Este libro contiene un sinfín dedivertidos y ocurrentes acertijosy adivinanzas. Para todo aquelque busque entretenimiento yque desee desarrollar suintelecto con un poco degimnasia mental.Puede disfrutarlo uno sólo o encompañía, exponiendo losacertijos y averiguando quién escapaz de acertar o quién loconsigue en menos tiempo.Bien estructurado, ameno y con

las soluciones perfectamenteexplicadas, es ideal para todosaquellos amantes depasatiempos y acertijos lógicos.

Raymond Smuyllan

¿Cómo se llama

este libro?

ePUB v1.3geromar 27.08.11

Título original de la obra:What is the name of this Book?

Traducción de: Carmen García TrevijanoLuis M. Valdés VillanuevaConsuelo Vázquez de Parga

Original English language edition publishedby Prentice-Hall, Inc.

©1978 by Raymond M. SmullyanAll rights reserved

Ediciones Cátedra, S. A. 1988Josefa Valcárcel, 27. 28027–Madrid

Colección Teorema

ISBN: 8–376–0297–1Depósito legal: M. 14.430–1988

Printed in SpainImpreso en LavelLos Llanos, nave 6. Humanes (Madrid)

Dedicado aLinda Wetzel y Joseph Bevando,

cuyos consejos han sidoinapreciables.

DOY GRACIAS A

Ante todo quiero dar las graciasa mis amigos Robert e Ilse Cowen ysu hija–de–diez–años Leonore, queleyeron juntos mi manuscrito y mesugirieron muchas cosas importantes.(Leonore, dicho sea de paso,

sospechó desde el principio larespuesta correcta para la preguntaclave del capitulo 4: ¿Existe enverdad Tweedledoo o es una merainvención de Humpty Dumpty?)

Estoy muy agradecido a Greer yMelvin Fitting (autores de un libroencantador y útil, In Praise ofSimple Things) por su interés por miobra y por habérsela hecho ver aOscar Collier de Prentice–Hall.También tengo que agradecerle aMelvin el que salga en este libro(¡refutando, por tanto, mi

demostración de que no podía salir!).Ha sido para mi un placer

trabajar con Oscar Collier y demásde Prentice–Hall: Ilene McGrath, queprimero preparó el texto paraproducción, me hizo muchassugerencias que acepté y agradezco;Dorothy Lachman a quien agradezcotambién su mucha experiencia en losdiversos estadios de producción.

Quiero volver a mencionar a lasdos personas que aparecen en ladedicatoria. Joseph Bevando y LindaWetzel, uña y carne de este libro

desde su más remoto comienzo.Mi querida esposa, Blanche, me

ha resuelto muchas dudas. Tengo laesperanza de que este volumen lepermita averiguar si su marido es uncaballero o un escudero.

PARTE PRIMERAACERTIJOS

LÓGICOS

1- ¿TOMADURA DEPELO?

1. ¿ME DIERON LA INOCENTADA?Conocí la lógica por primera vez

a los seis años, y fue así: el 1 deabril{1} de 1925, estaba en cama concatarro, o gripe, o algo por el estilo.Por la mañana, mi hermano Emilio—que era diez años mayor que yo—vino a mi cuarto y me dijo: «Sabes,Raymond, hoy es el día de losInocentes y te voy a dar una

inocentada mejor que todas las que tehayan dado nunca.»

Me pasé el día esperándola, peronada. Por la noche, ya tarde, mimadre me preguntó por qué no mehabía dormido aún y le contesté:«Estoy esperando a que Emilio medé la inocentada.»

Mi madre llamó a Emilio:«Emilio, haz el favor de darle lainocentada al niño.» Entonces Emiliovino a mi cama y sostuvimos elsiguiente diálogo:

Emilio: Así es queesperabas que te diera unainocentada, ¿verdad?

Raymond: Sí.Emilio: Y yo no te la he

dado, ¿no?Raymond: No.Emilio: Pero tú creías que te

la iba a dar ¿o no?Raymond: Sí.Emilio: Entonces, te la di,

¿a que sí?

Pues bien, me quedé despierto

hasta mucho después de que apagarantodas las luces, dándole vueltas a sime la había dado o no. Por un lado,si no me la había dado, no habríatenido lo que yo esperaba, y por tantome la habían dado. (Este era elargumento de Emilio.) Peroigualmente podía decirse que si mela habían dado yo había tenido lo queesperaba, y entonces, en qué sentidome la habían dado. ¿Me habíantomado el pelo o no me lo habíantomado?

No contestaré este acertijo ahora;

volveremos a él de una forma u otravarias veces a lo largo de este libro.Contiene un sutil principio que seráuno de nuestros temas principales.

2. ¿MENTÍA?Un incidente relacionado con lo

anterior me ocurrió muchos añosdespués cuando estaba haciendo eldoctorado en la Universidad deChicago. Por aquel entonces meganaba la vida como magoprofesional, pero mi negocio demagia pasó por un mal momento y me

vi obligado a ganar dinero por otrolado. Decidí intentar conseguir untrabajo de vendedor, y escribí a unacompañía de aspiradores que meobligó a pasar un test de aptitud. Unade las preguntas decía: «¿Está usteden contra de decir una mentirijilla devez en cuando?» En aquella época yosí estaba claramente en contra y,especialmente, en contra de losvendedores que mentían yrepresentaban mal sus productos. Sinembargo, me dije que si era sincero yexpresaba mi forma de sentir, no

conseguiría el trabajo; así es quementí y escribí «No».

Al volver a casa tras la interviúiba pensando si estaba o no en contrade la mentira que les había dicho alos de la compañía. Decidí que no loestaba. Pero entonces, dado que noestaba en contra de esa determinadamentira, tendría que sacar laconclusión de que no estaba encontra de todas las mentiras, y portanto mi contestación «No» del testno era una mentira, sino la verdad.

Y aún hoy no sé del todo bien si

estaba mintiendo o no. Tengo laimpresión de que la lógica me exigedecir que dije la verdad, ya que laidea de que estuviera mintiendo melleva a una contradicción. Así pues,la lógica me hace creer que decía laverdad, pero en aquella época yo sísentía que estaba diciendo unamentira.

Y hablando de mentir voy acontaros una historia de BertrandRussell y el filósofo G. E. Moore.Russell describía a Moore como una

de las personas más honestas quehabía conocido nunca, y un día lepreguntó si había dicho alguna vezuna mentira a lo que Moore contestóafirmativamente. Hablando de estoRussell escribió: «Creo que ésta esla única mentira que Moore dijo entoda su vida.»

Mi historia de vendedor deaspiradores hace surgir el tema de sies posible que una persona mientasin saberlo; yo diría que no. Para mímentir es enunciar algo no que sea

falso, sino que uno cree que es falso.Por supuesto si una persona dice algoque resulta ser verdad pero que élcreía que no lo era, yo diría queestaba mintiendo.

Y, a propósito de mentir, leí losiguiente en un libro de texto depsicología anormal. Los médicos deun manicomio estaban viendo sipodían dejar salir a un determinadopaciente esquizofrénico y decidieronhacerle un test con el detector dementiras. Una de las preguntas que lehicieron fue si era Napoleón.

Contestó que no, pero la máquinademostró que estaba mintiendo.

También leí en otro sitio lasiguiente historia que demuestracómo los animales a veces puedendisimular. Se estaba haciendo unexperimento con un chimpancéencerrado en una habitación en quehabía un plátano colgado del centrodel techo por una cuerda, pero estabademasiado alto para cogerlo. En lahabitación no había más que el mono,el experimentador, el plátano y lacuerda, y unas cuantas cajas de

madera de diferentes tamaños. Elobjeto del experimento eradeterminar si el chimpancé erasuficientemente listo para hacer unapila con las cajas, subirse encima ycoger el plátano, pero lo que enrealidad pasó fue lo siguiente: elexperimentador estaba en unaesquina de la habitación para irobservándolo todo; el mono fue hastala esquina y empezó a tirarle de lamanga haciéndole ver que quería quese moviera. El experimentador fuesiguiendo despacio al mono; cuando

estaban más o menos en el centro dela habitación el chimpancé le saltóde pronto sobre los hombros y cogióel plátano.

3. EL BURLADOR BURLADO

Un compañero mío de laUniversidad de Chicago tenía doshermanos, uno de seis y otro de ochoaños. Yo iba frecuentemente por sucasa y muchas veces les hacía juegosde magia a los niños. Un día llegué yles dije: «Tengo un truco con el queos puedo convertir a los dos en

leones.» Con gran sorpresa por miparte uno de ellos saltó: «Vale,conviértenos en leones.» «Bueno, esque, la verdad..., es que..., bueno, nolo puedo hacer porque luego nopodría volver a convertiros enniños.» Pero el pequeño me contestó:«Qué más da, quiero que nosconviertas en leones de todasformas.» «No, de verdad que no hayninguna forma de desconvertirosdespués.» El mayor me gritó:«¡Quiero que nos conviertas enleones!» a la vez que el pequeño me

preguntaba: «¿Y cómo haces paraconvertirnos en leones?» «Ah, pues,pronunciando las palabras mágicas.»«¿Y cuáles son? Dínoslas.» «Paradecíroslas tendría que pronunciarlasy entonces os convertiríais enleones.» Se quedaron pensando unmomento, y luego uno de ellos mepreguntó: «Pero, ¿no hay otraspalabras mágicas que sirvan paradesconvertir?» «Sí, claro que lashay, pero lo que pasa es que si digolas primeras palabras mágicas, osconvertiríais en leones, pero no sólo

vosotros sino todo el mundo,incluido yo, y como los leones nosaben hablar, no quedaría nadie en elmundo que pudiera decir las otraspalabras mágicas paradesconvertirnos.» El mayor dijorápidamente: «Pues escríbelas.»Pero el pequeño dijo: «Jo, yo no séleer.» «No, no, lo de escribirlas estotalmente imposible, porque inclusoescritas convertirían a todo el mundoen león.» Me miraron y dijeron:«Ah.»

Una semana después me encontré

con el de ocho años y me dijo:«Smullyan, ¿sabes qué? Quieropreguntarte una cosa que estoypensando hace mucho tiempo.» «¿Elqué?», le dije. «¿Oye, y cómo hicistetú para aprender las palabrasmágicas?»

2- ¿ADIVINANZAS YMONERÍAS?

A. UNAS CUANTAS DE LAS MÁSVIEJAS

Vamos a empezar con unascuantas adivinanzas muy antiguas quehan divertido a muchas generaciones.Algunas las conoceréis ya pero,incluso para aquellos que se lassaben, tengo unas cuantas nuevas.

4. ¿DE QUIÉN ES EL RETRATO QUEESTOY MIRANDO?

Esta adivinanza era enormementepopular cuando yo era pequeño, perohoy parece menos conocida. Lodivertido de ella es que casi todo elmundo da la solución equivocada,pero insiste —a pesar de todos losargumentos que se le den— en quetiene razón. Me acuerdo de una vez,hace ya casi cincuenta años; queteníamos invitados en casa y alguienla contó y empezaron a discutirlahoras y horas; los que habíancontestado bien no podían convencera los otros de que no tenían razón. El

problema es el siguiente:Un hombre estaba mirando un

retrato y alguien le preguntó: «¿Dequién es esa fotografía?», a lo que élcontestó, «Ni hermanos ni hermanastengo, pero el padre de este hombrees el hijo de mi padre». («El padrede este hombre» quiere decir, claro,el padre del que está en lafotografía.)

¿De quién era la fotografía queestaba mirando el hombre?

–SOLUCIÓN–

5.Supongamos que, en esa misma

situación, el hombre hubieracontestado: «Ni hermanos nihermanas tengo, pero el hijo de estehombre es el hijo de mi padre.» ¿Dequién sería la fotografía?

–SOLUCIÓN–6. ¿QUÉ PASARÍA SI UN OBÚSIRRESISTIBLE CAYERA SOBRE UNAGUARNICIÓN INDESTRUCTIBLE?

Este es otro de los problemas demi niñez que más me gustan. Por un

obús irresistible se entiende unproyectil que siempre da en el blancoy lo destruye, y por una guarniciónindestructible entendemos un puestoque nada ni nadie pueden destruir deninguna manera. Así que, ¿quépasaría si un obús que siempre da enel blanco y lo destruye tocara unaguarnición indestructible?

–SOLUCIÓN–7.

Éste es un problema muy sencilloque muchos de vosotros conoceréis.

En un cajón dentro de un cuartooscuro hay 24 calcetines colorados y24 azules. ¿Cuál es el número menorde calcetines que tengo que sacar delcajón para estar seguro de que saco,por lo menos, dos del mismo color?

–SOLUCIÓN–8.

El mismo pero diferente: En uncajón hay la misma cantidad decalcetines rojos que de azules.Supongamos que resulta que elnúmero más pequeño de calcetines

que tengo que coger para estar segurode que saco, por lo menos, un par delmismo color, es el mismo que tengoque coger para sacar, por lo menos,dos calcetines de diferente color.¿Cuántos calcetines hay en el cajón?

–SOLUCIÓN–9.

He aquí una famosa adivinanzalógica: Dado que en Nueva York haymás habitantes que pelos en lacabeza de cualquiera de sushabitantes y que ninguno de ellos es

totalmente calvo, ¿hemos de sacar laconclusión de que tendrá que haberpor lo menos dos habitantes quetengan exactamente el mismo númerode pelos?

Y he aquí una pequeña variantedel mismo problema: En Podunkestas tres cosas son verdad:

(1) Ninguno de sushabitantes tiene exactamente elmismo número de pelos.

(2) Ninguno de ellos tieneexactamente 518 pelos.

(3) Hay más habitantes quepelos en la cabeza de cualquierade ellos.

¿Cuál es el mayor númeroposible de habitantes de Podunk?

–SOLUCIÓN–10. ¿QUIÉN ERA EL ASESINO?

Esta historia trata de unacaravana que cruzaba el desierto delSahara y una noche montó sucampamento. Los personajes que nosinteresan son tres, a los que

llamaremos A, B y C. A odia a C ydecide matarle echando un veneno enel agua de su cantimplora (porsupuesto, C no podrá beber más aguaque la de su cantimplora). Por otrolado, B también decide matar a C y,sin saber que el agua de C ya estáenvenenada, le hace un agujerito enla cantimplora para que el agua sevaya saliendo lentamente. Comoresultado de ello, unos días despuésC muere de sed. ¿Quién es el asesinoA o B? Según unos el asesino fue Bya que C nunca llegó a beber el

veneno que le puso A, de manera quese habría muerto aunque A no lehubiera envenenado el agua. Segúnotros el verdadero asesino fue A yaque lo que hiciera B no afectaba paranada el resultado; una vez que Ahabía envenenado el agua, C estabaenvenenado, de manera que habríamuerto aun cuando B no le hubieraagujereado la cantimplora.

A propósito de esto, voy acontaros el cuento del leñador delMedio Este que llegó a un bosque entala pidiendo trabajo, y el capataz le

dijo, «No sé si éste será un buentrabajo para ti; aquí lo que hacemoses cortar árboles». «Pues eso esprecisamente lo que yo hago», lerespondió el leñador. «Vale, toma elhacha; vamos a ver cuánto tardas encortar este árbol.» El leñador seacercó al árbol y lo tumbó de un solohachazo. El capataz, asombrado, ledijo, «Muy bien, pero vamos a vercon ese otro grande de allí». Elleñador se acercó al árbol y —¡Pom!, ¡Pom!— en dos hachazos lohabía tirado, «¡Bárbaro, estupendo!

¡Claro que tienes el trabajo!, ¿perocómo has aprendido a cortar así?».«¡Uff! Tengo cantidad de práctica,corté muchísimos en el bosque delSahara.» El capataz se quedópensando un instante: «El desiertodel Sahara, querrás decir.» «Bueno,sí —respondió el leñador— ahora loes.»

–SOLUCIÓN–11. ÉSTE VA DE LEYES

Se está viendo el proceso de doshombres acusados de asesinato. El

jurado declara culpable al uno einocente al otro. El juez se dirige alculpable y le dice: «¡Este es el casomás extraño que he visto en mi vida!Aunque su culpabilidad está probaday más que probada, la ley me obligaa ponerle en libertad.» ¿Cómo teexplicas esto?

–SOLUCIÓN–12. Y ÉSTE DE INDIOS

Dos indios americanos, uno niñoy otro adulto, están sentados en untronco, el indiecito es hijo del adulto

pero el adulto no es padre del indiopequeño. ¿Cómo es posible?

–SOLUCIÓN–13. EL RELOJ QUE SE PARABA

He aquí una antigua adivinanzamuy bonita y sencilla: Había una vezun hombre que no tenía reloj ni depulsera ni de bolsillo, pero tenía unreloj de pared muy exacto que sólose paraba cuando se olvidaba dedarle cuerda. Cuando esto ocurría,iba a casa de un amigo suyo, pasabala tarde con él y al volver a casa

ponía el reloj en hora. ¿Cómo esposible esto sin saber de antemano eltiempo que tardaba en el camino?

–SOLUCIÓN–14. EL PROBLEMA DEL OSO

Lo divertido de este problema esque muchos lo han oído y saben lasolución pero no tienen suficientesrazones para demostrar que esa es lasolución, así es que, aunque la sepas,búscala más adelante para ver si lasabías del todo.

Un hombre está cien metros al sur

de un oso; anda cien metros endirección este, luego se vuelve haciael norte, dispara su fusil en esadirección y le da al oso.

¿De qué color era? (El oso,claro.)

–SOLUCIÓN–B. MONERÍAS

Al principio no sabía qué tituloponerle a este libro, se me ocurríancosas como «Lógica recreativa»,«Diversiones y juegos lógicos» yotras cosas por el estilo que no me

convencían del todo; un día cogí elRoget’s Thesaurus {2} y busqué en elíndice la palabra «Pasatiempos» queme mandaba a la voz 840 titulada«Diversión»; allí encontré cosas tanvariadas como «Chunga»,«Travesura», «Fiesta», «Broma»,«Colmo», «Jocosidad», «Quisicosa»,«Bufonada», «Mentecatada»,«Chiste» y «Juerga». En el siguientepárrafo encontré, «Juego», «Jugar a»,«Juguetear», «Travesura», «Locura»,«Saltimbanqui», «Calaverada»,

«Monería»{3}. Me eché a reír y ledije a mi mujer que iba a titular milibro «Monerías». Aunque el títulome parecía delicioso, no respondíaal contenido del libro, ya que lamayor parte de él difícilmente encajadentro de lo que puede entendersepor «monería»; pero en cambio valeperfectamente como subtítulo de estaparte del libro, como el lector podrácomprobar a continuación.

15. PROBLEMA DE LAS DOS MONEDAS

Dos monedas suman treinta

pesetas y, sin embargo, una de ellasno es un duro. ¿Qué monedas son?

–SOLUCIÓN–16.

Aquellos de vosotros que sepáisalgo de catolicismo, ¿sabéis si laiglesia católica permite que unhombre se case con la hermana de suviuda?

–SOLUCIÓN–17.

Un hombre vive en el piso

veinticinco de una casa que tienetreinta pisos. Todas las mañanas,menos los sábados y domingos, semete en el ascensor, baja a la plantade calle y se va a su trabajo. Por lastardes, llega a casa, toma elascensor, se baja en el pisoveinticuatro y sube un piso andando.

¿Por qué se baja en elveinticuatro en vez de bajarse en elveinticinco?

–SOLUCIÓN–18. UNO DE GRAMÁTICA

Para aquellos de vosotros que osimporta hablar correctamente, ¿cómose debe decir, la yema es blanca olas yemas son blancas?

–SOLUCIÓN–19. UN PROBLEMA DE TIEMPO

Un tren sale de Boston paraNueva York. Una hora después otrotren sale de Nueva York para Boston.Los dos trenes van exactamente a lamisma velocidad. ¿Cuál de los dosestará más cerca de Boston cuandose encuentren?

–SOLUCIÓN–20. UNA CUESTIÓN DE PENDIENTE

En una determinada casa las dosalas del tejado tienen diferenteinclinación; un ala tiene unainclinación de 60° y la otra de 70°.Supongamos que un gallo pone unhuevo exactamente en la cumbre.¿Hacia qué lado del tejado caería elhuevo?

–SOLUCIÓN–21. ¿CUÁNTOS NUEVES?

En una calle hay cien edificios.Se llama a un fabricante de númerospara que ponga número a todas lascasas del uno al cien; este tendrá queencargar los números para hacer sutrabajo. Sin un papel y un lápiz,¿puedes calcular mentalmentecuántos nueves necesitará?

–SOLUCIÓN–22.

Un caracol tarda una hora ymedia en recorrer un circuito ensentido horario, pero cuando hace

ese mismo camino en sentidocontrario sólo tarda 90 minutos. ¿Aqué se debe esa diferencia?

–SOLUCIÓN–23. UNA CUESTIÓN DE DERECHOINTERNACIONAL

Si un avión se estrella en lafrontera entre Estados Unidos yCanadá, ¿en qué país habrá queenterrar a los supervivientes?

–SOLUCIÓN–24. ¿CÓMO TE EXPLICAS ESTO?

El señor Smith y su hijo Arturoiban en un coche. Tuvieron unaccidente. El padre murió en el actoy el hijo quedó herido de gravedad ylo ingresaron en el hospital. Al verlo,el jefe del departamento de cirugíadijo: «Yo no le puedo operar. ¡Si esmi hijo Arturo!» ¿Cómo te explicasesto?

–SOLUCIÓN–25. ¡Y AHORA... ¿CÓMO SE LLAMAESTE LIBRO?!

¿Cómo se llama este libro?

–SOLUCIÓN–

3- CABALLEROS YESCUDEROS

A. LA ISLA DE LOS CABALLEROS YLOS ESCUDEROS

Hay una amplia variedad deadivinanzas relativas a una isla en laque ciertos habitantes llamados«caballeros» dicen siempre laverdad, y otros llamados«escuderos» mienten siempre. Sesupone que todo habitante de la islaes o caballero o escudero. Empezarécon una adivinanza de este tipo que

es muy conocida, para luego seguircon otras varias de mi propiacosecha.

26.Según este viejo problema, tres

de los habitantes —A, B y C— seencontraban en un jardín. Unextranjero pasó por allí y le preguntóa A, «¿Eres caballero o escudero?».A respondió, pero tan confusamente,que el extranjero no pudo enterarsede lo que decía. Entonces elextranjero preguntó a B, «¿Qué ha

dicho A?». Y B le respondió: «A hadicho que es escudero.» Pero en eseinstante el tercer hombre, C, dijo,«¡No creas a B, que está mintiendo!».

La pregunta es, ¿qué son B y C?

–SOLUCIÓN–27.

Al abordar el anterior problema,al punto me llamó la atención que, enrealidad, C no cumplía ningunafunción esencial; era una especie deapéndice. Es decir, desde elmomento en que habló B, uno podría

decir sin el testimonio de C que Bestaba mintiendo (véase la solución).La siguiente variante del problemaelimina ese aspecto.

Supóngase que el extranjero, enlugar de preguntarle a A por lo queéste era, le dijese: «¿Cuántoscaballeros hay entre vosotros?» Denuevo, la respuesta de A esininteligible. Entonces el extranjeropregunta a B, «¿Qué ha dicho A?». YB replica, «A ha dicho que hay uncaballero entre nosotros». Y C por suparte dice, «¡No creas a B, que está

mintiendo!».Ahora, ¿qué son B y C?

–SOLUCIÓN–28.

En este problema hay sólo dosindividuos, A y B, cada uno de loscuales es o caballero o escudero. Adice: «Uno al menos de nosotros esescudero.»

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–29.

Supóngase que A dice, «O yo soyun escudero o B es un caballero».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–30.

Supóngase que A dice, «O yo soyun escudero o en caso contrario dosmás dos es igual a cinco».

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–31.

Nuevamente tenemos tres

personas, A, B, C, cada una de lascuales es o caballero o escudero. A yB dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somosescuderos.

B: Uno de nosotros, y sólo uno esun caballero.

¿Qué son A, B, C?

–SOLUCIÓN–32.

Supóngase ahora que A y B dicenlo siguiente:

A: Todos nosotros somos

escuderos.B: Uno de nosotros, y sólo uno,

es un escudero.¿Puede determinarse lo que es B?

¿Puede determinarse lo que es C?

–SOLUCIÓN–33.

Supóngase que A dice, «Yo soyescudero, pero B no lo es».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

34.Volvemos a tener tres habitantes,

A, B y C, cada uno de los cuales es ocaballero o escudero. Se dice quedos personas son del mismo tipo sison ambos caballeros o ambosescuderos. A y B dicen lo siguiente:

A: B es un escudero.B: A y C son del mismo

tipo.

¿Qué es C?

–SOLUCIÓN–35.

De nuevo hay tres personas, A, By C. A dice, «B y C son del mismotipo». Alguien pregunta entonces a C,«¿Son A y B del mismo tipo?».

¿Qué responde C?

–SOLUCIÓN–36. UNA AVENTURA PERSONAL

He aquí una adivinanza pocofrecuente; además está tomada de lavida real. Una vez, cuando visité la

isla de los caballeros y escuderos,encontré a dos habitantesdescansando bajo un árbol. Lepregunté a uno de ellos, «¿Es algunode vosotros un caballero?». El merespondió, y con su respuesta pudesaber la solución a mi pregunta.

¿Qué es la persona a la que dirigími pregunta, caballero o escudero?;y, ¿qué es el otro? Puedo asegurarque he suministrado informaciónsuficiente para resolver esteproblema.

–SOLUCIÓN–37.

Suponte que eres tú, lector, quienvisita la isla de los caballeros yescuderos. Allí encuentras a doshabitantes que están perezosamenterecostados al sol. Le preguntas a unode ellos si el otro es un caballero, yobtienes una respuesta del tipo sí–o–no. Entonces le preguntas al segundosi el primero es un caballero. Yobtienes una respuesta del tipo sí–o–no.

¿Son las dos respuestasnecesariamente las mismas?

–SOLUCIÓN–38. ¿EDUARDO O ENRIQUE?

Esta vez te topas con uno solo delos habitantes de la isla que simulaestar perezosamente recostado al sol.Recuerdas que el nombre de pila deéste es o Enrique o Eduardo, pero nopuedes recordar cuál de ellos es. Asípues, le preguntas por su nombre depila y éste responde «Eduardo».

¿Cuál es su nombre de pila?

–SOLUCIÓN–B. CABALLEROS, ESCUDEROS YNORMALES

Una clase de problemasigualmente fascinante trata de trestipos de personas: caballeros, quesiempre dicen la verdad; escuderos,que siempre mienten, y personasnormales, que a veces mienten y aveces dicen la verdad. He aquíalgunas adivinanzas de mi propiacosecha sobre caballeros, escuderosy normales.

39.Estamos ante tres personas, A, B,

C, una de las cuales es caballero,otra escudero, y otra normal (aunqueno necesariamente en este orden).Dicen lo siguiente:

A: Yo soy normal.B: Eso es verdad.C: Yo no soy normal.

¿Qué son A, B y C?

–SOLUCIÓN–

40.Esta es una adivinanza poco

común: Dos personas, A y B, cadauna de las cuales es o caballero, oescudero, o normal, dicen:

A: B es un caballero.B: A no es un caballero.

Demuéstrese que al menos una deellas está diciendo la verdad, perono es un caballero.

–SOLUCIÓN–

41.Esta vez A y B dicen lo siguiente:

A: B es un caballero.B: A es un escudero.

Demuéstrese que o bien uno delos dos está diciendo la verdad perono es caballero, o bien uno de ellosestá mintiendo pero no es unescudero.

–SOLUCIÓN–42. UNA CUESTIÓN DE RANGO

En esta isla de caballeros,escuderos y normales, se dice quelos escuderos son de rango inferior,los normales de rango medio, y loscaballeros de rango superior.

Siento particular predilecciónpor el siguiente problema: Dadas dospersonas. A, B, cada una de lascuales es caballero, escudero, onormal, dicen lo siguiente:

A: Yo soy de rango másbajo que B.

B: ¡Eso no es verdad!

¿Pueden determinarse los rangosde A o de B? ¿Puede determinarse deuno u otro de estos enunciados si esverdadero o falso?

–SOLUCIÓN–43.

Dadas tres personas A, B, C, unade las cuales es caballero, otraescudero, y otra normal, A y B dicen:

A: B es de rango más altoque C.

B: C es de rango más alto

que A.

Entonces se le pregunta a C:«¿Quién es de rango más alto, A oB?» ¿Qué responde C?

–SOLUCIÓN–C. LA ISLA DE BAHAVA

La isla de Bahava es una isla defeministas; de ahí que a las mujeresse las llame también caballeros,escuderos, o normales. En ciertaocasión una antigua emperatriz deBahava, en un momento de humor,

promulgó un curioso decreto según elcual un caballero sólo podría casarsecon un escudero y un escudero sólopodría casarse con un caballero. (Portanto un normal sólo puede casarsecon un normal.) Así, dado unmatrimonio cualquiera, o bien ambosson normales, o bien uno de loscomponentes es caballero y el otroescudero.

Las tres historias que siguentienen todas lugar en la isla deBahava.

44.Consideremos primero un

matrimonio; el señor y la señora A,que dicen:

Señor A: Mi mujer no esnormal.

Señora A: Mi marido no esnormal.

¿Qué son el señor y la señora A?

–SOLUCIÓN–45.

Supóngase, en lugar de ello, quehubieran dicho:

Señor A: Mi mujer esnormal.

Señora A: Mi marido esnormal.

¿Habría sido diferente larespuesta?

–SOLUCIÓN–46.

Este problema se refiere a dos

matrimonios en la isla de Bahava, elseñor y la señora A, y el señor y laseñora B. Se les está haciendo unaentrevista, y tres de estas cuatropersonas dan el siguiente testimonio:

Señor A: El señor B es uncaballero.

Señora A: Mi marido tienerazón; el señor B es uncaballero.

Señora B: Eso es verdad.Mi marido es ciertamente uncaballero.

¿Qué son cada una de estascuatro personas, y cuáles de los tresenunciados son verdaderos?

–SOLUCIÓN–

4- ALICIA EN ELBOSQUE DEL OLVIDO

A. EL LEÓN Y EL UNICORNIO

Cuando Alicia entró en el Bosquedel Olvido no lo olvidó todo,solamente ciertas cosas. A menudoolvidaba su nombre, y una de lascosas que más disposición tenía aolvidar era el día de la semana.Ahora bien, el León y el Unicorniovisitaban frecuentemente el bosque.Los dos eran criaturas extrañas. El

León mentía los lunes, martes ymiércoles y decía la verdad los otrosdías de la semana. El Unicornio, porotra parte, mentía los jueves, viernesy sábados, pero decía la verdad losrestantes días de la semana.

47.Un día Alicia se encontró con el

León y el Unicornio queDescansaban bajo un árbol. Ellosdijeron lo siguiente:

León: Ayer fue uno de losdías en los que me tocaba

mentir.Unicornio: Ayer fue

también uno de los días en losque me tocaba mentir.

A partir de estos dos enunciadosAlicia (que era una chica muy lista)fue capaz de deducir el día de lasemana. ¿Qué día era éste?

–SOLUCIÓN–48.

En otra ocasión Alicia encontróal león solo. Este dijo:

(1) Ayer mentí.(2) Mentiré de nuevo dentro

de tres días.

¿En qué día de la semana sucedíaesto?

–SOLUCIÓN–49.

En qué días de la semana le esposible al León hacer los dosenunciados siguientes:

(1) Ayer mentí.

(2) Mañana mentiré denuevo.

–SOLUCIÓN–50.

En qué días de la semana le esposible al León decir: «Ayer mentí ymañana mentiré de nuevo.» Aviso. Larespuesta no es la misma que la delproblema anterior.

–SOLUCIÓN–B. TWEEDLEDUM Y TWEEDLEDEE

Durante un mes el León y el

Unicornio se ausentaron del Bosquedel Olvido. Estaban en otra parteluchando afanosamente por lacorona.

Sin embargo, Tweedledum yTweedledee visitabanfrecuentemente el bosque. Ahorabien, uno de los dos es como elLeón: miente los lunes, martes ymiércoles y dice la verdad losrestantes días de la semana. El otroes como el Unicornio: miente losjueves, viernes y sábados y dice laverdad los restantes días de la

semana. Alicia no sabía que uno eracomo el León y que otro era como elUnicornio. Para terminar dearreglarlo, los hermanos se parecíantanto que Alicia no podía ni siquieradistinguirlos (excepto cuandollevaban sus cuellos bordados, cosaque raramente hacían). Así pues, lapobre Alicia se encontró realmenteen una situación muy confusa. Heaquí ahora alguna de las aventuras deAlicia con Tweedledum yTweedledee.

51.Un día Alicia se encontró a los

hermanos juntos que le hablaron así:

El primero de ellos dijo:Yo soy Tweedledum.

El segundo dijo: Yo soyTweedledee.

¿Cuál de ellos era realmenteTweedledum y cuál de ellosTweedledee?

–SOLUCIÓN–

52.Otro día de la misma semana los

dos hermanos dijeron lo siguiente:

El primero de ellos dijo:Yo soy Tweedledum.

El segundo dijo: Si esto esrealmente verdad, entonces yosoy Tweedledee.

¿Quién era quién?

–SOLUCIÓN–53.

En otra ocasión, Alicia encontróa los dos hermanos y preguntó a unode ellos: «¿Mientes los domingos?»El respondió: «Sí.» A continuaciónella planteó al otro la mismapregunta. ¿Qué le respondió esteúltimo?

–SOLUCIÓN–54.

En otra ocasión los hermanoshablaron así:

El primero de ellos dijo:

(1) Los sábados miento.(2) Los domingos miento.El segundo dijo:Mentiré mañana.

¿Qué día de la semana era?

–SOLUCIÓN–55.

Un día Alicia se encontró conuno de los hermanos. Éste le dijo:«Hoy, miento y soy Tweedledee.»

¿Quién estaba hablando?

–SOLUCIÓN–56.

Supóngase que, en lugar de eso,él hubiera dicho: «Hoy miento o soyTweedledee.» ¿Sería posibledeterminar quién era?

–SOLUCIÓN–57.

Un día Alicia se encontró con losdos hermanos que le dijeron:

El primero de ellos dijo: Siyo soy Tweedledum entonces él

es Tweedledee.El segundo dijo: Si él es

Tweedledee, entonces yo soyTweedledum.

¿Es posible determinar quién esquién? ¿Es posible determinar el díade la semana?

–SOLUCIÓN–58.

En esta gran ocasión, Aliciaresolvió tres grandes misterios. Seencontró con los dos hermanos que

sonreían maliciosamente bajo unárbol. Ella esperaba que en esteencuentro averiguaría tres cosas: (1)el día de la semana; (2) cuál de losdos era Tweedledum; (3) (un hechoque ella había deseado conocerdurante largo tiempo) si Tweedledumera como el León o como elUnicornio, por lo que a sus hábitosde mentir respecta. Bien, los doshermanos hablaron así:

El primero de ellos dijo:Hoy no es domingo.

El segundo dijo: De hecho,hoy es lunes.

El primero de ellos dijo:Mañana es uno de los días enlos que le toca mentir aTweedledee.

El segundo dijo: El Leónmintió ayer.

Alicia palmoteo de alegría. Elproblema estaba ahoracompletamente resuelto. ¿Cuál es lasolución?

–SOLUCIÓN–C. ¿DE QUIÉN ES EL SONAJERO?

Tweedledum y Tweedledeese pusieron a pelear;Pues Tweedledum dijo que

Tweedledeehabía roto su bonito y nuevo

sonajero.

Posóse justamente entoncesuna monstruosa corneja

tan negra como un barril dealquitrán.

la cual asustó a los doshéroes de tal manera

que olvidaroncompletamente su disputa.

Antigua canción infantil

«Bien, bien», exclamótriunfantemente el Rey Blanco unbuen día a Alicia, «he encontrado elsonajero, y he hecho que loreparasen. ¿No tiene un aspecto tanbueno como cuando era nuevo?».

«Sí», replicó Alicia con

admiración, «realmente tiene tanbuen aspecto como el día en que fuehecho. Incluso un bebé no encontraríala diferencia».

«¿Qué quieres decir con inclusoun bebé?», gritó el Rey Blanco conseveridad. «Eso no es muy lógico, túlo sabes. Desde luego un bebé nopodría encontrar la diferencia —¡difícilmente se esperaría que unbebé hiciese eso!»

«Lo que deberías haber dicho»,continuó el Rey, un poco másgentilmente, «es que incluso un

adulto no encontraría la diferencia —ni incluso el mayor experto delmundo en sonajeros».

«En cualquier caso», continuó elRey, «imaginaremos que lo hasdicho. Lo importante es devolver elsonajero a su legítimo propietario.¿Me harías el favor de hacerlo?».

«¿Quién es el legítimopropietario?», preguntó Alicia.

«No tengo por qué decirte eso»,gritó el Rey con impaciencia.

«¿Por qué no?», preguntó Alicia.«Porque se dice de manera

completamente explícita en lacanción —que estoy seguro que túsabes— que Tweedledum dijo queTweedledee había roto su bonito ynuevo sonajero; de modo que elsonajero pertenece a Tweedledum,naturalmente.»

«No necesariamente», replicóAlicia, que estaba en vena para haceruna pequeña argumentación,«conozco perfectamente la canción, ycreo lo que dice».

«Entonces, ¿cuál es elproblema?», gritó el Rey más

perplejo que nunca.«Realmente, muy simple»,

explicó Alicia. «Doy por sentado quelo que dice la canción es verdadero.Por lo tanto Tweedledum dijoefectivamente que Tweedledee habíaroto su sonajero. Pero el hecho deque Tweedledum lo dijese nosignifica que esto sea necesariamenteverdadero. Quizás Tweedledum lodijo en uno de los días en los que letocaba mentir. Es más, según todo loque sé, podría considerarse la otraposibilidad, podría ser que fuese

Tweedledum el que rompió el nuevosonajero de Tweedledee.»

«Oh, querida», replicó el Reydesconsoladamente, «jamás pensé eneso. Ahora todas mis buenasintenciones resultan inútiles».

El pobre rey tenía un aspecto tanabatido, que Alicia pensó que se ibaa poner a llorar. «No te preocupesmás», dijo Alicia con un tono lo másconsolador que pudo. Dame elsonajero y yo intentaré encontrar cuáles el verdadero propietario. Hetenido alguna experiencia con

personas mentirosas y veraces y headquirido algunas mañas para tratarcon ellos.

«Así lo espero», respondió elRey lleno de tristeza.

Contaré ahora alguna de lasaventuras de Alicia con el sonajero.

59.Alicia cogió el sonajero y se

internó en el Bosque del Olvido,esperando encontrar al menos a unode los hermanos. Con gran deleitesuyo se encontró súbitamente con los

dos que, bajo un árbol, sonreíanburlonamente. Fue hacia el primero yle espetó: «¡Quiero saber ahoramismo la verdad! ¿De quién esrealmente el sonajero?» Él replicó:«El sonajero es de Tweedledee.»Ella pensó durante un momento ypreguntó al segundo: ¿Quién erestú?» Él replicó: «Tweedledee.»

Ahora bien, Alicia no recordabael día de la semana, pero estabasegura de que no era Domingo.

¿A quién debería entregar Aliciael sonajero?

–SOLUCIÓN–60.

Alicia restituyó el sonajero a sulegítimo propietario. Algunos díasmás tarde el otro hermano rompió denuevo el sonajero. Esta vez noapareció ninguna corneja negra queasustase a los hermanos, de modoque comenzaron a insultarse ypelearse el uno con el otro.

Alicia recogió el sonajero roto ysalió corriendo del bosque tanrápidamente como pudo.

Algún tiempo después, Alicia seencontró de nuevo con el ReyBlanco. Ella le explicóminuciosamente la situación.

«Muy interesante», replicó elRey. «La parte más destacable es queaunque sabes a quién dárselo, nosabes aún si el sonajero es deTweedledee o de Tweedledum.»

«Ciertamente», replicó Alicia,«pero, ¿qué hago yo ahora?».

«No hay ningún problema»,replicó el Rey, «yo puedo fácilmentearreglar de nuevo el sonajero».

Haciendo honor a su palabra, elRey Blanco restauró perfectamente elsonajero y se lo dio a Alicia unosdías más tarde. Alicia se internótemblorosamente en el bosque,temiendo que la pelea pudiesecontinuar todavía. De hecho, loshermanos habían acordado una treguatemporal y Alicia se encontróprecisamente con uno de ellos que,fatigado, descansaba bajo un árbol.Alicia lo miró de arriba a abajo y lepreguntó: «¿De quién es realmenteeste sonajero?» Él respondió

burlonamente: «Al verdaderopropietario de este sonajero le tocahoy mentir.»

¿Cuáles son las posibilidades deque el sonajero sea del hablante?

–SOLUCIÓN–61.

Algunos días más tarde Alicia seencontró de nuevo con uno de loshermanos que estaba tumbado bajoun árbol. Le hizo la misma pregunta,y la respuesta fue: «Al propietario deeste sonajero le toca hoy decir la

verdad.»Alicia meditó sobre esto;

precisamente se preguntaba cuáleseran las posibilidades de que elhablante fuese el propietario delsonajero.

«Sé lo que estás pensando», dijoHumpty Dumpty, quecircunstancialmente estaba por allícerca, «y las posibilidades sonexactamente trece sobre catorce».

¿Cómo llegó Humpty Dumpty aesos números?

–SOLUCIÓN–62.

Esta vez Alicia se encontró conlos dos hermanos junios. Alicia lepreguntó al primero: «¿Es tuyo estesonajero?» El respondió: «Sí.»Entonces Alicia preguntó al segundo:«Es tuyo este sonajero?» El segundorespondió, y Alicia dio a uno deellos el sonajero.

¿Dio Alicia el sonajero alprimero o al segundo?

–SOLUCIÓN–

D. DE BOCA DEL JABBERWOCKY

De todas las aventuras que Aliciatuvo con los hermanos Tweedle en elBosque del Olvido, la que voy arelatar ahora fue la más misteriosa, yla que Alicia recordaba másvívidamente.

Comenzó de esta manera; un díaHumpty Dumpty se encontró conAlicia y le dijo: «Niña, quierocontarte un gran secreto. Mucha genteno lo sabe, pero Tweedledee yTweedledum tienen en realidad untercer hermano —su nombre es

Tweedledoo. Vive en un país lejanopero ocasionalmente se da una vueltapor estos lugares. Es tan parecido aTweedledee y Tweedledum comoTweedledee y Tweedledum separecen entre sí.»

Esta información inquietó aAlicia terriblemente. En principio, laposibilidad de que hubiese realmenteun tercero significaría que todas susinferencias pasadas resultaríaninválidas, y que podría no habercalculado el día de la semana cuandorealmente pensaba haberlo hecho.

Después de todo —y esto era inclusode mayor importancia práctica—podría no haber restituido elsonajero a su legítimo propietario.

Alicia meditó profundamentesobre estos turbadores pensamientos.Finalmente planteó a Humpty Dumptyuna razonable pregunta.

«¿Qué días le toca mentir aTweedledoo?»

«Tweedledoo miente siempre»,replicó Humpty Dumpty.

Alicia se marchó silenciosa yapenada. «Quizás todo el asunto sea

solamente una invención de HumptyDumpty», pensó Alicia para si.«Ciertamente, esto me parece unafábula muy inverosímil.» Con todo.Alicia se veía asaltada una y otra vezpor el pensamiento de que aquellopodría ser verdad.

Existen cuatro versionesdiferentes de lo que sucedió acontinuación y te las voy a contartodas. Pido que supongas dos cosas:(1) si existe realmente un individuodistinto de Tweedledee oTweedledum que tenga una

apariencia indistinguible de ellos,entonces su nombre es realmenteTweedledoo; (2) si tal individuoexiste, entonces, en realidad, mientesiempre. Podría destacar que lasegunda suposición no es necesariapara la solución del siguientemisterio, pero lo es para los dos quesiguen después de éste.

63. LA PRIMERA VERSIÓN

Alicia se encontró con uno solode los hermanos en el bosque. Almenos, él parecía Tweedledee o

Tweedledum. Alicia le contó lahistoria de Humpty Dumpty, y lepreguntó: «¿Quién eres túrealmente?» Él le dio una respuestaenigmática: «Yo soy o Tweedledee oTweedledum, y hoy es uno de losdías en los que me toca mentir.»

La pregunta es: ¿existe realmenteTweedledoo, o se trata de unainvención de Humpty Dumpty?

–SOLUCIÓN–64. LA SEGUNDA VERSIÓN

De acuerdo con esta versión,

Alicia se encontró con (lo queparecían ser) los dos hermanos. Lepreguntó al primero: «¿Quién eres túrealmente?» Obtuvo las respuestassiguientes:

El primero de ellos dijo:«Yo soy Tweedledoo.»

El segundo dijo: «Sí, él es.»

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–65. LA TERCERA VERSIÓN

De acuerdo con esta versión.Alicia se encontró solamente con unode ellos, que dijo lo siguiente: «Hoyes uno de los días en los que me tocamentir.»

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–66. LA CUARTA VERSIÓN

De acuerdo con esta versiónAlicia se encontró con (lo queparecían ser) ambos hermanos un díalaborable. Ella preguntó: «¿Existerealmente Tweedledoo?» Ella

obtuvo las respuestas siguientes:

El primero de ellos dijo:Tweedledoo existe.

El segundo dijo: Yo existo.

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–EPÍLOGO

Ahora bien, ¿cuál es la verdadreal del asunto? ¿Existe realmenteTweedledoo o no? Bien, te he dadocuatro Misiones en conflicto sobre lo

que realmente sucedió. ¿Como sellegó a las cuatro versiones? Bien,para decir la verdad, yo no inventéesas historias por mí mismo; las oítodas de boca del Jabberwocky.Ahora bien, la conversación entreAlicia y Humpty Dumpty sucediórealmente: Alicia me lo dijopersonalmente y Alicia dice siemprela verdad. Pero las cuatro versionesde lo que sucedió después de esto melas contó en su totalidad elJabberwocky. Yo sé que elJabberwocky miente los mismos días

que el León (lunes, martes ymiércoles) y él me contó esashistorias en cuatro días laborablesconsecutivos. (Sé que eran díaslaborables porque soy un perezoso ylos sábados y domingos duermo todoel día.) Me fueron contadas en elmismo orden en que yo las he vueltoa contar.

A partir de esta información, nodeberías tener ninguna dificultadpara averiguar si Tweedledoo existerealmente, o si Humpty Dumptyestaba mintiendo. ¿Sabe Alicia si

Tweedledoo existe?

–SOLUCIÓN–

PARTE SEGUNDALOS COFRES DE

PORCIAY OTROS

MISTERIOS

5- EL MISTERIO DE LOSCOFRES DE PORCIA

A. LA PRIMERA HISTORIA

67A.E n El mercader de Venecia , de

Shakespeare, Porcia tenia tres cofres—uno de oro, otro de plata y otro deplomo—, dentro de uno de los cualesestaba el retrato de Porcia. Elpretendiente tenía que elegir uno delos cofres y si tenía suerte (ointeligencia) elegiría el que tenía el

retrato, pudiendo así pedir a Porciapor esposa. En la tapa de cada cofrehabía una inscripción para ayudar alpretendiente a elegir sabiamente.

Pero supongamos que Porciaquisiera elegir marido, no por subondad, sino por su inteligencia.Tendría las siguientes inscripcionesen los cofres:

OroEL RETRATO ESTÁ EN ESTE

COFRE

PlataEL RETRATO NO ESTÁ

AQUÍ

PlomoEL RETRATO NO ESTÁ EN

EL COFRE DE ORO

Porcia explicó al pretendienteque de los tres enunciados, a lo sumouno era verdad. ¿Cuál cofre debe deelegir el pretendiente?

–SOLUCIÓN–

67B.El pretendiente eligió

correctamente, así que se casaron yvivieron bastante felices… por lomenos durante algún tiempo. Pero undía Porcia pensó: «Aunque mimarido demostró una ciertainteligencia al elegir el cofre bueno,en realidad el problema no era tandifícil. Sin duda podía haber puestoun problema más difícil y haberconseguido un marido realmenteinteligente.» Así pues se divorcióinmediatamente de su marido

decidida a casarse con otro máslisto.

Esta vez en los tres consabidoscofres aparecían las siguientesinscripciones:

OroEL RETRATO NO ESTÁ EN

EL COFRE DE PLATA

PlataEL RETRATO NO ESTÁ EN

ESTE COFRE

PlomoEL RETRATO ESTÁ EN ESTE

COFRE

Porcia explicó al pretendienteque por lo menos uno de los tresenunciados era verdadero y que porlo menos otro era falso.

¿En cuál de los cofres está elretrato?

