Concavidad y convexidad

Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad

 

Tema

Recta  tangen te

Recta  normal

Crecimien to

Máximos  y  mín imos

Op timiz ación

Concavid ad

Pun to  de  in f lexión

Sitio

In icio

Def in ición   derivada

Derivadas  Inmed iatas

D.   Logarí tmicas

D.   Trig onométri cas

D.   T.   inversas

Otras  d erivadas

Ap l i caciones  derivadas

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f (x)  =  x3  −  3x  +  2

1.  Hal lamos  la  der ivada  segunda  y  calculamos  sus  raíces.

f ' ' (x)  =  6x  6x  =  0 x  =  0.

2.  Formamos  intervalos  abier tos  con  los  ceros  (raíces)  de  lader ivada  segunda  y  los  puntos  de  discontinuidad  (si   los  hubiese).

 

3.  Tomamos  un  valor   de  cada  intervalo,  y  hal lamos  el   s igno  quetiene  en  la  der ivada  segunda.

Si  f ''(x)  <  0  es  cóncava.

Si  f ''(x)  >  0  es  convexa.

Del   intervalo  (−  ∞,  0)  tomamos  x  =  −1,  por   ejemplo.

f ' ' (−1)  =  6(−1)  <  0  Cóncava.

Del   intervalo  (0,  ∞)  tomamos  x  =1,  por   ejemplo.

f ' ' (1)  =  6  (1)  >  0  Convexa.

4.  Escr ibimos  los  intervalos:

Convexidad:  (0,  ∞)

Ejercicios

Concavidad:  (−∞,  0)

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