concept du cours - igmigm.univ-mlv.fr/~biri/enseignement/mii2/tdpdf/synthesei_1.pdf · 2 venceslas...
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Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée
Synthèse d'images ISynthèse d'images I
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Concept du coursConcept du cours
Conception des images de synthèseConception des images de synthèse–– D'un point de vue théoriqueD'un point de vue théorique–– Comprendre pour apprendreComprendre pour apprendre
Le domaine des images de synthèseLe domaine des images de synthèse–– Où en est on ? A quoi ça sert ? Dans quel Où en est on ? A quoi ça sert ? Dans quel
domaine ?domaine ?–– Comment les fabrique t'on ?Comment les fabrique t'on ?
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Concept du coursConcept du cours
Ce que vous apprendrezCe que vous apprendrez–– Outils mathématiques de l'imageOutils mathématiques de l'image–– Fondement de la synthèse d'imagesFondement de la synthèse d'images–– Les algorithmes de renduLes algorithmes de rendu
•• A la base d'A la base d'OpenGLOpenGL–– Le pipeline graphiqueLe pipeline graphique–– La modélisation des objetsLa modélisation des objets
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Concept du coursConcept du cours
Ce que vous n'apprendrez pasCe que vous n'apprendrez pas–– Les logiciels de modélisation 3DLes logiciels de modélisation 3D
•• 3DSmax, maya, 3DSmax, maya, blenderblender ……•• Vu dans d'autres coursVu dans d'autres cours
–– Les algorithmes d'illumination globaleLes algorithmes d'illumination globale•• Vu en 2ème annéeVu en 2ème année
–– L'animation complexeL'animation complexe•• Vu en 3ème annéeVu en 3ème année
–– La conception artistiqueLa conception artistique
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Méthodologie du coursMéthodologie du coursUn support de cours succinct Un support de cours succinct –– Reprend les équations et les grands titresReprend les équations et les grands titres–– Il faut noter et écouter en coursIl faut noter et écouter en cours–– N'hésitez pas à poser des questionsN'hésitez pas à poser des questions–– Un support de cours distinctUn support de cours distinct
12*2h de CM12*2h de CM–– Complété par 12*2h de TD avec M. Complété par 12*2h de TD avec M. BoulenguezBoulenguez
•• Application avec Application avec glutglut
Ce semestre :Ce semestre :–– En TD : images 2D + lancer de rayonsEn TD : images 2D + lancer de rayons–– En CM : Tout sur la modélisation et les rendus simplesEn CM : Tout sur la modélisation et les rendus simples
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Plan du coursPlan du cours
I.I. IntroductionIntroductionII.II. Les mathématiques de l'imageLes mathématiques de l'imageIII.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage
Fabriquer une image de synthèse :Fabriquer une image de synthèse :
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Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée
La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
I. IntroductionI. Introduction
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Plan du coursPlan du cours
I.I. IntroductionIntroduction1.1. État des lieuxÉtat des lieux2.2. La réalitéLa réalité3.3. Domaine et applicationDomaine et application
II.II. Les mathématiques de l'imageLes mathématiques de l'imageIII.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage
Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée
La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
I. IntroductionI. Introduction1. État des lieux1. État des lieux
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EtatEtat des lieuxdes lieuxHistorique du rendu Historique du rendu –– La visualisation d'image apparaît tardivement dans La visualisation d'image apparaît tardivement dans
l'histoire de l'informatique (ligne année 50, l'histoire de l'informatique (ligne année 50, annéeannée 6060--70)70)–– Initialement, dessin vectorielInitialement, dessin vectoriel
•• Recréation de dessin à partir d'outils (tracer une droite…)Recréation de dessin à partir d'outils (tracer une droite…)•• À cause des problèmes de mémoire, de vitesse de À cause des problèmes de mémoire, de vitesse de
processeurprocesseur–– Puis affichage d'images :Puis affichage d'images :
•• Images de fondImages de fond•• Dans les jeux : des Dans les jeux : des spritessprites mobilesmobiles
–– Calcul direct de scènes 3D :Calcul direct de scènes 3D :•• QuakeQuake est le premier jeu en 3D intégral (1997)est le premier jeu en 3D intégral (1997)
–– Apparition de véritables moteurs de rendu physiqueApparition de véritables moteurs de rendu physique•• HalfHalf LifeLife
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EtatEtat des lieuxdes lieux
Quelques exemples sur l'état des lieux par Quelques exemples sur l'état des lieux par domainedomaine
Capacité temps réel :Capacité temps réel :–– Rendu pur : 1 à 2 millions de pointsRendu pur : 1 à 2 millions de points–– > 10 millions de pixels> 10 millions de pixels
Mais …Mais …–– Confrontation Temps réel Confrontation Temps réel ⇔⇔ RéalismeRéalisme
jeu vidéojeu vidéo filmfilm applicationapplication
dernière technodernière technocarte graphiquecarte graphique
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La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
I. IntroductionI. Introduction2. Partons de la réalité2. Partons de la réalité
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L'image "réelle"L'image "réelle"
La formation d'une image :La formation d'une image :
La projectionLa projection
Source lumineuseSource lumineuse
Interaction Interaction lumière matièrelumière matièreL'espace desL'espace des
couleurscouleurs
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L'image "réelle"L'image "réelle"Les sources de lumière :Les sources de lumière :–– Sans elles, pas d'image !Sans elles, pas d'image !–– Souvent contiennent toutes Souvent contiennent toutes
les couleursles couleurs–– Naturelles ou artificiellesNaturelles ou artificielles
•• Lumières naturelles : soleil, Lumières naturelles : soleil, ciels, feux …ciels, feux …
Difficile à quantifierDifficile à quantifierRiche en couleurRiche en couleur
•• Lumières artificielles :Lumières artificielles :Mieux connuesMieux connuesCaractéristiques Caractéristiques quantifiablesquantifiables
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L'image "réelle"L'image "réelle"
Interaction lumière matière :Interaction lumière matière :–– Les rayons lumineux entre dans la matière !Les rayons lumineux entre dans la matière !–– Certains ressortent, d'autres nonCertains ressortent, d'autres non
•• Dépend de la longueur d'onde des rayonsDépend de la longueur d'onde des rayons•• Donne la couleur à l'objet !Donne la couleur à l'objet !
