comportamiento electromagnético de nanopartículas de oro
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Facultad de
Ciencias
Comportamiento electromagnético de
nanopartículas de Oro. Efecto del tamaño (Electromagnetic behavior of gold
nanoparticles. Size Effect)
Trabajo de Fin de Grado para acceder al
GRADO EN FÍSICA
Autor: Raúl Suárez García
Directores: Francisco González Fernández
Fernando Moreno Gracia
Septiembre–2015
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Agradecimientos:
En primer lugar quiero agradecer a Paco y a Fernando por haberme dirigido este
proyecto y haberme ayudado siempre que lo he necesitado. A Ángela, Yael y Andrea
por toda la ayuda que me han dado. A mis padres y a mi hermano por apoyarme en
todo momento y finalmente a mis amigos, no voy a nombrar a todos, que aunque no
hayan participado en el proyecto han ayudado a que saliese adelante.
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ÍNDICE
RESUMEN…………………………………………………………………………………………………………… 4
ABSTRAC…………………………………………………………………………………………........................ 5
1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………….... 6
2.OBJETIVOS Y ESQUEMA DEL TRABAJO…………………………………………………………….. 8
2.1-Objetivos……………………………………………………………………………………………………….…. 8
2.2-Esquema de trabajo……………………………………………………………………………..……………. 8
3. CONCEPTOS TEÓRICOS………………………………………………………………………………....… 9
3.1-Teoria de Mie……………………………………………………………………………………………….…… 9
3.1.1-Solución a la ecuación de ondas………………………………………………………… 9
3.1.2-Campo electromagnético difundido e interno……………………………….……..11
3.1.3-Secciones eficaces de difusión absorción y extinción……………………….…...14
3.1.4-Particula pequeña comparada con la longitud de onda………………………....15
3.1.5-Intensidad difundida………………………………………………………………………...…16
3.2-Dispersión en metales: Modelo de Drude-Lorentz………………………………………………….16
4. RESULTADOS Y ANÁLISIS……………………………………………………………………………………19
4.1-Programas empleados…………………………………………………………………………………………...19
4.2-Eficiencias de extinción dispersión y absorción del oro…………………………………...………21
4.3-Dispersión en la región de campo cercano del oro………………………………………………......25.
4.4-Dispersión en la región de campo lejano del oro……………………………………………………...29
5. CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………………….....32
6. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………………..……….34
APENDICE 1: PROGRAMAS MATLAB…………………………………………………………………..……..36
Código 1-Mie_ab……………………………………………………………………………………………………………..36
Código 2-efiextAu…………………………………………………………………………………………….……………...37
Código 3-efiscaAu………………………………………………………………………………………..……….………….39
Código 4-efiabsAu……………………………………………………………………………………….………………......42
Código 5-represntefiext……………………………………………………………………………………………….…..45
Código 6-represntefis……………………………………………………………………………………………………….45
Código 7-Mie_campoelecsca………………………………………………………………………….…………...……...46
Código 8-Mie_campolejano…………………………………………………………………………………..……………49
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Resumen
En la actualidad, hay una rama de la nanotecnología que está adquiriendo gran
importancia debido a las numerosas aplicaciones que pueden surgir. Esta rama es la
nanoplasmónica, que es la rama que estudia la interacción de la radiación
electromagnética con las nanopartículas metálicas.
Las características de las nanoportículas metálicas, en concreto la posibilidad de excitar
resonancias plasmónicas superficiales localizadas, hacen de estas una gran
herramienta, con un gran número de aplicaciones en diversos campos, como el de las
comunicaciones, energías renovables y el de medicina. El oro, cuyo comportamiento es
bien conocido, es capaz de excitar resonancias plasmónicas superficiales localizadas y
además es un material biocompatible, hace que sean nanopartículas de este material
las que se estén investigando o comenzando a emplear en diversas aplicaciones, como
por ejemplo en la espectroscopia Raman de superficie aumentada (SERS), como agente
terapéutico, como anticonceptivo, etc…[1-3]
Es por eso que en este trabajo, se ha realizado un estudio del comportamiento
electromagnético de nanopartículas de oro, y el efecto del tamaño de la partícula en
este. Se analiza, para nanopartículas de oro de distintos tamaños, la extinción de la
intensidad del haz incidente, las resonancias plasmónicas que aparecen y su origen,
como son las distribuciones de energía en el entorno de la nanopartícula y alejados de
ella.
Los resultados obtenidos muestran como las nanopartículas de radios pequeños tienen
un comportamiento similar al de un dipolo eléctrico, ya que aparece una única
resonancia, que es la dipolar eléctrica. Al aumentar el tamaño de la partícula se
observa cómo se aleja del comportamiento dipolar y comienzan a aparecer
resonancias plasmónicas de órdenes superiores, formando patrones de difusión más
complejos. Además al aumentar el tamaño, todas las resonancias sufren un
desplazamiento hacia longitudes de onda mayores. Respecto a la extinción de la
intensidad del haz incidente, para partículas pequeñas predomina el fenómeno de
absorción mientras que al aumentar el tamaño de la partícula la dispersión va
predominando cada vez más frente a la absorción.
PALABRAS CLAVE: Nanopartículas metálicas, dispersión, Mie, extinción, resonancias
plasmónicas, campo cercano, campo lejano.
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Abstract
Currently, there is a branch of nanotechnology that is gaining great importance due to
the applications that can appear from it. This branch is called nanoplasmonic, which is
the branch that studies the interaction of electromagnetic radiation with metallic
nanoparticles.
The characteristics of metal nanoparticles, specifically the ability to excite localized
surface plasmon resonances, makes them a great tool with a large number of
applications in different fields, such as communications, renewable energy and
medicine. Gold, whose behavior is well known, is able to excitate localized surface
plasmon resonance and it is also a biocompatible material. These characteristics are
the reason why gold’s nanoparticles are being under investigation or beginning to use
in multiple applications for instance, in enhanced surface Raman spectroscopy, as a
therapeutic agent, agent for contraception……[1-3]
That is why in this investigation, we have studied the electromagnetic behavior of gold
nanoparticles, and the effect of particle size on this. For gold nanoparticles of various
sizes, it analyzes the extinction of the incident intensity beam, the plasmon
resonances, when appear, such as energy distributions in the vicinity of the
nanoparticle and away from it.
The results show that nanoparticles of small radio have a similar behavior of an
electric dipole, a single resonance appears corresponding to the electric dipole
resonance. By increasing the size of the particle, the dipolar behavior starts to
dissapear and begin to appear plasmonic resonances of higher orders to form more
complex distribution patterns. In addition to increasing the size, all resonances suffer
a shift to larger wavelengths. Regarding the extinction of the incident intensity beam,
for small particles the absorption phenomenon is dominant. When the particle size
increases the scattering phenomenon start to be dominant.
KEYWORDS: metal nanoparticles, scattering, Mie, extinction, plasmonic resonance,
near field, far field
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1.-Introducción
A lo largo de la historia, el ser humano ha intentado explicar que es la luz y como
interacciona esta con la materia. Han surgido muchas teorías hasta llegar a la
respuesta de la onda-corpúsculo que tenemos hoy en día, pasando por rayos que salen
de los ojos en la antigua Grecia, a pequeñas partículas de luz que rebotan. A medida
que se realizaban avances sobre el tema, iban surgiendo avances tecnológicos que
permitían mejorar algunos aspectos de la vida, como el invento del telescopio de
Galileo, el láser, hasta los móviles que hoy en día todo el mundo utiliza. Aunque los
descubrimientos tecnológicos han sido inmensos, hoy en día siguen apareciendo
muchos y fue Richard Feyman quien, con su discurso “There’s plenty of Room at the
Bottom”, abrió un camino hacia lo que hoy conocemos como la nanotecnología.
La nanotecnología es el campo de la ciencia aplicada que se dedica al control y a la
manipulación de la materia a escala nanométrica. Aunque la nanotecnología es un
campo reciente, los materiales nanoestructurados ya han sido utilizados en
aplicaciones prácticas en nuestra vida diaria durante muchos años. Un caso famoso de
uso de nanopartículas de oro en la antigüedad es la copa de Lycurgus, que fue creada
por los romanos. Si la copa es iluminada desde fuera con luz blanca, las partículas de
oro más grandes dispersan predominantemente el verde, haciéndola ver de ese mismo
color. Sin embargo, cuando la copa se ilumina desde adentro las partículas más
pequeñas absorben el verde y el azul, logrando que se observe de color rojo. Otros
ejemplos de uso de nanopartículas metálicas son el color rojo de los vitrales en las
catedrales de Europa, que se obtenía utilizando nanopartículas de oro, o la película
fotográfica utiliza nanopartículas de plata. Dentro del campo de la nanotecnología
existe una rama que se encarga del estudio de la interacción de la radiación
electromagnética con los materiales nanoestructurados, que podría decirse ser una
mezcla de la nanotecnología y la fotónica, conocida como nanofotónica [4].
Fig1.1:En la fotografía (a), de la izquierda, se muestra la Copa de Lycurgus hecha por los romanos usando
nanopartículas de oro donde se observa verde la luz reflejada y rojo en la luz que se transmite. En la fotografía (b)
se muestra el Vitral de la Catedral de Milán donde el rojo es producido por nanopartículas de oro.[1]
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En el caso de que el estudio de la interacción radiación-materia sea de una
nanopartícula metálica, existe una rama específica que estudia los fenómenos ópticos
en la proximidad de sus superficies, conocida como nanoplasmónica. Cuando
interacciona un campo electromagnético, de una determinada longitud de onda λ, con
una nanopartícula metálica, los electrones libres de la superficie comienzan a oscilar. A
esas oscilaciones se les conoce como oscilaciones de plasma, y a los distintos modos de
oscilación se les llama plasmones. Las características de estos plasmones están
relacionadas con las propiedades ópticas del metal, su geometría y dimensiones,
longitud de onda de la radiación incidente, y el medio circundante.
Una radiación electromagnética que incida con la frecuencia adecuada puede llegar a
generar una resonancia plasmónica. La resonancia plasmónica se genera cuando el
campo electromagnético incidente hace que la nube de electrones libres oscile con la
misma frecuencia a la que el campo incidente oscila. Las resonancias plasmónicas de
superficie producen un campo electromagnético muy intenso y localizado en la
proximidad de la superficie de la nanopartícula. [5]
Un aspecto negativo de las nanopartículas metálicas es que pueden presentar
absorción de la radiación electromagnética al ser irradiadas, por lo que parte de la
energía que incide sobre estas puede ser perdida, ya que por efecto Joule se
transforma en energía térmica. Por eso se están realizando estudios en la actualidad
con nanoparticulas dieléctricas con alto índice de refracción, que tienen menos
perdidas.
