comment améliorer l'identification de systèmes mécaniques à l'aide des polynômes de...
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Comment améliorer l'identification de systèmes
mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev
Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures – UMR CNRS 5259
Département Génie Mécanique et Développement – INSA de LYON
par
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon et R. Dufour [email protected]
GdR MACS - Journée Identification GdR MACS - Journée Identification
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 2 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Origines et objectifs
Identification à temps continu Système contrôlé pas d’hypothèse sur les signaux
pas d’échantillonnage particulier
pas d’excitation « riche » fréquentiellement
pas de transformation discret/continu
modèle proche de la formulation mécanique
Transformation de l’opérateur dérivée en un opérateur
algébrique
Identification de systèmes variables dans le temps, voire
non linéaires
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 3 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Plan de la présentation
Principe de la méthode proposée
Comment améliorer l'identification ?
Application à un système mécanique variable
Application à un système non linéaire
Conclusions et perspectives
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 4 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Opérateur algébrique de dérivation
Polynômes de Chebyshev Définitions et propriétés
Base orthogonale (ordre n) :
Dérivation :
0 1 2
0 1 2
( ).
. . . .
nn
n nn x
dx tx x x x T
dt
x x x x T D TD
1cos cosnT n
0 1 2
tnnT T T T T
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 5 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Matrice de dérivation0
12
2 10
1
2
0 21
1
22 2
2 3
n
nm
m
n
mm
T pour n
dTn T pour n et n pair
dt T
nT n T pour n et n impair
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 4 0 0 0 0 0
3 0 6 0 0 0 02
0 8 0 8 0 0 0
5 0 10 0 10 0 0
0 2 0 2 0 2 0
D si n pairT
n n n
Opérateur algébrique de dérivationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 6 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Modèle mécanique : système à 1 degré de liberté
Sur la base orthogonale de Chebyshev :
Après simplification :
. . . . .n n nX D A XT T U T
1 10 11 1
(2, 1)20 21 22
n
nn
x x x xX
x x xx
1
(2, 1)20 21 22
0 0 0n
n
uU
u u uu
1 2. 0 1 .x D X x
2 2 1 2. .x D a a X u
1 2
1( )x a x a x u t
m
1 1
2 1 22
0 1 0. . ( )
1/
Matrice A
x x x tu t
a a mx x tx
Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 7 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Projection des signaux sur la base polynomiale définis sur Ne points :
Résolution de l’équation algébrique :
11, 1, 1( ) .
e
n
N nx t x T
21, 1, 1( ) .
e
n
N nu t u T
( 1, )
n
n NeT
22 2
1
. .t ta
X u D xa
22
1
21
. .. .tta
uX Xa
X D x
(2, 1)nX
Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 8 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Généralisation à un système à k ddl
2.k² inconnues (ici 18 inconnues)
1
12
2
3 3
44
5
56
6
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 2 2 1 2 20 0 .1 1 1 1
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2 2 2 2 23 3 4 3 3 4
0 03 3 3 3
x
xx
xx K K K C C C x
M M M M xxK K K K C C C C
xM M M M M Mx
xK K K C C Cx M M M M
0
0
0
sin(18 ) / 1
0
0
t M
14 4
25 5
6 618
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
t t
t t
t t
X Da u xaX u D x
u xaX D
Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 9 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Simulation sur 3 ddl
8.92x10-5Erreur Relative Moyenne
0.025Erreur Absolue Moyenne
6.25x10-9Écart Moyen Total
7.76x10-10Écart Moyen – position de la masse 3
