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Classe 2Obi Competenze di Matematica 5 Ottobre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. Si considerino gli insiemi I = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} e F = {⇤, •, �,�, } e sia
la relazione R : I �! F definita come segue:
R = {(x1, •), (x2,�), (x3,�), (x4, ), (x6, •), (x7, ⇤)}
(a) (⇤/2 pt) Rappresentare la relazione con Diagramma di Eulero-Venn
(b) (⇤/2 pt) Indicare se si tratta di una funzione, motivando la risposta.
(c) (⇤/2 pt) Indicare le immagini degli elementi x2, x5, x6, x7 2 I usando una
freccia ( 7!) l’associazione tra gli elementi e le rispettive immagini.
Generalita sulle Relazioni
Si consideri una generica relazioneR : A �! B; si dice Dominio della relazione
(DomR) l’insieme degli elementi di A che ammettono un’immagine secondo
R, mentre si dice Codominio l’insieme di tutte le immagini.
2. (⇤/4 pt) Facendo riferimento alla relazione dell’esercizio 1 si scrivano perelencazione Dominio e Codominio
3. (⇤/2 pt) Spiegare che relazione sussiste tra gli insiemi sui quali e definita una
relazione e Dominio e Codominio della relazione stessa.
4. (⇤/2 pt) Supponendo che R sia una funzione, quali caratteristiche assumono
Dominio e Codominio?
Proprieta delle Relazioni
Alcune relazioni sono definite da un insieme a se stesso, ovvero sono del tipo
R : A �! A (per comodita si scrive anche R ✓ A
2). Per questo tipo di
relazioni si possono riconoscere, in certi casi molto speciali, delle proprietaparticolari :
• Proprieta Riflessiva: ogni elemento di A e in relazione con se stesso;
• Proprieta Simmetrica: se per ogni coppia (a, b) appartenente alla relazioneanche la coppia (b, a) appartiene alla relazione;
• Proprieta Transitiva: se per ogni terna di elementi di A per la quale il
primo elemento sia in relazione con il secondo ed il secondo con il terzo,
esiste anche la relazione tra il primo elemento ed il terzo.
5. (⇤/4 pt) Associa le seguenti scritture simboliche alle proprieta appena descritte.
(a) (⇤/2 pt) aRb ^ bRc ) aRc, 8a, b, c 2 A
(b) (⇤/1 pt) aRa, 8a 2 A
(c) (⇤/1 pt) aRb ) bRa, 8a, b 2 A
NOTA: aRb significa ”a in relazione con b”!
6. (⇤/2 pt) Si consideri l’insieme C = { studenti di una classe } e la relazione H ✓C
2definita come segue H: ”x e alto come y, con x, y 2 C. Qualcuna delle
proprieta descritte e verificata per la relazione H? Motivare la risposta.
7. (⇤/2 pt) Avendo una relazione rappresentata mediante Tabella a DOppia En-trata, quali sono le caratteristiche che ci consentono di riconoscere dalla rappre-
sentazione le proprieta Simmetrica e Riflessiva? Motivare la risposta con degli
esempi.
Classe 2Obi Verifica di Matematica 17 Ottobre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.
(a) (⇤/3 pt) (x+ 2)(2x� 3) = x� 1 + 2x
2
(b) (⇤/3 pt) 2x(x+ 1)
2 � x
2(2x+ 8) > 3� x(1 + 4x)
2. Scomporre in fattori i seguenti polinomi.
(a) (⇤/1 pt) 625x
6 � 256y
2
(b) (⇤/2 pt) x
4 � 12x
2 � 85
(c) (⇤/2 pt) x
4 � x
3+ x
2 � 3x� 6
(d) (⇤/2 pt) 125a
4bx
2 � 50a
2x
2+ 75a
3x
3z � 25a
2x
2
(e) (⇤/2 pt) 27a
2x
3+ 125a
2
(f) (⇤/2 pt) 8a
3b
3 � 12a
2b
2z
3+ 3abz
6 � z
9
(g) (⇤/1 pt) k
2 � 7k + 12
3. (⇤/6 pt) Nel quadrilatero ⇤ABCD si ha i lati delle coppie AB, CD e BC, DA
sono tra loro paralleli, ovvero ⇤ABCD e un parallelogramma. Si dimostri che i
triangoli 4ACD e 4ABC sono congruenti.