La aparición de plasmones de superficie localizados, y su dependencia con el medio
que rodea a la partícula, hace de las nanopartículas una buena herramienta de
monitoreo óptico y de formación de imágenes. Un campo en el que la nanoplasmónica
ha generado un gran número de aplicaciones es el de la medicina. Una de esas
aplicaciones es su uso en la espectroscopia Raman de superficie aumentada (SERS)
para detección de componentes químicos y bioquímicos, detección de células
cancerígenas, etc... Otra aplicación importante en el campo de la medicina es el uso
de nanopartículas como agentes terapéuticos. Una vez que las nanopartículas se unen
a tejidos dañados o a células cancerosas, se puede inducir un calentamiento mediante
irradiación. El calentamiento provoca la destrucción de las células o tejidos dañados,
sin dañar el tejido sano que las rodean, como por ejemplo células tumorales, o incluso
en China se ha comenzado a investigar su uso como anticonceptivo. [1-3]
Todas estas aplicaciones y otras que no se han nombrado hacen que el estudio de la
interacción de la radiación electromagnética con nanopartículas metálicas y sea de un
gran interés. Es por eso que en este trabajo se ha realizado el estudio del
comportamiento electromagnético de estas nanopartículas, en particular del oro.
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2.-Objetivos y Esquema de trabajo
2.1-Objetivos En este trabajo se pretende realizar un estudio del comportamiento electromagnético
de nanopartículas de oro, y el efecto que tiene en este comportamiento su tamaño. El
motivo de que se elija el oro es que es bien conocido su comportamiento en la
literatura y es un material biocompatible. El estudio se basa en la observación de los
fenómenos que producen dichas nanopartículas cuando incide un haz de radiación
electromagnética determinada sobre ellas. Se analiza la extinción de la intensidad del
haz incidente, las resonancias plasmónicas que aparecen y su origen, y como son las
distribuciones de energía en el entorno de la nanopartícula y alejado de ella.
2.2-Esquema de Trabajo En primer lugar se muestra la teoría necesaria para abordar el problema de extinción
de luz por una partícula esférica, la teoría de Mie, y las bases teóricas sobre el modelo
de Drude-Lorentz (Capítulo 3). En segundo lugar se exponen los resultados obtenidos
mediante los programas que se crearon con Matlab (Anexo 1), y el análisis de dichos
resultados (Capítulo 4). Para finalizar se presentan las conclusiones obtenidas (Capítulo
5). Para realizar el estudio de las nanopartículas nos hemos centrado en el análisis de:
1. Eficiencias de extinción, dispersión, y absorción.
2. Intensidad del campo eléctrico en la región de campo cercano para las distintas resonancias
3. Intensidad del campo eléctrico en la región de campo lejano para las distintas resonancias
En todo el trabajo se han considerado partículas de diferentes tamaños, en el rango de 20 nm a 250 nm de radio.
9
3.-Conceptos Teóricos
3.1-Teoría de Mie
En 1908 Gustav Mie desarrollo una teoría que explicaba el comportamiento
electromagnético de absorción y dispersión por partículas esféricas. Partiendo de las
ecuaciones de Maxwell, y mediante un desarrollo matemático complejo, Mie obtuvo
las ecuaciones del campo electromagnético dispersado e interno de la partícula. En
este capítulo se muestran las bases de esta teoría que se utilizará para realizar el
cálculo del campo electromagnético difundido por una partícula esférica de radio ,
constante dieléctrica , y permeabilidad magnética , que es iluminada por una onda
plana propagándose paralela al eje Z y polarizada paralela al eje X, tal y como se
muestra en la Figura 3.1. [6]
3.1.1-Solución a la ecuación de ondas
Como impone la teoría electromagnética, un campo electromagnético en un medio
linear, isótropo, homogéneo debe satisfacer la ecuación de ondas:
Siendo el campo eléctrico y el campo magnético que se desea obtener y Donde
viene dado por √ , es la frecuencia del campo electromagnético y es la
permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética relativas. Además al tratarse de
una partícula esférica aislada en un medio linear, isotrópico, homogéneo, y libre de
cargas, se cumple que la divergencia de y son nulas:
Fig3.1-Representación de un haz de luz polarizado en el eje X y propagándose paralelo al
eje Z hacia una partícula esférica.
10
Y mediante las ecuaciones de Maxwell se puede obtener una relación entre el campo
eléctrico y magnético que es de la siguiente forma:
Para resolver las ecuaciones (3.1) se crea, dada una función escalar , una función
vectorial que cumple:
Donde es un vector constante y es un vector generado por . Sabiendo que la
divergencia en el desarrollo de cualquier función vectorial es nula y aplicando el
operador a ambos lados de la ecuación (3.4) se obtiene:
Por lo que satisface la ecuación de onda vectorial si es solución de la ecuación de
onda escalar. A partir de se puede construir otra función vectorial que viene dada
por:
Donde también tiene divergencia nula y cumple la ecuación de onda vectorial. Esta
relación se puede escribir a demás como:
De las ecuaciones (3.6) y (3.77) se puede ver que las propiedades que tienen y
cumplen todas las propiedades requeridas de un campo electromagnético:
a) y es proporcional a viceversa
b)
Así el problema de encontrar soluciones a la ecuaciones de campo se reduce a
encontrar soluciones a la ecuación de onda escalar .Asi a y se les conoce como
los vectores armónicos. La elección de las funciones de generación viene dado por
cualquier simetría que pueda aparecer en el problema. Dado que el interés está en
partículas esféricas se elige funciones que satisfacen la ecuación de onda en
coordenadas esféricas . Se puede escribir la ecuación de onda escalar aplicando
coordenadas esféricas y separación de variables de la siguiente forma:
11
La solución completa de la ecuación de onda escalar viene dada entonces como:
Donde los subíndices y denotan si la función tiene una paridad positiva( par ) o
negativa ( impar) respectivamente, es una constante entera determinada por
condiciones que debe satisfacer, son las funciones de Legendre asociadas de
primer tipo de grado y orden , donde , y son las funciones
esféricas de Bessel de orden enésimo
que están relacionadas con las
funciones de Bessel de primer y segundo orden, y respectivamente, de la
siguiente manera:
√
√
Donde . Sustituyendo las soluciones y en (3.4) y (3.6)
obtenemos los armónicos esféricos vectoriales:
Por lo tanto los armónicos esféricos vectoriales , , , son los
modos normales de una partícula esférica.
3.1.2-Campo electromagnético difundido e interno Una vez conocidos los armónicos esféricos vectoriales, que llamaremos VSH, podemos
obtener el campo en cualquier punto del espacio ya que este se puede escribir como
una combinación lineal de los VSH. Consideremos una esfera situada en el origen de
coordenadas, en el vacío, por lo que . Dicha partícula es iluminada con una onda
electromagnética plana, de longitud de onda , polarizada en el eje x que incide
paralela al eje Z, como se observa en la Figura 3.1. Las ecuaciones del campo eléctrico
12
y magnético incidente ( en coordenadas esféricas vienen dada por las siguientes
ecuaciones:
Donde es el vector de onda tal que
y es la amplitud del campo incidente.
La expansión de este campo electromagnético incidente en VSH se expresa como:
∑
∑
También se debe expandir el campo electromagnético disperso ( y el interno de
la esfera ( en VSH. Para ello debemos imponer en el contorno de la esfera y el
medio la siguiente condición de contorno:
(
Esta condición de contorno, la ortogonalidad de los VSH y la forma de la expansión del
campo incidente dictan la forma de expansión de los campos disperso e interno de la
esfera:
∑
∑
∑
∑
Donde y son el numero de onda y la permeabilidad magnética relativa de la
partícula esférica respectivamente, el superíndice (1) indica el primer orden de la
función de Bessel usada, que corresponde a la función escalar y el superíndice
(3) indica la dependencia radial que viene dada por la función de Bessel . Como
consecuencia de que en el origen debe ser finito se requiere que se tome
como función esférica de Bessel apropiada en las funciones generadoras para el vector
armónico dentro de la esfera.
Los coeficientes , , y son los coeficientes de la expansión y que aplicando la
condición de contorno (3.20) se pueden obtener sus expresiones que tienen la
siguiente forma. En el caso de los coeficientes de dispersión:
13
[
]
[
]
En el caso de los coeficientes del campo interno de la partícula:
[
]
[
]
[
]
[
]
Donde es el parámetro de tamaño de la partícula y es el índice de refracción
relativo que vienen dado por las expresiones:
Donde es el índice de refracción de la partícula y es el índice de refracción del
medio. La expansión en términos de los coeficientes de dispersión de Mie nos da una
expansión multipolar del campo. Los coeficientes representan la contribución
eléctrica mientras que los coeficientes representan la contribución magnética del
campo dispersado. El subíndice indica el multipolo que estamos considerando. Por
ejemplo representa el termino dipolar, representa el termino
cuadrupolar, representa el termino sextopolar y así sucesivamente. Mediante
estos coeficientes se puede conocer a que longitud de onda se produce un
determinado tipo de resonancia. Si por ejemplo para una determinada longitud de
onda se hace máximo, a esa longitud de onda se produce una resonancia dipolar
eléctrica. Los coeficientes de dispersión pueden ser simplificados introduciendo las
funciones de Ricatti-Bessel:
Si tomamos la permeabilidad de la partícula y el medio la misma obtenemos:
14
3.1.3-Secciones eficaces de difusión, absorción, y extinción
Un valor de interés en el estudio de la difusión de luz por partículas esféricas es el de
las secciones eficaces y las eficiencias. Las secciones eficaces se conocen como el
cociente de la energía electromagnética que atraviesa una esfera imaginaria centrada
en la partícula entre la intensidad del haz de luz incidente. Una vez obtenidos las
ecuaciones del campo electromagnético y los coeficientes de Mie se pueden obtener
las secciones eficaces. Para la sección eficaz de difusión se tiene:
∑
Para la sección eficaz de extinción:
∑
Como consecuencia del principio de conservación de la energía, la radiación extinguida
tiene que ser la suma de la dispersada y la absorbida. Teniendo en cuenta esto se
puede obtener la sección eficaz de absorción de la siguiente manera:
Una vez obtenidas las secciones eficaces se pueden conocer las eficiencias ya que son
la relación entre la sección eficaz de interacción y la sección eficaz de la partícula. Para
la eficiencia de dispersión:
∑
Para la eficiencia de extinción:
∑
Recurriendo de nuevo al principio de conservación de la energía obtenemos la
eficiencia de absorción:
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3.1.4-Partícula pequeña comparada con la longitud de onda
En el caso de que la partícula sea pequeña comparada con la longitud de onda
, se realiza una aproximación de la teoría de Mie conocida como la
aproximación de Rayleigh, donde se obtienen unas nuevas expresiones aproximadas
del campo electromagnético y las secciones eficaces. Para poder realizar esta
aproximación se deben cumplir dos condiciones [8]:
a) El parámetro de tamaño de la partícula debe cumplir que
b) El producto de debe cumplir
Recordando que . Bajo estas condiciones, teniendo en cuenta los vectores
unitarios en coordenadas esféricas de las componentes del campo eléctrico
obtenemos las siguientes expresiones para el campo eléctrico difundido:
∑
∑
∑
Dónde:
En este caso solo debemos considerar los términos de primer orden, n=1, es decir la
contribución dipolar, ya que al ser la partícula pequeña comparada con la longitud de
onda los términos cuadrupolares y de mayor orden son despreciables. Teniendo en
cuenta esto, los únicos coeficientes de Mie que contribuyen son y que, realizando
la aproximación, vienen dados por las siguientes expresiones:
Bajo estas condiciones la expresión del campo electromagnético difundido esta
dominado por por lo que se puede aproximar que la partícula difunde como un
dipolo eléctrico.
