COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA

Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)

Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 2017 da parte degli studenti della Classe 2 sez. C Le prime schede offrono una panoramica sui vari argomenti affrontati nel corso dell’anno, al fine di avere uno schema utile per svolgere gli esercizi ed effettuare un ripasso per poter iniziare il prossimo anno scolastico nel migliore dei modi. Le schede successive invece raccolgono una serie di esercizi di crescente difficoltà da seguire per fare un percorso di studio lineare. Per ogni scheda è presente una breve spiegazione teorica che integra quella presente su libro di testo Come già suggerito a scuola il mio suggerimento rimane quello di affrontare i vari argomenti nel corso dell’intero periodo di vacanze al fine di evitare di accumulare tutte le nozioni negli ultimi giorni che invece possono essere utilizzati per un ripasso generale. Buone Vacanze

Professore Ieluzzi Davide Andrea

ARITMETICA 22

ESTRAZIONE DI RADICE

Dato an=b, l’operazione che cerca la base a da elevare all’esponente assegnato n, con n ≠ 0, affinché la potenza sia b è detta estrazione di radice.

an

= b

La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato al quadrato dà come risultato il radicando stesso.

8 64

642

= 8 perchè 82 = 64

Proprietà delle radici 1. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori. 2. La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore

16 ∙ 25 = 16 ∙ 25 = 4 ∙ 5 = 20

100: 25 = 100: 25 = 10: 5 = 2

16

25= 16

25=

4

5

Un numero naturale è un quadrato perfetto se, nella sua scomposizione in fattori primi, compaiono solo fattori con esponente pari. Per calcolare la radice quadrata di un quadrato perfetto si moltiplicano i fattori primi con gli esponenti dimezzati.

3 969 = 34 ∙ 72 è un quadrato perfetto

350 = 2 ∙ 52 ∙ 7 non è un quadrato perfetto

3 969 = 34 ∙ 72 = 34 ∙ 72 = = 32 ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

Elevamento a potenza con esponente 2

indice

radicando

Simbolo

di radice

radice n-esima

Estrazione di radice quadrata

ARITMETICA 23

Calcolo della radice quadrata con l’uso delle tavole

Se il radicando ha un valore compreso tra 1 e 1 000 si deve individuare il numero nella colonna n e leggere la radice quadrata in corrispondenza della

colonna 𝑛

676 = 26

Se il radicando ha un valore compreso tra 1 001 e 1 000 000 si possono presentare due casi: Il numero si trova nella colonna 𝑛2: il numero è un quadrato perfetto, la sua radice quadrata è in corrispondenza della colonna n.

Il numero non si trova nella colonna 𝑛2: il numero non è un quadrato perfetto e occorre ricorrere ad una approssimazione.

219961 = 469

2116 < 2153 < 2209

462 < 2153 < 472

2153 = 46 appros. per difetto 47 appros. per eccesso

Le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti sono numeri irrazionali

Sono numeri irrazionali:

2; 3; 5; 6; …

ARITMETICA 24

R

I Q

Z

N

2 1

2 . . .

. . . -13

19 . −5

2 . . 2 .

. -2 . 5 . 9 . -7

3 . . -1

22 . 4

3

ARITMETICA 25

RAPPORTI

Si dice rapporto tra due numeri, a e b,

di cui b0, il quoziente b

a ottenuto

dividendo il primo per il secondo (a:b). I due numeri vengono chiamati termini del rapporto. Il primo (a) è chiamato antecedente e il secondo (b) conseguente.

Calcolo del rapporto tra 35 e 14:

35 : 14 = 14

35 = 2,5

Si definisce rapporto inverso di un rapporto dato quello ottenuto scambiando tra di loro l’antecedente e il

conseguente, ovvero a

b, con a0.

Rapporto inverso di 35:14

14 : 35 = 35

14 = 0,4

Il prodotto di un rapporto per il suo

inverso, con a0 e b0 è uguale a 1.

