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Comunicaciones II
Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN
Javier Rodríguez Fonollosa y Margarita Cabrera Beán
15/09/2006 COM II T2-2
Indice del Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN
• 2.1 Modelo de Transmisión digital– Definición– Modulaciones PAM (Pulse Amplitude Modulation)– Modulaciones PPM (Pulse Position Modulation)– Modulaciones biortogonales
• 2.2 Representación Geométrica– Definición– Propiedades de la Representación Geométrica – Representación Temporal – Modulaciones PAM en espacio de señal – Modulaciones PPM en espacio de señal – Modulaciones Biortogonales en espacio de señal – Determinación sistemática de una base: Gram-Schmidt– Aplicación de Gram-Schmidt para modulaciones biortogonales
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15/09/2006 COM II T2-3
Indice del Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN (II)
• 2.3 Receptor óptimo para PM en AWGN– Consideraciones previas– Receptor MAP– Expresión vectorial– Caracterización estadística del vector de ruido– Detector óptimo: Criterio MAP (Maximum a Posteriori)– Detector óptimo: Expresión alternativa– Comparación entre las implementaciones alternativas– Elección de las zonas de decisión– Zona de decisión para 2PAM– Zona de decisión para 2PPM– Zona de decisión para señales biortogonales– Consideraciones sobre la dependencia temporal de los símbolos
15/09/2006 COM II T2-4
Indice del Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN (III)
• 2.4 Cálculo de la probabilidad de error – El criterio MAP minimiza la probabilidad de error– Expresión general de la Probabilidad de error– Probabilidad de error de 2PAM– Probabilidad de error de 2PAM (símbolos equiprobables)– Probabilidad de error de MPAM– Probabilidad de error de 2PPM– Comparación entre 2PAM y 2PPM– Probabilidad de error de la modulación biortogonal– Aproximaciones de la Probabilidad de Error– Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales– Comparación de BER en modulaciones PM
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15/09/2006 COM II T2-5
2.1 Modelo de Transmisión digital:Definición
• En este tema se considerará la transmisión digital en canales ideales en presencia de ruido gaussiano blanco y aditivo (Additive White Gaussian Noise - AWGN). Todas las señales son reales.
• La velocidad de entrada de bits es:
• Mientras que en la señal s(t) se transmiten símbolos que agrupan bbits:
Bits a símbolosS/P
Canal Señal a bits+[ ]b n ( )s t
( )w t
[ ]b n( )ch t
( ) ( )ch t tδ= 0[ ( )] 0; ( )2w
NE w t S f= =
{ } { } { }[ ] 1,0 ; Pr [ ] 0 ; Pr [ ] 1 1b n b n p b n p∈ = = = = −
1b
b
rT
=
b T=bTbrrb
=
15/09/2006 COM II T2-6
Definición (II)
• Las diferentes modulaciones digitales diferirán en el la función de asignación de bits. Agrupando bits en bloques de b se generarán al menos:
• Se define la energía media por símbolo como:
{ }
{ } { }
1 2
2 símbolos
( ) ( ) ( ) ( ), ( ), , ( )
con probabilidad Pr ( ) Pr
b
m m Mk
m m
M
s t s t kT s t s t s t s t
s t s
+∞
=−∞
=
= − ∈
=
∑
[ ] { } 2
1
Pr ; ( )M
s m m m m mm
sb
E E E s E E s t dt
EE
b
∞
= −∞
= = =
=
∑ ∫
4
15/09/2006 COM II T2-7
Modulaciones PAM (Pulse Amplitude Modulation)
• Se entiende por modulaciones PAM aquellas en las que los símbolos se obtienen como:
– Caso binario: b=1
/ 2( )m mt Ts t a
T−⎛ ⎞= ∏⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ] { }
1 1 2 2
2 2 2
1
2 2/ 2 / 2[ ] 0, ( ) ; [ ] 1, ( )
Pr (1 )
b
M
s m m mm
Mt T t Tb n a A s t A b n a A s t A
T T
E E E s E pA T p A T A T=
= =
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⇒ = − ∏ = = ⇒ = ∏⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = = + − =∑
BITS Símbolo m Pr( ( ))ms t ( )ms t0 1 p / 2t TA
T−⎛ ⎞− Π⎜ ⎟
⎝ ⎠1 2 (1-p) / 2t TA
T−⎛ ⎞Π⎜ ⎟
⎝ ⎠
15/09/2006 COM II T2-8
Modulaciones PAM (Pulse Amplitude Modulation) (II)
• Caso de cuatro niveles: b=2
[ ] { } ( )
2
2 2 2 2
1
12
2 4
Pr 9 (1 ) (1 ) 9(1 ) (1 8 )M
s m m mm
b s
M
E E E s E p p p p p p A T p A T
E E=
= =
= = = + − + − + − = +
=
∑
BITS Símbo lo m { }Pr ( )ms t ( )ms t0 0 1 pp / 23 t TA
T−⎛ ⎞− Π ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 1 2 p(1-p) / 2t TAT
−⎛ ⎞− Π ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 3 (1-p)(1-p) / 2t TAT
−⎛ ⎞Π ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 4 (1-p)p / 23 t TAT
−⎛ ⎞Π ⎜ ⎟⎝ ⎠
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15/09/2006 COM II T2-9
Modulaciones PPM (Pulse Position Modulation)
• En este caso:
– Caso binario: b=1
[ ] { } ( )
1
2 21 12 2
1
2 2
Pr (1 )M
s m m m bm
M
E E E s E p p A T A T E=
= =
= = = + − = =∑
2 ( 1)( )
T TM M
m TM
t ms t A
⎛ ⎞− − −= ∏⎜ ⎟
⎝ ⎠
BITS Símbolo m { }Pr ( )ms t ( )ms t0 1 p / 4
/ 2t TA
T−⎛ ⎞Π ⎜ ⎟
⎝ ⎠1 2 (1-p) 3 / 4
/ 2t TA
T−⎛ ⎞Π ⎜ ⎟
⎝ ⎠
15/09/2006 COM II T2-10
Modulaciones PPM (Pulse Position Modulation) (II)
• Caso de cuatro niveles: b=2
[ ] { } ( )
2
2 2 2 21 14 4
121 1
2 8
2 4
Pr (1 ) (1 ) (1 )M
s m m mm
b s
M
E E E s E p p p p p p A T A T
E E A T=
= =
= = = + − + − + − =
= =
∑
BITS Símbolo m Pr( ( ))ms t ( )ms t00 1 pp / 8
/ 4t TA
T−⎛ ⎞Π⎜ ⎟
⎝ ⎠01 2 p(1-p) 3 / 8
/ 4t TA
T−⎛ ⎞Π⎜ ⎟
⎝ ⎠11 3 (1-p)(1-p) 5 / 8
/ 4t TA
T−⎛ ⎞Π⎜ ⎟
⎝ ⎠10 4 (1-p)p 7 / 8
/ 4t TA
T−⎛ ⎞Π⎜ ⎟
⎝ ⎠
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15/09/2006 COM II T2-11
Modulaciones biortogonales
• Se denomina así al conjunto de señales que son ortogonales dos a dos. Ejemplo para M=4 señales (b=2). 2
21 12 2
2 4
b s
ME E A T
= =
= =
BITS Símbolo m ( ( ))mP s t ( )ms t00 1 pp
t+A
-A TT/2
t+A
-A TT/2
01 2 p(1-p)t
+A
T
t+A
T
11 3 (1-p)(1-p)t
+A
-ATT/2
t+A
-ATT/2
10 4 (1-p)p t
-AT
t
-AT
15/09/2006 COM II T2-12
Comparación cualitativa entre PAM, PPM y ortogonales
• Todas estas modulaciones parecen equivalentes aunque su comportamiento frente al ruido puede no serlo.
