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FIME COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA UANL
CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ 1
Compensador en atraso-adelanto
por el método de respuesta en frecuencia
FIME COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA UANL
CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ 2
Compensador electrónico en atraso-adelanto con amplificadores operacionales
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=
111
242
22
11
131
53
640
sCRRCR
CRsCRR
RRRR
sEsE
i
( ) ( ) 24222221111311 CRRTCRTCRTCRRT +===+= βα
( )( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
2
2
1
1
2
2
1
101
1
1
1
11
11
Ts
Ts
Ts
Ts
KsT
sTsT
sTKsEsE
cci
βαβα
αβ
( )( )42531
31642
2
42
31
1 11RRRRRRRRRRK
RRR
RRR
c ++
=>+
=<+
= βα
La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.
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Procedimiento Determine el valor de K para que cumpla con el coeficiente estático de error. Grafique el diagrama de Bode. Obtenga el Margen de fase y el Margen de ganancia con sus respectivas frecuencias. Escoja la nueva frecuencia de transición de ganancia nω Calcule el ángulo necesario mφ que deberá proporcionar el compensador en adelanto, este es
adicespmm MFjG φωφ ++∠−°−= )(180 (los grados adicionales adicφ son aproximadamente 5˚, debido a la caída de ángulo proporcionada por el compensador en atraso). Si el compensador en adelanto no puede proporcionar este ángulo, porque °> 65mφ deberemos escoger otra frecuencia (disminuir la frecuencia) de transición de ganancia. Calcule el factor α y αlog10 .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=m
m
sensen
φφα
11
El compensador en atraso deberá proporcionar suficiente atenuación para que la magnitud en nω sea de
αlog10 . La atenuación total que deberá proporcionar el compensador en atraso, es la magnitud ( )mjG ω más los
αlog10 . ( ) αωβ log10log20 −= mjG
(Recuerde que el factor β debe ser menor a 17). Ubique al cero del compensador en atraso una década por debajo de la nueva frecuencia de transición de ganancia nω .
101
2
m
Tω
=
Y al polo como.
2
1Tβ
El compensador en adelanto tendrá el cero ubicado en
αωmT=
1
1
y el polo en
1
1Tα
El compensador en atraso- adelanto sería:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2
1
11
11
1
11)(
TS
TS
TS
TS
SGc
ββ
αα
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Ejemplo 1 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
( ) ( )( )6224
++=
sssKsG
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones:
El error en estado estable para una entrada rampa con pendiente π2 debe ser menor o iguala 10π
Un margen de fase °≥ 45MF La frecuencia de cruce de ganancia seg
radc 1≥ω
Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
( ) ( )( ) Ksss
KsssGKssv 2
6224limlim
00=
++==
→→
Como se desea que 10π
=sse entonces
KKKR
ev
ssππ
===221 por lo que
10ππ
=K
entonces 10=K
El sistema sería
( ) ( )( )62240
++=
ssssG
El margen de fase para este sistema es
segraddBMGsegradMF c
/47.393.7/3.578.20
=−==°−=
ωω
Se escoge como frecuencia de transición de ganancia la misma que la original o la que se encuentre más cercana a ella
7.4=mω ( ) °−=∠ 195mjG ω ( ) dBjG m 356.2=ω
adicespmm MFjG φωφ ++∠−°−= )(180
[los grados adicionales adicφ son aproximadamente °5 , debido a la caída de ángulo proporcionada por el compensador en atraso, no se proporcionan grados adicionales debido al compensador en adelanto ya que no existe corrimiento de frecuencia].
( ) °=°+°+°−−°−= 65545195180mφ
Si el compensador en adelanto no puede proporcionar este ángulo [porque °> 65mφ ] deberemos escoger otra frecuencia (disminuir la frecuencia) de transición de ganancia. Entonces
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049.0651651
11
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
°+°−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
dB098.13log10 −=α
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la frecuencia de transición de ganancia mω se debe de tener una magnitud de αlog10 , entonces debemos de bajar la magnitud de ( )mjG ω hasta los αlog10 (Recuerde que el factor β debe ser menor a 17)
( ) αωβ log10log20 −= mjG 925.5=β
Con los términos de mω , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del compensador El cero del compensador en adelanto sería
04.1049.07.41
1=== αωmT
El polo
232.21049.004.11
1==
Tα
El cero del compensador en atraso sería
47.010
1
2== m
Tω
El polo
079.0925.547.01
2==
Tβ
El compensador en atraso-adelanto sería
( ) ( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=925.51
079.047.0
049.01
232.2104.1
ss
sssGc
El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia mω
( ) °−=°−°=−=∠ −− 75.4037.89289.84079.0
tan47.0
tan 11 mmmc jG
ωωω
El sistema compensado en atraso-adelanto
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=925.51
079.047.0
049.01
232.2104.1
62240
ss
ss
ssssGsG c
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( ) ( ) 1