Bonus
4. Si consideri la Tavola Pitagorica delle moltiplicazioni per numeri da 1 a 10. La
Diagonale Principale (D) contiene i quadrati dei primi dieci naturali non nulli.
Considerando D come una relazione definita in D
2con D = {1, 2, 3, . . . , 10}:
(a) (⇤/2 pt) rappresentare D mediante grafico cartesiano,
(b) (⇤/4 pt) verificare se D e simmetrica e riflessiva (motivare la risposta).
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /6
c� s� p� f� d� i� r�
2 /12
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /6
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /30 ⇤ Ordine
Classe 2Obi Test di Matematica Ottobre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. Si consideri l’equazione x
4 � 3x
2= 0.
(a) (⇤/1 pt) L’equazione e
A. quadratica
B. fattorizzabile
C. pura
D. lineare
(b) (⇤/2 pt) Per risolvere e necessario e successivamente
applicare la .
(c) (⇤/3 pt) Una volta scomposta in fattori, si ottengono due equazioni
: una ed una .
(d) (⇤/4 pt) Determinarne le soluzioni
2. (⇤/4 pt) Determinare le soluzioni di
p5x
2 � 2x = 0 semplificando i risultati
ottenuti.
3. (⇤/4 pt) Determinare le soluzioni di
p5x
2�p60 = 0 semplificando i risultati
ottenuti.
4. (⇤/5 pt) Un’equazione quadratica si dice pura se e del tipo . Tali
equazioni possono avere un diverso numero di soluzioni: se i coe�cienti
a e b sono , sei invece i coe�cienti sono .
5. (⇤/4 pt) Semplificare la seguente espressione
[(3
p5 + 1)(3
p5� 1)� (
p5� 1)
2] : 2
Classe 2Obi Verifica di Matematica Gennaio 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere
l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi
tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il mas-
simo dei voti si devono raggiungere 30 punti. Il punteggio di ogni esercizio
e proporzionale alla sua di�colta.
Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo foglimettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio.
Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura
risolutiva migliore e semplificando i valori finali.
1. (⇤/7 pt)
p2x
3 � x
2 � 3
p2x+ 3 = 0
Soluzioni: x = �p3 _ x =
p2
2
_ x =
p3
Fattorizzazione - Equazioni Pure - Razionalizzazione - LeggeAnnullamento del Prodotto
2. (⇤/5 pt)
p3x
2 � 1 = 0
Soluzioni: x = ±4p3
3
3
Equazioni Pure - Razionalizzazione
3. (⇤/6 pt) x
4 � 7x
2+ 6 = 0
Soluzioni: x = ±1 _ x = ±p6
Fattorizzazione - Equazioni Pure - Legge Annullamento del Prodotto
4. (⇤/4 pt) 2x
2 � 7x+ 4 = 0
Soluzioni: x =
7±p17
4
Formula Risolutiva
5. (⇤/4 pt) 10x
2+ 8x+ 1 = 0
Soluzioni: x =
�4±p6
10
Formula Risolutiva Ridotta
6. (⇤/5 pt) 2
p2x
2 � 6x�p2 = 0
Soluzioni: x =
3
p2±
p26
4
Formula Risolutiva Ridotta - Razionalizzazione
7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta.
