computational methods in o.r. - abarry.wsabarry.ws/lindolingo.pdf · a. barry, professor of...

A. Barry, Professor of Statistics & O.R./M.S

طرق الحسابات في بحوث العمليات Computational Methods in O.R.

بإستخدام Using

LINDO and LINGO


مقدمة إلى برنامج األمثلية

LINDO


:مقدمة

في اآلالف من الشرآات والجامعات LINDO يستخدم

والمصالح الحكومية في جميع أنحاء العالم آأداة بارعة لحل مشاآل البرمجة الخطية والعددية والتربيعية وجميع مشاآل

.األمثلية . آالعادة سوف نستعرض مقدرات هذا البرنامج بأمثلة


: حل البرمجة الخطية التالية: مثال على البرمجة الخطية:1مثال

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

8 52 10003 4 2400

700350

, 0

Max X XST X X

X XX XX X

X X

++ ≤+ ≤+ ≤− ≤

≥


ثم أضغط على ملف و جديد فتظهر النافذة LINDO شغل :الحل


: اآلن أدخل النموذج آاآلتي


لحل النموذج نضغط على ايقونة الحل آالتالي


سية تظهر نافذة الحالة للحل ونافذة تسأل إذا آنا نريد إجراء تحليل حسا


فيظهر التقرير مع

تحليل الحساسية


: حل التالي: مثال آخر على البرمجة الخطية : 2مثال

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0.6 0.520 50 10025 25 10050 10 100

, 0

Minimize X XST X X

X XX X

X X

++ ≥+ ≥+ ≥

≥


ادخل النموذج في صفحة جديدة آالتالي : الحل


اضغط على

فينتج الحل


: حل التاليInteger Programming البرمجة الصحيحة : 3مثال

1 2

1 2

2

1 2

1 2

. 12000 20000. 2 6 27

23 19, 0 and integers

Max X XSt X X

XX X

X X

++ ≤

≥+ ≤≥


: الحل


: حل مشكلة النقل للشبكة التالية: مثال على الشبكات والنقل: 4مثال

P1

P2

P3

W1

W2

W3

W4

35

30

32

37

40

42

25

40

15

20

28

Plant

Warehoise

S1=1200

S2=1000

S3=800

D1=1100

D2=400

D3=750

D4=750

40


والتي نشكلها على شكل البرمجة الخطية التالية

( )Total Shipping Cost:

Amount shipped from each source Supply at that sourceAmount received at each destination = Demand at that destinationNo negative shipments

MinSt

≤


ى المخزن إذا رمزنا بـ لعدد الوحدات التي تشحن من المصنع إل : فتكتب المشكلة على الشكل

ijX1, 2,3i =1, 2,3, 4j =

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

11 12 13 14

35 20 40 32 37 40 42 25 40 15 20 28

Min X X X X X X X X X X X XSt X X X X

+ + + + + + + + + + ++ + +

21 22 23 24

1200 1000

X X X X≤

+ + + ≤

31 32 33 34

11 21

800 +

X X X XX X

+ + + ≤+ 31

12 22 32

=1100 + +

XX X X

13 23 33

=400 + + =750

X X X

14 24 34 + + 750

X X X =0,ijX for all i and j≥


:الحل


:Assignment Problem مسئلة تخصيص : 5مثال ع الجدول التالي يمثل زمن النقل من خطوط التجميع إلى مناطق الفحص لقط

:إلكترونية

19201711195

17171316144

1514128133

14977112

121064101

EDCBAAssemblyLine

Inspection Area


والمخطط التالي يعطي

:نفس المعلومات

1

2

3

4

A

B

C

D

10

4

610

117

7

9

138

1412

141613

17

5 E

12

14

15

17

19

17

20

11

S1= 1

S2= 1

S3= 1

S4= 1

S5= 1

DA= 1

DB= 1

DC= 1

DD= 1

DE= 119

Assembly Line Inspection Area


مناطق الفحص المطلوب هو تحديد الكيفية التي تنقل بها القطع من خطوط اإلنتاج إلى . في أقل زمن ممكن مع مالحظة أن يخصص خط تجميع واحد لمنطقة فحص واحدة

:نضع المشكلة في شكل برمجة خطية آالتالي

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

1 1 1 1 1

2 2 2 2

10 4 6 10 1211 7 7 9 1413 8 12 14 1514 16 13 17 1719 11 17 20 19

+ =1 +

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D

Min X X X X XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X X

St X X X X XX X X X

+ + + + +

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + +

+ + ++ + + 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

=1 1 1 1 + + + =1 + + + =1

E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A A A A A

B B B B B

XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X X

+ + + + =+ + + + =

+ + + + =++

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

+ + + =1 + + + =1 + + + =1 0,

C C C C C

D D D D D

E E E E E

ij

X X X X XX X X X XX X X X X

X for all i and j

+

++

≥


LINDOأدخل التالي في صفحة في


:وينتج التقرير التالي


...يتبع


... يتبع


: 6مثال الشبكة التالية تمثل خطوط : Shortest Path Problemمشكلة أقصر طريق

والمراد ) عقدة النهاية ( 12إلى العقدة ) عقدة البداية (1سير ممكنة للسفر من العقدة

.تعيين أقصر مسافة لخط السير

1 2

3 4

5

6

78

9

10

11

12

599

180

497

432

345

420

440

691

893

280

500

290

577

116

403

314

432 621

554


نضع الشبكة على شكل :برمجة خطية آالتالي

1,2 1,3 1,4 2,5 2,6

3,4 3,7 4,6 5,6 5,9

6,8 6,9 7,8 7,10 8,9

8,10 9,12 10,11 10,12 11,12

1,2 1,3 1,4

2,5 2,6

599 180 497 691 420432 893 345 440 554432 621 280 500 577290 268 116 403 314

1

Min x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

ST x x xx x x

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + +

+ + =

+ − 1,2

3,4 3,7 1,3

4,6 1,4 3,4

5,6 5,9 2,5

6,8 6,9 2,6 4,6 5,6

7,8 7,10 3,7

8,9 8,10 6,8 7,8

9,12 9,5 6,9 8,9

10,11 10,12 7,10 8,10

11,12 10,11

9,12 10,12 11,

0000

00

00

00

x x xx x xx x xx x x x xx x xx x x xx x x xx x x xx x

x x x

=

+ − =

− − =

+ − =

+ − − − =

+ − =

+ − − =

− − − =

+ − − =

− =

− − − 12

,

0' 0 1i jAll x s or

=

=


LINDOيدخل النموذج في صفحة من


وينتج التقرير


الشبكة التالية تمثل : Maximal Flow Problem مشكلة التدفق األعظم : 7مثال تمديدات ألنابيب ماء في شبكة تمد خزان بالمياه

