟問

題，並學習併式的記法與計算。（修

4-n-03）

4-n-03能在具體情境中，解決兩步驟問

題，並學習併式的記法（包括連乘、連

除、乘除混合）。

5-n-02能在具體情境中，解決三步驟問

題，並能併式計算。（修 5-n-01）

5-n-01能在具體情境中，解決三步驟問

題。

6-n-05能在具體情境中，解決分數的兩

步驟問題，並能併式計算。

（修 6-n-05）

6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計

算。

資料來源：教育部（2004）。國民中小學九年一貫課程綱要。台北：教育部。

由上可見兩步驟文字題教學內容發展的脈絡，二年級就要在具體情境

下解決加、減、乘之兩步驟問題，三年級就要會兩步驟整數連乘問題，並

學會用併式記錄整數加減兩步驟問題，四年級要會整數兩步驟併式（加減

乘除），五年級則學會到整數三步驟併式，六年級則要會分數兩步驟文字題

併式。

（二）現行國小六年級下學期南一版康軒版翰林版教科書分析

本研究又針對 102 年國小六年級下學期三個版本康軒版、南一版、翰

林版的兩步驟分數文字題四大類 28 種類型調查出現情形如下表 2-2-5。

表 2-2-5

六下三版本分數文字題二步驟題型分布情形彙整表

南 一 康 軒 翰 林

課本 習作 課本 習作 課本 習作

1. ａ＋ｂ＋ｃ 1

第 2. ａ＋ｂ－ｃ 1

3. ａ－ｂ＋ｃ 1 2 1

一 4. ａ－ｂ－ｃ 3 2 2

5. ａ－（ｂ＋ｃ） 1

類 6. ａ－（ｂ－ｃ）

7. ａ＋ｂ×ｃ

1

第 8. ａ－ｂ×ｃ 1

9. ａ×ｂ＋ｃ 1 1 1 1

二 10.ａ×ｂ－ｃ 1 1

11.（ａ＋ｂ）×ｃ 1 1 1 2 1 (續下頁)