• No se han estudiado las consecuencias de limitación en banda• En este tema se estudiará una metodología de análisis y diseño de
receptores óptimos sistemática que permite su aplicación general.• La limitación en banda se estudia en el Tema 3
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15/09/2006 COM II T2-13
2.2 Representación GeométricaDefinición
• Metodología de análisis sistemático consistente en representar las diferentes funciones sm(t) mediante una base ortonormal generadora y sus correspondientes coeficientes
• Estos coeficientes serán representativos de todas las propiedades de la modulación
• Base ortonormal: Permite expresar las señales sm(t) mediante los coeficientes de la base generadora
– Condición de ortonormalidad:
{ } { }1 2 1 2( ) ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), , ( ) ;m M Ls t s t s t s t t t t L Mϕ ϕ ϕ⎯⎯→∈ ≤←⎯⎯
[ ] { }( ) ( ) ; , 1, ,l jt t dt l j l j Lϕ ϕ δ+∞
−∞
= − ∈∫
15/09/2006 COM II T2-14
Definición (II)
– Cualquier señal del alfabeto se puede expresar como:
– En donde los coeficientes se han obtenido como:
– Esta transformación nos permite definir los coeficientes en representación geométrica (Espacio de la Señal) como:
( ) 0; [0, )0
( ) ( ) ( ) ( )l
T
ml m l m lt t Ts t t dt s t t dt
ϕα ϕ ϕ
+∞
= ∉−∞
= =∫ ∫
1
2( ):
m
mm m
mL
s t
αα
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯→ =←⎯⎯ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
s
1( ) ( )
L
m ml ll
s t tα ϕ=
= ∑
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15/09/2006 COM II T2-15
Propiedades de la Representación Geométrica
• Energía Cruzada: Producto Escalar
• Condición de Ortogonalidad
[ ]
1 1 1 1
1 1 1
( ), ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
mn m n m n
L L L L
ml l nk k ml nk l kl k l k
L L L
ml nk ml nll k l
E s t s t s t s t dt
t t dt t t dt
l k
α ϕ α ϕ α α ϕ ϕ
α α δ α α
+∞
−∞
+∞ +∞
= = = =−∞ −∞
= = =
= = =
= =
− = ⇒
∫
∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫
∑ ∑ ∑
( ) ( ) 0mn m n m nE s t s t dt+∞
−∞
= = =∫Ts s
( )1
1
n
mn m mL m n
nL
Eα
α αα
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ts s
15/09/2006 COM II T2-16
Propiedades de la Representación Geométrica (II)
• Norma de un vector: Energía
• Energía media
• Distancia d
2
1
2
( ), ( )
m m
L
m m m mll
m
E s t s t α=
= = =
=
∑Ts s s
( )22
2
( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
2
mn m n m n m n
m n m n mn
d s t s t s t s t s t s t dt
E E E
+∞
−∞
= − − = − =
= − = + −
∫s s
{ }2 2
1[ ] Pr
M
s m m i ii
E E E E s=
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ∑s s
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15/09/2006 COM II T2-17
Representación Temporal
• El objetivo del Espacio de Señal es proporcionar una representación de la señal transmitida en función de los coeficientes de la base ortonormal. Partiendo de la representación de sm(t-kT)
• La señal transmitida resulta:
[ ]1
( ) ( )L
m ml ll
s t kT k t kTα ϕ=
− = −∑ [ ]
[ ][ ]
[ ]
1
2
:
m
mm
mL
kk
k
k
αα
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
s
[ ][ ]1
( ) ( ) ( )L
m k ml lk k l
s t s t kT k t kTα ϕ+∞ +∞
=−∞ =−∞ =
= − = −∑ ∑ ∑
15/09/2006 COM II T2-18
Modulaciones PAM en espacio de señal
• Base ortonormal:
– Modulaciones 2PAM
– Modulaciones 4PAM (bits equiprobables)
( )/ 211PAM: ( ) ; 1t T
TTt Lϕ −= Π =
1s2s 1α
d
( )1 2
2 1 2
214
db
db
s b
A T E
E
E E d
= = =
= − = − = −
= =
s
s s
1s 2s 1α
d
3s 4s( ) 3 18
4 1 2 5
23 2 2 5
254
3
2
b
db
s b
A T d E
E
E E d
= − = = =
= − = =
= =
s s
s s
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15/09/2006 COM II T2-19
Modulaciones PAM en espacio de señal (II)
– Modulaciones MPAM (bits equiprobables)
Se han utilizado las igualdades:
( )/ 211PAM: ( ) ; 1t T
TTt Lϕ −= Π =
( ) { }2 22 1 1212
2 ( 1) ( 1) ; ; 1, ; 2bm M b
m s bM Md d E E m M M− −
− −= = = ∈ =s
( ) 2 22 2 22 11 1 12 12 12
1 ; s
MEm M M M
s bM b bm
E d d E d− − − −
=
= = = =∑
( 1)2
1
MM M
mm +
=
=∑1
( 1)(2 1)26
1
MM M M
mm
−− −
=
=∑
15/09/2006 COM II T2-20
Modulaciones PPM en espacio de señal
• Modulaciones 2PPM
( ) ( )/ 4 3 / 41 11 2/ 2 / 2/ 2 / 2
2PPM: ( ) , ( ) ; 2t T t TT TT T
t t Lϕ ϕ− −= Π = Π =
21
22
/ 20 00
000
/ 2
db
db
A T E
EA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s
s
212s bE E d= =
1y
2y
1s
2s2 bd E=