–SOLUCIÓN–EPÍLOGO

Y, oh destino, el primero que se

presentó resultó ser el exmarido dePorcia, que también esta vezdemostró ser lo suficientementeinteligente como para resolver elproblema. De manera que sevolvieron a casar. El marido llevó aPorcia a casa, la puso boca abajosobre sus rodillas, y le dio una buenaazotaina, y Porcia no volvió a tenerpensamientos estrafalarios.

B. LA SEGUNDA HISTORIA

Porcia y su marido vivieronfelices a partir de ese momento, y

tuvieron una hija, Porcia II, a la quede aquí en iniciante llamaremostambién Porcia.

Cuando la joven Porcia seconvirtió en mujer, también erainteligente y bella, exactamente igualque su mamá. Y también decidióelegir un marido por el método delcofre. El pretendiente tendría quepasar dos pruebas para conseguirla.

68A. PRIMERA PRUEBA

En ésta las tapas de los cofrestenían dos enunciados, y Porcia

explicó que ninguna de ellas teníamás que un enunciado falso.

Oro(1) EL RETRATO NO ESTÁ

AQUÍ(2) EL ARTISTA QUE HIZO

EL RETRATO ESVENECIANO

Plata(1) EL RETRATO NO ESTÁ

EN EL DE ORO(2) EL ARTISTA QUE HIZO

EL RETRATO SÍ ESFLORENTINO

Plomo(1) EL RETRATO NO ESTÁ

AQUÍ(2) EL RETRATO SÍ QUEESTÁ EN EL COFRE DE

PLATA

¿En qué cofre está el retrato?

–SOLUCIÓN–68B. SEGUNDA PRUEBA

Si el pretendiente pasaba laprimera prueba era conducido a otrahabitación en la cual había otros trescofres, que también tenían dosinscripciones en la tapa. Porciaexplicó que en una de las tapas losdos enunciados eran verdaderos; enotra ambos eran falsos, y en latercera uno era verdadero y otrofalso:

Oro(1) EL RETRATO NO ESTÁ

EN ESTE COFRE

(2) ESTÁ EN EL DE PLATA

Plata(1) EL RETRATO NO ESTÁ

EN EL DE ORO(2) ESTÁ EN EL DE PLOMO

Plomo(1) EL RETRATO NO ESTÁ

EN ESTE COFRE(2) ESTÁ EN EL DE ORO

¿En qué cofre estaba el retrato?

–SOLUCIÓN–

C. PRESENTAMOS A BELLINI YCELLINI

El pretendiente del cuentoanterior pasó ambas pruebas y, muycontento, pidió a Porcia por esposa.Se casaron, vivieron felices ytuvieron una bellísima hija. PorciaIII, a la que de aquí en adelantellamaremos simplemente Porcia. Éstacreció hasta convertirse en una bellae inteligente jovencita, exactamenteigual que su mamá y que su abuelita,y que también decidió elegir maridopor el método del cofre. ¡El

enamorado tendría que pasar trespruebas para conseguir su mano! Lastales pruebas eran bastanteingeniosas. Volvió a la técnica de suabuela de poner una sola inscripciónen cada cofre, pero añadió un nuevotruco: explicaba al pretendiente quecada uno de los cofres lo había hechouno de dos afamados artistasflorentinos —o Cellini o Bellini.Todos los cofres de Cellini teníaninscripción falsa mientras que Bellinisiempre les ponía una inscripciónverdadera.

69A. PRIMERA PRUEBA

En esta original prueba, elpretendiente (si contestaba a ciegas)tendría dos posibilidades sobre tresde acertar, en vez de una sobre tres.En vez de un retrato, Porcia metíauna daga en uno de los cofres ydejaba los otros dos vacíos. Si elpretendiente conseguía evitar el cofrede la daga, podía pasar a la pruebasiguiente. Las inscripciones rezabanasí:

Oro

LA DAGA ESTÁ AQUÍ

PlataESTE COFRE ESTÁ VACÍO

PlomoTODO LO MÁS UNO DE

ESTOSCOFRES LO HIZO BELLINI

¿Qué cofre tenía que elegir?

–SOLUCIÓN–69B. SEGUNDA PRUEBA

En ésta el pretendiente (sicontestara sin pensar) tendría uncincuenta por ciento de posibilidadesde acertar. Porcia le ponía sólo doscofres, el de oro y el de plata; uno deellos contenía su retrato (en estaprueba no utilizaba daga). Los cofreseran obra o de Cellini o de Bellini yen ellos se leía:

OroEL RETRATO NO ESTÁ

AQUÍ

PlataUNO Y NADA MÁS QUE

UNO DE ESTOSDOS COFRES ES OBRA DE

BELLINI

¿Cuál tenía que elegir elpretendiente para hallar el retrato?

–SOLUCIÓN–69C. TERCERA PRUEBA

Suponiendo que el pretendientepasara las dos primeras pruebas, sele conducía a otra habitación en la

que había de nuevo tres cofres, unode oro, otro de plata y otro de plomo,hechos también o por Bellini o porCellini. En esta prueba lasoportunidades de acertar delpretendiente (en caso de quecontestara a ciegas) eran una de cadatres. Porcia colocaba su retrato enuno de los tres y el pretendientehabía de (1) elegir el cofre quetuviera el retrato y (2) adivinar elautor de cada uno de los cofres. Lasinscripciones decían:

OroEL RETRATO ESTÁ AQUÍ

PlataEL RETRATO ESTÁ AQUÍ

PlomoPOR LO MENOS DOS DE

ESTOS TRESCOFRES SON OBRA DE

CELLINI

¿Cuál es la solución?

–SOLUCIÓN–

D. EL MISTERIO: ¿QUÉ ESTABA MAL?

70.La cuarta y última historia es la

más asombrosa de todas, e ilustra unprincipio lógico de primordialimportancia.

El pretendiente de la historiaanterior pasó todas las pruebas y secasó con Porcia III; tuvieron muchoshijos, nietos, etc.

Varias generaciones despuésnació en América una descendienteque se parecía tanto a los retratos de

sus antepasadas que le pusieron denombre Porcia N–ésima y a la queaquí llamaremos simplemente Porcia— la cual fue creciendo hastaconvertirse en una joven tan bella einteligente como las anterioresPorcias; además era alegre ydivertida, y hasta un poco perversa, ytambién ella decidió elegir maridopor el método de los cofres (lo queera un tanto fuera de lugar en lamoderna ciudad de Nueva York, perocorramos un tupido velo), la pruebaque inventó parecía de lo más

simple; tenía solo dos cofres, uno deplata y otro de oro, y en uno de ellosse ocultaba su retrato. Las tapas delos cofres tenían las siguientesinscripciones:

OroEL RETRATO NO ESTÁ

AQUÍ

PlataUNO Y NADA MÁS QUE

UNO DE ESTOSDOS ENUNCIADOS ES

VERDAD

¿Qué cofre elegir? Pues bien, elpretendiente razonó así: si lainscripción del cofre de plata esverdad, se da el caso de que uno ysólo uno de los dos enunciados esverdadero, lo que quiere decir que elenunciado del cofre de oro debe deser falso. Por otro lado, supongamosque el enunciado del cofre de plataes falso, entonces no se dará el casode que uno y sólo uno de los dosenunciados sea verdad sino que

ambos enunciados podrían ser oambos verdaderos o ambos falsos,pero los dos no pueden ser verdad(ya que asumimos que el segundo esfalso), de aquí que ambos seanfalsos. Así pues, de nuevo tenemosque el enunciado del cofre de oro esfalso, lo que quiere decir que lomismo da que sea verdadero quefalso el enunciado del cofre de plata,el del cofre de oro tiene que serfalso, de manera que el retrato tieneque estar en el cofre de oro.

Tras razonar así, el pretendiente

exclamó triunfante: «El retrato tieneque estar en el cofre de oro», y loabrió para comprobar horrorizadoque estaba vacío. Sin podercomprenderlo insistía en que Porciale había engañado. Pero Porcia sereía y mientras decía «Yo no merebajo a engañar a nadie», abrió elcofre de plata con aire triunfante ydesdeñoso. Evidentemente, el retratoestaba dentro.

Bien, ¿dónde demonios se habíaequivocado el pretendiente en surazonamiento?

«Muy bien, muy bien —dijoPorcia evidentemente divertida— demanera que tu razonamiento no tesirvió demasiado, ¿no? Pero, comome pareces un tanto atractivo, te voya dar otra oportunidad. La verdad esque no debería hacerlo, pero noimporta; olvidamos la primeraprueba y te pongo otra más fácil enque, en vez de una de cada dosprobabilidades de ganar, tendrás dosde cada tres. Se parece a una de lasde mi antepasada Porcia III. ¡Estavez seguro que la pasas!»

Y condujo al pretendiente a otrahabitación en que había tres cofres,uno de oro, otro de plata y otro deplomo; y le dijo que uno tenía unadaga y los otros estaban vacíos. Paraalcanzar su mano, no tenía más queescoger uno de los vacíos. Lasinscripciones de los cofres eran lassiguientes:

OroLA DAGA ESTÁ EN ESTE

COFRE

PlataESTE COFRE ESTÁ VACÍO

PlomoTODO LO MAS UNO DE

ESTOS TRESENUNCIADOS ES

VERDADERO

(Y, ahora, comparen esteproblema con la primera prueba dela tal Porcia III. ¿No parecenexactamente iguales?)

Pues bien, el pretendiente razonó

con todo cuidado de la siguientemanera: suponiendo que el tercerenunciado sea verdadero, los otrosdos tendrán que ser falsos; así puesel segundo enunciado es falso, luegola daga está en el cofre de plata. Porotro lado, si el tercer enunciado fuerafalso, tendría que haber por lo menoslos enunciados verdaderos y elprimero sería uno de ellos, luego ladaga está en el cofre de oro. En uno uotro caso, el cofre de plata estávacío.

El pretendiente eligió el cofre de

plomo, lo abrió y horrorizado, vioque tenía la daga dentro. Muerta derisa Porcia abrió los otros doscofres, que estaban vacíos.

Estoy seguro de que al lector lealegrará saber que aun así Porcia secasó con su pretendiente. (Lo habíadecidido mucho antes de hacerle laspruebas, pero se las había hecho paratomarle un poco el pelo.) Pero estono responde a nuestra pregunta:¿Cuál era la equivocación delrazonamiento del pretendiente?

–SOLUCIÓN–

6- DE LOS ARCHIVOSDEL INSPECTOR CRAIG

A. DE LOS ARCHIVOS DEL INSPECTORCRAIG

El Inspector Leslie Craig deScotland Yard ha consentidoamablemente en dar a conoceralgunas historias de sus casos parabeneficio de aquellos que esténinteresados en la aplicación de lalógica a la solución de casoscriminales.

71.Empezaremos con un caso

simple. Un enorme botín ha sidorobado de un almacén. El delincuente(o delincuentes) ha(n) transportadolos géneros robados en un coche.Tres famosos delincuentes. A, B, C,fueron conducidos a Scotland Yardpara ser interrogados. Seestablecieron los siguientes hechos:

(1) Ninguna otra personadistinta de A, B, C, estabaimplicada en el robo.

(2) C no se embarca nuncaen un asunto sin utilizar a A (yposiblemente a otros) comocómplice.

(3) B no sabe conducir.

¿Es A inocente o culpable?

–SOLUCIÓN–72.

Otro caso simple, nuevamente derobo: A, B, C, fueron conducidos ainterrogatorio y se establecieron lossiguientes hechos:

(1) Nadie fuera de A, B, C,está implicado.

(2) A no trabaja nunca sincontar al menos con uncómplice.

(3) C es inocente.

¿Es B inocente o culpable?

–SOLUCIÓN–73. EL CASO DE LOS GEMELOSIDÉNTICOS

En este caso, que ofrece mayorinterés, el robo ocurrió en Londres.

La policía atrapó para suinterrogatorio a tres famososdelincuentes A, B, C. Ahora bien,sucedía que A y C eran gemelosidénticos y pocas personas podíandistinguirlos. Se disponía de ficherosmuy completos de los tressospechosos y se conocía una grancantidad de datos acerca de suspersonalidades y hábitos. Enconcreto, los gemelos eran bastantetímidos, y nunca se embarcaban enuna empresa sin contar con uncómplice. B, por otro lado, era

bastante audaz y desdeñaba siempreel utilizar un cómplice. Asimismo,varios testigos manifestaron que en elmomento del robo uno de losgemelos fue visto bebiendo en un barde Dover, aunque no se sabía de cuálde ellos se trataba.

Nuevamente, asumiendo quenadie distinto a A, B, C, estabaimplicado en el robo, ¿cuáles soninocentes y cuáles culpables?

–SOLUCIÓN–74.

«¿Qué haría usted con estoshechos?», preguntó el InspectorCraig al Sargento McPherson.

(1) Si A es culpable y Binocente, entonces C esculpable.

(2) C no trabaja nunca solo.(3) A no trabaja nunca con

C.(4) Nadie distinto a A, B, C,

estaba implicado, y al menosuno de éstos es culpable.

El Sargento se rascó la cabeza ydijo, «Me temo que no mucho, señor.¿Puede usted inferir a partir de estoshechos quiénes son inocentes ycuáles culpables?».

«No», respondió Craig, «perohay suficiente material aquí parainculpar definitivamente a uno deellos».

¿Quién de ellos esnecesariamente culpable?

–SOLUCIÓN–75. EL CASO DE LA TIENDA DE

MCGREGOR.El Sr. McGregor, un comerciante

londinense, telefoneó a ScotlandYard para decir que su tienda habíasido robada. Se capturaron tressospechosos. A, B, C, para suinterrogatorio. Se establecieron lossiguientes hechos:

(1) Cada uno de los treshombres. A, B, C había estadoen la tienda el día del robo, ynadie más había estado en ellaese día.

(2) Si A era culpable,entonces tenía un cómplice, ysólo uno.

(3) Si B es inocente,también lo es C.

(4) Si dos y sólo dos sonculpables, entonces A es uno deellos.

(5) Si C es inocente,también lo es B.

¿A quién inculpó el InspectorCraig?

–SOLUCIÓN–76. EL CASO DE LOS CUATRO.

Esta vez cuatro sospechosos, A,B, C, D, fueron capturados para serinterrogados respecto a un robo. Sesabía con seguridad que al menosuno de ellos era culpable y que nadiedistinto a estos cuatro estabaimplicado. Del interrogatorioresultaron los siguientes hechos:

(1) A era definitivamenteinocente.

(2) Si B era culpable,

entonces tenía un cómplice, ysólo uno.

(3) Si C era culpable,entonces tenía dos cómplices, ysólo dos.

El Inspector Craig estabaespecialmente interesado en saber siD era inocente o culpable, ya que Dera un delincuente particularmentepeligroso. Por fortuna, los hechosanteriores son suficientes paradeterminar esta cuestión. ¿Es Dculpable o no?

–SOLUCIÓN–B. ¿PUEDE USTED ADIVINARLO?

El Inspector Craig solía ir confrecuencia a la sala de audienciaspara observar los juicios —inclusoen aquellos casos que no leconcernían directamente. Lo hacíacomo ejercicio de lógica —para verqué casos hubiera podido élresolver. He aquí algunos de losjuicios observados.

77. EL CASO DEL ABOGADODEFENSOR TONTO

Un hombre estaba siendo juzgadopor participación en un robo. Elfiscal y el abogado defensor dijeronlo siguiente:

Fiscal: Si el acusado esculpable, entonces tenía uncómplice.

Abogado defensor: ¡Eso noes cierto!

¿Por qué era esto lo peor que elabogado defensor podía haber dicho?

–SOLUCIÓN–78.

Este caso y el siguiente hacenreferencia al juicio de tres hombres,A, B, C, por participación en unrobo.

En el caso presente, seestablecieron los dos hechossiguientes:

(1) Si A es inocente o B esculpable, entonces C esculpable.

(2) Si A es inocente,

entonces C es inocente.

¿Puede establecerse laculpabilidad de uno cualquiera deellos en particular?

–SOLUCIÓN–79.

En este caso se establecieron lossiguientes hechos:

(1) Al menos uno de los treses culpable.

(2) Si A es culpable y B

inocente, entonces C esculpable.

Esta evidencia es insuficientepara condenar a ninguno de los tres,pero apunta a dos de ellos de modotal que uno de esos dos tiene que serculpable. ¿Quiénes son esos dos?

–SOLUCIÓN–80.

En este caso, más interesante,estaban implicados cuatro acusadosA, B, C, D, y fueron establecidos los

cuatro hechos siguientes:

(1) Si tanto A como B sonculpables, entonces C eracómplice.

(2) Si A es culpable,entonces al menos uno de losdos, B o C, era cómplice.

(3) Si C es culpable,entonces D era cómplice.

(4) Si A es inocenteentonces D es culpable.

¿Quiénes son definitivamente

culpables y cuáles son dudosos?

–SOLUCIÓN–81.

De nuevo tenemos cuatroacusados, A, B, C, D. Seestablecieron los siguientes hechos:

(1) Si A es culpable,entonces B era cómplice.

(2) Si B es culpableentonces o bien C era cómpliceo bien A es inocente.

(3) Si D es inocente

entonces A es culpable y Cinocente.

(4) Si D es culpable,también lo es A.

¿Quiénes son inocentes y quiénesculpables?

–SOLUCIÓN–C. SEIS CASOS EXÓTICOS

82. ¿FUE PRUDENTE DECIRLO?En una pequeña isla se estaba

juzgando a un hombre por un delito.Ahora bien, el tribunal sabía que el

acusado había nacido y crecido en lavecina isla de los caballeros y losescuderos. (Recuérdese que loscaballeros dicen siempre la verdad yque los escuderos mienten siempre.)Al acusado le estaba permitidopronunciar un único enunciado en supropia defensa. Así pues, meditódurante un rato y luego dijo estafrase: «La persona que realmentecometió este delito es escudero.»

¿Fue prudente para él haberdicho eso? ¿Mejoró o empeoró susituación con ello? ¿O no introdujo

ninguna diferencia?

–SOLUCIÓN–83. EL CASO DEL FISCAL AMBIGUO

En otra ocasión, dos hombres X,Y, estaban siendo juzgados en estaisla por un delito. Pero el aspectomás curioso de este caso es que sesabía que el fiscal acusador era ocaballero o escudero. El fiscalpronunció ante el tribunal los dossiguientes enunciados:

(1) X es culpable.

(2) X e Y no son ambosculpables.

De formar parte del jurado, ¿quéhabríamos hecho con estasafirmaciones? ¿Se podría habersacado alguna conclusión sobre laculpabilidad de X o de Y? ¿Cuál es tuopinión acerca de la veracidad delfiscal?

–SOLUCIÓN–84.

En la situación anterior,

supóngase ahora que el fiscal hadicho lo siguiente:

(1) O X o Y es culpable.(2) X no es culpable.

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–85.

En la misma situación supóngase,en cambio, que el fiscal ha dicho:

(1) O X es inocente o Y es

culpable.(2) X es culpable.

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–86.

Este caso tuvo lugar en la isla decaballeros, escuderos y normales.Recuérdese que los caballeros dicensiempre la verdad, los escuderosmienten siempre y los normales aveces mienten y a veces dicen laverdad.

Tres habitantes de la isla, A, B, yC, estaban siendo juzgados por undelito. Se sabía que ese delito habíasido cometido por solamente uno deellos. Se sabía también que el quecometió el delito era caballero, y queera el único caballero entre lossospechosos. Los tres acusadosdijeron:

A: Soy inocente.B: Eso es cierto.C: B no es normal.

¿Cuál de ellos es culpable?

–SOLUCIÓN–87.

Este caso, el más interesante detodos, guarda una similitudsuperficial con el anterior perorealmente es bastante diferente.También tuvo lugar en la isla decaballeros, escuderos y normales.

Los actores principales en estecaso eran el acusado, el fiscal, y elabogado defensor. La primeracomplicación es que se sabía que uno

de ellos era caballero, otro escuderoy el otro normal, aunque no se sabíaquién era quién. Y, cosa más extrañaaún, el tribunal sabía que si elacusado no era culpable, entonces elculpable era o bien el abogadodefensor o bien el fiscal. Se sabíatambién que el culpable no eraescudero. Los tres dijeron losiguiente en el juicio:

Acusado: Yo soy inocente.Abogado defensor: Mi

cliente es ciertamente inocente.

Fiscal: No es cierto, elacusado es culpable.

Estos enunciados parecían sinduda bastante naturales. El jurado seretiró a deliberar, pero no pudollegar a ninguna decisión; laevidencia anterior era insuficiente.Ahora bien, la isla era una posesiónbritánica por aquel entonces, así puesel gobierno telegrafió a ScotlandYard preguntando si podían enviar alInspector Craig para que ayudase aresolver el caso.

Varias semanas más tarde llegóel Inspector Craig y se reanudó eljuicio. Craig se decía a sí mismo,«¡Deseo llegar hasta el fondo de esteasunto!». Quería saber no sólo quiénera el culpable, sino también quiénera caballero, quién escudero y quiénnormal. Por ello decidió hacerjustamente las preguntas necesariaspara esclarecer estos hechos.Primeramente preguntó al fiscal,«¿Es, usted, por casualidad, elculpable?». El fiscal le respondió. ElInspector Craig meditó unos instantes

y luego preguntó al acusado, «¿Esculpable el fiscal?». Cuando elacusado respondió, al InspectorCraig se le aclaró todo el asunto.

¿Quién era culpable, quién eranormal, quién era caballero, y quiénera escudero?

–SOLUCIÓN–

7- CÓMO EVITAR A LOSHOMBRES LOBOS…

Y OTROS BREVESCONSEJOS PRÁCTICOS

Este capítulo tiene que ver máscon los aspectos prácticos que conlos aspectos recreativos de la lógica.Hay muchas situaciones en la vida enlas que es bueno saber lo que unopuede dar de sí. Por esta razón tebrindaré ahora instruccionespormenorizadas que te enseñarán:

(A) cómo evitar a los hombres lobosen el bosque; (B) cómo elegir unanovia; (C) cómo conducir la defensade uno mismo ante un tribunal; (D)cómo casarse con la hija de un rey.

Por supuesto, yo no puedogarantizar de una manera absolutaque vayas a afrontar de hechoninguna de estas situaciones, pero,como sabiamente le explicó a Aliciael Conejo Blanco, es bueno estarpreparado para todo.

A. QUÉ HACER EN EL BOSQUE DE LOSHOMBRES LOBOS

Supón que visitas un bosque en elque todo habitante es o caballero oescudero. (Recordemos que loscaballeros dicen siempre la verdad ylos escuderos mienten siempre.)Además, algunos de los habitantesson hombres lobos y tienen la feacostumbre de convertirse a veces porla noche en lobos y devorar a lagente. Un hombre lobo puede ser ocaballero o escudero.

88.Allí entrevistas a tres habitantes.

A, B y C, y se sabe que uno de ellos,y sólo uno, es hombre lobo. Cada unodice lo siguiente:

A: C es hombre lobo.B: Yo no soy hombre lobo.C: Al menos dos de

nosotros son escuderos.

Nuestro problema tiene dospartes:

(a) ¿Es el hombre lobo caballeroo escudero?

(b) Si tuvieras que aceptar a unode ellos como compañero de viaje, yes preferible que no sea hombre loboa que no sea escudero, ¿a cuálelegirías?

–SOLUCIÓN–89.

De nuevo, cada uno de los tres,A, B, C, es caballero o escudero yuno de ellos, y sólo uno, es hombrelobo. Dichos habitantes dicen:

A: Yo soy hombre lobo.

B: Yo soy hombre lobo.C: Todo lo más uno de

nosotros es caballero.

Dar una clasificación completade A, B y C.

–SOLUCIÓN–90.

En este problema, y en los dossiguientes, vuelve a haber treshabitantes. A, B, C, cada uno de loscuales es o caballero o escudero. Sinembargo sólo hablan dos de ellos, A,

B. Pero cuando hablan la palabra«nosotros» se refiere a las trespersonas A, B, C —y no solamente aA y B.

Supóngase que A y B dicen losiguiente:

A: Al menos uno de nosotrostres es caballero.

B: Al menos uno denosotros tres es escudero.

Dado que al menos uno de elloses hombre lobo, y que ninguno de

ellos es a la vez caballero y hombrelobo, ¿quiénes son hombres lobos?

–SOLUCIÓN–91.

Esta vez obtenemos los siguientesenunciados:

A: Al menos uno de nosotrostres es escudero.

B: C es caballero.

Dado que hay exactamente unhombre lobo y que éste es caballero,

¿quién es el hombre lobo?

–SOLUCIÓN–92.

En este problema obtenemos losdos enunciados siguientes:

A: Al menos uno de nosotrostres es escudero.

B: C es hombre lobo.

De nuevo, hay exactamente unhombre lobo y es caballero. ¿Quiénes?

–SOLUCIÓN–93.

En este problema tenemos quehay exactamente un hombre lobo yque es caballero, y que los otros dosson escuderos. Sólo uno de ellos, B,dice: «C es un hombre lobo.»

¿Quién es el hombre lobo?

–SOLUCIÓN–94.

Este es un problema sencillo yelegante que requiere la presencia de

sólo dos habitantes, A y B. Uno deellos, y sólo uno, es un hombre lobo.Los enunciados que pronuncian sonlos siguientes:

A: El hombre lobo escaballero.

B: El hombre lobo esescudero.

¿A quién escogerías comocompañero de viaje?

–SOLUCIÓN–

B. CÓMO GANAR O ELEGIR UNANOVIA

95. ¿CÓMO CONVENCERLA?Supón que eres un habitante de la

isla de caballeros y escuderos. Allíte enamoras de una joven y deseascasarte con ella. Sin embargo, estajoven tiene gustos extraños; poralguna incomprensible razón nodesea casarse con un caballero;desea casarse sólo con un escudero.Pero desea un escudero rico, no unescudero pobre. (Por conveniencia,damos por supuesto que todo

habitante de la isla es allí clasificadoo como rico o como pobre.) Y supónademás que, de hecho, eres unescudero rico. Sólo te está permitidoformular a esa joven un enunciado.¿Cómo, con un solo enunciado,puedes convencer a la joven de queeres un escudero rico?

–SOLUCIÓN–96.

Supón ahora que, en lugar deello, la joven a la que amas deseacasarse sólo con un caballero rico.

¿Cómo, con un enunciado, podríasconvencerla de que eres un caballerorico?

–SOLUCIÓN–97. CÓMO ELEGIR UNA NOVIA

Esta vez eres un viajero quevisita la isla de caballeros yescuderos. Toda mujer de esa isla eso caballero o escudero. En esta islate enamoras de una de esas mujeres—una joven llamada Isabel— ypiensas en casarte con ella. Sinembargo, deseas saber qué es lo que

vas a obtener; pues no quisierascasarte con una mujer escudero. Si sete permitiera interrogarla, no habríaproblema alguno, pero un antiguotabú de la isla prohíbe que unhombre dirija la palabra a una mujera menos que esté ya casado con ella.Ahora bien, Isabel tiene un hermano,Arturo, que es asimismo caballero oescudero (aunque no necesariamentelo mismo que su hermana). Te estápermitido formularle sólo unapregunta al hermano, pero esapregunta tiene que ser susceptible de

ser respondida con un «Sí» o un«No».

El problema que se te planteaconsiste en diseñar una pregunta talque al escuchar la respuesta puedassaber con seguridad si Isabel escaballero o escudero. ¿Qué preguntaharías?

–SOLUCIÓN–98. CÓMO ELEGIR UNA NOVIA EN LAISLA DE BAHAVA

Esta vez eres un viajero quevisita la isla de Bahava, en la que

hay caballeros que dicen siempre laverdad, escuderos, que mientensiempre, y normales, que unas vecesmienten y otras dicen la verdad.Bahava, recordémoslo, es una isla defeministas, y de ahí que las mujeresen ella sean también llamadascaballeros, escuderos, o normales.Puesto que eres forastero, no estássujeto al precepto de que uncaballero sólo puede contraermatrimonio con un caballero y unescudero sólo con un escudero, desuerte que estás libre para casarte

con la mujer de tu elección.Supón ahora que has de elegir

una novia de entre tres hermanos. A,B, C. Se sabe que una de ellas escaballero, otra escudero, y la otranormal. Pero también se sabe (paraespanto tuyo) que la normal eshombre lobo, aunque las otras dos nolo son. Supón además que no tienesreparo en casarte con un escudero (ocon un caballero), ¡pero casarte conun hombre lobo es algo que va muchomás allá de lo deseable! Te estápermitido hacer una sola pregunta de

tu elección a cualquiera, también a tuelección, de las tres hermanas, perode nuevo la pregunta ha de tener porrespuesta un «Sí» o un «No».

¿Qué pregunta harías?

–SOLUCIÓN–C. SÍ, ERES INOCENTE. PERO,¿PUEDES DEMOSTRARLO?

Pasamos ahora a un grupo deadivinanzas particularmentecautivadoras. Todas ellas tienenlugar en la isla de caballeros,escuderos y normales. Tú mismo eres

ahora uno de los habitantes de la isla.Se ha cometido en la isla un

crimen, y por alguna extraña razón sesospecha que tú eres el criminal y teconducen ante un tribunal para queseas juzgado. Te está permitidoformular solamente un enunciado entu defensa. Tu propósito esconvencer al jurado de que eresinocente.

99.Supóngase que se sabe que el

criminal es escudero. Supongamos

también que tú eres escudero (aunqueesto no lo sepa el tribunal), pero que,no obstante, eres inocente de estecrimen. Te está permitido formularsolamente un enunciado. Y tupropósito no es convencer al juradode que no eres escudero, sino sólo deque eres inocente del crimen. ¿Quédirías?

–SOLUCIÓN–100.

Supón que te encuentras en lamisma situación con la única

diferencia de que ahora eresculpable. ¿Qué enunciadoformularías que convenciese aljurado (suponiendo que estuvieseintegrado por seres racionales) de tuinocencia?

–SOLUCIÓN–101.

En este problema, supóngase quese sabe que el criminal es uncaballero (esto no es ningunacontradicción; no es necesario queuna persona tenga que mentir para

cometer un crimen). Supóngasetambién que tú eres caballero(circunstancia que el juradodesconoce) pero inocente del crimen.¿Qué enunciado formularías?

–SOLUCIÓN–102.

Aquí la dificultad es mayor.Supóngase que en este problema sesabe que el criminal no es normal —es caballero o escudero. Por tu parte,tú eres inocente. ¿Qué enunciadoformularías que pudiera ser emitido

por un caballero, o por un escudero,o por un normal, que se encontrase enposición idéntica a la tuya, paraconvencer al jurado de tu inocencia?

–SOLUCIÓN–103.

Este problema es mucho másfácil. De nuevo, se sabe que elcriminal no es normal. De nuevo, túno eres el criminal, pero eres normal.¿Qué enunciado formularías, que niun caballero ni un escudero inocentepodrían emitir, para convencer al

jurado de tu inocencia?

–SOLUCIÓN–104.

Este problema es más interesante.De nuevo, se sabe que el criminal noes normal. Supóngase que (1) tú eresinocente; (2) no eres escudero.

¿Existe un solo enunciado quepudieras formular para convencersimultáneamente al jurado de estosdos hechos?

–SOLUCIÓN–

105.Una especie de «dual» del

problema anterior es éste: Supóngaseque, de nuevo, el culpable no esnormal y que tú eres inocente pero noun caballero. Supóngase que, poralguna insensata razón, no te importaganarte la reputación de ser escuderoo normal, pero desdeñas a loscaballeros. ¿Podrías, con un soloenunciado, convencer al jurado deque eres inocente pero no uncaballero?

–SOLUCIÓN–D. CÓMO CASARSE CON LA HIJA DEUN REY

¡Y ahora llegamos al asunto que,estoy seguro, esperabas conansiedad!

106.Eres un habitante de la isla de

caballeros, escuderos y normales. Tehas enamorado de Margozita, la hijadel rey, y deseas casarte con ella.Ahora bien, el rey no desea que suhija se case con un normal. Y le dice:

«Querida mía, conviene que sepasque en realidad no deberías casartecon un normal. Los normales soncaprichosos, aleatorios yabsolutamente nada fiables. Con unnormal nunca sabes dónde estás; undía te está diciendo la verdad, y alsiguiente día te está engañando. ¿Hayalgo de bueno en esto? Ahora bien,un caballero es completamentefiable, y con él sabes siempre dondeestás. Y en realidad un escudero esigualmente apetecible, porque diga loque diga, todo lo que tienes que

hacer es creer lo opuesto, y por tantotambién con él sabes realmente a quéatenerte. Te añadiré que yo creo queun hombre debería aferrarse a susprincipios. Si un hombre cree quehay que decir la verdad, entoncesdejémosle que diga siempre laverdad. Si cree que hay que mentir,dejémosle al menos que seaconsistente con ello. Pero estosnormales burgueses que no son ni louno ni lo otro... ¡éstos no queridamía, no son para ti!».

Bien, ahora supón que, de hecho,

no eres normal, de modo que tienesuna oportunidad. Sin embargo, tienesque convencer al rey de que no eresnormal, pues de otro modo elmonarca no accedería a que tecasaras con su hija. Se te haconcedido una audiencia con el rey yte está permitido dirigirle todos losenunciados que quieras. Esteproblema tiene dos partes.

(a) ¿Cuál es el mínimo número deenunciados verdaderos que puedesformular para convencer al rey de

que no eres normal?(b) ¿Cuál es el mínimo número

de enunciados falsos que puedesformular para convencer al rey deque no eres normal?

–SOLUCIÓN–107.

En otra isla de caballeros,escuderos y normales, el rey tiene lafilosofía opuesta. Le dice a su hija:«Querida, no desees casarte con uncaballero o un escudero; yo deseoque te cases con un buen y sólido

normal. No desees casarte con uncaballero, porque los caballeros sondemasiado puritanos. No deseescasarte con un escudero, porque losescuderos son demasiado trapaceros.¡No, querida mía, un buen normal,convencional y burgués es justamentelo que te conviene!»

Supón que eres normal en estaisla. Tu tarea consiste en convenceral rey de que eres normal.

(a) ¿Cuál es el mínimo número deenunciados verdaderos que tendrías

que formular para convencer al reyde que eres normal?

(b) ¿Cuál es el mínimo númerode enunciados falsos que tendríasque formular para convencer al reyde que eres normal?

–SOLUCIÓN–108.

He aquí una versión más difícildel problema anterior. La soluciónrequerida constituye una soluciónalternativa (aun cuandoinnecesariamente complicada) del

problema precedente, pero lasolución que se dio para este últimono será suficiente para el que ahoravamos a abordar.

De nuevo eres normal en una islade caballeros, escuderos y normales.De nuevo el rey desea que su hija secase sólo con un normal, pero exigeademás la prueba de que se posee uningenio y una inteligenciaexcepcionales; por lo tanto, paraganar a la hija del rey, tienes queformular, en presencia del monarca,un solo enunciado que satisfaga

simultáneamente los dos requisitosque siguen:

(1) El enunciado tiene queconvencer al rey de que eres normal.

(2) Tiene que resultarleimposible al rey saber si eseenunciado es verdadero o falso.

¿Cómo puede lograrse esto?

–SOLUCIÓN–

8- ADIVINANZASLÓGICAS

PREÁMBULO

Muchas de las adivinanzaslógicas de este capítulo tratan de losllamados enunciados condicionales:enunciados de la forma «Si P esverdadero entonces Q es verdadero»,d o nd e P, Q son los enunciadossujetos a consideración. Antes deabordar las adivinanzas de este tipo,hemos de clarificar cuidadosamente

algunas de las ambigüedades quepodrían surgir. Hay ciertos hechosrelativos a estos enunciados sobrelos que todo el mundo está deacuerdo, pero hay otros sobre loscuales parece existir un desacuerdoconsiderable.

Tomemos un ejemplo concreto.Considérese el enunciado siguiente:

(1) Si Juan es culpable, entoncessu esposa es culpable.

Todo el mundo admitirá que si

Juan es culpable y si el enunciado (1)es verdadero, entonces su esposa estambién culpable.

Todo el mundo admitirá tambiénque si Juan es culpable y su esposaes inocente, entonces el enunciado(1) ha de ser falso.

Ahora bien, supóngase que sesabe que su esposa es culpable, peroque no se sabe si Juan es culpable oinocente. ¿Diríamos entonces que elenunciado (1) es verdadero, o no?¿No diríamos que tanto si Juan esculpable o inocente, su esposa es

culpable en cualquier caso? O, ¿nodiríamos acaso: Si Juan es culpableentonces su esposa es culpable, y siJuan es inocente entonces su esposaes culpable?

Ilustraciones de este uso dellenguaje abundan en la literatura: Enel cuento de Rudyard Kipling Riki–Tiki–Tavi, la cobra dice a laaterrorizada familia, «Si os movéisatacaré, y si no os movéis atacaré».Lo cual significa ni más ni menosque: «Atacaré.» Está también lahistoria del maestro del Zen Tokusan,

quien solía responder a todas laspreguntas, como también a las no–preguntas, a bastonazos. Su famosafrase es: «Treinta bastonazos cuandotengas algo que decir; treintabastonazos igualmente cuando notengas nada que decir.»

El resultado es que si une n u n c i a d o Q es claramenteverdadero, entonces lo es elenunciado «Si P entonces Q» (comotambién el enunciado «Si no P,entonces Q»).

El caso más controvertido de

todos es éste: Supóngase que P, Qson ambos falsos. Entonces, ¿es elenunciado «Si P entonces Q»verdadero o falso? ¿O depende dequé sean P y Q? Volviendo a nuestroejemplo, si Juan y su esposa sonambos inocentes, entonces, ¿habríaque decir que el enunciado (1) esverdadero o no? Tornaremos enbreve a esta vital cuestión.

Otra cuestión relacionada con loanterior es ésta: Hemos convenido yaen que si Juan es culpable y suesposa inocente, entonces el

enunciado (1) ha de ser falso. ¿Esverdadera la conversa? Esto es, si elenunciado (1) es falso, ¿se sigue deahí que Juan ha de ser culpable y suesposa inocente? Dicho de otromodo, ¿es el caso que el único modode que (1) pueda ser falso consisteen que Juan sea culpable y su esposainocente? Bien, de acuerdo con lamanera en que la mayoría de loslógicos, matemáticos y científicosusan las palabras «si… entonces», larespuesta es «sí», y esta es laconvención que nosotros

adoptaremos. En otras palabras,dados dos enunciados cualesquiera Py Q, siempre que yo escriba «Si Pentonces Q» querré decir ni más nimenos que «No es el caso que P seaverdadero y Q sea falso».

En particular, esto significa quesi Juan y su esposa son ambosinocentes, entonces el enunciado (1)ha de ser considerado comoverdadero. Porque el único modo deque el enunciado pueda ser falso esque Juan sea culpable y su esposasea inocente, y este estado de cosas

deja de ser tal si Juan y su esposason ambos inocentes. Establecido demanera distinta, si Juan y su esposason ambos inocentes, entoncesciertamente no es el caso que Juansea culpable y su esposa seainocente, por tanto el enunciado nopuede ser falso.

El siguiente ejemplo es aún másextraño:

(2) Si Confucio nació en Texas,entonces yo soy Drácula.

Todo lo que el enunciado (2)pretende significar es que no es elcaso que Confucio nació en Texas yque yo soy Drácula. Lo cual esciertamente así, puesto que Confuciono nació en Texas. Por lo tanto elenunciado (2) ha de ser consideradocomo verdadero.

Otra manera de abordar elejemplo consiste en considerar queel único modo en que (2) pueda serfalso es si Confucio nació en Texas yyo no soy Drácula. Bien, puesto queConfucio no nació en Texas, entonces

no puede ser el caso que Confucionació en Texas y que yo no soyDrácula. En otras palabras, (2) nopuede ser falso, así pues ha de serverdadero.

Consideremos ahora dosenunciados arbitrarios, P, Q, y elsiguiente enunciado formado conellos:

(3) Si P entonces Q.

Este enunciado se simboliza: P→ Q, y alternativamente se lee: «P

implica Q». El uso de la palabra«implica» tal vez no sea muy feliz,pero se ha impuesto en la literaturaen este sentido. Todo lo que esteenunciado significa, como hemosvisto, es que no es el caso que P seaverdadero y Q sea falso. Así tenemoslos hechos siguientes:

Hecho 1 Si P es falso,e n t o n c e s P → Q esautomáticamente verdadero.

Hecho 2: Si Q es verdadero,e n t o n c e s P → Q es

automáticamente verdadero.Hecho 3: El solo y único

modo en que P → Q sea falsoes que P sea verdadero y Qfalso.

E l Hecho 1 se parafrasea aveces: «Una proposición falsaimplica cualquier proposición.» Esteenunciado le resulta chocante amuchos filósofos (véase capítulo 14,número 244, para una discusión másamplia). El Hecho 2 se parafrasea aveces: «Una proposición verdadera

es implicada por cualquierproposición.»

RESUMEN EN LA TABLA DE VERDAD

Dados dos enunciadoscualesquiera P, Q, hay siempreexactamente cuatro posibilidades:

( 1 ) P, Q son ambosverdaderos;

(2) P es verdadero y Q esfalso;

( 3 ) P es falso y Q esverdadero;

(4) P, Q son ambos falsos.

Una y sólo una de estasposibilidades debe ser válida. Ahorabien, consideremos el enunciado, «SiP entonces Q» (simbolizado: P →Q). ¿Puede ser determinado en cuálde los cuatro casos es válido y encuáles no lo es? Sí, puede hacerse,por el siguiente análisis:

Caso 1: P y Q son ambosverdaderos. En este caso Q esverdadero, de ahí que P → Qsea verdadero por el Hecho 2.

Caso 2: P es verdadero y Q

es falso. En este caso P → Q esfalso por el Hecho 3.

Caso 3: P es falso y Q esverdadero. Entonces P → Q esverdadero por el Hecho 1(también por el Hecho 2).

Caso 4: P es falso y Q esfalso. Entonces P → Q esverdadero por el Hecho 1.

Estos cuatro casos están todosresumidos en la siguiente tabla,denominada la tabla de verdad parala implicación.

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

La primera fila, V, V, V(verdadero, verdadero, verdadero),significa que cuando P es verdaderoy Q es verdadero, P → Q esverdadero. La segunda fila, V, F, F,significa que cuando P es verdaderoy Q falso entonces P → Q es falso.La tercera fila dice que cuando P es

falso y Q es verdadero, P → Q esverdadero, y la cuarta fila dice quecuando P es falso y Q es falso,entonces P → Q es verdadero.

Observamos que P → Q esverdadero en tres de los cuatrocasos; sólo en el segundo es falso.

Otra propiedad de laimplicación. Otra importantepropiedad de la implicación es lasiguiente: Para mostrar que unenunciado «Si P entonces Q» esválido, basta asumir P como premisa

y luego mostrar que ha de seguirse Q.En otras palabras, si la asunción de Pconduce a Q como conclusión,entonces el enunciado «Si P entoncesQ» ha quedado establecido.

De aquí en adelante nosreferiremos a este hecho comoHecho 4.

A. APLICACIÓN A CABALLEROS YESCUDEROS

109.Tenemos dos personas A, B,

cada una de las cuales es o caballeroo escudero. Supóngase que A emite

el siguiente enunciado: «Si yo soy uncaballero, entonces lo es B.»

¿Puede determinarse qué son A yB?

–SOLUCIÓN EN 112–

110.Alguien pregunta a A, «¿Es usted

caballero?». Él replica, «Si yo soycaballero, entonces me comeré misombrero».

Pruébese que A tiene quecomerse su sombrero.

–SOLUCIÓN EN 112–

111.A dice, «Si yo soy caballero,

entonces dos más dos es igual acuatro». ¿Es A caballero o escudero?

–SOLUCIÓN EN 112–

112.A dice, «Si yo soy un caballero,

entonces dos más dos es igual acinco». ¿Qué concluiría el lector?

–SOLUCIÓN–

113.Dadas dos personas, A, B, y

siendo ambas o caballeros oescuderos, A dice, «Si B escaballero entonces yo soy escudero».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–114.

Dos individuos, X e Y, estabansiendo juzgados por participar en unrobo. A y B eran testigos en el juicio,y cada uno de ellos, A, B, es ocaballero o escudero. Los testigos

emitieron los siguientes enunciados:

A: Si X es culpable,igualmente lo es Y.

B: O X es inocente o Y esculpable.

¿Son A y B necesariamente delmismo tipo? (Recuérdese que dospersonas de la isla de los caballerosy escuderos se dice que son delmismo tipo si son o amboscaballeros o ambos escuderos.)

–SOLUCIÓN–115.

En la isla de caballeros yescuderos, tres habitantes A, B, Cestán siendo entrevistados, A y Bdicen lo siguiente:

A: B es caballero.B: Si A es caballero,

también lo es C.

¿Puede determinarse qué son A,B y C?

B. AMOR Y LÓGICA

–SOLUCIÓN–116.

Supóngase que los dosenunciados siguientes sonverdaderos:

(1) Amo a Isabel o amo aMaría.

(2) Si amo a Isabel entoncesamo a María.

¿Se sigue necesariamente queamo a Isabel? ¿Se siguenecesariamente que amo a María?

–SOLUCIÓN–117.

Supóngase que alguien mepregunta, «¿Es realmente verdaderoque si amas a Isabel entoncestambién amas a María?». Yorespondo, «Si eso es verdadero,entonces amo a Isabel».

¿Se sigue que amo a Isabel? ¿Sesigue que amo a María?

–SOLUCIÓN–118.

Esta vez tenemos dos chicas, Evay Margarita. Alguien me pregunta,«¿Es realmente verdadero que siamas a Eva entonces amas también aMargarita? Yo respondo, «Si eso esverdadero, entonces amo a Eva, y siamo a Eva, entonces eso esverdadero». ¿A qué chica amonecesariamente?

–SOLUCIÓN–119.

Ahora se trata de tres chicas,Ana, Luisa y Diana. Supóngase que

se dan los siguientes hechos:

(1) Amo al menos a una delas tres chicas.

(2) Si amo a Ana pero no aDiana, entonces amo también aLuisa.

(3) O bien amo a Diana y aLuisa o bien no amo a ninguna.

(4) Si amo a Diana,entonces amo también a Ana.

¿A cuál de las chicas amo?Discusión. ¿No son los lógicos

un tanto estúpidos? ¿Acaso no sabréyo si amo o no amo a Isabel, María,Eva, Margarita, Ana, Luisa, Diana,etc., sin necesidad de tener quesentarme y anotarlo cuidadosamente?¿No sería cómico si una esposapreguntase a su académico marido,«¿Me amas?» y él le respondiera,¡Un minuto, querida!, y se sentaradurante media hora, calculase conpapel y lápiz, y luego le respondiese,«Sí, resulta que sí te amo».

Me viene a la mente lapresuntamente verdadera historia del

filósofo Leibniz, quien una vezestuvo dudando si casarse o no concierta dama. Se sentó armado depapel y lápiz y confeccionó doslistas, una lista de ventajas y otra deinconvenientes. Resultó que lasegunda lista era más larga, así puesdecidió no casarse con la dama.

–SOLUCIÓN–120.

Este problema, aunque simple, esun tanto sorprendente.

Supóngase que sucede que yo soy

o caballero o escudero. Yo emito losdos enunciados siguientes:

(1) Amo a Linda.(2) Si amo a Linda entonces

yo amo a Cecilia.

¿Soy un caballero o un escudero?

–SOLUCIÓN–121. UNA VARIANTE DE UN VIEJOPROVERBIO

Un viejo proverbio dice: «Unatetera vigilada nunca hierve.» Ahora

bien, ocurre que yo sé que eso esfalso; una vez vigilé una teteracolocada sobre el fuego, y con todaseguridad hirvió finalmente. Pero,¿qué decir del siguiente proverbio?

«Una tetera vigilada nunca hiervea menos que se la vigile.»Establecido de modo más preciso,«Una tetera vigilada nunca hierve amenos que esté vigilada».

¿Es este proverbio verdadero ofalso?

–SOLUCIÓN–

C. ¿HAY ORO EN ESTA ISLA?Las adivinanzas de los dos

últimos grupos se ocupaban porextenso de los enunciadoscondicionales —enunciados de laforma «Si P es verdadero, también loes «2». Las adivinanzas de estegrupo tratarán por extenso de losllamados enunciados bicondicionales—enunciados de la forma «P esverdadero si y sólo si Q esverdadero». Este enunciado significaque si P es verdadero entoncestambién lo es Q, y si Q es verdadero

entonces también lo es P. En otraspalabras, dicho enunciado dice quesi uno de los dos, P y Q, esverdadero entonces también lo es elotro. Dice también que P y Q son oambos verdaderos o ambos falsos. Elenunciado «P si y sólo si Q» seescribe de manera simbólica: «P ↔Q». La tabla de verdad para P ↔ Qes ésta:

P Q P↔QV V VV F F

F V VF F V

El enunciado «P si y sólo si Q»se lee a veces: «P es equivalente a Qo «P y Q son equivalentes».Obsérvense los dos siguienteshechos:

H1: Cualquier proposición quesea equivalente a una proposiciónverdadera es verdadera.