1

23

45

6

7

1010

1 1

4

4

12

2

2

6 8

7

3

3

2

8

12

Source

Tank


)دقيقة/ جالون1000(الجدول التالي يعطي سعة األنابيب

7

6 4 3 2 2

5 2 8

4 3 7

3 1 12 4

2 1 8 6

1 10 10

FROM

1 2 3 4 5 6 7

TO


بوضع المشكلة على شكل برمجة خطية . المطلوب تحديد مسار أقصى تدفق للخزان

1,2 1,3

2,3 2,4 2,6 1,2 3,2

3,2 3,5 3,6 1,3 2,3 6,3

4,6 4,7 2,4 6,4

5,6 5,7 3,5 6,5

6,3 6,4 6,5 6,7 2,6 3,6 4,6 5,6

1,2

1,3

2,3

2,4

2,6

00

00

01010186

Max x xSt

x x x x xx x x x x xx x x xx x x xx x x x x x x xxxxxx

+

+ + − − =

+ + − − − =

+ − − =

+ − − =

+ + + − − − − =

≤

≤

≤

≤

≤


... يتبع

3,2

3,5

3,6

4,6

4,7

5,6

5,7

6,3

6,4

6,5

6,7

,

112437284322

' 0i j

xxxxxxxxxxx

All x s

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≥


وبإدخال هذه العالقات

LINDOفي صفحة في


: الحل والتقرير


... يتبع


مقدمة إلى لغة البرمجة الرياضية لألمثلية LINGO


مقدمة

سوف نستعرض قوة هذه اللغة بالمثال التالي الذي يستخدم : األمثلية في حل مشكلة نقل

مشترين بقطع 8 مخازن تمد 6 تمتلك شرآة القطع االسلكية اليستطيع ) إستيعابية (لكل مخزن قدرة إمدادية . الغيار

.تجاوزها آما ان آل زبون له طلب البد أن يتحقق تريد الشرآة تحديد عدد القطع التي تشحن من آل مخزن لكل

. زبون بحيث تكون تكلفة الشحن أقل مايمكن


... يتبع

: الشكل التالي يمثل المشكلة

WH1 WH3WH2 WH4 WH5 WH8

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8


آما نالحظ ان آل مخزن يستطيع الشحن ألي زبون وهذا

سوف نحتاج متغير لكل واحد . مسارشحن أو قوس48يؤدي إلى . من هذه األقواس لتمثيل مقدار الشحنة المرسلة خالله

: البيانات : لدينا البيانات التالية

: بيانات عن المقدرة اإلستيعابية -1Warehouse Widgets On Hand

1 602 553 514 435 416 52


: بيانات طلب الزبائن-2 Vendor Widget Demand

1 35 2 37 3 22 4 32 5 41 6 32 7 43 8 38


: تكاليف الشحن للقطعة - 3 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8WH1 6 2 6 7 4 2 5 9WH2 4 9 5 3 8 5 8 2WH3 5 2 1 9 7 4 3 3WH4 7 6 7 3 9 2 7 1WH5 2 3 9 5 7 2 6 5WH6 5 5 2 2 8 1 4 3


:The Objective Functionدالة الهدف المطلوب تقليل . لتشكيل النموذج سوف نبدأ ببناء دالة الهدف

تكلفة الشحن ولهذا سنستخدم المتغير لكي يمثل عدد ولهذا فإن دالة j إلى الزبون iالقطع التي تشحن من الخزن

: الهدف تكتب علي الشكل

( ),x i j


Minimize( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

6 1,1 2 1,2 6 1,3 7 1, 4 4 1,5 2 1,6 5 1,7 9 1,8

4 2,1 9 2, 2 5 2,3 3 2, 4 8 2,5 5 2,6 8 2,7 2 2,8

5 3,1 2 3,2 3,3 9 3,4 7 3,5 4 3,6 3 3,7 3 3,8

7 4,1 6 4, 2 7 4,3 3 4,4 9 4,5 2 4,6 7 4,7 4,8

2 5,1 3 5,

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 9 5,3 5 5,4 7 5,5 2 5,6 6 5,7 5 5,8

5 6,1 5 6, 2 2 6,3 2 6,4 8 6,5 6,6 4 6,7 3 6,8

x x x x x x

x x x x x x x x

+ + + + + + +

+ + + + + + +


مخازن 6 آما نشاهد فإن دالة الهدف معقدة جدا وذلك فقط لـ زبائن فكيف سوف تكون لو آان لدينا عشرات بل 8 و

مئات المخازن وآالف من الزبائن؟ آما أن إدخال مثل هذه . الصيغة في برنامج حاسب سيكون بالتأآيد معرضا للخطأ

الصيغة السابقة يمكن وضعها على شكل الصيغة الرياضية : التالية

إلى الزبون i حيث تكلفة شحن القطعة الواحدة من مخزن j.

( )6 8

1 1

,iji j

Mimize c x i j= =∑∑

ijc


تسمح بتمثيل دالة الهدف LINGO وبالمثل فإن لغة النمذجة

: بشكل مختصر سهل الكتابة والفهم آالتالي MIN = @SUM(LINKS(I,J): COST(I,J)*VOLUME(I,J));

i يمثل عدد القطع التي تشحن من المخزن VOLUME(I,J)حيث تكلفة شحن القطعة الواحدة من COST(I,J) و jإلى الزبون

و الجمع يكون على آل الروابط j إلى الزبون iمخزن LINKS(I,J) بينهما .


LINGOالجدول التالي مقارنة بين الصيغة الرياضية ولغة

VOLUME(I,J)

COST(I,J)

@SUM(LINKS(I,J): )

MIN =

LINGO Syntax Math Notation

Minimize6 8

1 1i j= =∑ ∑

ijc

( ),x i j


:Constraintsالقيود بعد صياغتنا لدالة الهدف خطوتنا التالية صياغة القيود

Constraints مجموعة القيود األولى تضمن . للنموذجإستالم آل زبون لعدد القطع التي طلبها وسوف نسمي هذه

Demandالقيود قيود الطلب Constraints مجموعة القيود Capacity Constraintsالتالية والتي نسميها قيود السعة

تضمن عدم شحن قطع من مخزن تزيد عن المقدار الذى بدأ بقيد الطلب للزبون األول فإننا نحتاج إلى جمع آل . يمتلكة