AbsorptionAbsorption
RéflexionRéflexion
MatériauxMatériaux
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L'image "réelle"L'image "réelle"La projectionLa projection–– Faire une image c'est projeter le monde sur un plan ou la Faire une image c'est projeter le monde sur un plan ou la
rétinerétine–– Passage de la 3 dimension à la 2 dimensionPassage de la 3 dimension à la 2 dimension–– Plusieurs façons de projeter :Plusieurs façons de projeter :
•• Projection orthographiqueProjection orthographique
•• Projection perspectiveProjection perspective
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L'image "réelle"L'image "réelle"L'espace des couleursL'espace des couleurs–– Dans l'œil :Dans l'œil :
•• Iris + corné + cristallinIris + corné + cristallinAppareil de prise de vueAppareil de prise de vueAppareil optiqueAppareil optique
•• Rétine :Rétine :C'est la pellicule !C'est la pellicule !Cônes : pour les Cônes : pour les couleurscouleursBâtonnets : pour Bâtonnets : pour l'intensité lumineusel'intensité lumineuse
•• Cônes : 3 fonctions de Cônes : 3 fonctions de réceptionréception
–– On travaille en RVB !On travaille en RVB !
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L'image de synthèseL'image de synthèse
Les images de synthèse :Les images de synthèse :–– On tente de recréer le processus précédentOn tente de recréer le processus précédent–– Tout est calculé sur ordinateurTout est calculé sur ordinateur
•• Affichage via l'écran toujours en RVBAffichage via l'écran toujours en RVB–– Importance des modèlesImportance des modèles
•• D'éclairageD'éclairage•• D'interaction avec la matièreD'interaction avec la matière•• De projectionDe projection•• De choix des couleursDe choix des couleurs
–– De nombreux autres facteurs interviennentDe nombreux autres facteurs interviennent•• Dépend des applicationsDépend des applications•• Ex : Contrainte temps réel, fidélité des calculs …Ex : Contrainte temps réel, fidélité des calculs …
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La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
I. IntroductionI. Introduction3. Domaines et applications3. Domaines et applications
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Domaines & applicationsDomaines & applicationsPermet de simuler un univers virtuelPermet de simuler un univers virtuelNombreuses applications Nombreuses applications –– Simulateurs (conduites, centrales Simulateurs (conduites, centrales
nucléaires…)nucléaires…)•• Étude des comportements humainsÉtude des comportements humains
–– Modélisation et visualisation scientifiqueModélisation et visualisation scientifique•• Simuler sans expérimenter (moindre coût)Simuler sans expérimenter (moindre coût)•• Mieux comprendre les résultats des Mieux comprendre les résultats des
expériencesexpériences–– Domaine médicalDomaine médical
•• Aider / guider les chirurgiens dans leur gesteAider / guider les chirurgiens dans leur geste•• Adapter des applications à des handicapésAdapter des applications à des handicapés
–– CAO & IndustrieCAO & Industrie•• Visualisation pour le design, contrainte Visualisation pour le design, contrainte
matérielles matérielles
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Domaines & applicationsDomaines & applicationsNombreuses applications Nombreuses applications –– Jeux vidéoJeux vidéo
•• Simuler pour divertir. ImmersionSimuler pour divertir. Immersion–– Réalité virtuelleRéalité virtuelle
•• Nouvelle application innovanteNouvelle application innovante–– Effets spéciaux au cinémaEffets spéciaux au cinéma
•• CompositingCompositing d'imaged'image–– ArchitectureArchitecture
•• Résistance des matériauxRésistance des matériaux•• Simulation des transferts de chaleurSimulation des transferts de chaleur•• Visualisation du bâtiment fini sur le siteVisualisation du bâtiment fini sur le site
–– Internet 3D …Internet 3D …
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Domaines & applicationsDomaines & applicationsProblématique différente suivant les domainesProblématique différente suivant les domaines–– Jeux vidéo : Jeux vidéo :
•• le temps réelle temps réel–– Réalité virtuelle : Réalité virtuelle :
•• interactivitéinteractivité–– Visualisation scientifique : Visualisation scientifique :
•• Fidélité au modèle physiqueFidélité au modèle physique•• Gérer de grandes quantités de donnéesGérer de grandes quantités de données
–– CAO et industrieCAO et industrie•• Gérer de grandes quantités de donnéesGérer de grandes quantités de données•• Extraire les bons modèles / Extraire les bons modèles /
les bons paramètresles bons paramètres–– SimulateursSimulateurs
•• Respecter au plus proche le réalisme cognitifRespecter au plus proche le réalisme cognitif
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Domaines & applicationsDomaines & applicationsProblématique différente suivant les domainesProblématique différente suivant les domaines–– Domaine médical :Domaine médical :
•• Sécurité de l'applicationSécurité de l'application•• Aide au chirurgienAide au chirurgien
–– Effets spéciaux au cinéma :Effets spéciaux au cinéma :•• Cohérence des images (Cohérence des images (compositingcompositing))•• RéalismeRéalisme
–– Architecture :Architecture :•• Coller au modèle physiqueColler au modèle physique•• EsthétismeEsthétisme
–– Internet 3D :Internet 3D :•• Compréhension des donnéesCompréhension des données
