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1
Concentration des contraintes
près d’entailles
Chapitre 3
A. Zeghloul
SOMMAIRE
� Introduction – Facteur de concentration de contraintes Kt
� Plaque trouée uniformément chargée
� Plaque trouée chargée en traction
� Gradient de contrainte le long de l’axe d’une entaille
� Gradient de contrainte le long du bord d’une entaille
� Influence de la géométrie et du chargement sur le facteur Kt
� Influence des contraintes résiduelles sur le facteur Kt
� Facteur Kt dans des structures complexes
� Rupture par clivage
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( )2
max max
t nomK
E
σσ ε =
t nomK σ
maxσ
resσ
( )σ σ ε=
( )2
t nomK
E
σσ ε⋅ =
maxε ε
• Procédure de détermination graphique des contraintes σmax et σres
• Le terme de droite de cette relation est connu.
On détermine ensuite graphiquement lavaleur de σmax à partir de la loi decomportement σ=σ(ε).
• Au point A d’intersection des deux courbesσ=σ(ε) et σ.ε , σmax et εmax satisfont larelation de comportement.
En absence de plasticité, la contrainte maximale est donnée par le point B.
La différence entre σmax et Ktσnom donne la contrainte résiduelle σres de compression
res A B A t nomKσ σ σ σ σ= − = −
Loi de comportement ( )E p EEσ σ ε ε− = −
300Au point 300 ( )
20A A
EA
Eσ ε= + −
( ) ( )2 2
300HN 300 ( )
20
t nom t nom
A A A
A
K KE
E E E
σ σσ ε σ
σ⋅ = ⇒ = + −
2 285 12500 0 323,62A A A MPaσ σ σ− − = ⇒ =1,62A
nom
Kσσ
σ= =
2
3,86tKK
Kσε = =
176, 4res A t nom resK MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −
Ai
TD7 : calculs de contraintes résiduelles
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300Au point 300 ( )
20A A
EA
Eσ ε= + −
( )2
300HN 300 ( )
20
t nom
A
A
KE
E E
σσ
σ⇒ = + −
2a) 2 et 200t nomK MPaσ= =
1,55A
nom
Kσσ
σ= = 2
2,57tKK
Kσε = =
2 285 8000 0 310,74A A A MPaσ σ σ− − = ⇒ =
89, 26res A t nom res
K MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −
2b) 3 et 200t nomK MPaσ= =
2 285 18000 0 338, 22A A A
MPaσ σ σ− − = ⇒ =
261,78res A t nom resK MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −1,69A
nom
Kσσ
σ= =
2
5,32tKK
Kσε = =
Ai
Facteur Kt dans les structures complexes
Les jonctions tubulaires des plateformes offshore sont des exemples de
structures complexes (figure ci-dessous). Ces plateformes sont constituées de
tubes soudés entre eux, constituant des jonctions tubulaires. Les intersections
complexes de ces jonctions représentent des discontinuités structurales
conduisant à de fortes concentrations de contrainte dans les cordons de soudure.
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Eoliennes Offshore - Allemagne
Ces jonctions tubulaires sont classées selon leur forme en types T, Y, K …
schématisés ci-dessous.
L’étude de ces jonctions nécessite un paramétrage indiqué ci-dessous pour une
jonction de type K qui correspond au cas le plus général.
Le manchon de la jonction étant encastré à ses deux extrémités, les chargement
appliqués sont également indiqués dans la figure ci-dessous.
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Les calculs du facteur Kt dans ces jonctions utilisent la technique des éléments
finis. La grande difficulté lorsqu’on modélise ces jonctions est la génération des
mailles dans les zones de discontinuités géométriques où les gradients de
contrainte sont importants. La montre figure ci-dessous montre un exemple.
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Des relations paramétriques très utilisées dans l’industrie offshore pour le calcul
du Kt dans les jonctions de type T, Y, X, K … sont proposées par Efthymiou et
Lloyd8. Ces relations utilisent les paramètres indiqués précédemment. Pour les
jonctions de type Y, les relations donnant le Ktau point de quartier du manchon,
sont:
Rupture par clivage
La rupture par clivage est une rupture fragile qui s’accompagne de très peu de
déformation plastique. Dans les matériaux métalliques, le clivage opère par
rupture des liaisons interatomiques dans une direction perpendiculaire au plan de
rupture. La figure ci-dessous montre l’amorçage d’une microfissure associée à la
rupture par clivage d’un carbure (particule fragile) selon le modèle de Smith9.
