como elas saltam... objectivo estudo da função à qual pertencem os pontos correspondentes às...
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Como elas saltam...
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Objectivo
Estudo da função à qual pertencem os pontos correspondentes às alturas máximas
atingidas por uma bola durante um movimento de queda utilizando novas
tecnologias como o sensor CBR®
Os pontos mais escuros no gráfico correspondem à altura máxima atingida pela bola após cada colisão contra o solo
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• O atrito da superfície de contacto
• A elasticidade da bola
• O peso da bola
• A resistência do ar
Razões para a progressiva diminuição da altura máxima atingida pela bola
Estes factores levam a uma dissipação de energia e consequente diminuição da velocidade
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Traçado da função dos pontos máximos dos saltos da bola
• A função não é uma recta.
• A função apresenta características de uma função quadrática ou de uma exponencial.
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Experiências Realizadas
Ao longo desta apresentação os valores utilizados serão sempre os obtidos em apenas uma das experiências na qual o corpo se encontrava a 1,39m do solo.
No âmbito deste projecto foram realizadas várias experiências com corpos e em superfícies de contacto diferentes.
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Hipóteses
Exponencial
y = ax2 + bx + c y = a.bx
Quadrática
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Função Quadrática
• Através da utilização das funções da calculadora TI-83 que permitem o cálculo de regressões é possível obter a expressão da função quadrática que melhor se adapta aos pontos pretendidos
• Após de alguma investigação foi possível concluir que :
ax2 + bx + C
ConstanteMassa da bola (kg)
Altura inicial
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• Tomando b ( massa da bola ) valores menores, segundo o gráfico da função quadrática, a bola nunca cairia
Corpo de Massa 0,47 kg (valor de B)
Corpo de Massa 0,047 kg (valor de B)
Falsidade da função quadrática
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Função Exponencial
A função exponencial é dada por y = a.bx
• y é a altura máxima da bola em determinado salto
y(Altura do salto)
• a é a altura inicial da bola pois quando x = 0, y = a
a (Altura inicial)
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• Inicialmente b pensava-se ser o coeficiente de atrito devido à colisão corpo-solo o que provocava a redução da altura máxima de cada salto
Sendo o gráfico uma linha recta, a bola continuaria sempre o movimento regressando sempre à posição inicial o que implicaria não haver dissipação de energia e consequentemente inexistência de atrito. Situação que não é viável no sistema físico em que nos encontramos
Função Exponencial
Contudo, se b = 1
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Sendo a função crescente a bola aumentaria a altura máxima atingida a cada salto o que não é igualmente uma situação viável uma vez que a altura atingida tende a diminuir até a bola atingir um estado de repouso
permanente.
Função Exponencial
Se b > 1 (ex. b = 1,1)
Então se 0 < b < 1 é possível concluir que b seria uma percentagem.
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Mas que percentagem ?
Após alguma investigação e pesquisa foi possível inferir que,
Função Exponencial
Sempre que a bola salta, ela irá atingir uma altura máxima que corresponde a uma determinada percentagem do salto anterior.
Esta percentagem é aproximadamente constante durante todo o movimento sendo denominada de coeficiente de restituição e correspondendo ao valor b.
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Exemplo: Uma bola que seja largada a uma altura de 1m e atinja no primeiro salto 0,7m terá como expressão das alturas máximas y = 1 x 0,7x (0,7 corresponde a 70% de 1m). Desta forma, no 2º salto atingirá 0,49m (70% de 0,7).
70%
70%
d(m)
1
0.7
0.49
1 2 3 salto
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Cálculos analíticos
Função Exponencial
PercentagemCálculosAlturas Máximas
0,74 = 74%0,28
0,76 = 76%0,38
0,74 = 74%0,5
0,74 = 74%0,68
0,71 = 71%0,92
----------1,39
71,039,192,0
74,092,068,0
74,068,05,0
76,05,0
38,0
74,038,028,0
%7474,0x~
(valores obtidos numa das várias experiências realizadas)
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• x é o numero do salto e só pode ter valores inteiros.
Assim, o cálculo da altura máxima em cada um dos saltos seria calculada da seguinte forma:
1º salto – y = a.b1
2º salto – y = a.b2
3º salto – y = a.b3
Função Exponencial
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A Teoria e a Prática
Como é observado na imagem abaixo a função obtida por meio analítico para obtenção das alturas máximas atingidas durante o movimento não contém os pontos de altura máxima.
y = a.bx
y = 1,39 x 0,74x
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Prática
• A função obtida através da TI-83 como sendo a função que mais se aproxima dos pontos de altura máxima é descrita pela altura máxima do corpo em função do tempo
y = 1,39x0,65x
A Teoria e a Prática
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• A função obtida de modo analítico descreve as alturas máximas em função do número do salto e como tal nunca se adaptaria ao gráfico de descrição do movimento uma vez que neste as posições encontram-se em função do tempo
• A função é descontínua porque x só pode ter valores inteiros.
A Teoria e a Prática
Teoria
y = 1,39 x 0,74x
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Contudo, se para os pontos de altura máxima colocarmos o número do salto como componente de x no lugar dos valores temporais verificamos que, tal como esperado, a função obtida analiticamente (y = 1,39 x 0,74x) se aproxima dos pontos.
A Teoria e a Prática
Teoria
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Para finalizar:
y = a.bx
Onde:
y – altura atingida no salto
a – altura inicial
b – coeficiente de restituição
x – número do salto
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Realização do Projecto
Rui Pereira
Carla Lopes
Luís Oliveira
Em representação da turma
11º B1
Escola Secundária de Valongo
Com a colaboração de:
João Silva