bE
bE
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15/09/2006 COM II T2-21
Modulaciones Biortogonales en espacio de señal
• Base ortonormal modulaciones biortogonales:
( ) ( )/ 4 3 / 41 11 2/ 2 / 2/ 2 / 2( ) , ( ) ; 2t T t T
T TT Tt t Lϕ ϕ− −= Π = Π =
2122s bE E d= =
21 3
2
22 4
2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
db
db
db
db
EA T
EA T
EA T
EA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s s
s s1s
2s
1α
d
2α
4s
3s
15/09/2006 COM II T2-22
Determinación sistemática de una base: Gram-Schmidt
• Existe un procedimiento que permite generar una base generadora ortonormal a partir de las señales sm(t) (en general la base generadora no es única)
• Partiendo de la definición de la modulación:– Obtención del primer elemento:
– Obtención de los siguientes:
– El proceso finaliza cuando los nuevos elementos resultan nulos:
{ }1 2( ), ( ), , ( )Ms t s t s t
211 1 1
1
( )( ) ; ( )
s tt E s t dt
Eϕ
∞
−∞
= = ∫
1
1( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( )( )
l
l
l l l k kk
ll
t s t s t t t
tt
Eψ
ψ ϕ ϕ
ψϕ
−
=
= −
=
∑
( ) 0 ; La dimensión del espacio de señal es l t l L L Mϕ = > ⇒ ≤
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15/09/2006 COM II T2-23
• Obtención del primer elemento:
• Obtención del segundo:
• El resto de funciones resultan nulas:
Aplicación de Gram-Schmidt para modulaciones biortogonales
( ) ( )1
/ 4 3 / 41 1 11 1 / 2 / 2( ) ( ) t T t T
T TE T Tt s tϕ − −= = Π − Π
( )/ 212 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ; ( ) t T
TTt s t s t t t s t tψ ϕ ϕ ϕ −= − = = ∏
3 3 3 1 1 3 2 2
4 4 4 1 1 4 2 2
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 02
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0t s t s t t t s t t t
Lt s t s t t t s t t t
ψ ϕ ϕ ϕ ϕψ ϕ ϕ ϕ ϕ
⎫= − − =⇒ =⎬= − − = ⎭
15/09/2006 COM II T2-24
• Representación geométrica en la nueva base:
• Este ejemplo ilustra que la base generadora no es única (comparándolo con el ejemplo de la T2-21) ni por tanto los coeficientes
• Las distancias entre símbolos se mantienen en función de las energías medias (equivale a un cambio de coordenadas)
Aplicación de Gram-Schmidt para modulaciones biortogonales (II)
1s
2s
1α
d
2α3s
4s
21 3
2 42
200
00
2
db
db
E
E
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s s
s s
2122s bE E d= =
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15/09/2006 COM II T2-25
Resumen de la Representación Geométrica
• El análisis en el Espacio de la Señal permite sistematizar el análisis de las modulaciones de pulsos (PM)
• Modulaciones distintas que admitan la misma representación serán (en principio) equivalentes ⇒ El mismo comportamiento frente al ruido.
• Las bases de representación no son únicas aunque la distancia entre símbolos sí lo es:
• Se pueden utilizar procedimientos habituales en álgebra lineal para estudiar las propiedades de las modulaciones y obtener una base de forma sistemática (Gram-Schmidt)
f( )sd E=
15/09/2006 COM II T2-26
2.3 Receptor óptimo para PM en AWGN:Consideraciones previas
• La representación geométrica nos permite el diseño de receptores de forma general así como el análisis de sus prestaciones de probabilidad de error en función de la energía media por bit y la densidad espectral de ruido:
• Consideraremos que las señales que forman el alfabeto y la base generadora están definidas exclusivamente para
En este caso no hay solapamiento entre los distintos símbolos y la información correspondiente al símbolo k-ésimo se encuentra tan sólo en el intervalo
• De esta forma, y sin pérdida de generalidad consideraremos exclusivamente la detección del símbolo correspondiente a k=0
0f( / )bBER E N=
[0, )t T∈
[ )[ ] [ ]( ) ( ) ( ); , ( 1)m n m kn
s t s t nT s t kT t kT k T+∞
=−∞
= − = − ∈ +∑
{ } { }( ) ( ) 0; [0, ), 1, , , 1, ,m ls t t t T m M l Lϕ= = ∉ ∈ ∈
[ ), ( 1)t kT k T∈ +
[0]1
( ) ( ) ( ) ( )L
m m ml ll
s t s t s t tα ϕ=
= = = ∑
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15/09/2006 COM II T2-27
Receptor MAP
• En primer lugar se plantea el diseño del receptor Maximum a Posteriori (MAP) en el Espacio de Señal
)(ts)(thc +
)(tr
)(tw
)(1 ty
)(tyL
Det.
MAP
s1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
*( )l tϕ
( ).T∫⊗
)(ts)(thc ++
)(tr
)(tw
)(1 ty
)(tyL
Det.