9Smith E, The nucleation and growth of microcracks in mild steel, Physical basis of yield and
fracture, pp. 36-46, 1966.
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Exemples de rupture par clivage
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La figure ci-dessous schématise ce type de rupture.
Pour calculer la contrainte de liaison atomique, il est nécessaire d’introduire la
distance interatomique r, puis de considérer la relation entre le déplacement des
atomes, autour de leur position d’équilibre r0, et la force appliquée. Cette force
est la somme d’une composante d’attraction en 1/r2 et d’une composante de
répulsion en -1/r9.
La contrainte de liaison est donc de la forme :
La contrainte théorique de clivage, notée σc, est la valeur maximale de σ sur la
courbe ci-dessous.
La contrainte de clivage σc est calculée par deux méthodes différentes.
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Première méthode
En utilisant la relation , il apparait que : E=7A
Soit finalement :14
c
Eσ ≈
Cette contrainte théorique de clivage est plus élevée de plusieurs ordres de
grandeur que la contrainte mesurée expérimentalement. En fait les défauts sous
forme de fissure ou d’entaille aiguë concentrent les contraintes dans leur
voisinage et provoquent ainsi des mécanismes d’amplification, si bien que la
contrainte locale qui correspond à la contrainte théorique de clivage est bien plus
élevée que la contrainte appliquée expérimentalement.
Deuxième méthode
Cette méthode utilise l’énergie de cohésion. Pour simplifier les calculs, on
assimile la courbe σ=σ(r) à une sinusoïde comme indiquée sur la figure suivante
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de la figure précédente) :
Lors de la rupture, deux surfaces sont créées ; on pose alors W=2γS où γS
est
l’énergie spécifique de création de surface, ce qui permet d’écrire
En éliminant α entre cette dernière relation et la relation
on obtient soit :
0
Sc
E
r
γσ =
Cette contrainte est elle aussi bien plus élevée que les valeurs expérimentales.
Valeurs de la contrainte théorique de clivage σth déduites de
0
Sc
E
r
γσ =
expth
c cσ σ>>
10
0 2 2 10r A m−≈ = ⋅ɺɺ
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( ) 1 2 1 2L a a
a aA
bσ σ σ
ρ = + = +
A l’extrémité d’un défaut de forme elliptique de longueur 2a et de rayon à
fond d’entaille ρ, la contrainte locale σL est donnée par :
Dans le cas d’une entaille très aiguë,
ρ<<a si bien que :
( ) 2L a
aAσ σ
ρ≈
Si on prend par exemple le rayon à fond d’entaille ρ de l’ordre d’une distance
interatomique r0, la contrainte locale devient :
0
( ) 2L a
aA
rσ σ≈
0
Sc
E
r
γσ ≈0
( ) 2L a
aA
rσ σ≈
La comparaison des deux relations établies précédemment :
Permet d’écrire la contrainte expérimentale de rupture par clivage σa
sous la forme suivante :
4
Sa
E
a
γσ ≈
Cette approximation n’est qu’une estimation de la contrainte de rupture
expérimentale par clivage puisqu’à l’échelle atomique, le milieu ne peut être
considéré comme continu. Des simulations numériques où les liaisons entre
atomes sont modélisées par des ressorts non linéaires, montrent que cette
contrainte est de la forme :S
a
E
a
γσ β≈1
où 12
β< <
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Intensification des contraintes à
l’extrémité de fissures
CFMR - Chapitre 4
A. Zeghloul
SOMMAIRE
� Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K
� Modes de sollicitation des fissures
� Approche de Westergaard
� Expression des champs de contrainte et de déplacement
� Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de
déplacement
� Mode de cisaillement anti-plan
� Principe de superposition
� Zone plastifiée à fond de fissure
� Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids
� Ténacité - FIC critique
� Approche énergétique de Griffith
� Lien entre énergie de Griffith et FIC K
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Introduction
1 2 1 2t
a aK
b ρ= + = +
max ( ) t aA Kσ σ=
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Le concept de FIC est présenté dans ce chapitre. Pour déterminer les champs des
contraintes et des déplacements à l’extrémité d’une fissure on utilise l’approche de
Westergaard qui s’appuie sur les potentiels complexes définissant la fonction d’Airy
introduits précédemment. Ces champs sont définis au voisinage immédiat de l’extrémité
d’une fissure.