H2: Cualquier proposición quesea equivalente a una proposiciónfalsa es falsa.

122. ¿HAY ORO EN ESTA ISLA?En una cierta isla de caballeros y

escuderos corre el rumor de que hayoro enterrado en la isla. El lectorllega a la isla y pregunta a uno de losnativos, A, si hay oro en esa isla. Elnativo da la siguiente respuesta:«Hay oro en esta isla si y sólo si yosoy un caballero.» Nuestro problematiene dos partes:

(a) ¿Puede determinarse si A esun caballero o un escudero?

(b) ¿Puede determinarse si hay

oro en la isla?

–SOLUCIÓN–123.

Supóngase que, en lugar de que Ahubiese dado voluntariamente estainformación, se le hubiesepreguntado a este mismo A, «¿Es laafirmación de que eres caballeroequivalente a la afirmación de quehay oro en esta isla?». De haberrespondido «Sí», el problema habríaquedado reducido al problemaanterior. Supóngase que hubiese

respondido «No». ¿Podríaestablecerse si hay o no hay oro en laisla?

–SOLUCIÓN–124. CÓMO ME HICE RICO

Por desgracia, esta historia no esverdadera. Pero es interesante y porello voy a contártela.

Yo deseaba obtener informaciónacerca de las tres islas vecinas, A, By C. Sabía que había oro enterradoen al menos una de las tres, pero nosabía en cuál de ellas. Las islas B y

C estaban deshabitadas; la isla Aestaba habitada por caballeros yescuderos, y había una posibilidadde que hubiera en la isla algunosnormales, aunque yo no sabía sihabía o no normales en ella.

Tuve la fortuna de hallar el mapade las islas dejado por el famoso,aunque caprichoso Capitán Marston—el pirata que había enterrado eloro. El mensaje, por supuesto, estabaen clave. Una vez que fue descifrado,se comprobó que constaba de dosoraciones. He aquí la transcripción:

(1) NO HAY ORO EN LA ISLA A

(2) SI HAY NORMALES EN LAISLA A, ENTONCES HAY ORO EN

DOS DE LAS ISLAS.

Bien, yo me precipité a la isla A;sabía que los nativos estabanperfectamente informados sobre lasituación del oro. El rey de la islaadivinó cuáles eran mis intenciones yme dijo en términos perfectamenteclaros que se me permitiría hacersolamente una pregunta a cualquier

nativo que yo eligiese al azar. Yo notendría medio de saber si el nativoera caballero, escudero, o normal.

Mi problema consistía en idearuna pregunta tal que tras escuchar larespuesta, pudiese dirigirme a una delas islas con la seguridad de quehabía oro en ella. ¿Qué preguntadebería hacer?

–SOLUCIÓN–125.

En otra ocasión me encontrabavisitando otra isla de caballeros,

escuderos y normales. Corría elrumor de que había oro en esa isla, yyo deseaba informarme de dónde seencontraba. El rey, que era caballero,me presentó graciosamente a tres delos nativos. A, B, C, y me dijo que almenos uno de ellos era normal. Seme permitía proponer dos preguntasdel tipo sí–no a cualquiera de lostres que yo eligiera.

¿Hay algún modo de averiguarcon dos preguntas si hay oro en laisla?

–SOLUCIÓN–126. UNA ADIVINANZA INFERENCIAL.

Supóngase que hay dos islasvecinas, habitadas exclusivamentecada una de ellas por caballeros yescuderos (no hay normales). Se teinforma de que en una de las dosislas hay un número par decaballeros y en la otra un númeroimpar. Se te informa también de quehay oro en la isla que contiene alnúmero par de caballeros, pero queno hay oro en la otra isla.

Eliges al azar una de las dos islasy vas a visitarla. Todos los nativossaben cuántos caballeros y cuántosescuderos viven en la isla. Interrogasa tres habitantes y obtienes lassiguientes respuestas:

A: Hay un número par deescuderos en esta isla.

B: Ahora mismo hay unnúmero impar de personas en laisla.

C: Yo soy un caballero si ysólo si A y B son del mismo

tipo.

Suponiendo que tú no eres nicaballero ni escudero, y que en esemomento eres el único visitante quehay en la isla, ¿hay oro en la isla ono?

–SOLUCIÓN–

9- ¿BELLINI OCELLINI?

Continuamos aquí con la historiade los cofres de Porcia. Recordamosque Bellini siempre ponía a suscofres inscripciones verdaderas,mientras que Cellini siempre lesponía inscripciones falsas. Pues bien,uno y otro tuvieron hijos que, comosus padres, se dedicaron a hacercofres; continuando la tradiciónpaterna, los hijos de Bellini

inscribieron sólo enunciadosverdaderos en sus obras, y los deCellini sólo enunciados falsos en lassuyas.

Demos por hecho que estas dosfamilias eran las únicas que sededicaron a la fabricación de cofresen la Italia del Renacimiento, demanera que todo cofre era obra deBellini, de Cellini, de un hijo deBellini o de un hijo de Cellini. Si,por casualidad os encontráis algúncofre de éstos, os advierto que sonmuy valiosos, sobre todo los de

Bellini y Cellini padres.

A. ¿DE QUIÉN ES EL COFRE?127.

Un día encontré un cofre con lasiguiente inscripción:

ESTE COFRE NO LO HA HECHONINGÚN HIJO DE BELLINI

¿Quién lo había hecho? ¿Bellini,Cellini o alguno de sus respectivoshijos?

–SOLUCIÓN–

128.Otro día me topé un cofre cuya

inscripción me permitió sacar laconclusión de que tenía que haberlohecho Cellini.

¿Podéis decirme cuál podría sersu inscripción?

–SOLUCIÓN–129.

Los más valiosos de todos sonaquellos cuya inscripción permitededucir que el cofre tiene que serobra de Bellini o de Cellini, pero no

se puede saber de cuál de los dos.Una vez tuve la suerte deencontrarme uno de éstos. ¿Podéisimaginaros cuál sería la inscripción?

–SOLUCIÓN–130. DE LO SUBLIME A LO RIDÍCULO

Supongamos que os encontráis uncofre con la siguiente inscripción:

ESTE ESTÁ HECHO POR MÍ

¿Qué conclusión sacáis?

–SOLUCIÓN–131. DEL NOBLE FLORENTINO

Un conocido noble florentinodaba unas fiestas fastuosas cuyopunto cumbre era un juego cuyopremio consistía en una valiosa joya.El tal noble conocía la historia dePorcia y sus cofres y montó su juegosobre ella; cogió tres cofres, uno deoro, otro de plata y otro de plomo, yuno de los tres escondía la joya.Luego explicaba a sus invitados quelos cofres los había hecho Bellini o

Cellini (pero no sus hijos), y que laprimera persona que adivinara enqué cofre estaba la joya y quepudiera demostrar que su adivinaciónera correcta, obtendría la joya comopremio. He aquí las inscripciones:

OroSI LA JOYA ESTA EN EL

COFRE DE PLATA,EL COFRE DE PLATA SERÁ

OBRA DE BELLINI

Plata

SI LA JOYA ESTA EN ESTECOFRE,

EL COFRE DE ORO ES OBRADE CELLINI

PlomoEL COFRE QUE DE VERDAD

CONTIENELA JOYA ES OBRA DE

CELLINI

¿En cuál de los tres está la joya?

–SOLUCIÓN–

B. PAREJAS DE COFRES

En algunos museos podemos verparejas de cofres —uno de oro y otrode plata— que en un principio sehicieron y se vendieron como juego.La verdad es que la familia Bellini yla Cellini eran íntimas y que a vecescolaboraban en algunas de estasparejas; aunque cada cofre lo hicierasiempre una sola persona, dentro dela pareja un cofre podía hacerlo unoy el otro otro diferente. Ambasfamilias se divertían muchísimohaciendo estas parejas de manera que

la inteligente posteridad pudieraadivinar —o adivinar parcialmente— quiénes habían sido los autores.Dada una pareja concreta, haydieciséis posibilidades: el cofre deoro podría ser de Bellini, un hijo deBellini, Cellini o un hijo de Cellini, ycon cada una de estas cuatroposibilidades había cuatroposibilidades para el autor del cofrede plata.

132.Un día me encontré la siguiente

pareja:

OroLOS DOS COFRES DE ESTE

JUEGOSON OBRA DE LA FAMILA

CELLINI

PlataNINGUNO DE ESTOS DOS

COFRESES OBRA NI DE UN HIJO DE

BELLININI DE UN HIJO DE CELLINI

¿Quién los había hecho?

–SOLUCIÓN–133.

Otro día la pareja decía:

OroSI ESTE COFRE ES OBRA DE

ALGÚN BELLINI,EL COFRE DE PLATA ES

OBRA DE CELLINI

PlataEL COFRE DE ORO ES OBRA

DE UN HIJO DE BELLINI

¿Quién hizo cada cofre?

–SOLUCIÓN–134.

Consideremos la parejasiguiente:

OroEL COFRE DE PLATA ES

OBRA DE UN HIJO DEBELLINI

PlataEL COFRE DE ORO NO ES

OBRA DE UN HIJO DEBELLINI

Demostradme que por lo menosuno lo hizo Bellini.

–SOLUCIÓN–135.

Consideremos ahora esta otrapareja:

Oro

EL COFRE DE PLATA ESOBRA DE CELLINI

PlataEL COFRE DE ORO NO ES

OBRA DE CELLINI

Demostradme que por lo menosuno era obra de un hijo de Cellini.

–SOLUCIÓN–136.

Oro

EL COFRE DE PLATA ESOBRA DE UN HIJO DE

BELLINI

PlataEL COFRE DE ORO ES OBRA

DE UN HIJO DE CELLINI

Demostradme ahora que por lomenos uno de estos cofres lo hizo oBellini o Cellini.

–SOLUCIÓN–137.

La siguiente aventura en que mevi envuelto fue especialmenteinteresante. Me encontré una parejade cofres y quería saber si por lomenos uno de ellos era de Bellini.Leí la inscripción de uno de ellos,pero no contestaba a mi pregunta.Miré la otra y, para mi asombro, vique decía lo mismo que la primera y,para mi mayor asombro, pudeaveriguar así que los dos cofres eranobra de Bellini.

¿Podéis averiguar qué decían lasinscripciones?

–SOLUCIÓN–138.

Otra vez me topé otra pareja decofres con inscripciones idénticas delas que pude sacar la conclusión deque los dos cofres eran obra deCellini, pero de ninguna de las dospor separado podría haberaveriguado que ni siquiera uno de losdos era obra de Cellini.

¿Podríais darme la inscripción?

–SOLUCIÓN–

139.Otro día me encontré otra pareja

que también tenía inscripcionesidénticas con las que me fue posiblellegar a la conclusión de que oambos eran de Bellini o ambos deCellini, pero lo que no podíaaveriguar era de cuál de los dos.Además con ninguno de los doscofres por separado podría haberdeducido tal cosa.

¿Podríais darme la inscripción?

–SOLUCIÓN–

140.La más valiosa de todas las

parejas que podamos encontrarnos esuna que cumpla las siguientescondiciones:

(1) Que de las inscripcionespueda deducirse que uno lo hizoBellini y el otro Cellini, pero nose pueda averiguar cuál hizoquién.

(2) Que ni del uno ni delotro separadamente puedadeducirse que la pareja es un

Bellini–Cellini.

Una vez tuve la suerte deencontrarme una de estas parejas —ycreo que es la única pareja de estetipo que se hizo. ¿Podrían ustedesdarme ese par de inscripciones?

–SOLUCIÓN–141. UNA AVENTURA MARAVILLOSA

De soltero estaba yo una vez enFlorencia y vi el siguiente anuncio enperiódico: SE BUSCA UN LÓGICO.(Afortunadamente el anuncio estaba

en inglés; yo no sé italiano.) Puesbien, me encaminé hacia el museoque había puesto el anuncio y medijeron que necesitaban un lógicopara ayudar a esclarecer un misterio.

Habían aparecido cuatro cofres,dos de oro y dos de plata; se sabíaque constituían dos juegos, pero sehabían mezclado y ahora no se sabíaqué cofre de oro y qué cofre de plataformaban pareja. Me los enseñaron ypronto pude resolver el problema porlo que recibí unos excelenteshonorarios. Pero además pude

establecer también quién había hechocada cofre, por lo que recibí un extra(que consistía, entre otras cosas, enuna excelente caja de botellas deChianti) y un beso de una de lasflorentinas más maravillosas quehaya existido nunca{8}.

He aquí los cuatro cofres:

Cofre A (Oro)EL COFRE DE PLATA ES OBRA

DE UN CELLINI

Cofre B (Plata)

EL COFRE DE PLATA O ES OBRADE UN CELLINI

O LOS DOS COFRES SON DEBELLINI

Cofre C (Oro)EL COFRE DE ORO ES OBRA DE

UN BELLINI

Cofre D (Plata)EL COFRE DE ORO ES OBRA DE

UN BELLINIY POR LO MENOS UNO DE

ESTOS COFRES

ES OBRA DE UN HIJO O DEBELLINI O CELLINI

Tenemos ahora dos problemas:

(a) ¿A formará pareja con C ocon D?

(b) ¿Quién hizo cada uno de loscofres?

–SOLUCIÓN–

PARTE TERCERACUENTOS

EXTRAORDINARIOS

10- LA ISLA DE BAAL

A. EN BUSCA DE LO ABSOLUTO

He leído, en algún libro de textofilosófico, lo siguiente: «Elverdadero filósofo es como unapequeña de nueve años que estámirando por la ventana y, de repente,se vuelve hacia su madre y dice:«¡Pero madre, lo que a mí me intrigaes el que haya algo!»

Este problema ha desconcertadoa más de un filósofo; es más, algunos

filósofos han considerado esto comoel problema filosófico fundamental.Estos últimos lo formulan así: «¿porqué hay algo en lugar de nada?».

Cuando uno se para a pensar enesto, se da cuenta de que realmentese trata de una buena pregunta, ¿no escierto? Efectivamente, ¿por qué hayalgo en lugar de nada? Bien, éraseuna vez un cierto filósofo quedecidió convertir en el principalproyecto de su vida el averiguar porqué hay algo en lugar de nada. Enprimer lugar leyó todos los libros de

filosofía, pero ninguno de ellos podíadecirle la razón real de por qué hayalgo en lugar de nada. Preguntó atodos los doctos rabinos, sacerdotes,obispos, ministros y demás jefesreligiosos, pero ninguno de ellospudo explicarle satisfactoriamentepor qué hay algo en lugar de nada.Entonces se volvió hacia la filosofíaoriental; anduvo errante durante doceaños por la India y el Tíbet, seentrevistó con varios gurús, peroninguno de ellos sabía por qué hayalgo en lugar de nada. A continuación

pasó otros doce años en China yJapón entrevistando a varios taoístasy maestros de Zen. Finalmenteencontró un sabio que estaba en sulecho de muerte y que le dijo:

«No, hijo mío, yo mismo no sépor qué hay algo en lugar de nada. Elúnico lugar de este planeta donde sesabe la respuesta es en la isla deBaal. Uno de los sacerdotesprincipales del Templo de Baal sabela verdadera respuesta.»

«¿Y dónde está la isla de Baal?»,preguntó el filósofo con avidez.

«Ah», respondió el sabio, «enrealidad no he conocido jamás anadie que haya encontradoefectivamente el camino que lleva aBaal. Todo lo que sé sobre elparticular es la situación de un ciertogrupo de islas, no consignadas enninguna carta de navegación, en unade las cuales hay un mapa y unconjunto completo de instruccionespara llegar a la isla de Baal. No séen qué isla del grupo puede hallarseel mapa; todo lo que sé es que setrata de una de ellas y que su nombre

es “Maya”. Sin embargo, todas esasislas están habitadas exclusivamentepor caballeros, que dicen siempre laverdad, y escuderos, que mientensiempre. Hay que ser, por lo tanto,muy cauteloso».

Estas eran las noticias másprometedoras que el filósofo habíaoído en veinticuatro años. Pues bien,encontró sin dificultad el caminohacia ese grupo de islas y empezó ainvestigar sistemáticamente una islatras otra, esperando averiguar cuálera la isla de Maya.

142. LA PRIMERA ISLA

En la primera isla en la queinvestigó, se encontró con dosnativos A y B, que dijeron:

A: B es caballero y ésta es la islade Maya.

B: A es escudero y ésta es la islade Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–143. LA SEGUNDA ISLA

En esta isla, dos nativos A y B,dijeron:

A: Nosotros dos somosescuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Esto es verdadero.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–144. LA TERCERA ISLA

En esta isla A y B dijeron:

A: Al menos uno de nosotros es

un escudero, y ésta es la isla deMaya.

B: Esto es verdadero.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–145. LA CUARTA ISLA

En esta isla, dos nativos, A y B,dijeron:

A: Nosotros dos somosescuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Al menos uno de nosotros es

escudero, y ésta no es la isla deMaya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–146. LA QUINTA ISLA

Dos de los nativos de esta isla, Ay B, dijeron:

A: Nosotros dos somosescuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Al menos uno de nosotros escaballero, y ésta no es la isla de

Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–147. LA SEXTA ISLA

En esta isla, dos de los nativos,A y B, dijeron lo siguiente:

A: O B es un caballero, o ésta esla isla de Maya.

B: O A es un escudero, o ésta esla isla de Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–148. EL MAPA DE BAAL

Bien, nuestro filósofo encontró laisla de Maya. Sin embargo, la tareade encontrar el mapa y lasinstrucciones para llegar a la isla deBaal no fue tan fácil como él habíaprevisto. Tuvo que visitar al SumoSacerdote de Maya. El sacerdote lecondujo al interior de una estancia enla que había tres mapas X, Y, Z,desplegados sobre una mesa. El

sacerdote le explicó que solamenteuno de los mapas era el verdaderomapa de Baal; los otros dos mapasseñalaban la ruta hacia una isla dedemonios, y si alguien desembarcabaen una isla de demonios, seríaaniquilado instantáneamente. Elfilósofo tenía que escoger uno de lostres mapas.

Pues bien, en la estancia habíacinco hechiceros, A, B, C, D y E.Cada hechicero era o caballero oescudero. Le dieron a nuestrofilósofo las informaciones siguientes:

A: X es el mapa correcto.B: Y es el mapa correcto.C: A y B no son escuderos.D: O A es un escudero o B

es un caballero.E: O yo soy un escudero o C

y D son del mismo tipo (los doscaballeros o los dos escuderos).

¿Cuál de los mapas X, Y, Z es elcorrecto?

–SOLUCIÓN–B. LA ISLA DE BAAL

De todas las islas de caballeros yescuderos, la isla de Baal es la másextraña y notable. Esta isla estáhabitada exclusivamente porhumanos y monos. Los monos son tanaltos como los humanos y hablan demanera tan fluida como ellos. Todomono, lo mismo que todo humano, eso caballero o escudero.

En el centro de esta isla está elTemplo de Baal, uno de los templosmás notables de todo el universo.Los sacerdotes principales sonmetafísicos y en el Santuario

Interior del templo se encuentra unsacerdote del que se rumorea quesabe la respuesta al misterio últimodel universo: por qué existe algo enlugar de nada.

A los aspirantes al ConocimientoSagrado se les permite visitar elSantuario Interior, una vez que semuestran dignos de ello al haberpasado tres series de pruebas. Yo meenteré de todos estos secretos, dichosea de paso, ocultamente: tuve queentrar al templo disfrazado de mono.Hice esto con un gran riesgo

personal. Si hubiera sidodescubierto, el castigo habría sidoinimaginable. ¡En lugar de limitarse aaniquilarme, los sacerdotes habríancambiado las mismas leyes deluniverso de tal manera que nohubiera podido nacer jamás!

Pues bien, nuestro filósofoescogió el mapa correcto, llegó sinnovedad a la isla de Baal y convinoen someterse a las pruebas. Laprimera serie tuvo lugar en unaenorme estancia denominadaSantuario Exterior durante tres días

consecutivos. En el centro de laestancia una figura encapuchada sesentaba en un trono dorado. Erahumano o mono y, también, caballeroo escudero. La figura dijo unaoración sagrada, y el filósofo tuvoque deducir de esta oración lo queella era: si caballero o escudero, y sihumano o mono.

149. LA PRIMERA PRUEBA

El hablante dijo: «Soy oescudero o mono.»

¿Qué era exactamente?

–SOLUCIÓN–150. LA SEGUNDA PRUEBA

El hablante dijo: «Soy escudero ymono.»

¿Qué era exactamente?

–SOLUCIÓN–151. LA TERCERA PRUEBA

El hablante dijo: «No soy mono ycaballero.»

¿Qué es?

El filósofo pasó estas trespruebas, de modo que se le permitió

someterse a la segunda serie, quetuvo también lugar durante tres díasconsecutivos y en otra gran estanciaconocida como Santuario Medio. Enesta estancia había dos figurasencapuchadas que estaban sentadasen tronos de platino. Las figurasdijeron unas oraciones sagradas, y elfilósofo tuvo que dar entonces unadescripción completa de cadahablante. Llamaremos a los hablantesA y B.

–SOLUCIÓN–

152. LA CUARTA PRUEBA

A: Al menos uno de nosotros esmono.

B: Al menos uno de nosotros esescudero.

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–153. LA QUINTA PRUEBA

A: Nosotros dos somos monos.B: Nosotros dos somos

escuderos.

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–154. LA SEXTA PRUEBA

A: B es escudero y mono. Yo soyhumano.

B: A es un caballero.

¿Qué son A y B?

El filósofo pasó la segunda seriede pruebas y se dispuso a someterse

a la tercera que consistía solamenteen una prueba, aunque era una pruebacomplicada.

–SOLUCIÓN–155.

Hay cuatro puertas X, Y, Z, W queconducen fuera del Santuario Medio.Al menos una de ellas lleva alSantuario Interior. Si alguien entrapor una puerta equivocada, serádevorado por un feroz dragón.

Pues bien, había allí ochosacerdotes: A, B, C, D, E, F, G, H,

cada uno de los cuales es o caballeroo escudero. Ellos hicieron al filósofolos enunciados siguientes:

A: X es la puerta buena.B: Al menos una de las

puertas Y, Z es buena.C: A y B son caballeros.D: X e Y son puertas

buenas.E: X y Z son puertas buenas.F: O D o E son caballeros.G: Si C es caballero,

entonces F lo es.

H: Si G y yo somoscaballeros, entonces A lo es.

¿Qué puerta debería escoger elfilósofo?

–SOLUCIÓN–156. EN EL SANTUARIO INTERIOR

El filósofo escogió la puertacorrecta y penetró sin novedad en elSantuario Interior. Estaban allí,sentados en dos tronos de diamantes,los dos sacerdotes más importantesde todo el universo. Es posible que

al menos uno de ellos supiese larespuesta a la Gran Pregunta: «¿Porqué hay algo en lugar de nada?»

Naturalmente, cada uno de losdos grandes sacerdotes era ocaballero o escudero. (La cuestión desi eran humanos o monos no esrelevante.) Así pues, no sabemos deninguno de ellos si es caballero oescudero, o si sabe la respuesta a laGran Pregunta. Los dos sacerdoteshicieron los enunciados siguientes:

Primer Sacerdote: Soy

escudero y no sé por qué hayalgo en lugar de nada.

Segundo Sacerdote: Soycaballero y no sé por qué hayalgo en lugar de nada.

¿Sabe realmente alguno de lossacerdotes por qué hay algo en lugarde nada?

–SOLUCIÓN–157. LA RESPUESTA

¡Y ahora estás a punto deaveriguar la verdadera respuesta a la

Gran Pregunta de por qué hay algo enlugar de nada!

Pues bien, uno de los dossacerdotes, que conocíaefectivamente la respuesta a la GranPregunta, dio la respuesta siguientecuando el filósofo le preguntó: «¿Porqué hay algo en lugar de nada?»

«Hay algo en lugar de nada.»

¿Qué conclusión drástica se siguede todo esto?

–SOLUCIÓN–

11- LA ISLA DE LOSZOMBIS

A. «BAL» Y «DA»

En una cierta isla cercana a Haití,la mitad de los habitantes han sidoembrujados por magia vudú ytrocados en zombis. Los zombis deesta isla no se comportan de acuerdocon el concepto convencional: no sonsilenciosos ni parecidos a losmuertos —se mueven y charlan conla misma vivacidad que los humanos.

Sólo que los zombis de esta islamienten siempre y los humanos deesta isla dicen siempre la verdad.

Pero, se dirá, esto suena a algoparecido a otra situación decaballeros y escuderos con diferenteropaje, ¿no es así? ¡Pues no lo es! Lasituación es enormementecomplicada por el hecho de que, sibien todos los nativos entiendenperfectamente el castellano, unantiguo tabú de la isla les prohíbeusar jamás en su discurso palabrasno–nativas. De ahí que cuando se les

haga una pregunta cuya respuesta seasí o no, ellos contesten «Bal» o«Da». Una de estas palabrassignifica sí y la otra no. La dificultadestá en que no sabemos cuál de ellas,«Bal» o «Da», significa sí y cuálsignifica no.

158.Una vez me encontré con un

nativo de esta isla y le pregunté, «¿Esque “Bal” significa sí?». El replicó,«Bal».

(a) ¿Es posible inferir qué

significa «Bal»?(b) ¿Es posible inferir si el

nativo es un humano o un zombi?

–SOLUCIÓN–159.

Si uno se encuentra con un nativode esta isla, ¿es posible averiguarcon sólo una pregunta qué significa«Bal»? (Recuérdese que su respuestaserá «Bal» o «Da».)

–SOLUCIÓN–160.

Supóngase que uno no estáinteresado en saber lo que signifique«Bal», sino sólo en si el interlocutores zombi. ¿Cómo averiguar esto enuna sola pregunta? (De nuevo, larespuesta del nativo será «Bal» o«Da».)

–SOLUCIÓN–161. CONSEGUIR QUE ELCURANDERO DIGA «BAL»

Tú te encuentras en esta mismaisla y deseas casarte con la hija delrey. El rey quiere que su hija se case

sólo con alguien que sea muyinteligente, y de ahí que hayas depasar por una prueba.

La prueba consiste en que hagasal curandero la pregunta que quieras.Si éste responde «Bal», entoncespuedes casarte con la hija del rey; siresponde «Da», entonces no puedeshacerlo.

El problema estriba en idear unapregunta tal que, independientementede si el curandero es hombre o zombie independientemente de si «Bal»significa sí o no, el curandero tenga

que responder «Bal».

–SOLUCIÓN–162.

He aquí un problema más difícil.Corre un rumor de que en esta islahay oro. Llegas a la isla, y antes deempezar a excavar, quieres saber sirealmente hay oro o no. Todos losnativos saben si lo hay o no lo hay.¿Cómo en una sola pregunta dirigidaa cualquiera de los nativos, puedesaveriguarlo? Recuérdese que elnativo interrogado responderá «Bal»

o «Da», y que partiendo de estarespuesta has de saber si hay oro,independientemente de lo que enrealidad signifiquen «Bal» y «Da».

–SOLUCIÓN–B. ENTRA EL INSPECTOR CRAIG

163. UN JUICIO

En una isla vecina de humanos yzombis «Bal» y «Da» son de nuevolas palabras nativas para sí y no, auncuando no necesariamente en esteorden. Algunos de los nativos

responden a las preguntas con «Bal»y «Da», pero otros han vulnerado eltabú y responden con las palabrascastellanas «Sí» y «No».

Por alguna extraña razón, dadacualquier familia de esta isla, todossus miembros son del mismo tipo. Enparticular, dado cualquier par dehermanos, o ambos son humanos oambos zombis.

Un nativo era sospechoso de altatraición. El caso fue tan importante,que hubo que hacer venir de Londresal inspector Craig. Los tres testigos

decisivos eran A, B y C —todosnativos de la isla. La siguientetranscripción está tomada de lasactas del juicio: el Inspector Craighizo las preguntas.

Pregunta (a A): ¿Esinocente el acusado?

Respuesta de A: «Bal.»Pregunta (a B): ¿Qué

significa «Bal»?Respuesta de B: «Bal»

significa sí.Pregunta (a C): ¿Son

hermanos A y B?Respuesta de C: No.Segunda pregunta a C: ¿Es

inocente el acusado?Respuesta de C: Sí.

¿Es el acusado inocente oculpable?

–SOLUCIÓN–164.

En el anterior problema, ¿puededeterminarse si A y B son del mismotipo?

–SOLUCIÓN–165. SEMI-ZOMBIS

Después del juicio, el InspectorCraig giró una visita a una curiosaisla vecina: Algunos de los nativoseran humanos, algunos eran zombis, ylos restantes eran lo que se conocec o m o semi–zombis. Estos semi–zombis han sido sujetos a magiavudú, pero los hechizos mágicosobtuvieron sólo un éxito parcial.Como resultado, los semi–zombis aveces mienten y a veces dicen la

verdad. De nuevo, las palabrasnativas para sí y no son «Bal» y«Da» (aunque no es necesario que losean respectivamente). Los nativos aveces responden a las cuestiones desi o no en castellano y a veces con«Bal» y «Da».

El Inspector Craig encontró a unode los nativos y le hizo la siguientepregunta: «Cuando alguien tepregunta si “Bal” significa sí, yrespondes en tu lengua nativa,¿respondes “Bal”?»

El nativo respondió, pero el

Inspector Craig descuidó anotar larespuesta, ni tampoco anotó si fuedada en castellano o en la lenguanativa. Todo lo que el InspectorCraig anotó fue que, partiendo de larespuesta, él fue capaz de deducir sisu interlocutor era un humano, unzombi, o un semi–zombi.

¿Qué respuesta le dio elinterlocutor? ¿Y fue en castellano oen su lengua nativa?

–SOLUCIÓN–

166. ¿QUÉ?Otra vez en la misma isla, el

Inspector Craig le hizo a otro nativola siguiente pregunta: «Cuandoalguien te pregunta si dos más dos esigual a cuatro, y respondes en tulengua nativa, ¿respondes “Bal”?»

De nuevo, el inspector Craig dejóde anotar si la respuesta fue «Bal»,«Da», «Sí» o «No», pero de nuevopudo deducir si su interlocutor era unhumano, un zombi o un semi–zombi.

¿Qué respuesta obtuvo?

–SOLUCIÓN–

12- ¿VIVE AÚNDRÁCULA?

A. EN TRANSILVANIA

A pesar de lo que Bram Stokernos ha contado, tengo graves razonespara dudar de que el Conde Dráculahubiese sido alguna vezefectivamente aniquilado. Por lotanto decidí ir a Transilvania parainvestigar la verdad por mí mismo.Mis propósitos eran: (1) averiguar siel Conde Drácula vivía aún; (2) en el

caso de que hubiera sido aniquiladodeseaba ver sus verdaderos restos;(3) en el caso de que viviese aún,deseaba tener un encuentro con él.

En la época en que estuve enTransilvania aproximadamente lamitad de sus habitantes eran humanosy la mitad eran vampiros. Loshumanos y los vampiros sonindistinguibles en su aparienciaexterna, pero los humanos (al menosen Transilvania) dicen siempre laverdad, mientras que los vampirosmienten siempre. Lo que complica

enormemente la situación es que lamitad de los habitantes deTransilvania están totalmente locos ycompletamente engañados por lo querespecta a sus creencias —creen quetodas las proposiciones verdaderasson falsas y que todas lasproposiciones falsas son verdaderas.La otra mitad está completamentecuerda y sabe qué proposiciones sonverdaderas y qué proposiciones sonfalsas. Así pues, los habitantes deTransilvania son de cuatro tipos: (1)humanos cuerdos; (2) humanos locos;

(3) vampiros cuerdos, y (4) vampiroslocos. Todo lo que un humano cuerdodice es verdadero; todo lo que unhumano loco dice es falso; todo loque un vampiro cuerdo dice es falso,y todo lo que un vampiro loco dicees verdadero. Por ejemplo, unhumano cuerdo dirá que dos más doses igual a cuatro; un humano locodirá que no es igual a cuatro (puestoque él cree realmente que no lo es);un vampiro cuerdo dirá también queno es igual a cuatro (puesto que élsabe que es igual a cuatro y por tanto

miente), y un vampiro loco dirá quees igual a cuatro (puesto que él creeque no es igual a cuatro y, por lotanto, miente sobre lo que él cree).

167.Me encontré un día con un

transilvano que dijo: «Soy humano oestoy cuerdo.»

¿De qué tipo era exactamente?

–SOLUCIÓN–168.

Otro habitante dijo: «No soy un

humano cuerdo.»¿De qué tipo era?

–SOLUCIÓN–169.

Otro habitante dijo: «Soy unhumano loco.»

¿Es éste del mismo tipo que elanterior habitante?

–SOLUCIÓN–170.

Me encontré una vez un habitantey le pregunté: «¿Eres un vampiro

loco?» El respondió: «Sí» o «No», ysupe de qué tipo era.

¿De qué tipo era?

–SOLUCIÓN–171.

Me encontré una vez untransilvano que dijo: «Soy unvampiro.»

¿Puede inferirse si es humano ovampiro? ¿Puede inferirse si estácuerdo?

–SOLUCIÓN–

172.Supóngase que un transilvano

dice: «Estoy loco.»(a) ¿Puede inferirse si está

cuerdo?(b) ¿Puede inferirse si es humano

o vampiro?

–SOLUCIÓN–173.

La inversa de un enunciado: «SiP entonces Q» es el enunciado «Si Qentonces P». Ahora bien, existen dosenunciados X e Y que son inversos

mutuamente y tales que:(1) Ninguno de los dos

enunciados es deducible del otro.(2) Si un transilvano hace

cualquiera de los dos enunciados sesigue que el otro debe ser verdadero.

¿Puedes proporcionar estos dosenunciados?

–SOLUCIÓN–174.

Dado un enunciado X, supóngaseque un transilvano cree que él cree X.¿Se sigue que X ha de ser verdadero?

Supóngase que él no cree que cree X.¿Se sigue que X ha de ser falso?

–SOLUCIÓN–175.

Supóngase que un transilvanodice: «Yo creo X.» Si es humano, ¿sesigue que X tiene que ser verdadero?Si es vampiro, ¿se sigue que X tieneque ser falso?

¡La respuesta a este problemaconstituye un principio generalimportante!

–SOLUCIÓN–176.

Me encontré una vez con dostransilvanos, A y B. Pregunté a A:«¿Es B humano?» A replicó: «Esocreo.» Entonces pregunté a B:«¿Crees que A es humano?» ¿Quérespuesta dio B (suponiendo querespondió «Sí» o «No»)?

–SOLUCIÓN–177.

Definamos a un transilvano como

formal si es humano cuerdo o unvampiro loco y como informal si esun humano loco o un vampiro cuerdo.La gente formal es aquella que haceenunciados verdaderos; la genteinformal es aquella que haceenunciados falsos (ya sea sin maliciao por engaño).

Supongamos que preguntas a untransilvano: «¿Eres formal?» y él teda un «Sí» o un «No» comorespuesta. ¿Puedes determinar apartir de esta respuesta si él es o noun vampiro? ¿Puedes determinar si él

está cuerdo?

–SOLUCIÓN–178.

Supongamos, en lugar de eso, quele preguntas: «¿Crees que eresformal?» El te da un «Sí» o un «No»como respuesta. ¿Puedes determinarahora si él es un vampiro? ¿Puedesdeterminar si él está cuerdo?

–SOLUCIÓN–B. ¿VIVE AÚN EL CONDE DRÁCULA?

179.Recordemos que la primera

cuestión importante que deseabaresolver era la de si el CondeDrácula vivía aún. Bien, pregunté aun transilvano sobre el asunto v dijo: «Si yo soy humano, entonces elConde Drácula vive aún.»

¿Puede determinarse si Dráculavive aún?

–SOLUCIÓN–180.

Otro transilvano dijo: «Si estoy

cuerdo, entonces el Conde Dráculavive aún.» ¿Puede determinarse siDrácula vive aún?

–SOLUCIÓN–181.

Otro dijo: «Si soy un humanocuerdo, entonces el Conde Dráculavive aún»?

¿Puede determinarse si Dráculavive?

–SOLUCIÓN–182.

Supóngase que un transilvano hadicho: «Si yo soy un humano cuerdoo un vampiro loco, entonces elConde Drácula vive aún.»

¿Podría determinarse entonces siDrácula vive aún?

–SOLUCIÓN–183.

¿Hay algún enunciado, que untransilvano pudiera hacer, y que teconvenciese de que Drácula vive aúny también de que el enunciado esfalso?

–SOLUCIÓN–184.

¿Hay algún enunciado, que untransilvano pudiera hacer, tal que teconvenciese de que Drácula vive aúny del cual no pudieses decir si elenunciado es verdadero o falso?

–SOLUCIÓN–185.

Supóngase que un transilvanohace los dos enunciados siguientes:

(1) Estoy cuerdo.

(2) Creo que el Conde Dráculaestá muerto.

¿Podría inferirse si Dráculavive?

–SOLUCIÓN–186.

Supóngase que un transilvanohace los dos enunciados siguientes:

(1) Soy humano.(2) Si soy humano, entonces el

Conde Drácula vive aún.¿Podría determinarse si Drácula

vive aún?

–SOLUCIÓN–C. ¿QUÉ PREGUNTA DEBE HACERSE?187.

¿Puedes con una pregunta obtenerinformación de un transilvano sobresi él es o no un vampiro?

–SOLUCIÓN–188.

¿Puedes con una pregunta obtenerinformación de un transilvano sobresi él está o no cuerdo?

–SOLUCIÓN–189.

¿Qué pregunta podrías hacerle aun transilvano que le forzase aresponder «Sí», independientementede a cuál de los cuatro tipospertenezca?

–SOLUCIÓN–190.

¿Puedes con una pregunta obtenerinformación de un transilvano sobresi el Conde Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–D. EN EL CASTILLO DE DRÁCULA

Si hubiera tenido ojo y mehubiera dado cuenta de la respuestaal último problema me hubieraevitado un sinfín de desgracias. Peroestaba entonces tan aturullado, tanaturdido por esta clasificaciónentrecruzada de cuerdos y locossobrepuesta a la de los que mienten ydicen verdad, que no podía pensarcorrectamente. Además, estaba unpoco nervioso al estar en compañía

de transilvanos, algunos de loscuales eran vampiros. ¡Y, con todo,me esperaba aún una situación másdesconcertante!

Aún no sabía si el Conde Dráculaestaba vivo. Me parecía quesolamente podría encontrar larespuesta si podía llegar al Castillode Drácula. Por aquel entonces bienpoco me daba cuenta de que esto, porrazones que más adelantedescubrirás, solamente complicaríael asunto. Sabía perfectamente dóndeesta el Castillo de Drácula y sabía

que allí había mucha actividad. Sabíatambién que el castillo tenía unanfitrión, pero no sabía si esteanfitrión era el Conde Drácula(dejando de lado la cuestión de siDrácula estaba aún vivo). Ahorabien, la admisión en el Castillo deDrácula era solamente medianteinvitación, y las invitaciones sedaban solamente a la flor y nata de lasociedad transilvana. Por lo tantotuve que invertir varios meses deardua escalada social antes de queme encontrase en una posición lo

suficientemente elevada para serinvitado. El día llegó finalmente yrecibí una invitación para asistir auna fiesta de varios días y noches deduración en el Castillo de Drácula.

Fui con grandes esperanzas y enseguida recibí mi primer chasco.Poco tiempo después de entrar en elcastillo, me di cuenta de que habíaolvidado coger, en medio de miapresuramiento, mi cepillo dedientes, un ajedrez de bolsillo yalgún material de lectura. Así pues,me dispuse a dirigirme hacia la

puerta para volver a mi hotel, perofui interceptado por un transilvanofortachón y de aspecto brutal que medijo educadamente, pero con granfirmeza, que una vez que una personaentra en el Castillo de Drácula, nopuede en ningún caso abandonarlosin permiso del anfitrión.«Entonces», dije yo, «me gustaríahablar con el anfitrión». «Por ahoraesto es, absolutamente imposible»,me informó, «pero yo puedo recogerun mensaje para él, si usted quiere».Bien, envié al anfitrión un mensaje

preguntándole si podía abandonar elcastillo durante un momento. Larespuesta llegó rápidamente; erabreve y además nada tranquilizadora.Decía: «Naturalmente, no.»

En consecuencia, estabaprisionero en el Castillo del CondeDrácula. Bien, ¿qué podría hacer yo?Obviamente, por el momento nada;así, a la manera realmente propia delZen, decidí disfrutar de la noche enaquello que merecía la pena y entraren acción en cuanto la primeraoportunidad se presentase.

El baile de aquella noche fue lomás magnífico que haya visto o leídoalguna vez. Hacia las dos de lamañana decidí retirarme y se memostró mi habitación.Asombrosamente, a pesar del infinitopeligro en el que estaba, dormíprofundamente. Me desperté hacia elmediodía del día siguiente y, despuésde una buena comida, me mezclé conlos huéspedes, esperando obtenermás información. Entonces recibí misegunda sorpresa. Toda la gente(excepto yo mismo) pertenecía a un

pequeño subgrupo de transilvanos deélite que en lugar de usar laspalabras «Sí» y «No», usaban laspalabras «Bal» v «Da» —¡precisamente del mismo modo queen la isla de los zombis! Así pues,me encontraba metido en unasituación rodeado de losdenominados «transilvanos de élite»,cada uno de los cuales era o humanoo vampiro, estaba loco o estabacuerdo y, para remachar todo esto, nosabía lo que significaban laspalabras «Bal» y «Da». De este

modo las complejidades de losprimeros transilvanos nopertenecientes a la «élite» a los quehabía interrogado fuera del castillose combinaban con lascomplejidades de la isla de loszombis. Parecía que con mi llegadaal castillo había pasado deGuatemala a Guatapeor.

Bien, al darme cuenta de esto,temo que perdí toda mi composturapropia del Zen y estuveabsolutamente deprimido durante elresto del día. Me retiré temprano, sin

preocuparme tan siquiera por ver lasegunda noche de fiestas. Meencontraba rendido, incapaz dedormir o de pensar. Entonces, derepente, me sobresalté. Me di cuentade que las nuevas complicacionesBal–Da eran en realidad fácilmentemanejables. Emocionadamente, tomémi pluma y mi cuaderno de notas ycomencé de inmediato a resolver losproblemas siguientes:

191.Con una pregunta (susceptible de

ser respondida por «Bal» o «Da»)podía averiguar de alguien delcastillo si era o no vampiro.

–SOLUCIÓN–192.

Con una pregunta podía averiguarsi estaba cuerdo.

–SOLUCIÓN–193.

Con una pregunta podía averiguarlo que significaba «Bal».

–SOLUCIÓN–194.

Si lo desease podría plantear acualquiera del castillo una preguntatal que le forzase a responder «Bal».

–SOLUCIÓN–195.

¡Con una pregunta podíaaveriguar si Drácula vive! ¿Cuálesson esas preguntas?

–SOLUCIÓN–

E. EL ENIGMA DE DRÁCULA

¡Llegamos ahora al puntoculminante! Al día siguiente obtuvetoda la información que deseaba.Drácula estaba realmente vivo y era,de hecho, mi anfitrión. Ante misorpresa, averigüé también queDrácula era un vampiro loco y, porlo tanto, todo enunciado que él hacíaera verdadero.

Pero, ¿de qué me servía saberesto, ahora que estaba a merced deldestino y corría el riesgo de serconvertido en un vampiro y perder

mi alma para siempre? Después dealgunos días concluyeron los festejosy se permitió marchar a todos loshuéspedes excepto a mí. De modoque, virtualmente solo en lo queahora era un lúgubre y macabrocastillo, era prisionero de unanfitrión con el que hasta ahora nohabía tenido ningún contacto.

No tuve que esperar muchotiempo. Poco antes de medianoche seme sacó groseramente de un sueñoprofundo y fui escoltado, de maneraeducada pero firme, a las

habitaciones privadas del CondeDrácula que, evidentemente, habíasolicitado tener una entrevistaconmigo. Mi guía marchó y he aquíque me encontré frente al mismísimoConde Drácula. Después de lo queme pareció una eternidad de silencio,Drácula dijo: «¿Sabe usted que yosiempre doy a mis víctimas algunaposibilidad de escapar?»

«No», respondí sinceramente,«no sabía esto».

«Oh», replicó Drácula,«realmente no podría pensar en

privarme de este gran placer».Por alguna razón, no acabó de

gustarme el tono de voz con el quedijo esto: tenía un cierto sabor aarrogancia.

«Usted verá», continuó Drácula,«yo le planteo a mi víctima unenigma. Si en un cuarto de horaadivina correctamente la respuesta,lo dejo en libertad. Si no lograadivinarla, o si la adivina mal, leataco y se convierte en un vampiropara siempre.

«¿En un vampiro cuerdo o en uno

loco?», pregunté yo inocentemente.Drácula se volvió lívido de

rabia. «Sus chistes no tienen ningunagracia», gritó. «¿Se da usted cuentacompletamente de la gravedad de lasituación? No suelo estar de humorpara bromas frívolas. Alguna cosamás de este tipo y no le daré nisiquiera la oportunidad usual.»

Asustado a medida que ibadiciendo todo esto, mi reaccióninmediata fue ante todo de curiosidadrespecto al hecho de por qué Dráculaestaría dispuesto a arriesgarse a

perder una víctima. «¿Qué es lo quele mueve a esta generosidaddeportiva?», le pregunté.

«¿Generosidad?», dijo Dráculacon un aire desdeñoso. «No tengo niun solo átomo de generosidad en micuerpo. Se trata solamente de que elenorme placer sádico que obtengo alobservar a mi víctima retorcerse,escribir, convulsionarse bajo estaangustiosa gimnasia mental.

Compensa con creces laposibilidad infinitesimal de que lapierda.

Esta palabra «infinitesimal» noera demasiado consoladora, quedigamos.

«Oh sí», continuó Drácula,«jamás hasta ahora he perdido unavíctima; como usted verá, no estoycorriendo demasiado riesgo».

«Muy bien», dije, dándome a mimismo ánimos de la mejor maneraque pude, «¿en qué consiste elenigma?».

196.Drácula me miró examinándome

durante algún tiempo. «Sus preguntasa mis huéspedes eran muyinteligentes —sí, sí, lo sé todo sobreellas. Realmente eran muyinteligentes, pero no tan inteligentescomo usted podría pensar. Ustedtenía que haber diseñado unapregunta separada para cadafragmento de información quedeseaba obtener; usted no dio nuncacon un principio simple y unificadorque le hubiera evitado a usted muchotrabajo mental. Existe una oración Oque tiene la propiedad casi mágica

de que, dada cualquier informaciónque usted desee saber, dadacualquier oración X cuya verdadusted desee averiguar, todo lo queusted tiene que hacer es preguntar acualquiera que esté en este castillo:“¿Es O equivalente a X?”. Si ustedobtiene como respuesta “Bal”, Xtiene que ser verdadera; si ustedobtiene “Da” como respuesta, X tieneque ser falsa. Así, por ejemplo, siusted desease averiguar si elhablante es un vampiro, tendría quepreguntar: “¿Es O verdadera si y

sólo si usted es un vampiro?” Siusted desease averiguar si estácuerdo, no tendría que preguntar másque: “Es O verdadera si y sólo siusted está cuerdo?” Para haberaveriguado lo que significa “Bal”,usted sólo habrá tenido quepreguntar: “¿Es O verdadera si ysólo si ‘Bal’ significa sí?” Paraaveriguar si yo vivía aún, ustedpodría haber preguntado: “¿Es Overdadera si y sólo si Drácula viveaún?”, etc.»

«¿Cuál es esa oración O?»,

pregunté yo con enorme curiosidad.«Ah», replicó Drácula. «Es asuntosuyo el averiguarlo. ¡Éste es suenigma!».

Al decir esto Drácula se puso enpie para abandonar la habitación.«Tiene usted quince minutos. Haríabien en discurrir con ahínco. Losriesgos son muy elevados.»

¡Verdaderamente eran muyelevados! Aquellos fueron los quinceminutos más penosos de mi vida.Estaba tan paralizado por el miedoque tenía la mente en blanco. Estaba

seguro de que Drácula me estabaobservando secretamente desdealgún lugar oculto.

Cuando habían transcurrido losquince minutos Drácula volviótriunfantemente y comenzó arevolotear a un alrededor con loscolmillos hechos agua. Se me fueacercando más y más, hasta que letuve prácticamente encima. Entoncesde repente levanté la mano y grité:«Naturalmente, la oración O es...»