MAP
s1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
*( )l tϕ
( ).T∫⊗
( ) ( )ch t tδ=
0[ ( )] 0; ( )2w
NE w t S f= =
( )
( )
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
l l m l
T T
l l m l
y t r d s w d
y T r d s w d
τ ϕ τ τ τ τ ϕ τ τ
τ ϕ τ τ τ τ ϕ τ τ
= = + ⇒
= = +
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )ms t s t=
Transforma la señal recibidaen el Espacio de la Señal
15/09/2006 COM II T2-28
Expresión vectorial
• Expresando la señal muestreada a la salida de los correladores (o filtros adaptados) de forma vectorial:
• Debe tenerse en cuenta que en esta ecuación vectorial, todos los términos son variables aleatorias:– sm es una v.a. multidimensional (vector aleatorio) caracterizado por
su probabilidad, Pr{sm}– n es una v.a. multidimensional (vector aleatorio) gaussiano– y es por tanto también una v.a. multidimensional
( )0 0
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T
l l l m l ml l
m
m
L mL L
y y T r d s w d
y
y
τ ϕ τ τ τ τ ϕ τ τ α β
α β
α β
= = = + = + ⇒
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫
y s n
15
15/09/2006 COM II T2-29
Caracterización estadística del vector de ruido
• Recordando la definición de cada componente del vector de ruido:
1
0
( ) ( ) ; T
l l
L
w t t dtβ
β ϕβ
⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ n
[ ] [ ]0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0T T
l l lE E w t t dt E w t t dtβ ϕ ϕ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
[ ] ( )
( ) [ ]0 0 02 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
l k l k
T
l k w l k
N N Nl k l k
E E w t t dt w d
E w t w t dtd R t t dtd
t t dtd d l k
β β ϕ λ ϕ λ λ
λ ϕ ϕ λ λ λ ϕ ϕ λ λ
δ λ ϕ ϕ λ λ ϕ λ ϕ λ λ δ
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
= − =
= − = = −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
15/09/2006 COM II T2-30
Caracterización estadística del vector de ruido (II)
• De forma compacta:
• Además se ha visto que las distintas componentes están incorreladas y (dado que son gausianas) esto implica que son independientes:
22(0, ) (0, )oN
l N Nβ σ=∼
( ) ( )2 2
200
1 1 122
( ) exp expl l
l l NNf β ββ πσ πσβ = − = −
( ) ( )
( ) ( )
1 2
22
1 0
0 00 0
2
/ 200
, ,.. 1 21
1 12
1
1
( ) ( , ,.. ) ( )
exp exp ( , )
exp
L l
L
ll l
L
L
L
L ll
LN
LN NN Nl
NN
f f f
N
β β β β
ββ
π π
π
β β β β
=
=
=
⎫= = =⎪
⎪⎪⎛ ⎞∑ ⎪⎜ ⎟− = − = ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪−⎪⎭
∏
∏
n
n
n
n 0 I∼
: Matriz cuadradade dimensión
L
LI
02
[ ]
[ ]L
NTL
E
E
= =
=
n 0 0
nn I
16
15/09/2006 COM II T2-31
Detector óptimo: Criterio MAP (Maximum a Posteriori)
• En criterio que consideramos para el diseño del receptor es el de decidir de entre todos los posibles símbolos transmitidos, aquel que maximiza su probabilidad “a posteriori” es decir una vez conocemos el vector y:
– La primera igualdad de obtiene directamente de la regla de Bayes:
– La segunda igualdad se desprende del hecho que fy(y) no depende del símbolo sm
{ } ( )( ) { } ( ) { }
( ) { }en donde el la función de máxi
|
m
ˆ argmax Pr | argmax Pr argmax | Pr
| a verosimilitud (ML) y
es la probabilidad "a priori" de cada símbolo
Pr
mm m m m
m m
m
ff
f
f
⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦m m m
yy
s s sy
y
y ss s y s y s s
y
y s s
s
{ } ( ) ( ) { }Pr | | Prm m mf f=y ys y y y s s
( ) ( )argmax ( ) arg max ( ) ; argmin ( ) arg min ( )xxx x
f x f x f x f x= =
15/09/2006 COM II T2-32
Detector óptimo: Criterio MAP (Maximum a Posteriori) (II)
• Si los símbolos son equiprobables el criterio ML y el MAP coinciden:
• Cálculo del criterio de diseño:– Se ha visto:– Por tanto, condicionado a que el símbolo sm ha sido transmitido,
el vector y resulta un vector gaussiano de media sm y covarianza igual que n:
{ } ( )|ˆ argmax Pr | argmax | : Criterio MLmm mf= =
m m
y ss s
s s y y s
m= +y s n
( )( )
( ) ( ) ( )
0 0
2
00
22
1/ 2
0 000
2 2
( )1| 1 1
1 1
( )1 1
| , ; ( , )
( | ) ( , | , ) ( | ) exp
exp exp
l ml
m
L
l mlml
L L
N Nm m L l ml
L Ly
m L m mL l ml NNl l
y
N NNN
N y N
f f y y f y α
π
α
ππ
α
α α α
=
−
= =
−−
= = = − =
⎛ ⎞∑⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∏ ∏y s
y s
y s s I
y s
∼ ∼
17
15/09/2006 COM II T2-33
Detector óptimo: Criterio MAP (Maximum a Posteriori) (III)
• Por tanto el diseño del receptor equivale a:
• Puesto que la expresión a maximizar el positiva y la función logaritmo es monótonamente creciente, es equivalente maximizar el logaritmo de la expresión anterior:
• Partiendo del conocimiento “a priori” de las probabilidades de cada símbolo y del vector recibido en el espacio de la señal y deberácalcularse esta expresión para todos los posibles símbolos trasmitidos y tomar el que la minimiza.
( ) { } ( ) ( ) { }2
/ 200
1|ˆ argmax | Pr argmax exp Prm
Lm m m mNNf
π
−⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦m m
y sy s
s ss y s s s
( ) ( ) { } { }( )
{ }( ) { }( )
2 2
/ 20 00
2 2
0 0
102ˆ argmax ln exp Pr argmax ln( ) ln Pr
argmax ln Pr argmin ln Pr
m mL
m m
Lm mN NN
m mN N
Nπ
π− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
m m
m m
y s y s
s s
y s y s
s s
s s s
s s
15/09/2006 COM II T2-34
Detector óptimo: Criterio MAP (Maximum a Posteriori) (IV)
• Casos particulares– En un entorno muy ruidoso la decisión tiende a tomar el símbolo
más probable “a priori”:
– Si los símbolos son equiprobables:
– En el receptor ML se opta por el símbolo que minimiza la distancia euclídea.