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3.1.5-Intensidad difundida
La intensidad en cualquier punto del espacio, según dice el teorema de Poynting, viene
definida por el modulo del cuadrado del campo eléctrico en dicho punto, está
relacionado con esta a través de una constante de proporcionalidad, por lo que la
intensidad difundida se puede obtener aproximadamente como como . Pero
dependiendo del punto donde se calcula la intensidad se puede realizar la
aproximación de campo lejano. Esta aproximación se puede aplicar cuando la distancia
al punto donde se calcula la intensidad desde el origen es mucho mayor que la
longitud de onda del haz incidente, es decir se cumple la condición . Para la
aproximación de campo lejano se tienen las siguientes expresiones para la intensidad
cuando la luz incidente esta polarizada paralela , y perpendicular , respecto al
plano de incidencia [6]:
∑ (
)
∑ (
)
Teniendo en cuenta de nuevo el principio de conservación de la energía se tiene que la
intensidad total dispersada en la aproximación de campo lejano es:
3.2-Difusión en metales: Modelo de Drude-Lorentz
Según el modelo clásico que Lorentz propuso en 1905, en un sistema electrón-ion los
electrones se encuentran unidos a los núcleos por fuerzas restauradoras lineales, por
lo que se les podía aproximar a osciladores armónicos clásicos con frecuencia propia.
Al incidir una onda electromagnética sobre el material, esta hacía que los osciladores
comenzaran a oscilar emitiendo radiación, haciendo que su movimiento se rigiese por
la ecuación de un oscilador armónico amortiguado forzado. Para este modelo, la
función dieléctrica relativa , correspondiente a un conjunto de osciladores armónicos
amortiguados, cada uno con una frecuencia de resonancia , se puede expresar de la
siguiente manera:
Donde es la constante de amortiguamiento de los osciladores. En el caso de los
metales, Drude propone que los electrones pertenecientes a las orbitas atómicas
externas no están ligados a los núcleos, sino que se pueden aproximar como
17
electrones libres, es decir que . El caso que aproxima esa nube de electrones
libres a un gas ideal se le conoce como el modelo de Drude-Lorentz. [4]
Cuando incide una onda electromagnética sobre el metal, esta interactúa con los
electrones de la banda de conducción y hace que se produzca la oscilación coherente
del gas de electrones a la que se conoce como, oscilación de plasma y a los distintos
modos de oscilación se conocen como plasmones. Si dicha onda electromagnética
oscila a la frecuencia adecuada puede llegar a generar una resonancia plasmónica. Esta
resonancia se genera cuando el campo incidente hace que la nube de electrones libres
oscile a la misma frecuencia que este.
Se pueden distinguir dos tipos de plasmones. Un tipo es conocido como “plasmones de
superficie”, cuando el gas de electrones libres está confinado en un espacio
dimensional (2D). El otro tipo es llamado “Plasmones de superficie localizados”,
cuando el gas de electrones libres está confinado en una estructura tridimensional
(3D).
Los plasmones de superficie se presentan en la interfaz entre un dieléctrico y un metal
bajo unas determinadas circunstancias. La parte real de la constante dieléctrica del
metal debe ser mayor que la parte imaginaria y el vector de ondas de la luz incidente
debe igualar el vector de onda del plasmón de superficie [9]. De esta forma se
redistribuyen los electrones libres del metal generando una onda que viaja a lo largo
del sustrato como se observa en la figura 3.2:
Sin embargo el número de onda del plasmón es siempre mayor que el vector de onda
de la luz en el espacio libre, por lo que un plasmón de superficie no puede ser excitado
por luz propagándose en el vacío. Para ello se ha de modificar alguna de las
componentes de ese vector de onda y existen ya diversos métodos para hacerlo[9].
Cuando una luz incide sobre una nanopartícula metálica esférica la nube de electrones
libres comienza a oscilar a la misma frecuencia de la luz incidente que dan lugar a los
plasmones de superficie localizados. Cuando los electrones del metal oscilan
coherentemente, la nube de electrones es desplazada respecto del ion, dando lugar a
distribuciones superficiales de carga. Dependiendo del tamaño, la forma de la
Fig 3.2: Representación de la formación de un plasmón en la interfase de un dieléctrico, representado de
blanco, y un metal, representado de amarillo [11].
18
nanopartícula, y la longitud de onda de la luz incidente, se forman distintas
distribuciones de carga.
Si el tamaño de la partícula es mucho menor que la longitud de onda de la luz
incidente, el campo eléctrico oscilante de dicha luz induce un dipolo eléctrico en la
partícula desplazando a una parte de los electrones móviles deslocalizados a una
dirección lejos del resto de la partícula metálica, generando así una carga negativa en
un lado de la partícula y dejando al otro lado de la partícula a los núcleos y sus
electrones internos que no se han desplazado y forman una carga opuesta positiva
produciendo así un dipolo. En cambio si el tamaño de la partícula aumenta o
disminuye la longitud de onda entonces las distribuciones de carga que se crean son
más complejas. En la Figura 3.3, se pueden observar las distribuciones de carga en
partículas esféricas metálicas nanométricas en dos casos diferentes [10]:
Estos plasmones superficiales localizados generan campos electromagnéticos
confinados intensos entorno a la partícula metálica. Para que estos plasmones de
superficie localizados se observen bien es necesaria la condición de que la parte
imaginaria sea muy pequeña y positiva ya que este término está asociado a las
perdidas por efecto Joule. Un material que cumple todos los requisitos en el rango del
visible para observar plasmones superficiales localizados es el oro. Por eso, por ser un
material bien conocido y por su biocompatibilidad se hace el estudio en este trabajo.
Fig3.3: Representación de una partícula pequeña comparada con la longitud de onda
del campo que incide sobre ella, y ésta emite como un dipolo eléctrico(a) y a su derecha
una partícula más grande (a), y ésta emite como un cuadrupolo eléctrico (b) [10]
a) b)
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4-Resultados y Análisis
En este apartado se muestran los resultados obtenidos a partir de los programas
desarrollados en Matlab, que se explicaran a continuación y cuyos códigos pueden
encontrarse en el Anexo 1. Los valores de la constante dieléctrica del oro en función
de λ son los propuestos por Jhonson y Christy [11] y se ha tomado siempre la
permeabilidad magnética del medio y la de la partícula como . Se procederá a
presentar y analizar los resultados de la siguiente manera:
En primer lugar se presentaran las resultados obtenidos para las eficiencias de
extinción, absorción, y dispersión de la partícula para distintos tamaños
En segundo lugar se analiza la intensidad del campo eléctrico en la región de
campo cercano con partículas de distintos tamaños.
En tercer lugar se analiza la intensidad del campo eléctrico en la región de
campo lejano para distintos tamaños.
Todo el análisis se ha realizado considerando partículas con diferentes tamaños en el
rango de 20 nm a 250 nm de radio.
4.1-Programas empleados
Para el cálculo y representación de las eficiencias de extinción, absorción y dispersión,
y la intensidad del campo eléctrico dispersado en la región de campo cercano y lejano,
se han desarrollado unos códigos (Anexo 1) usando el programa Matlab. A
continuación se describe cada uno de los programas desarrollados:
Mie_ab: Calcula los coeficientes de Mie y , según las ecuaciones (3.31) y
(3.32) respectivamente. Para la ejecución de este programa es necesario
introducir los parámetros de: el valor del orden del último coeficiente del
cálculo, el índice de refracción de la partícula y el medio, el radio de la
partícula, y la longitud de onda del haz incidente.
efiextAu: Calcula la eficiencia de extinción, total y la correspondiente a cada
coeficiente de Mie, de una partícula de oro de un radio determinado, según la
ecuación (3.34), y la representa frente a la longitud de onda del haz incidente.
Para la ejecución de este programa es necesario introducir los parámetros de:
el valor del orden del último coeficiente del cálculo, el índice de refracción del
medio, el radio de la partícula, y la longitud de onda del haz incidente. Este
programa carga los valores de la constante dieléctrica del oro en función de λ
[11] y los coeficientes obtenidos de Mie_ab.
efiscaAu: Calcula la eficiencia de extinción, total y la correspondiente a cada
coeficiente de Mie, de una partícula de oro de un radio determinado, según la
ecuación (3.33), y la representa frente a la longitud de onda del haz incidente.
20
Para la ejecución de este programa es necesario introducir los parámetros de:
el valor del orden del último coeficiente del cálculo, el índice de refracción del
medio, el radio de la partícula, y la longitud de onda del haz incidente. Este
programa carga los valores de la constante dieléctrica del oro en función de λ
[11] y los coeficientes obtenidos de Mie_ab.
efiabsAu: Calcula la eficiencia de extinción, total y la correspondiente a cada
coeficiente de Mie, de una partícula de oro de un radio determinado, según la
ecuación (3.35), y la representa frente a la longitud de onda del haz incidente.
Para la ejecución de este programa es necesario introducir los parámetros de:
el valor del orden del último coeficiente del cálculo, el índice de refracción del
medio, el radio de la partícula, y la longitud de onda del haz incidente. Este
programa carga los valores de la constante dieléctrica del oro en función de λ
[11] y los coeficientes obtenidos de Mie_ab.
Represntefiext: Representa las eficiencias de extinción de las partículas de oro
de distinto tamaño frente a la longitud de onda del haz incidente. Para la
ejecución de este programa es necesario introducir los cálculos de las
eficiencias de extinción de las partículas de distintos tamaños calculadas con
efiextAu.
Represntefis: Representa en una misma figura las eficiencias de extinción,
absorción y dispersión de una partícula de oro de un radio determinado frente
a la longitud de onda del haz incidente. Para la ejecución de este programa es
necesario introducir los cálculos de las eficiencias de extinción, absorción y
dispersión de la partícula de radio deseado calculadas previamente con
efiextAu, efiabsAu y efiscaAu.
Mie_campoelecsca: Calcula el valor del campo eléctrico dispersado para una
nanopartícula esférica cerca de su superficie, teniendo en cuenta únicamente
los tres primeros coeficientes de Mie, según la ecuación (3.21). Además
representa en un mapa de colores el valor del módulo al cuadrado del campo
eléctrico, generando así un mapa de campo cercano. Para la ejecución de este
programa es necesario introducir: el valor del orden del último coeficiente del
cálculo, el índice de refracción del medio, el radio de la partícula, y la longitud
de onda del haz incidente y además llamar al programa Mie_ab.
