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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Que es TQC?
Cómo hacer TQC?Conclusiones
Computación Cuántica TopológicaFases Topológicas
Mario Vélez
Ingeniería FísicaUniversidad EAFIT
Días de la Ciencia Aplicada, Septiembre de 2009
Mario Vélez Computación Cuántica Topológica
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Que es TQC?
Cómo hacer TQC?Conclusiones
Contenido
1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
Mario Vélez Computación Cuántica Topológica
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Que es TQC?
Cómo hacer TQC?Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Contenido
1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Cómo hacer TQC?Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Bits CuánticosQubits
Los qubits son codificados en una superposición deestados ortogonales de un sistema de dos niveles|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉.
Los computadores cuánticos son una colección de qubits.
Figura: 1. Diferentes representaciones del qubit.
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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Que es TQC?
Cómo hacer TQC?Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Las compuertas cuánticasCálculos
Los cálculos son realizados a través de la acción de unconjunto universal de compuertas cuánticas{U1, U2 . . . , Um} que actúan sobre uno o más qubits.El resultado de los cálculos se obtiene con la proyecciónsobre los estados de la base {|0〉 , |1〉}.
Figura: 2. Representación esquemática de un computador cuántico
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Cómo hacer TQC?Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
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1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Errores no deseados
En el mundo real los computadores cuánticos fallan debidoa la decoherencia
|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉 → |ψ〉 = |0〉 ó |1〉 . (1)
A menos que protejamos el qubit.
Figura: 3. Gato de Schrödinger. Se busca vivo y muerto.Mario Vélez Computación Cuántica Topológica
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Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posiblerealizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesariodesarrollar una gran jerarquía de mecanismos decorrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevohardware.
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Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posiblerealizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesariodesarrollar una gran jerarquía de mecanismos decorrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevohardware.
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Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posiblerealizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesariodesarrollar una gran jerarquía de mecanismos decorrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevohardware.
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1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Propiedades topológicas
Las propiedades topológicas de un objeto matemáticopermanecen invariantes bajo deformaciones suaves.La TQC es inmune a la decoherencia cuántica, estolerante a fallos, el qubit esta protegido.
Figura: 4. El grafeno, un laboratorio natural para el estudio depropiedades topológicas.
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2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
Tolerancia intrínseca a fallos
Así luciría una compuerta cuántica topológica de anyones.
Figura: 5. Compuerta de un TQC.
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
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2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Partículas indistinguibles
Supongamos que tenemos dos partículas idénticas x1 y x2
descritas por|ψ〉 = | x1x2〉
El operador de permutaciones P cambia las partículas:
P | x1x2〉 = eiφ | x2x1〉
P2 | x1x2〉 = e2iφ | x1x2〉
Sin embargo, P2 ≡ 1I, se necesita que e2iφ = 1. Estoimplica que e2iφ = ±1.
Fermiones (φ = 2π ∗12) y los bosones (φ = 2π ∗ 1)
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Partículas indistinguibles
Un resultado general
En todas las dimensiones espacialestales que D > 2 las partículas son bo-sones o son fermiones.
Teorema de Espín y Estadística
Los anyones existen en 2D
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Anyones
Fermiones
Ψ(x1, x2) = −Ψ(x2, x1) = eiπΨ(x2, x1)
Bosones
Ψ(x1, x2) = Ψ(x2, x1) = e2iπΨ(x2, x1)
Anyones
Ψ(x1, x2) = Ψ(x2, x1) = eiπ(1+m)Ψ(x2, x1)
Los anyones tienen estadística fraccionaria0 ≤ m ≤ 1
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Cómo hacer TQC?Conclusiones
Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Anyones
Intercambio se representa como una rotación. Dosintercambios producen un ciclo completo.En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden sercontinuamente deformados hasta un ciclo trivial.En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotacionespor un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1.Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedadestopológicas de del grupo de rotación SO(2).
Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D.