الشحنات من جميع المخازن وجعلها مساوية لطلب الزبون قطعة أي 35األول

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 35x x x x x x+ + + + + =


وهكذا لبقية الزبائن

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 37x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 22x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 32x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 41x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 32x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 43x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,8 2,8 3,8 4,8 5,8 6,8 38x x x x x x+ + + + + =


. وهنا ينطبق نفس التعليق الذي تبع صياغة دالة الهدف : قيود الطلب تكتب بصيغة رياضية بسيطة آالتالي

.j حيث عدد القطع المطلوبة من الزبون

( )6

1

, , 1, 2,...,8ji

x i j d j=

= =∑

jd


تكتب قيود الطلب LINGO وبلغة النمذجة @FOR(VENDORS(J):@SUM(WAREHOUSES(I): VOLUME(I,J)) = DEMAND(J));

تمثل مجموعة القيود السابقة LINGOهذه العبارة بلغة النمذجة بل يمكن أن تمثل مجموعة من آالف الزبائن ومئآت (

العبارة السابقة تدل على انه لكل الزبائن ). المخازن ايضا VENDORS فإن مجموع القطع التي تشحن VOLUME إلى ذلك الزبون يجب أن WAREHOUSESمن آل مخزن الحظ مدى تشابه . ذلك الزبون DEMANDتساوي لطلب

. هذه العبارة مع الصيغة الرياضية


: الجدول التالي يعطى مقارنة بينهما

DEMAND(J)

= =

VOLUME(I,J)

@SUM(WAREHOUSES(I): )

@FOR(VENDORS(J): )

LINGO Syntax Math Notation

1, 2,...,8j =6

1i=∑

( ),x i j

jd


سوف نصيغ اآلن قيود السعة والتي تكتب بصيغة الرياضيات

الحظ ان هذه الصيغة الرياضية تمثل .( j حيث هي سعة المخزن

تكتب قيود LINGOوبلغة النمذجة ) متراجحات 8مجموعة من السعة

@FOR( WAREHOUSES( I): @SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I));

فإن مجموع القطع المشحونة WAREHOUSESأي لكل مخزن VOLUME للزبائن VENDORS يجب اال تزيد عن سعة

CAPACITYذلك المخزن .

( )8

1

, , 1,2,...,6jj

x i j p i=

≤ =∑jp


: آالتالي LINGOاآلن نكتب النموذج آامال بلغة النمذجة

MODEL:MIN = @SUM( LINKS( I, J): COST( I, J) * VOLUME( I, J));@FOR( VENDORS( J):@SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) =

DEMAND( J));@FOR( WAREHOUSES( I):@SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <=

CAPACITY( I));END


تعريف المجموعات

عند قيامنا بالنمذجة في الحياة العملية فإننا نقابل مجموعة او اآثر من األشياء التي لها عالقة ببعضها البعض مثل الزبائن

في الغالب إذا طبق . ، المصانع ، السيارات ، الموظفين الخ قيد على عضو من المجموعة فإن هذا القيد يطبق بالتمام على

هذا المبدأ هو من أساسيات . األعضاء اآلخرين في المجموعة إذ يعطى المقدرة على تعريف LINGOلغة النمذجة

. مجموعات من األشياء المترابطة في قسم المجموعات


... يتبع

التي هي Keyword قسم المجموعات يبدأ بكلمة األساس SETS توضع في سطر منفردة وينتهي القسم بكلمة األساس

ENDSETS بعد تعريف أعضاء . ايضا على سطر منفرد يمتلك مجموعة من دوال الدورة LINGOالمجموعة فإن

Set Looping Functions ) مثلFOR @ ( والتيتطبق بعض العمليات على جميع اعضاء المجموعة بإستخدام

.عبارة واحدة فقط


... يتبع

: في حالة نموذجنا فإننا قمنا بتكوين ثالثة مجموعات هي Warehouses المخازن -1 Vendors الزبائن -2 توصيالت او أقواس الشحن من آل مخزن إلى آل زبون - 3

Shipping Arcs : تعرف هذه المجموعات آالتالي LINGO وبلغة النمذجة


... يتبع

SETS:WAREHOUSES / WH1 WH2 WH3 WH4 WH5

WH6/: CAPACITY;VENDORS / V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8/

: DEMAND;LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST,

VOLUME;ENDSETS


... يتبع WAREHOUSES يقول ان المجموعة SETSالسطر األول بعد آلمة األساس

تسمى Attribute آل منها له صفة WH1, WH2,…,WH6أعضائها هم CAPACITY . السطر التالي يعرف مجموعة الزبائنVENDORS والتي

. DEMAND والتي لكل واحد منها الصفة V1,V2,…,V8أعضائها توصيلة او خط شحن آل توصيلة 48 تمثل LINKSالمجموعة األخيرة المسماة

الحظ اإلختالف في الترآيب . التابعة لهاVOLUME و COSTلها صفات )LINKS بين المجموعة هذة والمجاميع السابقة فبوضع Syntaxاللغوي

WAREHOUSES, VENDORS) فإننا نخبر LINGO أن مجموعة LINKS تستنبط من المجموعتين WAREHOUSES و VENDORS وبالتالي

,WAREHOUSES) من األزواج المرتبة 48 يولد LINGOفإن VENDORS) ويجعلها أعضاء في المجموعةLINKS .


إدخال البيانات : تدخل البيانات في قسم البيانات آالتالي

DATA:CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;COST = 6 2 6 7 4 2 5 9

4 9 5 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;

ENDDATA


... يتبع

على سطر منفرد DATA يبدأ قسم البيانات بكلمة األساس . على سطر منفرد ايضا ENDDATAوينتهي بكلمة األساس

للمجموعة CAPACITYآل من الصفات WAREHOUSES و DEMAND للمجموعة VENDORS

للمجموعة COSTالصفة . اسند لها قيم بشكل مباشر LINKS ثنائية األبعاد يتم قرائتها بواسطة LINGO

بزيادة الدورة الخارجية أسرع من الدورة الداخلية أي يقرأ :القيم على الترتيب التالي


... يتبع

COST(WH1,V1),COST(WH1,V2),COST(WH1,V3),…,COST(WH1,V8),COST(WH2,V1),COST(WH2,V2),COST(WH2,V3),…,COST(WH2,V8),

…COST(WH6,V1),COST(WH6,V2 ),COST(WH6,V3),…,COST(WH6,V8)

الحظ اننا هنا أدخلنا البيانات بشكل مباشر ولكن يمكننا قرائتها EXCELمن ملف او إستيرادها من صفحة نشر مثل

. وسوف نتطرق لهذا الحقا


النموذج بشكله الكامل MODEL:! A 6 Warehouse 8 Vendor Transportation Problem;SETS:

