complexos gabarito

NÚMEROS COMPLEXOS

MMAATTEE 3ª SÉRIE DO

OMPLEXOS

UNIDADE ESCOLAR T

EEMMÁÁTTIICCAA ––

DO E. M.

PPRROOFF..:: FFÁÁBBIIOO LLUUÍÍSS

TIJUCA II

–– II

3a SÉRIE – E. M.

NÚMEROS COMPLEXOS Resumo Teórico

Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i Obs.: i é denominada unidade imaginária.

� Forma Algébrica

∈=

∈=⇒+=

IR)zIm(b

IR)zRe(abiaz

Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.

� Igualdade

⇒+=+⇒=b

adicbiazz 21

� Adição

b()ca()dic()bia( +++=+++

� Multiplicação

ad()bdac()dic()bia( ++−=+⋅+

� Conjugado

Sendo biaz += um número complexo, define

complexo conjugado de “z” o complexo az =

� Divisão

22

21

2

1

zz

zzzz

⋅

⋅=

� Potências de “i”

Para n ∈ IN, temos:

i4n = 1 i4n+1 = i

i4n+2 = – 1 i4n+3 = – i

COLÉGIO PEDRO II

LISTA DE E

Prof.: Fábio LuísNome: _____________________________________________________ nº _____

toda expressão da onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1.

IR

IR

Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.

=

=

d

c

i)d+

i)bc+

um número complexo, define-se como

bia − .

� Representação Geométrica

Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.

O ponto “P” é denominado A distância “ρ” de “P” até a origem “O” é denominada

módulo de “z” e indicamos: z =

Denomina-se argumentoângulo “θ”, formado pelo semimedido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura:

)zarg(=θ

� Forma Trigonométrica ou Polar

(cosz ⋅ρ=

onde “ρ” é o módulo e “

� Multiplicação

[cos(zz 12121 θ⋅ρ⋅ρ=⋅

� Divisão

[cos(zz

12

1

2

1 −θ⋅ρ

ρ=

� Potenciação

[ n(cosz nn ⋅ρ=

� Radiciação

+θ⋅ρ=

n2

cosz nn

As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a

seus argumentos são obtidos da expressão

substituindo k por números inteiros de 0 até n

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR TIJUCA II

EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS – 3a SÉRIE

Fábio Luís Turma: _______ _____º turnoNome: _____________________________________________________ nº _____

θ

ρ

Im

b

O

NÚMEROS COMPLEXOS

PROF.: FÁBIO LUÍS

Representação Geométrica

Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.

O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”. ” de “P” até a origem “O” é denominada

22 babia +=ρ=+

argumento do complexo “z” a medida do ”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP,

horário, conforme indicado na figura:

Forma Trigonométrica ou Polar

)seni(cos θ⋅+θ

” é o módulo e “θ” é o argumento de “z”.

Multiplicação

])sen(i) 2121 θ+θ⋅+θ+

Divisão

])sen(i) 212 θ−θ⋅+θ

Potenciação

])n(seni)n θ⋅+θ

Radiciação

π+θ⋅+

π

nk2

senin

k2

ésimas de “z” têm módulo igual a n ρ e

seus argumentos são obtidos da expressão n

k2 π+θ ,

números inteiros de 0 até n – 1 .

UNIDADE ESCOLAR TIJUCA II

ÉRIE E. M.

Turma: _______ _____º turnoNome: _____________________________________________________ nº _____

P ( a , b )

a Re

3a SÉRIE – E. M.

EXERCÍCIOS PARTE 01 1. Complete os espaços com as partes reais e imaginárias dos complexos a seguir:

a)

=

=→+=

_____)zIm(

____)zRe(i43z

b)

=

=→

−=

_____)zIm(

____)zRe(

5i43

z

c)

=

=→−=

_____)zIm(

____)zRe(i4z

d)

=

=→+−=

_____)zIm(

____)zRe(7i3z

e)

=

=→=

_____)zIm(

____)zRe(7z

f)

=

=→

−=

_____)zIm(

____)zRe(

3i

z

-----------------------------------------------------------------------------------2. Observe os complexos representados no Plano ArgandGauss.

a) Escreva cada complexo na forma (a + bi).