Infatti a

b

b

a =1

35

14

14

35 = 1

Un rapporto gode della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i due termini del rapporto per uno stesso numero diverso da 0, si ottiene un rapporto equivalente, per cui il risultato non cambia.

Moltiplichiamo i termini di un dato rapporto per 3:

4

10=

4 ∙ 3

10 ∙ 3=

12

30= 0,4

Si dicono omogenee le grandezze che possono essere espresse con la stessa unità di misura (per es. lunghezza e larghezza di una stanza). Il loro rapporto è un numero.

La statura del padre di Luigi è di 180 cm, mentre la sua è di 120 cm. Il rapporto tra le due grandezze è:

180

120= 1,5

Si dicono commensurabili due grandezze omogenee che ammettono un sottomultiplo comune. Il loro rapporto è

una frazione (numero razionale), che in particolare può essere un numero intero.

In un rettangolo la base e l’altezza sono grandezze commensurabili

𝑏

ℎ=

3

2= 1,5

Si dicono incommensurabili due grandezze omogenee che non ammettono un sottomultiplo comune. Il loro rapporto è un numero irrazionale.

In un quadrato il lato e la diagonale sono grandezze incommensurabili

𝒅 = 𝒍 𝟐 = 𝟐 𝟐

𝒅

𝒍=𝟐 𝟐

𝟐= 𝟐

Si dicono non omogenee le grandezze che non sono espresse nella stessa unità di misura (per es. spazio e tempo). Il loro rapporto è una nuova grandezza derivata (per es. velocità).

Un’automobile percorre 270 km in 3 h. Il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato esprime la velocità media dell’auto:

270𝑘𝑚

3ℎ= 90𝑘𝑚/ℎ

Antecedente Conseguente

Termini del rapporto

h=2

b=3

d

l=2

ARITMETICA 26

PROPORZIONI Si definisce proporzione l’uguaglianza

tra due rapporti (a : b = c : d), con b0 e

d0. a, b, c, d si dicono termini della proporzione.

20 : 5 = 28 : 7

Una proporzione si dice continua se i due medi o i due estremi sono uguali. Nel primo caso il termine medio si dice medio proporzionale tra gli estremi e l’ultimo termine si dice terzo proporzionale dopo i primi due.

18 : 6 = 6 : 2 15 : 5 = 45 : 15

16 : 8 = 8 : 4

Proprietà

Proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

18 : 6 = 6 : 2

Proprietà dell’invertire: se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene una nuova proporzione.

21 : 7 = 15 : 5

7 : 21 = 5 : 15

Proprietà del permutare: se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi o entrambi si ottiene una nuova proporzione.

8:16=2:4 permuta medi

8:2=16:4 4:2=16:8 permuta estremi 4:16=2:8 permuta entrambi

Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo o al quarto termine.

9:3=18:6 (9+3) : 9 = (18+6) : 18 (9+3) : 3 = (18+6) : 6

Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, quando ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo o al quarto termine.

9:3=18:6 (9−3) : 9 = (18−6) : 18 (9−3) : 3 = (18−6) : 6

Antecedenti Conseguenti

Estremi

Medi

Medio proporzionale

Terzo proporzionale

36

36

ARITMETICA 27

Proprietà della somma degli antecedenti e dei conseguenti: in una proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente.

14:7=8:4 (14+8) : (7+4) = 14 : 7 (14+8) : (7+4) = 8 : 4

Proprietà della differenza degli antecedenti e dei conseguenti: in una proporzione, se il primo antecedente è maggiore del secondo, allora la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.

14:7=8:4 (14−8) : (7−4) = 14 : 7 (14−8) : (7−4) = 8 : 4

Calcolo dell’incognita delle proporzioni

In una proporzione, utilizzando le sue proprietà, si può calcolare un termine incognito. Se il termine incognito è un estremo, si moltiplicano tra loro i medi e si divide il risultato per l’altro estremo. Se il termine incognito è un medio, si moltiplicano tra loro gli estremi e si divide il risultato per l’altro medio.