¿Cuál es la oración O que mesalvó?

EPÍLOGO DE 196.

El shock recibido por el pobreDrácula ante el hecho de que yohubiese resuelto su enigma fue tangrande que pereció en el acto, ypocos minutos después se desintegróconvertido en ceniza. Ahora cuandoalguien me pregunta. «¿Vive aún elConde Drácula?», puedo responderveraz y adecuadamente: «Bal.»

–SOLUCIÓN–197.

Existen cuatro inconsistenciasmenores en esta historia. ¿Podríasdetectarlas?

–SOLUCIÓN–

PARTE CUARTALA LÓGICA ES UNA

COSAMARAVILLOSA

13- LA LÓGICA Y LAVIDA

A. ALGUNAS CARACTERIZACIONESDE LA LÓGICA

198. LA CARACTERIZACIÓN DE LALÓGICA DE TWEEDLEDUM

Me encanta la siguientecaracterización de la lógica que daTweedledee.

Tweedledee (a Alicia): Sé lo queestás pensando, pero no es así detodas formas.

Tweedledum: Al contrario, si fueasí, podría ser; y si fuera así, sería;pero como no es, no es. La lógica esasí.

199. LA CARACTERIZACIÓN DETHURBER

En Las trece chimeneas Thurberda una caracterización de la lógicaque dice más o menos así: Dado quese puede tocar un reloj sin pararlo,será posible ponerlo en marcha sintocarlo.

Así es cómo yo veo y entiendo lalógica.

200.La caracterización de Thurber me

recuerda algo mi silogismo favorito:Algunos coches ratean. Mi coche esalgún coche. ¡Luego no es raro quemi coche ratee!

201. OTRA CARACTERIZACIÓN DE LALÓGICA

Un amigo mío —ex–oficial depolicía, cuando se enteró que miprofesión era la de lógico, me dijo:«Déjame que te explique cómo veoyo la lógica. El otro día estábamosmi mujer y yo en una reunión y la

señora de la casa nos ofreció tarta.En la bandeja había sólo dos trozos,uno mayor que otro. Me quedé unmomento pensando y cogí el mayor.Mi razonamiento fue el siguiente: Séque a mi mujer le gustan las tartas ysé que ella sabe que a mí también megustan. También sé que ella mequiere y desea todo lo mejor para mí,de manera que ella habría queridoque cogiera el trozo más grande. Poreso lo cogí.»

202.

Lo anterior me recuerda lahistoria de dos señores que estabanen un restaurante y pidieron pescado.El camarero trajo una fuente con dospeces, uno mayor que el otro. Uno denuestros señores le dijo al otro:«Sírvete, por favor», y el otro sesirvió el pez grande. Tras un tensomomento de silencio, el primerodijo: «La verdad que si yo mehubiera servido antes que tú, mehabría puesto el pequeño.» Y el otrole contesto: «¿De qué te quejas? Ahílo tienes, ¿no?»

203.Lo que también me trae a la

mente la historia de aquella señoraque fue a un banquete y, cuando lellegó la bandeja de plata con losespárragos, cortó todas las puntas, selas sirvió y le pasó la bandeja a suvecino. «¿Pero cómo hace usted unacosa semejante?, ¿por qué se cogetodas las puntas y me pasa lostallos?» «Es que las puntas sonmejores, ¿no lo sabía usted?»

204.

Una vez vi este chiste en unperiódico: Un niño y una niña vanandando por una acera. El niño vapor la parte de dentro. Pasa uncamión por la calle, que está todaembarrada y pone perdida a la niña.El niño la mira y le dice: «¿Te dascuenta ahora por qué yo no voy porel lado de fuera como un caballero?»

205.También me gusta esta

caracterización de la ética. Un niñole pregunta a su padre: «Papá, ¿qué

es la ética?» «Te lo voy a explicar,hijo mío. El otro día entró una señoraen la tienda y me dio un billete de5.000 creyendo que eran 1.000. Yotampoco me di cuenta y le di lavuelta de las 1.000. Horas después viallí el billete y me di cuenta de loque había pasado. La ética, hijo mío,es el preguntarme: «¿Tengo quedecírselo a mi compañero (yrepartir)?»

206.Un día fui a un restaurante chino

con un amigo que es matemático. Elmenú tenía una advertencia quedecía: «Precio extra por todoservicio extra.» Mi amigo señaló:«Realmente, podían haber quitado lasegunda y la última palabra.»

207.Una vez vi el siguiente cartel en

un restaurante:

LA BUENA COMIDA NO ESBARATA

LA COMIDA BARATA NO ESBUENA

¿Estas dos oraciones dicen o nodicen lo mismo? La respuesta seríaque, hablando lógicamente, dicenexactamente lo mismo; ambas sonequivalentes al enunciado de que nohay comida a la vez buena y barata.Pero, aunque ambos enunciados seanlógicamente equivalentes,psicológicamente sugieren cosasdiferentes: al leer la primera fase, meimagino unos platos muy refinados ycaros pero, cuando leo la segunda, loprimero que veo es una comidabarata y podrida. Y no creo que mi

reacción sea atípica.

B. ¿ES USTED FÍSICO OMATEMÁTICO?208.

Hay un problema muy famososobre dos garrafas que una tiene 10litros de agua y la otra 10 litros devino. Se echa tres litros de agua en lagarrafa del vino y, tras revolverlotodo, se vuelven a echar tres litros dela mezcla en el recipiente del agua.Después de los trasiegos ¿qué habrá,más agua en la garrafa del vino o más

vino en la garrafa del agua?Hay dos maneras de resolver el

problema, una aritmética y otra desentido común. De las dos prefierocon mucho la última. La solución porel método aritmético es la siguiente:Después de echados 3 litros de aguaen el recipiente del vino, tendremosen éste 13 litros de mezclaconsistente en 3/13 de agua y 10/13de vino. Tras echar 3 litros de lamezcla de vuelta en la garrafa delagua, habré echado 3 x 10/13 =30/13 litros de vino al agua, de

forma que el recipiente del aguacontendrá ahora 10/13 litros de vino.Ahora, antes del segundo trasiego lagarrafa del vino contenía 3 litros deagua y, de la mezcla, se habíadevuelto al recipiente del agua 3 x3/13. Así pues la garrafa del vinotiene ahora 3 – 9/13 litros; pero 3 –9/13 = 39/13 – 9/13 = 30/13, demanera que la garrafa del vino tieneexactamente la misma cantidad(30/13) de agua que la garrafa deagua tiene de vino.

La solución por el método del

sentido común es mucho más rápiday, también, nos hace pensar en algomucho más general: Dado que lascantidades de líquido de ambosrecipientes sigue siendo la misma, esevidente que cualquiera que sea elagua que falte de la garrafa del aguaha sido reemplazada por el mismovolumen de vino. Y con esto seresuelve el problema.Evidentemente, esta solución de«sentido común» no te da elvolumen, mientras que la soluciónaritmética te dice que es 30/13. Pero,

en cambio, la solución de «sentidocomún» se puede aplicar igualmenteal siguiente problema más general(que el método aritmético no puederesolver).

Para empezar, tenemos losmismos recipientes que antes yechamos el líquido del uno en el otrorepetidas veces sin especificarcuántas veces ni qué cantidad deliquido, ni tampoco es necesario quese eche la misma cantidad cada vezpero, terminados los trasiegos,tendremos 10 litros en cada

recipiente. ¿Qué habrá, más agua enel del vino o más vino en el delagua?

Por el mismo razonamiento desentido común, las cantidadestendrán que ser las mismas, peroahora sí que no podremos saber elvolumen exacto.

209.Cuando me pusieron el problema

anterior, se me ocurrióinmediatamente la pregunta siguiente:Empezamos de nuevo con la garrafa

de los 10 litros de agua. A, y lasegunda garrafa de los 10 litros devino, B. Pasamos 3 litros de uno aotro cualquier número finito deveces, ¿cuál será el menor número detrasiegos necesarios para que lamezcla tenga el mismo porcentaje devino en uno y otro?

La solución que se me ocurría esque era imposible lograr esto en unnúmero finito de pasos.Independientemente de cuánto vinohaya en una garrafa y cuánta agua enla otra, e independientemente de

cuánto líquido se trasiegue cada vez(y siempre que nunca llegue avaciarse una garrafa dentro de laotra), la concentración de vino de Bsiempre será mayor que la de A, loque puede demostrarse por unsencillo argumento de inducciónmatemática. En un principio, laconcentración de vino de B es,evidentemente, superior a la de A.Supongamos, llegado un cierto punto,que B sigue estando más concentradaque A. Si echamos una cantidad de Ben A, habremos echado una mezcla

más fuerte en otra más diluida y, portanto, B seguirá siendo más fuerteque A. Si echamos de A en B, Bseguirá siendo más fuerte que A.Como todos los trasiegos quehagamos responderán a uno de estosdos tipos, es evidente que B siempretendrá una mayor concentración queA. La única manera de igualar lamezcla es vaciar un jarro en el otro.

Ahora bien, visto el problemacomo puramente matemático, mirazonamiento es impecable. Sinembargo, visto como algo del mundo

físico real, mi razonamiento es untanto equívoco, pues da por hechoque los líquidos son infinitamentedivisibles, cuando en realidad estáncompuestos de moléculas, detalleque le hizo observar Argyle (RoyalOak, British Columbia) a MartinGardner. Argyle calculó que despuésde 47 dobles intercambios, laposibilidad sería alta de que laconcentración fuera la misma en unoy otro recipiente{10}.

No sé si la solución de Argyle escorrecta si el número de moléculas

del recipiente del vino es impar envez de par. En cualquier caso, a míeste problema jamás en un millón deaños se me habría ocurrido verlocomo físico en vez de matemático.

210. PRUEBA DEL IMÁN

Martin Gardner da el siguienteproblema{11}: Nos encontramos enuna habitación en que no hay ningúnmetal de ningún tipo excepto dosbarras de hierro, la una está imantaday la otra no. Podremos saber cuál esel imán atándoles un cordón a cada

una en el centro y colgándolas. Laque apunte hacia el Norte será elimán. Pero, ¿hay otro método mássencillo de averiguarlo?

La solución dada era la de cogeruna de las barras y tocar con suextremo el centro de la otra. Si laatrae tendremos en la mano el imán,si no es que el imán es la otra barra.

Esta solución «del físico» escompletamente «lógica» y es muchomás sencilla que atarlas, colgarlas,etc. Pero a mí, que soyfundamentalmente lógico y no físico,

se me ocurrió otro procedimiento queestá a mitad de camino entre los dos.En lugar de atar las dos barras ycolgarlas, atar sólo una y ver siapunta o no al Norte.

211. ¿Y TÚ QUÉ?¿Eres del tipo matemático o del

físico? Para averiguarlo hay unaprueba deliciosa: Supongamos queestás en un refugio de montaña en quehay una cocina apagada, una caja decerillas, un grifo con agua fríacorriente y un cazo vacío. ¿Cómo

harías para tener un cazo de aguacaliente? Evidentemente contestaríasque llenarías el cazo de agua fría,encenderías la cocina, y pondrías elcazo al fuego hasta que el aguaestuviera caliente. A lo que terespondo, «Bien, hasta aquí no haydiferencia alguna entre el matemáticoy el físico, pero el problemasiguiente ya delimita los campos».

En este problema, estamos denuevo en un refugio de montaña enque hay una cocina apagada, una cajade cerillas, un grifo con agua fría

corriente y un cazo lleno de agua fría.¿Cómo harías para tener un cazo deagua caliente? La mayoría contesta:«Pues encendería la cocina y pondríael cazo con el agua fría al fuego», alo que respondo «¡Entonces eresfísico! El matemático habría tirado elagua fría del cazo, reduciendo elcaso al problema anterior que ya estáresuelto».

Pero vamos un paso más allá, ytenemos que el cazo de agua fría estáya al fuego, ¿cómo tendremos aguacaliente? El físico simplemente

espera a que se caliente; elmatemático apaga la hornilla, tira elagua fría y reduce el caso al primerproblema (o sólo apaga la cocina ylo reduce al segundo).

Una variante todavía másdramática es ésta: Una casa enllamas, una boca de riego y unamanguera desconectada, ¿cómo seapaga el fuego? Primero se enchufala manguera a la boca de riego yluego se riega el edificio. Perosupongamos ahora que tenemos laboca de riego, la manguera

desconectada y una casa que no estáen llamas, ¿cómo apagarías el fuego?El matemático prendería fuego a lacasa reduciendo así el problema alprimer caso.

212. VON NEUMANN Y EL PROBLEMADE LA MOSCA

Este problema se puede resolverpor el método «difícil» o por el«fácil».

Dos trenes, que van en la mismadirección y sentido contrario, están a200 kilómetros el uno del otro; losdos unían a 50 kilómetros por hora.

Una mosca empieza a volar del unoal otro —empezando por la partedelantera de uno de ellos— a unavelocidad de 75 kilómetros la hora.Los trenes chocan y la mosca muereaplastada. ¿Cuántos kilómetros devuelo hizo?

La mosca tocará cada tren unnúmero infinito de veces untes de quela aplasten, y el problema se podríaresolver sumando una serie infinitade distancia (cada vez más cortas,claro está, que convergen en unacantidad finita determinada) —éste

sería el método «difícil», y habríaque hacerlo con papel y lápiz. Elcamino «fácil» sería el siguiente: silos trenes están a 200 kilómetros unode otro y los dos van a 50 kilómetrospor hora, los trenes tardarán enchocar dos horas, y, por tanto, lamosca habrá estado volando doshoras; como volaba a 75 kilómetrospor hora, habrá volado 150kilómetros. ¡Y ya está resuelto!

Pues bien, al gran matemáticoVon Neumann le dieron esteproblema, pensó unos segundos y

dijo «¡Ah, claro, 150 kilómetros!».«Muy bien, ¿cómo lo hiciste?»«Sumé la serie», dijo Von Neumann.

213.Y ahora un chiste sobre Von

Neumann: Un grupo que estabaconstruyendo una nave espacial lehizo una consulta. Cuando éste vioaquella estructura acabada lespreguntó de dónde habían sacado losplanos para la nave. «Tenemosnuestro equipo de ingenieros.»«¡Ingenieros! Tengo pergeñada toda

la teoría matemática de los cohetesespaciales. Léanse mi articulo de1952.» El grupo se estudió elartículo, deshizo totalmente suestructura de 10 millones de dólarese hizo un nuevo cohete siguiendoexactamente el proyecto de VonNeumann. El cohete explotó en elmomento mismo del lanzamiento ylos componentes del grupo llamaronfuriosos a Von Neumann para pedirlecuentas: «Seguimos sus instruccionesal pie de la letra. ¡Y cuando lopusimos en marcha, estalló!» «¿Qué?

—dijo— ¡Ay, sí!, ese es conocidotécnicamente como el problema de laexplosión, hablo de él en mi articulode 1954.»

214.Hay una historia, que dicen que

es verdad, de una niña que vivía enPrinceton. Nueva Jersey, que iba malen matemáticas. De pronto, en dosmeses y sin que se supiera por qué,adelantó de manera impresionante.Un día su padre le preguntó si sabía aqué se debía aquello. «Me dijeron

que había un profesor aquí que era deverdad bueno en matemáticas. Me fuia su casa, llamé a la puerta y desdeentonces voy todos los días a que meexplique. ¡De verdad que enseñabien!» La madre, sorprendidísima, lepreguntó si sabía cómo se llamaba,pero la niña le dijo que no, que «algocomo Einstein».

215.Y otra, también de Einstein, de

que un día le dijo a un colega que aél no le gustaba enseñar en sitios de

coeducación porque con todas laschicas guapas que había en las claseslos chicos no atendían a lasmatemáticas ni a la física. Y losamigos le dijeron: «Vamos, déjate detonterías. Albert, los chicos claroque escuchan lo que tú dices.» «Bah,a esos no merece la pena enseñarlesnada.»

216.El siguiente chiste ilustra

perfectamente la diferencia entre elfísico y el matemático:

Un físico y un matemático van enavión de California a Washington, D.C. Cuando sobrevuelan Kansas venuna oveja negra. El físico dirá que«en Kansas hay una oveja negra». Elmatemático que «en un punto delMedio Oeste… existe… una oveja…con la parte de arriba negra».

C. GENTES DE VERMONT

217.La historia anterior me recuerda

lo que se contaba de Calvin Coolidgecuando fue de visita a una granja con

unos amigos. Estando allí vieron unrebaño de ovejas y uno de los amigosdijo «Se ve que acaban de esquilar alas ovejas». «De este lado pareceque si», comentó Coolidge.

218.Cuando le iban a presentar al

humorista Will Rogers al PresidenteCoolidge, le dijeron, «ya sabes que aCoolidge no hay quien le haga reír».Rogers aseguró que él si que le iba ahacer reír y ¡efectivamente loconsiguió! En el momento de la

presentación, y al oír las palabras deritual «Sr. Rogers, tengo el gusto depresentarle al Presidente Coolidge»,Rogers miró al Presidente y dijo«Perdón; no he entendido bien sunombre».

219.Como todos saben, Calvin

Coolidge era de Vermont y a mi meencantan las historias de la gente deVermont. Hay una de un hombre quepasó por delante de una casa en queestaba un granjero de Vermont

meciéndose en su mecedora en elporche. «¿Qué, ahí meciéndote todala vida?» «No, aún no», replicó elgranjero.

220.Típico de los de Vermont —o

por lo menos de cómo los pintan enlos chistes— es que cuando se lespregunta algo, contestan con todaprecisión, pero casi siempre se lesolvida decir lo más importante, comopor ejemplo en este chiste: Ungranjero de Vermont va a la granja

de su vecino y le pregunta: «Lem,¿qué le diste al caballo el añopasado cuando tuvo el cólico?»«Salvado y melaza.» El granjero sefue a su casa y una semana despuésvolvió a ver a su vecino, «Lem, le disalvado y melaza a mi caballo y semurió». «Lo mismo que el mío.»

221.Pero mi preferido es el del turista

que está viajando por Vermont yllega a un cruce de carreteras: en unade ellas hay una señal que dice: «A

White River Junction» y en la otraseñal que dice exactamente lomismo. El turista se rasca la cabezasin comprender nada, pero en esto vea uno de allí que llega al cruce y lepregunta: «¿Da lo mismo si voy poruna carretera o por la otra?» «A mísí», le contesta el de Vermont.

D. ¿EVIDENTE?222.

Esta anécdota se les ha atribuidoa muchos matemáticos diferentes: Unprofesor de matemáticas durante una

clase da un enunciado y luego dice«Esto es evidente». Un alumnolevanta la mano y pregunta «¿Por quées evidente?». El profesor se quedapensando un momento, sale de laclase, y a los veinte minutos vuelve ydice «¡Sí, es evidente!» y continúa suclase.

223.Hay otra historia de un profesor

que se encuentra a un alumno en elpasillo inmediatamente después deacallada la clase y éste le dice

«Profesor, no he entendido bien lademostración que hizo usted delTeorema 2. ¿Me lo puede volver aexplicar?». El profesor se quedó unrato como en trance y de repentevolviendo a la tierra le dijo: «Sí,luego así queda demostrado.» «Pero,¿cómo se demuestra?» El profesorvolvió a quedarse en trance, ydespués de unos minutos dijo: «…luego la demostración es correcta».«Seguro —dijo el alumno —peroaún no me ha dicho usted cuál es lademostración.» «Bueno, te lo

demostraré por otro procedimiento»,dijo el profesor y volvió a su estadode trance, del que salió diciendo«que igualmente lo demuestra». Elpobre alumno se le quedó mirandomás asombrado todavía que las otrasdos veces. «Mira, te he hecho ya tresdemostraciones, si ninguna de ellasla entiendes, creo que no hay nadaque hacer», y se fue.

224.Se cuenta que un famoso físico

dio una conferencia a un grupo de

especialistas y al acabar dijo que lepodían hacer las preguntas quequisieran. Uno de los del públicolevantó la mano, «No he entendido sudemostración del Teorema B». A loque el físico contestó: «Eso no esninguna pregunta.»

225.Cuando yo estaba haciendo el

doctorado en Princeton, corría porallí la siguiente explicación delsignificado de la palabra «evidente»según quien fuera el profesor del

departamento de matemáticas que lautilizara. (En vez de los nombres,usaré letras.) Cuando el Profesor Adice que algo es evidente, quieredecir que si te vas a casa y te quedasdándole vueltas dos semanas, al finalverás que es verdad.

Cuando el Profesor L dice quealgo es evidente, quiere decir que tevas a tu casa, te lo piensas el resto dela vida y a lo mejor un día lo ves.

Cuando el Profesor C dice quealgo es evidente quiere decir que

toda la clase lo sabía ya desde haciados semanas.

Cuando el Profesor F dice quealgo es evidente quiere decirse queprobablemente sea falso.

E. PROFESORES DISTRAÍDOS

226.Hay una historia de un alumno

que se encuentra a un profesor en elpasillo y le pregunta «¿Ha comidousted ya?». El profesor se quedapensando y luego le dice: «Dígame,¿hacia dónde iba yo cuando me paró

usted?»

227.Una vez me contaron una

anécdota del matemático DavidHilbert y yo se la conté a un físicoqué me dijo que a él le habíancontado lo mismo de Ampere. Lo quea mí me contaron era esto: ElProfesor Hilbert y su mujer dieronuna fiesta. Al llegar un invitado lamujer llevó al profesor a una esquinay le dijo: «David, sube y cámbiate lacorbata.» Hilbert subió y al cabo de

una hora aún no había bajado. Sumujer, muy preocupada, subió aldormitorio y se encontró a Hilbert ensu cama dormido. Le despertó y ¿quéhabía pasado?, que una vez quitadala corbata, mecánicamente se habíaseguido desnudando y se habíametido en la cama sin darse cuenta.

228.Pero la historia de sabios

distraídos que más me gusta es la quese cuenta de Norbert Wiener. Notengo ni idea de si es verdad o no

(aunque sí podría serlo porqueWiener, en sus últimos años, estabacasi ciego); sea como fuere, lahistoria es así:

Los Wiener se iban a mudar deun barrio de Cambridge a otro. LaSra. Wiener que conocía el despistede su marido, decidió metérselo en lacabeza y, un mes antes de lamudanza, por la mañana antes de quesaliera para clase, le dijo: «Norbert,dentro de treinta días nos mudamos,acuérdate que entonces, a la salidade clase, tendrás que coger el

autobús B en vez del A.» «Sí,querida.» A la mañana siguiente laSra. Wiener le dijo a su marido:«Norbert, dentro de veintinueve díasnos mudamos. Acuérdate que a lasalida de clase tendrás que tomar elautobús B en vez del A.» «Sí,querida.» Y así todos los días hastaque llegó el día de la mudanza y laseñora Wiener dijo: «Hoy es el día,Norbert; cuando salgas de clase tomael autobús B en lugar del A.» «Sí,querida, sí.» Pero, claro está, al salirde clase tomó el autobús A y se fue a

la casa antigua; al llegar y verlavacía volvió a tomar el autobús Ahasta Harvard Square, allí tomó el B,se bajó en la parada que tenía quebajarse y una vez en la acera se diocuenta que se le habían olvidado lasseñas. Dio unas cuantas vueltasalrededor hasta que empezó ahacerse de noche. En esto vio unaniña, se acercó a ella y le dijo:«Perdona, ¿no sabrás, porcasualidad, dónde viven losWiener?» «Venga, papá, que te llevoa casa.»

F. MÚSICOS

229.El compositor Robert Schumann

escribió al principio de una de suscomposiciones: «Para tocar todo lodeprisa que se pueda.» Mesesdespués escribía «Más deprisa».

230.Se cuenta que Richard Wagner

iba un día por una calle de Berlín yse tropezó con un organillero queestaba tocando la obertura deTannhauser. Wagner se paró y le

dijo: «La verdad es que lo toca ustedun poco demasiado deprisa.» Elorganillero le reconocióinmediatamente y, llevándose lamano a la gorra, le dijo: «¡Uy,muchas gracias Herr Wagner,muchísimas gracias!»

Al día siguiente Wagner volvió ala misma esquina y se encontró conel organillero que estaba tocando laobertura tal como debía ser. Detrásllevaba un cartel que decía Alumnode Richard Wagner.

231.Hay una anécdota de cuatro

músicos de la orquesta sinfónica deBoston que habían ido a remar. Unode ellos se cayó al agua y gritó:«¡Socorro! No sé nadar.» Uno de losotros dijo «Finge que lo haces».

232. BRAHMS Y EL CUARTETO DECUERDA AMATEUR

Se cuenta que el compositorJohannes Brahms tenía cuatro amigosque tocaban instrumentos de cuerda,y que eran malos músicos, pero tansimpáticos que a Brahms le gustaba

andar con ellos. Un día decidierondarle una sorpresa a Brahms y sepasaron seis meses ensayandoasiduamente el último cuarteto suyo.Un día, en una fiesta, le llevaron a unrincón y el primer violín le dijo:«Johannes, tenemos una sorpresapara ti. Ven con nosotros a esa otrahabitación.» Brahms les siguió a laotra habitación, ellos sacaron susinstrumentos y comenzaron a tocar elcuarteto tan mal que, al final delprimer tiempo, Brahms se levantó,sonrió amablemente aunque con

dificultad y se encaminó hacia lapuerta. El primer violín saliócorriendo detrás de él diciendo:«Johannes, ¿qué tal lo hemos hecho?,¿estaba bien el tempo?» «Vuestrostempos estaban bien; creo que megustó más el tuyo», contestó Brahms.

G. COMPUTADORES

233.Se han llevado a cabo muchos

experimentos en que se da a traduciral ruso a un computador una oracióninglesa —preferentemente una frase

hecha— y el resultado se le da a otrocomputador para que lo traduzca denuevo al inglés. El objetivo escomprobar el grado de distorsiónresultante.

En una ocasión lo hicieron con eldicho de que «el espíritu es fuerte,pero la carne es débil», que seconvirtió en «el vodka es bueno,pero la carne está estropeada».

234.Otra vez le tocó al dicho «ojos

que no ven, corazón que no siente»,

que dio «estúpido cegato».

235.Hay un chiste de un vendedor de

IBM que quería vender uncomputador que «lo sabía todo»; ledijo a un cliente: «Pregúntele lo quequiera, que le contestará.» «Vale,¿dónde está mi padre?» La máquinapensó unos instantes y le salió unatarjeta que decía: «Su padre estápescando en Canadá.» «Ja, dijo elcliente, esta máquina no vale paranada, mi padre se ha muerto hace

unos años.» A lo que el vendedorreplicó que había que hacerle laspreguntas en un lenguaje más precisoy, acercándose al computador lepreguntó: «Este hombre está delantede ti: ¿dónde está el marido de sumadre?» El computador pensó unmomento y le salió otra tarjeta: «Elmarido de su madre murió hace años.Su padre está ahora pescando enCanadá.»

236.La primera vez que un avión

automatizado despegó los pasajerosestaban algo preocupados. En esto lavoz arrulladora y tranquilizante delcomputador se oyó por los altavoces:«Señoras y caballeros tienen ustedesel privilegio de estar volando en elprimer avión totalmente automático.Nada de pilotos con sus falloshumanos, están siendo conducidospor computadores infalibles.Atenderemos todas sus necesidades.No tienen que preocuparse de nada…preocuparse de nada… preocuparsede nada… preocuparse de nada...»

237. EL COMPUTADOR MILITAR

El chiste de computadores quemás me gusta es el del computadormilitar. El ejército acaba de enviarun cohete a la luna. El coronelprogramó dos preguntas para elcomputador (1) ¿Va a llegar elcohete a la luna? (2) ¿Va a volver ala tierra? El ordenador pensó unmomento y salió una tarjeta que decía«Sí». El coronel, furioso porque nosabía si el «sí» contestaba a laprimera pregunta o a la segunda o alas dos juntas, programó un «sí,

¿qué?». Tras pensarlo un momentosalió otra tarjeta que decía «Sí,señor».

14- CÓMO DEMOSTRARCUALQUIER COSA

Creo que una buenacaracterización de un matemáticoborracho la proporciona el que dice:«Puedo demostrarlo todo.»

En el Eutidemo de Platón,Sócrates, al describir a Critón lossorprendentes talentos dialécticos delos dos sofistas hermanos Eutidemo yDionisodoro, dice: «Tan grande es sudestreza que pueden refutar cualquier

proposición ya sea verdadera ofalsa.» Más avanzado el diálogoSócrates describe cómo Dionisodorodemuestra a uno de sus oyentes,Ctesipo, que el padre de Ctesipo esun perro. La argumentación procedede la siguiente manera:

Dion: Dime, ¿tienes un perro?Cíes: Sí, y muy malo por cierto.Dion: ¿Y tiene cachorros?Cíes: Sí, y son idénticos a él.Dion: ¿Y es el perro el padre de

ellos?

Cíes: Sí. Yo lo vi con mispropios ojos cubrir a la madre de loscachorros.

Dion: ¿Y no es tuyo el perro?Cíes: Ciertamente lo es.Dion: Entonces es padre y es

tuyo; ergo, él es tu padre, y loscachorros son tus hermanos.

Inspirado por el ejemplo de esosgrandes sofistas, le demostraré eneste capítulo muchas cosas extrañas ymaravillosas.

A. DEMOSTRACIÓN DE QUE O

TWEEDLEDUM O TWEEDLEDEEEXISTEN

238. DEMOSTRACIÓN DE QUE OTWEEDLEDUM O TWEEDLEDEEEXISTEN

Esta demostración no mostraráque los dos hermanos Tweedledum yTweedledee existen; sólo mostraráque existe al menos uno de los dos.Sin embargo, será imposible decir apartir de la demostración cuál de losdos existe realmente.

Tenemos un recuadro en el queestán escritas las siguientes tresoraciones:

(1) TWEEDLEDUM NO EXISTE(2) TWEEDLEDEE NO EXISTE

(3) AL MENOS UNA ORACIÓN DEESTE RECUADRO ES FALSA

Considérese la oración (3). Si esfalsa, entonces no es el caso que almenos una de las tres oraciones seafalsa, lo que significa que las tresoraciones son verdaderas, lo quesignifica que la oración (3) esverdadera, y esto es unacontradicción. Por lo tanto, laoración (3) no puede ser falsa; tiene

que ser verdadera. Entonces, almenos una de las tres oraciones esrealmente falsa, pero la oración (3)no puede ser la que es falsa, por lotanto o la oración (1) es falsa o laoración (2) es falsa. Si la oración (1)es falsa, entonces Tweedledumexiste. Por consiguiente, o existeTweedledum o existe Tweedledee.

En una ocasión di una charlasobre mis acertijos lógicos en unclub de estudiantes de matemáticas.Fui presentado por el lógico MelvinFitting (un antiguo alumno mío que

me conoce extraordinariamentebien). ¡Su introducción captórealmente el espíritu de este librocasi mejor que el libro mismo! Dijo:«Les presento ahora al ProfesorSmullyan que les demostrará o que élno existe o que ustedes no existen,pero ustedes no llegarán a saberquién es el que no existe.»

239. DEMOSTRACIÓN DE QUETWEEDLEDOO EXISTE

(1) TWEEDLEDOO EXISTE(2) LAS DOS ORACIONES DE

ESTE RECUADRO SON FALSAS

Echemos un vistazo a la oración(2). Si fuese verdadera, entoncesambas oraciones serían falsas; por lotanto la oración (2) sería falsa, locual es una contradicción. Porconsiguiente, la oración (2) es falsa.Ya que no es el caso que ambasoraciones sean falsas, entonces almenos una de ellas es verdadera.Puesto que la oración (2) no esverdadera, tiene que ser la oración(1) la que es verdadera. Por lo tanto

Tweedledoo existe.

240. ¿Y QUÉ SUCEDE CON SANTACLAUS?

Parece haber bastanteescepticismo sobre la existencia deSanta Claus. Por ejemplo, en lapelícula de los hermanos Marx Unanoche en la Ópera, Groucho estáexaminando un contrato en compañíade Chico y llegan a una cláusula queenuncia que si se mostrase quealguna de las partes que participan enel contrato no está en su sano juicio,el acuerdo completo se anula

automáticamente —esta cláusula seconoce como sanity clause—. Chicodice: «No me tomes el pelo, thereain’t Sanity Clause{12}!»

Recuerdo también que en miépoca de la escuela secundariacirculaba un chiste sobre Mae West:¿Por qué no puede estar Mae Westcon Santa Claus en la misma cabinatelefónica? Respuesta: Porque SantaClaus no existe. (Esto podríaadecuadamente llamarse chiste«ontológico».)

Bien, a pesar de esteescepticismo moderno, daré ahoratres demostraciones que estableceránmás allá de cualquier posibilidadrazonable de duda que Santa Clausexiste y tiene que existir. Esasdemostraciones son variantes de unmétodo, originalmente de J. BarkleyRosser, de demostrar cualquier cosa.

Demostración uno:Presentaremos esta demostración enforma de dialogo.

Lógico primero: Santa Clausexiste, si yo no estoy equivocado.

Lógico segundo: Bien, desdeluego Santa Claus existe, si tú noestás equivocado.

Lógico primero: Por lo tanto mienunciado es verdadero.

Lógico segundo: ¡Desde luego!Lógico primero: Entonces yo no

estaba equivocado —y tú admitisteque si yo no estaba equivocado,entonces Santa Claus existe. Por lotanto, Santa Claus existe.

Demostración dos: Lademostración anterior no es más queuna elaboración literaria de lademostración siguiente debida a J.Barkley Rosser.

SI ESTA ORACIÓN ESVERDADERA ENTONCES SANTA

CLAUS EXISTE

La idea que subyace a estademostración es la misma que la dela demostración de que cuando unhabitante de la isla de caballeros y

escuderos dice: «Si yo soy un«caballero entonces tal–y–tal»,entonces él tiene que ser un caballeroy el tal–y–tal tiene que serverdadero.

Si la oración es verdadera,entonces seguramente Santa Clausexiste (puesto que si la oración esverdadera entonces tiene también queser verdadero que si la oración esverdadera entonces Santa Clausexiste, de donde se sigue que SantaClaus existe); por tanto, lo que laoración dice es el caso, de modo que

la oración es verdadera. Porconsiguiente, la oración es verdaderay si la oración es verdadera entoncesSanta Claus existe. De esto se sigueque Santa Claus existe.

Pregunta: Supongamos que unhabitante de una isla de caballeros yescuderos ha dicho: «Si yo soy uncaballero, entonces Santa Clausexiste.» ¿Demostraría esto que SantaClaus existe?

Respuesta: Ciertamente lodemostraría. Desde el momento en

que, sin embargo. Santa Claus noexistiese, entonces ni un caballero niun escudero podría hacer unenunciado de este tipo.

Demostración tres:

ESTA ORACIÓN ES FALSA YSANTA CLAUS NO EXISTE

Dejo los detalles al lector.

Discusión. ¿Qué es lo que hay deerróneo en estas demostraciones?Bien, la falacia subyacente es

exactamente la misma que la queaparece en el razonamiento delpretendiente de Porcia N–ésima:algunas de las oraciones incluidas enel razonamiento no son significativas(véase la discusión en el capitulo 15)y, por lo tanto, no debe suponerseque sean verdaderas o falsas.

La demostración siguiente quevamos a considerar se basa en unprincipio totalmente diferente.

241. DEMOSTRACIÓN DE QUEEXISTEN UNICORNIOS

Quiero demostrar que existe un

unicornio. Para hacer esto basta,obviamente, con demostrar elenunciado (posiblemente) más fuertede que existe un unicornio existente.(Con lo de un unicornio existente merefiero, desde luego, a un unicornioque existe.) Seguramente, si existe ununicornio existente, entonces tieneque existir un unicornio. Así, todo loque tengo que demostrar es queexiste un unicornio existente. Bien,hay exactamente dos posibilidades:

(1) Existe un unicornio existente.

(2) No existe un unicornioexistente.

La posibilidad (2) es claramentecontradictoria. ¿Cómo podría ununicornio existente no existir? Lomismo que es verdadero que ununicornio azul es necesariamenteazul, un unicornio existente tiene queser necesariamente existente.

Discusión. ¿Qué es lo que tienede erróneo esta demostración? Estademostración no es nada más que la

esencia destilada de la famosaprueba ontológica de la existencia deDios de Descartes. Descartes definea Dios como un ser que tiene todaslas propiedades. Por lo tanto, Diostiene que tener también, pordefinición, la propiedad deexistencia. Por consiguiente Diosexiste.

Immanuel Kant afirmó que elargumento de Descartes no eraválido, sobre la base de que laexistencia no es una propiedad. Creoque en la demostración existe un

error mucho más significativo. Novoy a argumentar aquí la cuestión desi la existencia es o no es unapropiedad; lo que quiero poner aquíde manifiesto es que incluso si laexistencia es una propiedad, lademostración no es, con todo, buena.

Consideremos en primer lugar midemostración (sic) de la existenciade un unicornio. Tal como yo lo veo,la verdadera falacia reside en eldoble significado de la palabra «un»que en algunos contextos significa«todos» y en otros contextos significa

«al menos uno». Por ejemplo, sidigo: «Un búho tiene ojos grandes»,lo que se quiere decir es que losbúhos tienen ojos grandes, o quetodos los búhos tienen ojos grandes,o que todo búho tiene ojos grandes.Pero si digo «Un búho está en lacasa», no quiero decir ciertamenteque todos los búhos estén en estacasa, sino solamente que existe unbúho que está en esta casa. Así,cuando digo «existe un unicornioexistente», no está claro si lo quequiero decir es que todos los

unicornios existentes existen o queexiste un unicornio existente. Si loque quiero decir es lo primero,entonces es verdadero —desde luegotodos los unicornios existentesexisten; ¿cómo podría haber ununicornio existente que no existiese?Pero esto no significa que elenunciado sea verdadero en elsegundo sentido, esto es, que tengaque existir un unicornio existente.

Lo mismo sucede con lademostración de Descartes; todo loque se sigue propiamente es que

todos los Dioses existen, esto es, quecualquier cosa que satisfaga ladefinición cartesiana de Dios tienetambién que tener la propiedad deexistencia. Pero esto no significa queexista necesariamente un Dios.

242. DEMOSTRACIÓN POR COERCIÓN

Hay una famosa anécdota sobreDiderot acaecida al girar éste unavisita a la Corte rusa por invitaciónde la Emperatriz. Diderot comentabasin ningún tipo de precauciones suspuntos de vista sobre el ateísmo. La

propia Emperatriz se divertíagrandemente, pero uno de susconsejeros le sugirió que seríadeseable poner fin a aquellasexposiciones de doctrina. Entoncesse pusieron de acuerdo con elmatemático Euler, que estabapresente en aquella ocasión y que eracreyente. Euler anunció que tenía unademostración de la existencia deDios que expondría ante toda lacorte, si Diderot deseaba oírla.Diderot asintió gustosamente. Puesbien, Euler, aprovechándose de la

falta de conocimiento de lasmatemáticas por parte de Diderot, seadelantó hacia él y dijo con vozsolemne: «A cuadrado menos Bcuadrado igual a A menos B por Amás B — por lo tanto Dios existe.¡Conteste!» Diderot quedó azorado ydesconcertado mientras que lascarcajadas salían de todos lados.Pidió permiso para volver en seguidaa Francia, y le fue concedido.

243. UNA DEMOSTRACIÓN DE QUEERES O INCONSISTENTE O FATUO

He pensado en esta demostración

desde hace unos treinta años y se lahe contado a diversos estudiantes ymatemáticos. Hace algunos añosalguien me dijo que la había leído enalguna revista filosófica, pero que nopodía recordar el autor. De cualquiermanera he aquí la demostración.

Un cerebro humano no es másque una máquina finita; por lo tantosolamente puedes creer en un númerofinito de proposiciones.Denominemos a esas proposicionespl, p2,..., pn, donde n es el númerode proposiciones que crees. De este

modo, tú crees cada una de lasproposiciones pl, p2, ..., pn. Ahorabien, a menos que seas un fatuo, túsabes que algunas veces cometeserrores, puesto que no todo lo quecrees es verdadero. Por tanto, si noeres un fatuo, sabes que al menos unade las proposiciones, pl, p2, ..., pn esfalsa. Pero con todo crees cada unade las proposiciones pl, p2, ..., pn.Esto es una perfecta inconsistencia.

Discusión. ¿Cuál es la falacia deeste argumento? En mi opinión,ninguna. Pienso realmente que una

persona razonablemente modesta hade ser inconsistente.

B. MÁS MONERÍAS

244. RUSSELL Y EL PAPA

Un filósofo se asombró cuandoRussell le dijo que una proposiciónfalsa implica cualquier proposición.Le dijo: «¿Quieres decir que delenunciado de que dos más dos esigual a cinco se sigue que tú eres elPapa?» Russell respondió: «Sí.» Elfilósofo preguntó: «¿Puedesdemostrar esto?» Russell respondió:

«Ciertamente», e inventó en el actola demostración siguiente:

(1) Supón que 2 + 2 = 5.(2) Sustrayendo dos de

ambos lados de la ecuaciónobtenemos 2 = 3.

(3) Transponiendo,obtenemos 3 = 2.

(4) Sustrayendo uno deambos lados, obtenemos 2 = 1.

Ahora bien, el Papa y yo somosdos. Puesto que dos es igual a uno,

entonces el Papa y yo somos uno. Porconsiguiente yo soy el Papa.

245. ¿QUÉ ES MEJOR?¿Qué es mejor, la felicidad eterna

o un sandwich de jamón? Podríaparecer que la felicidad eterna esmejor, pero esto no es realmente así!Después de todo, nada es mejor quela felicidad eterna, y un sandwich dejamón es ciertamente mejor que nada.Por lo tanto un sandwich de jamón esmejor que la felicidad eterna.

246. ¿QUÉ RELOJ ES MEJOR?

Lo que sigue se debe a LewisCarroll. ¿Qué es mejor, un reloj queatrasa un minuto cada día o un relojque no funciona en absoluto? Deacuerdo con Lewis Carroll el relojque no funciona en absoluto es mejorpuesto que marca la hora exacta dosveces al día, mientras que el otromarca la hora exacta solamente unavez cada dos años. «Pero», podríaspreguntar, «¿de qué sirve que marquela hora exacta dos veces al día si nopuede decirse cuándo llega lahora?». Bien, supón que el reloj

señala las ocho en punto. Entoncescuando dan las ocho el reloj marca lahora exacta. «Pero», continúas,«¿cómo se sabe cuándo son las ochoen punto?». La respuesta es muysimple. Todo lo que tienes que haceres mantener muy cuidadosamente losojos fijos en el reloj y en el precisomomento en que tenga que ser seránlas ocho en punto.

247. DEMOSTRACIÓN DE QUE EXISTEUN CABALLO CON TRECE PATAS

Esta demostración no es original;forma parte del folklore de los

matemáticos.Queremos demostrar que existe

al menos un caballo que tieneexactamente trece patas. Bien, pintastodos los caballos del universo deazul o de rojo, de acuerdo con elsiguiente esquema: antes de pintar elcaballo, cuenta el número de suspatas. Si tiene exactamente trecepatas, entonces píntalo de azul; sitiene menos o más de trece patas,píntalo de rojo. Ahora has pintadotodos los caballos del universo; losazules tienen trece patas y los rojos

no. Bien, selecciona un caballo alazar. Si es azul, entonces mi aserciónha sido demostrada. Si es rojo,escoge un segundo caballo al azar. Sisale azul, mi aserción ha sidodemostrada. Pero supongamos que elsegundo caballo es rojo. Ah, thatwould be a horse of a differentcolor! But that’s a contradiction,since the horse would be of the samecolor!{13}

248.Voy a recordar ahora una

adivinanza propuesta por AbrahamLincoln: Si el rabo de un perro sellamase pata, ¿cuántas patas tendríaun perro? La respuesta de Lincolnfue: «Cuatro; el llamar rabo a la patano significa que lo sea.»

249. MI MÉTODO FAVORITO PARATODO

Esta es la mejor monería queconozco. Se trata de un métodoabsolutamente inexpugnable parademostrar cualquier cosa. Su únicoinconveniente es que solamente unmago puede presentarlo.

He aquí lo que hago. Supóngaseque quiero demostrar a alguien queyo soy Drácula. Digo: «La únicalógica que usted ha de conocer esque, dadas cualesquiera dosproposiciones p y q, si p esverdadera, entonces al menos una delas dos proposiciones p, q esverdadera.» Todo el mundo asentirávirtualmente a esto. «Muy bien»,digo mientras saco un mazo de cartasde mi bolso, «como usted puede veresta carta es roja». A continuacióncoloco la carta roja boca abajo en la

palma de la mano izquierda de la«víctima» y le hago cubrir el dorsode la carta con su mano derecha.Continúo: «Sea p la proposición deque la carta que usted tiene es roja;sea q la proposición de que yo soyDrácula. Puesto que p es verdadera,¿admite usted que o p o q esverdadera?» El asiente. «Bien,ahora», continúo yo, «p esobviamente falsa; dé la vuelta ahoraa la carta». Él lo hace y, ante susorpresa la carta es negra. «Porconsiguiente», concluyo

triunfalmente, «q es verdadera, demodo que yo soy Drácula».

C. ALGUNAS CURIOSIDADES LÓGICAS

En las dos últimas seccioneshemos considerado diversosargumentos inválidos que, a primeravista, parecían ser válidos. Ahoraharemos justamente lo contrario:consideraremos algunos principiosque a primera vista parecenabsolutamente disparatados pero que,después de todo, resultan ser válidos.

250. EL PRINCIPIO DEL TRAGO

Existe un determinado principioque juega un papel muy importante enla lógica moderna y que algunos demis estudiantes de licenciatura hanapodado cariñosamente «ElPrincipio del Trago». La razón por laque ha recibido este nombre quizásresida en el hecho de que, siempreque doy comienzo al estudio de esteprincipio, cuento, a modo deprólogo, el siguiente chiste.

Un hombre está en un bar. Derepente da un puñetazo y dice:«Bomme unaopa y bommle a dodo el

mundo unaopa, borque cuando yobebo todo el mundo bebe.» De estamanera las copas son distribuidasalegremente por todo el local. Algúntiempo después, el hombre dice:«Bomme otraopa y bommle a dodo elmundo otraopa, borque uando yobebo otraopa dodo el mundo domaotraopa.» De este modo la segundacopa se distribuye alegremente portodo el local. Poco tiempo después elhombre arroja algún dinero sobre elmostrador y dice: «Y uando yo bagododo el mundo baga.»

Así acaba el chiste. El problemaahora es éste: ¿Existe realmentealguien tal que si él bebe todo elmundo bebe? La respuestasorprenderá a muchos de vosotros.Una versión más dramática de esteproblema, surgida en unaconversación que tuve con el filósofoJohn Bacon es ésta: Demostrar queexiste una mujer en la tierra tal que siella se vuelve estéril, entonces todala especie humana desaparecerá.

Otra versión dual del Principio

del Trago es ésta: Demostrar queexiste al menos una persona tal que sialguien bebe, entonces ella bebe.

Solución. Sí, es realmenteverdadero que existe alguien tal quesiempre que él (o ella) bebe, todo elmundo bebe. Proviene en últimainstancia del extraño principio segúnel cual una proposición falsa implicacualquier proposición.

Consideremos la cuestión de lamanera siguiente: O es verdaderoque todo el mundo bebe o no lo es.

Supongamos que es verdad que todoel mundo bebe. Tomemos entoncescualquier persona; llamémosla Juan.Puesto que todo el mundo bebe yJuan bebe, entonces es verdad que siJuan bebe todo el mundo bebe. Deeste modo existe al menos unapersona a saber Juan— tal que si élbebe entonces todo el mundo bebe.

Supongamos, sin embargo, que noes verdadero que todo el mundobebe; ¿qué sucede entonces? Bien, enese caso existe al menos una persona—llamémosla Juan— que no bebe.

Puesto que es falso que Juan bebe,entonces es verdadero que si Juanbebe, entonces todo el mundo bebe.Por consiguiente existe una personaotra vez —a saber Juan— tal que siella bebe, entonces todo el mundobebe.

Para resumir, digamos que unapersona es «misteriosa» si tiene laextraña propiedad de que el hecho deque ella beba implica que todo elmundo bebe. El resultado de todoesto es que si todo el mundo bebe,entonces todo el mundo puede servir

como persona misteriosa, y si no esel caso que toda persona bebe,entonces cualquier no bebedor puedeservir como persona misteriosa.