_________z1 = _________z2 =

_________z3 = _________z4 =

_________z5 =

b) Efetue as operações:

i) _________zz 21 =+

ii) _________z.4z.2 32 =−

1. Complete os espaços com as partes reais e imaginárias dos

----------------------------------------------------------------------------------- 2. Observe os complexos representados no Plano Argand-

_________

_________

3. Calcule a e b reais, para que

-----------------------------------------------------------------------------------4. Qual o valor de k

( )( )i3k.i25z +−= seja um número real?

-----------------------------------------------------------------------------------5. Sendo i a unidade imaginária, determine o valor numérico da

soma 2732 i...iii1 +++++

-------------------------------------------------------------------------------6. Seja o número complexo:

103102101 iiiz ++=

Calcule 2z .

-----------------------------------------------------------------------------------7. Resolva, em C, cada equação:

05x4x)a 2 =++

05x2x)b 2 =+−

08x12x9)c 2 =+−

-----------------------------------------------------------------------------------

8. O número imi3

−

+ possui a parte imaginária nula. Calcule o

valor do número real m. -----------------------------------------------------------------------------------

9. Sabendo que z3z2z +++

valor de z. ( z é conjugado de z -----------------------------------------------------------------------------------10. Determine:

−

+

i35i2

Re)a

+

+−

i33i3

Re)b

−

+ i

21

i21

Im)c

Fonte: http://www.professorwaltertadeu.mat.br em maio de 2012.

NÚMEROS COMPLEXOS

PROF.: FÁBIO LUÍS

reais, para que ( ) ( ) biai31i54 +=+−−+ .

----------------------------------------------------------------------------------- para que o número real

seja um número real?

----------------------------------------------------------------------------------- a unidade imaginária, determine o valor numérico da

.

-----------------------------------------------------------------------------------

106105104103 iii +++ .

----------------------------------------------------------------------------------- 7. Resolva, em C, cada equação:

-----------------------------------------------------------------------------------

possui a parte imaginária nula. Calcule o

-----------------------------------------------------------------------------------

i28320z4 +=+ , determine o

z).

-----------------------------------------------------------------------------------

http://www.professorwaltertadeu.mat.br

3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS

PROF.: FÁBIO LUÍS

PARTE 02

11. Para que o número z = ( x – 2i ).( 2 + xi ) seja real, devemos ter ( x ∈ IR ) tal que:

a) x = 0 b) x = ± 1/2 c) x = ± 2 x d) x = ± 4 e) n.d.a.

----------------------------------------------------------------------------------- 12. Qual é o menor valor de m, real, para que o produto

( 2 + mi ).( 3 + i ) seja um imaginário puro?

a) 5 b) 6 x c) 7 d) 8 e) 10

----------------------------------------------------------------------------------- 13. Se f(z) = z2 – z + 1, então f(1 – i) é igual a:

a) i b) – i + 1 c) i – 1 d) i + 1 e) – i x

-----------------------------------------------------------------------------------

14. O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a:

a) – 2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i x e) 3 + i

-----------------------------------------------------------------------------------

15. Para i = 1− , os valores reais de a e b tais que

263 ii

iia − = 3 + bi são, respectivamente:

a) 0 e 3/2 b) – 4 e 1 x c) 3/2 e 0 d) 3/2 e 2 e) – 6 e 2

----------------------------------------------------------------------------------- 16. O valor de ( 1 + i )10 , onde i é a unidade imaginária, é:

a) 64i b) 128i c) 32i x d) – 32i e) n.d.a.

----------------------------------------------------------------------------------- 17. Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 5 + 8i, então o valor de z1.z2 é:

a) 10 + 24i b) 10 + 31i c) – 14 + 31i x d) – 14 + 24i e) 7 + 11i

18. O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0

( k, t ∈ IR ) se e somente se:

a) k = t = – 2 b) k = t = 2 c) k = – 2 e t = 2 x d) k = 2 e t = – 2 e) k + t = 1

-----------------------------------------------------------------------------------

19. O determinante

iii

11i

111

32 −

− , onde i é a unidade

imaginária, é igual a:

a) – 2 – 2i b) – 2 + 2i x c) 2 + 2i d) – 2i e) – 2

-----------------------------------------------------------------------------------

