Ingegneria Civile e Ambientale, Compito di Algebra Lineare e Geometria del 13/9/11

I

Sono assegnati in R4 i vettori v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (0, 1, 1, 0), w = (1, 2, 2, 1)ed il sottospazio V = L (v1, v2, v3).1) Determinare lequazione cartesiana di V , verificare che A = [v1, v2, v3] e` una base di V etrovare le componenti di w rispetto ad A .2) Studiare lendomorfismo f : V V definito dalle assegnazioni

f(v1) = 2v1 v2 + v3 + hwf(v2) = 3v1 + 2v2 v3 hwf(v3) = v1 v2 + hw

con h parametro reale

al variare di h, determinando in ciascun caso Im f e Ker f .3) Verificare che T = 1 e` autovalore di f . Verificare che f e` semplice per ogni valore di h etrovare una base di autovettori indipendente dal parametro.4) Determinare lendomorfismo : R4 R4 che e` estensione di f ed ammette lautovaloreT = h con autospazio associato V h = {(x, y, z, t) R4 | 2x y = z 2t = 0}. Trovare unabase B di R4 formata da autovettori di . Determinare in R4 un prodotto scalare in modo cheB risulti una base ortogonale.

II

E` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y, ~z, u.1) Sono assegnati il piano pi e la retta r di equazioni

pi : x y + z = 0 r :{x y 2 = 0z 1 = 0 .

Detto R r il punto proprio generico sia s la retta congiungente O con R. Verificare che, alvariare di R, la retta s forma col piano pi un angolo , con 0 < pi

2. Tra le rette s sia s

quella ortogonale al piano pi. Trovare la quadrica Q luogo dei punti equidistanti da s e da pi everificare che Q e` un cono.2) Ci poniamo sul piano coordinato z = 0. Studiare la parabola p di equazione

p : x2 2xy + y2 4x 4y 8 = 0determinandone vertice ed asse. Detta c la circonferenza passante per i punti (1,1), (1, 1),(

2, 0), studiare il fascio di coniche generato da p e da c. In particolare determinare leconiche spezzate ed i punti base di .3) Determinare e studiare le quadriche contenenti le coniche

1 :

{x = 0y2 + z2 1 = 0 2 :

{y = 0x2 + z2 1 = 0 .

SOLUZIONE, I

1) I vettori v1, v2, v3 sono chiaramente indipendenti, quindi essi formano una base, A , di V .Per trovare la sua equazione cartesiana usiano la tecnica matriciale:

1 1 0 00 0 1 10 1 1 0x y z t

1 1 0 00 0 1 10 1 1 00 y x z t

1 1 0 00 0 1 10 1 1 00 y x z t 0

1

1 1 0 00 0 1 10 1 1 00 0 x y + z t 0

V = {(x, y, z, t) | x y + z t = 0}Si vede facilmente che w = v1 + v2 + v3, cioe` [w]A = (1, 1, 1).2) Calcoliamo la matrice associata ad f rispetto alla base A . Usando lespressione di w appenadeterminata avremo:

f(v1) = (h 2)v1 + (h 1)v2 + (h+ 1)v3f(v2) = (3 h)v1 + (2 h)v2 + (1 h)v3f(v3) = (h 1)v1 + (h 1)v2 + hv3

MA (f) = h 2 3 h h 1h 1 2 h h 1

h+ 1 1 h h

e si ricava facilmente |MA (f)| = h. Quindi se h 6= 0 f e` un isomorfismo; per h = 0 si haIm f = L ((1, 1, 0), (1, 0,1)) = L (v1 + v2, v1 v3), Ker f = L (1, 1, 1) = L (w).3) Sottraendo T = 1 dalla diagonale di MA (f) si ottiene una matrice che non ha rango mas-simo, quindi 1 e` autovalore di f . Possiamo quindi evitare il calcolo esplicito del polinomiocaratteristico.