WAREHOUSES / WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6/: CAPACITY;VENDORS / V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8/ : DEMAND;LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME;

ENDSETS! The objective;

MIN = @SUM( LINKS( I, J): COST( I, J) * VOLUME( I, J));

! The demand constraints;@FOR( VENDORS( J): @SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) = DEMAND( J));

! The capacity constraints;@FOR( WAREHOUSES( I): @SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I));

! Here is the data;DATA:

CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;COST = 6 2 6 7 4 2 5 9

4 9 5 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;

ENDDATAEND


أمثلة على لغة األمثلية

LINGO By Example


:1مثال

LINGOحل النموذج التالي بإستخدام

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

8 52 10003 4 2400

700350

, 0

Max x xSt x x

x xx xx xx x

++ ≤+ ≤+ ≤− ≤

≥


...يتبع

: نرتب النموذج في جدول آالتالي لتحديد المجموعات والبيانات

58P

350-11R4

70011R3

240043R2

100012R1

SC2C1


...يتبع


Global optimal solution found at iteration: 3التقرير Objective value: 4360.000

Variable Value Reduced CostS( R1) 1000.000 0.000000S( R2) 2400.000 0.000000S( R3) 700.0000 0.000000S( R4) 350.0000 0.000000P( C1) 8.000000 0.000000P( C2) 5.000000 0.000000

DV( C1) 320.0000 0.000000DV( C2) 360.0000 0.000000

COEF( R1, C1) 2.000000 0.000000COEF( R1, C2) 1.000000 0.000000COEF( R2, C1) 3.000000 0.000000COEF( R2, C2) 4.000000 0.000000COEF( R3, C1) 1.000000 0.000000COEF( R3, C2) 1.000000 0.000000COEF( R4, C1) 1.000000 0.000000COEF( R4, C2) -1.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 4360.000 1.0000002 0.000000 3.400003 0.000000 0.40000004 20.00000 0.0000005 390.0000 0.000000


:2مثال

: LINGOحل النموذج التالي بإستخدام

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0.6 0.520 50 10025 25 10050 10 100

, 0

Minimize X XST X X

X XX X

X X

++ ≥+ ≥+ ≥

≥


...يتبع : نرتب النموذج في جدول

0.50.6P

1001050R3

1002525R2

1005020R1

SC2C1


... يتبع


التقرير Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 2.150000

Variable Value Reduced CostS( R1) 100.0000 0.000000S( R2) 100.0000 0.000000S( R3) 100.0000 0.000000P( C1) 0.6000000 0.000000P( C2) 0.5000000 0.000000DV( C1) 1.500000 0.000000DV( C2) 2.500000 0.000000

COEF( R1, C1) 20.00000 0.000000COEF( R1, C2) 50.00000 0.000000COEF( R2, C1) 25.00000 0.000000COEF( R2, C2) 25.00000 0.000000COEF( R3, C1) 50.00000 0.000000COEF( R3, C2) 10.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 2.150000 -1.0000002 55.00000 0.0000003 0.000000 -0.1900000E-014 0.000000 -0.2500000E-02


:3 مثال : LINGOحل النموذج التالي بإستخدام

1 2

1 2

2

1 2

1 2

. 12000 20000. 2 6 27

23 19, 0 and integers

Max X XSt X X

XX X

X X

++ ≤

≥+ ≤≥


... يتبع

: نرتب النموذج في جدول

2000012000P

210GR1

1913LR2

2462LR1

GSLSC2C1


... يتبع


التقرير

Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 108000.0

Variable Value Reduced CostLS( LR1) 27.00000 0.000000LS( LR2) 19.00000 0.000000GS( GR1) 2.000000 0.000000P( C1) 12000.00 0.000000P( C2) 20000.00 0.000000DV( C1) 4.000000 -12000.00DV( C2) 3.000000 -20000.00

CO1( LR1, C1) 2.000000 0.000000CO1( LR1, C2) 6.000000 0.000000CO1( LR2, C1) 3.000000 0.000000CO1( LR2, C2) 1.000000 0.000000CO2( GR1, C1) 0.000000 0.000000CO2( GR1, C2) 1.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 108000.0 1.0000002 1.000000 0.0000003 4.000000 0.0000004 1.000000 0.000000


:4 مثال : LINGOحل مشكلة النقل التاليه بإستخدام

P1

P2

P3

W1

W2

W3

W4

35

30

32

37

40

42

25

40

15

20

28

Plant

Warehoise

S1=1200

S2=1000

S3=800

D1=1100

D2=400

D3=750

D4=750

40


... يتبع LPوالذي سبق أن آتبناه على شكل

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

11 12 13 14

35 30 40 32 37 40 42 25 40 15 20 28

Min X X X X X X X X X X X XSt X X X X

+ + + + + + + + + + +

+ + +

21 22 23 24

1200 1000

X X X X≤

+ + + ≤

31 32 33 34

11 21

800 +

X X X XX X

+ + + ≤

+ 31

12 22 32

=1100 + +

XX X X

13 23 33

=400 + + =750

X X X

14 24 34 + + 750

X X X =

0,ijX for all i and j≥


:ونرتب النموذج في جدول ... يتبع

282015402542403732403035CST

750111DR4

750111DR3

400111DR2

1100111DR1

8001111SR3

10001111SR2

12001111SR1

DMSPLC12C11C10C9C8C7C6C5C4C3C2C1


... يتبع


التقرير

. يترك للطالب


:5مثال :LINGOحل مشكلة التخصيص التاليه بإستخدام

من الخطوط الى المناطق المطلوب تخصيص منطقة فحص واحدة لكل خط تجميع بحيث نقلل ازمنة النقل :المعطاة في الجدول التالي

19201711195

17171316144

1514128133

14977112

121064101

EDCBAAssemblyLine

Inspection Area


1 آالتالي LPوالتي تكتب على شكل ...يتبع 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

1 1 1 1 1

2 2 2 2

10 4 6 10 1211 7 7 9 1413 8 12 14 1514 16 13 17 1719 11 17 20 19

+ =1 +

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D

Min X X X X XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X X

St X X X X XX X X X

+ + + + +

+ + + + ++ + + + +

+ + + + +

+ + + +

+ + ++ + + 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

=1 1 1 1 + + + =1 + + + =1

E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A A A A A

B B B B B

XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X XX X X X X

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =+

+

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

+ + + =1 + + + =1 + + + =1 0,

C C C C C

D D D D D

E E E E E

ij

X X X X XX X X X XX X X X X

X for all i and j

+

++

≥


نرتب النموذج في جدول


...يتبع


التقرير

. يترك للطالب • و LINDO و LINGOتمرين قارن بين نتائج •

WinQSB و Excel SOLVER لألمثلة السابقة .