091.19lim −
→== segsGssGK csv
En 7.4=mω
( ) ( ) dBjGjG mcm 043.0=ωω ( ) ( ) °−=∠ 73.134mcm jGjG ωω
Para el sistema compensado
segraddBMGsegradMF
f
m
/9.115.13/72.41.45
===°=ω
ω
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SISTEMA SIN COMPENSAR SISTEMA COMPENSADO
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Ejemplo 2 Si seleccionamos una nueva frecuencia de transición de ganancia 2=mω
2=mω ( ) °−=∠ 43.153mjG ω ( ) dBjG m 532.16=ω
adicespmm MFjG φωφ ++∠−°−= )(180
( ) °=°+°+°−−°−= 43.2354543.153180mφ Entonces
431.043.23143.231
11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°+°−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
dB655.3log10 −=α
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la frecuencia de transición de ganancia mω se debe de tener una magnitud de αlog10 , entonces debemos de bajar la magnitud de ( )mjG ω hasta los αlog10 (Recuerde que el factor β debe ser menor a 17)
( ) 187.20655.3532.16log10log20 =+=−= αωβ mjG
218.10=β
Con los términos de mω , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del compensador El cero del compensador en adelanto sería
313.1431.021
1=== αωmT
El polo
046.3431.0313.11
1==
Tα
El cero del compensador en atraso sería
2.010
1
2== m
Tω
El polo
019.0218.102.01
2==
Tβ
El compensador en atraso-adelanto sería
( ) ( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=218.101
019.02.0
431.01
046.3313.1
ss
sssGc
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El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia mω
( ) °−=°−°=−=∠ −− 167.5456.89289.84019.0
tan2.0
tan 11 mmmc jG
ωωω
El sistema compensado en atraso-adelanto
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=218.101
019.02.0
431.01
046.3313.1
62240
ss
ss
ssssGsG c
1606.20 −= segKv
En 2=mω
( ) ( ) dBjGjG mcm 043.0=ωω ( ) ( ) °−=∠ 17.135mcm jGjG ωω
Para el sistema compensado
segraddBMGsegradMF
f
m
/71.4746.11/282.44
===°=ω
ω
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SISTEMA SIN COMPENSAR SISTEMA COMPENSADO
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Ejemplo 3 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
( ) ( )( )21 ++=
sssKsG
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones: El coeficiente estático de error de velocidad 110 −= segKv Un margen de fase °= 50MF Un margen de ganancia de dBMG 10≥ Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
( ) ( )( ) 221limlim
00
Ksss
KsssGKssv =
++==
→→
Como se desea que 10=vK entonces
102=
K por lo que 20=K
El sistema sería
( ) ( )( )2120
++=
ssssG
El margen de fase para este sistema es
segraddBMGsegradMF
f
c
/41.151.10/43.217.28
=−==°−=
ωω
Se escoge como frecuencia de transición de ganancia
5.0=mω
5.0=mω ( ) °−=∠ 601.130mjG ω ( ) dBjG m 788.24=ω
adicespmm MFjG φωφ ++∠−°−= )(180
( ) °=°+°+°−−°−= 601.5550601.130180mφ Entonces
822.0601.51601.51
11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°+°−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
dB8507.0log10 −=α
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Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la frecuencia de transición de ganancia mω se debe de tener una magnitud de αlog10 , entonces debemos de bajar la magnitud de ( )mjG ω hasta los αlog10 (Recuerde que el factor β debe ser menor a 17)
( ) 639.258507.0788.24log10log20 =+=−= αωβ mjG
14.19=β
Como la β es mayor a 17 será necesario aumentar la frecuencia de transición de ganancia mω elegida para que aumente el angulo mφ y disminuya la β . Seleccionamos una nueva frecuencia de transición de ganancia 1=mω
1=mω ( ) °−=∠ 565.161mjG ω ( ) dBjG m 02.16=ω
adicespmm MFjG φωφ ++∠−°−= )(180
( ) °=°+°+°−−°−= 565.36550565.161180mφ Entonces
253.0565.361565.361
11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°+°−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
dB969.5log10 −=α
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso.
( ) 989.21969.502.16log10log20 =+=−= αωβ mjG
573.12=β
Con los términos de mω , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del compensador El cero del compensador en adelanto sería
503.0253.01
1=== αωmT
El polo
988.1253.0503.01
1==
Tα
El cero del compensador en atraso sería
1.010
1
2== m
Tω
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El polo
0079.0573.121.01
2==
Tβ
El compensador en atraso-adelanto sería
( ) ( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=573.121
0079.01.0
253.01
988.1503.0
ss
sssGc
El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia mω
( ) °−=°−°=−=∠ −− 258.5547.89289.840079.0
tan1.0
tan 11 mmmc jG
ωωω
El sistema compensado en atraso-adelanto
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=573.121
0079.01.0
253.01
988.1503.0
2120
ss
ss
ssssGsG c
1068.10 −= segKv
En 1=mω
( ) ( ) dBjGjG mcm 044.0=ωω ( ) ( ) °−=∠ 23.130mcm jGjG ωω
Para el sistema compensado
segraddBMGsegradMF
f
m
/33.237.11/177.49
===°=ω
ω
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SISTEMA SIN COMPENSAR SISTEMA COMPENSADO