conceitos básicos - inf2604 geometria computacional
TRANSCRIPT
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Conceitos BasicosINF2604 – Geometria Computacional
Waldemar [email protected]
Departamento de Informatica, PUC-Rio
W. Celes Conceitos Basicos 1
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Agenda
Apresentacao da disciplina
Geometria Afim
Geometria Euclidiana
Topologia
W. Celes Conceitos Basicos 2
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Apresentacao da disciplina
W. Celes Conceitos Basicos 3
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
INF2604 – Geometria Computacional
Topicos
I Conceitos basicos
I Polıgonos
I Fecho convexo (2D e 3D)
I Estruturas topologicas
I Triangulacao e Delaunay
I Diagrama de Voronoi
I Superfıcies
I Iso-superfıcies
I Simplificacao de malhas
I Geracao de malhas
W. Celes Conceitos Basicos 4
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
INF2604 – Geometria Computacional
Criterio de avaliacaoI Avaliacoes conceituais: 50
I ProvaI Exercıcios conceituais como bonus
I Avaliacoes praticas: 50I Trabalhos
I Exercıcios praticos como bonus
W. Celes Conceitos Basicos 5
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
INF2604 – Geometria Computacional
Bibliografia
I Discrete and Computational Geometry;S. L. Devadoss, J. O’Rourke, 2011
I Computational Geometry, 3rd edition;M. de Berg, O. Cheong, M. Kreveld, M. Overmars, 2008
I Computational Geometry in C, 2nd edition;J. O’Rourke, 1998
I Delaunay Mesh Generation;S Cheng, T. K. Dey, J. R. Shewchuk, 2013
I Polygon Mesh Processing;M. Botsch, L. Kobbelt, M. Pauly, P. Alliez, B. Levy, 2010
I Isosurfaces – Geometry, Topology & Algorithms;R. Wenger, 2013
W. Celes Conceitos Basicos 6
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Geometria Afim
W. Celes Conceitos Basicos 7
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
GrandezasI Escalares (α), pontos (p) e vetores (~v)
I Vetores com direcao e magnitude
Operacoes validas
α~v −→ ~v
~v ~v −→ ~v
p− p −→ ~v
p + ~v −→ p
I Note que nao sao validas:
α p
p + p
W. Celes Conceitos Basicos 8
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
GrandezasI Escalares (α), pontos (p) e vetores (~v)
I Vetores com direcao e magnitude
Operacoes validas
α~v −→ ~v
~v ~v −→ ~v
p− p −→ ~v
p + ~v −→ p
I Note que nao sao validas:
α p
p + p
W. Celes Conceitos Basicos 8
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Combinacao
I Combinacao afimI Ilegal:
p = α0p0 + α1p1, α0 + α1 = 1
I Legal:
p = p0 + α1(p1 − p0)
I Estendendo para 3 pontos:
p = p0 + α1(p1 − p0) + α2(p2 − p0)
W. Celes Conceitos Basicos 9
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Combinacao
I Combinacao afimI Ilegal:
p = α0p0 + α1p1, α0 + α1 = 1
I Legal:
p = p0 + α1(p1 − p0)
I Estendendo para 3 pontos:
p = p0 + α1(p1 − p0) + α2(p2 − p0)
W. Celes Conceitos Basicos 9
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Combinacao
I Combinacao afimI Ilegal:
p = α0p0 + α1p1, α0 + α1 = 1
I Legal:
p = p0 + α1(p1 − p0)
I Estendendo para 3 pontos:
p = p0 + α1(p1 − p0) + α2(p2 − p0)
W. Celes Conceitos Basicos 9
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Coordenadas homogeneas
I Ponto/Vetor na dimensao d e representado por uma(d + 1)-tupla
d = 1 : x −→ (x ,w) ou (w , x)
d = 2 : (x , y) −→ (x , y ,w) ou (w , x , y)
d = 3 : (x , y , z) −→ (x , y , z ,w) ou (w , x , y , z)
I Para pontos: w = 1I Para vetores: w = 0
I Logo: p − q naturalmente resulta em um vetor
W. Celes Conceitos Basicos 10
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Coordenadas homogeneas
I Ponto/Vetor na dimensao d e representado por uma(d + 1)-tupla
d = 1 : x −→ (x ,w) ou (w , x)
d = 2 : (x , y) −→ (x , y ,w) ou (w , x , y)
d = 3 : (x , y , z) −→ (x , y , z ,w) ou (w , x , y , z)
I Para pontos: w = 1I Para vetores: w = 0
I Logo: p − q naturalmente resulta em um vetor
W. Celes Conceitos Basicos 10
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Coordenadas homogeneas