(a) (⇤/2 pt)
7p103x
2 � 3
5p3
7
= �"� �3
5p3
7
!#
(b) (⇤/2 pt) 2x
2 � 7x� 2 = 0
(c) (⇤/2 pt) 5
3p2x
2+
7p12 = 0
(d) (⇤/2 pt) 5x
2 � 6x+ 2 = 0
(e) (⇤/2 pt)
p2
2
x
2 � 3
p3x = 0
(f) (⇤/2 pt)
p3x
2+
4p6 +
p2 = 0
Soluzioni:
(a) 1 soluzione poiche monomia
(b) 2 soluzioni poiche � = 49 + 16 > 0
(c) 0 soluzioni poiche pura a coe�cienti concordi
(d) 0 soluzioni poiche
�
4
= 9� 10 < 0
(e) 2 soluzioni poiche spuria
(f) 0 soluzioni poiche pura a coe�cienti concordi
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /7
c� s� p� f� d� i� r�
2 /5
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /4
c� s� p� f� d� i� r�
5 /4
c� s� p� f� d� i� r�
6 /5
c� s� p� f� d� i� r�
7 /12
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /43 ⇤ Ordine
Classe 2Obi Verifica di Matematica Gennaio 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere
l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi
tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il mas-
simo dei voti si devono raggiungere 30 punti. Il punteggio di ogni esercizio
e proporzionale alla sua di�colta.
Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo foglimettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio.
Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura
risolutiva migliore e semplificando i valori finali.
1. (⇤/7 pt)
p2x
3 � x
2 � 3
p2x+ 3 = 0
2. (⇤/5 pt)
p3x
2 � 1 = 0
3. (⇤/6 pt) x
4 � 7x
2+ 6 = 0
4. (⇤/4 pt) 2x
2 � 7x+ 4 = 0
5. (⇤/4 pt) 10x
2+ 8x+ 1 = 0
6. (⇤/5 pt) 2
p2x
2 � 6x�p2 = 0
7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta.
(a) (⇤/2 pt)
7p103x
2 � 3
5p3
7
= �"� �3
5p3
7
!#
(b) (⇤/2 pt) 2x
2 � 7x� 2 = 0
(c) (⇤/2 pt) 5
3p2x
2+
7p12 = 0
(d) (⇤/2 pt) 5x
2 � 6x+ 2 = 0
(e) (⇤/2 pt)
p2
2
x
2 � 3
p3x = 0
(f) (⇤/2 pt)
p3x
2+
4p6 +
p2 = 0
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /7
c� s� p� f� d� i� r�
2 /5
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /4
c� s� p� f� d� i� r�
5 /4
c� s� p� f� d� i� r�
6 /5
c� s� p� f� d� i� r�
7 /12
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /43 ⇤ Ordine
Classe 2Obi Recupero di Matematica 17 Febbraio 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 18 puntisvolgendo gli esercizi di seguito proposti.
E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamente, neicalcoli e nelle procedure, almeno tre equazioni o la tabella.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento
della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.
1. Risolvere le seguente equazioni fattorizzabili.
(a) (⇤/4 pt) x
3+ 2 = 2x
2+ x
(b) (⇤/4 pt) x
4 � 16 = 0
(c) (⇤/4 pt) x
3 � 12 = 4x� 3x
2
2. (⇤/12 pt) Si completi la tabella seguente.
Equazione Tipologia Soluzioni
3x
2 � 4 = 0
3x
2 � 4x = 0
(x� 2)
2= 4(1� x)
321x
2+ 457 = 0
37x
2 � 41 = 0
x
2 � 4x = 2(x� 1)
2 � 2x
3. Determinare la tipologia di ciascuna di queste equazioni quadratiche
incomplete e trovarne le radici.
(a) (⇤/2 pt) (2x� 1)
2 � 4(x� 3) = 0
(b) (⇤/2 pt) (x+ 2)
3+ x
2(1� x) = 2(x+ 4)
(c) (⇤/2 pt)
3p5x
2 � 1 = 0 [Semplificare le radici ottenute!]
4. Risolvere le seguenti equazioni utilizzando la procedura piu adatta.
(a) (⇤/4 pt) (3x� 1)(3x+ 1) = 16x
(b) (⇤/4 pt) 3x
2 � x(2� x)� 8 = 0
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /12
c� s� p� f� d� i� r�
2 /12
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /8
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /38 ⇤ Ordine
Classe 2Obi Verifica di Matematica 2 Marzo 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere
l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di eserci-
zi tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il
massimo dei voti si devono raggiungere 30 punti.
E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamen-te, nei calcoli e nelle procedure, almeno due sistemi lineari el’impostazione della risoluzione del problema di geometria.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento
della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.