Por lo que respecta a la versiónmás dramática, se sigue, utilizando lamisma lógica que en el caso anterior,que existe al menos una mujer tal quesi se vuelve estéril, todas las mujeresse volverán estériles (a saber:cualquier mujer, si todas las mujeresse vuelven estériles, y otra mujer queno se vuelva estéril, si no todas lasmujeres se vuelven estériles). Y,

desde luego, si todas las mujeres sevuelven estériles, la especie humanadesaparecerá.

Por lo que respecta a la versión«dual», esto es: que existe alguien talque si alguien bebe, entonces él bebe—o existe al menos una persona quebebe o no existe. Si no existetomemos entonces cualquier persona—llamémosla Juan. Puesto que esfalso que alguien bebe, entonces esverdadero que si alguien bebeentonces Juan bebe. Por otra parte, siexiste alguien que bebe, tomemos

entonces cualquier persona que beballamémosla Juan. Entonces esverdadero que alguien bebe y esverdadero que Juan bebe; porconsiguiente es verdadero que sialguien bebe entonces Juan bebe.

EPÍLOGO

Cuando les conté el Principio delTrago a mis alumnos Linda Wetzel yJoseph Bevando, ambos quedaronencantados. Poco tiempo después meescribieron una tarjeta de felicitación

navideña en la que habían inventadola siguiente conversación imaginaria(pretendidamente mantenida durantela sobremesa en la cafetería).

Lógico: Conozco uncompañero tal que siempre queél bebe todos beben.

Estudiante: No acabo deentender. ¿Quieres decir todo elmundo?

Lógico: Sí, naturalmente.Estudiante: Eso parece

disparatado. ¿Quieres decir que

tan pronto como él bebe, en esepreciso momento, todo el mundobebe?

Lógico: Desde luego.Estudiante: Pero esto

implica que en alguna ocasióntodo el mundo estaba bebiendoa la vez. Seguramente que esojamás ha sucedido.

Lógico: No has oído lo quehe dicho.

Estudiante: Ciertamente lohe oído y, lo que es más, herefutado tu lógica.

Lógico: Eso es imposible.La lógica no puede refutarse.

Estudiante: Entonces,¿cómo es que acabo de hacerlo?

Lógico: ¿No me has dichoque jamás bebes?

Estudiante: Oh… sí,supongo que es mejor quecambiemos de tema.

251. ¿ES VÁLIDO ESTE ARGUMENTO?He visto en mi vida muchos

argumentos que parecen válidos peroque son inválidos. Sólo

recientemente me encontré con unargumento que a primera vista pareceinválido (de hecho parece que es unchiste) pero que resulta ser válido.

Por argumento válido seentiende, dicho sea incidentalmente,un argumento cuya conclusión sesigue necesariamente de laspremisas; no es necesario que laspremisas sean verdaderas.

He aquí el argumento{14}:

(1) Todo el mundo le tienemiedo a Drácula.

(2) Drácula solamente metiene miedo a mí.

Por lo tanto yo soy Drácula.

¿No parece este argumento unsimple chiste? Bien, no lo es; se tratade un argumento válido, puesto que sitodo el mundo tiene miedo a Drácula,entonces Drácula tiene miedo deDrácula. Así, Drácula tiene miedo deDrácula, pero también no tiene miedode nadie más que de mí. Por lo tantoyo tengo que ser Drácula.

Así pues, este es un argumentoque parece ser un chiste, pero queresulta no serlo —ésta es su partemás divertida.

15- DE LA PARADOJA ALA VERDAD

A. PARADOJAS

252. LA PARADOJA DE PROTÁGORAS

Acaso una de las más primitivasparadojas conocidas sea la delprofesor de leyes griego Protágoras,quien aceptó a un estudiante pobrepero de talento y convino con él enimpartirle enseñanza sin cobrarle, acondición de que una vez que elestudiante hubiese completado sus

estudios y ganara su primer caso antelos Tribunales, le pagaría aProtágoras una cierta suma. Elestudiante se avino a esta condición.Ahora bien, tras completar susestudios no emprendió ningún casolegal. Transcurrido un cierto tiempo,Protágoras demandó al estudiante enreclamación de esa suma. He aquílos argumentos que ambos alegaronante el Tribunal.

Estudiante: Si yo gano elcaso, entonces, por definición,

no tengo que pagar. Si lopierdo, entonces no habréganado mi primer caso, y yo nohe contraído la obligación depagar a Protágoras si no eshasta después de haber ganadomi primer caso. Así pues, seaque yo gane o que pierda elcaso, no tengo que pagar.

Protágoras: Si él pierde elcaso, entonces, por definición,tiene que pagarme (después detodo, eso es lo que se ventila eneste caso). Si lo gana, entonces

habrá ganado su primer caso, ypor tanto tiene que pagarme. Enuno u otro caso, tiene quepagarme.

¿Quién tenía razón?

Discusión. No estoy seguro deconocer realmente la respuesta a estedilema. La adivinanza en cuestión (aligual que la primera de este libro,referente a si me dieron lainocentada) es un buen prototipo detoda una familia de paradojas. La

mejor solución que he escuchado fuela de un abogado a quien planteé elproblema. Este abogado dijo: «ElTribunal debería fallar el caso afavor del estudiante —éste no tendríaque pagar, puesto que aún no habíaganado su primer caso. Una vezterminado el juicio, entonces elestudiante debe ya el dinero aProtágoras, de modo que éste puedevolver a litigar y demandar porsegunda vez al estudiante. Esta vez,el Tribunal debería fallar el caso afavor de Protágoras, puesto que el

estudiante ha ganado ya su primercaso.»

253. LA PARADOJA DEL MENTIROSO

La llamada «Paradoja delMentiroso», o «Paradoja deEpiménides», es realmente la piedraangular de una familia entera deparadojas del tipo conocido como«paradojas del mentiroso». (Estosuena un poco a círculo vicioso, ¿no,amigo?) Bien, la forma original de laparadoja versaba sobre un ciertocretense llamado Epiménides, que

dijo, «Todos los cretenses sonmentirosos».

En esta forma, realmente, noresulta en absoluto una paradoja —no más de lo que resulta unaparadoja a partir de la aserción deque un habitante de una isla decaballeros y escuderos emite elenunciado «Todos los individuos deesta isla son escuderos». Lo quepropiamente se sigue es: (1) el quehabla es escudero; (2) hay al menosun caballero en la isla. Similarmente,con la anterior versión de la

paradoja de Epiménides todo lo quese sigue es que Epiménides es unmentiroso y que al menos un cretensees veraz. Esto no es ningunaparadoja.

Ahora bien, si Epiménides fuerael único cretense, entoncestendríamos ciertamente una paradoja,igual que la tendríamos si unhabitante único de una isla decaballeros y escuderos dijera quetodos los habitantes de la isla sonescuderos (lo cual vendría a ser tantocomo decir que él es escudero, lo

que es imposible).Una versión mejor de la paradoja

es la de una persona que dice, «Yoestoy mintiendo ahora». ¿Estámintiendo o no?

A la siguiente versión es a la quenos referiremos como a la paradojadel mentiroso. Considérese elenunciado del recuadro que viene acontinuación:

ESTA ORACIÓN ES FALSA

¿Es esta oración verdadera o

falsa? Si es falsa entonces esverdadera, y si es verdaderaentonces es falsa.

Un poco más adelantediscutiremos la resolución de estaparadoja.

254. UNA VERSIÓN DOBLE DE LAPARADOJA DEL MENTIROSO

La siguiente versión de laparadoja del mentiroso fueprimeramente propuesta por elmatemático inglés P.E.B. Jourdain en1913. A veces es citada como la«Paradoja de la Tarjeta de

Jourdain». Tenemos una tarjeta enuno de cuyos lados está escrito:

(1) LA ORACIÓN DEL OTROLADO DE ESTA TARJETA ES

VERDADERA

Entonces uno vuelve la tarjeta, yal otro lado está escrito:

(2) LA ORACIÓN DEL OTROLADO DE ESTA TARJETA ES

FALSA

La paradoja radica en lo que

sigue: Si la primera oración esverdadera, entonces la segundaoración es verdadera (porque laprimera dice que lo es) y, por tanto,la primera oración es falsa (porquela segunda dice que lo es). Si laprimera oración es falsa, entonces lasegunda oración es falsa y, por tanto,la primera oración no es falsa sinoverdadera. Así pues, la primeraoración es verdadera si y sólo si esfalsa, lo cual es imposible.

255. OTRA VERSIÓN

Otra popular versión de laparadoja del mentiroso está dada porlas tres siguientes oraciones escritasen una tarjeta.

(1) ESTA ORACIÓN CONTIENECINCO PALABRAS

(2) ESTA ORACIÓN CONTIENEOCHO PALABRAS

(3) UNA DE LAS ORACIONES DEESTA TARJETA ES VERDADERA,

Y SÓLO UNA

La oración (1) es claramente

verdadera, y la oración (2) esclaramente falsa. El problema surgecon la oración (3). Si la oración (3)es verdadera, entonces hay dosoraciones verdaderas —a saber. (3)y (1)—, lo cual es contrario a lo quedice la oración (3) y, por tanto, laoración (3) tendría que ser falsa. Porotro lado, si la oración (3) es falsa,entonces la oración (1) es la únicaverdadera, ¡lo cual quiere decir quela oración (3) tiene que serverdadera! Así pues, la oración (3)es verdadera si y sólo si es falsa.

Discusión. Veamos ahora, ¿cuáles el defecto del razonamiento enestas paradojas? Bueno, la cuestiónes sutil y un tanto controvertida. Hayalgunos (filósofos, cosa hartointeresante, más que matemáticos)que excluyen del ámbito de lolegítimo cualquier oración que serefiera a sí misma. Francamente, enmi opinión este punto de vista es unpuro disparate. En una oración auto–referencial tal como «Esta oracióntiene cinco palabras», el significadoparece que no puede ser más claro e

inequívoco; basta contar las palabraspara advertir que tal oración ha deser verdadera. Asimismo, la oración«Esta oración tiene seis palabras»,aun cuando sea falsa, esperfectamente clara en cuanto a susentido establece que tiene seispalabras, lo cual es algo que, dehecho, no tiene. Pero no hay dudaalguna acerca de lo que esta oracióndice.

Por otra parte, considérese lasiguiente oración:

(1) ESTA ORACIÓN ESVERDADERA

Ahora bien, la anterior oraciónno da lugar a paradoja alguna;ninguna contradicción lógica resultani de suponer que la oración seaverdadera ni de suponer que seafalsa. No obstante, esa oración notiene significado alguno por lassiguientes razones:

Nuestro principio guía es quepara entender qué significa el queuna oración sea verdadera, tenemos

que entender primero el significadode la oración misma. Por ejemplo,s e a X la oración: Dos más dos esigual a cuatro. Antes de que yo puedaentender qué significa el que X seaverdadera, tengo que entender elsignificado de toda palabra queintervenga en X, y tengo que saberprecisamente qué es lo que Xasevera. En este caso, yo sé elsignificado de todas las palabras deX, y sé que X significa que dos másdos es igual a cuatro. Y como sé quedos más dos es igual a cuatro,

entonces sé que X tiene que serverdadera. Pero yo no podría saberque X fuese verdadera si no supieraprimero que dos más dos es igual acuatro. Y ciertamente, yo no podríasaber nunca qué significa el que Xsea verdadera si no supiera primeroque significa que dos más dos esigual a cuatro. Esto ilustra lo quequiero decir cuando digo que elsignificado de la verdad de unao r a c i ó n X depende de lo quesignifique el que X sea verdadera. SiX fuese de un carácter tan peculiar

que el significado mismo de laoración X dependiese de lo quesignifique el que X sea verdadera,entonces tendríamos un punto muertogenuinamente circular.

Tal es exactamente el caso de laoración que figura en el anteriorrecuadro. Antes de que yo puedasaber qué significa la verdad de laoración, tengo que entender primeroel significado de la oración misma.Pero, ¿cuál es el significado de laoración misma?, ¿qué dice estaoración? Meramente que la oración

es verdadera, y yo no sé todavía quésignifica la verdad de esta oración.Dicho brevemente, yo no puedoentender qué significa el que estaoración sea verdadera (y menos aúnsi es verdadera o no) hasta que noentienda primero el significado de laoración, y no puedo entender elsignificado de la oración hasta queno entienda primero qué significa elque la oración sea verdadera. Porconsiguiente, la oración no transmiteinformación alguna. A las oracionesque presentan este aspecto se las

conoce técnicamente como oracionesque no están bien–fundadas.

La paradoja del mentiroso (ytodas sus variantes) estriba en el usode oraciones no–fundadas. (Empleo«no–fundadas» como abreviatura de«no bien–fundadas».) En el número253, la expresión «Esta oración esfalsa» no es bien–fundada. En elnúmero 254, ninguna oración de lasque figuran a ambos lados de latarjeta es bien–fundada. En elnúmero 255, las primeras dosoraciones son bien–fundadas, pero la

tercera no lo es.Incidentalmente, ahora podemos

decir más acerca de cómo elpretendiente de la N–ésima Porciacayó en dificultades de razonamiento(véase capítulo 5 sobre los cofres dePorcia). Todas las Porcias anterioresutilizaron sólo acciones que eranbien–fundadas, pero la N–ésimaPorcia hizo un hábil uso de oracionesno fundadas para confundir a supretendiente. La misma falaciaocurre en las primeras cinco pruebasdel último capítulo.

256. ¿Y QUÉ DECIR DE ÉSTE?Volvamos a nuestros amigos

Bellini y Cellini, de la historia de loscofres de Porcia. Estos dos artesanosno solamente hacían cofres, sinotambién signos. Al igual que con loscofres, siempre que Celliniconfeccionaba un signo, inscribía unenunciado falso sobre él y siempreque Bellini confeccionaba un signoinscribía un enunciado verdaderosobre él. Asimismo, daremos porsupuesto que Cellini y Bellini eranlos únicos confeccionadores–de–

signos de su tiempo (sus hijos hacíansólo cofres, no signos).

Tú te encuentras con el siguientesigno:

ESTE SIGNO FUE HECHO PORCELLINI

¿Quién hizo este signo? Si lo hizoCellini, entonces escribió unaoración verdadera sobre él —lo cuales imposible. Si lo hizo Bellini,entonces la oración sobre el signo es

falsa —lo cual es de nuevoimposible. Así pues, ¿quién lo hizo?

¡Advierte que no puedes salir deeste atolladero diciendo que laoración sobre el signo no es bien–fundada! Pues ciertamente es bien–fundada; establece el hecho históricode que el signo fue hecho por Cellini;si fue hecho por Cellini entonces elsigno es verdadero, y si no lo fue, elsigno es falso. Así pues, ¿cuál es lasolución?

La solución, por supuesto, es queyo he dado información

contradictoria. Si te toparas de hechocon el signo anterior, ellosignificaría o bien que Celliniescribía a veces inscripcionesverdaderas sobre los signos(contrariamente a lo que yo dije) obien que al menos uno de los otrosfabricantes de signos escribíanenunciados falsos sobre los signos(nuevamente en contra de lo que yodije). Así pues, esto no es realmenteuna paradoja sino un timo.

A propósito, ¿has descifrado yael sentido del título de este libro?

257. ¿AHORCADO O AHOGADO?

En esta popular adivinanza, unhombre ha cometido un delitocastigado con la muerte. El hombretiene que emitir un enunciado. Si elenunciado es verdadero seráahogado; si el enunciado es falsoserá ahorcado. ¿Qué enunciadoemitiría para confundir a susverdugos?

–SOLUCIÓN–258. LA PARADOJA DEL BARBERO.

Esta es otra adivinanza muy

conocida. Es el caso que un barberode una cierta pequeña ciudadafeitaba a todos los vecinos de lavilla que no se afeitaban a si mismos,y nunca afeitó a ningún vecino que seafeitaba a si mismo. La cuestión es siel barbero se afeita o no a sí mismo.Si lo hace entonces viola la regla,puesto que afeita a alguien que seafeita a sí mismo. Si no lo hace,entonces de nuevo viola la regla,puesto que deja de afeitar a alguienque no se afeita a sí mismo. Así pues,¿qué debería hacer el barbero?

–SOLUCIÓN–259. ¿Y QUÉ ACERCA DE ÉSTE?

En una isla de caballeros yescuderos dos nativos, A y B, dicen:

A: B es escudero.B: A es caballero.

¿Dirías que A es un caballero oun escudero? ¿Qué dirías respecto deB?

–SOLUCIÓN–B. LA PARADOJA A LA VERDAD

Alguien definió una vez unaparadoja como una verdad que estápuesta cabeza abajo. Es ciertamenteel caso que muchas paradojascontienen una idea que con unapequeña modificación conduce a unnuevo descubrimiento importante.Las tres adivinanzas que siguenproporcionan una buena ilustraciónde este principio.

260. ¿QUÉ HAY DE ERRÓNEO ENESTA HISTORIA?

El Inspector Craig visitó una vez

una comunidad y mantuvo unaconversación con uno de loshabitantes, un sociólogo llamadoMcSnurd. El Profesor McSnurd ledio a Craig la siguiente explicaciónsociológica:

«Los habitantes de estacomunidad han formado varios clubs.Un habitante puede pertenecer a másde un club. Cada club recibe sunombre de un habitante; no hay dosclubs diferentes que reciban sunombre del mismo habitante, y todohabitante tiene un club que ha

recibido su nombre. No es necesarioque una persona sea miembro delclub que haya recibido su nombre; silo es, entonces se la denominasociable; si no lo es, entonces se lad e n o m i n a insociable. Y lointeresante de esta comunidad es queel conjunto de todos los habitantesinsociables forman un club.»

El inspector Craig meditó unosinstantes sobre este relato, y al puntose percató de que McSnurd no podríahaber sido un sociólogo muy bueno;sencillamente, su historia no se tenía

en pie. ¿Por qué?

Solución. Esta es realmente laParadoja del Barbero con nuevavestimenta.

Supóngase que la historiarelatada por McSnurd fuera cierta.Entonces el club de todos loshabitantes insociables recibe sunombre de alguna persona —porejemplo, de Jacobo. Así pues,llamaremos a este club el «Club deJacobo». Ahora bien, Jacobo es osociable o insociable, y en uno u otro

caso tenemos una contradicción:Supóngase que Jacobo es sociable.Entonces Jacobo pertenece al club deJacobo, pero sólo personasinsociables pertenecen a dicho club,y por tanto eso no es posible.

Por otra parte, si Jacobo esinsociable, entonces pertenece alclub de la gente insociable, lo cualquiere decir que Jacobo pertenece alclub de Jacobo (que es el club de lagente insociable), y ello hace aJacobo sociable. Así pues, en uno uotro caso tenemos una contradicción.

261. ¿HAY UN ESPÍA EN LACOMUNIDAD?

El Inspector Craig visitó una vezuna segunda comunidad y habló conun antiguo amigo suyo, un sociólogollamado McSnuff. Craig y McSnuffhabían sido compañeros en Oxford, yCraig sabía que McSnuff era unhombre de impecable juicio.McSnuff dio a Craig la siguienteexplicación de esta comunidad:

«Al igual que la otra comunidad,nosotros tenemos clubs, y cadahabitante tiene exactamente un club

que ha recibido de él su nombre, ytodo club ha recibido su nombre dealgún habitante. En esta comunidad,sin embargo, si una persona esmiembro de un club, puede serlo osecreta o abiertamente. Todo aquelque no sea abiertamente miembro delclub que haya recibido de él sunombre, es llamado sospechoso. Sise supiera de alguien que pertenecesecretamente al club que hayarecibido de él su nombre, se lellamaría un espía. Ahora bien, locurioso de esta comunidad es que el

conjunto de todas las personassospechosas forma un club.»

EI Inspector Craig meditó porunos instantes sobre este relato, y sepercató de que, a diferencia delrelato anterior, éste eraperfectamente consistente. Ademásda lugar a un interesante resultado —a saber, que es posible deducir si hayo no hay espías reales en lacomunidad.

¿Los hay?

Solución. El club de todas las

personas sospechosas recibe sunombre de alguna —llamémosleJuan. Así pues llamaremos a esteclub el «Club de Juan».

Ahora bien, o el propio Juan esmiembro del club de Juan o no lo es.Supóngase que no lo es. Entonces nopuede ser sospechoso (porque todapersona sospechosa es miembro delclub de Juan). Esto quiere decir queJuan es abiertamente un miembro delclub de Juan. Así, si Juan no esmiembro del club de Juan, entoncesJuan es abiertamente miembro del

club de Juan, lo cual es absurdo. Porlo tanto Juan tiene que ser miembrodel club de Juan. Puesto que todomiembro del club es sospechoso,entonces Juan tiene que sersospechoso. Así pues Juan no esabiertamente miembro del club deJuan, y sin embargo es miembrosuyo, de modo que es secretamentemiembro —en otras palabras, ¡Juanes un espía!

Podemos advertir que habiendoresuelto el precedente problema,número 260. hay un modo más simple

de solucionar el presente, a saber:observar que si no hubiera espías enla comunidad, entonces sersospechoso no sería diferente de serinsociable, de donde el conjunto detodos los caracteres sospechosossería el mismo que el conjunto de laspersonas insociables, lo cual querríadecir que el conjunto de todas laspersonas insociables forma un club.Pero hemos demostrado en elproblema 260 que el conjunto detodas las personas insociables nopuede formar un club. Por lo tanto, la

suposición de que no hay espías en lacomunidad conduce a unacontradicción, de donde se sigue quetiene que haber un espía en lacomunidad (aunque en estademostración no tenemos idea dequién lo sea).

Estas dos demostracionessuministran una perfecta ilustraciónde lo que los matemáticos quierendecir con los términos «demostraciónconstructiva» y «demostración noconstructiva». La segundademostración es no constructiva en el

sentido de que aun cuando muestreque no podría ser el caso de que nohaya espías, no exhibe ningún espíareal. En contraste, la primerademostración es denominadaconstructiva por cuanto exhiberealmente un espía —a saber, lapersona (a la que hemos llamado«Juan») de la cual el club decaracteres sospechosos ha recibidosu nombre.

262. PROBLEMA DEL UNIVERSO

Hay un cierto Universo en el que

todo conjunto de habitantes forma unclub. El Registrador de este Universoquisiera dar a cada club el nombrede un habitante de manera tal que nohubiera dos clubs que recibiesen elnombre del mismo habitante y cadahabitante tuviera un club querecibiera de él su nombre.

Ahora bien, sí este Universotuviera sólo un número finito dehabitantes, el esquema seríaimposible (puesto que habría másclubs que habitantes —por ejemplo,si hubiera justamente 5 habitantes,

habría 32 clubs (incluyendo elconjunto vacío); si hubiera 6habitantes, habría 64 clubs y, engeneral, si hay n habitantes, tiene quehaber 2n clubs). Sin embargo, sucedeque este particular Universo contieneinfinitos habitantes y, por tanto elRegistrador no ve razón de por quésu esquema no sería viable. A lolargo de billones de años ha estadotratando de construir un tal esquema,pero hasta el presente todo intento hafracasado. ¿Es debido el fracaso auna falta de ingenio por parte del

Registrador, o es que éste estáintentando hacer algo inherentementeimposible?

Solución. Está intentando loimposible: este famoso hecho fuedescubierto por el matemático GeorgCantor. Supóngase que elRegistrador llegase a tener éxito enla tarea de dar sus nombresrespectivos a todos los clubstomando dichos nombres de todos loshabitantes de una manera tal que nohubiera dos clubs diferentes que

recibieran su nombre del mismohabitante. De nuevo, llamemos a unha b i ta nte insociable si no esmiembro del club que recibe de él sunombre. La colección de todos loshabitantes insociables de esteUniverso constituye ciertamente unconjunto bien definido, y está dadoq u e todo conjunto de habitantesforma un club. Por lo tanto tenemosel imposible club de todos loshabitantes insociables —imposiblepor la misma razón que la delproblema 260 (este club tiene que

recibir su nombre de alguien, y estealguien no puede ser ni sociable niinsociable sin entrañar unacontradicción).

263. PROBLEMA DE LOS CONJUNTOSCONSIGNADOS

He aquí el mismo problema condiferente ropaje; algunas de lasnociones que comporta volverán aaparecer en el próximo capítulo.

Un cierto matemático lleva unlibro llamado El Libro de losConjuntos. En cada página hayescrita una descripción de un

conjunto de números. Usamos lapalabra «números» para significarlos números enteros positivos 1, 2, 3,..., n, ... Cualquier conjunto que estéconsignado en cualquier página sedenomina un conjunto consignado.Las páginas están numeradasconsecutivamente.

El problema está en describir unconjunto que no esté consignado enninguna página del libro.

Solución. Dado cualquier númeron, llamemos a n número

extraordinario si n pertenece alconjunto consignado en la página n;llamemos a n número ordinario si nno pertenece al conjunto consignadoen la página n.

No hay posibilidad de que elconjunto de números ordinariospueda ser consignado; si lo fuera, elnúmero de la página en que estuvieseconsignado no podría ser o bienordinario o bien extraordinario sinentrañar una contradicción.

16- ELDESCUBRIMIENTO DE

GÖDEL

A. ISLAS GÖDELIANAS

Los enigmas de esta sección sonadaptaciones de un famoso principiodescubierto por el lógico matemáticoKurt Gödel, que discutimos al finaldel capítulo.

264. LA ISLA G

Una cierta isla G está habitadaexclusivamente por caballeros que

dicen siempre la verdad y escuderosque mienten siempre. Por añadidura,algunos de los caballeros reciben elnombre de «caballeros establecidos»(estos son caballeros que en un ciertosentido se han demostrado a símismos), y ciertos escuderos recibenel nombre de «escuderosestablecidos». Ahora bien, loshabitantes de esta isla han formadovarios clubs. Es posible que unhabitante pueda pertenecer a más deun club. Dados cualquier habitante Xy cualquier club C, o bien X afirma

que es un miembro de C o bienafirma que no es un miembro de C.

Está dado que se cumplen lascuatro condiciones siguientes, E1,E2, C, G.

E1: El conjunto de todos loscaballeros establecidos formaun club.

E2: El conjunto de todos losescuderos establecidos forma unclub.

C (La Condición deComplementación): Dado

cualquier club C, el conjunto detodos los habitantes de la islaque no son miembros de Cforman un club de suexclusividad. (Este club esdenominado el complemento deC y es denotado por C’.)

G (La CondiciónGödeliana): Dado cualquierc l u b C, hay al menos unhabitante de la isla que afirmaque es un miembro de C.(Naturalmente su afirmaciónpudiera ser falsa: podría ser un

escudero.)

264A.(De acuerdo con Gödel)(i) Demostrar que hay al menos

un caballero no establecido en laisla.

(ii) Demostrar que hay al menosun escudero no establecido en la isla.

–SOLUCIÓN–264B.

(De acuerdo con Tarski)(i) ¿Forma un club el conjunto de

todos los escuderos de la isla?(ii) ¿Forma un club el conjunto

de todos los caballeros de la isla?

–SOLUCIÓN–265. ISLAS GÖDELIANAS EN GENERAL

Considérese ahora una islacaballero–escuderil cualquiera conclubs. (Por una isla caballero–escuderil queremos significar, porsupuesto, una isla habitadaexclusivamente por caballeros yescuderos.) Llamaremos a esa islauna isla gödeliana si se cumple la

condición G, esto es, que para todoclub C hay al menos un habitante queafirma ser miembro del club.

El Inspector Craig visitó una vezuna isla caballero–escuderil quetenía clubs. Craig (quien, dicho seaincidentalmente, era un señor muyculto cuyos intereses teóricos erantan portentosos como sus interesesprácticos) sintió curiosidad porsaber si estaba o no en una islagödeliana. Obtuvo la siguienteinformación.

Cada club recibe su nombre deun habitante y cada habitante tiene unclub que ha recibido su nombre de él.Un habitante no es necesariamentemiembro del club que ha recibido deél su nombre; si lo es, es llamadosociable, y si no lo es, es llamadoinsociable. Un habitante X esllamado un amigo de un habitante Y siX testifica que Y es sociable.

Craig no sabía aún si estaba o noen una isla gödeliana, hasta queaveriguó que la isla satisfacía lasiguiente condición, a la que

llamaremos condición H.H: Para cualquier club C, hay

otro club D tal que todo miembro deD tiene al menos un amigo en C, ytodo no miembro de D tiene al menosun amigo que no es un miembro de C.

De esta condición H, Craig pudodeducir si la isla era gödeliana.

¿Lo es?

Solución. Sí, lo es. Tómesecualquier club C. Sea D un club dadopor la condición H. Este club D ha

recibido ni nombre de alguien —digamos de Juan. O Juan pertenece alclub D o no pertenece a él.

Supóngase que pertenece.Entonces tiene un amigo —llamémosle Jacobo— en el club Cque testifica que Juan es sociable.Puesto que Juan pertenece a D,entonces Juan es realmente sociable,de donde se sigue que Jacobo es uncaballero. Así pues, Jacobo es uncaballero que pertenece al club C, yasí Jacobo afirmará que pertenece alclub C.

Supóngase que Juan no perteneceal club D. Entonces Juan tiene unamigo —llamémosle Jaime— que noes miembro de C, y Jaime afirma queJuan es sociable. Puesto que Juan noes un miembro del club D, entoncesJuan es realmente insociable, dedonde se sigue que Jaime es unescudero. Así, Jaime es un escuderoque no pertenece al club C, de dondese sigue que Jaime mentiría yafirmaría pertenecer al club C. Asípues, sea que Juan pertenezca al clubD o que no pertenezca al club D, hay

un habitante que afirma pertenecer alclub C.

Observaciones. Combinando losresultados de 264 y 265, vemos quedada cualquier isla que satisfaga lascondiciones E1 , E2 , C y H, tiene quehaber en la isla tanto un caballero noestablecido como un escudero noestablecido. Este resultado esrealmente una forma disfrazada delfamoso teorema de incompletud deGödel, que consideraremos de nuevoen la Sección C de este capítulo.

Incidentalmente, si quieresplantear un problema realmentearduo a uno de tus amigos, dale a eseamigo una isla con las condicionesE1 , E2 , C y H (sin mencionar G), yproponle el problema 264. Seríainteresante ver si llega por sí mismoa la condición G.

B. ISLAS DOBLEMENTE GÖDELIANAS

Los enigmas de esta sección sonde interés más especializado ypueden ser pospuestos para despuésde la lectura de la sección C.

Por una «isla doblementegödeliana» entenderemos una islacaballero–escuderil con clubs tal quese satisface la siguiente condiciónGG:

GG: Dados dos clubscualesquiera C1 y C2, hay habitantesA, B tales que A afirma que B es unmiembro de C1, y B afirma que A esun miembro de C2.

Hasta donde a mí se me alcanza,la condición GG no implica lacondición G, ni la condición G

implica la condición GG; parecen sercompletamente independientes. Asípues (hasta donde a mí se mealcanza), una isla doblementegödeliana no es necesariamente unaisla gödeliana.

El tema de las islas doblementegödelianas es uno de mispasatiempos favoritos. Lasadivinanzas a que da lugar guardan elmismo tipo de relación con laParadoja de la Doble Tarjeta deJourdain (véase problema 254 delcapítulo precedente) que la que

guarda la adivinanza de las islasgödelianas con la paradoja delmentiroso.

266. LA ISLA DOBLEMENTEGÖDELIANAS

Una vez tuve la buena fortuna dedescubrir una isla doblementegödeliana S en la que se cumplentodas las condiciones E1, E2 y C dela isla G.

(a) ¿Puede determinarse si hay uncaballero no establecido en S? ¿Yqué decir acerca de un escudero no

establecido?(b) ¿Puede determinarse si los

caballeros de la isla S forman unclub? ¿Y qué decir acerca delconjunto de escuderos?

Solución. Consideremos primerola parte (b). Si el conjunto de loscaballeros forma un club, entonces loforma también el conjunto de losescuderos (por la condición C), y siel conjunto de los escuderos formaun club, también lo forma el conjuntode los caballeros (de nuevo por la

condición C). Así, si uno u otro deestos dos conjuntos formara un club,ambos lo formarían. Bien, supóngaseque ambos lo forman. Entonces, porla condición GG, tiene que haberhabitantes A, B, que hacen lassiguientes afirmaciones:

A: B es un escudero.B: A es un caballero.

Esta es una situación imposible,como mostramos en la solución delproblema 259 del último capítulo. La

conclusión, por lo tanto, es que ni elconjunto de los caballeros ni elconjunto de los escuderos puedeformar un club.

En cuanto a la parte (a), podemosahora resolverla por uno u otro dedos métodos; el primero es mássencillo, habiendo resuelto nosotrosla parte (b), pero el segundo es másinstructivo.

Método 1: Puesto que el conjuntode los caballeros no forma un club yel conjunto de los caballeros

establecidos lo forma, entonces losdos conjuntos son diferentes y, portanto, no todos los caballeros sonestablecidos. Similarmente con«escuderos».

Método 2: Puesto que el conjuntode los caballeros establecidos formaun club, lo forma asimismo elconjunto de todos los habitantes queno son caballeros establecidos.Tomando estos dos clubs como C1,C2, tenemos (por la condición GG)habitantes A, B, que hacen las

siguientes afirmaciones:

A: B es un caballeroestablecido.

B: A no es un caballeroestablecido.

Dejamos al lector que verifiqueque al menos uno de los doshablantes A, B, tiene que ser uncaballero no establecido (másespecíficamente, si A es un caballeroentonces no es un caballeroestablecido), y si A es un escudero

entonces B tiene que ser un caballerono establecido). Lo interesante aquíes que aun cuando sabemos que unode los dos A, B es un caballero noestablecido, no tenemos idea de cuáles. Esta situación es exactamenteigual a la del problema 134, elproblema del doble cofre de Belliniy Cellini; uno de los cofres tiene queser un Bellini, pero no hay modo dedecir cuál.

Similarmente, puesto que losescuderos establecidos forman unclub, asimismo lo forma el conjunto

de todos los habitantes que no sonescuderos establecidos. Por lo tanto(de nuevo por GG) tiene que haberdos hablantes A. B que dicen:

A: B es un escuderoestablecido.

B: A no es un escuderoestablecido.

De aquí se sigue que si B es unescudero entonces es un escudero noestablecido, y si B es un caballeroentonces A es un escudero no

establecido (de nuevo, dejamos lademostración de esto al lector), y así,en uno u otro caso, o A o B es unescudero no establecido, pero nosabemos cuál. (Este problema esrealmente el mismo que el problema135 del doble cofre de Bellini yCellini.)

267. LA ISLA S1

Una vez descubrí otra isladoblemente gödeliana S1 que meintrigó todavía más. Las condicionesE1, E2, se cumplen ambas en esta

isla, pero no se sabe si se cumple ono la condición C. (Recordemos quela condición C es que para cualquierclub C, el conjunto de personas queno estén en C forma un club.)

Parece imposible demostrar quehay un caballero no establecido en laisla S1, o demostrar que hay unescudero no establecido. Tambiénparece imposible demostrar que loscaballeros no forman un club, odemostrar que los escuderos noforman un club. Sin embargo, puededemostrarse lo siguiente:

(a) Demostrar que o hay uncaballero no establecido o unescudero no establecido en estaisla.

(b) Demostrar que esimposible que los caballerosformen un club y también losescuderos formen un club.

Solución. Realizaremos primero(b). Supóngase que los caballerosformaran un club y los escuderosformaran un club. Entonces habríahabitantes A, B tales que A afirma

que B es escudero y B afirma que Aes caballero, lo cual sabemos que esimposible (véase el problemaprecedente, o el problema 259 delúltimo capítulo). Así pues, no puedeser que los caballeros formen un cluby también que los escuderos formenun club; o los caballeros no formanun club o los escuderos no forman unclub. Si los caballeros no forman unclub, entonces tiene que haber uncaballero no establecido (puesto quelos caballeros establecidos si formanun club); si los escuderos forman un

club, entonces tiene que haber unescudero no establecido. Pero nopodemos decir cuál. Esto entoncesdemuestra también (a).

Un método alternativo (y másinteresante) de demostrar que hay oun caballero no establecido o unescudero no establecido es éste:

Puesto que los caballerosestablecidos forman un club y losescuderos establecidos forman unclub, entonces hay habitantes A, Bque dicen:

A: B es un escuderoestablecido.

B: A es un caballeroestablecido.

Supóngase que A es caballero.Entonces su enunciado es verdadero,de donde se sigue que B es unescudero establecido, y así elenunciado de B es falso, de donde sesigue que A no es un caballeroestablecido. Así, en este caso, A esun caballero no establecido. Si A esescudero, entonces el enunciado de B

es falso, de modo que B es unescudero. También el enunciado deA es falso, de modo que B no es unescudero establecido. Así, en estecaso, B es un escudero noestablecido.

Por lo tanto, o A es un caballerono establecido o B es un escudero noestablecido (pero, de nuevo, nosabemos cuál es).

De nuevo este problema essemejante a uno de los problemas deldoble cofre (número 136 del capítulo9), en donde uno de los dos cofres

(no sabemos cuál) fue hecho o porBellini o por Cellini (pero de nuevono sabemos cuál).

268. ALGUNOS PROBLEMAS NORESUELTOS

Tengo en mente unos cuantosproblemas concernientes a las islasgödelianas y doblemente gödelianasque yo no he tratado de resolver;pero me parece que puede serdivertido para el lector poner aprueba su imaginación ideandoalguna tarea original.

268A.He establecido que hasta donde

a mí se me alcanza, ninguna de lascondiciones G, GG, implica a la otra.¿Puedes demostrar que mi conjeturaes correcta? (O acaso refutarla,aunque pienso que eso es altamenteimprobable.) Para hacerlo tienes queconstruir una isla en la que se cumplaG pero no se cumpla GG, y construiruna isla en la que se cumpla GG perono se cumpla G. Por construir unaisla entiendo que se especifiquentodos los habitantes, y que luego se

especifique cuáles son caballeros ycuáles escuderos y qué conjuntos depersonas forman clubs y quéconjuntos no los forman (quécaballeros y escuderos sonestablecidos es algo no relevante eneste problema).

268B.¿Puedes demostrar (o refutar) mi

conjetura de que en la isla S no esnecesario que haya un caballero noestablecido y no es necesario quehaya un escudero no establecido

(aunque, sin duda, tiene que darse eluno o el otro)? Esto es, ¿puedesconstruir una isla que satisfaga E1,E2 y GG en la que hay caballeros,pero no caballeros establecidos?¿Puedes construir una isla en la quehaya escuderos, pero no escuderosestablecidos? (Esta vez, al construirtales islas, tienes que especificar nosólo los caballeros, los escuderos ylos clubs, sino también quécaballeros y escuderos sonestablecidos.)

268C.Suponiendo que todas estas islas

puedan ser construidas (y yo estoymoralmente cierto de que tal es elcaso, aun cuando no lo heverificado), ¿cuál es en cada caso elmínimo número de habitantes quetiene que tener la isla? ¿Puedesdemostrar en cada caso que ningúnnúmero menor sería suficiente?

C. TEOREMA DE GÖDEL

269. ¿ES ESTE SISTEMA COMPLETO?Un cierto lógico lleva un libro

llamado El Libro de las Oraciones.Las páginas de este libro estánnumeradas consecutivamente, y cadapágina tiene exactamente una oraciónescrita en ella. Ninguna oraciónaparece en más de una página. Dadacualquier oración X el número de lapágina en la que ésta está escrita esllamado el número de página de X.

Toda oración del libro es, porsupuesto, verdadera o falsa. Algunasde las oraciones verdaderas sonbastante auto–evidentes para estelógico, y por ello ha tomado estas

verdades auto–evidentes comoaxiomas de su sistema de lógica. Estesistema contiene también ciertasreglas de razonamiento que locapacitan para demostrar variasoraciones verdaderas a partir de losaxiomas, y para refutar algunasfalsas. Nuestro lógico confía bastanteen que su sistema es correcto, en elsentido de que toda oración que esdemostrable en el sistema esciertamente una oración verdadera, ytoda oración que es refutable en elsistema es falsa, pero no está seguro

de si su sistema es completo en elsentido de que todas las oracionesverdaderas son demostrables y todaslas falsas refutables. ¿Son todas lasoraciones verdaderas demostrablesen su sistema? ¿Son todas lasoraciones falsas refutables en elsistema? Estas son las cuestionespara las cuales nuestro lógico querríadisponer de una respuesta.

Bien, el mencionado lógico tienetambién un segundo libro llamado ElLibro de los Conjuntos. Este librotiene igualmente todas sus páginas

numeradas consecutivamente, y cadapágina contiene una descripción deun conjunto de números. (Usamosaquí la palabra «números» con elsignificado de los números enterospositivos 1, 2, 3,... , n, ...) Acualquier conjunto de númerosdescrito en cualquier parte de estelibro lo llamaremos un conjuntoconsignado.

Dado cualquier número n, puedeocurrir que el conjunto consignado enla página n (de El Libro de losConjuntos) contenga como miembro

al propio n; si esto ocurre,llamaremos a n un númeroextraordinario. Asimismo, dadoscualesquiera números n, h,llamaremos a h un asociado de n sila oración de la página h (de ElLibro de las Oraciones) afirma que nes extraordinario.

Se nos dice que las cuatrocondiciones siguientes son válidas:

E1: El conjunto de númerosde página de todas las oracionesdemostrables es un conjunto

consignado.E2: El conjunto de números

de página de todas las oracionesrefutables es un conjuntoconsignado.

C: Para cualquier conjuntoconsignado A, el conjunto A’ detodos los números que no esténen A es un conjunto consignado.

H: Dado cualquier conjuntoconsignado A, hay otro conjuntoconsignado B tal que todonúmero de B tiene un asociadoen A, y todo número que esté

fuera de B tiene un asociadofuera de A.

Estas cuatro condiciones sonsuficientes para responder a lascuestiones del lógico: ¿Es todaoración verdadera demostrable en elsistema? ¿Es toda oración falsarefutable en el sistema? Tambiénpuede determinarse si el conjunto delos números de página de todas lasoraciones verdaderas es o no unconjunto consignado, y si el conjuntode los números de página de todas

las oraciones falsas es o no unconjunto consignado.

¿Cómo puede realizarse?

Solución. Esto no es más que lasadivinanzas de la isla gödeliana de laSección A presentadas con diferenteropaje. En nuestra presentaciónactual, los números de página de lasoraciones verdaderas juegan el papelde los caballeros; los de lasoraciones falsas, el de los escuderos;los de las oraciones demostrables, el

de los caballeros establecidos; y losde las oraciones refutables, el de losescuderos establecidos. Losconjuntos consignados juegan elpapel de los clubs. La noción deconjunto consignado en una páginaque tiene un número dado, hace elpapel de un club que lleva el nombrede un habitante dado; de aquí que losnúmeros extraordinarios hagan elpapel de las personas sociables, y lanoción de «asociado» haga las vecesde «amigo».

Lo primero que hemos de hacer

para resolver el problema que nosocupa es demostrar el análogo de lacondición G, que es:

Condición G. Para cualquierconjunto consignado A, hay unaoración que es verdadera si y sólo sisu propio número de página está enA.

Para demostrar la condición G,tómese cualquier conjuntoconsignado A. Sea B un conjuntodado por la condición H; sea n elnúmero de una página en la que B

esté consignado. Por la condición H,si n está en B, entonces n tiene unasociado h en A; si n está fuera de B,entonces n tiene un asociado h fuerade A. Afirmamos que la oración X dela página h es la oración quebuscamos.

La oración X dice que n esextraordinario —en otras palabras,que n está en B (puesto que B es elconjunto consignado en la página n).S i X es verdadera, entonces n estárealmente en B, de lo cual se sigueque h está en A.

Así pues, si X es verdadera,entonces su número de página h estáe n A. Supóngase que X es falsa.Entonces n no está en B, de lo que sesigue que h está fuera de A. Por tantoX es verdadera si y sólo si su númerode página está en A.

Una vez que ha sido demostradala condición G, resulta fácilresponder a las cuestiones dellógico: Se nos ha dado que elconjunto A de números de página detodas las oraciones demostrables esun conjunto consignado, de lo cual se

sigue, por la condición C, quetambién lo es el conjunto A de todoslos números que no sean números depágina de oraciones demostrables;por tanto (por la condición G), hayuna oración X que es verdadera si ysolamente si el número de página deX pertenece a A. Ahora bien, decirque el número de página de Xpertenece a A es igual que decir queel número de página de X nopertenece a A, lo que viene a decirque X no es demostrable (ya que Aconsta de los números de página de

aquellas oraciones que sondemostrables). Así X es verdadera siy sólo si X no es demostrable. Y estosignifica que o bien X es verdadera yno demostrable, o bien que X es falsapero demostrable. Pero se nos hadado que ninguna oración falsa esdemostrable en el sistema, de aquíque X haya de ser verdadera pero nodemostrable en el sistema.

Para obtener una oración falsaque no sea refutable, tomamos ahoraa A como el conjunto de los númerosde página de todas las oraciones que

sean refutables. Aplicando lacondición G, obtenemos una oraciónY que es verdadera si y sólo si sunúmero de página es el numero depágina de una oración refutable —enotras palabras, Y es verdadera si ysolamente si Y es refutable. Lo cualsignifica que Y es o verdadera yrefutable o falsa y no refutable. Laprimera posibilidad quedadescartada, puesto que ningunaoración refutable es verdadera, porlo cual y debe ser falsa pero norefutable en el sistema.

En lo que se refiere a las otrascuestiones, si el conjunto de losnúmeros de página de todas lasoraciones falsas fuera un conjuntoconsignado, entonces habría unaoración Z que es verdadera sí y sólosi su número de página es el númerode página de una oración falsa —enotras palabras, Z sería verdadera si ysólo si Z es falsa, lo cual esimposible. (Sería algo como laoración: «Esta oración es falsa.»)Por lo tanto, el conjunto de losnúmeros de página de todas las

oraciones falsas no es un conjuntoconsignado. Entonces, por lacondición C, el conjunto de losnúmeros de página de las oracionesverdaderas no es tampoco unconjunto consignado.

270. EL TEOREMA DE GÖDEL

La adivinanza anterior esrealmente una forma del famosoTeorema de Incompletud de Gödel.

En 1931 Kurt Gödel se dio aconocer con el asombrosodescubrimiento de que en un cierto

sentido las verdades matemáticas nopueden ser completamenteformalizadas. Gödel mostró que parauna amplia variedad de sistemasmatemáticos —sistemas que cumplenciertas condiciones muy razonables— tiene que haber siempre oracionesque, aunque verdaderas, ¡no puedenser demostradas a partir de losaxiomas de ese sistema! Así pues,ningún sistema axiomático formal,por ingeniosamente construido quepueda estar, es adecuado parademostrar todas las verdades

matemáticas. Gödel demostróprimeramente este resultado para elcélebre sistema de los PrincipiaMathematica de Whitehead yRussell, pero, como ya dije, laprueba es aplicable a muchossistemas diferentes. En todos estossistemas hay un conjunto biendefinido de expresiones llamadasoraciones y una clasificación detodas las oraciones en oracionesverdaderas y oraciones falsas.Ciertas oraciones verdaderas sontomadas como axiomas del sistema, y

se dan reglas de inferencia precisasque nos capacitan para demostrarciertas oraciones y refutar otras.Además de las oraciones, el sistemacontiene nombres de diversosconjuntos de números (positivos,enteros). A cualquier conjunto denúmeros que tenga un nombre en elsistema podríamos llamarlo conjuntonombrable o definible del sistema(tales son los conjuntos a los quehemos llamado conjuntos«consignados» en la adivinanzaanterior). Ahora bien, la cuestión es

que es posible numerar todas lasoraciones y consignar todos losconjuntos definibles en un orden talque sean válidas las condiciones E1,E2, C, y H, de nuestra adivinanza. (Elnúmero asignado a cada oración, alque llamamos el «número depágina», es llamado técnicamente elnúmero de Gödel de la oración.)Establecer las condiciones C y H esrealmente un asunto muy simple, peroestablecer las condiciones E1 y E2,es tarea bastante laboriosa, aunque

elemental en principio{15}. Decualquier modo, una vez que se hanestablecido, estas cuatro condicionesnos llevan a la construcción de unaoración que es verdadera pero nodemostrable en el sistema.

La oración X en cuestión podríaser concebida como algo queafirmase su propiaindemostrabilidad; una oración tal hade ser, de hecho, verdadera pero nodemostrable (del mismo modo queuna persona de la isla G que afirmeque no es un caballero establecido

tiene que ser, de hecho, un caballero,aunque no uno establecido).

Podría plantearse la siguientepregunta: puesto que se sabe que laoración de Gödel X (que afirma supropia indemostrabilidad) esverdadera, ¿por qué no añadirlacomo axioma adicional al sistema?Bien, por supuesto puede hacerse,pero entonces el sistema ampliadoresultante satisface asimismo lascondiciones E1, E2, C, y H, por locual se puede obtener otra oración X1

que es a la vez verdadera pero

indemostrable en el sistemaampliado. Así, en este sistemaampliado, pueden demostrarse másoraciones verdaderas que en elanterior, pero aún no puedendemostrarse todas las oracionesverdaderas.