I Ponto/Vetor na dimensao d e representado por uma(d + 1)-tupla
d = 1 : x −→ (x ,w) ou (w , x)
d = 2 : (x , y) −→ (x , y ,w) ou (w , x , y)
d = 3 : (x , y , z) −→ (x , y , z ,w) ou (w , x , y , z)
I Para pontos: w = 1I Para vetores: w = 0
I Logo: p − q naturalmente resulta em um vetor
W. Celes Conceitos Basicos 10
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Orientacao
I Operadores relacionais para pontos (<,=, >)I Orientacao de (d + 1) pontos na dimensao d
I PositivaI ZeroI Negativa
I Espaco bidimensional (d = 2)I Positiva: anti-horariaI Zero: colinearesI Negativa: horaria orient < p,q, r >=
∣∣∣∣∣∣∣1 px py
1 px py
1 px py
∣∣∣∣∣∣∣
Colinear
CCW + CW -
pp
p
qqq
q
r
r
r
W. Celes Conceitos Basicos 11
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Orientacao
I Operadores relacionais para pontos (<,=, >)I Orientacao de (d + 1) pontos na dimensao d
I PositivaI ZeroI Negativa
I Espaco bidimensional (d = 2)I Positiva: anti-horariaI Zero: colinearesI Negativa: horaria orient < p,q, r >=
∣∣∣∣∣∣∣1 px py
1 px py
1 px py
∣∣∣∣∣∣∣
Colinear
CCW + CW -
pp
p
qqq
q
r
r
r
W. Celes Conceitos Basicos 11
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
OrientacaoI Espaco tridimensional (d = 3)
I Positiva: parafuso com regra da mao direitaI Zero: coplanaresI Negativa: parafuso com regra da mao esquerda
orient < p,q, r, s >=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 px py pz
1 qx qy qz
1 rx ry rz
1 sx sy sz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
I Espaco unidimensional (d = 1)I Positiva: p precede qI Zero: p coincide com qI Negativa: q precede p
orient < p,q >=
∣∣∣∣∣ 1 px
1 qx
∣∣∣∣∣ = qx − px
W. Celes Conceitos Basicos 12
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
OrientacaoI Espaco tridimensional (d = 3)
I Positiva: parafuso com regra da mao direitaI Zero: coplanaresI Negativa: parafuso com regra da mao esquerda
orient < p,q, r, s >=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 px py pz
1 qx qy qz
1 rx ry rz
1 sx sy sz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣I Espaco unidimensional (d = 1)
I Positiva: p precede qI Zero: p coincide com qI Negativa: q precede p
orient < p,q >=
∣∣∣∣∣ 1 px
1 qx
∣∣∣∣∣ = qx − px
W. Celes Conceitos Basicos 12
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Geometria Euclidiana
W. Celes Conceitos Basicos 13
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Angulos, areas e distancias
I Produto interno
~u · ~v =d∑i
uivi
I Magnitude de vetor
‖~v‖ =√~v · ~v
I Normalizacao
v =~v
‖~v‖I Distancia entre dois pontos
‖p− q‖
W. Celes Conceitos Basicos 14
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Ortogonalidade
I Vetores ortogonais (perpendiculares)
~u · ~v = 0
I Projecao ortogonalI Dados ~u e v , tem-se:
~u = ~u1 + ~u2
onde: ~u1 ‖ v e ~u2 ⊥ v
I Calculo das componentes:
~u1 = ~u · v~u2 = ~u − ~u1
W. Celes Conceitos Basicos 15
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Ortogonalidade
I Vetores ortogonais (perpendiculares)
~u · ~v = 0
I Projecao ortogonalI Dados ~u e v , tem-se:
~u = ~u1 + ~u2
onde: ~u1 ‖ v e ~u2 ⊥ v
I Calculo das componentes:
~u1 = ~u · v~u2 = ~u − ~u1
W. Celes Conceitos Basicos 15
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Angulo entre vetores
I Angulo real
θ = cos−1 ~u · ~v‖~u‖‖~v‖ = cos−1(u.v), θ ∈ [0, π]
I Pseudo angulo
f (~u, ~v) = 1− cos θ = 1− cos−1(u.v), f (~u, ~v) ∈ [0, 2]
W. Celes Conceitos Basicos 16
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Angulo entre vetores
I Angulo real
θ = cos−1 ~u · ~v‖~u‖‖~v‖ = cos−1(u.v), θ ∈ [0, π]
I Pseudo angulo
f (~u, ~v) = 1− cos θ = 1− cos−1(u.v), f (~u, ~v) ∈ [0, 2]
W. Celes Conceitos Basicos 16
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Angulo entre vetores
Pseudo angulo como perımetro de quadradoI Imagem no intervalor (−4, 4]I Em especial, para ordenacao polarI Baixo custo computacional
Exercıcio:
I Implemente uma funcao para calcular o pseudo-angulo de um vetorusando apenas 3 comparacoes, 1 soma e 1 divisao.