20. i1i1

−

− é igual a:

a) 2i b) 4i c) 3i d) i x e) – 2i

-----------------------------------------------------------------------------------

21. Dado o número complexo z = 1 – i, tem-se que 2z

1 é igual

a:

a) 2i b) i c) i/2 x d) – i e) – 2i

-----------------------------------------------------------------------------------

22. A soma dos números complexos i1i55

+

+ e

i120−

é:

a) 2

i525 +

b) 10 + 10i x c) – 10 – 10i d) 15 + 10i e) 30 + 20i

----------------------------------------------------------------------------------- 23. É dado um número complexo z = (x – 2) + (x + 3)i, onde x

é um número real positivo. Se z = 5, então:

a) z é um número imaginário puro; x b) z é um número real positivo; c) o ponto de imagem de z é ( – 1 , 2 ); d) o conjugado de z é – 1 + 2i; e) o argumento principal de z é 180o.


PROF.: FÁBIO LUÍS

24. O conjugado de i

i2 − vale:

a) 1 – 2i b) 1 + 2i c) 1 + 3i d) – 1 + 2i x e) 2 – i

----------------------------------------------------------------------------------- 25. Sendo i a unidade imaginária, o valor da expressão

2032

50232

i...ii

i...iiiy

+++

++++= é:

a) i b) – i c) 1 d) – 1 e) 1 – i x

----------------------------------------------------------------------------------- 26. ( ITA-SP ) O número natural n tal que

(2i)n + (1 + i)2n = – 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:

a) n = 6 b) n = 3 x c) n = 7 d) n = 4 e) não existe n nestas condições.

-----------------------------------------------------------------------------------

27. Simplificando 49100

50101

)2i()i2(

)i2.()i2(

−−−

−+, obtém-se:

a) 1 b) 2 + i c) 2 – i d) 5 e) – 5 x

----------------------------------------------------------------------------------- 28. O valor de (1 + i)12 – (1 – i)12, onde i2 = – 1, é igual a:

a) – 128i b) – 128 c) 128 d) 128i e) 0 x

-----------------------------------------------------------------------------------

29. Sendo i a unidade imaginária, o valor de 4

i1i1

−

+ é:

a) 1 x b) i c) – 1 d) – i e) 2i

-----------------------------------------------------------------------------------

30. O valor de a que torna real o quociente i34

ai23−

− é:

a) – 3/2 b) – 9/8 c) zero d) 2/3 e) 9/8 x

31. Sendo i a unidade imaginária e dada a matriz

−−

+=

−

x22i

y)i1(A

1

com det A = 3i, então o valor de x + y

é igual a:

a) 3 b) 7 c) 12 d) 9 x e) 5

-----------------------------------------------------------------------------------

32. Sendo i1

z+

– i

1z − = 2i ( i é a unidade imaginária ), o

módulo complexo x será:

a) 2 6

b) 3 2 x f) 9

g) 3 h) n.r.a.

-----------------------------------------------------------------------------------

33. O conjunto solução da equação i33z2z z 2

+=−+ é:

a) { 1 + i ; 2 + i } b) { –1 + i ; 2 + i } x c) { 1 + i ; – 2 + i } d) { 1 – i ; 2 + i } e) { 1 – i ; 2 – i }

----------------------------------------------------------------------------------- 34. ( PUC-RJ ) Considere os números complexos z = 2 – i e

w = i2

5+

. Então, se w indica o complexo conjugado de w:

a) z = – w

b) z = w

c) z = – w d) z = 1/w e) z = w x

-----------------------------------------------------------------------------------

35. Seja o número complexo z = i1i1

+

−. Então z1980 vale:

a) 1 x b) – 1 c) i d) – i e) – 2i

----------------------------------------------------------------------------------- 36. O número complexo z que verifica a equação

iz + 2 z + 1 – i = 0 é:

a) – 1 + 2i b) – 1 + i c) 1 – i d) 1 + i e) – 1 – i x


PROF.: FÁBIO LUÍS

37. Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, então vu + é:

a) 5 x

b) 26

c) 29 d) 7 e) 15

-----------------------------------------------------------------------------------