:6مثال Shortestمشكلة أقصر طريق

Path Problem : الشبكة التاليةتمثل خطوط سير ممكنة للسفر من

إلى العقدة ) عقدة البداية (1العقدة والمراد تعيين ) عقدة النهاية ( 12

. أقصر مسافة لخط السير

1 2

3 4

5

6

78

9

10

11

12

59918

0

497

432

345

420

440

691

893

280

500

290

577

116

403

314

432 621

554


... يتبع

إليجاد مسافة أقصر طريق عبر الشبكة سوف نستخدم التكرار التالي : للبرمجة الديناميكية

D(i,j) إلى العقدة النهائية وi أقل مسافة إنتقال من العقدة F(i) حيث iأي أن أقل مسافة من العقدة . j إلى العقدة iهي المسافة من العقدة

إلى العقدة النهائية هي تلك األقل بين آل العقد التي يمكن الوصول إلى العقدة i لمجموع المسافات من iإليها عبر قوس واحد من

المجاورة مضاف إليها أقل مسافة من العقدة المجاورة إلى العقدة . النهائية

( ) ( ) ( ),j

F i MIN D i j F j= +⎡ ⎤⎣ ⎦


... يتبع


...يتبع


... يتبع التقرير

Feasible solution found at iteration: 0Variable Value

F( 1) 1731.000F( 2) 1309.000F( 3) 1666.000F( 4) 1234.000F( 5) 822.0000F( 6) 889.0000F( 7) 903.0000F( 8) 693.0000F( 9) 268.0000

F( 10) 403.0000F( 11) 314.0000F( 12) 0.000000

D( 1, 2) 599.0000D( 1, 3) 180.0000D( 1, 4) 497.0000D( 2, 5) 691.0000D( 2, 6) 420.0000D( 3, 4) 432.0000D( 3, 7) 893.0000D( 4, 6) 345.0000D( 5, 6) 440.0000D( 5, 9) 554.0000D( 6, 8) 432.0000D( 6, 9) 621.0000D( 7, 8) 280.0000D( 7, 10) 500.0000D( 8, 9) 577.0000D( 8, 10) 290.0000D( 9, 12) 268.0000

D( 10, 11) 116.0000D( 10, 12) 403.0000D( 11, 12) 314.0000

Row Slack or Surplus1 0.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000008 0.0000009 0.000000

10 0.00000011 0.00000012 0.000000


: تمرين

: للشبكة التالية 11إلى القرار 1أوجد أقصر طريق من المصدر

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

116

4

3

5

3

4

6

2

2

5

2

1

4

2

5

3

5

8

4

7

4

2


: من ملف خارجي LINGOإدخال وإخراج البيانات في

في التطبيقات العملية يكون حجم البيانات ضخم جدا ويصبح غير LINGOعمليا بل مستحيال إدخال البيانات ضمن البرنامج ولهذا فإن

ldt.*يستطيع إدخال وإخراج البيانات عبر أوساط آثيرة منها ملفات والتي هي ملفات نصية تحوي على جميع البيانات وخاصة بلغة

LINGO آما أنة يدخل ويخرج البيانات عبر Excel وأي برنامج . وغيرهاAccess و Oracleلقواعد المعلومات مثل

: ldt.* سوف نتطرق أوال إلدخال وإخراج البيانات من ملفات WIDGETS2.LDT النموذج التالي يقرأ البيانات من الملف

FILE@ بإستخدام األمر \C:\LINGO7والموجود في الدليل : آالتالي


...يتبع


: له الشكل التاليWIDGETS2.LDTالملف

!List of warehouses;WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6 ~!List of vendors;V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 ~!Warehouse capacities;60 55 51 43 41 52 ~!Vendor requirements;35 37 22 32 41 32 43 38 ~!Unit shipping costs;6 2 6 7 4 2 5 94 9 5 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3


...يتبع

والتي تجعل البرنامج يقرأ السطر المناسب ثم ) ~(الحظ مرة FILE@يعود إلى اإلجراء العادي حتى يقابل أمر

اخرى فيعود لقرائة البيان المناسب إبتدا من الموضع الذي . توقف فية سابقا

إلخراج قيم أي متغير إلى ملف نصي نستخدم األمر @TEXT ففي المثال السابق اخرجنا قيم متغير القرار

VOLUME باألمر @TEXT('WIDGET2OUT.TXT')= VOLUME;


الملف الناتج هو

0.0000000 19.000000 0.0000000 0.000000041.000000 0.0000000 0.0000000 0.00000001.0000000 0.0000000 0.0000000 32.0000000.0000000 0.0000000 0.0000000 0.00000000.0000000 11.000000 0.0000000 0.00000000.0000000 0.0000000 40.000000 0.00000000.0000000 0.0000000 0.0000000 0.00000000.0000000 5.0000000 0.0000000 38.00000034.000000 7.0000000 0.0000000 0.00000000.0000000 0.0000000 0.0000000 0.00000000.0000000 0.0000000 22.000000 0.00000000.0000000 27.000000 3.0000000 0.0000000


: Excel بإستخدام LINGOإدخال وإخراج البيانات في : آالتالي Excel ندخل البيانات في


:نختار مجال نريد تسميته آالتالي


آما في النافذة التالية Define ثم Name ثم Insertنختار


فتظهر النافذة


التي تظهر Sheet1!$C$4:$J$9=الحظ ( نعطي إسم للبيانات في هذا المجال

:نسمي بقية مجاالت بنفس الطريقة آالتالي ).ذاتيا


\C:\LINGO7 ثم خزنة في الدليل WIDGETSXL.XLSسمي الملف مثال ومن ثم يكتب قيم متغير WIDGETSXL.XLSالبرنامج التالي يقرأ البيانات من

. في المكان المحدد VOLUMEالقرار


قبل إجراء البرنامج Excel و LINGOالشكل التالي يبين


بعد إجراء البرنامجExcel و LINGOالشكل التالي يبين


:1مثال

وأدخل LINGOحل النموذج التالي بإستخدام

. Excelالبيانات بإستخدام

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

8 52 10003 4 2400

700350

, 0

Max x xSt x x

x xx xx xx x

++ ≤+ ≤+ ≤− ≤

≥


... يتبع


... يتبع or433exp01.xlsوسمي الملف Excelأدخل التالي في


... يتبع

. أجري البرنامج السابق وقارن الناتج : تمرين


LINGO حاالت دراسة على لغة النمذجة


Blendigنموذج خلط Model

بصفتك مدير إنتاج في مصنع تصفية بترول فإن مهمتك الحصول على ومساعد على Butaneأقصى األرباح من خلط المواد الخامة بوتين

إلنتاج منتجين Naphthaومذيب Catalytic Reformateاإلحتراق المنتجين النهائيين يجب . Premium وممتاز Regularنهائيين عادي

على االوآتين Quality Requirementsأن يحققا متطلبات نوعية Octane و ضغط البخار Vapor Pressure و التسامي Volatility .