{ }( )2
0
2ˆ argmin ln Pr argminmm mN
−⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦m m
y s
s ss s y s
{ }( ) { }( ){ }
2
00 ˆSi entonces: argmin ln Pr argmax ln Pr
argmax Pr
mm mN
m
N −⎡ ⎤>> = − ≈ =⎢ ⎥⎣ ⎦
=m m
m
y s
s s
s
s s s
s
18
15/09/2006 COM II T2-35
Detector óptimo: Expresión alternativa
• El criterio MAP descrito anteriormente admite una expresión alternativa teniendo en cuenta:
• Por tanto:
• Que se puede traducir en una implementación alternativa (que no utiliza el concepto de Espacio de la Señal)
{ }( ) { }( )
{ }( ) { }( )
2 2
0 0
20 0
2 ,
2 2 2 20
ˆ argmin ln Pr argmin ln Pr
argmax , ln Pr argmax ( ) ( ) ln Pr
m m m
m m
m mN N
TN E N
m m m my t s t dt
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− + = − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
m m
m m
y s s y s
s s
s
s s
s s s
y s s s
2 2 22argmin argmin 2 , argmin 2 ,m m m m m⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = + − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
m m ms s sy s y s y s s y s
15/09/2006 COM II T2-36
)(ts)(thc +
)(tr
)(tw
ˆmsmaxm
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−
)(ts)(thc ++
)(tr
)(tw
ˆmsmaxm
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−
Detector óptimo: Expresión alternativa (II)
• En el caso de símbolos equiprobables:
{ }( )02 2 2
0 0
ˆ argmax ( ) ( ) ln Pr argmax ( ) ( )m m
T TE N E
m m my t s t dt y t s t dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
m ms ss s
19
15/09/2006 COM II T2-37
Comparación entre las implementaciones alternativas
)(tr ˆmsmaxm
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−
)(tr ˆmsmaxm
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
1( )s t
( ).T∫⊗ ⊕
1 / 2E−
( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−( )Ms t
( ).T∫⊗ ⊕
/ 2ME−
• La estructura en el Espacio de la señal basada en L correladores o filtros adaptados minimiza su número (L≤M)
)(tr
)(1 ty
)(tyL
ˆms1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
*( )l tϕ
( ).T∫⊗
2
minm
m−
s
y s
)(tr
)(1 ty
)(tyL
ˆms1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
1
* ( )tϕ
( ).T∫⊗
*( )l tϕ
( ).T∫⊗
2
minm
m−
s
y s
Receptores alternativos (símbolos equiprobables)
Espacio de la señal
15/09/2006 COM II T2-38
Elección de las zonas de decisión
• Se ha visto que la implementación del detector MAP requiere el cálculo para cada valor de y de:
• En la práctica, esta regla de decisión equivale a dividir el Espacio de la Señal recibida en regiones de decisión Rm de forma que:
{ }( ) { }( )2
0
0 2 2ˆ argmin ln Pr argmax , ln Prm mE Nm m mN
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦m m
y s
s ss s y s s
{ }( )02 2argmax , ln Prn
m
E Ni m m i⎡ ⎤∈ℜ ⇔ − + =⎣ ⎦s
y y s s s···
L∈y
mℜL
20
15/09/2006 COM II T2-39
Zonas de decisión para 2PAM
• Para 2PAM: Ambos símbolos tienen la misma energía, M=2, L=1
– De forma compacta lo expresaremos:
( ) { }( ) { }
1 11 1 1 11 1 1
2 21 2 1 21 1 2
; , ; Pr
; , ; Pr 1b b
b b
E y y E p
E y y E p
α α
α α
= = − = = − =
= = = = = −
s y s s
s y s s
{ }( )
{ }( ) { }( ){ }( ) ( ){ }
0
0 0
1 2
0 0
1 2
2 2
1 1 2 22 2,
1 12 2,
argmax , ln Pr
argmax , ln Pr , , ln Pr
argmax ln , ln 1
nE Nn n
N N
N Nb by E p y E p
⎡ ⎤− + =⎣ ⎦
= + + =
= − + + −
ms
s s
s s
y s s
y s s y s s
( ) ( )1
0
2
11 (1 ) 24
ln 0 si b
N ppE
y pγ−
<= = =
>
s
s 0
2ℜ1ℜ
γ1y
15/09/2006 COM II T2-40
Zonas de decisión para 4PAM
• Para 2PAM: Los símbolos no tienen la misma energía, M=2, L=1
• Suponiendo p=1/2:
( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }
218 181 11 1 1 11 1 15 5
2 22 21 2 1 21 1 25 5
22 23 31 3 1 31 1 35 5
18 184 41 4 1 41 1 45 5
; , ; Pr
; , ; Pr (1 )
; , ; Pr (1 )
; , ; Pr (1
b b
b b
b b
b b
E y y E p
E y y E p p
E y y E p
E y y E p
α α
α α
α α
α α
= = − = = − =
= = − = = − = −
= = = = = −
= = = = = −
s y s s
s y s s
s y s s
s y s s ) p
{ }( )2
0
2 2ˆ argmin ln Pr argmin argmin argminm
m mm mN d d−⎡ ⎤= − = − = =⎢ ⎥⎣ ⎦m m m m
y sys ys
s s s ss s y s
1s 2s 3s 4s
1ℜ 2ℜ 3ℜ 4ℜ
y
1−y s
2−y s 3−y s
4−y s
21
15/09/2006 COM II T2-41
Zonas de decisión para 2PPM
• Para 2PPM: Ambos símbolos tienen la misma energía, M=2, L=2
{ }( )
( ) ( ){ }
0
0 0
1 2
2 2
1 22 2,
argmax , ln Pr
argmax ln , ln 1
nE Nn n
N Nb by E p y E p
⎡ ⎤− + =⎣ ⎦
= + + −
ms
s s
y s s
( ) ( )1
0
2
11 2 (1 ) 22
ln 0 si b
N ppE
y y pγ−
>− = = =
<
s
s
{ }
{ }
1 1 1 11 2 12 1 1
2 2 1 21 2 22 2 2
/ 2 ; , ;Pr0 0
00, ;Pr 1
/ 2
bb
bb
A T E y y y E p
y y y E pEA T
α α
α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= = = + = = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s
s y s s
1ℜ
2ℜ
γ 1y
2y
γ−
15/09/2006 COM II T2-42
Zonas de decisión para señales biortogonales