4.85x10-10Écart Moyen – position de la masse 2
1.25x10-9Écart Moyen – position de la masse 1
2.24x10-8Écart Moyen – Signal d’entrée
-5.998-6- (C3+C4) / M3500.02500K3 / M2
4.0024C3 / M3-1500.018-1500- (K2+K3) / M2
0.0003001000.0181000K2 / M2
-2999.9-3000- (K3+K4) / M30.00100
999.981000K3 / M33.9994C2 / M1
0.0600-5.999-6- (C1+C2) / M1
2.00042C3 / M2-0.0800
-4-4- (C2+C3) / M22000.082000K2 / M1
2.00012C2 / M2-3000.05-3000- (K1+K2) / M1
Valeur identifiéeValeur réelleCoefficientsValeur identifiéeValeur réelleCoefficients
8.92x10-5Erreur Relative Moyenne
0.025Erreur Absolue Moyenne
6.25x10-9Écart Moyen Total
7.76x10-10Écart Moyen – position de la masse 3
4.85x10-10Écart Moyen – position de la masse 2
1.25x10-9Écart Moyen – position de la masse 1
2.24x10-8Écart Moyen – Signal d’entrée
-5.998-6- (C3+C4) / M3500.02500K3 / M2
4.0024C3 / M3-1500.018-1500- (K2+K3) / M2
0.0003001000.0181000K2 / M2
-2999.9-3000- (K3+K4) / M30.00100
999.981000K3 / M33.9994C2 / M1
0.0600-5.999-6- (C1+C2) / M1
2.00042C3 / M2-0.0800
-4-4- (C2+C3) / M22000.082000K2 / M1
2.00012C2 / M2-3000.05-3000- (K1+K2) / M1
Valeur identifiéeValeur réelleCoefficientsValeur identifiéeValeur réelleCoefficients
excitation =sinus 9 rd/s
Horizon =[0 4.2s]
Fréquence =1000 Hz
Résultats de simulationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 10 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Système linéarisé : pendule 3ddl linéarisé autour de la position verticale
Excitation sur une tige
Réponse en accélération des trois masses
Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 11 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Résultats de l’identificationParamètres Valeurs
réelles Valeurs
identifiées Paramètres Valeurs
réelles Valeurs
identifiées
11 1/K I -25451.7 -25340.59 21 2/C I 0.0362 1.57
12 1/K I 12512.8 12135.11 22 2/C I -0.513 -2.48
13 1/K I 0 253.16 23 2/C I 2.33 1.2
11 1/C I -0.7055 -5.098 31 3/K I 0 797.26
12 1/C I 0.0362 7.373 32 3/K I 12512.8 10615.21
13 1/C I 0.19 -3.86 33 3/K I -12543.74 -11372.52
21 2/K I 12512.8 11450.26 31 3/C I 0.19 0.87
22 2/K I -25056.56 -22470.76 32 3/C I 0.233 1.39
23 2/K I 12512.8 10906.82 33 3/C I -0.47 0.52
EAM 549.22 ERM (sans paramètres nuls) 18.35
système trop peu amorti !
Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 12 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Comment améliorer l'identification?
Attention aux caractéristiques mécaniques
0.51
1.52
050
100150
2000.000001
0.0001
0.01
1
100
Raideur massiqueAmortissement massique
00.5
11.5
2
x 104
050
100150
2000.000001
0.0001
0.01
1
100
Amortissement massiqueRaideur massique
Raideur massique
Amortissement massique
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 13 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Ordre de la base
0 50 100 150 200 250 300 350 40010
-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
Ordre de la base n
Eca
rt M
oyen
Tot
al
0 50 100 150 200 250 300 350 40010
-5
100
105
1010
Ordre de la base n
Err
eur
Abs
olue
Moy
enne
signaux
résolution
21 2eN n k
En choisissant l'ordre de la basePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 14 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Influence de l’ordre, de la fréquence d’échantillonnage, du nombre de points
Estimation empirique :
100150
200250
20004000
60008000
0.01
1
100
10000
ordre de la basenombre de points
Err
eur
Abs
olue
Moy
enne
0 50 100 150 200 250 300
1000
2000
3000
0.01
1
100
10000
fréquence (Hz)
ordre de la base
Err
eur
Abs
olue
Moy
enne
max4n f T
Nombre de points et fréquence d'échantillonnage
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 15 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Impulsion et bruit blanc large bande Chebyshev pas du tout adapté !
Sinus pur (avec régime transitoire !)