Modes de sollicitation des fissures
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Approche de Westergaard
En élasticité plane, les contraintes dérivent d’une fonction de contrainte
biharmonique : la fonction d’Airy, notée A, dont l’expression en fonction des
potentiels complexes ϕ(z) et χ(z) est :
( )Re ( ) ( )A z z zϕ χ= +
Les contraintes sont données par :
( )( )
( )
Re 2 '( ) ''( ) ''( )
Re 2 '( ) ''( ) ''( )
Im ''( ) ''( )
x
y
xy
z z z z
z z z z
z z z
σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ
σ ϕ χ
= − −
⇒ = + + = +
( )4 Re '( )
2 2 ''( ) ''( )
y x
y x xy
z
i z z z
σ σ ϕσ σ σ ϕ χ
+ = − + = +
0 pour y xy
z z
z aσ σ
== = <
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( )( )
( )
Re 2 '( ) ''( ) ''( )
Re 2 '( ) ''( ) ''( )
Im ''( ) ''( )
x
y
xy
z z z z
z z z z
z z z
σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ
σ ϕ χ
= − − = + + = +
Les CL précédentes sur les lèvres de la fissure conduisent donc à :
( )( )
Re 2 '( ) ''( ) ''( ) 0 pour
Im ''( ) ''( ) 0
z zz z z z
z az z z
ϕ ϕ χϕ χ
=+ + = <+ =
2 '( ) ''( ) ''( ) imaginaire pur sur les lèvres
''( ) ''( ) réel pur
z z z zL
z z z
ϕ ϕ χϕ χ
+ +⇒ +
( )Re 2 '( ) ''( ) ''( )z z z zϕ ϕ χ⇒ = − −
1 21
22
et ses dérivées imaginaires avec sur 2
et ses dérivées réelles' '' ''
L
z
ϕ ϕ ϕϕϕϕ ϕ χ
+ =
= − −
( )Re 2 '( ) ''( ) ''( )z z z zϕ ϕ χ= − −
La fonction ϕ peut être décomposée en deux fonctions ϕ1 et ϕ2 comme suit :
2 2 1'( ) ' ( ) 2 ( )z z d z d zχ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − = − + − = − +
1( )z z dzχ ϕ ϕ⇒ = − + ∫ ( )Re ( ) ( )A z z zϕ χ= +
( )1ReA z z dzϕ ϕ ϕ⇒ = − + ∫
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( )1 1 1 2Re Re Im Im
III
AA
A z z dz dz y yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + = + +∫ ∫��������������
( )( )
( )
Re 2 ' '' ''
Re 2 ' '' ''
Im '' ''
x
y
xy
z
z
z
σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ
σ ϕ χ
= − − = + + = +
2' '' ''zϕ ϕ χ= − −
( )( )( )
1 2
1
2
Re ' 2 ' '' ''
Re ' '' ''
Im '' '' '
x
y
xy
z z
z z
z z
σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ
= + + − = + − = − −
z x iy
z x iy
= += −
1 1 2 2
1 1 2
1 2 2
Re ' Im '' 2 Re ' Im ''
Re ' Im '' Im ''
Re '' Re '' Im '
x
y
xy
y y
y y
y y
σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ
σ ϕ ϕ ϕ
= − + − = + + = − − −
Il apparait donc que le champ des contraintes [σ] est la somme de deux
champs [σ1] et [σ2] dérivant des fonctions d’Airy suivantes :
1 1
2
Re Im
Im
I
II
A dz y
A y
ϕ ϕ
ϕ
= +
=
∫Mode I
Mode II
Westergaard définit pour ces modes les fonctions analytiques suivantes :
1
2
( ) ' ( )
( ) ' ( )
I
II
Z z z
Z z i z
ϕϕ
= =
Re Im
Im Re
I I I
II II II
A Z y Z
A y iZ y Z
= +
= − = −