• Para señales biortogonales, los cuatro símbolos tienen la misma energía, M=4, L=2
{ }
{ }
21 1 1 11 2 12 1 2 1
2 2 1 21 2 22 1 2 2
3 3 1 31 2 32 1 2
/ 2; , ;Pr
/ 2
/ 2; , ;Pr (1 )
/ 2
/ 2; ,
/ 2
bb b
b
bb b
b
bb
b
EA Ty y y E y E p
EA T
EA Ty y y E y E p p
EA T
EA Ty y y E y
EA T
α α
α α
α α
⎛ ⎞⎛ ⎞= = = + = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= = = + = + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ −−= = = + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s
s y s s
s y s { }
{ }
23
4 4 1 41 2 42 1 2 4
;Pr (1 )
/ 2; , ;Pr (1 )
/ 2
b
bb b
b
E p
EA Ty y y E y E p p
EA Tα α
= −
⎛ ⎞⎛ ⎞ −−= = = + = − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s
s y s s
22
15/09/2006 COM II T2-43
Zona de decisión para señales biortogonales (II)
• La regla de decisión para p=1/2:
{ }( ) { }( )2
0
0
22 2argmax , ln Pr argmin ln Pr argmin
argmin argmin
mn
m
E Nn n m mN
m d
−⎡ ⎤⎡ ⎤− + = − = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
= − =m m m
m m
y s
s s s
yss s
y s s s y s
y s
1s
2s3s
4s
Representación geométricapara la base de T2-21
2ℜ
1ℜ
3ℜ
4ℜ y
1−y s
2−y s
4−y s
3−y s
15/09/2006 COM II T2-44
Consideraciones sobre la dependencia temporal de los símbolos
• En toda esta sección referida al diseño del receptor se ha estudiado la detección del símbolo correspondiente a n=0
• En general el diseño del receptor debe considerarse para:
• Aplicándose de forma independiente para cada símbolo n de forma secuencial:
[ )[ ] [ ]( ) ( ) ( ); , ( 1)m k m nk
s t s t kT s t nT t nT n T+∞
=−∞
= − = − ∈ +∑
[0]1
( ) ( ) ( ) ( )L
m m ml ll
s t s t s t tα ϕ=
= = = ∑
( )l t nTϕ −
( 1)
(.)n T
nT
+
∫⊗ (( 1) )ly n T+( )r t
( 1)nt n T= +
( )l t nTϕ −
( 1)
(.)n T
nT
+
∫⊗ (( 1) )ly n T+( )r t
( 1)nt n T= +
( )ly t( )l T tϕ − ( )l ny t
( )r t
( 1)nt n T= +
( )ly t( )l T tϕ − ( )l ny t
( )r t
( 1)nt n T= +
Correlador Filtro Adaptado
23
15/09/2006 COM II T2-45
Consideraciones sobre la dependencia temporal de los símbolos (II)
• Las ecuaciones vectoriales básicas en el espacio de señal incorporan implícitamente una dependencia temporal:
Que se corresponden con la recepción de la señal:
y de sus correspondientes coeficientes representados por el vector y[n] en la base ortonormal:
{ }( ) { }( )2
0
0
[ ]2 2
[ ] [ ] [ ]
ˆ[ ] argmin ln Pr argmax [ ], ln Prm m
m
n E Nm m mN
n n n
n n−
= +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦m m
y s
s s
y s n
s s y s s
[ )[ ] ( ); , ( 1)m ns t nT t nT n T− ∈ +
{ }1 2( ), ( ), , ( )Lt nT t nT t nTϕ ϕ ϕ− − −
15/09/2006 COM II T2-46
2.4 Cálculo de la probabilidad de errorEl criterio MAP minimiza la probabilidad de error
• El primer lugar se demostrará que la probabilidad de error media en la decisión sobre el símbolo trasmitido se minimiza mediante el criterio MAP (o ML si los símbolos son equiprobables)– Recordando en primer lugar el criterio MAP y la definición de las
regiones:
– De esta forma la definición de regiones que se obtiene mediante el criterio MAP maximiza la siguiente expresión con respecto a cualquier otra posible partición:
( ) { }argmax | Prm
i m m if∈ℜ ⇔ =s
y y s s s
{ } ( ) { }ˆ argmax Pr | argmax | Prm m mf= =m ms s
s s y y s s
{ } { } { }1 1 ˆ
1 1
( | ) Pr max ( | ) Pr ( | ) Pr
ˆ
mm m
M M
m m m m m msm m
M ML
m mm m
f s s d f s s d f s s d= =∈ℜ ∈ℜ
= =
= ≥
ℜ = ℜ =
∑ ∑∫ ∫ ∫y y y
y y y y y y
∪ ∪
24
15/09/2006 COM II T2-47
El criterio MAP minimiza la probabilidad de error (II)
– Por tanto expresando la probabilidad de error utilizando un criterio arbitrario (correspondiente a otra partición en regiones):
– Se demuestra que ésta no puede ser menor que la que se obtiene utilizando el criterio MAP
{ } { }
{ } { }
{ }
1 1 ˆ
1 1ˆ ˆ
1
Pr( ) Pr ( | ) Pr ( | )
Pr 1 ( | ) 1 ( | ) Pr
1 ( | ) Pr Pr( )
m
m m
m
M M
m m m mm m
M M
m m m mm m
M
m m MAPm
e s P e s s f s d
s f s d f s s d
f s s d e
= = ∉ℜ
= =∈ℜ ∈ℜ
= ∈ℜ
= = =
⎡ ⎤= − = − ≥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
≥ − =
∑ ∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
∑ ∫
y
y y
y
y y
y y y y
y y
15/09/2006 COM II T2-48
Expresión general de la Probabilidad de error
• La probabilidad de error la expresaremos como promedio de las probabilidades de error para cada posible símbolo transmitido:
• Deberemos tener en cuenta que:– Es decir, condicionado a que el símbolo sm haya sido transmitido,
el vector y resulta un vector gaussiano de media sm y matriz de covarianza igual a la de n:
– Todos los cálculos de Pr(e) se transforman en el espacio de señal en el cálculo de una serie de integrales de una función gausiana (Ldimensional).
{ } { } { }1 1 1
Pr( ) Pr Pr( | ) Pr ( | ) Pr 1 ( | )m m
M M M
m m m m m mm m my y
e s e s s f s d s f s d= = =∉ℜ ∈ℜ
⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫ ∫y y y y
m= +y s n
( )
( ) ( )0
2
/ 2 00
2
1
| ,
( | ) exp mL
Nm m L
m NN
N
fπ
−= − y s
y s s I
y s
∼
25
15/09/2006 COM II T2-49
Probabilidad de error de 2PAM
• Para 2PAM (M=2, L=1)
( ) { }
( ) { }
0
0
1 11 1 1 2 2
2 21 2 2 2 2
; Pr ; y| ( , )2
; Pr 1 ; y| ( , )2
Ndb
Ndb
d E p N
d E p N
α
α
= = − = − = −
= = = = −
s s s
s s s
∼
∼
{ } { }
( ) ( )1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 2
1 1 1 1 2 1
Pr( ) Pr Pr( | ) Pr Pr( | )Pr( | ) (1 ) Pr( | )Pr( | ) (1 ) Pr( | )
| (1 ) |y y
e s e s s e sp s p sp y s p y s
p f y s dy p f y s dyγ
γ
γ γ∞
−∞
= + =
= ∉ℜ + − ∉ℜ == > + − < =
= + −∫ ∫
y y
( ) ( )1
0
2
11 (1 ) 24
ln 0 si b
N ppE
y pγ−
<= = =
>
s
s
0 22
N σ=
0
2ℜ1ℜ
γ1y
1s 2s
2 bd E=
15/09/2006 COM II T2-50
Probabilidad de error de 2PAM (II)• La expresión integral queda:
• En donde se utiliza:
• Si los bits son equiprobables:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
2 21 1
2 2
/ 22 2
/ 2
/ 2 / 21 1 1 11 12 22 2
1 12 22 2
/ 2 / 2
Pr( ) exp (1 ) exp
exp (1 ) exp
(1 )
d
d
y d y d
d d
e p dy p dy
p d p d
pQ p Q
γσ
γσ
γ
πσ πσσ σγ
λ λπ π
γ γσ σ
λ λ−
+
∞ + −
−∞
∞
−∞
+ − +
= − + − − =
= − + − − =
= + −
∫ ∫
∫ ∫
( )2122
( ) expx
Q x dλπ
λ∞
−∫
( ) ( )0
2/ 2Pr( ) bEdNe Q Qσ= =
1yd/2-d/2
1yd/2-d/2
( )1 1 1|yf y s ( )
1 1 2|yf y s
γ
26
15/09/2006 COM II T2-51
Probabilidad de error de 2PAM (símbolos equiprobables)
• Para 2PAM (M=2, L=1) con símbolos equiprobables
( )
( )
0
0
1 11 1 2 2
2 21 2 2 2
; y| ( , )2
; y| ( , )2
Ndb
Ndb
d E N
d E N
α
α
= = − = − −
= = =
s s
s s
∼
∼
( ) ( )1 1
1 11 22 2
1 11 1 2 22 2
1 11 1 1 22 2
01 1
1 1 1 1 2 12 20
Pr( ) Pr( | ) Pr( | )Pr( | ) Pr( | )Pr( 0 | ) Pr( 0 | )
| |y y
e e s e ss s
y s y s
f y s dy f y s dy∞
−∞
= + =
= ∉ℜ + ∉ℜ =
= > + < =
= +∫ ∫
y y
0 22
N σ=
1ℜ 2ℜ
1y
1s 2s
2 bd E=
2
1
1 0y><
s
s
15/09/2006 COM II T2-52
Probabilidad de error de 2PAM (símbolos equiprobables)(II)
• La expresión integral queda:
• En donde se utiliza:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 1
2 2
/ 22 2
/ 2
0
0/ 2 / 21 1 1 1 1 11 12 2 2 22 20
1 1 1 12 2 2 22 2
2/ 2 / 2 / 21 12 2
Pr( ) exp exp
exp expd
d
b
y d y d
Ed d dN
e dy dy
d d
Q Q Q Q
σ
σ
πσ πσσ σ
λ λπ π
σ σ σ
λ λ
∞ + −
−∞
∞ −
−∞
= − + − =
= − + − =
= + = =
∫ ∫
∫ ∫
( )2122
( ) expx
Q x dλπ
λ∞
−∫
( ) ( )0
2/ 2Pr( ) bEdNe Q Qσ= =
1ℜ 2ℜ
1y
1s 2s
2 bd E=
2
1
1 0y><
s
s( )
1 1 1|yf y s
27
15/09/2006 COM II T2-53
Probabilidad de error de MPAM
• Para MPAM (L=1) y suponiendo símbolos equiprobables (p=0.5)
• De la aplicación del criterio ML resultan las regiones:
• Ejemplo con M=4
• Regla de decisión general
( ) { } ( )0 0 212 2 2(2 1) ; Pr ; | , ; N Nd
m m m mMm M N σ= − − = =s s y s s∼
2argmin argmin argminn
n n n
m m n n d∈ℜ ⇔ = − = − = yss s s
y s y s y s
1s 2s 3s 4s
1ℜ 2ℜ 3ℜ 4ℜ
1γ 2γ 3γ
1
11 12 2( )
m
m
dm m m my γ
+
+
<− = = +
>
s
s
s s s
d
15/09/2006 COM II T2-54
Probabilidad de error de MPAM (II)
• Cálculo de la probabilidad de error para los símbolos extremos:
• Para los símbolos centrales:
( )( ) ( )
( )
21 1
21
1 1 2 2
21 1 1 11 1 1 1 12 22 2
2
Pr( | ) ( | ) exp exp
Pr( | )
d d
yy
dM
e f y dy dy d
Q eσ
πσ πσγ
σ
λ λ+∞ +∞ +∞
−
+
= = − = − =
= =
∫ ∫ ∫s
s
s s
s
( )( ) ( )( )( ) ( )
1
1 1
22 21 1
2 2
2
2
1 1 1 1
1 1 1 11 12 22 2
21 12 22
Pr( | ) ( | ) ( | )
exp exp
2 exp 2
m
m
dm
m m
dm
d
m y m y m
y y
d
e f y dy f y dy
dy dy
d Qσ
γ
γ
πσ πσσ σ
σπλ λ
−∞
−∞
−∞− −
−∞+
∞
= + =
= − + − =
= − =
∫ ∫
∫ ∫
∫
ss s
s
s s s
{ }m 2, ,M-1∈
28
15/09/2006 COM II T2-55
Probabilidad de error de MPAM (III)
• Cálculo de la probabilidad de error media:
• Recordando:
• Relación con la BER: Un símbolo equivale a b bits pero si se utiliza codificación Gray, y para probabilidades de error bajas, los errores tan sólo ocurren entre símbolos colindantes, que difieren entre si en tan sólo un bit. De esta forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 22 2 2 2
1Pr( ) Pr( | ) ( 2)2
Md d d dM
mM M Mm
e e s Q M Q Q Qσ σ σ σ−
=
= = + − + =∑
2 02 2112 2 ; sE NM
b b bE d σ−= = =
( ) ( )22 2
0 0
6 log62 2 2 21 1
Pr( ) b bE EMbM MM N M NM M
e Q Q− −− −
= =
( ) ( )22 2
0 2 0
6 log61 2 2 2 2log1 1
Si Pr( ) 1, Pr( ) b bE EMbM Mb bM N M M NM M
e BER e Q Q− −− −
<< = =
15/09/2006 COM II T2-56
Probabilidad de error de 2PPM
• Para 2PPM (M=2, L=2) suponiendo bits equiprobables
0 0
0 0
2 21 1 1 22 2
2 2 2 22 22 2
1 0/ 2 ; | , ( ,
De forma que
)0 10 00 0
00 0 0 1 0 ;
cada
| , ( , )0 1
/ 2
d dN Nb
N Nd d
b
A T E N N I
N N IEA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s
s y s s
∼
∼
0
1 2
22 2
| ( | )
y 0 (0 y
una de las componentes de es una v.a. gaussiana
de media respectivamente con varianza e independientes
en
)
tre si.