38. Dados os complexos z1 = 4+ 3 i e z2 = 1 + 3i, efetuando

2

1

z

z, obtemos:

a) – i72

738

+

b) 5 + 3 i

c) i5

375

32 −−

+

d) i10

31210

334 ++

− x

e) i835

83

+

----------------------------------------------------------------------------------- 39. Seja o número complexo z = 1 + 2xi, onde x ∈ IR+. Se o

módulo de z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:

a) ] – ∞ ; 1 [ b) [ 1 ; 3 ] c) ] 3 ; 5 [ x d) [ 5 ; 8 ] e) ] 8 ; + ∞ [

-----------------------------------------------------------------------------------

40. Se z é um número complexo tal que 24z . z = , então o módulo de z é:

a) 2 3

b) 2 6 x c) 5 c) 12 d) 24

----------------------------------------------------------------------------------- 41. O produto de todos os números complexos com

representação geométrica na reta y = x e módulo 8 é igual a:

a) 8

b) 8 c) – 8i x

d) i 8

e) 8 + 8i

42. O conjugado de z = 22 ii 2i + é:

a) 1 + 2i b) 1/2 + i c) 1 – 2i d) 1/2 – i x e) 1 – i

-----------------------------------------------------------------------------------

43. Calculando i815 −− obtemos:

a) 2 – 2i e 2 + 2i b) 1 – 4i e – 1 + 4i x c) 1 + 4i e 4 – i d) – 2 + 2i e – 2 – 2i

-----------------------------------------------------------------------------------

44. Se u = cos x + i sen x e uz

2

= 32, então z vale:

a) 4 2 x

b) 3 2

c) 2 2 d) 2

e) 2 ----------------------------------------------------------------------------------- 45. No plano de Gauss, o afixo do número complexo

z = ( 1 + i )4 é um ponto do:

a) eixo real x b) eixo imaginário c) 1º quadrante d) 3o quadrante e) 4o quadrante

----------------------------------------------------------------------------------- 46. Seja o número complexo z = a + bi, onde a, b ∈ IR. Se

( 2 + ai ).( 2 + bi2 ) = 8 – 4i3, o afixo de z é um ponto de Gauss pertencente ao:

a) eixo das abscissas b) eixo das ordenadas c) 4o quadrante x d) 3o quadrante e) 2o quadrante

-----------------------------------------------------------------------------------

47. Uma forma trigonométrica do complexo i33z −= é:

a) – 2 3 ( cos 60o + i sen 60o ) b) cos 45o + i sen 45o

c) 2 3 ( cos 300o + i sen 300o ) x

d) 2 3 ( cos 30o + i sen 30o )


PROF.: FÁBIO LUÍS

48. Na figura abaixo, o ponto P é o afixo de um número

complexo z no plano de Argand-Gauss. A forma trigonométrica de z é:

a) 4( cos 300o + i sen 300o ) x b) 4( cos 60o + i sen 60o ) c) 16( cos 330o + i sen 330o ) d) 2( cos 300o + i sen 300o ) e) cos ( – 60o ) + i sen ( – 60o )

-----------------------------------------------------------------------------------

49. A forma trigonométrica do número i

i1+ é:

a)

π+

π

4seni

4cos

22

b)

π+

π

45

seni4

5cos2

c)

π+

π

47

seni4

7cos2 x

d)

π+

π

4seni

4cos2

e)

π+

π

43

seni4

3cos2

-----------------------------------------------------------------------------------

50. Seja o número complexo i21

23

z −−= . O argumento

principal do conjugado de z é:

a) 30o b) 45o c) 60o d) 120o e) 150o x

----------------------------------------------------------------------------------- 51. Seja z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo

argumento é 3π

. A forma algébrica do conjugado de z é:

a) i31− x

b) i3 −

c) i3 +

d) i31+ -----------------------------------------------------------------------------------

52. Seja “z” o produto dos números complexos 3 + 1 e

( )i 3123

+ . Então o módulo e o argumento de “z” são,

respectivamente:

a) 4 e 30o b) 12 e 80o

c) 6 e 90o d) 6 e 90o x

53. Se os números complexos z1 e z2 são tais que

z1 = 2 ( cos 135o + i sen 135o ) e z2 = z1 – 2, então o módulo de z2 é igual a:

a) 2 2

b) 2 3

c) 2 23

d) 4 + 2 2

e) 2 22 + x -----------------------------------------------------------------------------------