آما . المواد الخامة لها محدودية اإلمداد وسعر الوحدة معروفة ومحددة ان اقل آمية للمنتج النهائي معروفة وآذلك أقصى آمية يمكن تسويقها

.وآذلك مقدار ربحية آل وحدة منتجة


النموذج MODEL:TITLE BLEND;SETS:

!Each raw material has an availability and cost/unit;RAWMAT/ BUTANE, CATREF, NAPHTHA/: AVAIL, COST;!Each finished good has a min required,max sellable, selling price,and batch size to be determined;FINGOOD/ REGULAR, PREMIUM/: MINREQ, MAXSELL, PRICE, BATCH;!Here is the set of quality measures;QUALMES/ OCTANE, VAPOR, VOLATILITY/;!For each combo of raw material and quality measure there is a quality level;RXQ( RAWMAT, QUALMES): QLEVEL;!For each combination of quality measure and finished good there are upper and lower limits on quality,and a slack on upper quality to be determined;QXF( QUALMES, FINGOOD): QUP, QLOW, QSLACK;!For each combination of raw material and finished good there is an amount

of raw material used to be solved for;RXF( RAWMAT, FINGOOD): USED;

ENDSETS


... يتبع DATA:!Raw material availability;

AVAIL = 1000, 4000, 5000;!Raw material costs;COST = 7.3, 18.2, 12.5;

!Quality parameters of raw materials;QLEVEL = 120, 60, 105,

100, 2.6, 3,74, 4.1, 12;

!Limits on finished goods;MINREQ = 4000, 2000;MAXSELL = 8000, 6000;

!Finished goods prices;PRICE = 18.4, 22;

!Upper and lower limits on quality for each finished good;QUP = 110, 110,

11, 11,25, 25;

QLOW = 90, 95,8, 8,

17, 17;ENDDATA


... يتبع !Subject to raw material availability;@FOR(RAWMAT(R):[RMLIM]@SUM (FINGOOD(F):USED(R,F))<= AVAIL(R););

!Batch size computation;@FOR (FINGOOD(F):[BATCOMP]BATCH(F)= @SUM (RAWMAT(R):USED(R,F));!Batch size limits;@BND (MINREQ,BATCH,MAXSELL);

!Quality restrictions for each quality measure;@FOR (QUALMES(Q):[QRESUP]@SUM(RAWMAT(R):QLEVEL(R,Q)*USED(R,F))

+QSLACK(Q,F) = QUP(Q,F)*BATCH(F);[QRESDN] QSLACK(Q,F) <= QUP(Q,F) - QLOW(Q,F))*BATCH(F);););! We want to maximize the profit contribution;

[OBJECTIVE] MAX = @SUM (FINGOOD: PRICE * BATCH) -@SUM (RAWMAT(R):COST(R)* @SUM (FINGOOD(F):USED(R,F)));

END


... في المثال السابق :The Setsالمجموعات

Primative لدينا ثالثة مجاميع أولية Sets في النموذج وهي المواد الخامة RAWMAT والمنتج أو البضاعة النهائيةFINGOOD ومقاييس النوعية

QUALMES . Drived من هذه الثالثة المجاميع األولية نكون ثالثة مجاميع مشتقة Sets .

Dense Drived مجموعة مشتقة آثيفة RXQالمجموعة األولى المشتقة Set المجموعة . وهي تهجين من مجموعة المواد الخامة ومجموعة مقاييس النوعية

وهي تهجين من مجموعة مقاييس النوعية ومجموعة QXFالمشتقة الثانية هي س المنتج النهائي وأهمية هذه المجموعة هي في حرصنا على مستويات مقايي

هي تهجين من RXFالمجموعة المشتقة األخيرة . النوعية في المنتج النهائيوالحاجة لهذة المجموعة هي . مجموعة المواد الخامة ومجموعة المنتج النهائي

. تمكيننا من حساب مقدار المواد الخامة المستخدمة في آل منتج نهائي


... يتبع

:The Variablesالمتغيرات المتغير األساسي الذي يشكل هذا النموذج هو مقدار آل من

المواد الخامة المستخدمة في آل من المنتجات النهائية والذي أيضا أضفنا متغيرين آخرين لغرض . USEDأعطيناه اإلسم

والذي يستخدم لحساب حجم BATCHالحسابات هما المتغير QSLACKوالمتغير . لكل منتج نهائي Batch Sizeالربطة

والذي يحسب الفائض للنهاية القصوى لكل من المنتجات .النهائية ومقاييس النوعية


...يتبع

:The Objectiveالهدف خليط الهدف في هذا النموذج هو تعظيم المشارآة الكلية للربح من مرآبات ال

:المختلفة وهذه تحسب بإستخدام التعبير التالي [OBJECTIVE] MAX = @SUM( FINGOOD: PRICE * BATCH) -@SUM( RAWMAT( R): COST( R) * @SUM( FINGOOD( F): USED( R, F)));

الدخل الكلي هو المجموع على . الربح الكلي يساوي الدخل الكلي ناقصا التكلفة الكلية منتج آل المنتجات النهائية لسعر آل منتج نهائي مضروب في حجم الربطة لكل

LINGOنهائي أو بلغة @SUM( FINGOOD: PRICE * BATCH)

مواد الخامة التكلفة الكلية تحسب بأخذ المجموع على المنتجات النهائية ألسعار ال مضروبة في مقدار آل من المواد الخامة المستخدمة وتحسب بالعبارة

@SUM( RAWMAT( R): COST( R) * @SUM( FINGOOD( F): USED( R, F))


... يتبع :The Constraintsالقيود

إثنان منها لغرض . توجد اربع مجاميع من القيود في النموذجالحسابات فقط القيد األول يحسب حجم الربطة لكل من المنتجات

النهائية بالعبارة التالية !Batch size computation;[BATCOMP] BATCH( F) = @SUM( RAWMAT( R): USED( R, F));

هو مجموع آل المواد الخامة F أي ان حجم الربطة لمنتج نهائي .المستخدمة في إنتاجه

لكل القيد الثاني يحسب الفائض للنهاية القصوى للنوعية لكل منتج نهائي مقياس نوعية آالتالي