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Domaines & applicationsDomaines & applications
jeux vidéojeux vidéo
Visu scientifiqueVisu scientifique
ArchitectureArchitecture
SimulateursSimulateurs
CAOCAO
Réalité virtuelleRéalité virtuelle
Imagerie médicaleImagerie médicale
Effets spéciauxEffets spéciaux
Internet 3DInternet 3D Temps réelTemps réel
RéalismeRéalisme
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UtilitéUtilité
Utilité : voir ce qui n'est pas !Utilité : voir ce qui n'est pas !–– Audiovisuel / effets spéciauxAudiovisuel / effets spéciaux
•• liberté narrativeliberté narrative–– CAOCAO
•• Prévoir avant de concevoirPrévoir avant de concevoir•• Minimisation des coûtsMinimisation des coûts
–– Jeux vidéoJeux vidéo•• Immersion dans des mondes oniriques / futuristeImmersion dans des mondes oniriques / futuriste•• Liberté narrative et d'actionLiberté narrative et d'action
–– Internet 3DInternet 3D•• Nouvelle représentation du monde et des donnéesNouvelle représentation du monde et des données•• Voir les donnéesVoir les données
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UtilitéUtilitéUtilité : voir ce qui n'est pas !Utilité : voir ce qui n'est pas !–– Visualisation scientifiqueVisualisation scientifique
•• Mieux comprendre les données / les modèlesMieux comprendre les données / les modèles•• Voir les comportementsVoir les comportements
–– SimulateurSimulateur•• Étudier les réactions humaines dans des circonstances Étudier les réactions humaines dans des circonstances
difficile à mettre en œuvredifficile à mettre en œuvre•• FormationFormation
–– ArchitectureArchitecture•• Proposer avant de construire. Voir les problèmes en amontProposer avant de construire. Voir les problèmes en amont•• Démocratie localeDémocratie locale
–– Application médicaleApplication médicale•• Agir de loin. Nouveaux outils. FormationAgir de loin. Nouveaux outils. Formation
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La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la géométriel'image et de la géométrie
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Plan du coursPlan du cours
I.I. IntroductionIntroductionII.II. Les mathématiques de l'image et de la 3DLes mathématiques de l'image et de la 3D
1.1. Espace vectorielEspace vectoriel2.2. Représentations de l'espace, des objetsReprésentations de l'espace, des objets3.3. Coordonnées homogènes et transformationsCoordonnées homogènes et transformations
III.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage
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La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la 3Dl'image et de la 3D
1. Espace vectoriel1. Espace vectoriel
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PPLignes, courbesLignes, courbes
SurfacesSurfaces
VolumesVolumes
DimensionsDimensions
OO
Tout point P se repèreTout point P se repèrepar sa distance aupar sa distance au
point Opoint O
⇒⇒ 1 paramètre pour avoir tous les points1 paramètre pour avoir tous les points⇒⇒ Dimension 1Dimension 1
axe 1axe 1OO
axe 2axe 2Tout point se repèreTout point se repère
par 2 paramètres à partirpar 2 paramètres à partird'un point centrald'un point central⇒⇒ Dimension 2Dimension 2
ici distances surici distances surles 2 axes les 2 axes
par rapport à Opar rapport à O
ici distances surici distances surles 3 axes les 3 axes
par rapport à Opar rapport à O
OO axe 1axe 1
axe 2axe 2
axe 3axe 3
Tout point se repèreTout point se repèrepar 3 paramètres à partirpar 3 paramètres à partir
d'un point centrald'un point central⇒⇒ Dimension 3Dimension 3
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DimensionsDimensionsDimension = nombre de paramètres Dimension = nombre de paramètres indépendantsindépendantspour représenter l'espace de travailpour représenter l'espace de travailEn synthèse d'images :En synthèse d'images :–– Dimension 1 :Dimension 1 :
•• Étude de trajectoire, Étude de trajectoire, splinespline ……–– Dimension 2 :Dimension 2 :
•• Surfaces (eau, terrain)Surfaces (eau, terrain)•• Textures & ImagesTextures & Images
–– Dimension 3 :Dimension 3 :•• Organisation des surfaces dans l'espaceOrganisation des surfaces dans l'espace•• Milieu participant, particulesMilieu participant, particules
–– Dimension 4 :Dimension 4 :•• Animation temporelleAnimation temporelle
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Espace vectorielEspace vectorielDéfinition :Définition :–– Un espace vectoriel Un espace vectoriel EE sur un corps K est un ensemble sur un corps K est un ensemble
d'éléments dénommés d'éléments dénommés vecteursvecteurs muni de deux lois, l'une muni de deux lois, l'une interne notée «interne notée « ++ », et l'autre externe notée «», et l'autre externe notée « •• », qui », qui vérifient des axiomesvérifient des axiomes
Corps (K,+,•)Corps (K,+,•)–– Ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des Ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des
soustractions, des multiplications et des divisionssoustractions, des multiplications et des divisions–– Appelé les Appelé les scalairesscalaires
Loi interne : Loi interne : ExEExE →→ EELoi externe : Loi externe : KxEKxE →→ EE
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Espace vectorielEspace vectoriel
Axiomes de la loi interne +Axiomes de la loi interne +–– la loi + est associativela loi + est associative