1. (⇤/5 pt) Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema
lineare.
8>><
>>:
3(y � 1) + 1 = 2(2x� 1) + 3
3(x� 1) + 1� y = �2(1� y)
2. (⇤/7 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo
a piacere.
8>><
>>:
(x+ 1)
2 � 2y(x+ 1) = x(x� 2y)
x(2y � 1)� (x+ 1)
2= 2y(x� 1)� x
2
3. (⇤/7 pt) Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema.
8>><
>>:
y + 2
2
+
20
12
=
x� 4
3
� x
x� 3
2
+
y � 5
3
= y +
6� 4x
3
4. (⇤/10 pt) Data la circonferenza CO,R, sia \BAC un suo angolo alla circon-
ferenza. Detta AM la mediana dell’arco sotteso dall’angolo \BAC, conduci
la corda CD parallela ad AM . Dimostra che AD
⇠=
BM .
5. (⇤/9 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare
8>>>>>><
>>>>>>:
2x+ y � 3 = z
4x+ y � z = 3
y + 2z + 1 = 1� 2x
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /5
c� s� p� f� d� i� r�
2 /7
c� s� p� f� d� i� r�
3 /7
c� s� p� f� d� i� r�
4 /10
c� s� p� f� d� i� r�
5 /9
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /38 ⇤ Ordine
Classe 2Obi Test di Matematica 18 Marzo 2016
Cognome e nome: Voto:
1. Rappresenta nel in un sistema di riferimento cartesiano xOy le rette:
r1 : y = 2x� 1
r2 : y = 3
r3 : x = �2
2. Indicare le intersezioni della retta r : y = �2x+ 2 con gli assi coordinati.
3. Considerando le rette dell’esercizio precedente individua, se ci sono, le coppie
di rette parallele e le copiie di rette perpendicolari giustificando la scelta fatta.
Parallele
Perpendicolari
4. Completare la seguente tabella:
Equazione Tipologia m q
r1 : y = �3 + 2x � V � O � OC � OD
r2 : x = �3 � V � O � OC � OD
r3 : y = �3
4
x � V � O � OC � OD
r4 : y = 7� 7x � V � O � OC � OD
r5 : y = 2x� 3
4
� V � O � OC � OD
r6 : y = 2 � V � O � OC � OD
5. Si determinino per via algebrica i punti di intersezione delle rette date con
l’asse delle ascisse. Utilizzare la tabella sottostante.
Retta Equazione Intersezioni
r1 : y = 3x� 2
r2 : y = 1� 3x
r3 : y = �23x
r4 : y =
35x� 1
2
r5 : y = �7
r6 : x = �2
Rette Parallele o Coincidenti
Date due rette le cui equazioni sono in forma implicita e semplificate
r1 : a1x+ b1y + c1 = 0
r2 : a2x+ b2y + c2 = 0
se il determinante della matrice dei coe�cienti e nullo le rette sono
1. parallele se c1 6= c2
2. coincidenti se c1 = c2
6. Si considerino le rette
r1 : y = 2x� 1
r2 : y = 2x+ 3
r3 : x = 4� y
r4 : 2y = �2x+ 8
si completi la seguente tabella
Completare la seguente tabella:
Rette Parallele Incidenti Coincidenti
r1 e r3 ⇤ ⇤ ⇤
r3 e r2 ⇤ ⇤ ⇤
r4 e r1 ⇤ ⇤ ⇤
r3 e r4 ⇤ ⇤ ⇤
r2 e r4 ⇤ ⇤ ⇤
Giustificare la risposta per la prima coppia di rette.
Classe 2Obi Test di Matematica 26 Maggio 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Per conseguire la su�cienza non e necessario svolgere l’intera verifica, ma
soltanto uno dei tre livelli proposti.
La corretta risoluzione del livello base da diritto ad un voto massimo pari
a 7, il livello intermedio a 8
1/2, mentre la piena valutazione si ottiene
svolgendo correttamente il livello avanzato.
Si abbia cura di verificare la correttezza e la coerenza dei passaggi e delle
procedure.
Livello Base
1. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.