P (T ) = T 3 + hT 2 + T h = 0; P (1) = 1 = 0 = 1e si possono ricavare facilmente gli altri autovalori T = 1, h. Se h 6= 1 si hanno tre autovaloridistinti, quindi f e` semplice. In questo caso calcoliamo gli autospazi:T = 1 V1 = L (1, 1, 0) = L (u1 = v1 + v2);T = 1 V1 = L (1, 0,1) = L (u2 = v1 v3);T = h Vh = L (1, 1, 1) = L (v1 + v2 + v3) = L (w).4) Lendomorfismo conserva gli autovalori e gli autovettori di f ; siccome f ammette lautova-lore T = h, con autovettore w, dovremo scegliere in V h = {(x, 2x, 2t, t)} un secondo autovettoreindipendente da w V h, ad esempio u3 = (1, 2, 0, 0) / V . Usando la base di autovettoriB = [u1, u2, w, u3] lendomorfismo e` determinato da:

(u1) = f(u1) = u1, (u2) = f(u2) = u2, (w) = f(w) = hw, (u3) = hu3.Il richiesto prodotto scalare e` determinato dalle assegnazioni:

u1 u1 > 0 u1 u2 = 0 u1 w = 0 u1 u3 = 0u2 u2 > 0 u2 w = 0 u2 u3 = 0

w w > 0 w u3 = 0u3 u3 > 0.

II

1) Siccome R (, 2, 1), la retta s ha equazioni x z = y ( 2)z = 0, con puntoimproprio S (, 2, 1, 0). Naturalmente, ricordando che ci riferiamo ad angoli acuti,possiamo usare in vettore normale a pi, n = (1,1, 1), richiedendo che 0 sn < pi

2, cioe` che

0 < cos sn 1. Ponendo cos sn = q

0 < cos sn =3

3

22 4 + 5 =

322 4 + 5 = q

bisogna verificare che questa equazione e` risolubile per ogni q, 0 < q 1. Con facili calcoli siottiene lequazione

22 4 + 5 3q2

= 0 4

=6

q2 6 0 per q 1.

2

La retta s ha equazioni x z = y + z = 0; detto P (a, b, c) un punto dello spazio, il pianoper P ortogonale ad s ha equazione x y + z a + b c = 0, quindi il punto P , proiezionedi P su s, ha coordinate P (ab+c

3,ab+c

3, ab+c

3). Uguagliando le distanze d(P, s) = PP

e d(P, pi) e quadrando si ottiene

(2a+ b c)29

+(a+ 2b+ c)2

9+

(a+ b+ 2c)29

=(a b+ c)2

3.

Da questa uguaglianza, ponendo (a, b, c) = (x, y, z) si ottiene lequazione

Q : x2 + 4xy + y2 4xz + 4y + z2 = 0.

Si verifica facilmente che Q e` un cono con vertice in O.2) La parabola p ha punto improprio P (1, 1, 0); lasse e` la polare del punto improprioQ (1,1, 0) P, cioe` la retta x y = 0. Il vertice e` il punto (proprio) comune a p edallasse, V (1,1). Lequazione della circonferenza c si trova facilmente, c: x2 +y22 = 0.Quindi il fascio ha equazione

: (1 + h)x2 2xy + (1 + h)y2 4x 4y 8 2h = 0.

Dalla sua matrice si ha

B =

1 + h 1 21 1 + h 22 2 8 2h

|B| = 2h3 12h2 24h 16 = 2(h+ 2)3|A| = h2 + 2hQuindi nel fascio ce` una sola conica spezzata, con molteplicita` 3: per h = 2 si ha la conicaspezzata x2 + 2xy+ y2 + 4x+ 4y+ 4 = 0 cioe` (x+ y+ 2)2 = 0. Secando questa conica con unaconica qualsiasi del fascio (ad esempio con la circonferena c, che si ha per h =) si ottiene ilpunto (1,1) con molteplicita` 4.Per caratterizzare le coniche irriducibili di usiamo |A| = h(h+ 2). |A| > 0, h < 2, h > 0 ELLISSI. Per h = si trova la circonferenza c. |A| < 0, 2 < h < 0 IPERBOLI. Per h = 1 iperbole equilatera xy + 2x+ 2y + 3 = 0. |A| = 0, h = 2, 0. Per h = 0 si ha la parabola p.

3) Le quadriche contenenti 1 hanno equazione

x(ax+ by + cz + d) + y2 + z2 1 = 0 {y = 0ax2 + cxz + dx+ z2 1 = 0 .

Imponendo che questa conica coincida con 2 avremo la condizioni a = 1. c = d = 0, quindi larichiesta famiglia di quadriche ha equazione

x2 + bxy + y2 + z2 1 = 0 B =

1 b

20 0

b2

1 0 00 0 1 00 0 0 1

con |B| = |A| = b24 1.Se b = 2 si hanno cilindri di vertici (1,1, 0, 0). Se 2 < b < 2 si hanno ellissoidi (gliautovalori di A sono concordi) e per b < 2, b > 2 si hanno iperboloidi iperbolici.

3