0 5 10 15 20 25 3010
0
101
102
103
104
105
Fréquence (Hz)
Err
eur
Abs
olue
Moy
enne
Fréquences propres du système
1
2
3
9.7 Hz 22.2 Hz 25.8 Hz
fff
En sélectionnant une excitationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 16 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
En sélectionnant les points d'identification
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
temps (s)
dépl
acem
ent m
asse
1 (
m)
1.6 1.8 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
temps (s)
vite
sse
(ms-1
)
RSB = 20dB
En choisissant les points
déplacement
vitesse
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 17 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Ce qui implique une reformulation du problème d'identification :
Les signaux sont décomposés sur toute la fenêtre
L'identification est faite uniquement là où les points sont proches du signal original
22 2
1
. . . . .n n ni
t
i i
tT t T
aX xtut DT
a
22 2
1
. .t ta
X u D xa
En choisissant les pointsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 18 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Résultats de simulation
1.6 1.8 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
temps (s)
vite
sse
(ms-1
)
Valeur Valeur Coefficient
réelle identifiée Coefficient
réelle identifiée - (K1+K2) / M1 -3000 -5313.58 C2 / M2 2 0.46
K2 / M1 2000 8412.6 - (C2+C3) / M2 -4 -2.371 0 0 -10752 C3 / M2 2 -0.43
- (C1+C2) / M1 -6 130.9 0 0 0.044 C2 / M1 4 -126.9 K3 / M3 1000 999.78
0 0 174.2 - (K3+K4) / M3 -3000 -2999.79 K2 / M2 1000 1014.73 0 0 -0.0038
- (K2+K3) / M2 -1500 -1544.53 C3 / M3 4 4.004 K3 / M2 500 573.96 - (C3+C4) / M3 -6 -6.006 Erreur Absolue Moyenne 1.114x103
Valeur Valeur Coefficient
réelle identifiée Coefficient
réelle identifiée - (K1+K2) / M1 -3000 -2991.42 C2 / M2 2 1.93
K2 / M1 2000 1961.4 - (C2+C3) / M2 -4 -3.7 0 0 68.15 C3 / M2 2 1.34
- (C1+C2) / M1 -6 -5.94 0 0 0.01 C2 / M1 4 3.91 K3 / M3 1000 999.97
0 0 0.2 - (K3+K4) / M3 -3000 -2999.95 K2 / M2 1000 1003.1 0 0 7,6x10-5
- (K2+K3) / M2 -1500 -1504.4 C3 / M3 4 4 K3 / M2 500 509.13 - (C3+C4) / M3 -6 -6 Erreur Absolue Moyenne 7.4
En choisissant les pointsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 19 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Comparaison pour différentes tailles de fenêtre
En limitant le nombre de pontsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 20 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Décomposer proprement les signaux sur la base au sens des Moindres Carrés
Sélectionner les points d'identification et ne garder que les plus "proches" du signal initial
Résoudre le problème inverse au sens des Moindres Carrés
•décomposition des signaux•résolution équations
Dissociation
Comment améliorer l'identification?Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 21 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Application système variable
Évolution d’une masse au cours du temps
Travail sur une fenêtre glissante
22 2
1
( )
( ). . . . .
t tn n ni i iT t X T t u T t
a
a tD x
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Temps (s)
Dé
pla
ce
me
nt
de
la
tig
e 1
(m
)
1 2 3 4 …
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 22 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Résultats pour différentes tailles de fenêtre
Application système variablePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 23 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Formulation sans troncature
Application système non-linéaire
2 1c kx t x t f
mt t
m mx
2
2
.
1. . .
. ni
tn
n ni i
ni i
k
mx T tc
m
T t f T t D x
x T t
m
T t x
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 24 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Propriétés des polynômes de Chebyshev
Possibilité d’écrire un opérateur produit sur la base polynomiale, en tronquant les ordres supérieurs à n
0
( ) . ( )n
k kk
P p T
0
( ) . ( )n
k kk
Q q T
0
2
( ) ( ) . ( )i ii
n
P Q c T
0 01
0 0
10
2
1 1( ) 1
2 2
1
2
n
j jj
i n i
i j i j j j i j i jj j
n
j i jj i n
p q p q si i
c p q p q p q si i n
p q si i n
Formulation avec troncaturePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 25 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Système à résoudre plus simple
Formulation avec troncature
2
2
.