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Anyones
Intercambio se representa como una rotación. Dosintercambios producen un ciclo completo.En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden sercontinuamente deformados hasta un ciclo trivial.En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotacionespor un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1.Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedadestopológicas de del grupo de rotación SO(2).
Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D.
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Cómo hacer TQC?Conclusiones
Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
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2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Grupo Braid
El grupo trenza Bn consiste de las diferentes maneras bajolas cuales n partículas pueden ser trenzadas.
Figura: 7. Grupo trenza (Braid).
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Grupo Braid
Las trenzas pueden ser compuestas, los nudos no estánpermitidos.
Figura: 8. Más sobre el grupo trenza.
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Grupo Braid
Cualquier trenza puede ser construida desde elintercambio de partículas vecinas a partir de un conjuntode generadores.Hay tres generadores para el grupo de trenzas B4. Losgrupos de trenzas son infinitos y tienen infinitasrepresentaciones. Tiene representaciones 1D. Así cómorepresentaciones de más alto orden.
Figura: 9. Generadores del grupo trenza.
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Anyones abelianos y no abelianos
Las partículas idénticas que se transforman cómorepresentaciones 1D del grupo de trenzas son anyonesabelianos: sus generadores se representan cómo phaseshifts.
σj = eiφj
El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas-anyones no abelianos- sus generadores estánrepresentados por matrices no conmutantes.Las representaciones irreducibles de Bn de n anyonesactúan sobre un espacio vectorial topológico de ndimensiones y se incrementa exponencialmente con n.Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen dela representación puede ser densa en SU(Dn).
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Anyones abelianos y no abelianos
Las partículas idénticas que se transforman cómorepresentaciones 1D del grupo de trenzas son anyonesabelianos: sus generadores se representan cómo phaseshifts.
σj = eiφj
El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas-anyones no abelianos- sus generadores estánrepresentados por matrices no conmutantes.Las representaciones irreducibles de Bn de n anyonesactúan sobre un espacio vectorial topológico de ndimensiones y se incrementa exponencialmente con n.Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen dela representación puede ser densa en SU(Dn).
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Computación cuántica topológica universal
TQC universalEs posible hacer computación cuánti-ca universal con trenzado de anyonesno abelianos .
Imagen densa en SU(n)
Ficción o realidad?
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Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
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1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico
2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Fases topológicas no triviales de materia TQFT=QFT efectiva
Gases de electrones, gases de Bose rotantes, grafeno. Todosson implementaciones de TQC en sistemas (2D).
Figura: 10. Efecto hall cuántico fraccionario.
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
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2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones
4 Conclusiones
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
Anyones Fibonacci para implementar compuertascuánticas topológicas
Se ha realizado computación cuántica topológica universal conanyones Fibonacci. Los qubits lógicos han sido implementadoscon tres anyones.
Figura: 11. Qubits del modelo Fibonacci de anyones.
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
Generadores del grupo trenza con los cuales seimplementan compuertas cuánticas topológicas
Las matrices σ1 y σ2 son generadores del grupo trenza actuandosobre qubits anyonicos generadores del espacio de Hilbert.Sólo el bloque superior (2 × 2) actúa sobre la basecomputacional (carga total=1 ).
Figura: 12. Acción de los generadores sobre los qubits.
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
Una compuerta general de 3 qubits
Construcción general de compuertas de 3 qubits medianteaplicaciones sucesivas de σ1, σ1 y sus inversas.Usando búsqueda a fuerza bruta, es posible aproximarse acualquier compuerta de 1 qubit.
Figura: 13. Acción de los generadores sobre los qubits.
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
Compuerta de rotación controlada
La construcción se realiza haciendo una rotación controladateniedo un qubit de control.Esta compuerta junto a la de 1 qubit produce computacióncuántica topológica universal.
Figura: 14. Rotación controlada.
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Compuerta CNOT
Figura: 15. Not controlado.
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Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dadasu tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema deanyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones noabelianos.
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Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dadasu tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema deanyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones noabelianos.
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Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dadasu tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema deanyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones noabelianos.
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Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dadasu tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema deanyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones noabelianos.
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