competencias de lÓgico matemÁtico
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COMPETENCIAS DE LÓGICO MATEMÁTICO
LIC. MARISOL ZELARAYAN ADAUTO
EXPLORA EL RAZONAMIENTO LÓGICO – MATEMÁTICO: COMPRENSIÓN, INTERPRETACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, APLICANDO CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y CÁLCULOS BÁSICOS.DIRECTIVA Nº 177-2006/DM/SPE.
PENSAMIENTO LÓGICO - MATEMÁTICOEl pensamiento lógico-matemático es aquella capacidad que nos permite comprenderlas relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlasy formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. Consecuentemente,esta forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de procesos cognitivostales como: razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar,calcular, inferir, efectuar algoritmos y modelizar en general y, al igual que cualquierotra forma de desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadienace, por ejemplo, con la capacidad de razonar y demostrar, de comunicarse matemáticamenteo de resolver problemas. Todo eso se aprende. Sin embargo, esteaprendizaje puede ser un proceso fácil o difícil, en la medida del uso que se haga deciertas herramientas cognitivas.
Es importante dejar establecido que el pensamiento lógico-matemático se construyesiguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica, existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial,que en matemática es de tipo INTUITIVO CONCRETO; el pensamiento racional quees GRÁFICO REPRESENTATIVO en matemática y el pensamiento lógico, que es denaturaleza CONCEPTUAL O SIMBÓLICA.
Para aprender nociones abstractas o generalizaciones teóricas de los tipos que abundan en matemática, es necesario que en el cerebro humano se hayan configurado determinadasestructuras mentales que hagan posible su asimilación, acomodación y conservación.Es indispensable, en consecuencia, que el mediador del aprendizaje sea consciente de que, para aprender una estructura matemática, el estudiante debe haber desarrollado una determinada estructura mental que haga posible ese aprendizaje.
CAPACIDADES DE AREA
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN.
Comprende las capacidades específicas de generalizar, hacer conjeturas, argumentar, demostrar, verificar, hallar contraejemplos.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
La comunidad científica, los diversos equipos profesionales de las diferentes áreas del conocimiento, los comunicadores y, en general, todos para comunicamos y entendernos mejor, usamos cada vez más el recurso gráfico: gráficas estadísticas bidimensionales o tridimensionales, tablas o cuadros de doble entrada, diagramas de flujos, mapas, etc. Así también, el uso de símbolos matemáticos por diversos equipos de profesionales se hace más cotidiano, pues simplifica la información. Es decir, se entiende la matemática como la herramienta que ofrece potentes recursos en la comunicación. Esto es reconocido en la frase: “La matemática es un medio de comunicación potente, económico y sin ambigüedades” (Cocckcroft, 1988).
ejemplo Generalmente los deportes que se practican con mayor
frecuencia en las Instituciones Educativas son: fútbol, básquet, vóleibol, atletismo y ajedrez.
Gabino, Doris y Begonia, estudiantes y amigos de la I.E. “MICOLE” cursan, respectivamente, los tres primeros grados de Secundaria y quieren saber las preferencias de sus amigos, en dichos grados de estudios, en la práctica de estos deportes. Para ello han realizado una encuesta a un grupo de compañeros, tomados al azar, mediante la pregunta: ¿Qué deporte practicas con más frecuencia?, aclarando que estos debían indicar no más de un deporte.
De la información recogida se obtuvo los siguientes resultados:
Te convencerás que los datos recopilados han sido organizados en esta tabla, la cual nos permite una mejor lectura y obtener algunas conclusiones. Este es uno de los objetivos de la estadística: organizar información y plasmarla en tablas, cuadros,gráficas y otros a fin de una mejor interpretación de los acontecimientos y tomar decisiones responsables.En base al cuadro podemos afirmar que:• La celda de la 4ta. fila y 1ra. columna nos expresa que hay 9 varones del primer grado que practican frecuentemente atletismo ... ¡Engloba tres conceptos!• El total de mujeres encuestadas del tercer grado fueron: 0 + 14 + 2 + 7 + 0 + 10 = 33.