54. Seja a igualdade 2

3seni

3cosi

4b

2a

π+

π=− , onde i é a

unidade imaginária. Se a e b são números reais, então o produto a.b é igual a:

a) – 3

b) 43

−

c) 63

d) 23

e) 2 3 x -----------------------------------------------------------------------------------

55. Dado o número complexo 16

seni16

coszπ

+π

= , o valor de

z12 é:

a) 22

i22

+− x

b) 22

i22

−−

c) – 2 + i

d) – 1 + i 2

e) – 2 + i 2 -----------------------------------------------------------------------------------

56. O módulo e o argumento do complexo ( 3 + i )8 são, respectivamente:

a) 44 e 4π/3 x b) 28 e 8π/3 c) 48 e 8π/9 d) 38 e 5π/4 e) n.r.a.

-----------------------------------------------------------------------------------

57. Se z =

π+

π

4seni

4cos2 , então z8 vale:

a) – 16i b) – 16 c) 8i d) 16 x e) 16i

Im(z)

2Re(z)

–2 3 P


PROF.: FÁBIO LUÍS

58. Seja z = 3 + i, onde i = 1− . Um dos valores de n tal

que zn seja real é:

a) 2 b) 6 x c) 10 d) 3 e) 11

-----------------------------------------------------------------------------------

59. O módulo do número complexo ( )( )4

8

i44

i22z

−

+= é igual a:

a) 2

b) 2 2 c) 4 x

d) 4 2 e) 8

-----------------------------------------------------------------------------------

60. O menor valor n > 0, de modo que

n

i21

23

+ seja real

positivo, é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12 x

----------------------------------------------------------------------------------- 61. ( ITA-SP ) Seja z um número complexo satisfazendo

Re(z) > 0 e ( z + i )2 + z + i 2 = 6. Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro, então n é igual a:

a) 1 b) 2 x c) 3 d) 4 e) 5

----------------------------------------------------------------------------------- 62. As raízes quadradas do número 3 + 4i, onde i representa

a unidade imaginária, são:

a) { 2 + i ; – 2 – i } x b) { 1 + i ; – 1 – i } c) { 3 + i ; – 3 – i } d) { 4 + i ; – 4 – i } e) n.r.a.

-----------------------------------------------------------------------------------

63. Calculando ∑=

120

10n

ni obtemos:

a) 1 b) i c) – 1 d) – i x e) 0

64. Calculando ∑=

⋅

100

1n

n ) in ( obtemos:

a) 50.( 1 – i ) x b) 50.( 1 + i ) c) 25.( 1 – i ) d) 25.( 1 + i ) e) 100.( 1 – i )

----------------------------------------------------------------------------------- 65. Os números complexos z tais que z2 = i são:

a) – 22

–22

i e 22

+ 22

i x

b) – 22

+22

i e 22

– 22

i

c) 22

+22

i e 22

– 22

i

d) 22

+22

i e –22

+ 22

i

e) – 22

–22

i e 22

– 22

i

----------------------------------------------------------------------------------- 66. O conjunto de todas as raízes complexas da equação

x3 = – 1 é:

a) { – 1 } b) { 1 ; – 1 }

c)

+−+− 21

23

; 2i

23

; 1

d)

π

+ππ

+π

−3

5isen

35

cos ; 3

isen 3

cos ; 1 x

e)

π

+π

− 3

isen 3

cos ; 1

----------------------------------------------------------------------------------- 67. Calculando o valor de n ( n ∈ IN ) na igualdade na

igualdade ( 2i )n + ( 1 + i )n = – 16i obtemos:

a) 2 b) 3 x c) 4 d) 5 e) 6

-----------------------------------------------------------------------------------

68. ( UFF ) Sendo i a unidade imaginária, para que xi4ix4

z−

−= ,

x ∈ IR seja um número real, é necessário que x seja igual a:

a) ± 1/4 b) ± 1 x

c) ± 2 d) ± 4

e) ± 3 2

3a SÉRIE – E. M.