28

類 12.（ａ－ｂ）×ｃ 1 1 1 1

13.ａ×（ｂ＋ｃ） 4 4 5 6 1

14.ａ×（ｂ－ｃ） 6 4 2 3 1

15.ａ＋ｂ÷ｃ

第

16.ａ－ｂ÷ｃ

2

1

17.ａ÷ｂ＋ｃ 1 1

三 18.ａ÷ｂ－ｃ 1 1

19.（ａ＋ｂ）÷ｃ 1

類 20.（ａ－ｂ）÷ｃ 1 1

21.ａ÷（ｂ＋ｃ） 2 5 3 2 1

22.ａ÷（ｂ－ｃ） 2 4 3 5 1 1

23.ａ×ｂ×ｃ 2 1

第 24.ａ×ｂ÷ｃ 1 2 2 1 1

25.ａ÷ｂ×ｃ 1 2 1 2 1

四 26.ａ÷（ｂ×ｃ） 2

27.ａ÷（ｂ÷ｃ） 2 1

類 28.ａ÷ｂ÷ｃ 2 1 3 1 1

由這三個版本可知，第一類加減兩步驟文字題南一版和翰林版出現的

題目比較少，而康軒版沒有出現任何這類的題目，第二類加（減）乘兩步

驟，南一版和康軒版有括號的題目出現較多，而翰林版題目分配均勻，其

次是第三類加（減）除兩步驟，南一版和康軒版集中在有括號的題目，而

翰林版題目分配均勻，再來是第四類乘除兩步驟，南一版的題目比較少，

其它二版本的題目均勻分配。總結來看，出現題型分配比率由多至少為：

第二類加（減）乘兩步驟、第三類加（減）除兩步驟、第四類乘除兩步驟、

第一類加減兩步驟。由上可知，教材內容有針對第二類和第三類加重授課

和演練，來幫助學童學習，本研究即針對這四類型來施測，觀察學童在學

完此課程後的學習表現。

29

第三節 表徵理論與數學學習之關聯

一、表徵的內涵

在認知心理學上，表徵是指：將現實裡的事物用其它較為抽象或符號

化的形式來代表；從訊息處理的觀點，表徵是指訊息處理過程中，將訊息

譯碼而換成另一種形式，以便儲存或表達的歷程 （張春興，1997）。數學

問題涉及的認知歷程是複雜且抽象化的（吳昭容，1990；楊淑芬，2001），

Lewis 與 Mayer（1987）指出大多數學生解題失敗，主要是在形成問題表徵

上有困難，Hayes（1989）認為外在表徵對問題解決幫助很大，特別是較複

雜的問題。若無外在表徵的輔助，會因認知負荷過大，造成解題失敗（羅

素貞，1996）；因為記憶容量有限，使用表徵輔助可將問題精緻化（杜佳真，

1999），Lesh、Post 和 Behr（1987）以溝通的觀點，提出數學學習的五種表

徵：（一）真實腳本、（二）靜態圖形、（三）具體操作、（四）口語符號、（五）

書寫符號，其彼此間有轉換關係且為平面網狀式的互動發展，描述如圖

2-3-1。五種表徵形式分述如下：

（一）真實腳本（ real scripts ）：利用實物情境的知識或物品來表示

或解釋問題情境。

（二）靜態圖形（stactic pictures）：靜態的圖示模式，如面積圖、數線

圖、統計表、抽象等號（、）等。

（三）具體操作（manipulative models）：必須配合某些數數學概念使

用才有意義的具體物，如算數積木、分數板、花版板等教具。

（四）口語符號（spoken language）：日常生活用的口語符號，如二分

之一。

（五）書寫符號（written symbol）：常用的數學算式或數學符號，如 4

＋3＝7、7＝10、x＋y＝20 等。

30

圖 2-3-1 表徵系統的交互作用模式

資料來源：編修自 Lesh, R. Post, T., & Behr, M.(1987). Representations and

translations among representation in mathematices learning and problem

solving. In C. Janview（Ed.）. Problems of representation in the teaching and learning of mathematics(p33-40). Hillsdale: NJ：Erlbaum.

表徵的多重意義容易使學生產生學習困擾，因為要做到對單一表徵的

完整建構，也要做到表徵間互相連結。表徵在學習活動中，除了可當運思

材料與溝通的媒介，亦是解題的工具。從解題工具來看，將表徵轉移到問

題裡，再表達出結果時，表徵可以簡化思考過程與問題（蘇琵雅 ， 2010）。

國小的分數概念向來是較難理解的，因為分數的學習過程中需要將具體操

作轉變為抽象的思維，學童比較難將現實世界中完整的東西切割成分數的

型態。大致來說，數學概念可以用具體表徵、圖像表徵和符號表徵三種方

式表現。Bruner（1966）的建議是由「具體表徵」到「圖像表徵」再到「符

號表徵」的順序，但 Lesh（1987） 所著重的是「表徵之間的關係」，並將

這些表徵之間和之內的關係稱為「轉譯」，每一個轉換對學生而言就是一個

概念的重新解釋。

由上述學者對表徵的定義中可知，表徵是指：解題者將內心的想法，

用不同的形式表達出來，將內部思考轉換為外在解題表徵，做為簡化問題

難度的工具。學童在各種表徵之間的轉換會出現困難，必須靠教師使用不

同的表徵，幫助學童建立新概念並能連結舊經驗，幫助學童將「具體表徵」

抽象化，進而推論出成人的「算則」。

靜態圖形

具體操作 書寫符號

實物情境 語言符號

31

二、圖示表徵的內涵和其解題之相關研究

在解題過程中，表徵特顯重要，因為解題表徵可溝通他人或解題者本

身，表徵能力區分為：創造使用表徵去組織、記錄、溝通數學想法；選擇、

運用及轉換數學表徵去解決問題；適當的外在表徵有助於內在表徵產生，

外在表徵若可以對應到學習者的思考層面，協助思考活動，則外在表徵就

能表達所對應的目標概念及所對的運算關係 （陳霈頡、楊德清，2005）；

NCTM 將發展學生表徵能力列為教學重點，學童能使用表徵模式及解釋物

質的、社會和數學的現象 （NCTM, 2000）。學童能在不同的表徵方式下自

由轉譯，表示對其概念理解的程度深淺有一定的認知。也有研究發現，解

決數學文字題時，附上具體的圖示可以降低題目難度及工作記憶負載（方

美珍，2007；Hembree, 1992 ；Lewis & Mayer, 1987）。針對附上具體的圖

示，Van Garderen（2007）提出在數學題目中，圖示表徵策略有基模圖、線

段圖、部分/全體的圖示法、腳本的圖示，以下對 Van Garderen（2007）提

出各圖示表徵來加以論述。

（一）基模圖（ schematic-diagram ）

依這題目意思，將問題敍述先畫出來，再用基模圖的方式，將數字標

記上去。閱讀理解能力正常和會畫圖的學童適合這種的基模圖，學童能夠

在讀完題目後，按照題目的說明，一步步完成圖。

例題：喬先用騎腳踏車方式從家裡騎到公車站共騎了 2 公里，再搭乘

公車到朋友家附近，公車開了 12.5 公里，下了公車後還要走 1 公里才到朋

友家，問喬的家離朋友家相距多少公里？如圖 2-3-2。

資料來源：修編自 Van Garderen(2007). Teaching students with LD to use diagrams to solve

mathematical word problems. Journal of Learning Disabilities, 40, P 540-553.

圖 2-3-2 基模圖示例

32

（二）線圖（ line-diagram ）

使用線圖的方式，按照題目描述，將數字標記上去。這種的題目要能

理解大小量之間的差異，才能以接續的方式，畫出線圖。

例題（1）：小花從起點出發，走了 10 公里之後，再走 30 公里，請問

共走了幾公里？如圖 2-3-3。

資料來源：修編自 Van Garderen(2007). Teaching students with LD to use diagrams to solve

mathematical word problems. Journal of Learning Disabilities, 40, P 540-553.

例題（2