Debería señalar que miexposición del método de Gödel sesepara un tanto de la versión originaldel propio Gödel —primariamenteen que yo empleo la noción deverdad, cosa que Gödel no hizo.Además, el teorema de Gödel en su

forma original no decía que habíauna oración que es verdadera pero nodemostrable, sino más bien que bajouna cierta suposición razonableacerca del sistema, tiene que haberuna oración (que Gödel de hechoexhibía) que no es demostrable nirefutable en el sistema.

Una formalización estricta de lanoción de verdad fue realizada por ellógico Alfred Tarski, y fue Tarskiquien mostró que para estos sistemasel conjunto de números de Gödel delas oraciones verdaderas no es

definible en el sistema. Lo cual separafrasea a veces: «Para sistemasde suficiente rigor, la verdad de lasoraciones del sistema no es definibledentro del sistema.»

271. PALABRAS FINALES

Considérese la siguienteparadoja:

ESTA ORACIÓN NUNCA PUEDESER DEMOSTRADA

La paradoja consiste en esto: sila oración es falsa, entonces es falso

que nunca pueda ser demostrada, delo que se sigue que puede serdemostrada, lo cual significa que hade ser verdadera. Así, si la oraciónes falsa, tenemos una contradicción,y por tanto debe ser verdadera.

Ahora bien, acabo de demostrarque la oración es verdadera. Puestoque es verdadera, lo que dice esrealmente el caso, lo cual significaque la oración nunca puede serdemostrada. Entonces, ¿cómo hepodido demostrarla? ¿Cuál es lafalacia en el razonamiento anterior?

La falacia está en que la noción dedemostrable no está bien definida.Una importante finalidad del campoconocido como «Lógica matemática»es hacer de la noción dedemostración una noción precisa.Sin embargo, todavía no se ha dadouna noción totalmente rigurosa dedemostración en un sentido absoluto;se habla más bien dedemostrabilidad dentro de unsistema dado. Ahora bien, supóngaseque tenemos un sistema —llamémosle sistema S— en el que la

noción de demostrabilidad dentro delsistema S esté claramente definida.Supóngase también que el sistema Ses correcto en el sentido de que todolo que sea demostrable en el sistemaes realmente verdadero. Considéreseahora la siguiente oración:

ESTA ORACIÓN NO ESDEMOSTRABLE EN EL SISTEMA

S

Ahora no tenemos paradojaalguna, sino en lugar de ello una

interesante verdad. Esta interesanteverdad es que la oración anterior hade ser una oración verdadera que noes demostrable en el sistema S. Dehecho, se trata de una toscaformulación de la oración X deGödel, que puede ser consideradacomo afirmando su propiaindemostrabilidad, no en un sentidoabsoluto, sino sólo dentro delsistema dado.

También debería decir algosobre la condición «doblemente

gödeliana» analizada en la SecciónB. El hecho es que los diversossistemas a los cuales es aplicable elresultado de Gödel son no solamente«gödelianos», en el sentido de quedado cualquier conjunto definible A,hay una oración que es verdadera si ysólo si su número de Gödel está en A,sino que esos sistemas son lo que yollamaría «doblemente gödelianos»,con lo cual quiero decir que dadosdos conjuntos definibles cualesquieraA, B, hay oraciones X, Y tales que Xes verdadera si y solamente si el

número de Gödel de Y está en A, ytales que Y es verdadera si ysolamente si el número de Gödel deX está en B. A partir de esto (usandolas condiciones E1, E2 y C) puedeconstruirse un par X, Y tal que Xafirma que Y es demostrable (con locual quiero decir que X es verdaderasi y solamente si Y es demostrable) eY afirma que X no es demostrable;una de ellas (no sabemos cuál) tieneque ser verdadera pero nodemostrable. O podemos construir unpar X, Y tal que X afirma que Y es

refutable e Y afirma que X no esrefutable —de lo cual se sigue que almenos una de ellas (no sabemoscuál) tiene que ser falsa pero norefutable. O también (sin usar inclusola condición C) podemos construir unpar X, Y tal que X afirma que Y esdemostrable e Y afirma que X esrefutable; una de ellas (no sabemoscuál) es o verdadera pero nodemostrable, o falsa pero norefutable (aunque una vez más nosabemos cuál).

¡Ah!, una última cosa, antes quese me olvide: ¿Cómo se llama estelibro? Bien, este libro se llama:¿Cómo se llama este libro?

SOLUCIONES

SOLUCIONES DE ADIVINANZAS YMONERÍAS

4.Muchísima gente llega a la

conclusión equivocada de que elhombre está mirando su propiafotografía porque se ponen en ellugar del hombre que está mirando lafotografía y razonan de esta manera:«Ya que no tengo ni hermanos nihermanas, el hijo de mi padre tengoque ser yo. Por tanto estoy mirandomi fotografía.»

La primera parte de este

razonamiento es totalmente correcta;si no tengo ni hermanas ni hermanosel hijo de mi padre tengo que ser yo.Pero no se puede decir que «Yo» seala solución del problema. Si lasegunda parte del problema hubieradicho «Este hombre es el hijo de mipadre», la solución del problemahubiera sido «Yo». Pero el problemano decía eso sino que decía «Elpadre de este hombre es el hijo demi padre». De lo que se deduce queel padre de este hombre soy yo, yosoy el padre de este hombre, de aquí

que este hombre tenga que ser mihijo. Por tanto, la solución correcta aeste problema es que el hombre estámirando una fotografía de su hijo.

Al lector escéptico que aún no sehaya convencido (y estoy seguro deque muchos no lo están) quizás leayude ver las cosas un poco másgráficamente:

(1) El padre de este hombre es elpadre de mi hijo.

Al sustituir la complicada frase«el padre de mi hijo» por la palabra«yo» nos queda:

(2) El padre de este hombre soyyo.

¿Te has convencido ya?

5.La solución del segundo

problema: «Ni hermanos ni hermanastengo, pero el hijo de este hombre esel hijo de mi padre» es que elhombre está mirando una fotografíade su padre.

6.Las condiciones de este

problema son lógicamente

contradictorias. Es lógicamenteimposible que puedan existir a la vezun obús que siempre da en el blancoy una guarnición indestructible. Siexistiera ese obús que siempre da enel blanco, por definición tendría quedestruir cualquier guarnición que seencontrara a su paso y, por tanto, nohabría para él ninguna guarniciónindestructible. Por otro lado, sihubiera una guarnición indestructiblepor definición no podría haberningún obús que la destruyera y, portanto, no existiría ese obús que

siempre da en el blanco y lodestruye. Así pues, la existencia deun obús que siempre da en el blancodestruyéndolo no es lógicamentecontradictoria en sí, como tampocoes contradictoria en sí misma laexistencia de una guarniciónindestructible; pero afirmar queambas existen es enunciar unacontradicción.

La situación es muy parecida a lasiguiente, supongamos que te digo:«Hay dos señores, Pedro y Juan,Pedro es más alto que Juan y Juan es

más alto que Pedro. ¿Cómo teexplicas eso?» La contestación mejorsería: «O estás mintiendo o estásequivocado.»

7.La respuesta —equivocada—

más corriente es «25». Si la preguntahubiera sido: «Cuál es el númeromenor de calcetines que tengo quesacar para que me salgan por lomenos dos calcetines de diferentecolor», la respuesta correcta habríasido veinticinco; pero el problema lo

que decía era «por lo menos doscalcetines del mismo color»; y, portanto, la respuesta correcta es «tres».Si cojo tres calcetines, o serán todosdel mismo color (en cuyo caso yatengo por lo menos dos del mismocolor) o si no dos serán de un color yuno del otro y, por tanto, habrésacado dos del mismo color.

8.La respuesta es cuatro.

9.La solución del primer problema

es «sí». Para mayor claridaddaremos por hecho que en NuevaYork hay exactamente 8 millones dehabitantes. Si cada habitante tuvieradiferente número de pelos, tendríaque haber ocho millones de númerosenteros positivos diferentes, cadauno de ellos menor de ocho millones.¡Y eso es completamente imposible!

La solución del segundoproblema es 518. Para verlo mejor,supongamos que hubiera más de 518habitantes, por ejemplo 520.Entonces tendría que haber 520

números distintos todos menores de520 ninguno de ellos igual a 518.Esto es imposible; hay exactamente520 números distintos (incluido el 0)menores de 520, por tanto sólo hay519 números que no sean el 518 quesean menores de 520.

A propósito, uno de loshabitantes de Podunk tiene que sercalvo, ¿por qué?

10.Dudo que no haya una solución

que se pueda decir correcta o

incorrecta. Me temo que en unproblema de este tipo la opinión deuno es tan buena como la del otro.Personalmente yo creo que si alguienes responsable de la muerte de Csería A. Ahora bien, si yo fuera elabogado defensor de B habría hechonotar dos cosas: 1) El quitarle elagua envenenada a un hombre no esde ninguna manera matarle; 2) Encualquier caso el acto de Bsolamente habría servido paraprolongar la vida de C (aun cuandoesta no fuera en absoluto su

intención), puesto que la muerte porenvenenamiento es generalmente másrápida que la muerte pordeshidratación.

Pero el defensor de A mereplicaría: «¿Cómo puede nadie queesté en sus cabales culpar a A de uncrimen por envenenamiento cuandoen realidad C no llegó a probar elveneno?» Este problema es unverdadero enigma. Lo complicado esque se puede ver desde tres puntosde vista, uno moral, otro legal y otropuramente científico en que entra la

idea de causa. Desde el punto devista moral evidentemente los doseran culpables de intento deasesinato, pero la sentencia deasesinato real es mucho más drástica.Desde el punto de vista legal, yo nosé qué decidiría la ley; quizásjurados diferentes dieran veredictosdiferentes. Desde el punto de vistacientífico la idea de causalidadpresenta muchos problemas y creoque se podría escribir todo un librosobre este acertijo.

11.Los dos acusados eran siameses.

12.El indio adulto era la madre del

indiecito.

13.Al salir de su casa el hombre dio

cuerda al reloj, y escribió la hora enun papel. Cuando llegó a casa de suamigo apuntó la hora que era en esemomento y cuando se fue volvió aapuntarla. Cuando llegó a su casamiró el reloj y así pudo saber cuánto

tiempo había estado fuera de casa.Restando de eso el tiempo que habíaestado en casa de su amigo pudocalcular lo que había tardado en ir yvenir; sumando la mitad de esetiempo a la hora que era cuando salióde casa de su amigo, pudo averiguarla hora que era en aquel momento.

14.El oso tenía que ser blanco; un

oso polar. La razón que se danormalmente es que el oso tenía queestar justo en el Polo Norte. Pues

bien ésta es una de las posibilidades,pero no la única. Desde el PoloNorte, todas las direcciones son sur,así es que si el oso estaba justo en elPolo Norte y el hombre estaba 100metros al sur de él y andaba 100metros en dirección este, y una vezallí se colocaba en dirección norte,estaría de nuevo mirando hacia elPolo Norte. Pero como dije, ésta noes la única solución; la verdad es quehay infinitas soluciones. Podríaocurrir, por ejemplo, que el hombreestuviera muy cerca del Polo Sur, en

un punto en el que el círculo polarque pasa por allí es unacircunferencia de justamente 100metros, y que el oso estuviera 100metros al norte de él. En este caso, siel hombre anduviera 100 metros endirección este, estaría andando justoalrededor del círculo y, tras andar100 metros habría vuelto al mismopunto donde había comenzado. Yaquí tenéis, pues, la segundasolución. Pero además, el tipo podíaestar todavía un poco más cerca delPolo Sur, en el círculo polar que es

una circunferencia de 50 metrosexactos, de manera que si anduviera100 metros en dirección este habríadado la vuelta dos veces a esecírculo y estaría de nuevo en el puntode partida. O podía estar un pocomás cerca del Polo Sur, en un puntoen el que la circunferencia y elcírculo polar es la tercera parte decien metros y haber dado la vuelta alcirculo tres veces y estar de nuevo enel punto de partida, y así, hastacualquier número positivo n. Asípues, hay en realidad un número

infinito de lugares en la tierra dondelas condiciones dadas se cumplen;evidentemente, en cualquiera de esassoluciones, el oso estaríasuficientemente cerca o del PoloNorte o del Polo Sur como para quefuera un oso polar. Hay, claro está, laremota posibilidad de que unmalvado ser humano hubieratransportado deliberadamente un osopardo hasta el Polo Norte sólo paradejar mal al autor de este problema.

15.

La respuesta es una moneda deveinticinco pesetas y otra de un duro.Una de ellas (la de veinticinco) no esun duro.

16.¿Cómo es posible que se case un

muerto?

17.Era un enano que no llegaba hasta

el botón del piso veinticinco delascensor.

Un tipo que yo conozco (queevidentemente no era ninguna

maravilla contando chistes) contóuna vez este chiste en una fiesta en laque yo estaba, y empezó así: «En elpiso veinticinco de una torre vivía unenano...»

18.En realidad, las yemas son

amarillas.

19.Evidentemente los dos trenes

estarán a la misma distancia deBoston cuando se encuentren.

20.

Los gallos no ponen huevos.

21.Veinte.

22.No hay diferencia alguna, una

hora y media es igual a noventaminutos.

23.Difícilmente querrá nadie

enterrar a los supervivientes.

24.El cirujano era la madre de

Arturo Smith.

25.Desgraciadamente no me puedo

acordar en este momento de cómo sellama este libro, pero no ospreocupéis, estoy seguro que meviene de un momento a otro.

SOLUCIONES DE CABALLEROS YESCUDEROS

26.Es imposible que un caballero o

un escudero digan: «Yo soyescudero», porque un caballeroemitiría el enunciado falso de que éles escudero, y un escudero noemitiría el enunciado verdadero deque él es escudero. Por lo tanto, Anunca diría que era un escudero. Así,B mentía cuando dijo que A habíadicho que él era escudero. Por lotanto B es escudero. Puesto que C

dijo que B estaba mintiendo, y Bestaba ciertamente mintiendo, C dijola verdad, de aquí que se tratara deun caballero. Así pues, B es unescudero y C un caballero. (Esimposible saber lo que es A.)

27.La respuesta es la misma que la

del problema anterior, aunque elrazonamiento es un tanto diferente.

Lo primero que hay que observares que B y C deben ser de tiposopuestos, puesto que B contradice a

C. Así pues, de entre los dos, uno esun caballero y el otro un escudero.Ahora bien, si A fuera caballero,entonces habría presentes doscaballeros, y por tanto A no hubiesementido diciendo que habíasolamente uno. Por otra parte, si Afuera escudero, entonces sería ciertoque había presente solamente uncaballero; pero entonces A, siendoescudero, no podría haber emitidoese enunciado verdadero. Por lotanto, A no pudo haber dicho quesólo había un caballero entre ellos.

Así B transmitió falsamente elenunciado de A, y de este modo B esescudero y C caballero.

28.Supóngase que A fuera escudero.

Entonces el enunciado «Al menosuno de nosotros es un escudero»sería falso (puesto que los escuderosemiten enunciados falsos); de dondese sigue que ambos seríancaballeros. Así, si A fuera escudero,tendría que ser también caballero, loque es imposible. Por tanto A no es

un escudero; es un caballero. Y porello su enunciado debe serverdadero; así, al menos uno de elloses realmente un escudero. Puesto queA es caballero, entonces B debe serel escudero. Así pues, A es caballeroy B es escudero.

29.Este problema es una buena

introducción a la lógica de ladisyunción. Dados dos enunciadoscualesquiera, p, q, el enunciado «o po q» significa que al menos uno de

los enunciados (y posiblementeambos) es verdadero. Si elenunciado «o p o q» fuera falso,entonces ambos enunciados p, q, sonfalsos. Por ejemplo, si yo dijera, «Oestá lloviendo o está nevando»,entonces si mi enunciado esincorrecto, es falso que estálloviendo y es falso también que estánevando.

Este es el modo en que «o/o» seusa en lógica, y es el modo en queserá usado a lo largo de este libro.En la vida diaria se usa a veces de

este modo (permitiéndose laposibilidad de que ambasalternativas se den), y a veces en elsentido llamado «exclusivo» —quese da una y solamente una de lascondiciones. Como ejemplo del usoexclusivo, si yo digo «Me casaré conIsabel o me casaré con Juana», seentiende que las dos posibilidadesson mutuamente exclusivas —esto es,que no me casaré con las dos. Porotra parte, si el reglamento de uncolegio establece que para elestudiante que haya de entrar se

requiere que haya cursado o un añode matemáticas o un año de lenguaextranjera, es seguro que el colegiono va a excluir a nadie porquecumpla ambas condiciones. Este esel uso inclusivo de «o/o» y es el queemplearemos constantemente.

Otra importante propiedad de larelación de disyunción «o esto oaquello» es la siguiente. Considéreseel enunciado «p o q» (que es unaabreviatura de «o p o q»). Supóngaseque sucede que el enunciado seaverdadero. Entonces si p es falso, q

tiene que ser verdadero (porque almenos uno de ellos es verdadero, ypor tanto si p es falso, q tiene que serverdadero). Por ejemplo, supóngaseque es verdad que o está lloviendo oestá nevando, pero es falso que estálloviendo. Entonces tiene que serverdad que está nevando.

Estos dos principios losaplicamos como sigue. A emite unenunciado del tipo disyuntivo: «O yosoy un escudero o B es uncaballero.» Supóngase que A esescudero. Entonces el anterior

enunciado tiene que ser falso. Estoquiere decir que ni es verdadero queA sea escudero ni es verdadero queB sea caballero. Así pues si A fueraescudero, entonces se seguiría que noes escudero —lo cual sería unacontradicción. Por tanto A tiene queser caballero.

Así pues, hemos establecido queA es caballero. Por tanto esverdadero su enunciado, según elcual se cumple al menos una de lasposibilidades: 1) A es escudero; 2)B es caballero. Dado que la

posibilidad 1) es falsa (puesto que Aes un caballero), entonces laposibilidad 2) tiene que ser lacorrecta, es decir, B es un caballero.De lo que sigue que A y B son amboscaballeros.

30.La única conclusión válida es

que el autor de este problema no esun caballero. El hecho es que ni uncaballero ni un escudero podríanemitir semejante enunciado. Si Afuera caballero, entonces el

enunciado de que o A es escudero osi no dos más dos es igual a cincosería falso, puesto que ni es el casode que A sea escudero ni de que dosmás dos sea igual a cinco. En talcaso A, un caballero, habría emitidoun enunciado falso, lo cual esimposible. Por otra parte, si A fueraescudero, entonces el enunciado deque o A es escudero o si no dos másdos es igual a cinco sería verdadero,puesto que la primera cláusula segúnla cual A es escudero es verdadera.En tal caso A, un escudero, habría

emitido un enunciado verdadero, locual es igualmente imposible.

Por tanto, las condiciones delproblema son contradictorias(exactamente igual que el problemadel obús que siempre da en el blancoy lo destruye, y la guarniciónindestructible). Por tanto, yo, el autordel problema, o estaba equivocado omentía. Puedo asegurar que no estabaequivocado. De donde se sigue queno soy un caballero.

Para que conste, desearíatestificar que he dicho la verdad al

menos una vez en mi vida, de dondese sigue que tampoco soy unescudero.

31.Para empezar, A tiene que ser

escudero, porque si fuera caballerotendría que ser verdad que los tresson escuderos y, por tanto, quetambién A es escudero. Si A fueracaballero, tendría que ser escudero,lo cual es imposible. Así pues A esescudero. De donde se sigue que suenunciado era falso, y así hay de

hecho al menos un caballero entreellos.

Ahora, supóngase que B fueraescudero. Entonces A y B seríanambos escuderos, y así C seríacaballero (porque hay al menos uncaballero entre ellos). Esto querríadecir que había exactamente uncaballero entre ellos, y por tanto queel enunciado de B sería verdadero.Así pues, tendríamos laimposibilidad de un escuderoemitiendo un enunciado verdadero.Por tanto, B tiene que ser caballero.

Ahora sabemos que A esescudero y que B es caballero.Puesto que B es caballero, suenunciado es verdadero, así hayexactamente un caballero entre ellos.Este caballero ha de ser B, de aquíque C haya de ser escudero. Portanto, la respuesta es que A esescudero, B caballero y C escudero.

32.No puede determinarse lo que es

B, pero puede probarse que C escaballero.

Para empezar, A tiene que serescudero por las mismas razonesexpuestas en el problema anterior; deaquí que también hay al menos uncaballero entre ellos. Ahora bien, oB es caballero o escudero.Supóngase que es caballero.Entonces es verdadero queexactamente uno de ellos es unescudero. Este único escudero tieneque ser A, así C sería un caballero.De esta manera, si B es caballero,también lo es C. Por otra parte, si Bes escudero, entonces C tiene que ser

caballero, puesto que los tres nopueden ser escuderos (como hemosvisto). Así pues, en uno y otro caso,C tiene que ser caballero.

33.Para empezar, A no puede ser

caballero pues entonces su enunciadosería verdadero, en cuyo caso éltendría que ser escudero. Por tanto,A es escudero. De aquí también quesu enunciado sea falso. Si B fueracaballero, entonces el enunciado deA sería verdadero. De lo que se

sigue que B es también escudero. Asípues, A y B son los dos escuderos.

34.Supóngase que A es caballero.

Entonces su afirmación de que B esescudero ha de ser verdadera, así Bes entonces escudero. De lo que sesigue que la afirmación de B de queA y C son del mismo tipo es falsa,por tanto A y C son de tiposdiferentes. Y de ello se sigue que Ctiene que ser escudero (puesto que Aes caballero). Así, si A es caballero,

entonces C es escudero.Por otra parte, supóngase que A

es escudero. Entonces su afirmaciónde que B es escudero es falsa, deaquí que B sea caballero. Y de ellose sigue que la afirmación de B deque A y C son del mismo tipo esverdadera. Lo cual significa que Ctiene que ser escudero (puesto que Alo es).

Hemos mostrado queindependientemente de que A seacaballero o escudero, C tiene que serescudero. Por lo tanto C es escudero.

35.Me temo que este problema sólo

puede ser resuelto por análisis decasos.

Caso Uno: A es caballero.Entonces B, C son realmente delmismo tipo. Si C es caballero,entonces B es también caballero, deaquí que sea del mismo tipo que A,así C al ser veraz debe responder«Sí». Si C es escudero, entonces Bes también escudero (puesto que esdel mismo tipo que C), de lo que se

sigue que es de un tipo diferente alde A. Por lo tanto C, al ser escudero,debe mentir y decir «Sí».

Caso Dos: A es escudero.Entonces B, C son de tiposdiferentes. Si C es caballero,entonces B es escudero, de aquí quesea del mismo tipo que A. Así C, alser caballero, debe responder «Sí».Si C es escudero, entonces B, al serde un tipo diferente al de C, escaballero, y por lo tanto de un tipodiferente al de A. Entonces C, siendo

escudero, debe mentir cuando se lepregunta si A y B son de tiposdiferentes, y por ello responderá«Sí».

Así, en ambos casos C responde«Sí».

36.Para resolver este problema

tendrás que utilizar la informaciónque di de que tras la respuesta de miinterlocutor, yo sabía la verdaderasolución a mi pregunta.

Supóngase que mi interlocutor —

llamémosle A— hubiera respondido«Sí». ¿Podría haber sabido yoentonces si al menos uno de ellos eraun caballero? Ciertamente no. Porquepudiera ser que A era caballero yque hubiera respondido verazmente«Sí» (lo cual sería verdadero, puestoque al menos uno —a saber A— eraun caballero), o pudiera ser que losdos fueran escuderos, en cuyo caso Ahubiera respondido falsamente «Sí»(lo cual ciertamente sería falso,puesto que ninguno era un caballero).Así si A hubiese respondido «Sí», yo

no hubiera tenido medio de sabercuál era la solución. Pero yo dije quela sabía tras la respuesta de A. Por lotanto, A tuvo que haber respondido«No».

Ahora puedes ver fácilmente loque deben ser A y el otro —llamémosle B: Si A fuera caballero,no podía haber respondidoverazmente «No», así pues A esescudero. Puesto que su respuesta«No» es falsa, entonces hay presenteal menos un caballero. Por lo tanto,A es escudero y B caballero.

37.Sí, lo son. Si los dos son

caballeros, entonces ambosresponderán «Sí». Si los dos sonescuderos, entonces nuevamenteambos responderán «Sí». Si uno escaballero y el otro escudero,entonces el caballero responderá«No», y el escudero responderátambién «No».

38.Me he permitido,

ocasionalmente, una pequeña broma.

La clave que brindé era que elhombre en cuestión simulaba estarperezosamente recostado al sol. Deaquí se sigue que simulaba estarrecostado al sol. Y de aquí se sigueq ue simulaba y, por tanto, que esescudero. Así pues, su nombre esEnrique.

39.Para empezar, A no puede ser

caballero, porque un caballero jamásdiría que él es normal. Así, A esescudero o normal. Supóngase que A

fuera normal. Entonces el enunciadode B sería verdadero, de donde sesigue que B es caballero o normal,pero B no puede ser normal (puestoque A lo es), de modo que B escaballero. Queda pues que C seaescudero. Pero un escudero no puededecir que él no es normal (porque unescudero realmente no es normal), yasí tenemos una contradicción. Por lotanto, A no puede ser normal. Dedonde se sigue que A es escudero.Entonces el enunciado de B es falso,de modo que B tiene que ser normal

(no puede ser un escudero puesto queA lo es). Así pues, A es el escuderoy B es el normal, por tanto C es elcaballero.

40.Lo interesante de este problema

es que es imposible saber si es Aquien está diciendo la verdad perono es caballero, o si es B quien estádiciendo la verdad pero no escaballero; todo lo que podemosdemostrar es que al menos uno deellos tiene esa propiedad.

O A está diciendo la verdad o nolo está. Demostraremos: (1) Si loestá, entonces A está diciendo laverdad pero no es caballero; (2) Sino lo está, entonces B está diciendola verdad pero no es caballero.

(1) Supóngase que A estádiciendo la verdad. Entonces B esrealmente caballero. De aquí se sigueque B está diciendo la verdad, demodo que A no es caballero. Asípues, si A está diciendo la verdadentonces A es una persona que estádiciendo la verdad pero no es

caballero.(2) Supóngase que A no está

diciendo la verdad. Entonces B no escaballero. Pero B tiene que estardiciendo la verdad, puesto que A nopuede ser caballero (ya que A noestá diciendo la verdad). Así pues,en este caso B está diciendo laverdad pero no es caballero.

41.Mostraremos que si B está

diciendo la verdad entonces no escaballero, y que si no está diciendo

la verdad entonces A está mintiendopero no es escudero.

(1) Supóngase que B estádiciendo la verdad. Entonces A esescudero, de donde se sigue que Aciertamente no está diciendo laverdad, y de ello se sigue a su vezque B no es caballero. Así pues, eneste caso B está diciendo la verdadpero no es caballero.

(2) Supóngase que B no estádiciendo la verdad. Entonces A no esrealmente escudero. Pero estáciertamente mintiendo sobre B,

puesto que B no puede ser caballerosi no está diciendo la verdad. Asípues en este caso A está mintiendopero no es escudero.

42.Para empezar, A no puede ser

caballero, porque no puede serverdad que un caballero sea de rangoinferior a ningún otro. Ahora bien,supóngase que A es escudero.Entonces su enunciado es falso, dedonde se sigue que no es de rangoinferior a B. Luego B tiene que ser

también escudero (porque si no lofuera, entonces A sería de rangoinferior a B). Así pues, si A esescudero, también lo es B. Pero estoes imposible, porque B estácontradiciendo a A, y dosafirmaciones contradictorias nopueden ser ambas falsas. Por lotanto, la suposición de que A esescudero conduce a unacontradicción. De aquí que A no seaescudero. De donde se sigue que Atiene que ser normal.

Y ahora, ¿qué decir acerca de B?

Bien, si fuera caballero, entonces A(al ser normal) sería efectivamentede rango inferior a B, de lo que sesigue que el enunciado de A seríaverdadero, de lo cual se sigue a suvez que el enunciado de B seríafalso, y tendríamos que enfrentarnoscon la imposibilidad de que uncaballero emita un enunciado falso.Así pues, B no es caballero.Supóngase que B fuera escudero.Entonces el enunciado de A seríafalso, de donde se sigue que elenunciado de B sería verdadero, y

tendríamos un escudero formulandoun enunciado verdadero. Por lo tantoB tampoco puede ser escudero. Dedonde se sigue que B es normal.

Así pues, A y B son ambosnormales. Y así también, elenunciado de A es falso y elenunciado de B es verdadero. Deeste modo el problema admite unasolución completa.

43.Paso 1: Mostramos

primeramente que del enunciado de

A se sigue que C no puede sernormal. Bien, si A es un caballeroentonces B es realmente de rangosuperior a C, por tanto B tiene queser normal y C tiene que serescudero. Así pues en este caso, C noes normal. Supóngase que A esescudero. Entonces B no esrealmente de rango superior a C, dedonde se sigue que B es de rangoinferior, y por tanto B tiene que sernormal y C tiene que ser caballero.Así pues, tampoco en este caso es Cnormal. El tercer caso posible es que

A sea normal, en cuyo caso Cciertamente no lo es (puesto que sólouno de los tres, A, B, C, es normal).Así pues, C no es normal.

Paso 2: Por un razonamientosimilar, del enunciado de B se sigueque A no es normal. Así pues, ni A niC son normales. Por lo tanto B esnormal.

Paso 3: Puesto que C no esnormal, entonces es caballero oescudero. Supóngase que escaballero. Entonces A es escudero(puesto que B es normal), de donde

se sigue que B es de rango superior aA. Así C, al ser caballero,respondería verazmente «B es derango superior». Por otra parte,supóngase que C es escudero.Entonces A tiene que ser caballero, yasí B no es de rango superior a A.Entonces C, al ser escudero, mentiríadiciendo, «B es de rango superior aA». Así pues, independientemente deque C sea caballero o escudero,responde que B es de rango superiora A.

44.El señor A no puede ser

escudero, porque entonces su mujersería caballero y por tanto no normal,de modo que el enunciado del señorA tendría que haber sido verdadero.Similarmente, la señora A no puedeser escudero. Por lo tanto, ninguno delos dos es tampoco caballero (o laesposa tendría que ser entoncesescudero), de modo que ambos sonnormales (y ambos mienten).

45.

Para el segundo problema, larespuesta es la misma. ¿Por qué?

46.Resulta que los cuatro son

normales, y que los tres enunciadosson mentira.

Ante todo, la señora B tiene queser normal, porque si fuera caballerosu marido sería escudero, de dondese sigue que ella no habría mentidodiciendo que él era caballero. Si ellafuera escudero, su marido seríacaballero, pero entonces ella no

habría dicho la verdad a esterespecto. Por lo tanto, la señora B esnormal. De aquí se sigue que tambiénel señor B es normal. Esto significaque el señor y la señora A estabanlos dos mintiendo. Por lo tanto,ninguno de ellos es caballero, y nopueden ser ambos escuderos, demodo que los dos son normales.

SOLUCIONES DE ALICIA EN ELBOSQUE DEL OLVIDO

47.Los únicos días que el León

puede decir «Ayer mentí» son loslunes y jueves. Los únicos días queel Unicornio puede decir «Ayermentí» son los jueves y domingos.Por lo tanto, el único día en el queambos pueden decir esto es eljueves.

48.El primer enunciado del león

implica que es lunes o jueves. Elsegundo enunciado implica que no esjueves. Por lo tanto es lunes.

49.¡En ningún día de la semana es

esto posible! Solamente podría hacerel primer enunciado los lunes y losjueves; solamente podría hacer elsegundo los miércoles y losdomingos. Así pues, no hay ningúndía en el que el León pueda hacerambos enunciados.

50.

¡Esta es una situación muydiferente! Ilustra estupendamente ladiferencia entre hacer dosenunciados separadamente y hacer unenunciado que sea la conjunción delos dos. En efecto, dadoscualesquiera dos enunciados X e Y siel enunciado «X e Y» es verdadero,entonces se sigue, desde luego, que Xe Y son verdaderos separadamente;pero si la conjunción «X e Y» esfalsa, entonces solamente se sigueque al menos uno de ellos es falso.

Ahora bien, el único día de la

semana en el que podría serverdadero que el León mintió ayer yque mentirá mañana de nuevo es elmartes (es éste el único día que hayentre dos de los días en los que alLeón le toca mentir). Así, el día enque el León dijo esto no podría sermartes, pues los martes eseenunciado es verdadero, pero elLeón no hace enunciados verdaderoslos martes. Por lo tanto no es martes,pues el enunciado del León seríafalso, ya que el León está mintiendo.Por lo tanto el día tiene que ser o

lunes o miércoles.

51.Si el primer enunciado es

verdadero, entonces el primero delos hermanos es en realidadTweedledum y, por consiguiente, elsegundo es Tweedledee y el segundoenunciado es también verdadero. Siel primer enunciado es falso,entonces el primero de los hermanoses efectivamente Tweedledee y elsegundo es Tweedledum y, porconsiguiente, el segundo enunciado

es también falso. Por lo tanto, oambos enunciados son verdaderos, oambos enunciados son falsos. Nopueden ser los dos falsos puesto quelos hermanos jamás mienten elmismo día. Por lo tanto, ambosenunciados tienen que serverdaderos. Así, el primero de loshermanos es Tweedledum y elsegundo es Tweedledee. Además, eldía del encuentro tiene que serdomingo.

52.

¡Esto ya es harina de otro costal!El segundo enunciado es ciertamenteverdadero. Ahora bien, se nos diceque el día de la semana no es elmismo que el del problema anterior,de modo que se trata de un díalaborable. Por consiguiente, nopuede ser que ambos enunciadossean verdaderos, de modo que elprimero tiene que ser falso. Por lotanto, el primero de ellos esTweedledee y el segundoTweedledum.

53.La primera respuesta era

claramente una mentira, puesto que elencuentro tuvo que haber tenido lugarun día laborable. Por lo tanto el otrotuvo que haber respondidoverazmente y dijo «No».

54.El enunciado (2) del primero de

los hermanos es claramente falso;por lo tanto, el enunciado (1) estambién falso (puesto que se emite elmismo día). Por consiguiente, el

primero de los hermanos no mientelos sábados, de modo que el segundomiente los sábados. El segundo delos hermanos dice la verdad este día(puesto que el primero de ellosmiente), de modo que ahora es lunes,martes o miércoles. El único de entreestos días en el que es verdad quementirá mañana es el miércoles. Asípues, el día es miércoles.

55.Su enunciado es ciertamente falso

(pues si fuese verdadero, entonces

hoy mentiría, lo cual es unacontradicción). Por lo tanto, al menosuna de las dos cláusulas «Hoymiento», «Soy Tweedledee» tieneque ser falsa. La primera cláusula(«Hoy miento») es verdadera, por lotanto la segunda cláusula tiene queser falsa. Por consiguiente, se tratade Tweedledum.

56.Sí lo sería. Si él mintiese hoy,

entonces la primera cláusula de ladisyunción sería verdadera y, por lo

tanto, todo el enunciado seríaverdadero, lo cual es unacontradicción. Por lo tanto, él dicehoy la verdad. De este modo suenunciado es verdadero: o él mientehoy o es Tweedledee. Puesto que hoyno miente, entonces él esTweedledee.

57.Ambos enunciados son

obviamente verdaderos, de modo quees domingo. No es posibledeterminar quién es quién.

58.Para comenzar, es imposible que,

en domingo, cualquiera de los doshermanos mienta y diga que no esdomingo. Por lo tanto, hoy no puedeser domingo. De este modo, elprimero está diciendo la verdad, y(puesto que no es domingo) elsegundo está, consiguientemente,mintiendo hoy. El segundo de loshermanos dice que hoy es lunes, peroestá mintiendo, de modo que hoytampoco es lunes.

Ahora bien, el segundo ha dicho

también la mentira de que el Leónmintió ayer; por lo tanto, ayer era enrealidad uno de los días en los que elLeón dice la verdad. Esto significaque ayer era jueves, viernes, sábadoo domingo, de modo que hoy esviernes, sábado, domingo o lunes.Hemos eliminado ya domingo ylunes, de modo que hoy tiene que serviernes o sábado.

A continuación observamos quemañana es uno de los días en los quele toca mentir a Tweedledee (puestoque el primero de los hermanos, que

dice la verdad, así lo dijo). Por lotanto, hoy no puede ser sábado.Consecuentemente, hoy es viernes.

De esto se sigue además queTweedledee miente los sábados y,por tanto, que es como el Unicornio.Además, el primero de los hermanosdice hoy, que es viernes, la verdad;por lo tanto se trata de Tweedledum.Esto lo demuestra todo.

59.Supongamos que el primero de

los hermanos dijo la verdad.

Entonces el sonajero pertenece aTweedledee. El segundo hablantetiene que estar mintiendo (puesto queno es domingo), por lo tanto sunombre no es realmente Tweedledee;es Tweedledum. Por lo tanto, elprimer hablante es Tweedledee ydebería recibir el sonajero.

Supongamos que el primero delos hermanos mintió. Entonces elsonajero pertenece a Tweedledum.Entonces el segundo de los hermanosdijo la verdad, de modo que es enrealidad Tweedledee. Pero entonces

el sonajero pertenece otra vez alprimero de los hermanos. Así, encualquier caso, el sonajero perteneceal primer hablante.

60.Las posibilidades son cero.

Supongamos que su enunciado esverdadero. Entonces el propietariodel sonajero miente hoy y, por lotanto, no puede ser el hablante.Supongamos por otra parte que suenunciado es falso. Entonces elpropietario del sonajero dice hoy la

verdad y por lo tanto, no puede ser,nuevamente, el hablante.

61.Humpty Dumpty tenía razón.

Supongamos que el hablante miente.Entonces al propietario del sonajerono le toca hoy decir la verdad, hoy letoca mentir; por consiguiente elpropietario ha de ser el hablante.Pero supongamos que el hablanteestá diciendo la verdad. Entonces alpropietario del sonajero le toca,efectivamente, decir hoy la verdad.

Si es un día laborable, entonces elpropietario tiene que ser él, pero sise trata de un domingo, entonces aambos hermanos les toca hoy decir laverdad, de modo que cualquiera delos dos puede ser el propietario.

En resumen, si se trata de un díalaborable, entonces el propietario es,definitivamente, el hablante. Si setrata de un domingo, entonces lasposibilidades de que él sea elpropietario están igualadas. Por lotanto, las posibilidades de que él seael propietario son 6 ½ sobre 7, o 13

sobre 14.

62.La clave es aquí que Alicia supo

a quién dárselo. Si el segundo de loshermanos hubiese respondido «Sí»,entonces uno de ellos habría estadodiciendo la verdad y el otromintiendo y, por lo tanto, Alicia nohubiera tenido manera de saber aquién pertenecía el sonajero. Pero hedicho que ella lo supo, ya que elsegundo de los hermanos norespondió «Sí». Por consiguiente, o

ambos estaban mintiendo o ambosestaban diciendo la verdad. Estosignifica que ambos estaban diciendola verdad y que tenia que haber sidodomingo. Así pues, Alicia se lo dioal primero de los hermanos.

63.Sí, Tweedledoo tiene que existir;

Alicia estaba hablándoleprecisamente a él.

El hablante afirmó que lossiguientes enunciados eran ambosverdaderos:

(1) Él es o Tweedledee oTweedledum.

(2) A él le toca mentir hoy.Si esta afirmación fuera

verdadera, entonces (1) y (2) seríanambos verdaderos; por lo tanto (2)sería verdadero, lo cual es unacontradicción. Por consiguiente suafirmación es falsa, de modo que (1)y (2) no pueden ser a la vezverdaderos. Ahora bien. (2) esverdadero (puesto que su afirmaciónen este día es falsa), de modo quetiene que ser (1) lo que no es

verdadero. Por consiguiente él no esni Tweedledum ni Tweedledee, demodo que tiene que ser Tweedledoo.

64.El primero de ellos no puede ser

en realidad Tweedledoo (puesto queTweedledoo miente siempre), demodo que es Tweedledee oTweedledum, pero está mintiendo.Entonces el segundo también estámintiendo. Si el segundo fueseTweedledee o Tweedledum,entonces Tweedledee y Tweedledum

mentirían el mismo día, lo cual esimposible. Por lo tanto el segundotiene que ser Tweedledoo.

65.Esta versión es pura y

simplemente, falsa.

66.Quienquiera que sea el segundo

de los hermanos, su enunciado esciertamente verdadero. (Creo queDescartes señaló que cualquiera quedice que existe está haciendo unenunciado verdadero; ciertamente

jamás me he encontrado con alguienque no exista.) Puesto que el segundoenunciado es verdadero y no esdomingo, entonces el primerenunciado tiene que ser falso. Así, siesta versión de la narración escorrecta, Tweedledoo no existe.

SOLUCIÓN AL EPÍLOGOLa tercera versión de la

narración es definitivamente falsa.Además, ninguna de las narracionesfue contada en sábado o en domingo.La única manera de que esas cuatro

narraciones puedan encajar en cuatrodías consecutivos que satisfagan esascondiciones es que la tercera versiónfuese contada en un miércoles. Deeste modo la última versión fuecontada un jueves y, por lo tanto,debe ser verdadera. Así pues,Tweedledoo no existe en realidad.(Estoy completamente seguro, dichosea de paso, que si Tweedledoohubiese existido realmente, LewisCarroll lo hubiera sabido).

Por lo que respecta a Alicia,puesto que la cuarta versión es la

única realmente verificada, no tienepor qué tener ninguna dificultad paradarse cuenta de que todos esos«temores de Tweedledoo» carecíande fundamento.

SOLUCIONES DE EL MISTERIO DE LOSCOFRES DE PORCIA

67A.El enunciado del cofre de oro y

el del de plomo dicen lo contrario,luego uno debe de ser cierto. Si a losumo uno de los tres enunciados esverdadero, el del cofre de plata esfalso y por tanto es éste el que tieneel retrato.

Este problema también se puederesolver de la siguiente forma: si elretrato estuviera en el cofre de oro,t e n d r í a m o s dos enunciados

verdaderos (el del cofre de oro y eldel de plomo), lo que es contrario alos datos que se nos dan. Si el retratoestuviera en el cofre de plomo,volveríamos a tener dos enunciadosverdaderos (esta vez en el cofre deplomo y en el de plata). De maneraque el retrato tiene que estar en elcofre de plata.

Ambos caminos son correctos, loque es una muestra más de cómo enmuchos problemas existen diferentesformas correctas de llegar a la mismaconclusión.

67B.Si el retrato estuviera en el cofre

de plomo, los tres enunciados seríanverdaderos, lo que se opone a losdatos que se nos dan. Si el retratoestuviera en el cofre de plata, los tresenunciados serían falsos, lo quetambién es contrario a los datosdados. Así pues, el retrato tiene queestar en el cofre de oro (y tendremosque los dos primeros enunciados sonciertos y el tercero es falso, lo queestá de acuerdo con los datos que senos han dado).

68A.De entrada podemos descartar el

cofre de plomo porque, si el retratoestuviera en él, sus dos enunciadosserían falsos, de manera que elretrato tiene que estar o en el de oroo en el de plata. El primer enunciadodel cofre de oro y el del de plataconcuerdan, luego ambos seránverdaderos o falsos. Si los dos sonfalsos, los segundos enunciadosserían verdaderos, pero no puedenserlo porque son contradictorios. Asípues, los primeros enunciados son

los dos verdaderos, de manera que elretrato no puede estar en el cofre deoro, lo que prueba que el retrato estáen el cofre de plata.

68B.Si el retrato estuviera en el cofre

de oro, éste y el de plata tendrían dosenunciados falsos cada uno. Siestuviera en el de plata, éste y el deplomo tendrían un enunciado falso yun enunciado verdadero cada uno. Demanera que el retrato está en el cofrede plomo (y los enunciados del cofre

de plata son los dos verdaderos, losdel de plomo, ambos falsos y los delde oro, uno verdadero y otro falso).

69A.Supongamos que el cofre de

plomo fuera obra de Bellini,entonces el enunciado seríaverdadero, así que los otros doscofres tendrían que ser obra deCellini, lo que querría decir que susenunciados serían ambos falsos: elenunciado del cofre de plata es falso,luego la daga está en el cofre de

plata. Así pues, si el cofre de plomoes obra de Bellini, la daga está en elcofre de plata.

Supongamos ahora que el cofrede plomo fuera obra de Cellini, suinscripción sería falsa y, por tanto,por lo menos dos cofres serían obrade Bellini, lo que querría decir quetanto el cofre de oro como el de plataserian obra de Bellini (ya que el deplomo suponemos que es de Cellini).Luego los enunciados del cofre deoro y del de plata serán verdaderosy, por tanto, si el del cofre de oro es

verdadero, el puñal estará en el deoro.

Donde no podrá estar ni en uno nien otro caso es en el de plomo, quees el que deberá elegir elpretendiente.

69B.Si el cofre de plata es obra de

Bellini, el enunciado será verdadero,en cuyo caso el cofre de oro seráobra de Cellini. Supongamos ahoraque el cofre de plata fuera de Cellini,no sería verdad que uno y nada más

que uno de los cofres fuera unBellini, lo que quiere decir que elcofre de oro es un Cellini (porque sifuera un Bellini, entonces sí seríaverdad que uno y nada más que unoera obra de Bellini). Así pues, sea elde plata de Bellini o de Cellini, loque sí es seguro es que el de oro esde Cellini y, por tanto, el enunciadodel cofre de oro es falso, luego elretrato está en el cofre de oro.

69C.Demostraremos primero que el

cofre de plomo tiene que ser deBellini. Supongamos que fuera unCellini; mi enunciado será falso, loque querría decir que tendría quehaber por lo menos dos Bellinis, elde plata y el de oro, pero esto esimposible ya que el retrato no puedeestar a la vez en el cofre de plata yen el de oro. Así pues, el de plomoes en realidad el Bellini y, por tanto,su enunciado es verdadero, por loque hay, por lo menos, dos Cellinis.Esto quiere decir que el cofre de oroy el de plata son Cellinis y, por tanto,

los enunciados de uno y otro sonfalsos, lo que quiere decir que elretrato no está ni en el cofre de oro nien el de plata. Está en el de plomo.Hemos demostrado también que elcofre de plomo es un Bellini y quelos otros dos son Cellinis, lo quecontesta la segunda pregunta.

70.El pretendiente tendría que

haberse dado cuenta que sin ningunainformación sobre la verdad ofalsedad de cualquiera de las

oraciones, y sin ninguna informaciónsobre la relación de sus valores deverdad, éstas pueden decir cualquiercosa y el objeto (el retrato o la daga)puede estar en cualquier lado.

¡Bendito sea Dios!, puedo cogercuantos cofres quiera y meter unobjeto en uno de ellos y luego ponerlas inscripciones que se me ocurranen las tapas; tales inscripciones noproporcionan ninguna información.Así es que Porcia efectivamente nomentía, se limitó a decir que elobjeto en cuestión estaba en una de

las cajas y eso era verdad.La situación habría sido muy

diferente en cualquiera de lashistorias de las otras Porcias, si elobjeto no hubiera estado donde elpretendiente imaginaba; en ese casolas Porcias habrían metido unenunciado falso en algún punto(como en seguida veremos).

Otra manera de enfocar lacuestión es que el error delpretendiente fuera el suponer quecada uno de los enunciados era overdadero o falso. Veamos más

despacio la primera prueba dePorcia N–ésima con los dos cofres:La inscripción del cofre de oro—«El retrato no está aquí»— esefectivamente o verdadera o falsa, yaque el retrato o está o no está en elcofre de oro; y resultó ser verdaderaya que Porcia había metido el retratoen el cofre de plata. Ahora bien,dado que Porcia había metido elretrato en el cofre de plata, ¿elenunciado de tal cofre era verdaderoo falso? No podía ser ni lo uno ni lootro sin caer en la paradoja.

Supongamos que fuera verdad,entonces uno y nada más que uno delos enunciados sería verdadero pero,dado que el primer enunciado (el delcofre de oro) es verdadero, esteenunciado ha de ser falso. Así pues,si es verdadero, es falso. Por otrolado, supongamos que el enunciadodel cofre de plata fuera falso,entonces el primero sería verdad, elsegundo falso, lo que significa queuno y nada más que uno de losenunciados es verdadero, que es loque afirma esta inscripción y, por

tanto, ¡tendría que ser verdadera!Vemos, pues, que tanto una asuncióncomo la otra nos llevan a unacontradicción.