–– la loi + est la loi + est unifèreunifère
–– la loi + est la loi + est symétrisablesymétrisable
–– la loi + est commutativela loi + est commutative
( ) ( )wvuwvuEwvu rrrrrrrrr++=++∈∀ ,,,
ueuueEuEe rrrrrrr=+=+∈∀∈∃ ,,
e est appelé vecteur nul et noté 0e est appelé vecteur nul et noté 0
0,,rrrrrrr
=+=+∈∃∈∀ vuuvEvEuv peut aussi se noter v peut aussi se noter --uu
vuuvEvEu rrrrrr+=+∈∀∈∀ ,,
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Espace vectorielEspace vectoriel
Axiomes de la loi externeAxiomes de la loi externe ••–– L'unité de K (noté 1) est neutre à gauche :L'unité de K (noté 1) est neutre à gauche :
–– Elle est distributive à gauche par rapport à + :Elle est distributive à gauche par rapport à + :
–– Elle est Elle est exodistributiveexodistributive à droite par rapport à à droite par rapport à l'addition du corps K :l'addition du corps K :
–– Elle est Elle est exoassociativeexoassociative à droite par rapport à la à droite par rapport à la multiplication du corps K :multiplication du corps K :
uuEu rrr=∈∀ .1,
).().()(.,,, vuvuEvuK rrrrrr λλλλ +=+∈∀∈∀
).().(.)(,,, uuuEuK rrrr µλµλµλ +=+∈∀∈∀
).(..).(,,, uuEuK rrr µλµλµλ =∈∀∈∀
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Espace vectorielEspace vectoriel
J'ai rien compris !J'ai rien compris !–– C'est normal …C'est normal …–– Prenons le cas qui nous intéresse en synthèse Prenons le cas qui nous intéresse en synthèse
d'imagesd'images•• Notre cadre d'étude : l'espace réelNotre cadre d'étude : l'espace réel•• Espace euclidien (relativement petit !)Espace euclidien (relativement petit !)•• Dimension 3Dimension 3
–– Que trouve t'on dans l'espace réel ?Que trouve t'on dans l'espace réel ?•• Des points / des positionsDes points / des positions
Nécessite trois coordonnéesNécessite trois coordonnées•• Des vecteurs / des directionsDes vecteurs / des directions
Nécessite aussi trois coordonnéesNécessite aussi trois coordonnées
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Notion de vecteurNotion de vecteur
Vecteur :Vecteur :–– Ensemble de n coordonnéesEnsemble de n coordonnées
•• n = 2, 3 mais aussi 4, 10 000 etc.n = 2, 3 mais aussi 4, 10 000 etc.–– Dans l'espace 3D réel : ensemble de 3 Dans l'espace 3D réel : ensemble de 3
coordonnéescoordonnées•• Noté :Noté :
–– Représente une direction / un déplacementReprésente une direction / un déplacement•• Ex :Ex :
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
zyx
uuu
ur
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
502
ur = 2 unités sur l'axe 1 et 5 unités sur l'axe 5= 2 unités sur l'axe 1 et 5 unités sur l'axe 5
7
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Notion de vecteurNotion de vecteur
Attention à ne pas confondre point et Attention à ne pas confondre point et vecteur !vecteur !–– Même nombre de coordonnée mais objets Même nombre de coordonnée mais objets
différentsdifférents–– Vecteur non dépendant d'une "origine"Vecteur non dépendant d'une "origine"–– Vecteur insensible aux déplacementsVecteur insensible aux déplacements
décalage versdécalage versla droitela droite Le vecteur n'a Le vecteur n'a
pas changépas changé38
Espace vectorielEspace vectoriel
Revenons à notre espace vectorielRevenons à notre espace vectoriel–– Corps : Réel ( ) avec addition et multiplication Corps : Réel ( ) avec addition et multiplication
classiqueclassique–– Vecteur : triplet de coordonnées (dans )Vecteur : triplet de coordonnées (dans )–– Loi interne +Loi interne +
•• opération :opération :
•• élément neutre (nul) : élément neutre (nul) :
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=+=+=
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=+
zzz
yyy
xxx
z
y
x
z
y
x
vuwvuwvuw
wvvv
uuu
vu rrr
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
000
0r
ℜ
ℜ
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Espace vectorielEspace vectoriel
Revenons à notre espace vectorielRevenons à notre espace vectoriel–– Loi externe •Loi externe •
•• opération :opération :
•• élément neutre : 1 ...élément neutre : 1 ...
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
z
y
x
z
y
x
uuu
uuu
uλλλ
λλ .. r
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Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
A quoi correspondent les trois A quoi correspondent les trois coordonnées ?coordonnées ?Espace vectoriel : Espace vectoriel : –– une infinité de vecteur possible …une infinité de vecteur possible …
… mais pas toujours indépendants… mais pas toujours indépendants•• un vecteur peut s'obtenir comme somme de deux un vecteur peut s'obtenir comme somme de deux
autresautres
•• un vecteur peut être l'agrandissement d'un autre un vecteur peut être l'agrandissement d'un autre vecteurvecteur
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Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
Notion de combinaison linéaireNotion de combinaison linéaire–– Soit n scalaires : Soit n scalaires : –– Soit n vecteurs :Soit n vecteurs :–– Alors Alors
est une combinaison linéaireest une combinaison linéaireQuestion :Question :–– Existe t'il un ensemble Existe t'il un ensemble BB de vecteur tel que tout de vecteur tel que tout
vecteur puisse être représenté comme une vecteur puisse être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de combinaison linéaire de vecteurs de BB ??