Nd d
y s y s
1ℜ2ℜ
1y
2y
1s
2s
d
2
1
2 1y y><
s
s1 1
2 1 1 1 2 22 2
2 1 1
Pr( ) Pr( | ) Pr( | )Pr( | )
e y y y yy y
= > + > =
= >
s ss
29
15/09/2006 COM II T2-57
Probabilidad de error de 2PPM (II)
• Cálculo de la probabilidad de error:
• Como y1 y y2 son v.a gaussianas e independientes su resta también serágaussiana. Denominando r a y1 - y2 condicionado a la transmisión del símbolo s1 sus estadísticas serán:
• Por tanto,
2 1 1 2 1 1Pr( ) Pr( | ) Pr( 0 | )e y y y y= > = − >s s
2 1 1 2 1 1 1 2 2
0 02 1 1 2 1 1 1 0
( ) ( | ) ( | ) ( | ) 0
( ) ( | ) ( | ) ( | )2 2
d dE r E y y E y E y
N NVAR r VAR y y VAR y VAR y N
= − = − = − = −
= − = + = + =
s s s
s s s
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
0 0
2 0
21 1 1 12 22 2 2
0
2
Pr( ) Pr( 0) exp expd
odN
b
o
rd
NN N
EdN
e r dr d Q
Q Q
π π
σ
λ λ∞ ∞
+⎛ ⎞= > = − = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =
∫ ∫
15/09/2006 COM II T2-58
Comparación entre 2PAM y 2PPM
• Hemos visto que:
( ) ( )22 2Pr( ) ; Pr( )b b
o o
E EPAM PPMN Ne Q e Q= =
1ℜ
2ℜ1y
2y
1s
2s2 bd E=2
1
2 1y y><
s
s
2PPM
1ℜ 2ℜ
1y
1s 2s
2 bd E=
2
1
1 0y><
s
s
2PAM
30
15/09/2006 COM II T2-59
Probabilidad de error de la modulación biortogonal
• Para modulaciones biortogonales (M=4, L=2) suponiendo bits equiprobables y utilizando la base de T2-21– Representación en el Espacio de la Señal:
1ℜ
2ℜ1y
2y
1s
2s
2 bd E=
4s
3s
3ℜ
4ℜ
15/09/2006 COM II T2-60
Probabilidad de error de la modulación biortogonal (II)
• Formalmente:
0 0
0 0
2 21 1 1 22 2
2 2
2 22 2 22
2 2
/ 2 1 0 ; | , ( , )
0 1/ 2
/ 2 1 0 ; | , ( ,
0 1/ 2
d db N N
d db
d db N N
d db
EA TN N I
EA T
EA TN N
EA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −−− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s
s y s s
∼
∼
0 0
0
22
2 23 3 3 22 2
2 2
2 24 4 2
2 2
)
/ 2 1 0 ; | , ( , )
0 1/ 2
/ 2 1 0 ; | ,
0 1/ 2
d db N N
d db
d db N
d db
I
EA TN N I
EA T
EA TN
EA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s
s y s
∼
∼ 04 22( , )NN I= s
31
15/09/2006 COM II T2-61
Probabilidad de error de la modulación biortogonal (III)
• Por simetría, la probabilidad de error para cada símbolo será la misma por lo que se calculará para uno de ellos, por ejemplo s2:
• Resulta más fácil calcular la probabilidad de que no ocurra error:
0 02 22 2 2 22 2
2 2
/ 2 1 0 ; | , ( , )
0 1/ 2
d db N N
d db
EA TN N I
EA T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s y s s∼
2 2
2 2 2Pr( | ) ( | ) 1 ( | )y y
e f d f s d∉ℜ ∈ℜ
= = −∫ ∫s y s y y y
4
21
1Pr( ) Pr( | ) Pr( | )4 m
me e e
=
= =∑ s s
15/09/2006 COM II T2-62
Probabilidad de error de la modulación biortogonal (IV)
• La probabilidad de detección correcta es:
• Por tanto la probabilidad de error queda:
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
22
/ 200
2 2
2 21 2
2 2
0
12
2
/ 2 / 2 21 1 1 1 1 11 22 2 22 2 2
0 02
2
2221 1
2 22
2
( | ) exp
exp exp exp
1 exp 1 ( ) 1 2
L
b
NN
y d y d
d
EdN
d
f s d d
dy dy d
d Q Q
π
πσ πσ πσ σ
σ
σπ
σ
λ λ
λ λ
−
∈ℜ ∈ℜ
∞ ∞ ∞− −
−
∞
= − =
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − − = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
y s
y y
y y y( ) ( )
2 0
2 222 1 2
2
2/ 2 / 2
LN
y d y d
σ
⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥
− = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦y s
( ) ( )0 0
2Pr( ) 2 2 2b bE EN Ne Q Q= −
32
15/09/2006 COM II T2-63
Aproximaciones de la Probabilidad de Error
• Existen modulaciones para las cuales el cálculo integral de la prob. de error puede resultar muy complejo. Se recurre a expresiones aproximadas.– Cota de la unión. Para el caso de símbolos equiprobables se tiene:
1
1P( ) ( | )
M
mMm
e P e s=
= ∑
1y
2y
1s
2s
4s
3s
24d
23d
21d
Para cada uno de ellos la cota se puede aproximar (de forma pesimista) por la probabilidad de error dos a dos(pairwise)
( )
( ) ( )0 0
1;
2 21;
( | ) |
( 1)mi MIN
M
m i m mi i m
Md d
N Ni i m
P e P
Q M Q
= ≠
= ≠
≤ − < − =
= ≤ −
∑
∑
s y s y s s
15/09/2006 COM II T2-64
Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales
• Un ejemplo en el que se aplica la cota de la unión es el caso de modulaciones en las que todos los símbolos son ortogonales entre sí(forman una base) . En este caso:
• Y la distancia entre símbolos es siempre igual a:
1 2
0 00 00 00 0 ; ;
0 0 0 0
s b
s bM
s b
E bEE bE
E bE
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s s s
12 1 2 22 2 logb b b b mnd bE bE bE E M d= − = + = = =s s
( ) ( )0022
( ) ( 1) ( 1) logMIN bd ENN
P e M Q M Q M≤ − = −
33
15/09/2006 COM II T2-65
Comparación de BER en modulaciones PM
• Caso PAM (símbolos equiprobables): ( )22
2 2 0
6log1 2 2log log 1
Pr( ) bEMMM M M NM
BER e Q−−
=
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
10-8
10-6
10-4
10-216M =
8M =
4M =
2M =BER
0/ (dB)bE N
15/09/2006 COM II T2-66
0 2 4 6 8 10 12 14 1610-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Comparación de BER en modulaciones PM (II)
• Comparación 2PAM-2PPM:
2-PPM
BER
0/ (dB)bE N
( ) ( )22 2Pr( ) ; Pr( )b b
o o
E EPAM PPMN Ne Q e Q= =
2-PAM 3dB
34
15/09/2006 COM II T2-67
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 1610-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Comparación de BER en modulaciones PM (III)
• Modulaciones M-ortogonales:
BER
0/ (dB)bE N
( )2
0
log( ) ( 1) bE MNP e M Q≤ −
16M =
8M =
4M =
2M =