Será de provecho comparar estaprueba con la segunda de Porcia III,en la que también empleaba sólo doscofres. El cofre de oro decía lomismo que el de oro de nuestraPorcia —«El retrato no está aquí»,pero el de plata, en vez de decir«Uno y nada más que uno de estosdos enunciados es verdad», decía«Uno y nada más que uno de estos

dos cofres es obra de Bellini». Ellector quizás se pregunte quéimportante diferencia hay entre estosdos enunciados, dado que Bellinihacía sólo inscripciones verdaderasy Cellini sólo falsas. Pues bien, ladiferencia, aunque sutil, es básica. Elenunciado «Uno y nada más que unode estos dos cofres es obra deBellini» ha de ser verdadero o falso:es una proposición histórica sobre elmundo físico —o es o no es verdadque Bellini hizo uno y nada masqueuno de los dos cofres. Supongamos,

en el problema de Porcia III, que elretrato hubiera aparecido en el cofrede plata en lugar de en el de oro,¿qué conclusión sacaríamos?, ¿que elenunciado del cofre de plata no erani verdadero ni falso? ¡Esa sería laconclusión equivocada! Elenunciado, como he señalado, es overdadero o falso. Lo correcto seríaconcluir que si el retrato hubieraestado en el cofre de plata, Porcia IIIhabría mentido al decir lo que dijode Bellini y Cellini. En cambio, laPorcia moderna podía poner el

retrato en el cofre de plata sin mentirya que no había dicho nada de losvalores de verdad de los enunciados.

Toda la cuestión de los valoresde verdad de enunciados que serefieren a sus propios valores deverdad es un aspecto muy sutil ybásico de la lógica moderna del quetrataremos en otros capítulos.

SOLUCIONES DE LOS ARCHIVOS DELINSPECTOR CRAIG

71.Primeramente mostraré que al

menos uno de los dos, A y C, esculpable. Si B es inocente, entonceses obvio que A y/o C es culpable —puesto que por (1), nadie fuera de A,B, C es culpable. Si B es culpable,entonces tiene que haber contado conun cómplice (ya que no sabeconducir), así nuevamente A o C hande ser culpables. Por tanto, A o C (oambos) son culpables. Si C es

inocente, entonces A ha de ser elculpable. Por otra parte, si C esculpable, entonces, por el enunciado(2), A es también culpable. Porconsiguiente, A es culpable.

72.Esta solución es aún más simple.

Si A es inocente, entonces, puestoque C es inocente, B ha de serculpable —por (1). Si A es culpable,entonces, por (2) tenía un cómplice,que no podía ser C —por (3)—, deaquí que tuviera que ser B. Así, en

uno y otro caso, B es culpable.

73.Supóngase que B fuera inocente.

Entonces uno de los gemelos ha deser culpable. Este gemelo tuvo quehaber contado con un cómplice, queno podía ser B; de ahí que tuvo quehaber sido el otro gemelo. Pero estoes imposible, puesto que uno de losgemelos estaba en Dover en esetiempo. Por tanto B es culpable. Ycomo B trabaja solo siempre, los dosgemelos son inocentes.

74.B ha de ser culpable. Esto puede

ser mostrado por cualquiera de losargumentos siguientes.

Argumento Uno: Supóngaseque B fuera inocente. Entoncessi A fuera culpable, C seríatambién culpable —por elenunciado (1)—, pero estosignificaría que A trabajaba conC, lo cual contradice alenunciado (3). Por tanto A debeser inocente. Entonces C es el

único culpable, lo quecontradice al enunciado (2). Porconsiguiente B es culpable.

Argumento Dos: Unargumento más directo es éste:(a) Supóngase que A esculpable. Entonces por (1), B yC no pueden ser los dosinocentes, de aquí que A debahaber tenido un cómplice. Estecómplice no pudo haber sido C—por (3)—, de ahí que debehaber sido B. Así si A esculpable, B es también

culpable, (b) Supóngase que Ces culpable. Entonces tenía uncómplice —por (2)— que nopodía ser A —por (3)—, deaquí que de nuevo deba ser B.(c) Si ni A ni C son culpables,¡entonces ciertamente lo es B!

75.El Inspector Craig acusó al Sr.

McGregor de mantener falsamenteque hubo un robo, ¡cuando de hechono pudo haber habido ninguno! Surazonamiento fue como sigue.

Paso Uno: Supóngase que Afuera culpable. Entonces teníaexactamente un cómplice —por(2). Entonces uno de los dos, Bo C, es culpable y el otroinocente. Esto contradice a (3) y(5), que conjuntamente implicanque B y C son o ambosinocentes o ambos culpables.Por lo tanto A debe serinocente.

Paso Dos: Nuevamente, por(3) y (5), B y C son ambosculpables o ambos inocentes. Si

los dos fueran culpables,entonces serían los únicosculpables (puesto que A esinocente). Entonces habríaexactamente dos culpables, locual, por el enunciado (4)implicaría que A es culpable.Ello es una contradicción,puesto que A es inocente. Portanto B, C, son ambos inocentes.

Paso Tres : Ahora seestablece que A, B, C son todosinocentes. Pero, por elenunciado (1) nadie distinto de

A, B, C, ha estado en la tiendael día del robo y no ha podidocometer el delito. Ergo, no huborobo y McGregor estabamintiendo.

EPÍLOGO NOTA 75.Enfrentado a la irrefutable lógica

de Craig, McGregor se deshizo yconfesó que ciertamente habíamentido y que estaba tratando decobrar el seguro.

76.Si B era culpable, entonces por

(2) habría exactamente dos personasimplicadas; si C era culpable,entonces por (3) habría exactamentetres personas implicadas. Peroambas consecuencias no puedendarse simultáneamente, por ello almenos una de las dos personas, B oC, es inocente. A es tambiéninocente, así hay a lo más dosculpables. Por tanto, C no pudo tenerexactamente dos cómplices, así por(3) C debe ser inocente. Si B esculpable, entonces tiene exactamenteun cómplice, que debe haber sido D

(ya que A, C son ambos inocentes).Si B es inocente, entonces A, B, Cson los tres inocentes, en cuyo casoD debe ser culpable. Así,independientemente de que B seaculpable o inocente, D debe serculpable. Por tanto D es culpable.

77.El fiscal dijo, en efecto, que el

acusado no pudo cometer el delito ensolitario. El abogado defensor negóesto, lo que es tanto como decir queel acusado cometió el delito en

solitario.

78.Este caso es extremadamente

simple. Por (1), si A es inocente,entonces C es culpable (porque si Aes inocente entonces el enunciado, «oA es inocente o B es culpable» esverdadero). Por (2), si A es inocenteentonces C es inocente. Por tanto siA es inocente, entonces C es a la vezculpable e inocente, lo cual esimposible. Por tanto A debe serculpable.

79.Los dos son B y C; al menos uno

de ellos ha de ser culpable. Puessupóngase que A es inocente.Entonces B o C deben ser culpablespor (1). Por otra parte supóngase queA es culpable. Si B es culpable,entonces ciertamente uno al menos deentre B y C es culpable. Perosupóngase que B es inocente.Entonces A es culpable y B inocente,de donde por (2), C debe serculpable; así nuevamente o B o C sonculpables.

80.Mostramos primeramente que si

A es culpable, también lo es C. Bien,supóngase que A es culpable.Entonces por (2), o B o C sonculpables. Si B es inocente, entoncesha de ser C el culpable. Perosupóngase que B es culpable.Entonces A y B son ambos culpables,de ahí que por (1) C sea culpabletambién. Esto prueba que si A esculpable, también lo es C. Por tanto,por (3), si C es culpable también loes D. Combinando estos dos hechos,

vemos que si A es culpable, tambiénlo es D. Pero por (4), si A esinocente, también lo es D. Porconsiguiente, con independencia deque A sea culpable o inocente, Dtiene que ser culpable. Así D esclaramente culpable. Todos losrestantes son dudosos.

81.La respuesta es que todos son

culpables. Por (3), si D es inocenteentonces A es culpable. Por (4), si Des culpable, entonces A es culpable.

Así, tanto si D es inocente oculpable, A debe ser culpable. Deahí que por (1), B sea tambiénculpable. Por tanto, por (2), o C esculpable o A es inocente. Perosabemos ya que A no es inocente, porconsiguiente C debe ser culpable.Finalmente, por (3), si D es inocenteentonces C es inocente. Pero hemosprobado que C no es inocente, por lotanto D debe ser culpable. Así todosellos son culpables.

82.

Sí, fue prudente; eso lo exculpó.Porque supóngase que el acusado escaballero. Entonces su enunciado esverdadero, de ahí que el culpable seaun escudero, y de ahí que el acusadodeba ser inocente. Por otra partesupóngase que el acusado esescudero. Entonces su enunciado esfalso, así el delincuente es de hechoun caballero, y de ahí una vez másque el acusado sea inocente.

83.Supóngase que el fiscal era

escudero. Entonces (1) y (2) seríanambos falsos. Puesto que (1) esfalso, entonces X es inocente. Puestoque (2) es falso, entonces X e Y sonambos culpables —de aquí que Xsea culpable. Esto es unacontradicción. Así pues, el fiscaldebe ser caballero. De aquí que Xsea realmente culpable, y puesto queambos no son culpables, Y debe serinocente. Por consiguiente X esculpable, Y es inocente, y el fiscal escaballero.

84.Si el fiscal fuera escudero,

entonces sería el caso que (1) X e Yson ambos inocentes; (2) X esculpable. Nuevamente esto es unacontradicción, así pues el fiscal escaballero, X es inocente, e Y esculpable.

85.Una vez más, supóngase que el

fiscal era escudero. Entonces (1) esfalso, por lo cual X es culpable e Yes inocente. De ahí que X sea

culpable. Pero (2) es asimismo falso,de ahí que X sea inocente; otracontradicción. Y de ahí que el fiscalsea otra vez un caballero. Porconsiguiente, por (2), X es culpable.Entonces por (1) (puesto que X no esinocente), Y ha de ser culpable. Asípues, esta vez X e Y son ambosculpables.

86.A no puede ser caballero, porque

si lo fuera sería culpable y nohubiera mentido diciendo que era

inocente. Tampoco A puede serescudero, porque si lo fuera, suenunciado sería falso, con lo cualsería culpable y también caballero.Por consiguiente A es normal, y deaquí inocente también. Puesto que Aes inocente, el enunciado de B esverdadero. Por lo tanto B no esescudero; es caballero o normal.Supóngase que B fuera normal.Entonces el enunciado de C seríafalso, de aquí que C tuviera que serescudero o normal. Esto significaríaque ni A, ni B, ni C son un caballero,

de ahí que ninguno de ellos seríaculpable, contrariamente a lo que sehabía establecido. Por consiguiente,B no puede ser normal, debe sercaballero y, por tanto, culpable.

87.Antes de la llegada de Craig:

Para empezar{4}, A no puede serescudero, porque si lo fuera suenunciado sería falso, de ahí quefuera culpable, contrariamente a lacondición dada de que el escuderono es culpable. Por consiguiente A es

o caballero o normal.

Posibilidad Una: A es caballero:Entonces su enunciado es verdadero,de ahí que sea inocente. Entonces elenunciado de B es tambiénverdadero, de ahí que B seacaballero o normal. Pero A es elcaballero, así pues B es normal. Estodeja a C como el escudero. Por ello,puesto que se sabe que el escuderono es culpable, B es el culpable.

Posibilidad Dos: A es normal e

inocente: Entonces el enunciado de Bes nuevamente verdadero, de aquíque B sea el caballero (puesto que Aes el normal). Así, puesto que A esinocente, y C, siendo el escudero, esinocente, el culpable es B.

Posibilidad Tres : A es normal yculpable: Entonces el enunciado delfiscal era verdadero, así el fiscaldebe ser caballero (nuevamente, ésteno puede ser normal, puesto que lo esA). Esto deja a B como el escudero.

Resumamos las tresposibilidades:

Acusado Abogadodefensor Fiscal

Caballeroinocente

Normalculpable

Escuderoinocente

Normalinocente

Caballeroculpable

Escuderoinocente

Normalculpable

Escuderoinocente

Caballeroinocente

Las tres posibilidades están deacuerdo con los enunciados emitidosantes de la llegada de Craig.

Después de la llegada de Craig:Craig preguntó al fiscal si eraculpable. Ahora bien, Craig ya sabíaque era inocente (porque en las tresposibilidades anteriores, el fiscal esinocente); así pues la respuesta delfiscal sólo le servía a Craig parasaber si éste era caballero oescudero. Si hubiera respondido converdad «No», revelándose comocaballero, entonces Craig hubierasabido que la posibilidad (3) era dehecho la única, de aquí que nohubiera tenido que hacer más

preguntas.Pero tras la respuesta del fiscal,

Craig hizo más preguntas. Porconsiguiente, el fiscal tenía que habersido escudero y haber respondido«Sí». Así ahora Craig (como tambiéntú) sabe que la posibilidad (3) estádescartada, lo cual deja a (1) y (2).Esto significa que el abogadodefensor es de hecho el culpable,pero queda aún por saber, de entre elacusado y el abogado defensor, cuáles el caballero y cuál es el normal.Craig preguntó entonces al acusado

si el fiscal era culpable, y cuando lefue dada la respuesta, conoció ya lasituación total. Bien, un caballerohubiera tenido que responder «No» aesta cuestión, mientras que un normalpodía haber respondido o «Sí» o«No». Si la respuesta hubiera sido«No», Craig no hubiera tenido mediode saber si el acusado era caballeroo normal. Pero Craig lo sabía, porconsiguiente tuvo que obtener comorespuesta un «Sí». Por todo ello, elacusado es normal y el abogadodefensor es caballero (aunque

culpable).

SOLUCIONES DE CÓMO EVITAR A LOSHOMBRES LOBO…

88.C es o caballero o escudero.

Supóngase que es caballero.Entonces hay realmente al menos dosescuderos, de donde se sigue quetienen que ser A y B. Entonces Btiene que ser hombre lobo (puestoque dice que no lo es, sino que esescudero). Así, si C es caballero,entonces el hombre lobo es escudero(puesto que tiene que ser B). Por otraparte, supóngase que C es escudero.

Entonces no es verdad que al menosdos de ellos son escuderos, de modoque hay a lo sumo un escudero. Esteescudero tiene que ser C, de dondese sigue que A y B son amboscaballeros. Puesto que A es uncaballero y afirma que C es hombrelobo, entonces C es realmente unhombre lobo. Así, pues, en este caso,el hombre lobo es de nuevo unescudero —a saber, es C.

Por lo tanto, independientementede si C es caballero o escudero, elhombre lobo es un escudero (aunque

una persona diferente en cada caso).Así, la respuesta a la primeracuestión es que el hombre lobo es unescudero. Asimismo, hemosdemostrado que el hombre lobo es oB o C; de donde se sigue que sideseas elegir a alguien queprecisamente no sea hombre lobo,entonces elige a A.

89.Primero mostramos que C es

caballero. Supóngase que fueraescudero. Entonces su enunciado

sería falso, de donde se sigue quehabría al menos dos caballeros.Entonces A y B tendrían que serambos caballeros (puesto que se dapor supuesto que C es escudero), locual significaría que sus enunciadosserían verdaderos y que ambosserían hombres lobos, lo quecontradice las condiciones dadas delproblema. Por lo tanto C escaballero. Luego, hay realmente dosescuderos; éstos tienen que ser A yB. Entonces, puesto que susenunciados son falsos, ni A ni B son

hombres lobos, de modo que elhombre lobo tiene que ser C. Asípues, C es caballero y hombre lobo;A y B son escuderos y ninguno deellos es hombre lobo.

90.Si B fuera escudero, entonces

habría ciertamente al menos unescudero entre ellos, de donde sesigue que su enunciado seríaverdadero, pero los escuderos noemiten enunciados verdaderos. Porlo tanto B es un caballero. Entonces

el enunciado de A es verdadero, demodo que A es también caballero.Así, A y B son ambos caballeros.Puesto que B es caballero, suenunciado es verdadero, de modoque hay al menos un escudero. Esteescudero tiene que ser C. De dondese sigue que el único hombre lobo esC.

91.A tiene que ser caballero por las

mismas razones por las que B eracaballero en el último problema, a

saber: porque si A fuera escudero,sería verdad que al menos uno de lostres era un escudero, y tendríamos unescudero formulando un enunciadoverdadero. Puesto que A escaballero, su enunciado esverdadero, de modo que hayrealmente al menos un escuderopresente. Si B fuera caballero,entonces C también lo sería (por elenunciado de B) y tendríamos trescaballeros. Pero A dice verazmenteque hay al menos un escudero. Por lotanto B tiene que ser escudero. Y

puesto que B dice que C escaballero, C es realmente escudero.Así pues A es el único caballero, ypor tanto A es el hombre lobo.

92.De nuevo, por el enunciado de A,

A tiene que ser caballero y tiene quehaber al menos un escudero. Si Bfuera caballero, entonces C sería unhombre lobo, y por ello tambiéncaballero, y tendríamos trescaballeros. Por lo tanto B esescudero. De aquí se sigue que C no

es hombre lobo. Asimismo, B nopuede ser hombre lobo (puesto quese nos ha dado que el hombre lobo esun caballero). Así pues, de nuevo Aes el hombre lobo.

93.Si B fuera caballero, entonces C

sería un hombre lobo y tambiéncaballero, y tendríamos doscaballeros. Así, B es escudero. Deaquí se sigue que C no es hombrelobo. Por otro lado B, al serescudero, no es un hombre lobo. Así

pues, de nuevo A es el hombre lobo.

94.El lector debería escoger a B.

Supóngase que B es caballero.Entonces su enunciado es verdadero,y por tanto el hombre lobo es unescudero, por lo que no puede ser B.Supóngase que B es escudero.Entonces su enunciado es falso, locual significa que el hombre lobo esrealmente un caballero, de donde sesigue de nuevo que no puede ser B.

95.

Todo lo que tienes que decir es«Yo soy escudero pobre». Ellaadvertirá inmediatamente que nopuedes ser caballero (puesto que uncaballero jamás mentiría diciendoque es escudero pobre), de donde sesigue que tienes que ser escudero. Deaquí se sigue también que tuenunciado es falso y, por tanto, queno puedes ser un escudero pobre.Pero eres escudero y, porconsiguiente, tienes que ser unescudero rico.

96.Di simplemente «Yo no soy un

caballero pobre». Ella razonaría quesi fueras escudero, no seríasciertamente un caballero pobre, dedonde se sigue que tu enunciado seríaverdadero, y de aquí que tú —unescudero— estarías formulando unenunciado verdadero. Por tanto, túeres un caballero. De aquí se sigueque tu enunciado es verdadero y, portanto, que no eres un caballero pobre.Pero eres caballero, de donde sesigue que tienes que ser un caballero

rico.

97.Este problema tiene varias

soluciones. La más simple que se meocurre es que preguntes «¿Sois tú eIsabel del mismo tipo?». Lointeresante es que si él responde«Sí», entonces Isabel tiene que sercaballero, con independencia de si suhermano es caballero o escudero, ysi el hermano responde «No»entonces Isabel tiene que serescudero con independencia de lo

que sea su hermano. Vamos ademostrarlo.

Supóngase que él responde «Sí».Ahora bien, el hermano es ocaballero o escudero. Si escaballero, entonces su enunciado deque Isabel es del mismo tipo esverdadero, de donde se sigue queIsabel tiene que ser tambiéncaballero. Si él es escudero,entonces su enunciado es falso, dedonde se sigue que el hermano eIsabel son de tipos diferentes, lo cualsignifica que Isabel es de nuevo

caballero. Así pues, si Arturoresponde «Sí», Isabel es caballero.

Supóngase que Arturo responde«No». Si es caballero, entonces estádiciendo la verdad, de donde sesigue que él e Isabel son de tiposdiferentes y, por tanto, que Isabeltiene que ser escudero. Si él esescudero, entonces su enunciado esfalso, de donde se sigue que Isabel esrealmente del mismo tipo y, portanto, que tiene que ser de nuevoescudero. Así pues, si él responde«No», entonces Isabel es escudero.

98.Nuevamente, hay varios modos

de resolver este problema. Lasolución más sencilla y más eleganteque conozco es escoger a una de lashermanas —por ejemplo A— ypreguntarle, «¿es B de rango inferiora C?»{5}.

Supóngase que A responde «Sí».Entonces elegirías por novia a B porlas siguientes razones: Supóngaseque A es caballero. Entonces B esrealmente de rango inferior a C, de

donde se sigue que B es escudero y Ces normal. En este caso, B no es elhombre lobo (puesto que lo es C).Supóngase que A es escudero.Entonces B es realmente de rangosuperior a C, lo cual significa que Bes caballero y C normal, y así, denuevo, B no es un hombre lobo. Si Aes normal, entonces B ciertamente noes el hombre lobo, puesto que lo esA. Así pues, con independencia de siA es caballero, escudero o normal, siA responde «Sí» a tu pregunta,entonces deberías elegir por novia a

B.Si A respondiera «No», entonces

esto es lo mismo que si afirmara queC es de rango inferior a B, en lugarde decir que B es de rango inferior aC, y entonces, en este caso, elige pornovia a C.

99.Un enunciado que podría

exculparte sería «Yo soy culpable».Al ser un escudero, puedesefectivamente pronunciarlo, ya quees falso, y ciertamente te garantizará

un dictamen favorable, pues el juradorazonará correctamente así: Si túfueras realmente culpable, entoncesserías escudero (puesto que estádado que se sabe que el criminal esun escudero), pero entonces tú, queeres escudero, pronunciarías unenunciado verdadero. Así pues, lasuposición de que eres culpableconduce a una contradicción, y portanto eres inocente.

El anterior razonamiento es unejemplo de un argumento de reductioad absurdum (demostración de la

falsedad de un enunciado por elprocedimiento de reducirlo a unabsurdo). Un argumento más directoque pudiera haber usado el jurado eséste: O eres escudero o no lo eres(recuérdese que el jurado no sabe sieres o no un escudero). Si eresescudero, entonces tu enunciado esfalso y, por tanto, eres inocente. Sino eres escudero, entoncesciertamente eres inocente, puesto queel culpable es un escudero.

100.

Ningún enunciado tal es posible.Si, después de haber pronunciado unenunciado, el jurado pudiera deducirracionalmente tu inocencia, entonces,puesto que los componentes deljurado son racionales y han usado unrazonamiento correcto, tiene quedarse el caso de que seas realmenteinocente. Pero esto es contrario a lasuposición de que eres culpable.

101.Este problema es una especie de

«dual» del problema 99, y, si acaso,

incluso más sencillo. Todo lo quenecesitas decir es «Yo soy inocente».El jurado razonará que si eres uncaballero (lo que desconoce),entonces tu enunciado es verdadero,y por tanto eres inocente, y si no erescaballero, entonces de nuevo eresinocente, puesto que se sabe que elculpable es un caballero.

102.Una solución es decir: «O soy

caballero e inocente, o soy escuderoy culpable.» Una formulación algo

más sencilla de esta frase sería: «Osoy un caballero inocente o unescudero culpable.» El juradorazonaría entonces como sigue:

Paso Uno: Supongamos quees caballero. Entonces suenunciado es verdadero y, portanto, él es o un caballeroinocente o un escuderoculpable. No puede ser unescudero culpable, puesto queno es escudero, de donde sesigue que es un caballero

inocente. Por tanto, es inocente.Paso Dos: Supongamos que

es escudero. Entonces suenunciado es falso y, por tanto,él no es ni un caballero inocenteni un escudero culpable. Enparticular, no es un escuderoculpable. Pero es escudero.Entonces tiene que ser unescudero inocente y, por tanto,inocente.

Paso Tres : Si es normal,entonces es ciertamenteinocente, puesto que el culpable

no es normal.

103.Este problema es muy sencillo.

Todo lo que necesitas decir es «Yosoy escudero». Ni un caballero ni unescudero podrían decir eso; portanto, tienes que ser normal y, portanto, también inocente.

104.Sí, podrías decir «Yo no soy un

caballero culpable». El juradorazonaría de este modo:

Paso Uno: Supongamos queél (es decir, «tú») fueraescudero. Entonces no escaballero, de donde se sigueciertamente que no es uncaballero culpable, de modoque su enunciado seríaverdadero. Esto es imposible,puesto que los escuderos noemiten enunciados verdaderos.Por lo tanto no puede serescudero.

Paso Dos: Ahora sabemosque es o caballero o normal. Si

es normal, es inocente.Supóngase que es caballero.Entonces su enunciado esverdadero. Por lo tanto no es uncaballero culpable. Pero escaballero. De aquí se sigue quetiene que ser un caballeroinocente.

Convendría observar que,alternativamente, podrías haberdicho «O no soy caballero o soyinocente», o podrías haberdicho «Si soy caballeroentonces soy inocente».

105.Sí, podrías decir «Yo soy

escudero culpable». El juradorazonaría de este modo:«Obviamente no es caballero. Asípues es normal o escudero. Si esnormal, es inocente. Supóngase quees escudero. Entonces su enunciadoes falso, de modo que no es unescudero culpable. Por tanto es unescudero inocente.»

106.Por muy numerosos que fuesen

los enunciados no sería posibleconseguirlo. Dado cualquier conjuntode enunciados que formulases, unapersona normal podría formular esosmismos enunciados, puesto que unapersona normal puede decircualquier cosa. Así pues, no haymodo de que puedas casarte con estahija del rey. ¡Lo siento! ¡Que hayamás suerte en la próxima isla!

107.En ambos casos un solo

enunciado es suficiente. Un

enunciado verdadero queconvencería al rey es: «Yo no soycaballero.» (Ni un caballero ni unescudero podrían decir esto.) Unenunciado falso que cumpliría talcometido es: «Yo soy escudero.»

Deseo hacer notar (en relacióncon el siguiente problema) que sipronuncias el primer enunciado,entonces el rey sabrá que aunqueseas normal, has pronunciadoprecisamente un enunciadoverdadero; y si pronuncias elsegundo enunciado, el rey sabrá que

aun cuando seas normal, haspronunciado precisamente unenunciado falso.

108.Tómese cualquier proposición

cuya verdad o falsedad seadesconocida para el rey —porejemplo, que llevas ahora en tubolsillo exactamente novecientaspesetas. Entonces un enunciado quepodrías formular es: «O yo soynormal y ahora llevo en mi bolsilloexactamente novecientas pesetas, o si

no soy escudero.»Un escudero nunca podría emitir

este enunciado (porque es verdadque un escudero es o un normal quelleva novecientas pesetas o unescudero). Un caballero tampocopodría emitir ese enunciado (porqueun caballero ni es un normal quelleve novecientas pesetas ni unescudero). Por lo tanto el rey sabráque eres normal, pero no puede sabersi tu enunciado es verdadero o falsosin saber cuánto dinero llevas.

SOLUCIONES DE ADIVINANZASLÓGICAS

109-112.Estos cuatro problemas encierran

todos las mismas ideas básicas, asaber, que dada cualquierproposición P, si una persona A dela isla de caballeros y escuderosdice, «Si yo soy caballero entoncesP», entonces ¡el que habla ha de sercaballero y P tiene que serverdadera! Esto resulta bastantesorprendente, y podemos probarlo dedos modos:

(1) Supóngase que A escaballero. Entonces el enunciado «SiA es caballero entonces P» tiene queser un enunciado verdadero (puestoque los caballeros dicen siempre laverdad). Así A es caballero y esverdadero que si A es caballeroentonces P. De estos dos hechos sesigue que P ha de ser verdadera. Deeste modo la suposición de que A escaballero conduce a P comoconclusión. Por lo tanto (recuérdeseel Hecho 4 de la implicación), hemosprobado que si A es caballero

e n t o n c e s P. Pero ¡esto esprecisamente lo que A afirmaba! Porconsiguiente, A debe ser caballero.Y puesto que acabamos de probarque si A es caballero entonces P, sesigue pues que P debe ser verdadera.

(2) Una manera alternativa deabordar el problema es la siguiente.Recordemos que una proposiciónfalsa implica cualquier proposición.Por tanto, si A no es caballero,entonces el enunciado, «Si A escaballero entonces P» esautomáticamente un enunciado

verdadero. De aquí que un escuderono hubiera proferido nunca un talenunciado. Así, si una persona que eso caballero o escudero profiere unenunciado tal, sólo puede ser uncaballero y P tiene que serverdadera.

Apliquemos este principio anuestras adivinanzas. En lo querespecta a 109, si asumimos que P esla proposición que dice que B escaballero, entonces podemos ver queA debe ser caballero y que suenunciado es verdadero, de lo cual

se sigue que B es caballero. Asípues, la respuesta a 109 es que A y Bson los dos caballeros.

Para 110 asumimos que P es laproposición que dice que A secomerá su sombrero. Vemos que Adebe ser caballero y que habrá decomerse su sombrero. (Lo cualprueba, incidentalmente, que loscaballeros, aunque virtuosos yhonorables sin duda alguna, pueden aveces ser un tanto estúpidos.)

En 111 la respuesta de nuevo esque A es caballero.

Y para 112, la conclusióncorrecta es que el autor está otra vezbromeando. El problema es unaparadoja; ningún caballero podríapronunciar un enunciado tal, nitampoco podría emitirlo un escudero.

113.A tiene que ser caballero y B ha

de ser escudero. Para probar estohemos de probar primeramente quesólo un caballero puede proferir unenunciado de la forma. «Si P,entonces yo soy escudero.»

Recordemos que una proposiciónverdadera es implicada por cualquierproposición; de ahí que si elenunciado «Yo soy escudero» esverdadero, entonces también lo es elenunciado completo «Si P, entoncesyo soy escudero». Pero si yo soyescudero nunca podría haberproferido ese enunciado verdadero.Por lo tanto si digo, «Si P, entoncesyo soy escudero», entonces yo deboser caballero.

Por consiguiente A tiene que sercaballero. De donde también es

verdadero que si B es caballeroentonces A es escudero (porque Adice que es verdad). Luego B nopuede ser caballero, ya que estoimplicaría que A es un escudero, locual no es{6}. De lo que se sigue queB es escudero.

114.A está diciendo, en efecto, que no

es el caso que X sea culpable e Yinocente. Pero esto no es sino otromodo de decir que o X es inocente oY es culpable, y así A y B están

realmente diciendo lo mismo condiferentes palabras. Por lo tanto losdos enunciados son o ambosverdaderos o ambos falsos, por loque A y B han de ser del mismo tipo.

115.Supóngase que A es caballero.

Entonces también lo es B (puesto queA dice que lo es). Entonces elenunciado de B —«Si A escaballero, también lo es C»—esverdadero. Pero A es caballero (porsuposición), por tanto C es caballero

(bajo el supuesto de que A lo sea).Hemos acabado de mostrar que si

A es caballero, también lo es C{7}.Bien, B dijo justamente eso, de ahíque B sea caballero. Entonces laafirmación que hace A de que B escaballero es verdadera, por lo tantoA es también caballero. Y hemosmostrado que si A es un caballerotambién lo es C. Por lo tanto C esasimismo caballero. Así pues, lostres son caballeros.

116.

No se sigue que ame a Isabelpero se sigue que amo a María. Paraverificar que amo a María razonamoscomo sigue.

O amo a Isabel o no la amo. Si noamo a Isabel entonces, por lacondición (1), tiene que ser María ala que yo amo (puesto que seestablece que yo amo al menos a unade ellas). Por otra parte, si amo aIsabel, entonces por la condición (2)debo amar también a María. Así enuno y otro caso (bien ame a Isabel obien no la ame), se sigue que amo a

María.Incidentalmente, la lectora que

lleve el nombre de «Isabel» notendrá por qué preocuparse;justamente porque no se sigue de lascondiciones dadas que yo ame aIsabel, ello no quiere decir que sesiga que no ame a Isabel. Es muyposible que también la ame —tal vezmás que a María.

117.Esta vez se sigue no que yo ame a

María, sino que amo a Isabel. Pues

supóngase que no amo a Isabel.Entonces el enunciado «Si amo aIsabel entonces amo a María» debeser un enunciado verdadero (puestoque una proposición falsa implicacualquier proposición). Pero ocurreque si ese enunciado es verdaderoentonces debo amar a Isabel. Portanto, si no amo a Isabel se sigue queamo a Isabel, lo cual es unacontradicción. El único medio deescapar a la contradicción es queame a Isabel.

No se puede determinar si amo o

no a María.

118.Se sigue que tengo que amar a las

dos chicas. Sea P el enunciado «Siamo a Eva entonces amo también aMargarita». Se nos da:

(1) Si P es verdaderoentonces amo a Eva.

(2) Si amo a Eva entonces Pes verdadero.

Hemos visto en la solución delproblema precedente que de (1) se

sigue que amo a Eva. Por tanto amo aEva.

Por consiguiente, por (2) P tieneque ser verdadero —esto es, esverdadero que si amo a Eva amotambién a Margarita. Pero amo aEva. Por tanto, amo también aMargarita.

119.Debo amar a las tres chicas. Hay

varios modos de probarlo; he aquíuno de ellos:

Por (3), o bien amo a Diana y a

Luisa o bien no amo a ninguna.Supóngase que no amo a ninguna.Entonces, por (1) debo amar a Ana.Así pues, amo a Ana pero no aDiana, y no amo a Luisa. Estocontradice al enunciado (2). Por lotanto no es el caso que no ame ni aDiana ni a Luisa, de donde se sigueque amo a las dos. Puesto que amo aDiana, entonces por (4) amo tambiéna Ana. De este modo, amo a las tres.

120.Yo debo ser caballero. Si fuera

escudero, entonces tanto (1) como(2) tendrían que ser falsos.Supóngase que (2) fuera falso.Entonces tendría que amar a Lindapero no a Cecilia, de aquí que yoamaría a Linda. Esto significa que(1) sería verdadero. Así pues esimposible que (1) y (2) sean ambosfalsos, y de ahí que yo no pueda serescudero.

121.Decir «P es falso a menos que

Q» no es sino otra manera de decir

« S i P entonces Q». (Por ejemplo,decir «No quiero ir al cine a menosque tú vengas conmigo» esequivalente a decir «Si yo voy alcine, entonces tú vendrás conmigo».)Así, el enunciado «Una teteravigilada nunca hierve a menos queesté vigilada» no es sino otra manerade decir «Si una tetera vigiladahierve, entonces está vigilada». Locual, por supuesto es verdadero, yaque una tetera vigilada estáciertamente vigilada, sea que hiervao que no hierva.

122.No es posible determinar si el

que habla es caballero o escudero;no obstante debe haber oro en la isla.

En lo que respecta a esteproblema y a los otros de estasección, establezcamos de una vezpor todas el siguiente principiobásico: Si un nativo (que es ocaballero o escudero) emite elenunciado, «Yo soy un caballero si ysólo si P», entonces P debe serverdadero (con independencia de queel que habla sea caballero o

escudero).Para comprobar esta afirmación,

sea K la proposición que dice que elnativo es caballero. Este dice que Kes equivalente a P. Supóngase que elnativo es ciertamente caballero.Entonces K es realmente equivalentea P, y también K es verdadera. Deeste modo P es equivalente a unenunciado verdadero, de aquí que Pdeba ser verdadero. Por otra parte,supóngase que el nativo es escudero.Entonces su enunciado es falso, desuerte que P no es equivalente a K.

Igualmente, puesto que el que hablaes escudero, K es falsa. Puesto que Pno es equivalente a la proposiciónf a l s a K, P debe ser entoncesverdadero (porque si fuera falso,tendría que ser equivalente a K).Así, tanto si el nativo es caballero oescudero, P debe ser verdadero.

Es interesante comparar loanterior con un principio establecidoen la última sección: Si un caballeroo un escudero dice, «Si yo soycaballero entonces P», podemosconcluir que el que habla es

caballero y que P es verdadero. Perosi un caballero o un escudero dice,«Yo soy caballero si y sólo si P»,entonces podemos concluir que P esverdadero, pero no podemosdeterminar si se trata o no de uncaballero.

123.Sí, podría establecerse; en este

caso no hay oro en la isla.Sea G el enunciado que dice que

hay oro en la isla, y sea nuevamenteK el enunciado que dice que el que

habla es un caballero. El que habla,al responder «No», está afirmandoque G no es equivalente a K. Bien,supóngase que el que habla es uncaballero. Entonces realmente es elcaso que G no es equivalente a K.Ahora bien, puesto que se trata de uncaballero, K es verdadero. Por lotanto G, dado que no es equivalente ala proposición verdadera K, ha deser falso. Por otra parte, supóngaseque el que habla es un escudero.Entonces G es de hecho equivalente aK (puesto que el escudero dijo que

no eran equivalentes). Pero K esfalsa (ya que el que habla es unescudero). Así G, siendo equivalentea la proposición falsa K, tiene queser falso. De manera que, tanto si elque habla es caballero o escudero, elresponder con «No» a nuestracuestión indica que G es falso. Asípues, no hay oro en la isla.

Discusión. Estos dos últimosproblemas implican conjuntamente unprincipio muy importante bienconocido por los expertos en

«caballeros y escuderos». Como seha visto en las soluciones de estosdos últimos problemas, si P es unenunciado cualquiera, cuya verdad ofalsedad el lector desea verificar, siuna persona de la que se sabe que escaballero o escudero conoce larespuesta a P, entonces puedeextraerse de ella con una solapregunta si P es verdadero o falso.No hay más que preguntarle, «¿Es elenunciado de que eres un caballeroequivalente al enunciado de que P esverdadero?». Si responde «Sí»,

entonces se sabe que P es verdadero;si responde «No», entonces se sabeque P es falso.

Este principio será utilizado en lasolución de los tres problemasrestantes; nos referiremos a él con elnombre de principio fundamental.124.

Sabemos de antemano que no hayoro en la isla A, que hay oro en laisla B o en la isla C, y que si alguienen la isla A es normal, entonces hayoro tanto en la isla B como en la isla

C.Bien, la pregunta que le hice al

nativo era: «¿Es el enunciado de queeres un caballero equivalente alenunciado de que hay oro en la islaB?»

Supóngase que responde «Sí». Sies caballero o escudero, entonceshay oro en la isla B (por el principiofundamental establecido en lasolución del problema precedente).Si es normal, entonces nuevamentehay oro en las islas B y C, de suerteque ciertamente hay oro en la isla B.

Así, una respuesta «Sí» significa quehay oro en la isla B.

Supóngase que responde «No».Si es caballero o escudero, entoncesno hay oro en la isla B (nuevamentepor el principio fundamental). Locual significa que debe haber oro enla isla C. Por otra parte, si es normal,entonces hay oro tanto en la isla Bcomo en la isla C, de manera que hayoro en la isla C. Así, una respuesta«No» significa que hay oro en la islaC.

125.Este problema se resuelve

mediante dos utilizaciones delprincipio fundamental (véase lasolución del problema 123 para unaexplicación del principiofundamental).

Con una sola pregunta es posiblelocalizar a uno de los tres del cual sesepa que es definitivamente nonormal. Ello se consiguepreguntándole a A «¿Es el enunciadode que eres un caballero equivalenteal enunciado de que B es normal?».

Supóngase que responde «Sí». Si Aes caballero o escudero, entonces Btiene que ser normal (por el principiofundamental). Lo cual significa que Cno es normal. Si A no es caballero oescudero, entonces tiene que sernormal, así nuevamente C no puedeser normal. De este modo, unarespuesta «Sí» significa que C no esnormal.

Supóngase que A responde «No».Si es caballero o escudero, entoncesB no es normal (de nuevo por elprincipio fundamental). Si A no es

caballero o escudero, entoncesnuevamente B no es normal, porquelo es A. Así, una respuesta «No»significa que B no es normal.

De esta suerte, si se obtiene de Auna respuesta «Sí», entonces se eligea C para plantearle la segundacuestión ; si se obtiene una respuesta«No», entonces se elige a B. De estaforma se sabe que se le estápreguntando a alguien que es ocaballero o escudero. Luego se leplantea la misma pregunta que en elproblema 122, a saber, si el

enunciado de que él es un caballeroes equivalente al enunciado de quehay oro en la isla. Una respuesta«Sí» significa que hay oro; unarespuesta «No» significa que no lohay.

126.De no conocer el principio

fundamental, este problema resultaríadificilísimo. Pero ahora queconocemos este principio (véase lasolución al problema 123), elproblema es bastante fácil. Doy por

sentado que sabes que la suma de dosnúmeros enteros pares es un númeropar, y que la suma de dos númerosimpares es también par. Ellosignifica que si se sustrae un númeropar de un número par se obtiene unnúmero par, y que si se sustrae unnúmero impar de un número impar seobtiene asimismo un número par (porejemplo, 12 – 8 = 4; 13 – 7 = 6).

Del enunciado de C se sigue (porel principio fundamental) que A y Bson realmente del mismo tipo, estoes, ambos son caballeros o ambos

escuderos. Así, sus enunciados son oambos verdaderos o ambos falsos.Supóngase que ambos sonverdaderos. Entonces, por elenunciado de A hay un número par deescuderos en la isla. Por elenunciado de B hay un número imparde personas incluyendo al propiolector. Pero el lector no es nicaballero ni escudero, y además es elúnico visitante en la isla, de lo quese sigue que hay un número par denativos en la isla. De este modo,sustrayendo el número par de

escuderos del número par decaballeros y escuderos se obtiene unnúmero par de caballeros. Así eneste caso hay oro en la isla. Por otraparte, supóngase que ambosenunciados son falsos. Esto significaque hay un número impar deescuderos en la isla y un númeroimpar de caballeros y escuderos (unnúmero par de personas,incluyéndote a ti). Entonces,nuevamente ha de haber un númeropar de caballeros, y de nuevo hay oroen la isla.

SOLUCIONES DE ¿BELLINI O CELLINI?

127.Lo hizo Bellini. Si lo hubiera

hecho un hijo de Bellini, elenunciado sería falso, lo que esimposible. Si lo hubieran hechoCellini o un hijo de Cellini, elenunciado será verdadero, lo que esimposible. Así pues, es obra deBellini.

128.Una inscripción que valdría sería

ésta: «Este cofre es obra de un hijo

de Cellini.»

129.«Este cofre es obra de Bellini o

de un hijo de Cellini.»

130.El enunciado es evidentemente

verdadero, de aquí que el cofre ha deser obra de Bellini o de unos de sushijos.

131.Primer paso: Supongamos que el

cofre de plomo fuera de Bellini; suenunciado sería verdadero y, por

tanto la joya estaría en un cofrehecho por Cellini, de manera que nopuede estar en el de plomo. Por otrolado, supongamos que el cofre deplomo fuera de Cellini; su enunciadotendría que ser falso y, por tanto, lajoya estaría en el cofre de Bellini, demanera que —de nuevo— no podríaestar en el cofre de plomo. Lo quedemuestra que la joya no está en elcofre de plomo.

Segundo paso: Veamos ahoraque la joya no puede estar en el cofre

de plata. Si estuviera, caería en lasiguiente contradicción:

Supongamos que la joya está enel cofre de plata; primero,supongamos que el cofre de oro esobra de Bellini, luego su inscripciónes verdadera y, como la joya está enel cofre de plata (por suposición), elcofre de plata será de Bellini. Y deaquí deducimos que el de oro será deCellini. De manera que si el de oroes un Bellini, será un Cellini.

Por otro lado, supongamos que elcofre de oro es un Cellini; su

enunciado será falso, de lo quededucimos que el cofre de plata seafalso, de lo que se deduce que elcofre de oro es un Bellini. Así pues,si el cofre de oro es un Cellini, seráun Bellini, lo que es imposible. Estodemuestra que la joya no puede estaren el cofre de plata. De aquí que estéen el cofre de oro.

132.Está claro que el enunciado del

cofre de oro no puede ser verdadero,o caeríamos en una contradicción.

Así pues, el cofre de oro está hechopor alguien de la familia Cellini.Dado que el enunciado es falso, noes verdad que los dos cofres seanobra de alguien de la familia Cellini,de aquí que el cofre de plata sea dealgún Bellini. Así pues, el enunciadodel cofre de plata es verdadero y,por tanto, ni un cofre ni el otro sonobra de ningún hijo. De manera queel cofre de oro lo hizo Cellini y el deplata Bellini.

133.

Recordemos que cuando unhabitante de la isla de los caballerosy los escuderos dice «Si soycaballero, tal y cual son verdad», eltal habitante tiene que ser uncaballero y el tal y cual tienen queser verdad. Con un razonamientoparecido, vamos a demostrar ahoraque el enunciado del cofre de oro esverdadero.

Supongamos que el cofre de orolo hubiera hecho un miembro de lafamilia Bellini; su inscripción seríaverdadera: «Si el cofre de oro es

obra de algún Bellini, el de plataserá de Cellini.» Pero el cofre de oroes de un Bellini (porque así loasumimos), luego el cofre de plata esde Cellini. Hemos demostrado asíque si el cofre de oro era obra de unBellini, el de plata era de Cellini{9}.En otras palabras, hemos demostradoque la inscripción del cofre de oro esverdadera; por lo que el cofre de oroes realmente obra de un Bellini. Esto,junto con lo ya establecido de que siel cofre de oro era de un Bellini, elcofre de plata era de Cellini,

demuestra que el cofre de plata es unCellini y, por tanto, su inscripción esfalsa, de manera que el cofre de orono lo hizo un hijo de Bellini, pero síalguien de la familia Bellini, luego lohizo el propio Bellini. Así pues, elcofre de oro es de Bellini y el deplata de Cellini.

134.Supongamos que el enunciado del

cofre de oro es verdadero; entoncesel cofre de plata sería obra de un hijode Bellini, y, por tanto, su enunciado

sería verdadero, lo que demuestraque el cofre de oro no es obra de unhijo de Bellini, pero como elenunciado del cofre de oro esverdadero, éste tiene que ser deBellini.

Supongamos que el enunciado delcofre de oro fuera falso; el cofre deplata no sería obra de un hijo deBellini. Sin embargo, el enunciadodel cofre de plata tiene que serverdadero (ya que el enunciado falsodel cofre de oro no podía ser de unhijo de Bellini). Luego el cofre de

plata es de Bellini.Resumiendo, si el enunciado del

cofre de oro es verdadero, el cofrede oro será de Bellini. Si elenunciado del cofre de oro es falso,el cofre de plata es de Bellini.

135.Supongamos que el enunciado del

cofre de plata es verdad. Dado quees un enunciado verdadero, el cofrede plata lo habrá hecho alguien de lafamilia Bellini, luego el enunciadodel cofre de oro —«el cofre de plata

es obra de Cellini»—ha de ser falso.Pero dado que el enunciado del cofrede plata es verdadero (por asunción),el cofre de oro no es de Cellini. Asípues, el cofre de oro tiene unainscripción falsa, pero no lo hizoCellini, luego lo tuvo que hacer unhijo de Cellini.

Por otro lado, supongamos que elenunciado del cofre de plata fuerafalso; el cofre de oro sería obra deCellini y, por tanto, su enunciadosería falso, de manera que el cofre deplata no sería de Cellini.

Así pues, el cofre de plata tieneuna inscripción falsa pero no es deCellini, luego es de un hijo deCellini.

136.Supongamos que la inscripción

del cofre de oro fuera verdadera; ladel cofre de plata también tendríaque ser verdadera, lo que significaríaque la del de oro era falsa. Esto escontradictorio, luego la inscripcióndel cofre de oro es falsa, lo quetambién significa que el cofre de

plata no es obra de un hijo deBellini. Así pues, si la inscripcióndel de plata es verdadera, el cofre deplata es obra de Bellini. Si es falsa,el cofre de oro no será de un hijo deCellini, pero dado que la inscripciónde éste es falsa, el cofre de oro es deCellini.

Resumiendo, si la inscripción delde plata es verdadera, el cofre deplata es de Bellini, si la inscripcióndel de plata es falsa, el cofre de oroes obra de Cellini. Así pues, o elcofre de plata es de Bellini, o el de

oro de Cellini.

137.Hay muchas soluciones posibles

para éste y los tres problemassiguientes. Para éste, una es queambos cofres tuvieran la inscripción:«O los dos cofres son obra deBellini, o por lo menos uno es de unCellini.»

Ningún Cellini podía haber hechoni uno ni otro cofre, porque elenunciado sería entonces verdadero.Así que los dos cofres son obra de

los Bellini. Por tanto los enunciadosson verdaderos, de manera que o losdos cofres los hizo Bellini, o por lomenos uno lo hizo alguien de lafamilia Cellini. Esta últimaalternativa es falsa, luego amboscofres son de Bellini.

138.Una solución sería que las dos

inscripciones dijeran: «Por lo menosuno de estos cofres es obra de un hijode Cellini.» Si los enunciados fueranverdaderos, por lo menos uno de los

cofres sería de un hijo de Cellini,pero dado que no es posible que unCellini haga un enunciado verdadero,los enunciados tienen que ser falsos,lo que quiere decir que ni uno ni otrocofre los hizo un hijo de Cellini,luego ambos son de Cellini padre.