),,( ,21 nλλλ K
),,,( 21 nuuu rK
rr
nn uuuv rK
rr ... 2211 λλλ +++=
⇒⇒ Réponse : Réponse : OUIOUI !! 42
Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
Base de vecteurBase de vecteur–– Dimension d'un espace vectoriel = nombre Dimension d'un espace vectoriel = nombre
minimum de ces vecteursminimum de ces vecteurs–– Les vecteurs ainsi constitués représentent une Les vecteurs ainsi constitués représentent une
base de l'espace vectorielbase de l'espace vectoriel–– Il existe une infinité de base possible :Il existe une infinité de base possible :
–– Dans notre cas : dimension 3Dans notre cas : dimension 3
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Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
Dans notre cas :Dans notre cas :–– 3 vecteurs suffisent pour définir l'ensemble de 3 vecteurs suffisent pour définir l'ensemble de
tous les vecteurs : tous les vecteurs : •• Axe 1 : vecteur ou Axe 1 : vecteur ou •• Axe 2 : vecteur ouAxe 2 : vecteur ou•• Axe 3 : vecteur ouAxe 3 : vecteur ou
–– Oui mais comment les choisir (efficacement) ?Oui mais comment les choisir (efficacement) ?
ir
xrjr
yr
kr
zr
⇒⇒ Introduction d’une nouvelle notion :Introduction d’une nouvelle notion :l’orthogonalitél’orthogonalité
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Produit scalaireProduit scalaire
Définition :Définition :–– Application bilinéaire, symétrique, définie, Application bilinéaire, symétrique, définie,
positive (positive (gaspgasp))•• Application : E x E Application : E x E →→
•• BilinBilinééaire : fonction linaire : fonction linééaire pour u et vaire pour u et v•• symsyméétrique :trique :•• positive :positive :
•• ddééfinie :finie :
ℜ( )vuvu rr
arr .,
( ) ( )uvvu rrrr .. =
( ) 0. ≥uu rr
( ) 00. =⇒= uuu rrr
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Produit scalaireProduit scalaire
Propriété du produit scalaire :Propriété du produit scalaire :–– Soit u et v deux vecteurs :Soit u et v deux vecteurs :
Dans notre cas :Dans notre cas :–– Produit scalaire canoniqueProduit scalaire canonique
( ) ⇒= 0.vu rru et v sont orthogonauxu et v sont orthogonaux
( ) zzyyxx
z
y
x
z
y
xvuvuvu
vvv
uuu
vuvu ++=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡== ... rrrr
46
Produit scalaireProduit scalaire
Norme et distanceNorme et distance–– Introduction d’une notion de taille, de longueur Introduction d’une notion de taille, de longueur
dans l’espace vectoriel : la normedans l’espace vectoriel : la norme–– Norme naturelle : E Norme naturelle : E →→
•• Doit satisfaire des conditions précisesDoit satisfaire des conditions précisesSéparation : norme nulle d’un vecteur => Séparation : norme nulle d’un vecteur => vecteurvecteur nulnulHomogénéité : Homogénéité : multmult. par un scalaire. par un scalaireInégalité triangulaire : norme d’un couple de vecteurInégalité triangulaire : norme d’un couple de vecteur
•• Aussi appelée norme Aussi appelée norme euclidienneeuclidienneRapport à la géométrie du même nom = notre casRapport à la géométrie du même nom = notre cas
uuu rrr .=ℜ
aru
Vecteur normé Vecteur normé ⇔⇔ur 1=ur
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Produit scalaireProduit scalaire
Notion de distanceNotion de distance–– Norme d’un vecteur = distance du Norme d’un vecteur = distance du
«« déplacementdéplacement »»ProjectionProjection–– Le produit scalaire d’un vecteur u par un vecteur Le produit scalaire d’un vecteur u par un vecteur
v peut aussi se voir comme la projection de u v peut aussi se voir comme la projection de u sur v (et vice versa) :sur v (et vice versa) :
ur
vr
( )vu rr . = = ±± longueur verte * longueur rouge longueur verte * longueur rouge
ur
vr
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Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
Meilleures bases vectorielles :Meilleures bases vectorielles :–– Tous les axes sont orthogonaux 2 à 2Tous les axes sont orthogonaux 2 à 2
•• Les vecteurs sont donc «Les vecteurs sont donc « indépendantsindépendants »»–– Les vecteurs ont une norme égale à 1Les vecteurs ont une norme égale à 1
•• Forme une base Forme une base orthonormaleorthonormale
Tout vecteur se décompose en Tout vecteur se décompose en une combinaisonune combinaison
linéaire des vecteurs de cette baselinéaire des vecteurs de cette base
ir
jrk
rvr
kjivEvrrrrr γβαγβα ++=ℜ∈∃∈∀ ,,,
et on a :et on a :⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
γβα
vr
9
49
Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension
Coordonnées et produit scalaireCoordonnées et produit scalaire–– En fait on aEn fait on a
–– Donc :Donc :
γβα
===
kvjvivrr
rr
rr
...
kkvjjviivvEvrrrrrrrrrrr ).().().(, ++=∈∀
ir
jr
kr vr
50
Notre espaceNotre espace
Et au fait les points ?Et au fait les points ?–– Ne sont pas des vecteursNe sont pas des vecteurs–– Relatifs à une origineRelatifs à une origine–– Voyons la théorie ...Voyons la théorie ...
Espace affine : définitionEspace affine : définition–– Soit E un espace vectoriel sur un corps K et Soit E un espace vectoriel sur un corps K et
P un ensemble non vide d’élément (appelés P un ensemble non vide d’élément (appelés pointspoints), on défini un espace affine par le triplet ), on défini un espace affine par le triplet εε=(E,P,=(E,P,φφ) ou ) ou φφ satisfait satisfait àà deux axiomes.deux axiomes.