12 : 6 = 10 : x

𝑥 =6 ∙ 10

12= 5

35 : 7 = x : 8

𝑥 =35 ∙ 8

7= 40

Per calcolare il medio proporzionale di una proporzione continua si moltiplicano tra di loro i due termini noti e si estrae la radice quadrata del prodotto.

16 : x = x : 4

𝑥 = 16 ∙ 4 = 64 = 8

ARITMETICA 28

PROPORZIONALITÀ

Grandezze

Il termine grandezza indica tutto ciò che si può misurare.

Massa, tempo, lunghezza, superficie, ecc.

Si dicono omogenee le grandezze che possono essere espresse con la stessa unità di misura. Il loro rapporto è un numero.

Lunghezza e larghezza di un tavolo.

Si dicono commensurabili due grandezze omogenee che ammettono un sottomultiplo comune. Il loro rapporto è

una frazione (numero razionale), che in particolare può essere un numero intero.

Perimetro e misura del lato di un quadrato. Il loro rapporto è uguale a 4.

Si dicono incommensurabili due grandezze omogenee che non ammettono un sottomultiplo comune. Il loro rapporto è un numero irrazionale.

Circonferenza e diametro di un cerchio.

Il loro rapporto è uguale a .

Si dicono costanti le grandezze che mantengono sempre lo stesso valore.

La capacità di un recipiente; la distanza tra due città.

Si dicono variabili le grandezze che possono assumere valori diversi.

La temperatura di una località nell’arco della giornata; l’altezza di una persona nell’arco della sua vita.

Date due grandezze, se esiste un legame che fa corrispondere ad ogni valore x di una grandezza un solo valore y dell’altra, si dice che y è funzione di x, e si scrive y=f(x). La x è detta variabile indipendente, perché possiamo assegnarle valori a nostra scelta. La y è detta variabile dipendente perché i suoi valori dipendono da quelli della x.

La spesa complessiva per l’acquisto di beni è funzione della quantità prescelta. La temperatura esterna di una data località è funzione del tempo. Data la funzione y=3x+1, x y 0 1 2 7 4 13

ARITMETICA 29

Si dicono funzioni matematiche quelle per cui il legame tra la variabile dipendente e quella indipendente si esprime con una formula matematica.

La lunghezza del perimetro di un triangolo equilatero è funzione della lunghezza del lato, secondo la formula y=3x.

Si dicono funzioni empiriche quelle per cui il legame tra la variabile dipendente e quella indipendente non è di natura matematica, per cui non è possibile esprimerlo con una formula.

La statura di una persona al variare dell’età. La temperatura esterna di una località nelle varie ore della giornata.

Il piano cartesiano permette di associare ogni punto con una coppia ordinata di valori x e y detti coordinate del punto. Sul piano cartesiano è possibile rappresentare le funzioni empiriche e matematiche.

Proporzionalità diretta

Due grandezze x (variabile indipendente) e y (variabile dipendente) si dicono direttamente proporzionali quando il rapporto tra i corrispondenti

valori di x e di y è costante: kx

y

ossia kxy . La costante k è detta coefficiente di proporzionalità diretta. Il diagramma cartesiano che rappresenta la legge della proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani.

P(3;1)

Asse delle ordinate y

Asse delle ascisse x

y

x

y=kx

0

0

ARITMETICA 30

Proporzionalità inversa

Due grandezze x (variabile indipendente) e y (variabile dipendente) si dicono inversamente proporzionali quando il prodotto tra i corrispondenti

valori di x e di y è costante: kxy ossia

x

ky . La costante k è detta

coefficiente di proporzionalità inversa. Il diagramma cartesiano che rappresenta la legge della proporzionalità inversa è una curva chiamata ramo di iperbole equilatera.

Proporzionalità quadratica

La proporzionalità quadratica è espressa da una legge del tipo y=kx2. Nel piano cartesiano la curva corrispondente al grafico della funzione è detta ramo di parabola.

y

x

x

ky

0

Soluzioni