139.Una inscripción válida sería: «O

ambos cofres son de Bellini, o por lomenos uno lo hizo un hijo deCellini.»

Demostraremos que si las

inscripciones son verdaderas, losdos cofres serán obra de Bellini, y silas inscripciones son falsas, ambosserán obra de Cellini.

Supongamos que lasinscripciones fueran verdaderas. Sedaría precisamente el caso de que olos dos cofres son de Bellini, o quepor lo menos uno es obra de un hijode Cellini. Esta última alternativa noes posible (dado que un hijo deCellini no puede hacer unainscripción verdadera), luego amboscofres tienen que ser obra de Bellini.

Supongamos que lasinscripciones fueran falsas. Ambasalternativas de la disyunción seríanfalsas —específicamente la segunda(que por lo menos uno sea obra de unhijo de Cellini) sería falsa, lo quequerría decir que ni uno ni otro cofreeran obra de un hijo de Cellini. Sinembargo, ambas inscripciones sonfalsas, luego los hizo Cellini.

140.Una solución es la siguiente:

Oro: «Estos cofres son obra

de Bellini y Cellini si y sólo siel cofre de plata es de alguiende la familia Cellini.»

Plata: «El cofre de oro esobra de alguien de la familiaCellini.»

Llamemos P a la proposición deque los cofres sean de Bellini yCellini y Q a la proposición de queel cofre de plata es obra de alguiende la familia Cellini. La inscripcióndel cofre de oro dice que P esequivalente a Q: la inscripción del

cofre de plata dice que la del cofrede oro la hizo un mentiroso, lo que enrealidad quiere decir que lainscripción del cofre de oro es falsa.Ello quiere decir que una de las dosinscripciones es falsa y la otraverdadera.

Supongamos que la del cofre deoro es verdadera; luego (dado quehemos demostrado que unainscripción es falsa y la otraverdadera), la del cofre de platatiene que ser falsa y, por tanto, ser deun Cellini; luego Q es verdadera.

Además, dado que la inscripción delcofre de oro es verdadera, P sí esequivalente a Q. Luego (dado que Qes verdadera) P tiene que serverdadera.

Supongamos que la inscripcióndel cofre de oro es falsa; lainscripción del cofre de plata seráverdadera, por tanto, no es de ningúnCellini, luego Q tiene que ser falsa, yademás P no es equivalente a Q. Asípues, de nuevo P es verdadera.

Vemos que en uno y otro caso, Ptiene que ser verdadera, esto es, uno

de los cofres es obra de Bellini y elotro de Cellini.

141.El cofre A ha de formar pareja

con el D, porque si se emparejaracon el C caeríamos en la siguientecontradicción:

Supongamos que A se emparejaracon C. Supongamos que lainscripción de A es verdadera; lainscripción de C sería falsa. Lo quequerría decir que la inscripción de Asería falsa, lo que supone una

contradicción. Por otro lado,supongamos que la inscripción de Aes falsa, la de C sería verdadera. Loque quiere decir que la inscripciónde A sería verdadera —de nuevo lacontradicción. Así pues, A no formapareja con C, lo que resuelve laprimera parte del problema.

Consideremos ahora la pareja B–C. Supongamos que el enunciado deC es falso; B sería obra de alguien dela familia Cellini y, por tanto, suinscripción sería falsa. Esto querríadecir que ninguna de las dos

alternativas del enunciado sonverdaderas, luego la primera esfalsa, lo que significa que C es obrade algún Bellini. Luego si elenunciado de C es falso C es obra dealgún Bellini, lo que es imposible.Luego el enunciado de C esverdadero. Así pues, el enunciado deB es también verdadero (porque diceen C que B es obra de algún Bellini).

Ahora bien, la primeraalternativa del enunciado de B nopuede ser verdadera, luego lasegunda lo es. Así pues los cofres B

y C son ambos Bellinis.Consideremos ahora la pareja A–

D. Supongamos que la inscripción deA sea falsa, luego D sería obra dealgún Bellini y, por tanto, suinscripción sería verdadera. Estoquerría decir que A lo hizo alguiende la familia Bellini, luegocaeríamos en una contradicción. Asípues, la inscripción de A esverdadera, lo que además implicaque la inscripción de D es falsa. Deaquí que por lo menos una de las dosalternativas sea falsa; la primera es

verdadera (dado que el enunciado deA es verdadero), luego la segunda esfalsa. Esto quiere decir que ni uno niotro cofre son obra de un hijo deBellini o de Cellini. Luego A es deBellini y D es de Cellini.

SOLUCIONES DE LA ISLA DE BAAL

142.Supongamos que B es caballero.

Entonces ésta es la isla de Maya y Aes escudero. Por consiguiente, elenunciado de A es falso, de modoque no es verdad que B sea uncaballero y que ésta sea la isla deMaya. Sin embargo B es, porsuposición, un caballero. De aquí sesigue que la primera parte delenunciado es verdadera; por lo tantola segunda parte del enunciado es

falsa, puesto que ésta no es la isla deMaya. Así, si B es caballero, sesigue que esta isla es y no es la islade Maya. Por lo tanto B tiene que serun escudero.

Puesto que B es un escudero, sesigue que A es también un escudero(puesto que A afirma que B es uncaballero). Puesto que B es unescudero, su enunciado es falso, porlo tanto no es verdad que A sea unescudero y que ésta sea la isla deMaya. Pero la primera parte delenunciado es verdadera (puesto que

A es un escudero), por lo tanto lasegunda parte tiene que ser falsa; porconsiguiente, ésta no es la isla deMaya.

143.Obviamente A es escudero (un

caballero no podría jamás hacer elenunciado de A). Puesto que Bconcuerda con A, entonces B estambién escudero. Puesto que elenunciado de A es falso, entonces noes verdad que (1) ambos seanescuderos y (2) que ésta sea la isla

de Maya. Sin embargo, (1) esverdadero, de modo que (2) tiene queser falso. Por consiguiente, esta islano es la isla de Maya.

144.Puesto que B está de acuerdo con

A, entonces o ambos son caballeroso ambos son escuderos. Si ambosfuesen caballeros, entonces no seríael caso que al menos uno de ellos esun escudero, ya que el enunciado deA sería falso, lo cual es imposiblepuesto que A sería un caballero. Por

lo tanto los dos son escuderos. Estosignifica que el enunciado de A esfalso. Pero la primera cláusula delenunciado de A tiene que serverdadera (los dos son escuderos, demodo que al menos uno de ellos esun escudero), de donde se sigue quela segunda cláusula tiene que serfalsa. Por lo tanto ésta no es la islade Maya.

145.A es ciertamente un escudero,

puesto que un caballero no podría

hacer ese enunciado. Si B es uncaballero entonces, a tenor de suenunciado, ésta no es la isla deMaya. Si B es un escudero, entoncesla primera cláusula del enunciado deA es verdadera; pero el enunciado deA es falso, puesto que A es unescudero; por lo tanto, la segundacláusula tiene que ser falsa. De estemodo, ésta no es tampoco la isla deMaya.

146.De nuevo, A tiene que ser

escudero; B puede ser o caballero oescudero pero, en cualquier caso,ésta no es la isla de Maya.

147.Si A fuese escudero, entonces las

dos cláusulas de este enunciadodisyuntivo serían falsas, lo quesignificaría que B era escudero. Estosignificaría que las dos cláusulas delenunciado disyuntivo de B seríanfalsas, de modo que A sería uncaballero. Esto es una contradicción;por lo tanto A es un caballero. Si

esto es así su enunciado es verdaderoy, por consiguiente, o B es caballeroo ésta es la isla de Maya. Si esverdadera la segunda alternativaentonces, naturalmente, ésta es la islade Maya. Supongamos que esverdadera la primera alternativa,esto es, supongamos que B es uncaballero. Entonces el enunciado deB: «O A es un escudero o ésta es laisla de Maya» es verdadero. Pero Ano es un escudero, de modo que laprimer alternativa es falsa. Por lotanto, la segunda alternativa es

verdadera, de modo que ésta es laisla de Maya.

Repitamos parte de estaargumentación: hemos visto que o Bes un caballero o ésta es la isla deMaya. Pero además, si B es uncaballero, entonces, de nuevo, ésta esla isla de Maya. Por lo tanto, ésta esla isla de Maya.

Así pues, hemos encontrado, porfin, la isla de Maya.

148.Si E fuese un escudero, entonces

sería verdadero que o E es unescudero o C y D son del mismo tipo.Esto significaría que un escuderohace un enunciado verdadero, lo cuales imposible. Por lo tanto E es uncaballero. Puesto que su enunciadoes verdadero, entonces o él es unescudero o C y D son del mismo tipo.Pero él no es un escudero, por lotanto C y D son del mismo tipo.

Supongamos que C fuese unescudero. Entonces A y B seríanambos escuderos. Entonces elenunciado de D sería verdadero, con

lo que D sería un caballero. C seríaun escudero y D un caballero, lo cualestá en contradicción con el hecho deque C y D son del mismo tipo. Por lotanto C tiene que ser un caballero; dedonde se sigue que D es también uncaballero. Puesto que C es uncaballero, entonces A y B no son, losdos, escuderos y, por consiguiente, oX o Y es el mapa correcto.Supongamos que X fuese el mapacorrecto. Entonces A es un caballeroy B un escudero, contrariamente alenunciado verdadero de D de que o

A es un escudero o B es uncaballero. De este modo X no puedeser el mapa correcto; así pues elmapa correcto tiene que ser Y.

149.Si el hablante fuese escudero,

entonces sería o escudero o mono ysu enunciado sería verdadero, lo queestá en contradicción con el hecho deque sea un escudero. Por lo tanto esun caballero. Esto significa que suenunciado es verdadero, puesto quees o escudero o mono. No es un

escudero, por lo tanto es un mono.Así pues, es un mono que escaballero.

150.Claramente el hablante no es

caballero; por lo tanto es escudero ysu enunciado es falso. Porconsiguiente es o caballero ohumano. No es un caballero, por lotanto es un humano. Por consiguientees un humano que es escudero.

151.Supongamos que el hablante

fuese escudero. Entonces seríaverdadero que no es mono ycaballero; por tanto, su enunciadosería verdadero y entoncestendríamos un escudero que hace unenunciado verdadero. Porconsiguiente, el hablante es uncaballero. Por consiguiente, esverdadero que no es mono ycaballero. Si fuese un mono, entoncessería mono y caballero. Porconsiguiente, es humano. Así pues, esun humano que es caballero.

152.B no puede ser un escudero: en

ese caso su enunciado seríaverdadero. Por lo tanto B es uncaballero. De esto se sigue que suenunciado es verdadero, de modoque A tiene que ser un escudero.Entonces el enunciado de A es falso,de modo que ambos son humanos.Por lo tanto, A es un humano que esescudero y B un humano que escaballero.

153.

B tiene que ser un escudero,puesto que un caballero no podríahacer ese enunciado. Por lo tanto, Ay B no son ambos escuderos, demodo que A es un caballero. Puestoque el enunciado de A es verdadero,entonces los dos son monos. Porconsiguiente A es un mono que escaballero y B un mono que esescudero.

154.Supongamos que B sea un

caballero. Entonces A sería un

caballero (puesto que B dice que loes) y, por consiguiente. B tendría queser escudero y mono, lo cual es unacontradicción. Por lo tanto, B es unescudero. Además, a tenor delenunciado de B, A es también unescudero. Puesto que el primerenunciado de A es falso, B no esescudero y mono. Pero B es unescudero, de modo que tiene que serfalso que B sea un mono. Así pues, Bes un humano escudero. Del segundoenunciado de A se sigue que A es unmono. Así pues A es un mono que es

escudero.

155.Mostraremos en primer lugar que

G es un caballero. Para mostrar estobasta mostrar que su enunciado esverdadero. Así, debemos mostrar ques i C es un caballero, entonces F loes. Hacemos esto suponiendo que Ces un caballero, y mostrando acontinuación que F es también uncaballero.

Bien, supongamos que C es uncaballero. Entonces A y B son, los

dos, caballeros. Por lo tanto X es unapuerta buena y o Y o Z es una puertabuena.

Caso uno: Y es buena. EntoncesX, Y son, las dos, buenas. En estecaso D es un caballero.

Caso dos: Z es buena. EntoncesX, Z son, las dos, buenas. En estecaso, E es un caballero.

Por lo tanto, o D o E tienen queser un caballero. Por consiguiente, el

enunciado de F es verdadero, demodo que F es un caballero.

Nuestra suposición de que C esun caballero lleva a la conclusión deque F es un caballero. Por lo tanto,es verdadero que si C es uncaballero, entonces F lo es. Esto eslo que G dijo, por lo tanto G es uncaballero.

Demostraremos ahora que elenunciado de H es verdadero. H dijoque si G y H eran, los dos,caballeros, entonces A lo era.Supongamos que H es un caballero.

Entonces G y H son, los dos,caballeros. También es verdaderoque si G y H son ambos caballeros,entonces lo es A (puesto que H dijoque lo era, y estamos suponiendo queH es un caballero). Por lo tanto, si Hes un caballero, entonces (1) G y Hson, los dos, caballeros; (2) Si G y Hson ambos caballeros, entonces A loes. De (1) y (2) se sigue que A es uncaballero. Así pues, si H es uncaballero, entonces A lo es. Esto eslo que dijo H, de modo que H tieneque ser un caballero. Por lo tanto, su

enunciado es verdadero y puesto queG y H son, los dos, caballeros, A esun caballero.

Ahora sabemos que A es uncaballero. Por lo tanto, X esrealmente una puerta buena. De estemodo, el filósofo debería escoger lapuerta X.

156.El primer sacerdote no podría ser

un caballero; tiene que ser unescudero. Por consiguiente suenunciado es falso, lo cual significa

que no es verdadero que él sea unescudero y que no sepa la respuesta ala Gran Pregunta. Pero es unescudero, de modo que la primeraparte de su enunciado es verdadera.Por lo tanto, la segunda parte delenunciado tiene que ser falsa, demodo que él sabe la respuesta. Porconsiguiente, el primer sacerdote esescudero y sabe la respuesta.

Por lo que respecta al segundosacerdote, es indeterminado; o es uncaballero que no sabe la respuesta oes un escudero. En cualquier caso (y

esto es crucial para el problemasiguiente) si sabe la respuesta,entonces es un escudero.

157.Hemos visto que el primer

sacerdote sabe la respuesta a lapregunta y es un escudero, y elsegundo sacerdote, si sabe larespuesta, entonces es un escudero.Se nos ha informado de que elsacerdote que dijo «Hay algo enlugar de nada» sabía la respuesta.Puesto que el que dijo esto es un

escudero, el enunciado «Hay algo enlugar de nada» tiene que ser falso.¡Esto significa que nada existe!

Así pues, parece que la respuestaa la búsqueda que había ocupadotoda la vida del filósofo es que,después de todo, nada existerealmente. Sin embargo, hay algoaquí que no cuadra; si no existe nada¿cómo es que había un sacerdote quehizo el enunciado?

Lo que se sigue propiamente es,por lo tanto, que la isla de Baal, talcomo la he descrito, no puede existir.

No se trata de que sea meramente elcaso de que no exista (lo cual esaltamente probable desde elcomienzo de la narración), sino quees lógicamente cierto que la isla nopuede existir. Pues si existiese, y minarración fuese verdadera, entoncesse seguiría (como he mostrado) quenada existe y, por lo tanto, la isla deBaal no existiría. Esto es unacontradicción y por consiguiente laisla de Baal no puede existir.

Lo curioso es que hasta la últimade las historietas (problema 157)

todo lo que te he contado, porimprobable que pueda haberparecido, era lógicamente posible.Pero la última historieta fue la gotaque colmó el vaso.

SOLUCIONES DE LA ISLA DE LOSZOMBIS

158.No es posible decir lo que

significa «Bal», pero podemos decirque el que habló tenía que serhumano.

Supóngase que «Bal» significa sí.Entonces «Bal» es la respuesta veraza la pregunta de si «Bal» significa sí.Así pues, en este caso el que hablabaera humano.

Supóngase que «Bal» significano. Entonces «No» es la respuesta

castellana veraz a la pregunta de si«Bal» significa sí, por tanto «Bal» esla respuesta veraz en lenguaje delnativo a la pregunta. Así nuevamente,el que habla es humano. De estemodo, y con independencia de que«Bal» signifique si o no, el que hablaes humano.

159.Todo lo que hay que preguntarle

es si él es humano. Todos los nativosde esta isla declaran ser humanos,por ello un humano y un zombi

responderán afirmativamente. Así, siel nativo responde «Bal», entonces«Bal» significa sí; si responde «Da»,entonces «Da» significa sí (y «Bal»significa no).

160.La pregunta del problema 158

cumple esta tarea; pregúnteselesimplemente si «Bal» significa sí. Si«Bal» significa sí, entonces «Bal» esla respuesta correcta a la cuestión,por tanto un humano dirá «Bal» y unzombi dirá «Da». Si «Bal» no

significa sí, entonces nuevamente«Bal» es la respuesta correcta a lacuestión, de manera que también eneste caso un humano dirá «Bal» y unzombi dirá «Da».

161.Son varios los modos de

conseguirlo. Uno de ellos consiste enpreguntar al curandero si «Bal» es larespuesta verdadera a la cuestión desi él es un humano. Podremos probarque el curandero tiene que responder«Bal». Al objeto de simplificar un

tanto la exposición, sea H la pregunta«¿Eres humano?». Recuérdese que nose está preguntando si H esverdadera o falsa, sino si «Bal» es larespuesta correcta a H.

Caso uno: El curandero eshumano. Si «Bal» significa sí,entonces «Bal» es la respuestacorrecta a H, y puesto que elcurandero es humano responderá converdad que lo es, y por tanto dirá«Bal». Si «Bal» significa no,entonces «Bal» no es la respuesta

correcta a H, de aquí que responderácon verdad que no lo es y, por tanto,dirá «Bal» (cuyo significado es no).Así pues, un humano responderá«Bal» independientemente de que«Bal» signifique sí o no.

Caso Dos: El curandero eszombi. Si «Bal» significa sí entonces«Bal» no es la respuesta correcta aH, pero puesto que se trata de unzombi, éste mentirá y dirá que es larespuesta correcta, por tanto dirá«Bal» (con el significado de «Sí, es

la respuesta correcta», lo cual porsupuesto es una mentira). Si «Bal»significa no, entonces «Bal» es larespuesta correcta a H, por lo tantoel curandero mentirá y responderáque no es la respuesta correcta, y porello dirá «Bal» (que significa no).Así pues, un zombi dirá «Bal»independientemente de que «Bal»signifique sí o no.

Hay otras preguntas que podríanalcanzar igualmente el mismoresultado. He aquí algunas:

(1) ¿Es el caso que o bien tú ereshumano y «Bal» significa sí, o bientú eres zombi y «Bal» significa no?

(2) ¿Es el caso que tú ereshumano si y sólo si «Bal» significasí?162.

Nuevamente, hay varios modosde lograrlo. Uno de ellos espreguntar, «Si alguien te preguntasesi hay oro en esta isla, ¿responderías“Bal”?». Como vamos a mostrar, sihay oro en la isla, entonces

responderá «Bal», y si no lo hayresponderá «Da»,independientemente de que seahumano o zombi eindependientemente de lo que «Bal»y «Da» signifiquen realmente. Sea Gla pregunta «¿Hay oro en esta isla?».

Caso Uno: El nativo es humanoy «Bal» significa sí. Supóngase quehay oro en la isla. Entoncesrespondería «Bal» a la pregunta G.Siendo humano, diría verazmente queél respondería «Bal», así pues el

nativo responde «Bal» a la cuestiónque se le ha propuesto. Supóngaseque no hay oro en la isla. Entoncesno respondería «Bal» a la preguntaG, y puesto que es humano diría queno respondería «Bal», así puesrespondería «Da» a nuestra pregunta.

Caso Dos: El nativo es zombi y«Bal» significa sí. Supóngase quehay oro en la isla. Entonces «Bal» esnuevamente la respuesta verdadera aG, así él, siendo un zombi, norespondería «Bal» a G. Pero

entonces el nativo mentiría y diría allector que él respondería «Bal» a G.Así su respuesta es «Bal».Supóngase que no hay oro en la isla.Entonces «Bal» es una respuestafalsa a G, por tanto el nativo daría dehecho esa respuesta a G. Peroentonces mentiría al lector ymantendría que él no diría «Bal», portanto respondería con «Da» a nuestrapregunta.

Caso Tres : El nativo es humanoy «Bal» significa no. Supóngase que

hay oro en la isla. Entonces «Bal» esla respuesta falsa a G, por ello unhumano no la daría. Entoncesrespondería verazmente al lector queél no diría «Bal», por tanto respondea nuestra pregunta inicial con «Bal».Si no hay oro en la isla, entonces«Bal» es la respuesta verdadera a G,y por ello esta es la respuesta que elhumano daría de hecho a G. Asípues, el nativo responde a nuestrapregunta con «Da» (con elsignificado de «Sí, yo respondería“Bal” a (7»).

Caso Cuatro: El nativo es zombiy «Bal» significa no. Supóngase quehay oro en la isla. Entonces el nativorespondería de hecho con «Bal» a G,pero nos diría que no lo haría, portanto responderá con «Bal» a nuestrapregunta. Supóngase que no hay oroen la isla. Entonces respondería dehecho con «Da» a G; no respondería«Bal» a G, pero nos diría que sí loharía. Por lo cual, responde «Da» anuestra pregunta.

En resumen, si hay oro en la isla,

entonces en cada uno de los cuatrocasos obtendremos «Bal» comorespuesta; si no hay oro, obtendremos«Da».

Otra pregunta que produciría elmismo resultado es ésta: «¿Es elcaso que tú eres humano si y sólo si“Bal” es la respuesta verdadera a lapregunta de si hay oro en esta isla?»

163.Probaré primero que C no puede

ser zombi. Bien, supóngase que lofuera. Entonces A y B tienen que ser

hermanos y, por tanto, ambos sonhumanos o ambos son zombis.Supóngase que ambos son humanos.Entonces «Bal» significa realmentesí, de donde se sigue que Arespondió en efecto con sí cuando sele preguntó si el acusado erainocente, por tanto el acusado esinocente. Supóngase que A y B sonambos zombis. Entonces «Bal»significa realmente no, y puesto queA es un zombi y respondió no cuandose le preguntó si el acusado erainocente, se sigue que el acusado es

inocente. Así pues, si C es un zombientonces el acusado es inocente (conindependencia de que A y B seanambos humanos o ambos zombis).Por otra parte, si C es un zombientonces el acusado ha de serculpable, puesto que C dice que esinocente. Ello es una contradicción;por lo tanto, C no puede ser unzombi, así pues es humano. Y dadoque C dice que el acusado esinocente, el acusado es realmenteinocente.

164.Puesto que C es humano, A y B

no son hermanos. Lo cual nosignifica, necesariamente, porsupuesto, que sean de tiposdiferentes; pueden ser del mismo tipoaun cuando no sean hermanos. Dehecho, deben ser del mismo tipo,porque si fueran diferentes, entoncesel acusado tendría que ser culpable.El lector debería ser capaz de probarfácilmente por sí mismo estaargumentación.

165.De las cuatro respuestas posibles

«Bal», «Da», «Sí», «No»— la únicaque ni un humano ni un zombi podríadar es «No». De manera másespecífica, si el nativo hubiera sidoun humano o un zombi, de haberrespondido en castellano, surespuesta hubiera sido «Sí»; sihubiera respondido en su lenguanativa, entonces si «Bal» significa sí,hubiera respondido «Bal» (conindependencia de que fuera humano ozombi), y si «Bal» significa no,

hubiera respondido «Da». (Dejo allector la prueba de estos hechos.)Por lo tanto, si Craig hubieraobtenido cualquier otra respuestadistinta a «No», le hubiera sidoimposible saber a qué tipo pertenecíael que hablaba. Pero Craig lo sabía,por consiguiente obtuvo la respuesta«No» y el que hablaba era un semi–zombi.

166.Aquí también el que habla tiene

que ser un semi–zombi, y el único

medio por el que Craig podía saberel tipo al que pertenecía el quehablaba era obteniendo la respuesta«Da». Si el nativo hubieserespondido en castellano, elinspector no hubiera podido saberlo,porque tanto un humano como unzombi hubieran respondido «Sí» si«Bal» significa sí, y «No» si «Bal»significa no. De haber respondido«Bal», el nativo podía haber sidohumano, zombi o semi–zombi.

SOLUCIONES DE ¿VIVE AÚNDRÁCULA?

167.Su enunciado es o verdadero o

falso. Supongamos que es falso.Entonces no es ni humano ni estácuerdo; por lo tanto tiene que ser unvampiro loco. Pero los vampiroslocos hacen solamente enunciadosverdaderos, y tenemos unacontradicción. Por lo tanto, suenunciado es verdadero. Los únicosque hacen enunciados verdaderos sonlos humanos cuerdos o los vampiros

locos. Si él fuese un vampiro loco,entonces tendría que ser o humano ocuerdo, y su enunciado sería falso.Pero sabemos que el enunciado esverdadero. Por lo tanto tiene que serun humano cuerdo.

168.Tiene que ser un vampiro loco.

169.No, esta vez es un vampiro

cuerdo.

170.Un humano cuerdo respondería

«No» a esta pregunta, y cualquiera delos otros tres tipos respondería «Sí».Si hubiese obtenido como respuesta«Sí», no sabría de qué tipo era. Perohe dicho que lo supe, por lo tanto norespondió «Sí». De este modo élrespondió «No», de donde se sigueque tiene que ser un humano sano.

171.No puede inferirse si es humano

o vampiro, pero se sigue que estáloco. Un humano cuerdo no diría quees un vampiro y un vampiro cuerdo

sabría que es un vampiro y entoncesmentiría y diría que es humano. Porotra parte, un humano loco creería, ypor lo tanto diría, que es un vampiro,y un vampiro loco creería que erahumano y entonces diría que es unvampiro.

172.Esta vez todo lo que se sigue es

que él es un vampiro. Un humanocuerdo no podría decir que está loco,y un humano loco creería que estácuerdo y, al ser humano, no podría

decir que está loco.

173.Estoy seguro de que pueden

encontrarse muchos pares deenunciados de este tipo; el par quetengo presente es éste:

X: Si estoy cuerdo, entonces soyhumano.

Y: Si soy humano, entonces estoycuerdo.

Supongamos que el hablanteasevera X. Demostraremos que Ytiene que ser verdadero, esto es, que

si es humano, entonces está cuerdo.Bien, supongamos que es humano.Entonces es verdad que si estácuerdo entonces es humano (puestoque es humano, punto). Esto significaq u e X es verdadero. Entonces elhablante ha de estar cuerdo, puestoque los humanos locos no hacenenunciados verdaderos. Por lo tanto,si es humano, está cuerdo; de dondeY es verdadero.

Inversamente, supongamos que elhablante asevera Y. Hemos demostrar que X es verdadero. Bien,

supongamos que está cuerdo.Entonces Y ha de ser verdadero. Deaquí se sigue que el hablante eshumano (puesto que los vampiroscuerdos no hacen enunciadosverdaderos). De este modo, eshumano (bajo la suposición de queestá cuerdo). Por lo tanto si estácuerdo entonces es humano y así elenunciado X es verdadero.

174.La respuesta a ambas preguntas

es «Sí». Supongamos que un

transilvano cree un cierto enunciadoX. Entonces, desde luego, no se sigueq u e X tenga que ser verdadero,puesto que puede estar loco. Pero sicree que cree X, entonces X tiene queser verdadero. Pues supongamos porun lado que está cuerdo. Puesto quecree el enunciado de que cree que X,entonces el enunciado de que creeque X tiene que ser verdadero. Por lotanto cree de hecho que X; y, puestoque está cuerdo, X tiene que serverdadero. Supongamos por otrolado que él está loco. Puesto que él

cree el enunciado de que él cree queX, entonces el enunciado de que élcree que X tiene que ser falso. Por lotanto no cree realmente que X(solamente piensa que lo cree).Puesto que no cree que X, y estáloco, entonces de nuevo X tiene queser verdadero.

Así pues, hemos mostrado que siun transilvano cree que cree X,entonces X tiene que ser verdaderoindependientemente de si está cuerdoo loco. Similarmente puedemostrarse que si no cree que él cree

que X, entonces X tiene que ser falso.Dejamos esto para el lector.

175.De nuevo ambas respuestas son

«Sí» —esto es un corolario de lasolución al problema precedente.

Supongamos que A asevera quecree que X. Supongamos que A eshumano. Entonces cree lo queasevera, de modo que cree que X.Entonces, como hemos visto en lasolución al problema 174, A tieneque ser verdadero, esté A cuerdo o

loco. Similarmente, supongamos queA es un vampiro. Entonces no cree loque asevera, de modo que no creeque cree que X. Así, X tiene que serfalso, esté A cuerdo o loco.

176.A asevera que cree que B es

humano. B asevera o que cree que Aes humano, o asevera que cree que Ano es humano. Si lo último fuera elcaso, obtendríamos la contradicciónsiguiente. Tenemos:

(1) A dice que cree que B es

humano.(2) B dice que cree que A no

es humano.

Supongamos que A es humano.Entonces por (1) se sigue, por elprincipio del problema 175, que B eshumano. Entonces por (2) se sigue(por el mismo principio) que A no eshumano. Por lo tanto es unacontradicción el que A es humano.

Supongamos que A es unvampiro. Entonces a partir de (1), Bno es humano (por el mismo

principio), de modo que B es unvampiro. Entonces a partir de (2) sesigue (por el mismo principio) que Aes humano. Esto es de nuevo unacontradicción. Por lo tanto, si Bhubiese respondido «No» tendríamosuna contradicción. Por lo tanto Brespondió «Sí».

177.No puede inferirse nada en

absoluto, puesto que todos lostransilvanos responderán «Sí» a estapregunta. El lector puede comprobar

esto por sí mismo.

178.Este es un caso diferente; a partir

de la respuesta no puede inferirse siel hablante es humano o vampiro,pero puede inferirse si está cuerdo.Si está cuerdo, entonces responderá«Sí»; si está loco entoncesresponderá «No». Dejamos lademostración al lector.

179.No, no puede determinarse.

Podría suceder que él fuese un

humano cuerdo y que Dráculaviviese, o podría suceder que fueseun vampiro loco y Drácula estuviesemuerto. (De hecho, si es un vampiroloco, entonces Drácula podría estarvivo o muerto.)

180.De nuevo la respuesta es «No».

181.La respuesta es todavía «No». El

podría ser, por ejemplo, un vampiroloco, en cuyo caso Drácula podríaestar o no vivo.

182.Sí, esta vez se seguiría que

Drácula está vivo.Usemos la terminología del

problema 177 y reformulemos elenunciado del nativo de la siguientemanera: «Si soy formal entoncesDrácula vive.»

Hemos demostrado en el capítulo8 (véanse las soluciones a losproblemas 109–112) que si un nativode una isla de caballeros y escuderosdice: «Si yo soy un caballeroentonces tal y tal», entonces el

hablante tiene que ser un caballero yel tal y tal tiene que ser verdadero.Similarmente, si un habitante deTransilvania dice, «Si yo soy formalentonces tal y tal», entonces tiene queser formal y el tal y tal tiene que serverdadero. La demostración esrealmente la misma —solamente hayque sustituir la expresión «uncaballero» por «formal».

183.Un enunciado que funcionaría es:

«Yo soy informal y Drácula está

muerto.» Dejamos la demostración allector. (Consejo: poner primero demanifiesto que el hablante no esformal.)

184.Una oración que hace esto es la

siguiente: «Yo soy formal si y sólo siDrácula vive aún.»

En la solución al problema 122del capítulo 8 demostramos que si unhabitante de una isla de caballeros yescuderos dice: «Yo soy uncaballero si y sólo si tal–y–tal»,

entonces el tal–y–tal tiene que serverdadero (pero no es posible decirsi el hablante es caballero oescudero). Similarmente, si untransilvano dice: «Yo soy formal si ysólo si tal–y–tal», entonces el tal–y–tal tiene que ser verdaderoindependientemente de si el hablantees formal o no. La demostración esrealmente la misma —solamente hayque sustituir «caballero» por«formal». Existen varios enunciadosdistintos que también funcionarían.Por ejemplo: «Creo que el enunciado

de que Drácula vive es equivalenteal enunciado de que yo soy humano.»Otro ejemplo, más bien divertidosería: «Creo que si alguien mepreguntase si Drácula vive aún,entonces respondería “Sí”.»

185.Sí, se seguiría que Drácula tiene

que estar muerto.A partir de (1) podemos inferir

que el hablante es humano, puestoque un vampiro cuerdo sabría queestá cuerdo y por lo tanto dice que

está loco, y un vampiro loco creeríaque está cuerdo y entonces diría queestá loco. Por lo tanto el hablante eshumano.

Recordemos el principioestablecido en el problema 175:cuando un humano dice que él creealgo, entonces ese algo tiene que serverdadero (independientemente de siestá cuerdo o está loco). Bien,nosotros sabemos que el hablante eshumano y que dice que cree queDrácula está muerto. Por lo tanto elConde Drácula tiene que estar

muerto.

186.A partir de su primer enunciado

«Yo soy humano», se sigue, no que élsea humano, sino que tiene que estarcuerdo. (Un humano loco no sabríaque él era humano, y un vampiro locopensaría que es humano y, por lotanto, diría que es un vampiro.)Ahora que sabemos que está cuerdo,vamos a demostrar que es humano.Supongamos que él fuese un vampiro.Entonces es falso que es un humano,

y puesto que un enunciado falsoimplica cualquier enunciado,entonces su segundo enunciado —«Sisoy humano entonces Drácula viveaún»— tendrá que ser verdadero.

Pero un vampiro cuerdo no puedehacer enunciados verdaderos, demodo que tenemos una contradicción.Por lo tanto no puede ser un vampiro;tiene que ser un humano.

Ahora sabemos que él es, a lavez, humano y cuerdo, de modo quehace enunciados verdaderos. Por lotanto, su segundo enunciado, a saber:

que si él es humano entonces elConde Drácula vive aún, tiene queser verdadero. Pero él es humano.Por lo tanto Drácula vive aún.

187.Pregúntale solamente si está

cuerdo. Un humano (esté cuerdo ono) responderá «Sí» y un vampirorespondería «No».

188.Pregúntale solamente si es

humano. Un transilvano sano (seahumano o vampiro) dirá «Sí» y un

transilvano loco dirá «No».Para el puñado de problemas

siguientes diré sólo cuáles son laspreguntas. En este momento debestener la suficiente experiencia paraser capaz de demostrar por ti mismoque esas preguntas valen para tuspropósitos.

189.Una pregunta que vale es: «¿Cree

usted que es humano»? Todos lostransilvanos tienen que responder«Sí» a esta pregunta. No se trata de

que todos ellos crean que sonhumanos (sólo los humanos cuerdos ylos vampiros locos creen esto), sinoque todos los nativos dirán que locreen.

Otra pregunta que valdría es:«¿Es usted formal?» Todos lostransilvanos afirmarían que sonformales.

190.Cualquiera de estas dos

preguntas valdría:

(1) «El enunciado de que usted es

formal es equivalente al enunciadode que Drácula está vivo?»

(2) «¿Cree usted que elenunciado de que usted es humano esequivalente al enunciado de queDrácula está vivo?»

191.Pregúntale: «¿La respuesta

correcta a la pregunta de si usted estácuerdo es “Bal”?» Si contesta «Bal»entonces es humano; si responde«Da», entonces es vampiro.

192.

Pregúntale: «¿La respuestacorrecta a la pregunta sobre si ustedes humano es “Bal”?» Si él responde«Bal», entonces está cuerdo; siresponde «Da», entonces está loco.

193.Pregúntale: «¿Cree usted que es

humano?» Sea cual sea la palabraque él responda tiene que significarsí. Alternativamente, pregúntale:«¿Es usted formal?»

194.Una pregunta que funcionaría es:

«¿Es “Bal” la respuesta correcta a lapregunta de si usted es formal?»(Recuerdo que ser formal significaser o un humano sano o un vampiroloco.)

Otra pregunta que funciona: «¿Esusted formal si y sólo si “Bal”significa sí?»

Cualquiera de estas preguntasforzará a responder con un «Bal»,como puede demostrarseesencialmente de la misma maneraque en el problema 161 del capítulo11 (excepto en que ser formal juega

ahora el papel jugado por serhumano).

195.Cualquiera de las siguientes

preguntas realizarán la tarea.

(1) ¿Cree usted que «Bal»es la respuesta correcta a lapregunta de si el enunciado deque usted es humano esequivalente al enunciado de queDrácula está vivo?

(2) ¿Es «Bal» la respuestacorrecta a la pregunta de si el

enunciado de que usted esformal es equivalente alenunciado de que Drácula estávivo?

Una solución mucho más simple ymás elegante es la proporcionada porel principio unificador que se explicaen el número 196.

196.Definamos un transilvano de élite

de tal modo que sea del tipo 1 siresponde «Bal» a la pregunta: «¿Es 2más 2 igual a 4?» Esto significa,

naturalmente, que dada cualquier otrapregunta cuya respuesta correcta sea«Sí», un transilvano del tipo 1responderá «Bal» a esta pregunta.Definiremos un transilvano de élitede tal modo que sea del tipo 2 si noes del tipo 1. Esto significa que dadocualquier enunciado verdadero X(como 2 más 2 igual a cuatro), si sele pregunta a un transilvano del tipo2 si X es verdadero, éste responderá«Da».

Observemos inmediatamente quesi «Bal» significa sí, entonces las

personas del tipo 1 son aquellas queson formales, y las personas del tipo2 son aquellas que son informales. Si«Bal» significa no, entonces tenemoslo contrario (tipo 1 = informal y tipo2 = formal).

Ahora bien, el principiounificador es éste: para averiguarrespecto de un enunciado X dado si Xes verdadero, sólo tienes quepreguntar a un transilvano de élite siX es equivalente al enunciado de queél (el transilvano al que le preguntas)es del tipo 1. Puedes parafrasear tu

pregunta de la siguiente manera: «¿EsX verdadero si y sólo si usted es deltipo 1?» Demostraremos que si élresponde «Bal», entonces X tiene queser verdadero, y que si él responde«Da», entonces X tiene que ser falso.Así la oración «mágica» O es:«Usted es del tipo 1» (O «Ustedresponde “Bal” a la pregunta de si 2+ 2 = 4»).

Demostración: O es la oración:«Usted es del tipo 1»; X es la oracióncuya verdad tú deseas averiguar. La

pregunta que tú planteas es si O esequivalente a X. Supongamos que túobtienes la respuesta «Bal». Hemosde demostrar que entonces X tieneque ser verdadera.

Caso uno: «Bal» significa sí. Eneste caso sabemos dos cosas: (i) tipo1 = formal; (ii) el hablante, al decir«Bal», está aseverando que O esequivalente a X.

Subcaso 1a: El hablante es deltipo 1. Entonces el hablante es

formal y hace enunciadosverdaderos. Entonces O es realmenteequivalente a X y O es tambiénverdadera (puesto que el hablante esdel tipo 1). Por lo tanto X esverdadera.

Subcaso 1b: El hablante es deltipo 2. Entonces es informal y haceenunciados falsos. Puesto queasevera que O es equivalente a X,entonces O no es equivalente a X.P e r o O es falsa (puesto que elhablante no es del tipo 1), y X no es

equivalente a O, de modo que X esverdadera.

Caso dos: «Bal» significa no. Eneste caso sabemos dos cosas: (i) tipo1 = informal; (ii) el hablante estáaseverando que O no es equivalentea X.

Subcaso 2a: El hablante es deltipo 1. Entonces es informal y haceenunciados falsos. Aseverafalsamente que O no es equivalente aX: por lo tanto O es realmente

equivalente a X puesto que O esverdadera. Por consiguiente X esverdadera.

Subcaso 2b: El hablante es deltipo 2. Entonces es formal y haceenunciados verdaderos. Por lo tantoO no es equivalente a X (puesto queel hablante asevera que no lo es),sino que O es falsa; por consiguienteX tiene que ser de nuevo verdadera.

Hemos mostrado que unarespuesta «Bal» significa que X es

verdadera. Podríamos llevar a cabouna ronda similar de razonamientopara demostrar que una respuesta«Da» significa que X es falsa. Sinembargo, podemos tomar el atajosiguiente:

Supóngase que el transilvano encuestión responde «Da». Ahora bien,responder «Da» a esta pregunta esrealmente lo mismo que responder«Bal» a la pregunta: «¿Es usted deltipo 1 si y sólo si X es falsa?»(Puesto que para cualesquiera dosenunciados Y y Z, el enunciado de

q u e Y es equivalente a Z esprecisamente lo contrario delenunciado de que Y es equivalente an o Z). Así él habría respondido«Bal» si le hubieses preguntado:«¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X esfalsa?» Puesto que él habríarespondido «Bal» a esto, entonces sesigue (por la demostración anterior)que X es realmente falsa.

197.(1) y (2) En dos ocasiones

Drácula dijo: «Oh, sí.» Un

transilvano de élite no usa nunca lapalabra «Sí».

(3) Cuando el transilvanofortachón y de aspecto brutal me dijoque no podía abandonar el castillosin permiso del anfitrión, ¿por quétenia que haberlo creído?

(4) Cuando el anfitrión me envióel mensaje «Naturalmente, no», ¿porqué tenia que haberlo creído? Nosabía aún que el anfitrión era unvampiro loco y que hacía enunciados

correctos.

SOLUCIONES DE LA PARADOJA A LAVERDAD

257.Todo lo que tiene que decir es

«Seré ahorcado».

258.La respuesta es que es

lógicamente imposible que exista unbarbero tal.

259.Lo que deberías decir es que el

autor está mintiendo de nuevo. Lasituación que yo he descrito es

bastante imitable, se trata realmentede la Paradoja de la Doble tarjeta deJourdain con un ropaje ligeramentediferente (véase el problema 254).

Si A es un caballero entonces Bes realmente un escudero, por lo cual¡A no es realmente un caballero! SiA es un escudero, entonces B no esrealmente un escudero, es uncaballero y por tanto su enunciado esverdadero, lo cual hace que A sea uncaballero. De donde se sigue que Ano puede ser un caballero o unescudero sin caer en contradicción.

SOLUCIONES DE ELDESCUBRIMIENTO DE GÖDEL

264a.Por la condición E1, el conjunto

E de todos los caballerosestablecidos forma un club. De aquíse sigue que. por la condición C, elconjunto E’ de todas las personas dela isla que no son caballerosestablecidos forma también un club.Entonces, por la condición G, hay almenos una persona en la isla queafirma ser un miembro del club E —en otras palabras, afirma que no es

un caballero establecido.Ahora bien, no es posible que un

escudero pudiera afirmar que no esun caballero establecido (porque esverdad que un escudero no es uncaballero establecido), de donde sesigue que el que tal afirma tiene queser un caballero. Puesto que es uncaballero, entonces lo que dice esverdad, por lo que no es un caballeroestablecido. Por lo tanto, el que talafirma es un caballero, pero no uncaballero establecido.

Por la condición E2, el conjunto

de los escuderos establecidos formaun club. Por lo tanto (por lacondición G), hay al menos unapersona en la isla que afirma ser unescudero establecido (afirma ser unmiembro del club de los escuderosestablecidos). Esta persona no puedeser un caballero (puesto que ningúncaballero afirmaría ser escudero deningún género), de donde se sigueque es un escudero. Por lo tanto suenunciado es falso, de suerte que noes un escudero establecido. Estoquiere decir que es un escudero, pero

no un escudero establecido.

264b.Si el conjunto de los escuderos

formara un club, entonces al menosun habitante afirmaría ser unescudero, lo cual es algo que ni uncaballero ni un escudero podríanhacer. Por lo tanto, el conjunto de losescuderos no forma un club.

Si el conjunto de los caballerosformara un club, entonces el conjuntode los escuderos también lo formaría(por la condición C), de donde se

sigue que los caballeros tampocoforman un club.

Observaciones. (1) El problema264b proporciona una soluciónalternativa al problema 264a, la cual,aun cuando sea no constructiva,puede ser algo más simple.

Si todo caballero fueraestablecido, entonces el conjunto delos caballeros sería el mismo que elconjunto de los caballerosestablecidos; pero esto es imposible,porque el conjunto de los caballeros

establecidos forma un club (por lacondición E1), pero el conjunto delos caballeros no lo forma (por elproblema 264b). Así pues, lasuposición de que todos loscaballeros son establecidos conducea una contradicción, de donde sesigue que tiene que haber al menos uncaballero no establecido.Similarmente, si todo escudero fueraestablecido, entonces el conjunto delos escuderos establecidos sería elmismo que el conjunto de losescuderos, lo cual no puede ser,

puesto que el conjunto de losescuderos establecidos forma unclub, mientras que el conjunto de losescuderos no lo forma.

Por contraste con esta segundademostración, la primera que másarriba hemos efectuado nos informaespecíficamente que todo el queafirme ser un caballero noestablecido tiene que ser uncaballero no establecido, y que todoel que afirme ser un escuderoestablecido tiene que ser un escuderono establecido.

(2) Nuestra demostración de queel conjunto de los escuderos noforma un club utilizó solamente lacondición G; las condiciones E1, E2y C no fueron necesitadas para ello.Así pues, la condición G solaimplica que los escuderos no formanun club. De hecho, la condición G esequivalente al enunciado de que losescuderos no forman un club, porquesi se supone que se nos da que elconjunto de los escuderos no formaun club, podemos derivar lacondición G como sigue.

Tómese cualquier club C. Puestoque el conjunto de los escuderos noes un club, entonces C no es elconjunto de todos los escuderos. Dedonde se sigue que o algún caballeropertenece a C o algún escudero nopertenece a C. Si algún caballeropertenece a C, ciertamente afirmaríapertenecer a C (puesto que él esveraz). Si algún escudero noperteneciera a C, afirmaría asimismopertenecer a C (puesto que miente).Así, en uno u otro caso, alguienafirma pertenecer a C.

NOTAS

{1} El 1 de abril es elequivalente anglosajón de nuestrosInocentes. (N. de la T.)

{2} Roget's Thesaurus, famosodiccionario de sinónimosnorteamericanos. (N. de la T.)

{3} El subrayado es mío. (N. delA.)

{4} Estamos llamando A alacusado, B al abogado defensor y Cal fiscal.

{5} Conviene recordar que loscaballeros son del rango superior,los normales del rango medio, y losescuderos del rango inferior.

{6} Una proposición que implicauna proposición falsa ha de ser falsa,puesto que una proposiciónverdadera no puede implicar nuncauna proposición falsa. En el caso quenos ocupa, la proposición de que Bes caballero implica la proposiciónfalsa de que A es escudero, de ahíque deba ser falso el que B sea

caballero. Estamos ante otro caso dereductio ad absurdum.

{7} Llegamos a ello asumiendocomo premisa que A es caballero ysacando como conclusión que C escaballero. Por el hecho 4 de laimplicación se sigue que si A escaballero entonces C es caballero.

{8} Ya que Benvenuto Celliniera un tanto fanfarrón, ¿por qué noseguir sus pasos?

{9} Porque la premisa de que elcofre de oro fuera obra de un Bellininos lleva a la conclusión de que el deplata es de Cellini. Hemos vuelto ahacer uso del Hecho 4 de laimplicación (véase el último párrafodel preámbulo al capitulo"Adivinanzas lógicas").

{10} Para más detalles, véaseMartin Gardner, The SecondScientific American Book of Puzzlesand Diversions, Nueva York, Simonand Schuster, 1961.

{11} Martin Gardner.Mathematical Carnival, NuevaYork. Vintage Hooks. 1979. Ed. esp.,Carnaval matematico. Madrid.Alianza Editorial, 1980.

{12} Dado que la traduccióncastellana de sanity clause (cláusulade cordura) no conservaría el juegode palabras Santa Claus / SanityClause, he optado por conservar lasexpresiones originales.

{13} La traducción castellana

sería «Ah, ¡eso sería harina de otrocostal! ¡Pero eso sería unacontradicción, puesto que el caballosería de otro color!» Las razonespara reproducir el original sonobviamente las mismas que en elcaso de Santa Claus antesconsiderado.

{14} Me lo ha proporcionado elfilósofo Richard Cartwright.

{15} Respecto a la condición H,para cada número n hay una oración

que afirma que n es extraordinario;esta oración (al igual que cualquierotra oración) tiene un número deGödel —llamemos n* a este número.Bien, ocurre que para cualquierconjunto definible A, el conjunto detodos los números n tales que n* estáen A es un conjunto B que es tambiéndefinible. Puesto que n* es unasociado de n, la condición H quedasatisfecha.