–– φφ : application : P x P : application : P x P →→ EE
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Notre espaceNotre espace
Espace affine : axiome de Espace affine : axiome de φφ1.1.
2.2.Retour Retour àà notre espace :notre espace :
Et les coordonnEt les coordonnéées ?es ?–– Fixons nous une origine OFixons nous une origine O–– Les coordonnLes coordonnéées de tout point M sont celles du es de tout point M sont celles du
vecteur OMvecteur OM
),(),(),(,, CACBBAPCBA ϕϕϕ =+∈∀
vBAPBEvPA rr=∈∃∈∀∈∀ ),(!,, ϕ
ABBA =),(ϕ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
OM
OM
OM
M
M
M
zyx
OMzyx
M52
Notre espaceNotre espace
Coordonnées et vecteursCoordonnées et vecteurs–– Soit deux points A et B, on a :Soit deux points A et B, on a :
–– Les coordonnées des vecteurs dépendent de la Les coordonnées des vecteurs dépendent de la base choisiebase choisie
–– Les coordonnées des points dépendent de la Les coordonnées des points dépendent de la base choisie et de l’originebase choisie et de l’origine
–– Repère = base vectorielle + origineRepère = base vectorielle + origine
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
=ab
ab
ab
zzyyxx
AB
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Produit vectorielProduit vectoriel
Opération particulière sur les vecteursOpération particulière sur les vecteurs–– Définition :Définition :
•• Soit u et v deux vecteurs, le produit vectoriel de u par v Soit u et v deux vecteurs, le produit vectoriel de u par v donne un vecteur w qui :donne un vecteur w qui :
Est orthogonal aux deux autresEst orthogonal aux deux autresLa base de vecteur est une base directeLa base de vecteur est une base directeVérifie l’équation :Vérifie l’équation :
–– Orientation :Orientation :
),sin( vuvuw rrrrr=
),,( wvu rrr
Sens directSens direct Sens indirectSens indirect 54
Produit vectorielProduit vectoriel
Produit vectoriel : calculProduit vectoriel : calculvuw rrr
∧=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
z
y
x
z
y
x
vvv
uuu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
yzzy vuvu −zxxz vuvu −xyyx vuvu −
10
55
Résumons ...Résumons ...
L’espace dans lequel nous vivonsL’espace dans lequel nous vivons–– Espace euclidienEspace euclidien–– Espace affineEspace affine
•• Contient des points et des vecteursContient des points et des vecteurs•• Contient un espace vectoriel de dimension 3Contient un espace vectoriel de dimension 3•• Choix d’une base vectorielle Choix d’une base vectorielle orthonormaleorthonormale
Défini les coordonnées des vecteursDéfini les coordonnées des vecteurs•• Choix d’un point d’origineChoix d’un point d’origine
Défini les coordonnées des pointsDéfini les coordonnées des points•• Distances mesurées par le produit scalaireDistances mesurées par le produit scalaire
Norme euclidienneNorme euclidienne
Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée
La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la 3Dl'image et de la 3D
2. Représentations de l’espace2. Représentations de l’espaceet trigonométrieet trigonométrie
57
Différentes coordonnéesDifférentes coordonnées
Coordonnées cartésiennesCoordonnées cartésiennes–– Celles que l’on vient de voirCelles que l’on vient de voir–– Utile très souvent mais ... Utile très souvent mais ...
... pour se déplacer sur une sphère ?... pour se déplacer sur une sphère ?On a défini aussi 2 autres types de On a défini aussi 2 autres types de coordonnéescoordonnées–– Coordonnées cylindriques Coordonnées cylindriques –– Coordonnées sphériquesCoordonnées sphériques
58
Coordonnées cylindriquesCoordonnées cylindriques
θθ
rr
MM
PPzz⎪⎩
⎪⎨⎧
zyx
M coordonnéescoordonnéescartésiennescartésiennes
⎪⎩
⎪⎨⎧
z
rM θ coordonnéescoordonnées
cylindriquescylindriques
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
zzryrx
)(sin)(cos
θθ
59
Coordonnées sphériquesCoordonnées sphériques
MM
PPφφ
θθ
rr⎪⎩
⎪⎨⎧
zyx
M coordonnéescoordonnéescartésiennescartésiennes
⎪⎩
⎪⎨⎧
ϕθr
M coordonnéescoordonnéessphériquessphériques
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
)cos()sin()(sin)sin()(cos
ϕϕθϕθ
rzryrx
60
Représentation d’objetReprésentation d’objet
Deux formes distinctesDeux formes distinctes–– Une représentation fondée sur une Une représentation fondée sur une
paramètrisationparamètrisation des coordonnéesdes coordonnées–– Une représentation fondée sur une contrainte Une représentation fondée sur une contrainte
liée aux coordonnéesliée aux coordonnées–– Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...