I Implemente outra funcao que receba dois vetores e retorne opseudo-angulo dentre eles.
W. Celes Conceitos Basicos 17
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Angulo entre vetores
Pseudo angulo como perımetro de quadradoI Imagem no intervalor (−4, 4]I Em especial, para ordenacao polarI Baixo custo computacional
Exercıcio:
I Implemente uma funcao para calcular o pseudo-angulo de um vetorusando apenas 3 comparacoes, 1 soma e 1 divisao.
I Implemente outra funcao que receba dois vetores e retorne opseudo-angulo dentre eles.W. Celes Conceitos Basicos 17
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Areas e angulos
I Area de um triangulo (pqr)
Apqr =orient < p,q, r >
2
I Em d-dimensao:
A =orient < ... >
d!
I Angulo ∠pqr
sin θ =orient < p,q, r >
‖p− q‖ ‖r − q‖
W. Celes Conceitos Basicos 18
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Areas e angulos
Produto vetorial
~u × ~v = ‖~u‖ ‖~v‖ sin θ n
~u
~v~u ⇥ ~v
I Calculo via determinante
~u × ~v =
∣∣∣∣∣∣∣u1 v1 i
u2 v2 j
u3 v3 k
∣∣∣∣∣∣∣= (u2v3 − u3v2) i + (u3v1 − u1v2) j + (u1v2 − u2v1) k
I Angulo entre vetores
θ = sin−1 ‖u × v‖
W. Celes Conceitos Basicos 19
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Base ortonormal
I Dado vetor ~n, achar base ortonormal u v w , com ~n ‖ w
~nw
uv
w = n
u = w × i , onde i = [0 0 0]T
se: u · u < ε ⇒ u ‖ wentao: u = w × j
v = w × u
W. Celes Conceitos Basicos 20
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Base ortonormal
I Dado vetor ~n, achar base ortonormal u v w , com ~n ‖ w
~nw
uv
w = n
u = w × i , onde i = [0 0 0]T
se: u · u < ε ⇒ u ‖ wentao: u = w × j
v = w × u
W. Celes Conceitos Basicos 20
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Coordenadas baricentrica
I Sendo p1, p2 e p3 pontos nao colineares,um ponto p pode ser expresso na forma:
p = λ1p1 + λ2p2 + λ3p3
I λ1, λ2 e λ3 sao as coordenadas baricentricasdo ponto p em relacao a p1, p2 e p3.