Mie_campolejano: Calcula y representa en coordenadas polares el valor de la
intensidad del campo eléctrico dispersado, en la región de campo lejano,
teniendo en cuenta únicamente los tres primeros coeficientes de Mie, según las
ecuaciones (3.46) y (3.47). Se consideran los casos que el haz incidente esta
polarizado paralelo y perpendicular al plano de incidencia, así como la suma de
ambos. Para la ejecución de este programa es necesario introducir: el valor del
orden del último coeficiente del cálculo, el índice de refracción del medio y la
partícula, el radio de la partícula, y la longitud de onda del haz incidente y
además llamar al programa Mie_ab.
21
4.2-Eficiencias de Absorción, Dispersión, y Extinción:
A continuación se exponen en primer lugar los resultados obtenidos de las eficiencias
de extinción de partículas de oro aisladas de distinto tamaños (Figura 4.1). Recordar
que en todos los casos la luz incide paralela al eje Z, esta polarizada paralela al eje X y
se toma como amplitud del campo eléctrico incidente :
22
En la figura anterior se puede observar que para las partículas de radio entre 20 nm y
50 nm, es decir partículas pequeñas comparadas con la longitud de onda que cumple
el criterio de Rayleigh, solo presentan una única resonancia, la dipolar eléctrica,
correspondiente al término dipolar eléctrico que se representa con una línea rosa.
Esta coincide con la línea de azul oscuro que es la suma total de todas las
contribuciones de los coeficientes de Mie, por lo que la partícula extingue como si
fuese un dipolo eléctrico, para esa longitud de onda, tal y como se esperaba según la
teoría. El pico de la resonancia se va desplazando hacia longitudes de onda mayores a
medida que aumenta el tamaño.
Para la partícula de 100 nm de radio, se sigue observando la resonancia dipolar
eléctrica, pero se observa además que hay una contribución de una resonancia
cuadrupolar eléctrica, correspondiente al termino cuadrupolar eléctrico
representado por una línea azul claro, que aparece en torno a los 500nm. Para la
partícula de 150 nm de radio ya se pueden apreciar las dos resonancias separadas, la
cuadrupolar eléctrica que sigue en torno a los 500nm, y la resonancia dipolar eléctrica
que se ha salido ya del rango del visible desplazándose a una longitud de onda de 847
nm, en el infrarrojo. Al aumentar más el tamaño de la partícula, a 200 nm y 250 nm de
radio, las resonancias dipolar y cuadrupolar eléctrica que se desplazan aún más hacia
el infrarrojo, y aparece una nueva resonancia, la sextopolar eléctrica, correspondiente
al término dipolar eléctrico que se representa con una línea verde.
Fig 4.1: Eficiencia de extinción en función de la longitud de onda de la luz incidente, de una partícula de oro de
20 nm de radio (a) , 30 nm de radio (b) , 50 nm de radio (c) , 100 nm de radio (d) , 150 nm de radio (e) , 200nm
de radio (f) y 250 nm de radio (g). Se muestra en líneas de distintos colores las contribuciones de las distintas
resonancias donde es la contribución de la resonancia dipolar eléctrica, es la contribución de la
resonancia cuadrupolar eléctrica, es la contribución de la resonancia sextopolar eléctrica, es la
contribución de la resonancia dipolar magnética, es la contribución de la resonancia cuadrupolar
magnética , es la contribución de la resonancia sextopolar magnética, es la suma de y
, y es la suma de todas las contribuciones anteriores.
23
Respecto a los efectos magnéticos correspondientes a los términos de decir que
son casi nulos para radios pequeños y a partir de , , que corresponde
a la resonancia dipolar magnética, es la única apreciable.
De una forma visual hemos visto que los picos de las resonancias sufre un corrimiento
hacia el infrarrojo al aumentar el tamaño de la partícula. La Tabla 4.1 muestra los
valores de la posición de los picos de las distintas resonancias. Además la Figura 4.2
muestra un resumen de los valores de frente a λ para los tamaños estudiados:
Como se puede comprobar de los valores de la Tabla 4.1 y la Figura 4.2 los picos de las
resonancias sufren un desplazamiento hacia longitudes de onda mayores. La
resonancia dipolar eléctrica ha sufrido un desplazamiento de 499.2 nm a 1351 nm
para una variación de tamaño de 20 nm a 150 nm de radio, es decir .En el
caso de la resonancia cuadrupolar eléctrica, desde que aparece en la partícula de radio
100 nm a la partícula de 250 nm de radio, se desplaza de 501.8 nm a 767.9 nm, es
Tab4.1: Valores de la longitud de onda en nm donde se sitúan los picos de las resonancias dipolares,
cuadrupolares, y sextopolares eléctricas para los distintos valores de los radios en nm de la partícula
Fig 4.2: Eficiencia de extinción para partículas de oro de distintos radios frente a la longitud de onda
Radio/nm Res Res Res
20 499.2 - -
30 502.5 - -
50 515.4 - -
100 644.3 501.8 -
150 847 534.9 -
200 1086 652.6 527
250 1351 720.9 591.4
Fig 4.2: Eficiencia de extinción para partículas de oro de distintos radios frente a la longitud de onda
24
decir nm, mientras que la resonancia dipolar eléctrica para esa misma
variación sufre un desplazamiento de nm. Por último la resonancia
sextopolar desde que aparece en la partícula de 200 nm a la de 250 nm de radio, sufre
un desplazamiento de nm, mientras que para esa misma variación de
tamaño la resonancia dipolar eléctrica se desplaza nm, y la cuadrupolar
eléctrica nm. Por lo tanto de estos resultados podemos deducir que las a
medida que crece el orden de la resonancia, el desplazamiento de esta hacia
longitudes de onda mayores es menos siendo la de primer orden la que más se
desplaza.
Una vez analizada la eficiencia de extinción en las partículas de oro la pregunta que nos
podemos hacer es: ¿Qué efecto es el predominante en la extinción: La dispersión o la
absorción?. Para responder a esto se muestran en la siguiente figura los resultados de
las eficiencias de extinción, absorción, y dispersión en una misma gráfica para
partículas de distinto tamaño:
25
Las Figura 4.3 muestra los resultados de las eficiencias de extinción, dispersión y
absorción frente a la longitud de onda para las partículas de distinto tamaño de 20 nm
a 250nm de radio. De estas figuras se puede deducir que en las partículas más
pequeñas la mayor parte, casi la total, de la extinción se debe a la absorción, y a
medida que aumenta el tamaño de la partícula la dispersión aumenta siendo
predominante a partir de tamaños superiores a 100 nm
4.3-Dispersión en la región de campo cercano:
En este apartado se analiza el módulo al cuadrado del campo eléctrico dispersado que
está relacionado con la intensidad a través de una constante de proporcionalidad. El
análisis se realiza en la región de campo cercano para partículas de oro de distinto
tamaños. En primer lugar, en la Figura 4.4, se muestra una representación del sistema
sobre el que se ha realizado el estudio, que consiste en un haz de luz que esta
Fig 4.3: Eficiencia de extinción, dispersión y absorción en función de la longitud de onda de la luz incidente, de una
partícula de oro de 20 nm de radio (a) , 30 nm de radio (b) ,50 nm de radio (c) , 100 nm de radio (d) , 150 nm de radio
(e) , 200nm de radio (f) y 250 nm de radio (g). Se muestra en líneas de distintos colores distintas eficiencias donde
es la línea azul oscuro que representa la eficiencia de extinción, es la línea azul claro que representa la eficiencia
de dispersión y es la línea roja que representa la eficiencia de absorción.
26
polarizado en el eje X y que se propaga a lo largo del eje Z e incide sobre una partícula
de oro.
A continuación se exponen algunos de los resultados de los patrones de difusión de
campo cercano obtenidos en el plano ZX:
/
Y
Fig4.4: Representación de un haz de luz polarizado en el eje X propagándose paralelo al eje Z cuando
incide sobre una partícula esférica de oro
Z
27
28
De las Figuras 4.5.a-4.5.c se puede observar que al incidir un haz de radiación que
genera una resonancia dipolar eléctrica, sobre una partícula de entre 20 nm-50 nm de
radio, la manera en que dispersa la luz hacia los lados y de forma simétrica es de igual
forma que en el caso de un dipolo eléctrico y además la intensidad de la luz dispersada
aumenta al aumentar el tamaño de la partícula. Al aumentar el tamaño a 100 nm de
radio, Figura 4.5.d, e incidir con luz que provoca de nuevo una resonancia dipolar
eléctrica, se observa que la dispersión es lateral de nuevo, aunque en este caso no del
todo perpendicular a la dirección de incidencia. Se observa que se ha elevado la
dirección de dispersión hacia adelante debido a que ya se está perdiendo el
comportamiento dipolar como consecuencia de la influencia de la aparición de la
resonancia cuadrupolar eléctrica.
Al aumentar aún más el tamaño, Figuras 4.5.e-4.5.g, se mantiene este
comportamiento, pero la intensidad de la luz dispersada es menor, ya que el pico de
la eficiencia de extinción ha disminuido.
En los casos que se incide con un haz de luz que genera la resonancia cuadrupolar
eléctrica, para partículas de entre 150 nm y 250 nm de radio, Figuras 4.5.h-4.5.j, se
observa un patrón de dispersión más complejo correspondiente a un cuadrupolo
eléctrico donde la mayoría de la luz es dispersada en mayor parte hacia adelante y los
laterales, e incluso una pequeña parte hacia atrás.
Por último, Para los casos que se incide con un haz de luz que genera la resonancia
sextopolar eléctrica, Figuras 4.5.k y 4.5.l, se observa un patrón de dispersión con seis
Fig 4.5: Mapas del módulo al cuadrado del campo eléctrico dispersado en el plano ZX para diferentes tamaños
de partículas y diferentes longitudes de onda incidentes correspondientes a las resonancias dipolares, cuadrupolares, y
sextopolares eléctricas .En particular en 4.4.a los valores de y λ son : y λ=499.2 nm. En la figura
4.4.b: y λ=502.5nm. En la figura 4.4.c: y λ=515.4nm. En la figura 4.4.d: y
λ=644.3nm. En la figura 4.4.e: y λ=847nm. En la figura 4.4.f: y λ=1086nm. En la figura
4.4.g: y λ=1351nm. En la figura 4.4.h: y λ=501.8nm. En la figura 4.4.i: y
λ=652.6nm. En la figura 4.4.j: y λ=720.5nm. En la figura 4.4. k: y λ=527 nm. En la figura
4.4. l: y λ=591.4 nm.
29
lóbulos en todas las direcciones, predominando la dirección hacia adelante. De nuevo
al aumentar el tamaño de la partícula aumenta la intensidad de la luz dispersada.
4.4-Dispersión en la región de campo lejano:
En este apartado se muestran los resultados obtenidos de los diagramas de campo
lejano, donde se representa la intensidad del campo eléctrico difundida en
coordenadas polares en el plano ZX (Intensidad del campo eléctrico difundido frente al
ángulo de dispersión), por partículas de oro de varios tamaños, al incidir con luz
natural, que contiene componente paralela y perpendicular al plano de incidencia,
como en la Figura 4.4. En todos los casos la longitud de onda de la luz incidente es de
518 nm. Se ha tomado esta longitud de onda para realizar todos los cálculos ya que
muchas de las resonancias se forman cerca de ella, para así poder observar el efecto
que se produce en el patrón de difusión al cambiar el tamaño y pasar próximo a las
diferentes resonancias. Todos los cálculos se han realizado para una distancia de
10000 nm de la partícula (Condición de campo lejano).