11
61
Représentation d’objetReprésentation d’objet
Exemple : la sphèreExemple : la sphère–– Définition : sphère de rayon R de centre CDéfinition : sphère de rayon R de centre C
•• Ensemble des points situés à une distance R de CEnsemble des points situés à une distance R de C–– Représentation cartésienne :Représentation cartésienne :
–– Représentation paramétriqueReprésentation paramétrique
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
∃)cos(
)sin()sin()sin()cos(
,ϕ
ϕθϕθ
ϕθRzz
Ryyxx
tq
c
c
c
P(x,y,z) appartientP(x,y,z) appartientà la sphèreà la sphère RCP =⇔⇔ 2222 )()()( Rzzyyxx ccc =−+−+−⇔⇔
P(x,y,z) appartientP(x,y,z) appartientà la sphèreà la sphère ⇔⇔
62
TrigonométrieTrigonométrie
DéfinitionDéfinition–– Étude des rapports de distances et d’angle dans Étude des rapports de distances et d’angle dans
les triangles ainsi que les fonctionsles triangles ainsi que les fonctionstrigonométriquestrigonométriques
–– Triangle rectangle en CTriangle rectangle en C
θθcb=)cos(θ
ca=)sin(θ
ba=)tan(θ
1)(sin)(cos 22 =+ θθPar Par pythagorepythagore ::
63
TrigonométrieTrigonométrie
Identités trigonométriques (cf. Identités trigonométriques (cf. wikipediawikipedia))
ParitéParité
Addition et soustractionAddition et soustraction
SymétrieSymétrie
DuplicationDuplication
64
Trigonométrie : cosinus & sinusTrigonométrie : cosinus & sinus
65
Trigonométrie : table de valeursTrigonométrie : table de valeurs
66
Trigonométrie et vecteursTrigonométrie et vecteurs
Formule avec les vecteursFormule avec les vecteurs–– Soit u et v deux vecteurs :Soit u et v deux vecteurs :
θθ
ur
vr)cos(. θvuvu rrrr
=
nvuvu rrrrr )sin(θ=∧
Pour le cosinus :Pour le cosinus :
Pour le sinus :Pour le sinus :
Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficaceManière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace(si on peut éviter les racines carrées)(si on peut éviter les racines carrées)
avec n vecteur normal à u et vavec n vecteur normal à u et v
12
Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée
La synthèse d'imagesLa synthèse d'images
II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la 3Dl'image et de la 3D
3. Coordonnées homogènes3. Coordonnées homogènes
68
Espace projectifEspace projectif
Espace cartésien :Espace cartésien :–– C'est bien mais pose des problèmes C'est bien mais pose des problèmes
Problème de transformationProblème de transformationMM
ur
MM
urtranslation Ttranslation T
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
zz
yy
xx
z
y
x
tmtmtm
MTmmm
M )(a
),,( zyx tttT
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
z
y
x
z
y
x
uuu
uTuuu
u )( rar
69
Espace projectifEspace projectif
Problème de transformationProblème de transformation
ur
MM
urrotation Rrotation R
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
zx
y
zx
y
z
y
x
mmm
mmMR
mmm
M)cos()sin(
)sin()cos()(,
θθ
θθθa
θ,yR
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
zx
y
zx
y
z
y
x
uum
uuuR
mmm
u)cos()sin(
)sin()cos()(,
θθ
θθθr
ar
MM
70
Espace projectifEspace projectif
Problème de projection …Problème de projection …M (x,y,z)M (x,y,z)
d : distance d : distance focalefocale
zz
xx
P (x',y',z')P (x',y',z')
écranécran
caméracaméra
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎯→⎯
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
'''
?
zyx
Pzyx
M
Par Thalès :Par Thalès :
De même :De même : yzdy ='
Et :Et : dz ='
xzdx ='
zx
dx ='
NON LINEAIRENON LINEAIRE
71
Le plan projectifLe plan projectif
On revient au planOn revient au planIdée :Idée :
MM
PP
Faire "correspondre" tous les Faire "correspondre" tous les points de la ligne rougepoints de la ligne rouge
Ils se "projettent" tous au Ils se "projettent" tous au point Ppoint P
Tous distinct mais se retrouveTous distinct mais se retrouvetous dans une classe communetous dans une classe commune
Mais comment faire pour queMais comment faire pour quele point M soit équivalent aule point M soit équivalent au
point P ?point P ? 72
Le plan projectifLe plan projectif
On défini un ensemble POn défini un ensemble P22 de pointsde points–– Avec une dimension supplémentaireAvec une dimension supplémentaire
–– Avec une relation d'équivalence …Avec une relation d'équivalence …
•• Tous les vecteurs qui sont équivalent forment des Tous les vecteurs qui sont équivalent forment des classes d'équivalenceclasses d'équivalence
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
wyx
MP2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
===
∃⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
wwyyxx
tqwyx
Nwyx
M PP ααα
α'''
'''
22
13
73
Le plan projectifLe plan projectif
Classe d'équivalenceClasse d'équivalence–– Regroupent une infinité de pointsRegroupent une infinité de points–– En général on choisi comme représentant d'une En général on choisi comme représentant d'une
classe d'équivalence le point classe d'équivalence le point
Retour sur le plan projectifRetour sur le plan projectif
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
1yx
M ref
MM
PPM et P restent bien distinct maisM et P restent bien distinct mais
sont équivalents !sont équivalents !
74
Et si w=0 ?Et si w=0 ?–– Pas de problème !Pas de problème !