PARTE 03 69) (RURAL-99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1

a

b é:

(A) 3 (B) 2 (C)

(D) 2 2 (E) 1 + 2

70) (UNI-RIO) A forma algébrica do número complexo

z = 2 cis 135º

(A) 2 + 2i (B) − +2 2i (C) -1 +

(D) -2 (E)2

2

2

2+ i

71) (UFF-97) Considere os números complexos

q, vértices de um quadrado com lados

eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo.

Pode-se afirmar que o número m + n + p + q: (A) é um real não nulo.

(B) é igual a zero. (C) possui módulo unitário.

(D) é um imaginário puro.

(E) é igual a 1+ i.

72) (Rural-2000-2ªF) Em um jogo de sinuca, uma mesa

está localizada com centro na origem do plano

complexo, conforme mostra a figura abaixo.

Im

R

m n

p q

Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de

5

A forma algébrica do número complexo

1 + 3i

Considere os números complexos m, n, p e , vértices de um quadrado com lados paralelos aos

eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo.

m + n + p + q:

Em um jogo de sinuca, uma mesa

está localizada com centro na origem do plano

mostra a figura abaixo.

Após uma tacada do centro 0, a bola preta segue na

direção de Z = 1 + i, bate em A, indo em seguida

até B e parando, conforme demonstra a figura abaixo.

Encontre o ponto Z1 = a + bparado se a tacada tivesse sido dada, com a

mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado

de Z.

73) (UFRJ-2004-PE) z é um número complexo tal que

Calcule: 1 + z + z2 + z3 + z4 + z

74) (UFRJ-2009-PE) No jogo

números complexos z e

respectivamente. O tiro certeiro de

complexo t tal que tz = w.

Considere a mira z e o alvo w

Determine o tiro certeiro de

75) (UERJ-2005-2ªf) João desenhou um mapa do quintal

de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um

sistema de coordenadas retangulares, colocando a

origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY

com sentidos oeste-leste e sul

Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de

um número complexo z= x + iy , x

Para indicar a posição (x1, yorigem, João escreveu a seguinte observação no canto

do mapa:

x1 + iy1 =( 1 + i )

Calcule:

a) as coordenadas (x1, y1);

b) o valor de d.

NÚMEROS COMPLEXOS

PROF.: FÁBIO LUÍS

Após uma tacada do centro 0, a bola preta segue na

i, bate em A, indo em seguida

e parando, conforme demonstra a figura abaixo.

= a + bi, onde a bola branca teria

parado se a tacada tivesse sido dada, com a

mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado

é um número complexo tal que z7 = 1 , z ≠ 1

+ z5 + z6

No jogo Batalha Complexa são dados

e w, chamados mira e alvo

respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número

w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w.

João desenhou um mapa do quintal

de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um

de coordenadas retangulares, colocando a

origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY

leste e sul-norte, respectivamente.

), nesse sistema, é a representação de

um número complexo z= x + iy , x∈R , y∈R e i2

= -1.

, y1) e a distância d do cofre à

origem, João escreveu a seguinte observação no canto

=( 1 + i )9


PROF.: FÁBIO LUÍS

76) (UFRJ-2001-PE)

Determine o menor inteiro n≥ 1 para o qual ( )n

i+3 é

um número real positivo.

77) (UNIRIO-2009-2ªF) Na figura abaixo, os vértices A, B,

C e D do quadrado de lado 2 e centro 0 representam, no

plano de Argand-Gauss, as raízes quartas do número

complexo z.

Se o ângulo entre o segmento OA e o eixo real é de 15º,

determine, na forma algébrica, o número complexo z .

78) (UERJ – 2010- 2ª FASE) As seis soluções da equação

z6 + z

3 + 1 = 0 são números complexos que possuem

módulos iguais e argumentos distintos.

O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções

pertence ao intervalo

π

π,

2 .

Determine a medida de θ.

79) O holandês Escher (1898-1972) usava construções

geométricas em suas obras, como o “limite circular IV”

(fig. 1). Parte da imagem central foi ampliada e colocada

num plano de Argand-Gauss (fig. 2), com destaque para

a figura que é simétrica em relação à reta r. Supondo

z = 4 (cos75° + i sen75º), o complexo w é igual a:

(A) i322 + (B) i2222 +

(C) i232 + (D) ( ) ( )i2626 −++

complexos gabarito

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