30
En la Figura 4.6 se puede observar, en primer lugar, que la intensidad difundida crece
al aumentar el tamaño de la partícula, tal y como habíamos mencionado en los
apartados anteriores. Se observa como para las partículas de entre 20nm-50 nm de
radio, Figura 4.6.a-4.6.c, hay un patrón de difusión similar al que se produce cuando se
ilumina un dipolo eléctrico. Cuando se observa la componente perpendicular al plano
de difusión se produce un patrón de intensidad de forma circular, mientras que
cuando se observa la componente paralela aparecen dos lóbulos formando un “ocho”,
siendo nulo a que es lo que ocurre al iluminar un dipolo, que no radia en la
dirección de oscilación.
En el caso de la partícula de 100 nm de radio, Figura 4.6.d, se pierde ese patrón similar
al dipolar, ya no es simétrico y la intensidad de la componente paralela ya no es nula a
Fig4.6: Representación en coordenadas polares del patrón de intensidad de la luz dispersada con polarización
perpendicular al plano de dispersión( línea rosa) , paralela al plano de dispersión(línea azul) , y la intensidad total, la suma
de ambas (línea roja).Los distintos tamaños para los que se ha calculado son: En la Figura 4.5.a , en la Figura
4.5.b , en la Figura 4.5.c , en la Figura 4.5.d , en la Figura 4.5.e ,
en la Figura 4.5.f y en la Figura 4.5.g En todos los casos incide un haz de luz de λ=518.4
nm sobre partículas de oro de índice de refracción
31
como consecuencia de la aparición de la resonancia cuadrupolar. Se observa
un crecimiento del lóbulo de mientras que el de disminuye, es decir
dispersa más hacia a delante.
Al aumentar más el tamaño, los casos de las partículas de 150 nm-250 nm de radio,
Figuras 4.6.e-4.6.g, se observa como ya ha desaparecido por completo el
comportamiento dipolar, el patrón de intensidad de la componente perpendicular deja
de ser circular y en el patrón de intensidad de la componente paralela aparecen
nuevos lóbulos debido a que para esos tamaños aparecen resonancias de orden
mayor. A demás sigue predominando la dispersión de la intensidad en la dirección
.
32
5-Conclusiones
Se ha realizado un estudio de la dispersión de la luz en partículas esféricas mediante
las ecuaciones del campo eléctrico dispersado obtenidas de la Teoría de Mie. Para ello
se han analizado las eficiencias de absorción dispersión y extinción para partículas
esféricas de oro. Además se ha realizado el análisis de los patrones de difusión en el
campo cercano y lejano. Todos los resultados se han obtenido mediante unos
programas de Matlab.
Tras analizar los resultados de las eficiencias de partículas de oro de distinto tamaño,
se obtienen las siguientes conclusiones:
Para partículas de oro esféricas de entre 20nm-50nm de radio aparece un
único pico en la eficiencia de extinción, que corresponde a la resonancia
dipolar eléctrica.
Al aumentar el tamaño de la partícula, a los 100 nm de radio, aparece una
contribución de una resonancia cuadrupolar eléctrica, y al aumentar el
tamaño a 150 nm de radio este pico se hace más intenso.
A partir de 150 nm de radio aparece una resonancia sextopolar eléctrica
que se hace cada vez más intensa.
Existe un desplazamiento de los picos de las resonancias hacia longitudes
de ondas mayores al aumentar el tamaño de la partícula. En el caso de la
resonancia de dipolar eléctrica sufre un desplazamiento cuando la partícula
varía el tamaño de 20 nm de radio a 250 nm de . En
cambio la resonancia cuadrupolar sufre un desplazamiento cuando la
partícula varia el tamaño de 100 nm de radio a 250 nm de
nm, mientras que el pico correspondiente a para esa misma variación
sufre un desplazamiento de nm. Es decir, la resonancia dipolar
se desplaza más que la cuadrupolar. Por último la resonancia sextopolar
desde que aparece en la partícula de 200 nm a la de 250 nm de radio, sufre
un desplazamiento de nm, mientras que para esa misma
variación de tamaño la resonancia dipolar eléctrica se desplaza
nm, y la cuadrupolar eléctrica nm. El pico de la resonancia dipolar
eléctrica sufre un gran desplazamiento, mientras que el de la cuadrupolar
y sextopolar eléctrica casi no se desplazan.
Para partículas pequeñas de entre 20nm y 50 nm de radio la mayor parte
de la extinción es debida a la absorción y al aumentar el tamaño de la
33
partícula, la dispersión va predominando cada vez más frente a la
absorción.
En ningún caso hay resonancias magnéticas, frente a lo que ocurre en
nanopartículas dieléctricas con alto índice de refracción.
Tras el análisis de los patrones de difusión del campo cercano se obtienen las
siguientes conclusiones:
Se producen grandes concentraciones de energía cerca de la superficie
de la partícula. En el caso de la resonancia dipolar eléctrica esa
concentración es más intensa a medida que aumenta el tamaño de la
partícula siendo su máximo en la partícula de 100 nm y a partir de
150nm ya decrece la intensidad.
Las partículas más pequeñas de 20 nm a 50 nm dispersan la luz como
dipolos eléctricos y a medida que aumenta el tamaño de la partícula se
pierde ese patrón y se forman figuras más complejas
Tras el análisis de los patrones de difusión del campo lejano se obtienen las siguientes
conclusiones:
La intensidad difundida crece al aumentar el tamaño de la partícula.
Para las partículas pequeñas de 20nm a 50 nm de radio el diagrama de
difusión es similar al de un dipolo eléctrico, al incidir con luz polarizada
paralela al plano de difusión se produce un patrón circular para la luz
dispersada, mientras que para luz polarizada perpendicular aparecen
dos lóbulos formando un “ocho”, siendo nulo a , no radia en la
dirección de oscilación. Por lo que a estas partículas se les puede
considerar como un dipolo radiante.
Para partículas pequeñas de entre 20nm a 50 nm de radio, dispersan de
igual forma en la dirección y , las intensidades paralela
y perpendicular coinciden en esas direcciones. A medida que aumenta
el tamaño de la partícula se observa un crecimiento del lóbulo de
mientras que el de decrece, es decir que predomina la
dispersión hacia delante.
A partir de la partícula de 100 nm de radio se pierde ese patrón similar
al dipolar, comienzan a aparecer lóbulos debido a que aparecen
resonancias de órdenes mayores en este caso la cuadrupolar y la
sextopolar eléctrica.
34
6-Bibliografía
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[3]-Elena Sanza,Tres nuevos anticonceptivos que deberías conocer, consultado el
5/09/2015-12:16 disponible en : http://www.muyinteresante.es/salud/articulo/tres-
nuevos-metodos-anticonceptivos-que-deberias-conocer-541380277112
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nanoestuctrurados y aplicaciones, Tesis Doctoral, Universidad Nacional de la Plata
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Carrera, Universidad de Cantabria,2012
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partículas metalicas , Universidad de Cantabria, 2009
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Proyecto fin de Carrera, Universidad de Cantabria, 2013
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multicapa , Proyecto fin de Carrera, Universidad de Cantabria, 2011
[15]- Mark I. Stockman, Nanoplasmonics: The physics behind the applications
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[16]- Mark I. Stockman, Nanoplasmonics: past, present and glimpse into
future,2011
[17]-Yael Gutiérrez Vela, On the radiative and non-radiative contribution to the
electromagnetic light scattering by magnetodielectric particles, Proyecto fin de
Carrera, Universidad de Cantabria, 2014
[18]-Olivier Merchiers, Un estudio de los efectos de difusión multiple sobre la
radiación difundida por agregados de partículas, Tesis Doctoral, Universidad de
Cantabria, 2007
28
36
Anexo 1
Código 1: Mie_ab.m
function coeficientesn = Mie_ab(N,N1,nmax,rpar,landa) %Se introducen los parámetros necesarios para el cálculo nmax=input('Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente: '); N1=input('Introduzca el valor del índice de la partícula: '); N=input('Introduzca el valor del índice del medio: '); rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: '); landa=input('Introduzca el valor dela longitud de onda de la luz incidente en