[QRESUP] @SUM(RAWMAT(R):QLEVEL(R,Q)*USED(R,F))+ QSLACK(Q,F) = QUP(Q,F)*BATCH(F);

أي ان مستوى النوعية الحقيقي مضاف إليه الفائض للنهاية القصوى .للنوعية يساوي المستوى األقصى للنوعية


...يتبع

لتي يجب ان تقع القيد األول الحقيقي يطبق على أحجام الربطة للمنتجات النهائية وا آالتاليBND@بين المستويات األدنى واألعلى ولهذا نستخدم الدالة

!Batch size limits;@BND( MINREQ, BATCH, MAXSELL);

كن إستخدام الحظ انه آان بإمكاننا وضع قيود بشكل عادي لنهايات حجم الربطة ول . أآثر فاعلية في وضع قيود بسيطة على المتغيرات BND@الدالة

قياس نوعية لكي القيد األخير يجبر مستوى النوعية لكل من المنتجات النهائية لكل م يكون خاضع للمقاييس وينمذج بالعبارة التالية

[QRESDN]QSLACK(Q,F)<=(QUP(Q,F)- QLOW(Q,F))*BATCH( F);

لو لم يكن . نىأي ان الفائض يجب ان يكون اقل من الفرق بين الحد األعلى والحد األد لفائض هذا صحيحا فإن النوعية ستكون أقل من الحد األدنى آما ان حقيقة ان ا

.اليمكن ان يكون سالبا يضمن اننا لن نتخطى حد النوعية


الحل

: تمرين للطالب وأوجد الحل LINGO أدخل البرنامج السابق في صفحة


Assembly Lineنموذج موازنة خط إنتاج Balancing Model

لكي تسند ألربعة محطات عمل A…K وظيفة نطلق عليها 11 في مثالنا هذا لدينا : عالقات األسبقية للوظائف هي آالتالي1…4

: ازمنة إآمال آل وظيفة تعطى بالجدول التاليTask: A B C D E F G H I J KMinutes: 45 11 9 50 15 12 12 12 12 8 9

. إلنتاجالمراد هو إسناد وظائف لمحطات العمل بحيث نقلل من زمن الدورة لخط ا


: النموذج MODEL:

! Assembly line balancing model;! This model involves assigning tasks to stations in an assembly line so bottlenecks are avoided. Ideally, each station would be assigned an

equal amount of work.;SETS:! The set of tasks to be assigned are A through K, and each task has a time to complete, T;TASK/ A B C D E F G H I J K/: T;! Some predecessor,successor pairings must be observed(e.g. A must be done before B, B before C, etc.);PRED( TASK, TASK)/ A,B B,C C,F C,G F,J G,J J,K D,E E,H E,I H,J I,J /;! There are 4 workstations;STATION/1..4/; TXS( TASK, STATION): X;! X is the attribute from the derived set TXS that represents the assignment. X(I,K) = 1 if task I is assigned to station K;

ENDSETSDATA:! Data taken from Chase and Aquilano, POM; ! There is an estimated time required for each task:

A B C D E F G H I J K;T = 45 11 9 50 15 12 12 12 12 8 9;

ENDDATA! The model; ! *Warning* may be slow for more than 15 tasks; ! For each task, there must be one assigned station;@FOR( TASK( I): @SUM( STATION( K): X( I, K)) = 1);! Precedence constraints; ! For each precedence pair, the predecessor task I cannot be assigned to a later station than its successor task J;@FOR( PRED( I, J): @SUM( STATION( K): K * X( J, K) - K * X( I, K)) >= 0);! For each station, the total time for the assigned tasks must be less than the maximum cycle time, CYCTIME;@FOR( STATION( K): @SUM( TXS( I, K): T( I) * X( I, K)) <= CYCTIME);! Minimize the maximum cycle time;MIN = CYCTIME;! The X(I,J) assignment variables are binary integers;@FOR( TXS: @BIN( X));

END


...يتبع : المجموعات

TASKS لدينا مجموعتين أوليتين في هذا النموذج مجموعة الوظائف من هذه المجموعات األولية . STATIONومجموعة محطات العمل

مجموعة PREDالمجموعة المشتقة األولى . نوجد مجموعتين مشتقة TASKS وتتكون من تهجين بين مجموعه Sparseمشتقة متناثرة

ونفسها عناصر هذه المجموعة هم عالقات األسبقية بين الوظائف مبينا ان (A,B)فمثال العنصر األول في هذه المجموعة هو الزوج

. B يجب أن تسبق الوظيفة Aالوظيفة مجموعة آثيفة مشتقة من تهجين TXS المجموعة المشتقة الثانية

ونحتاج لهذه STATION مع المجموعة TASKSالمجموعة . المجموعة لكي نحدد أي وظيفة اسندت ألي محطة عمل


... يتبع

: المتغيرات والتي تعرف X متغيرات القرار في هذا النموذج هم عناصر الصفة

يأخذ Binary متغير ثنائي X(T,S)العنصر . TXSعلى المجموعة وقد . غير ذلك0 وS لمحطة العمل T إذا اسندت الوظيفة 1القيمة

لكي تكون ثنائية بالتعبير Xأجبرت ! The X(I,J) assignment variables are binary integers;

@FOR( TXS: @BIN( X)); ليمثل زمن CYCTIME بإسم Scalarهنا ايضا وضعنا متغير عددي

الدورة لخط التجميع بكامله ويحسب بأخذ أقصى دورة زمنية لجميع . محطات العمل


... يتبع

: الهدف الهدف في هذا النموذج هو ببساطة تقليل زمن الدورة الكلي

لخط التجميع ويعطى بالعبارة ! Minimize the maximum cycle time;

MIN = CYCTIME;


:القيود : لدينا ثالثة أنواع من القيود في هذا النموذج

. آل وظيفة البد وأن تسند لمحطة واحدة -1. عالقات األسبقية بين الوظائف يجب ان تؤخذ في اإلعتبار -2 .CYCTIME حساب متغير زمن دورة خط التجميع -3

. 1التعبير التالي يجمع متغير اإلسناد لكل وظيفة ويساويه بـ .وهذا يجبر إسناد آل وظيفة لمحطة واحدة فقط

! For each task, there must be one assigned station;@FOR( TASK( I): @SUM( STATION( K): X( I, K)) = 1);


... يتبع ونستخدم العبارة التالية إلجبار عالقات األسبقية بين الوظائف

! Precedence constraints;! For each precedence pair, the predecessor task I cannot be

assigned to a later station than itssuccessor task J;

@FOR( PRED( I, J):@SUM( STATION(K):K*X(J,K) - K * X(I,K)) >= 0);