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Expressions des contraintes et des déplacements
par la méthode de Westergaard
Mode I d’ouverture
1 1 2 2
1 1 2
1 2 2
Re ' Im '' 2 Re ' Im ''
Re ' Im '' Im ''
Re '' Re '' Im '
x
y
xy
y y
y y
y y
σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ
σ ϕ ϕ ϕ
= − + − = + + = − − −
Expressions des contraintes
1comme '
IZϕ = ⇒
1 1
1 1
1
Re ' Im ''
Re ' Im ''
Re ''
x
y
xy
y
y
y
σ ϕ ϕσ ϕ ϕ
σ ϕ
= − = + = −
Re Im '
Re Im '
Re '
x I I
y I I
xy I
Z y Z
Z y Z
y Z
σσ
σ
= − = + = −
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Expressions des déplacements
2 (1 *) *
Loi de Hooke 2 (1 *) *
2
x x y
y y x
xy xy
µε υ σ υ σµε υ σ υ σ
µε σ
= − − = − − =
* en DP
avec * en CP
1
υ υυυ
υ
= = +
Re Im '
Re Im '
Re '
x I I
y I I
xy I
Z y Z
Z y Z
y Z
σσ
σ
= − = + = −
2 (1 2 *) Re Im ' 2 xx I I
uZ y Z
xµε υ µ ∂= − − =
∂2 (1 2 *) Re Imx I Iu Z y Zµ υ⇒ = − −
(1 *) *2
(1 2 *) Re Im '
y x
y
I IZ y Z
υ σ υ σµε
υ− −
= − +
Re Im '
Re Im '
Re '
x I I
y I I
xy I
Z y Z
Z y Z
y Z
σσ
σ
= − = + = −
Re Im
Im ' Re
I I
I I
Z Zy
Z Zy
∂ = ∂ ∂ = − ∂
�
Im
Im ' Re ( Re ) Re
I
I I I I
Zÿ
y Z y Z y Z Zy y
∂∂
∂ ∂= − = − +∂ ∂
2 2(1 *) Im ( Re )y
I I
uZ y Z
y y yµ υ
∂ ∂ ∂= − −∂ ∂ ∂
2 2(1 *) Im Rey I I
u Z y Zµ υ⇒ = − −
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Mode II - cisaillement plan
1 1 2 2
1 1 2
1 2 2
Re ' Im '' 2 Re ' Im ''
Re ' Im '' Im ''
Re '' Re '' Im '
x
y
xy
y y
y y
y y
σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ
σ ϕ ϕ ϕ
= − + − = + + = − − −
Expressions des contraintes
2comme ' IIiZϕ = − ⇒
2 2
2
2 2
2 Re ' Im ''
Im ''
Re '' Im '
x
y
xy
y
y
y
σ ϕ ϕσ ϕ
σ ϕ ϕ
= − = = − −
2 Im Re '
Re '
Re Im '
x II II
y II
xy II II
Z y Z
y Z
Z y Z
σσ
σ
= + = − = −
Expressions des déplacements
2 (1 *) *
Loi de Hooke 2 (1 *) *
2
x x y
y y x
xy xy
µε υ σ υ σµε υ σ υ σ
µε σ
= − − = − − =
2 2(1 *) Im Re ' 2 xx II II
uZ y Z
xµε υ µ ∂= − + =
∂
2 2(1 *) Im Rex II IIu Z y Zµ υ⇒ = − +
2 Im Re '
Re '
Re Im '
x II II
y II
xy II II
Z y Z
y Z
Z y Z
σσ
σ
= + = − = −
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11
(1 *) *2
2 *Im Re '
y x
y
II IIZ y Z
υ σ υ σµε
υ− −
= − −
2 Im Re '
Re '
Re Im '
x II II
y II
xy II II
Z y Z
y Z
Z y Z
σσ
σ
= + = − = −
Re ' Im
Im Re
II II
II II
Z Zy
Z Zy
∂ = ∂ ∂ = − ∂
�
Re
Re ' Im ( Im ) Im
II
II II II II
Zy
y Z y Z y Z Zy y
∂−∂
∂ ∂− = − = − +∂ ∂
2 (1 2 *) Re ( Im )y
II II
uZ y Z
y y yµ υ
∂ ∂ ∂= − − −∂ ∂ ∂
( )2 (1 2 *) Re Imy II IIu Z y Zµ υ⇒ = − − +
Expressions des contraintes et des déplacements
à partir du facteur d’intensité des contraintes
Re Im '
Re Im '
Re '
x I I
y I I
xy I
Z y Z
Z y Z
y Z
σσ
σ
= − = + = −
Sur le plan de la fissure (à y=0),
on a :
Re à 0
0
x y I
xy
Zy
σ σσ
= == =
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12