nm: '); %Se calculan todas las constantes y valores necesarios mu=1; mu1=1; x=(2*pi*rpar)/landa; m=N1/N; raizx=sqrt((pi)/(2*x)); raizmx=sqrt((pi)/(2*m*x)); %Se crean las matrices de ceros donde se almacenan los resultados coeficientean=zeros(1,nmax); coeficientebn=zeros(1,nmax); %Se realizan los cálculos de las funciones de Bessel, Ricatti-Bessel y sus %derivadas y finalmente los coeficientes de Mie a_n y b_n. Todo esto en un %bucle para realizarse tantas veces como coeficientes se deseen. for l=1:1:nmax nu=l+0.5; Jnux = besselj(nu,x); Jnumx = besselj(nu,m*x); Jnux1 = besselj(nu-1,x); Jnumx1 = besselj(nu-1,m*x); Sjnx=raizx*Jnux; Sjnmx=raizmx*Jnumx; Sjnx1=raizx*Jnux1; Sjnmx1=raizmx*Jnumx1; finmx=m*x*Sjnmx; finx=x*Sjnx; finmx1=m*x*Sjnmx1; finx1=x*Sjnx1; devfinmx=finmx1-(l*Sjnmx); devfinx=finx1-(l*Sjnx); Ynux = bessely(nu,x); Ynumx = bessely(nu,m*x); Ynux1 = bessely(nu-1,x); Ynumx1 = bessely(nu-1,m*x); Synx=raizx*Ynux; Synmx=raizmx*Ynumx; Synx1=raizx*Ynux1; Synmx1=raizmx*Ynumx1; Hnx =Sjnx+1i*Synx ; Hnmx = Sjnmx+1i*Synmx; Hnx1 = Sjnx1+1i*Synx1; Hnmx1 = Sjnmx1+1i*Synmx1; ginx=x*Hnx; ginmx=m*x*Hnmx; ginx1=x*Hnx1; ginmx1=m*x*Hnmx1; devginx=ginx1-(l*Hnx); devginmx=ginmx1-(l*Hnmx); a_n=((mu*m*finmx*devfinx)-(mu1*finx*devfinmx))/((mu*m*finmx*devginx)-
(mu1*ginx*devfinmx)); b_n=((mu1*finmx*devfinx)-(mu*m*finx*devfinmx))/((mu1*finmx*devginx)-
(mu*m*ginx*devfinmx)); %Una vez calculados se guardan los coeficientes en las matrices creadas
37
%previamente for e=l:1:nmax coeficientean(1,e)=a_n; coeficientebn(1,e)=b_n; end end coeficientesn=[coeficientean ; coeficientebn ;]; %%el resultado de este programa es una matriz de nmax X 2 donde cada %%columna son los coeficientes an y bn desde n=1 hasta n=nmax save Coeficientes coeficientean coeficientebn coeficientesn end
Código 2: efiextAu.m
function result= efiextAu(N,nmax,rpar,landa) %Se cargan los datos de la constante dieléctrica para cada longitud de onda %del haz incidente load('epsimgAu2.mat') load('epsrealAu2.mat') [numfil,numcol]=size(DatosAuepsreal5); %Se crean unas matrices donde se guardaran las eficiencias de extinción de %cada coeficiente de Mie y la total eficiencialandaa1=zeros(numfil,2); eficiencialandab1=zeros(numfil,2); eficiencialandaa1b1=zeros(numfil,2); eficiencialandaa2=zeros(numfil,2); eficiencialandab2=zeros(numfil,2); eficiencialandaa3=zeros(numfil,2); eficiencialandb3=zeros(numfil,2); eficiencialanda123=zeros(numfil,2); %Se introducen todos los parámetros necesarios mu=1; mu1=1; N=input('Introduzca el valor del índice del medio: '); nmax=input(Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente:); rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: '); ii=sqrt(-1); %Se abre un bucle para realizar el cálculo para cada longitud de onda. for t=1:1:numfil landa=DatosAuepsreal5(t,1); epsilonreal=DatosAuepsreal5(t,2); epsilonimg=DatosAuepsimg5(t,2); N1=sqrt(epsilonreal+(ii*epsilonimg)); m=N1/N; x=(2*pi*rpar)/landa; x2=x*x; f=Mie_abcd(N,N1,nmax,rpar,landa); Efiexta1=0; %Se abre un bucle para realizar el cálculo de las distintas eficiencias de %extinción. for g=1:1:1 anr=real(f(1,g)); bnr=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiexta1=Efiexta1+E; end eficiencialandaa1(t,1)=Efiexta1; eficiencialandaa1(t,2)=landa; Efiextb1=0; for g=1:1:1 anr=0; bnr=real(f(2,g)); cn=(2*g+1);
38
ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiextb1=Efiextb1+E; end eficiencialandab1(t,1)=Efiextb1; eficiencialandab1(t,2)=landa; Efiexta1b1=0; for g=1:1:1 anr=real(f(1,g)); bnr=real(f(2,g)); cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiexta1b1=Efiexta1b1+E; end eficiencialandaa1b1(t,1)=Efiexta1b1; eficiencialandaa1b1(t,2)=landa; Efiexta2=0; for g=2:1:2 anr=real(f(1,g)); bnr=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiexta2=Efiexta2+E; end eficiencialandaa2(t,1)=Efiexta2; eficiencialandaa2(t,2)=landa; Efiextb2=0; for g=2:1:2 anr=0; bnr=real(f(2,g)); cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiextb2=Efiextb2+E; end eficiencialandab2(t,1)=Efiextb2; eficiencialandab2(t,2)=landa; Efiexta3=0; for g=3:1:3 anr=real(f(1,g)); bnr=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiexta3=Efiexta3+E; end eficiencialandaa3(t,1)=Efiexta3; eficiencialandaa3(t,2)=landa; Efiextb3=0; for g=3:1:3 anr=0; bnr=real(f(2,g)); cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr); Efiextb3=Efiextb3+E; end eficiencialandab3(t,1)=Efiextb3; eficiencialandab3(t,2)=landa; Efiext3=0; for g=1:1:3 anr=real(f(1,g)); bnr=real(f(2,g)); cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E=ctec*cn*(anr+bnr);
39
Efiext3=Efiext3+E; end eficiencialanda123(t,1)=Efiext3; eficiencialanda123(t,2)=landa; end %Una vez calculado todo se guarda en una matriz todo junto y además se %guarda en un archivo aparte la eficiencia total de la partícula de radio %que hemos designado para así luego cargarla en otro programa. Llamamos XX al %valor del radio eficiencialandextAu= [
eficiencialandaa1,eficiencialandab1,eficiencialandaa1b1,eficiencialandaa2,efic
iencialandab2,eficiencialandaa3,eficiencialandb3,eficiencialanda123]; eficienciatotalextAuXX=eficiencialanda123; save eficienciaextAuXXnm eficienciatotalextAuXX result=eficiencialandextAu; %Finalmente representamos todas las eficiencias de extinción frente a la %longitud de onda Figura= figure; plot(eficiencialandaa1(:,2),eficiencialandaa1(:,1),'m','Linewidth',2) hold on plot(eficiencialandab1(:,2),eficiencialandab1(:,1),'y','Linewidth',2) plot(eficiencialandaa1b1(:,2),eficiencialandaa1b1(:,1),'k','Linewidth',2 plot(eficiencialandaa2(:,2),eficiencialandaa2(:,1),'c','Linewidth',2) plot(eficiencialandab2(:,2),eficiencialandab2(:,1),'k*','Linewidth',2,'MarkerS
ize',5) plot(eficiencialandaa3(:,2),eficiencialandaa3(:,1),'g','Linewidth',2) plot(eficiencialandab3(:,2),eficiencialandab3(:,1),'-
.r','Linewidth',2,'MarkerSize',1) plot(eficiencialanda123(:,2),eficiencialanda123(:,1),'b','Linewidth',2) L=legend('Q_{ext} a_1', 'Q_{ext} b_1', 'Q_{ext} a_{1}b_{1}' ,'Q_{ext}
a_2','Q_{ext} b_2','Q_{ext} a_3','Q_{ext}
b_3','Q_{ext123}','Location','NorthEastOutside') xlim([400E-9 1000E-9]) ylim([0 5]) xlabel('\lambda(nm)','FontSize' , 30) ylabel('Q_{extAu}','FontSize' , 30) title('R=XXnm','FontSize' , 30) set(gca,'FontSize' , 9) % el tamaño de los números set(L,'FontSize' , 20) legend boxoff print(Figura,'-djpeg','-r300', ['Q_ext2AuXX vs lambda.jpg']); hold off end
Código 3: efiscaAu.m
function result= efiscaAu(N,nmax,rpar,landa) %Se cargan los datos de la constante dieléctrica para cada longitud de onda
%del haz incidente
load('epsimgAu2.mat')
load('epsrealAu2.mat')
[numfil,numcol]=size(DatosAuepsreal5);
%Se crean unas matrices donde se guardaran las eficiencias de dispersión de
%cada coeficiente de Mie y la total
eficiencialandaa1=zeros(numfil,2);
eficiencialandab1=zeros(numfil,2);
eficiencialandaa1b1=zeros(numfil,2);
eficiencialandaa2=zeros(numfil,2);
eficiencialandab2=zeros(numfil,2);
eficiencialandaa3=zeros(numfil,2);
eficiencialandb3=zeros(numfil,2);
eficiencialanda123=zeros(numfil,2);
%Se introducen todos los parámetros necesarios
N=input('Introduzca el valor del índice del medio: ');
nmax=input(Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente:);
rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: ');
mu=1;
mu1=1;
40
ii=sqrt(-1);
%Se abre un bucle para realizar el cálculo para cada longitud de onda.
for t=1:1:numfil
landa=DatosAuepsreal5(t,1);
epsilonreal=DatosAuepsreal5(t,2);
epsilonimg=DatosAuepsimg5(t,2);
N1=sqrt(epsilonreal+(ii*epsilonimg));
m=N1/N;
x=(2*pi*rpar)/landa;
x2=x*x;
f=Mie_abcdconxymrepresent(mu,mu1,m,nmax,x,rpar,landa);
Efiscaa1=0;
%Se abre un bucle para realizar el cálculo de las distintas eficiencias de
%dispersión.
for g=1:1:1
anr=(norm(f(1,g))).^2;
bnr=0;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscaa1=Efiscaa1+E;
end
eficiencialandaa1(t,1)=Efiscaa1;
eficiencialandaa1(t,2)=landa;
Efiscab1=0;
for g=1:1:1
anr=0;
bnr=(norm(f(2,g))).^2;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscab1=Efiscab1+E;
end
eficiencialandab1(t,1)=Efiscab1;
eficiencialandab1(t,2)=landa;
Efiscaa1b1=0;
for g=1:1:1
anr=(norm(f(1,g))).^2;
bnr=(norm(f(2,g))).^2;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscaa1b1=Efiscaa1b1+E;
end
eficiencialandaa1b1(t,1)=Efiscaa1b1;
eficiencialandaa1b1(t,2)=landa;
Efiscaa2=0;
for g=2:1:2
anr=(norm(f(1,g))).^2;
bnr=0;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscaa2=Efiscaa2+E;
end
eficiencialandaa2(t,1)=Efiscaa2;
eficiencialandaa2(t,2)=landa;
Efiscab2=0;
for g=2:1:2
anr=0;
bnr=(norm(f(2,g))).^2;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscab2=Efiscab2+E;
end
eficiencialandab2(t,1)=Efiscab2;
eficiencialandab2(t,2)=landa;
41
Efiscaa3=0;
for g=3:1:3
anr=(norm(f(1,g))).^2;
bnr=0;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscaa3=Efiscaa3+E;
end
eficiencialandaa3(t,1)=Efiscaa3;
eficiencialandaa3(t,2)=landa;
Efiscab3=0;
for g=3:1:3
anr=0;
bnr=(norm(f(2,g))).^2;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efiscab3=Efiscab3+E;
end
eficiencialandab3(t,1)=Efiscab3;
eficiencialandab3(t,2)=landa;
Efisca3=0;
for g=1:1:3
anr=(norm(f(1,g))).^2;