عن طريق الخطأ إلى محطة I فإذا أسندنا J تسبق الوظيفة I لنفترض أن الوظيفة سوف يزيد عن مجموع الحدود K*X(I,K) فإن مجموع الحدود Jبعد الوظيفة K*X(J,K)وبالتالي فإن هذا القيد سيجبر على المحافظة . وهذا سيخالف القيد

. على عالقات األسبقية : نقيد زمن الدورة بالقيد التالي

! For each station, the total time for the assigned tasks must be less than the maximum cycle time, CYCTIME;@FOR( STATION( K):@SUM( TXS( I, K): T( I) * X( I, K)) <= CYCTIME);


... يتبع : الكمية

@SUM(TXS(I,K): T(I) * X(I,K))

لكي FOR@نستخدم العبارة . K في هذا القيد تحسب زمن الدورة للمحطة . أآبر من أو يساوي ألزمنة الدورة لكل المحطات CYCTIMEنجعل المتغير

في دالة الهدف فإن CYCTIMEفإذا أضفنا إلى هذا حقيقة أننا نقلل CYCTIME يجبر( سوف يضغط (Squeezed لكي يصبح مساويا تماما

للقيمة CYCTIMEبضغط . ألقصى قيمة من أزمنة الدورة لكل محطة عمل MAX@ فلو أستخدمنا الدالة MAX@الصحيحة فإننا نتجنب إستخدام الدالة

Nonlinear Solver سيلجأ إلى إستخدام الحالة غير الخطية LINGOفإن وهذا . Piecewise Linear @MAXلكي يعالج الدالة الخطية المجزئة

.يجنبنا النمذجة غير الخطية


الحل

: تمرين للطالب وأوجد الحل LINGO أدخل البرنامج السابق في صفحة


Capacitated Plantنموذج تحديد موقع مصنع Location Model

:عرض المشكلة . على شرآتك اإلختيار بين ثالثة مواقع إلقامة مصنع إنتاج

زبائن جاهزين بطلبات معروفة 4يوجد لدي الشرآة آل موقع من هذه المواقع له تكلفة تشغيل شهرية . لمنتجاتك

وطرق شحن للمدن التي يقطن فيها الزبائن آما أن لهاتكاليف لكل مصنع إمكانية شحن اليجب أن . تتغير مع الزمن

المطلوب هو تحديد اي مصنع أو مصانع يتم . يتجاوزها فتحها وآم من المنتج يرسل من آل مصنع مفتوح إلى آل .زبون بحيث تقلل من تكلفة الشحن وتكلفة تشغيل المصانع


: النموذج


... يتبع


: المجموعات PLANTS لدينا مجموعتين أولية في هذا النموذج المصانع

من هذه المجموعتين نشتق . CUSTOMERSوالزبائن وهي تهجين بين المجموعتين ARCSمجموعة آثيفة تسمى

نستخدم هذه المجموعة لتمثيل طرق الشحن بين . السابقتين .المصانع والزبائن


: المتغيرات الصفة . لدينا مجموعتين من متغيرات القرار في هذا النموذج

VOL والمعرفة على المجموعة ARCS تمثل حجم الشحنة الصفة ). قوس ( من المصانع للزبائن على آل طريق شحن

OPEN والمعرفة على المجموعة PLANTS تمثل إذا آان 1 تكون OPEN(P)وبالتحديد . المصنع المفتوح

OPENعناصر الصفة . 0 مفتوحا وإال تساوي Pالمصنع تجعل ثنائية بإستخدام التعبير

! Make OPEN binary(0/1);@FOR( PLANTS: @BIN( OPEN));


: الهدف هو تقليل التكلفة الكلية والتي هي مجموع تكاليف الشحن

وتكاليف تشغيل المصانع والتي تحسب بالتعبير ! The objective;

[TTL_COST] MIN = @SUM( ARCS: COST * VOL) +@SUM( PLANTS: FCOST * OPEN);

تكاليف الشحن في دالة الهدف تحسب من @SUM( ARCS: COST * VOL)

وتكاليف تشغيل المصانع تحسب من @SUM( PLANTS: FCOST * OPEN)


:القيود : توجد بالنموذج مجموعتين من القيود

. آل زبون يجب ان يرسل إلية آمية آافية من المنتج تحقق طلبه -1 . آل مصنع اليمكنه إمداد آمية اآبر من طاقته اإلستيعابية -2

مطلوبة التعبير التالي يضمن أن آل زبون يتحصل على الكمية من المنتج ال! The demand constraints;

@FOR( CUSTOMERS( J): [DEMAND]@SUM( PLANTS( I): VOL( I, J)) >= DEM( J) );

. لبه لكل زبون نجمع الكمية المشحونة له ونجعلها اآبر من أو تساوي لط : لتقييد آمية الشحنة المرسلة من آل مصنع لسعة ذلك المصنع نستخدم

! The supply constraints;@FOR( PLANTS( I): [SUPPLY]@SUM( CUSTOMERS( J): VOL( I, J)) <= CAP( I) * OPEN( I) );

أقل من أو تساوي الطاقة لكل مصنع نجمع آمية الشحنات المرسلة منه لكل الزبائن ونجعلها الحظ انه لكي يمكن ألي مصنع . OPEN للمؤشر 1 أو0اإلستيعابية لذلك المصنع مضروبة في

. بهذه القيود1 يجبر لكي يساوي OPENأن يشحن أي آمية من المنتج فإن المتغير الثنائي


حل مسألة إختبار سابق

:مشكلة خلط األصناف األربعة تعرف . أصناف من المكسرات المشكلة4شرآة تصنيع حلويات تسوق

آل صنف يحتوي على نسبة . King و Bishop و Knight و Pawnبأألسماء التجارية الجدول التالي يعطي عدد االونسات من . Cashewsو الكاشو Peanutsمحددة من اللوز

: اللوز والكاشو في آل رطل من األصناف األربعة وسعربيع الرطل لكل صنف

رطل من الكاشو يوميا 250 رطل من اللوز و 750أبرمت الشرآة عقد مع جهة لتموينها مشكلة الشرآة هي تحديد عدد األرطال التي تنتجها آل يوم من آل صنف . ألغراض اإلنتاج

.كاشوبحيث تحقق أقصى دخل بدون تجاوز الكميات الموردة يوميا من اللوز وال


The Formulation:التشكيل


...يتبع


: النموذج الكامل


: الحل: تقرير مختصر للحل


... يتبع

computational methods in o.r. - abarry.wsabarry.ws/lindolingo.pdf · a. barry, professor of...

Documents