COMPLETA Y RESPONDE:• En el segundo grado se encuestaron a .... varones y ….
mujeres.• La mayoría de los varones del tercer grado que practican
deportes prefieren:....................... y ......................• El total de alumnos encuestados en el primer grado
fue: ........• ¿Cuál es el porcentaje de ajedrecistas en el tercer grado?• ¿Cuál es el porcentaje de mujeres respecto del total de
los encuestados?• ¿Qué deporte es el más practicado en el primer grado? • Elabora un diagrama de barras sobre los deportes
practicados en el primer grado donde se pueda comparar las aficiones de los varones y mujeres.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
“Un PROBLEMA es una situación a la que se enfrenta un individuo o un grupo para la cuál no se vislumbra un camino aparente u obvio que conduzca hacia su solución.”En la actualidad esta capacidad es considerada como medular en el quehacer matemático
LOS CUARTO PASOS DE RESOLVER PROBLEMAS DE POLYA.
Se han determinado una variedad de pautas que están presentes en el proceso de la resolución de problemas. Para George Polya17 la resolución de un problema consiste, agrandes rasgos, en cuatro fases, las cuales describiremos textualmente como él las enunció:
1º COMPRENDER EL PROBLEMA:Es decir entender de qué se trata y qué solicita la situaciónpresentada. Ello significa responder a las preguntas:• ¿Cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?• ¿Cuál es la condición?, ¿es la condición suficiente para determinar la incógnita?, ¿es insuficiente?, ¿redundante?, ¿contradictoria?
2º CONCIBA UN PLAN.Encuentre la relación entre los datos y
las incógnitas. De no encontrar una relación inmediata considere problemas auxiliares. Obtenga finalmente un plan de solución que puede lograrse si, previamente, se ha tomado en cuenta los siguientes aspectos:
¿Se ha encontrado con un problema semejante? O ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce un problema relacionado con éste?¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? . Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. ¿ha empleado todos los datos, la condición?. Ha considerado todas las nociones escenciales concernientes al problema?...
3º EJECUTE EL PLAN: Ejecutar un plan consiste en implementarlo y desarrollarlo según lo previsto, sin embargo es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones:Al ejecutar su plan de la solución compruebe cada uno de los pasos.¿Puede ver claramente que el paso es correcto?¿Puede demostrarlo?
4º EXAMINE LA SOLUCIÓN.Visión retrospectiva.¿Puede ud. verificar el resultado?
¿Puede verificar el razonamiento?¿Puede obtener el resultado en forma diferente?¿Puede verlo de golpe?¿Puede emplear el resultado o método en algún otro problema?.
DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS DE ESTRATEGIAS METODOLOGICAS SUGERIDAS.
Las estrategias nos permiten transformar el problema en una situación mas sencilla y que sepamos resolver. Es conveniente y necesario a la hora de resolver problema, conocer las posibles estrategias o herramientas heurísticas que existen.
1. ANALOGÍA O SEMEJANZAConsiste en la búsqueda de
semejanzads(parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos, etc. Que ya se hayan resuelto. A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A que nos recuerda?. ¿Es como aquella otra?.
Buscar situaciones semejantes a la propuesta, lo cual nos proporcionará estrategias válidas para la que nos ocupa. Esta estrategia puede ir asociada a la particularización y generalización.
Ejemplo: Hallar x en:
9 17
19 x 3
15
solución P1. FAMILIARIZACIÓN Y COMPRENSIÓN:
en el cuadrado mágico de 9 casillas hay 3 casillas vacías y en la casilla del centro figura la incógnita x que debemos hallar.
P2. DISEÑO DE UN PLAN: Una estrategia plausible puede ser escoger dos de los ocho sumas mencionadas para palntear una ecuación en la que intervenga la incógnita x, de allí podemos despejarla:
9+9+a=a+x+17
P3. EJECUCIÓN DEL PLAN: Si llamamos a al número que va en la casilla que está debajo del 19, se tiene:
28=x+17X=11 P4. EXAMINAMOS LA SOLUCIÓN
OBTENIDA: en el cuadrado o en la ecuación.
2. SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR
Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto mas pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo mas concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso.
Puede ir relacionada a otras estrategias como: generalización, modificación del problema, experimentación.
Problema16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?.Solución:.Emparejar a los 16 jugadores.a)2 jug. – (1,2) = 1 = 2/2(1)b)3 jug. _ (1,2)(1,3)(2,3) = 3 = 3/2 (2)c)4 jug._(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)= 6=6/2(5)
Luego:n/2(n-1)Entonces: 16/2(15) = 120.También se pude hacer utilizando
gráficos.