(a)
10
7x=
5
14
(b)
x+ 1
x� 1
>3
4
(c)
x� 1
2x· 1
2x� 2
= 2
(d) 2x3 � 11x2 + 17x� 6 > 0
2. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente
problema:
Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l’altezza
relativa all’ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati con-
gruenti a BH e CH e equivalente a un rettangolo avente un lato
congruente ad AC e l’altro congruente alla proiezione di AH su AC.
Livello Intermedio
3. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.
(a)
10
7x>
5
14
(b)
6 + (3� x)2
x+ 2
� 1 =
2� x2
�x� 2
(c)
x� 1
2x· 1
2x� 2
6 2
(d) 3x4 � 7x3 � 13x2 + 35x� 10 < 0
4. In un triangolo rettangolo un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa
misurano rispettivamente 60 cm e 36 cm.
(a) Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del problema.
(b) Calcolare l’area del rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
(c) Calcolare area e perimetro del triangolo.
Livello Avanzato
5. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.
(a)
2x� 8
(2x� 1)
✓x+
1
2
◆ > 0
(b)
6 + (3� x)2
x+ 2
� 1 >2� x2
�x� 2
(c) (x3 + x2 + x+ 1)(x3 � 27) < 0
6. Si determinino le soluzioni di (ax� 1)(ax2 � x� 2a2x+ 2a) 6 0 supponendo
che a 2 Z�.
7. Dimostrare il problema enunciato nel quesito 2.
Classe 2Obi Verifica di Matematica 1 Giugno 2016
Cognome e nome: Voto:
1.
p2x3 � x2 � 3
p2x+ 3 = 0
2.
p3x2 � 1 = 0
3. x4 � 7x2 + 6 = 0
4. 2x2 � 7x+ 4 = 0
5. 10x2 + 8x+ 1 = 0
6. 2
p2x2 � 6x�
p2 = 0
7. Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema lineare.
8>><
>>:
3(y � 1) + 1 = 2(2x� 1) + 3
3(x� 1) + 1� y = �2(1� y)
8. Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo a piacere.
8>><
>>:
(x+ 1)
2 � 2y(x+ 1) = x(x� 2y)
x(2y � 1)� (x+ 1)
2= 2y(x� 1)� x2
9. Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema.
8>><
>>:
y + 2
2
+
20
12
=
x� 4
3
� x
x� 3
2
+
y � 5
3
= y +6� 4x
3
10. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente
problema:
Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l’altezza
relativa all’ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati con-
gruenti a BH e CH e equivalente a un rettangolo avente un lato
congruente ad AC e l’altro congruente alla proiezione di AH su AC.
Classe 2Obi Verifica di Matematica Settembre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. (⇤/6 punti) Si risolva la divisione
(3a
5 � 2a
3+ 5a
2 � a+ 7) : (a
3+ 2a� 1)
utilizzando il Metodo Standard.
2. (⇤/6 punti) Si svolga la divisione
(2x
4 � x
3+ 4x
2 � x� 8) : (x� 3)
utilizzando il Metodo di Ru�ni.
3. Sviluppare i seguenti prodotti notevoli:
(a) (⇤/1 punto) (3x
3+ 5x)
2
(b) (⇤/2 punti) (x� z
2)
3
(c) (⇤/1 punto) (5abc+ 3x)(3x� 5abc)
(d) (⇤/1 punto) (x� 3xy + 12)
2
(e) (⇤/1 punto) (k � 7)(k � 5)
4. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.
(a) (⇤/2 punti) (x+ 2)(x� 3) = 2x� 1 + x
2
(b) (⇤/2 punti)
x
2
� 2 + x
3
=
5x� 4
6
(c) (⇤/2 punti) 2x
3 � x
2(2x� 1) < 3� x(1� x)
5. (⇤/6 punti) Congiungendo i tre punti medi di un triangolo isoscele si ottiene un
altro triangolo. Dimostrare che tale triangolo e anch’esso isoscele.
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /6
c� s� p� f� d� i� r�
2 /6
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /6
c� s� p� f� d� i� r�
5 /6
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /30 ⇤ Ordine
Firma per presa visione: