COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN

SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Y A DISTANCIA

APUNTES PARA LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS III

(Geometría Analítica)

Por ELEAZAR SASHIDA ROJAS

JORGE LUIS ESTRADA SORIA Profesores de Asesoría

Pátzcuaro, Michoacán, México Agosto del 2006

1

Encuadre El propósito de estos apuntes de la asignatura de Matemáticas III es ayudar al

estudiante a comprender y utilizar la Geometría Analítica. Al docente como

material didáctico de dicha asignatura del tronco común, para que el proceso

enseñanza-aprendizaje tenga resultados eficientes en este campo matemático

que es de suma importancia en la formación del alumno.

El contenido programático de esta asignatura es de cinco unidades las cuales

se orientaron en tres módulos para su estudio que conforman el curso de

Matemáticas III (Geometría Analítica) en nivel medio superior. Estos apuntes

contiene ejercicios que van de lo sencillo a lo complejo, para cubrir los niveles

del conocimiento requeridos en el programa del COBAEM, con la intención de

auxiliar en este proceso educativo.

Este material está enmarcado en el apartado de Construcciones geométricas

en el plano cartesiano con el Álgebra y la Geometría plana , y se trata de un

material de trabajo, dirigido tanto al profesorado del nivel medio Superior del

COBAEM, como apoyo a la propuesta de trabajo de Geometría analítica de

dicha asignatura en el SEAD.

El documento está estructurado en cinco unidades del programa de

matemáticas III. En ellos se recogen ideas o sugerencias adaptadas al curso,

se advierte que en ocasiones, algunos de los temas tratados pueden parecer

adecuados solamente para ciertos temas o con excesivo nivel de académico

para ser empleados pero, ahora bien, ¿acaso el alumno del bachillerato, no es

capaz de encontrar propiedades geométricas ?, ¿es que no puede construir

modelos para "demostrar" dichas propiedades?, estableciendo demostraciones

analíticas de teoremas de la geometría y en el último módulo, se cierra este

trabajo con construcciones con nivel de complicación, que tienen un interés

exclusivo para el profesor que quiera ampliar su información. El presente

documento de Matemáticas III, Geometría Analítica tiene como finalidad de

fomentar la creatividad del docente y del estudiante para enriquecer el proceso

enseñanza aprendizaje de las matemáticas.

El propósito de su elaboración es informar, orientar y asesorar a los educandos

del Colegio de Bachilleres de Michoacán, en la compresión y ejercitación del

álgebra con la geometría plana y trigonometría llevadas al plano cartesiano, así

2

como dar respuesta a sus inquietudes de aprendizaje. Es de suma importancia

hacer mención que muchos de los contenidos de este documento ha sido

recopilación de un sin numero de libros y de autores por lo que agradezco la

oportunidad de poder hacer uso de ellos, con la finalidad de establecer una

facilidad en el uso y la asimilación del conocimiento. Agregando novedades

encontradas en la bibliografía citada.

Objetivos General de la Asignatura de matemáticas III El estudiante: Resolverá problemas teóricos o de aplicación práctica,

provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el análisis y

aplicación, crítica y reflexiva, de técnicas, conceptos y procedimientos de la

geometría plana con coordenadas, mostrando interés científico y

responsabilidad en la aplicación participativa y productiva de tales

conocimientos al entorno personal y social en el cual se desarrolla.

Objetivos particulares de la Unidad Temática II: La línea recta El estudiante:

Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, aplicando e

integrando, de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y

procedimientos básicos de Geometría Analítica, con propiedades, ecuaciones y

gráficas de la línea recta, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo

de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el

entorno en el que se desenvuelve.

Desarrollo temático Este programa de Matemáticas III se imparte en el tercer semestre y trata los

siguientes temas: Sistema de ejes coordenados, el cual proporciona los

elementos necesarios para el análisis de coordenadas para el cálculo de

pendientes, distancias, áreas y ángulos de figuras geométricas. La línea recta,

en el que se analizan las propiedades, ecuaciones y gráficas de la línea recta.

La circunferencia, en la que se observan sus características geométricas al

igual que sus ecuaciones ordinarias. La parábola, en la que se analiza sus

propiedades, aplicaciones y sus diferentes ecuaciones; y por último las

Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas donde se describe su ecuación

3

general, su composición geométrica, así como la relación que guarda con las

unidades anteriores.

Considerando que Matemáticas III se enfoca al conocimiento de la geometría

analítica, su antecedente es Matemáticas II, la cual desarrolla la geometría y la

trigonometría, teniendo como subsecuente Matemáticas IV, donde sus

contenidos están orientados al Precálculo, de esta manera se conforma el

componente de formación básica del campo de las Matemáticas; quedando

como asignaturas secuenciales Cálculo Diferencial e Integral y Probabilidad y

Estadística I y II que forman parte del componente propedéutico.

Contenidos del programa de matemáticas III

Unidad I. Sistema de ejes coordenados

Unidad II. La línea recta

Unidad III. La circunferencia

Unidad IV. La parábola

Unidad V. Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas

4

Unidad II. La línea recta 2.1 Ecuaciones y propiedades de la recta

El propósito en esta unidad, es presentar las propiedades, ecuaciones y

gráficas de las formas de la línea recta. Se asume conocidos por parte del

alumno, los conceptos de plano cartesiano, la localización de puntos en el

mismo, algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos

puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una

razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una

recta en el plano cartesiano.

2.1.1 Forma punto-pendiente

• La recta como lugar geométrico

• Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig.

siguiente)

-10 -5 5

6

4

2

-2

b

b

L´

L

B

P´(x,0)

P´´(x,y)

P(x,y)

5

Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar

P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de

coordenadas

P’’(x, Y), Y y.

Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.

Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:

Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.

Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente

m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m

también es conocida. ..

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

L b

P1(X1,Y1)

6

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l,

viene dada por:

y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b (2)

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se

desconoce y se obtiene:

y – y1 = m(x – x1) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la

ecuación de la recta.

Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:

y = mx + (y1 – mx1).

Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:

b = y1 – mx1

• Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente

7

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

x

Y

p1(x1,y2)

P2(x2,y2)

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a

la ecuación anterior, que

y – y1 = m1 (x – x1) (1)

representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l,

entonces satisface su ecuación.

Esto es y2 – y1 = ; de donde

(2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la

recta.

Observaciones

8

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y

la ecuación

(3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1)

entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de

determinante, así:

= 0

.... 2 .1.2 Forma pendiente ordenada al origen

• Intersección de una recta con el eje y

La ecuación punto pendiente, analizada anteriormente en 2.1.1

y – y1 = m(x – x1)

Despejando la variable y , puede escribirse en la forma:

y = mx + (y1 – mx1).

Y por analogía con la ecuación pendiente ordenada al origen, analizada en

el apartado 2.1.1

9

y= mx+b

Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:

b = y1 – mx1

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

L b

P1(X1,Y1)

2.1.3. Forma simétrica

• Intersecciones de una recta con los ejes coordenados

• Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los

ejes coordenados

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes

x e y respectivamente (fig. siguiente)

10

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

X

YL

b

a

A(a,0)

B(0,b)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección

la ecuación de l viene dada por:

Es decir, de donde,

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O

FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las

medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo

correspondiente, pues haciendo en (1)

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)

x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

11

2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta

• Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y

viceversa

• La línea recta y la ecuación general de primer grado

Ecuación general de la línea recta

La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son

simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer

grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las

rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero

todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax +

By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como

lo afirma el siguiente teorema:

TEOREMA

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no

son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

Demostración

I. Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0, de donde

(2)

12

II. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de

donde

(3)

La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto

con el eje x es

III. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente

forma:

(4)

13

La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es y cuyo

intercepto con el eje y viene dado por

Observaciones

1. La ecuación general de la línea recta es posible escribirla en varias formas,

de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C (los

coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta) son todos

distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas

equivalentes:

(A) ; (B) ; (C)

14

En cada una de las ecuaciones (A), (B) y (C) existe esencialmente solo

dos constantes independientes, por ejemplo en (A).

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular,

necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto

y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

2. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general

Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x,

m viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y

viene dado por .

2.1.5. Forma normal de la ecuación de la recta

• Obtención de la forma normal a partir de la forma general

• Normal a una recta y distancia al Origen

De la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal.

Caso 1. B

Se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo,

bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1.

La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en

la forma normal es positivo.

Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma:

x cosα + y senα - p = 0 (2)

15

Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal

forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2).

Entonces kA = cos α , kB = senα y kC= -p

Así que k2A2 + k2B2 = 1, de donde

Se ha tomado solamente la raíz positiva puesto que B > 0 y 0o 180º.

Al sustituir el valor de k así obtenido en (3) completando la reducción de la

ecuación (1) a la forma normal: , en la

cual , y

Caso 2. B = 0

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de

donde y esta última ecuación puede identificarse con la forma

normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.

• Distancia entre rectas paralelas

Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones:

l: y = mx + b1 ó l: mx – y + b1 = 0

r: y = mx + b2 ó r: mx – y + b2 = 0

16

Supóngase además que 0 < b1 < b2.

Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje

Por el punto medio B del segmento , trazamos la paralela a l. Dicha recta

se conoce en geometría como la paralela media de l y r. Es evidente que su

intercepto con el eje y

es y como es paralela a l y r su pendiente es m.

Luego, (3) es la ecuación de la paralela media de l y r.

Se puede determinar ahora la distancia entre l y r.

Al llamar y

De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:

Igualmente,

.

Pero que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:

17

es la distancia entre las rectas

paralelas l y r

.. 2.1.6. Distancia entre un punto y una recta

• Distancia dirigida de una recta a un punto

• Distancia no dirigida entre un punto y una recta

Consideremos una recta l y el punto P(x1, y1) que no pertenece a la recta.

Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normal

x cos α + y sen α - p = 0 (1)

La distancia d entre P1 y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a

que p esté por encima o por debajo de l.

Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal

de l, se sigue entonces que (p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo

normal de la recta l1 que contiene al punto P(x1, y1) y es paralela a l. En

consecuencia, la forma normal de la recta l1 es:

x cos α + y sen α - (p + d) = 0 (2)

18

Como P(x1, y1) gl1, satisface entonces la ecuación (2).

Es decir, x1 cosα + y1 sen α - (p + d) = 0

De donde, d = x1 cos α + y1 senα - p (3)

Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:

Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado,

sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal

de l.

Así por ejemplo, como , representa la forma normal de la recta

Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto

P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por:

donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) está

por encima o por debajo de la recta l.

En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino

simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del

punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:

2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo

2.2.1. Medianas

19

Mediana de un triángulo es la recta que pasan por un vértice y el punto medio

del lado opuesto.

Sea el triángulo ACE y los Vértices A (-6.03,-3.62), C(-1.98,4.97) y

E(4.95, -4.52)

1.- Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de

vértices A, C, E

2.-Calcula las ecuaciones de las medianas.

3.- Comprueba tus cálculos con los resultados siguientes

4.- Calcula el baricentro o centroide, como punto de intersección de las

medianas (resolviendo, el sistema determinado con dos medianas) y

comprueba tu resultado

EJEMPLO RESUELTO

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

FC: y = -6.28x-7.48

BE: y = -0.58x-1.65

DA: y = 0.51x-0.53

FA = 5.51 cm

EF = 5.51 cm

DE = 5.88 cmCD = 5.88 cm

BC = 4.75 cm

AB = 4.75 cm

Medianas

Centroide: (-1.02, -1.06)F: (-0.54, -4.07)E: (4.95, -4.52)D: (1.48, 0.22)C: (-1.98, 4.97)B: (-4.01, 0.67)

F

CentroideDB

C

AE

2.2.2. Alturas

20

Altura de un triángulo es la recta perpendicular desde uno de los vértices a la

recta que contiene al lado opuesto.

Sea el triángulo ABC

1.- Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de

vértices A, C, E

2.-Calcula las ecuaciones de las alturas.

3.- Comprueba tus cálculos con los resultados siguientes

4.- Calcula el ortocentro, como punto de intersección de las alturas

(resolviendo, el sistema determinado con dos alturas) y comprueba tu

resultado

EJEMPLO RESUELTO

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

k

l

mm: y = -22.64x+129.18l: y = -1.57x+3.14

k: y = -0.31x-4.35

Ortocentro: (5.98, -6.23)C: (5.64, 1.61)B: (4.10, -3.28)A: (-2.49, -3.57)

alturas

Ortocentro

C

A B

2.2.3. Mediatrices

21

Mediatriz de un triángulo es la recta perpendicular que pasa por el punto

medio de un lado

Sea el triángulo ABC y lo Vértices: A(A x ,Ay); B(B x, By) y C(C x, C y)

1. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados:

Recuerda que, las coordenadas del punto medio de los segmentos, se

obtienen como semisuma de las coordenadas de los extremos

2.-Calcula las ecuaciones de las mediatrices.

3.- Comprueba tus cálculos con los resultados siguientes

4.- Calcula el circuncentro, como punto de intersección de las alturas

(resolviendo, el sistema determinado con mediatrices) y comprueba tu

resultado

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

j

kl

Círculo circunscrito

Puntos medios:F: (0.75, 0.04)

E: (3.94, 1.57)D: (0.22, 3.47)

Círculo circunscrito: (x-1.33)2+(y-1.17)2 = 4.362

Mediatriz

l: y = -2.08x+3.93k: y = 0.15x+0.97j: y = 1.97x-1.44

Circuncentro: (1.33, 1.17)C: (4.47, -1.85)B: (3.41, 5.00)A: (-2.96, 1.93)

F

E

D

Circuncentro

B

A

C

2.2.4. Bisectrices

22

La ngulo es una recta que divide un ángulo del triángulo en

cuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por dos

onsidere dos rectas l y r no paralelas a ninguno de los ejes coordenados y

C1 = 0 las ecuaciones de l y r

....

ctrices de los ángulos que se

lana se demuestra que b y b’ son perpendiculares y que

del

n punto cualquiera de las bisectrices b o b’.

bisectriz de un triá

dos ángulos congruentes y tiene sus puntos extremos en un vértice y el lado

opuesto al ángulo. Erectas que se cortan (vértice de un triángulo)

C

sea P el punto de intersección entre ellas.

Sean Ax + By + C = 0 y A1x + B1y +

respectivamente.

Sean b y b’ las rectas que determinan las bise

forman en P.

En geometría p

además todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados

ángulo. (fig. anterior)

Sea entonces P(x, y) u

De acuerdo a lo anterior, d(P, l) = d(P, r).

Esto es,

23

(1)

Equivalentemente,

(2) ó

(3)

(Recuérdese que x = y o x = -y)

Las igualdades (2) y (3) proporcionan entonces las ecuaciones de las

bisectrices b y b’ de los ángulos que forman las rectas l y r. Se puede

demostrar fácilmente y lo dejamos como ejercicio para el estudiante, que

dichas rectas son perpendiculares usando el concepto de pendiente.

EJEMPLO RESUELTO

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-5 5 10

m∠ABC = 96°

m∠FBC = 48°m∠ABF = 48°

CE: y = -0.8x+0.1

AD: y = 0.1x+1.4

BF: y = 4.7x+8.5

A: (-6.0, 1.0)

Incentro: (-1.5, 1.3)

C: (4.0, -3.0)B: (-1.0, 3.9)

E

F

DIncentro

B

C

A

24

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD II: LA LÍNEA RECTA

1. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y

P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un

paralelogramo.

2.. Si la pendiente de la recta que une los puntos:

a. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.

b. A(6, -1), y, B(10, Y1) es , encontrar Y1.

4. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2).

Encontrar el cuarto vértice.

5. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los

lados son los puntos (2,-1), (8,4) y (-1,3).

6. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un solo punto que

está a los de sus respectivos vértices.

7. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8),

B(3, -6), hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las

coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6).

8. Las rectas L1, L2 y L3 se cortan en el punto (-6, 4). Si L1 y L2 contienen los

puntos (2, 2) y (0, 0) respectivamente, y L3 es bisector del ángulo de L2 a L1,

encontrar la pendiente de L3 y su ecuación.

25

9. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya

pendiente es 2

10. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga

pendiente infinita.

11. Un punto esta situado a 8 unidades del origen y el coeficiente angular de

la recta que lo une al origen es –1/4. ¿Cuáles son las coordenadas de ese

punto?.

12. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección

de 6x – 2y + 8 = 0 con 4x – 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0.

13.. Cual es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x –

3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes

coordenados?.

14. Encontrar el ángulo agudo que forman las rectas, trazadas desde origen a

los puntos de trisección de la parte de la recta de ecuación 2x + 3y – 12 = 0,

comprendida entre los ejes coordenados.

15. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y

C(1, 2).

a. Encuentre las ecuaciones de las medianas.

b. Encuentre las ecuaciones de las alturas.

c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores.

d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.

e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo.

16. Resuelve los siguientes incisos:

a. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las

rectas: 2x – 3y + 7 = 0

b. y x + y – 7 = 0 y contiene al origen.

c. Pasa por la intersección de x – y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2

con el eje y.

26

d. Pasa por la intersección de 5x – 2y = 0, x - 2y + 8 = 0 y corta el primer

cuadrante determinando un triángulo de área 36.

e. Pasa por el punto de intersección de y – 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5

unidades del origen.

17. En cada uno de los incisos siguientes, encuentre la ecuación de la familia

de rectas que cumple la condición dada:

a. Pendiente -3.

b. Intercepto con el eje X en 2.

c. Intercepto con y en 6.

d. Pasan por el punto (-3, 2).

e. Paralelas a la recta: 4x – 3y + 20 = 0.

f. Perpendiculares a la recta 4x – 5y + 7 = 0 .

27

Bibliografía para la unidad II BÁSICA Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica Básica. México, Publicaciones

Cultural, 2004, 150 pp.

Capítulo 2. La línea recta.

Salazar Vásquez P. y Magaña Cuellar L. Matemáticas III, Compañía. Editorial

Nueva Imagen, Colección Científica, México, 2003, 293 pp.

Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica, Editorial Santillana, México, 1998,

320 pp.

COMPLEMENTARIA Holliday, Berchie y otros. Geometría Analítica con Trigonometría. México, Mc

Graw Hill, 2002, 605 pp.

Capítulo 1: Relaciones lineales y funciones.

Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. México, Publicaciones Cultural,

2002, 371 pp.

Capítulo 5: La línea recta y la ecuación de primer grado.

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