λi =Ai
AT
p2p1
p3
p
A1A2
A3
W. Celes Conceitos Basicos 21
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Exercıcio
Considere um campo vetorial 2D representado de forma discretanos vertices de triangulos
I Interpolacao linear no interior do triangulo
p1
p2
p3
~v1
~v2
~v3
I Determine o ponto de singularidade, isto e, o ponto onde ~v = ~0
W. Celes Conceitos Basicos 22
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Topologia
W. Celes Conceitos Basicos 23
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Considere um conjunto de pontos X
X = {p ∈ Rd}
I Interior de X: int(X)
int(X) = {p ∈ X : Np ⊆ X}onde Np e uma vizinhanca local de p
I Fronteira de X: ∂X
∂X = cl(X)− int(X)
= {p ∈ cl(X) : Np * X}onde cl(X) e o fecho de X
X
int(X)
cl(X)
@X
W. Celes Conceitos Basicos 24
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Considere um conjunto de pontos X
X = {p ∈ Rd}
I Interior de X: int(X)
int(X) = {p ∈ X : Np ⊆ X}onde Np e uma vizinhanca local de p
I Fronteira de X: ∂X
∂X = cl(X)− int(X)
= {p ∈ cl(X) : Np * X}onde cl(X) e o fecho de X
X
int(X)
cl(X)
@X
W. Celes Conceitos Basicos 24
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Considere um conjunto de pontos X
X = {p ∈ Rd}
I Interior de X: int(X)
int(X) = {p ∈ X : Np ⊆ X}onde Np e uma vizinhanca local de p
I Fronteira de X: ∂X
∂X = cl(X)− int(X)
= {p ∈ cl(X) : Np * X}onde cl(X) e o fecho de X
X
int(X)
cl(X)
@X
W. Celes Conceitos Basicos 24
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Exemplos de X, int(X) e ∂X
I Cırculo em 2DI int(X) e o disco abertoI ∂X e a circunferencia
I Cırculo em 3DI int(X) = ∅I ∂X = X
W. Celes Conceitos Basicos 25
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Exemplos de X, int(X) e ∂X
I Cırculo em 2DI int(X) e o disco abertoI ∂X e a circunferencia
I Cırculo em 3DI int(X) = ∅I ∂X = X
W. Celes Conceitos Basicos 25
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Exemplos de X, int(X) e ∂X
I Cırculo em 2DI int(X) e o disco abertoI ∂X e a circunferencia
I Cırculo em 3D
I int(X) = ∅I ∂X = X
W. Celes Conceitos Basicos 25
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Interior e Fronteira
Exemplos de X, int(X) e ∂X
I Cırculo em 2DI int(X) e o disco abertoI ∂X e a circunferencia
I Cırculo em 3DI int(X) = ∅I ∂X = X
W. Celes Conceitos Basicos 25
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Homeomorfismo
I Correspondencia um a um contınua nos dois sentidos entredois espacos topologicos ou entre duas figuras geometricas
I Sejam X e Y subconjuntos de Rd ,existe a funcao µ : X→ Y homeomorfa, um a um contınua,e existe µ−1, tambem um a um contınua
W. Celes Conceitos Basicos 26
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
HomeomorfismoI Uma curva simples e homeomorfa ao intervalo unitario [0, 1]
I Uma curva simples fechada e homeomorfaa um disco unitario: {(x , y) : x2 + y2 = 1}
I Um cubo e homeomorfo a uma esfera
I Um cubo vazado e homeomorfo a um toro
W. Celes Conceitos Basicos 27
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
HomeomorfismoI Uma curva simples e homeomorfa ao intervalo unitario [0, 1]
I Uma curva simples fechada e homeomorfaa um disco unitario: {(x , y) : x2 + y2 = 1}
I Um cubo e homeomorfo a uma esfera
I Um cubo vazado e homeomorfo a um toro
W. Celes Conceitos Basicos 27
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
HomeomorfismoI Uma curva simples e homeomorfa ao intervalo unitario [0, 1]
I Uma curva simples fechada e homeomorfaa um disco unitario: {(x , y) : x2 + y2 = 1}
I Um cubo e homeomorfo a uma esfera
I Um cubo vazado e homeomorfo a um toro
W. Celes Conceitos Basicos 27
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
HomeomorfismoI Uma curva simples e homeomorfa ao intervalo unitario [0, 1]
I Uma curva simples fechada e homeomorfaa um disco unitario: {(x , y) : x2 + y2 = 1}
I Um cubo e homeomorfo a uma esfera
I Um cubo vazado e homeomorfo a um toro
W. Celes Conceitos Basicos 27
Apresentacao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia
Manifold
I Manifold de dimensao k (k-manifold) e um conjunto depontos cuja topologia local e a mesma que Rk
I Exemplos:I Uma curva simples fechada e 1-manifoldI A superfıcie de uma esfera e 2-manifold
I Manifold de dimensao k com fronteira e um conjunto depontos cuja topologica local e a mesma que Rk ouque um semi-espaco de Rk .
I ExemplosI Uma superfıcie 3D limitada e um 2-manifold com fronteiraI Uma esfera e um 3-manifold com fronteira
W. Celes Conceitos Basicos 28