1. . .
ni
tn ni i
ni
k
mx T tc
m
T t f T t D
t
x
T
m
0 01
0 0
10
2
1 1( ) 1
2 2
n
j jj
i i n i
j i j j j i j i jj j
x x x x si i
x x x x x x si i n
2
0
. ( )n
i ii
x T
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 26 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Comparaison des deux formulations
Application système non-linéairePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 27 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Système 3 DDL, non linéarités en raideurK1=k1. x1 =100.x1 N/m
K2=k2. (x2 - x1) = 200.(x2 - x1) N/m
K3=k3. (x3 - x2) = 50.(x3 - x2) N/m
K4=k4.x3 = 20 .x3 N/m
Fe=2000 Hzn=40T=2s
Excitation=2.sin(3t)
Coefficient Valeur réelle Valeur identifiée
Coefficient Valeur réelle Valeur identifiée
- k1 / M1 -100 -100.249 - (C2+C3) / M2 -4 -4.0045 k2 / M1 200 200.259 C3 / M2 2 2.0068
0 0 0.0713 -k3 / M3 -50 -49.987 - (C1+C2) / M1 -6 -6.0023 0 0 6
2.4 10
C2 / M1 4 4.02 - k4 / M3 -20 -20.0105 0 0 -0.033 0 0 6
3.7 10
-k2 / M2 -100 -99.986 C3 / M3 4 4.00004 k3 / M2 25 24.267 - (C3+C4) / M3 -6 -6.0001 C2 / M2 2 2.0005
Erreur Absolue Moyenne 0.0834
Application système non-linéairePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 28 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Validation expérimentale
Dispositif d'essais : hexapode déployable Thales Alénia Space
Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 29 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Modèle de Dahl généralisé équation générale
forme de h(u)
courbes enveloppes
sgnR t u t h u R u t
1sgn
2 u l u lh u h h u t h h
1 1
2 2
u
l
h a u b
h a u b
Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 30 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Formulation avec troncature
écrite pour tous les points mesurés
1 1
1 1
2 2
2 2
. 2 . .tn
a a
b b
A B C D E F T D Ra a
b b
1 11
12 2
23
32
2. . .
ni
i
nii
ni ti
ni
i
njj
T tF ta T tF tbF t T t
D RaF t T tb
F t T t
Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives
D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 31 / 40Journée Identification 14 Juin 2007
Résultats de l'identification
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Amélioration : prise en compte des oscillations
Nouvelle écriture
avec G
1 1 sinuh a u b A u
1
1
2
2
. 2 . .tn
a
b
aA B C D E G T D R
b
A
sgn sin sinnG T u u u u
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Résultats obtenus
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Introduction de coefficients variableseux-mêmes décrits par une décomposition
Application système variable
1x t f
c tx tt
mt
m
k tx
m
2 2 11 2nn nnn nTf T x D T T T x Tx
1 12 2 2n nnn Hf T D TTx T H
1
1 2 22
T T TH H f D x
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Simulation
Signaux décrits avec 120 polynômes Paramètres décrits avec 20 polynômes Excitation sinus 100 N à 20 rd/s
échantillonnée à 1000Hzpendant 2s
1000 sin 4 N/mk t t 2 sin 3 Ns/m5
c t t
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Résultats sur l'amortissement
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Conclusions
Méthode d’identification basée sur une base polynomiale (autres fonctions) adaptée à des signaux fréquentiellement « pauvres »
mais persistants à partir d’une formulation mécanicienne adaptée aux systèmes linéaires, variables ou non au
cours du temps, non linéaires adaptée aux systèmes amortis
Validation numérique sur plusieurs cas, sur des signaux bruités
Validation expérimentale sur systèmes non linéaires
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Perspectives
Améliorations possibles Estimation au sens des Moindres Carrés Représentation d’état avec équation de sortie
Utilisation sur d’autres types de non linéarités Système continu ou souple
Avec d’autres bases polynomiales Transformée en Ondelettes
Pour d’autres opérateurs Adaptés à la non linéarité supposée
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Perspectives
Base d’ondelettes définies sur Chebyshev
2 1.n n
C T
.OD DC
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