Les lèvres de la fissure étant non chargées, les CL sont :0
à 0 et
y xy
y z a
σ σ= = = <
Des deux relations précédentes, on déduit que :
0
à 0 et
x y xy
y z a
σ σ σ= = = = <
Re à 0
0
x y I
xy
Zy
σ σσ
= == =
Considérons à présent la contrainte σy seule. De part et d’autre des extrémités de
la fissure, elle est soit nulle, soit elle tend vers l’infini (Kt ö¶). Il s’ensuit que
la fonction ZI(z) doit être de la forme :
2 2
( )( )I
g zZ z
z a=
−
Avec g(z) fonction réelle pour y=0 et finie pour z=±a
Les conditions limites sont alors vérifiées puisque sur le plan de la fissure, on a :
2 2
1 imaginaire pur pour Re 0Iz a Z
z a< ⇒ =
−
2 2
1 réel pur pour Re I z a
z a
z a Zz a
+
−
→+
→−
> ⇒ →∞−
Les extrémités A et A’ jouent des rôles
identiques. On fait alors une translation
de repère avec pour origine A, ce qui
équivaut au changement de variable
suivant :
z aζ = −
ire θζ =Un point M sera repéré par rapport à A par :
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13
La fonction de contrainte de Westergaard s’écrit alors :
211 0 1 2
( )( ) avec ( )I
gZ z g
ζ ζ α α ζ α ζζ
= = + + + ⋅⋅⋅
0( )IZαζ
ζ≈
0 0lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( ) 2
I z a I IK z a Z z Zζπ πζ ζ πα→ →= − = =
( )2
II
KZ z
πζ=
( )2
IIII
KZ z
πζ=
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14
( ) avec 2
iII
KZ re θζ ζ
πζ= =
Re cos Im sin2 22 2
I II I
K KZ Z
r r
θ θπ π
= = −
3/ 2
1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin
2 2 2 2 22 2 2
I I II I I
K K KZ Z Z
r rr r
θ θπζ π π
= − = − =
1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22
II I I I I
K r rZ Z K Z K
θ θζπ ππ
= = =
Expressions des contraintes et des déplacements
A partir des expressions précédentes des dérivées et primitives de ZI , et en notant que :
2 sin cos2 2
y rθ θ=
on calcule les contraintes et les déplacements (schématisés ci-dessous) en se servant des
relations suivantes :
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15
Re Im '
Re Im '
Re '
x I I
y I I
xy I
Z y Z
Z y Z
y Z
σσ
σ
= − = + = −
2 (1 2 *) Re Imx I Iu Z y Zµ υ= − −
2 2(1 *) Im Rey I I
u Z y Zµ υ= − −
Re cos Im sin2 22 2
I II I
K KZ Z
r r
θ θπ π
= = − 1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22
II I I I I
K r rZ Z K Z K
θ θζπ ππ
= = =
3/ 2
1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin
2 2 2 2 22 2 2
I I II I I
K K KZ Z Z
r rr r
θ θπ ζ π π
= − = − =
3cos 1 sin sin
2 2 22
3cos 1 sin sin
2 2 22
3cos sin cos
2 2 22
Ix
Iy
Ixy
K
r
K
r
K
r
θ θ θσπ
θ θ θσπ
θ θ θσπ
= −
= +
=
2
2
2cos 1 2 * sin
2 2 2
2sin 2(1 *) cos
2 2 2
Ix
Iy
K ru
K ru
θ θυµ π
θ θυµ π
= − +
= − −
On a bien en mode I une discontinuité du déplacement selon y, uy(p)=-uy(- p)
3sin 2 cos cos
2 2 22
3sin cos cos
2 2 22