Ahora Resuelve:
A una reunión asistieron 20 personas. Si cada persona le dio un apretón de manos a cada uno de los otros. ¿Cuántos apretones de manos en total hubo?
Sigue resolviendo!
¿Cuántas formas hay para obtener 10, con sumandos de números impares?: ( El cambio de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones)
Solución: P1. Todas las sumas de 4 números
impares es 10. P2. organizo mis datos: 1,3,5,7,9 y la
suma de dos números impsares siempre es par:
P3. _ 10= 2+8 10= 4+6 10=(1+1)+(1+7) 10=(1+3)+(1+5) 10=(1+1)+(3+5) 10=(1+3)+(3+3)P4. El orden no importa luego tenemos 3
formas.
CONTINUA!
Considera el enunciado del problema anterior, pero cuya suma sea 12.
3. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN.
Las técnicas asociadas a la organización , pasan por realizar símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: El lenguaje de la lógica, el analógico (modelos, manipulaciones, etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas, etc).Así como lo geométrico, algebraico, analítico, probabilístico, etc.
Ejemplo
Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales.¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas?
Solución P1. Todas las formas de distribuir los 3 guantes en 3 cajas . P2. Definimos un código que nos organice la búsqueda . Así
los guantes lo representamos por A y las cajas por B . Quizás este código nos resulte mas fácil de manejar y así resolver el problema.
P3. 1º caja A 2º caja A 3º caja A B B B 1 2 2 1 1 3 2 1 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 P4 - 6 posibiidades.
4. ENSAYO Y ERROR
Consiste en realizar los siguientes pasos:1. Elegir un valor (resultado, operación o
propiedad) posible.2. Llevar a cabo con éste valor las
condiciones indicadas por el problema.
3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado.
Ejemplo: Calcular un número tal que al elevarlo al
cuadrado y sumarle el número buscado obtenemos 132.
Solución:P1. Elegimos un valor: el 10 P2. Llevamos a cabo con este vaolor las e
condiciones del problema: 100+10 =110P3 Probar si hemos logrado el objetivo: 110 es
menor que 132Vovemos a empezar con otro número: 14;
196+14=210; 210 es mayor que 132, luego será 11,12 o´ 13.
Estas estrategias la podemos poner en práctica de diversas formas, veamos:ENSAYO Y ERROR FORTUITO: Realizado sin pautas o al azar.ENSAYO Y ERROR SISTEMÁTICO: Los valores no se eligen a la aventura , sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones posibles hasta encontrar lo que buscamos.ENSAYO Y ERROR DIRIGIDO: En el contrastamos cada respuesta para ver si estamos mas cerca o más lejos del objetivo buscado.
Ejemplo: (ensayo y error fortuito)
Colocar los números del 1 al 8 uno en cada casilla, en la figura que se muestra, de tal manera que las casillas correspondientes a dos números consecutivos no sean contiguos.
5. MARCHA ATRÁS
Se utiliza en los casos en los que conocemos lo que denominamos objetivo o resultado final y el problema consiste en determinar el conjunto correcto de operaciones que nos llevará desde el estado inicial hasta el objetivo.
Ejemplo. Tres personas deciden jugar a tirar
monedas a ver si coinciden en cara o cruz . Cda uno arroja una moneda, el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada componente tenga en ese momento. Despues de tres jugadas, cada jugador a perdido una vez y tiene 240 puntos. ?Cuánto tenía cada uno al principio?.
solución
Desarrollo del juego
Jug.1 Jug.2
Jug.3
Después de la 3º jugada 240 240 240Después de la 2º jugada 120 120 480 Perdió el 3º
Después de la 1º jugada 60 420 240 Perdió el 2º
Al principio 390 210 120 Perdió el 1º
OTRAS. 6. EXPERIMENTACIÓN 7. MODIFICAR EL PROBLEMA. 8. CONTEO DE FIGURAS CONJETURAR. EXPLORACIÓN.TÉCNICAS GENERALES MATEMÁTICAS.1. REDUCCIÓN AL ABSURDO O
CONTRADICCIÓN.2. INDUCCIÓN MATEMÁTICA.3. PRINCIPIO DEL PALOMAR DE DIRICHLET.
G R A C I A S.