bnr=(norm(f(2,g))).^2;
cn=(2*g+1);
ctec=(2)/x2;
E=ctec*cn*(anr+bnr);
Efisca3=Efisca3+E;
end
eficiencialanda123(t,1)=Efisca3;
eficiencialanda123(t,2)=landa;
end
%Una vez calculado todo se guarda en una matriz todo junto y además se
%guarda en un archivo aparte la eficiencia total de la partícula de radio
%que hemos designado para así luego cargarla en otro programa. Llamamos XX al
%valor del radio
eficiencialandscaAu= [
eficiencialandaa1,eficiencialandab1,eficiencialandaa1b1,eficiencialandaa2,efic
iencialandab2,eficiencialandaa3,eficiencialandb3,eficiencialanda123];
eficienciatotalscaAuXX=eficiencialanda123;
save eficienciascaAuXX eficienciatotalscaAuXX
result=eficiencialandscaAu;
%Finalmente representamos todas las eficiencias de dispersión frente a la
%longitud de onda
Figura= figure;
plot(eficiencialandaa1(:,2),eficiencialandaa1(:,1),'m','Linewidth',2)
hold on
plot(eficiencialandab1(:,2),eficiencialandab1(:,1),'y','Linewidth',2)
plot(eficiencialandaa1b1(:,2),eficiencialandaa1b1(:,1),'k','Linewidth',2)%'Mar
kerSize',3)
plot(eficiencialandaa2(:,2),eficiencialandaa2(:,1),'c','Linewidth',2)
plot(eficiencialandab2(:,2),eficiencialandab2(:,1),'k*','Linewidth',2,'MarkerS
ize',5)
plot(eficiencialandaa3(:,2),eficiencialandaa3(:,1),'g','Linewidth',2)
plot(eficiencialandab3(:,2),eficiencialandab3(:,1),'-
.r','Linewidth',2,'MarkerSize',1)
plot(eficiencialanda123(:,2),eficiencialanda123(:,1),'b','Linewidth',2)
L=legend('Q_{sca} a_1', 'Q_{sca} b_1', 'Q_{sca} a_{1}b_{1}' ,'Q_{sca}
a_2','Q_{sca} b_2','Q_{sca} a_3','Q_{sca}
b_3','Q_{sca123}','Location','NorthEastOutside')
xlim([400E-9 1000E-9])
ylim([0 8])
xlabel('\lambda(nm)','FontSize' , 30)
ylabel('Q_{scaAu}','FontSize' , 30)
title('Q_{scaAu}(XX) vs \lambda','FontSize' , 30)
set(gca,'FontSize' , 25) % el tamaño de los números
42
set(L,'FontSize' , 20)
legend boxoff
print(Figura,'-djpeg','-r300', ['Q_scaAuXX vs lambda.jpg']);
hold off
end
Código 4: efiabsAu.m
function result= efiabsAu(mu,mu1,N1,N,nmax,rpar,landa) %Se cargan los datos de la constante dieléctrica para cada longitud de onda %del haz incidente load('epsimgAu2.mat') load('epsrealAu2.mat') [numfil,numcol]=size(DatosAuepsreal5); %Se crean unas matrices donde se guardaran las eficiencias de absorción de %cada coeficiente de Mie y la total eficiencialandaa1=zeros(numfil,2); eficiencialandab1=zeros(numfil,2); eficiencialandaa1b1=zeros(numfil,2); eficiencialandaa2=zeros(numfil,2); eficiencialandab2=zeros(numfil,2); eficiencialandaa3=zeros(numfil,2); eficiencialandb3=zeros(numfil,2); eficiencialanda123=zeros(numfil,2); %Se introducen todos los parámetros necesarios N=input('Introduzca el valor del índice del medio: '); nmax=input('Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente:'); rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: '); mu=1; mu1=1; ii=sqrt(-1); %Se abre un bucle para realizar el cálculo para cada longitud de onda. for t=1:1:numfil landa=DatosAuepsreal5(t,1); epsilonreal=DatosAuepsreal5(t,2); epsilonimg=DatosAuepsimg5(t,2); N1=sqrt(epsilonreal+(ii*epsilonimg)); m=N1/N; x=(2*pi*rpar)/landa; x2=x*x; f=Mie_abcdconxymrepresent(mu,mu1,m,nmax,x,rpar,landa); Efiabsa1=0; %Se abre un bucle para realizar el cálculo de las distintas eficiencias de %absorción. for g=1:1:1 anr=real(f(1,g)); an2=(norm(f(1,g))).^2; bnr=0; bn2=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsa1=Efiabsa1+E; end eficiencialandaa1(t,1)=Efiabsa1; eficiencialandaa1(t,2)=landa; Efiabsb1=0; for g=1:1:1 anr=0; an2=0; bnr=real(f(2,g)); bn2=(norm(f(2,g))).^2; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2);
43
E=E1-E2; Efiabsb1=Efiabsb1+E; end eficiencialandab1(t,1)=Efiabsb1; eficiencialandab1(t,2)=landa; Efiabsa1b1=0; for g=1:1:1 anr=real(f(1,g)); an2=(norm(f(1,g))).^2; bnr=real(f(2,g)); bn2=(norm(f(2,g))).^2; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsa1b1=Efiabsa1b1+E; end eficiencialandaa1b1(t,1)=Efiabsa1b1; eficiencialandaa1b1(t,2)=landa; Efiabsa2=0; for g=2:1:2 anr=real(f(1,g)); an2=(norm(f(1,g))).^2; bn2=0; bnr=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsa2=Efiabsa2+E; end eficiencialandaa2(t,1)=Efiabsa2; eficiencialandaa2(t,2)=landa; Efiabsb2=0; for g=2:1:2 anr=0; an2=0; bnr=real(f(2,g)); bn2=(norm(f(2,g))).^2; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsb2=Efiabsb2+E; end eficiencialandab2(t,1)=Efiabsb2; eficiencialandab2(t,2)=landa; Efiabsa3=0; for g=3:1:3 anr=real(f(1,g)); an2=(norm(f(1,g))).^2; bnr=0; bn2=0; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsa3=Efiabsa3+E; end eficiencialandaa3(t,1)=Efiabsa3; eficiencialandaa3(t,2)=landa; Efiabsb3=0; for g=3:1:3 anr=0;
44
an2=0; bnr=real(f(2,g)); bn2=(norm(f(2,g))).^2; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabsb3=Efiabsb3+E; end eficiencialandab3(t,1)=Efiabsb3; eficiencialandab3(t,2)=landa; Efiabs3=0; for g=1:1:3 anr=real(f(1,g)); an2=(norm(f(1,g))).^2; bnr=real(f(2,g)); bn2=(norm(f(2,g))).^2; cn=(2*g+1); ctec=(2)/x2; E1=ctec*cn*(anr+bnr); E2=ctec*cn*(an2+bn2); E=E1-E2; Efiabs3=Efiabs3+E; end eficiencialanda123(t,1)=Efiabs3; eficiencialanda123(t,2)=landa; end %Una vez calculado todo se guarda en una matriz todo junto y además se %guarda en un archivo aparte la eficiencia total de la partícula de radio %que hemos designado para así luego cargarla en otro programa. Llamamos XX al %valor del radio eficiencialandabsAu= [
eficiencialandaa1,eficiencialandab1,eficiencialandaa1b1,eficiencialandaa2,efic
iencialandab2,eficiencialandaa3,eficiencialandb3,eficiencialanda123]; eficienciatotalabsAuXX=eficiencialanda123; save eficienciaabsAuXXnm eficienciatotalabsAuXX result=eficiencialandabsAu; %Finalmente representamos todas las eficiencias de absorción frente a la %longitud de onda Figura= figure; plot(eficiencialandaa1(:,2),eficiencialandaa1(:,1),'m','Linewidth',2) hold on plot(eficiencialandab1(:,2),eficiencialandab1(:,1),'y','Linewidth',2) plot(eficiencialandaa1b1(:,2),eficiencialandaa1b1(:,1),'k','Linewidth',2)%'Mar
kerSize',3) plot(eficiencialandaa2(:,2),eficiencialandaa2(:,1),'c','Linewidth',2) plot(eficiencialandab2(:,2),eficiencialandab2(:,1),'k*','Linewidth',2,'MarkerS
ize',5) plot(eficiencialandaa3(:,2),eficiencialandaa3(:,1),'g','Linewidth',2) plot(eficiencialandab3(:,2),eficiencialandab3(:,1),'-
.r','Linewidth',2,'MarkerSize',1) plot(eficiencialanda123(:,2),eficiencialanda123(:,1),'b','Linewidth',2) L=legend('Q_{abs} a_1', 'Q_{abs} b_1', 'Q_{abs} a_{1}b_{1}' ,'Q_{abs}
a_2','Q_{abs} b_2','Q_{abs} a_3','Q_{abs}
b_3','Q_{abs123}','Location','NorthEastOutside') xlim([400E-9 1000E-9]) ylim([0 2]) xlabel('\lambda(nm)','FontSize' , 30) ylabel('Q_{absAu}','FontSize' , 30) title('Q_{absAu}(XXnm) vs \lambda','FontSize' , 30) set(gca,'FontSize' , 25) % el tamaño de los números set(L,'FontSize' , 20) legend boxoff print(Figura,'-djpeg','-r300', ['Q_absAu250 vs lambda.jpg']); hold off
end
45
Código 5: represntefiext.m
function result= represntefiext %Se cargan las eficiencias de extinción de las partículas de distinto tamaño load('eficienciaextAu20nm.mat') load('eficienciaextAu30nm.mat') load('eficienciaextAu50nm.mat') load('eficienciaextAu100nm.mat') load('eficienciaextAu150nm.mat') load('eficienciaextAu200nm.mat') load('eficienciaextAu250nm.mat') %Se representan las eficiencias de extinción frente a la longitud de onda Figura= figure; plot(eficienciatotalextAu250(:,2),eficienciatotalextAu250(:,1),'m','Linewidth'
,2) hold on plot(eficienciatotalextAu200(:,2),eficienciatotalextAu200(:,1),'r','Linewidth'
,2) plot(eficienciatotalextAu150(:,2),eficienciatotalextAu150(:,1),'b','Linewidth'
,2) plot(eficienciatotalextAu100(:,2),eficienciatotalextAu100(:,1),'c','Linewidth'
,2) plot(eficienciatotalextAu50(:,2),eficienciatotalextAu50(:,1),'-
.k','Linewidth',2) plot(eficienciatotalextAu30(:,2),eficienciatotalextAu30(:,1),'g','Linewidth',2
) plot(eficienciatotalextAu20(:,2),eficienciatotalextAu20(:,1),'k','Linewidth',2
) L=legend('r=250 nm','r=200 nm ','r=150 nm', 'r=100 nm', 'r=50 nm', 'r=30 nm',
'r=20 nm') xlim([400E-9 1500E-9]) ylim([0 8]) xlabel('\lambda(nm)','FontSize' , 30) ylabel('Q_{extAu}','FontSize' , 30) title('Q_{extAu} vs \lambda','FontSize' , 30) set(gca,'FontSize' , 10) set(L,'FontSize' , 20) print(Figura,'-djpeg','-r300', ['Q_extAu vs lambda.jpg']); hold off end
Código 6: represntefis.m
function result= represntefis %Se cargan las eficiencias de extinción, absorción y dispersion de la
particula de tamaño que deseemos.Llamamos XX al valor del radio load('eficienciaextAuXXnm.mat') load('eficienciaabsAuXXnm.mat') load('eficienciascaAuXXnm.mat') %Se representan las eficiencias frente a la longitud de onda plot(eficienciatotalextAu20(:,2),eficienciatotalextAu200(:,1),'b','Linewidth',
2.9) hold on plot(eficienciatotalscaAu20(:,2),eficienciatotalscaAu200(:,1),'c','Linewidth',
2) plot(eficienciatotalabsAu20(:,2),eficienciatotalabsAu200(:,1),'r','Linewidth',
2) L=legend('Q_{ext}', 'Q_{sca}', 'Q_{abs}') set(L,'FontSize' , 20) set(gca,'FontSize' , 25) xlim([400E-9 1500E-9]) ylim([0 8]) xlabel('\lambda(nm)','FontSize' , 30) ylabel('Q (ua)','FontSize' , 30) title(' R=XXnm ','FontSize' , 30) hold off end
46
Código 7: Mie_campoelecsca.m
function result=Mie_campoelecsca(N,N1,nmax,landa,rpar) %%Primero introducimos todos los valores necesarios para el cálculo mu=1; mu1=1; E_cero=1; N=input('Introduzca el valor del índice del medio: '); N1=input('Introduzca el valor del índice de la partícula: '); m=N1/N; landa=input('Introduzca el valor dela longitud de onda de la luz
incidente en microm: '); k=(2*pi*N)/landa; nmax=input(' Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente: '); n=1:1:nmax; rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: '); x=k*rpar; nnn=Mie_abcd(N,N1,nmax,rpar,landa); %%Ahora creamos todos los vectores y matrices de ceros que vamos a
usar p_n=zeros(1,length(n)); p_n_2=zeros(1,length(n)); tau_n=zeros(1,length(n)); tau_n_2=zeros(1,length(n)); E_1=zeros(1,3); E_1_en=zeros(1,3); e=zeros(1,3); v=zeros(1,3); guardar=zeros(1,3); guardar_2=zeros(1,3); matriz_guardar=zeros(length(n),3); %%Ahora creamos todos los puntos X Y Z donde se va a calcular el campo x_max=rpar+100; y_max=x_max; intervalo=1; Xdata=zeros(1,(x_max*2)); Ydata=zeros(1,(y_max*2)); Zdata=zeros(length(Xdata),length(Ydata)); %%ahora pasamos a coordenadas esfericas y creamos un bucle for para ir %%seleccionando todos los puntos vectorx=-x_max:intervalo:x_max; vectory=-y_max:intervalo:y_max; for ii=1:1:length(vectorx) Xdata=vectorx(ii) for j=1:1:length(vectory) Ydata=vectory(j); [theta,fi,r]=cart2sph( Xdata,Ydata,0); %%Una vez se tienen las coordenadas se calcula el campo electrico
dispersado para esas coordenadas if r<rpar Zdata(ii,j)=0; elseif r>rpar for s=3:1:4 p_n(1)=0; p_n(2)=1; tau_n(1)=0; tau_n_(2)=cos(theta); p_n_1(s)=(((2*(s-1)-1)/((s-1)-1)))*p_n(s-1); p_n_2(s)=((s-1)/(s-2))*p_n(s-2); p_n(s)=p_n_1(s)*cos(theta)-p_n_2(s);
47
tau_n_1(s)=(s-1)*p_n(s)*cos(theta); tau_n_2(s)=(s)*p_n(s-1); tau_n(s)=tau_n_1(s)-tau_n_2(s); %%Comenzamos calculando el campo electrico con n=1 E=((1i^(s-1))*E_cero*(2*(s-1)+1))/((s-1)*(s));
E_1_theta=((1i*E_cero*3)/(2))*cos(fi)*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(1+1/2,1
,k*r); E_1_fi=((1i*E_cero*3)/(2))*(-
sin(fi)*cos(theta)*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(1+1/2,1,k*r)); E_1=[0,E_1_theta,E_1_fi];
E_1_r_en=((1i*E_cero*3)/(2))*(cos(fi)*2*sin(theta)*sqrt(pi/(2*k*r))*be
sselh(1+1/2,1,k*r))/(k*r);
E_1_theta_en=((1i*E_cero*3)/(2))*cos(fi)*cos(theta)*((k*r*sqrt(pi/(2*k
*r))*besselh(1/2,1,k*r)-
(k*r*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(1+1/2,1,k*r)))/(k*r)); E_1_fi_en=((1i*E_cero*3)/(2))*(-
sin(fi)*((k*r*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(1/2,1,k*r)-
(k*r*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(1+1/2,1,k*r)))/(k*r))); E_1_en=[E_1_r_en,E_1_theta_en,E_1_fi_en]; a_1=nnn(1,1); b_1=nnn(2,1); campo_electrico_1=1i*a_1*E_1_en-b_1*E_1; %Mo1n=e
f=@(r,theta,fi)(cos(fi))*(p_n(s))*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(s-
1+1/2,1,k*r); w=f(r,theta,fi); t=@(r,theta,fi)(-sin(fi)*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(s-
1+1/2,1,k*r)*(tau_n(s))); b=t(r,theta,fi); e=[0,w,b]; %Ne1n=guardar e_r=@(r,theta,fi)(cos(fi)*(s-
1)*(s)*sin(theta)*p_n(s)*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(s-
1+1/2,1,k*r))/(k*r); derivada=((k*r*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(s-
2+1/2,1,k*r))-(((s-1)*k*r*sqrt(pi/(2*k*r))*besselh(s-
1+1/2,1,k*r))))/(k*r); e_theta=@(r,theta,fi)(cos(fi)*(tau_n(s))*derivada); e_fi=@(r,theta,fi)(-sin(fi)*p_n(s)*derivada); e_1=e_r(r,theta,fi); e_2=e_theta(r,theta,fi); e_3=e_fi(r,theta,fi); guardar=[e_1,e_2,e_3]; a_n=nnn(1,s-1); b_n=nnn(2,s-1); campo_electrico=E*(1i*a_n*guardar-b_n*e); matriz_guardar(1,1)=campo_electrico_1(1); matriz_guardar(1,2)=campo_electrico_1(2); matriz_guardar(1,3)=campo_electrico_1(3); matriz_guardar(s-1,1)=campo_electrico(1); matriz_guardar(s-1,2)=campo_electrico(2); matriz_guardar(s-1,3)=campo_electrico(3); end
%Ahora se colocan los resultados del campo eléctrico y se calcula la
intensidad en cada punto
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vector_resultado=[sum(matriz_guardar(:,1)),sum(matriz_guardar(:,2)),su
m(matriz_guardar(:,3))];
modulo_vector_resultado=sqrt((vector_resultado(1))^2+(vector_resultado
(2))^2+(vector_resultado(3))^2);
modulo_vector_resultado_cuadrado=modulo_vector_resultado^2; Zdata(ii,j)=abs(modulo_vector_resultado_cuadrado);
end end
end
%Una vez calculado todo se representa Xdata=vectorx; Ydata=vectory; limit_step=intervalo; upper_value=max(Xdata); lower_value=min(Xdata); limitx = lower_value:limit_step:upper_value; limity = lower_value:limit_step:upper_value; [Xgrid,Ygrid] = meshgrid(limitx,limity); Zgrid = griddata(Xdata, Ydata, Zdata, Xgrid, Ygrid) Figura = figure; contourf(Xgrid,Ygrid,Zgrid,100, 'LineStyle', 'none'); axis square; hold on % Draw the spheres into the contour plot angle = 0:.01:2*pi; plot(rpar*sin(angle),rpar*cos(angle),... 'k','LineWidth',1); xlabel('x(nm)','FontSize' , 25) ylabel('z(nm)','FontSize' , 25) title('|E_{sca}|^2','FontSize' , 25) xlim([-350 350]) ylim([-350 350]) set(gca,'FontSize' , 20) % el tamaño de los números contourcmap('jet',[0:1:15],... 'colorbar','on','location','vertical') print(Figura,'-djpeg','-r300', ['intencampocercanoAuXXnm.jpg']); hold off result=Zdata; end
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Código 8: Mie_campolejano.m
function result= Mie_campolejano(N1,N,nmax,rpar,landa) E_cero=1; mu=1; mu1=1; N=input('Introduzca el valor del índice del medio: '); N1=input('Introduzca el valor del índice de la partícula: '); m=N1/N; rpar=input('Introduzca el valor del radio de la partícula en nm: '); landa=input('Introduzca el valor dela longitud de onda de la luz incidente en
nm: '); nmax=input(' Introduzca el valor del orden del ultimo coeficiente: '); k=(2*pi)/landa; rpar=250; rpos=10000; fi=0; x=k*rpar; vectortheta=0:0.01:2*pi; f=Mie_abcdconxymrepresent(mu,mu1,m,nmax,x,rpar,landa); almacen=zeros(length(vectortheta),4); n=1:1:nmax; p_n=zeros(1,length(n)); p_n_2=zeros(1,length(n)); tau_n=zeros(1,length(n)); tau_n_2=zeros(1,length(n)); for o=1:1:length(vectortheta) theta=vectortheta(o); a_1=f(1,1); b_1=f(2,1); a_2=f(1,2); b_2=f(2,2); a_3=f(1,3); b_3=f(2,3); a_4=f(1,4) b_4=f(2,4) %Primero calculamos las intensidades para n=1 cte1=3/2; S11=cte1*(a_1+b_1*cos(theta)); S21=cte1*(a_1*cos(theta)+b_1); Epar1=((-E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S11; Eper1=((E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S21; Ipar1=(norm(Epar1)).^2; Iper1=(norm(Eper1)).^2; %Ahora calculamos las intensidades para n=2 p_n(1)=0; p_n(2)=1; tau_n(1)=0; tau_n_(2)=cos(theta); p_n_1(3)=(((2*(3-1)-1)/((3-1)-1)))*p_n(3-1); p_n_2(3)=((3-1)/(3-2))*p_n(3-2); p_n(3)=p_n_1(3)*cos(theta)-p_n_2(3); tau_n_1(3)=(3-1)*p_n(3)*cos(theta); tau_n_2(3)=(3)*p_n(3-1); tau_n(3)=tau_n_1(3)-tau_n_2(3); cte2=5/6; S12=cte2*(a_2*p_n(3)+b_2*tau_n(3)); S22=cte2*(a_2*tau_n(3)+b_2*p_n(3)); Epar2=((-E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S12; Eper2=((E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S22; Ipar2=(norm(Epar2)).^2; Iper2=(norm(Eper2)).^2; %Ahora calculamos las intensidades para n=3 p_n_1(4)=(((2*(4-1)-1)/((4-1)-1)))*p_n(4-1); p_n_2(4)=((4-1)/(4-2))*p_n(4-2); p_n(4)=p_n_1(4)*cos(theta)-p_n_2(4); tau_n_1(4)=(4-1)*p_n(4)*cos(theta);
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tau_n_2(4)=(4)*p_n(4-1); tau_n(4)=tau_n_1(4)-tau_n_2(4); cte4=7/12; S13=cte4*(a_3*p_n(4)+b_3*tau_n(4)); S23=cte4*(a_3*tau_n(4)+b_3*p_n(4)); Epar3=((-E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S13; Eper3=((E_cero*(exp(1i*k*rpos)))/(-1i*k*rpos))*S23; Ipar3=(norm(Epar3)).^2; Iper3=(norm(Eper3)).^2; %Ahora sumamos todas las intensidades Ipar=Ipar1+Ipar2+Ipar3; Iper=Iper1+Iper2+Iper3; Itot=Ipar+Iper; almacen(o,1)=theta; almacen(o,2)=Ipar; almacen(o,3)=Iper; almacen(o,4)=Itot; intensidadlejAu250=almacen; end save campolejanoAu250nm intensidadlejAu250 result=almacen; Figura= figure; polar(almacen(:,1),almacen(:,4),'r') hold on polar(almacen(:,1),almacen(:,3),'b') polar(almacen(:,1),almacen(:,2),'m') L=legend('Itot=Iper+Ipar', 'Ipar', 'Iper','Location','NorthEastOutside') set(L,'FontSize' , 20) title('Intensidad(R=250) vs Theta','FontSize' , 30) print(Figura,'-djpeg','-r300', ['IntenlejXXnmAulanda vs theta.jpg']); hold off end