3cos 1 sin sin
2 2 22
IIx
IIy
IIxy
K
r
K
r
K
r
θ θ θσπ
θ θ θσπ
θ θ θσπ
= − +
=
= −
2
2
2sin 2(1 *) cos
2 2 2
2cos 1 2 * sin
2 2 2
IIx
IIy
K ru
K ru
θ θυµ π
θ θυµ π
= − +
= − −
On a bien en mode II une discontinuité du déplacement selon x, ux(p)=-ux(- p)
Mode II - cisaillement plan
2 Im Re '
Re '
Re Im '
x II II
y II
xy II II
Z y Z
y Z
Z y Z
σσ
σ
= + = − = −
2 2(1 *) Im Rex II IIu Z y Zµ υ= − +
( )2 (1 2 *) Re Imy II IIu Z y Zµ υ= − − +
Re cos Im sin2 22 2
II IIII II
K KZ Z
r r
θ θπ π
= = − 1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22
IIII II II II II
K r rZ Z K Z K
θ θζπ ππ
= = =
3/ 2
1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin
2 2 2 2 22 2 2
II II IIII II II
K K KZ Z Z
r rr r
θ θπζ π π
= − = − =
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18
TD8 : Fissure sollicitée en mode I
Corrigé du TD8
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20
TD9 : Calcul du FIC K à partir de la fonction de Westergaard
2a
σ ∞
σ ∞
I- Montrer que la fonction de Westergaard suivante décrit
bien le chargement indiqué où la plaque infinie comporte une
fissure de longueur 2a. Calculer le FIC KI à l’extrémité x=a
2 2I
zZ
z a
σ ∞
=−
( )
2
32 22 2 2
'I
zZ
z a z a
σ σ∞ ∞
= −− −
Re Im 'y Z y Zσ = +
lim Iz
Z σ ∞
→∞= 'lim 0
Iz
Z→∞
= CL vérifiéey
zσ σ ∞
→∞=
lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( )( )( )
I Iz a z a
zK z a Z z z a
z a z aπ σ π∞
→ →= − = −
− +
IK aσ π∞⇒ =
Corrigé du TD9
17/11/2016
21
b
x
y
2a
P
P
2 2
2 2 avec force concentrée en
( )I
P a bZ P z b
z b z aπ−= =
− −
b
x
y
2a
P
P
bP
P
Chargement 1
Chargement 2
1- Montrer que la fonction de Westergaard ZI décrit bien le chargement 1
2- calculer le FIC KI à l’extrémité x=a
3- Déterminer la fonction de Westergaard du chargement 2
4- Calculer le FIC KI du chargement 2 à l’extrémité x=a
5- Calculer à partir de 4- le FIC KI à l’extrémité x=a pour le chargement 3 où
σ est une contrainte répartie.
6- Montrer à partir de 4- que la fn de Westergaard du chargement 3 est :
b
x
y
2a
σb
σ
σ
σ
Chargement 3
II- Soit le chargement 1 d’une plaque infinie fissurée dont la
fonction de Westergaard associée est:
2 21 1
2 22 2
2( ) cos cot
z az b bZ z
a z a bz a
σπ
− − − = − − −
Re Im 'y Z y Zσ = +
2 2
2 2( )
I
P a bZ
z b z aπ−=
− −
Lorsque point d'application de la charge concentrée,
( )I
z b
iPZ
z bπ
→
=−
1
0 0
La force concentrée est donnée par
lim lim Re
y
b b
y yy y
b b
P
P iP e dx dx
x b iy
ε ε
ε ε
σπ+ +
+ +
→ →− −
= = − +
∫ ∫ 2 20
lim( )
b
yy
b
P yP dx
x b y
ε
επ +
+
→−
=− +∫
0 0
2 2lim arctan lim arctan
2
b
yy y
b
P x b P PP P
y y
ε
ε
ε ππ π π+ +
+
→ →−
−= = = =
CL bien vérifiée
1- Montrer que la fonction de Westergaard ZI décrit bien le chargement 1
Corrigé du TD9 suite