Relation avec les points "normaux" de RRelation avec les points "normaux" de R22 ??–– On relie M dans ROn relie M dans R22 avec M dans Pavec M dans P22 par :par :
Le plan projectifLe plan projectif
MM
PP QQ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
wyx
M⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
1//wywx
P⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
0yx
Q
PointsPoints DirectionDirection
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡≈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
122 y
xMy
xM PR
75
Le plan projectifLe plan projectif
RésumonsRésumons–– Grâce à l'ajout d'une "dimension" :Grâce à l'ajout d'une "dimension" :
•• On représente les points des lignes issues de O par On représente les points des lignes issues de O par des classes d'équivalences des classes d'équivalences
i.e. des points équivalentsi.e. des points équivalents•• On représente toutes les directions du planOn représente toutes les directions du plan
Les points avec w = 0Les points avec w = 0•• Plus un point particulier : l'originePlus un point particulier : l'origine
WhaouWhaou ! Merci à ! Merci à •• August Ferdinand August Ferdinand MoëbiusMoëbius pour les avoir pour les avoir
inventées en 1827inventées en 1827•• Olivier Olivier FaugerasFaugeras pour les avoir amenées dans pour les avoir amenées dans
l'infographiel'infographie
76
L'espace projectifL'espace projectif
Même chose en dimension 3 …Même chose en dimension 3 …
Relations entre RRelations entre R33 et Pet P33
–– PointsPoints
–– VecteursVecteurs
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
====
∃⇔⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
wwzzyyxx
tqwzyx
Nwzyx
M PP
αααα
α''''
''''
33
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
133 z
yx
Mzyx
M PR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
033 z
yx
vzyx
v PR
Les directions (vecteurs) Les directions (vecteurs) ont leur quatrième ont leur quatrième
composante à 0composante à 0Ce sont comme des Ce sont comme des
points à l'infinipoints à l'infini
77
L'espace projectifL'espace projectif
Les plans dans PLes plans dans P33
–– Équation cartésienne dans RÉquation cartésienne dans R33 ::–– Avec les points de PAvec les points de P33 ::
–– Un plan Un plan ΠΠ dans Pdans P33 est caractérisé par le vecteurest caractérisé par le vecteur
0=+++ dczbyax
0=+++ dwzcw
ybwxa
0=+++ wdzcybxaouou
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Π
dcba
78
L'espace projectifL'espace projectif
Les plans dans PLes plans dans P33
–– Point P appartenant au plan Point P appartenant au plan ΠΠ vérifie :vérifie :
–– Détermination du plan passant par 3 pointsDétermination du plan passant par 3 points0. =ΠP
On a : On a : 0... 321 =Π=Π=Π PPPOn cherche : On cherche : Π
Méthode : calculer le déterminant de la matrice :Méthode : calculer le déterminant de la matrice :
3333
2222
1111
wzyxwzyxwzyxeeee wzyx
oùoù
)1,0,0,0()0,1,0,0()0,0,1,0()0,0,0,1(
====
w
z
y
x
eeee
14
79
L'espace projectifL'espace projectif
Résolution du problème de projectionRésolution du problème de projection
yzdy ='
dz ='
xzdx ='
Non linéaireNon linéairedans Rdans R33
Prenons maintenant les points :Prenons maintenant les points :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
''''
133
wzyx
Pzyx
M PP
Trouvez la matrice Trouvez la matrice ΠΠ telle que P = telle que P = ΠΠ M :M :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1''''
3 zyx
wzyx
PP
KKKKKKKKKKKKKKKK
C'EST LINEAIRE !C'EST LINEAIRE !80
Transformation dans PTransformation dans P33
Translation T(Translation T(ttxx,,ttyy,,ttzz))–– Doit affecter les points mais pas les vecteursDoit affecter les points mais pas les vecteurs–– On va jouer sur la quatrième coordonnéeOn va jouer sur la quatrième coordonnée
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
11000100010001
11'''
,, zyx
ttt
zyx
Tzyx
z
y
x
ttt zyxPoints :Points :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
01000100010001
00'''
,,z
y
x
z
y
x
z
y
x
tttz
y
x
uuu
ttt
uuu
Tuuu
zyxVecteurs :Vecteurs :
81
Translation :Translation :
Homothétie :Homothétie :–– Affecte points et vecteurs ...Affecte points et vecteurs ...–– Permet de faire des retournementsPermet de faire des retournements
Transformation dans PTransformation dans P33
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1000100010001
,,z
y
x
ttt ttt
Tzyx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1000000000000
,,z
y
x
zyxH α
αα
ααα
TT
MM
ur
82
Transformation dans PTransformation dans P33
Rotation :Rotation :–– Commençons par les rotations autour des axes Commençons par les rotations autour des axes
principauxprincipaux–– Affecte points et vecteursAffecte points et vecteurs–– Axe x :Axe x :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=10000)cos()sin(00)sin()cos(00001
, θθθθ
θxRur
MM
MM
83
Transformation dans PTransformation dans P33
Rotation :Rotation :–– Axe y :Axe y :
–– Axe z :Axe z :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(
, θθ
θθ
θyRur
MM
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000010000)cos()sin(00)sin()cos(
,θθθθ
θzR
ur
MM
84
Transformation dans PTransformation dans P33
Forme «Forme « généralegénérale » d’une transformation» d’une transformation–– Possibilité d’une translationPossibilité d’une translation–– Possibilité d’une homothétiePossibilité d’une homothétie–– Possibilité d’une rotation Possibilité d’une rotation
•• Homothétie et rotation sont combinéesHomothétie et rotation sont combinées
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000z
y
x
ttHRt
D
15
85
Transformation dans PTransformation dans P33
Rotation d’angle Rotation d’angle θθ sur un axe porté par les sur un axe porté par les points P et Qpoints P et Q
•• Ramener le point P à l’origine et Q en R : T(Ramener le point P à l’origine et Q en R : T(--ppxx,,--ppyy,,--ppzz))•• Rotation sur (Rotation sur (OyOy) pour ramener OR en OR’ sur (O,y,z) : ) pour ramener OR en OR’ sur (O,y,z) :
RRθθyy
•• Rotation sur (Rotation sur (OxOx) pour ramener OR’ sur () pour ramener OR’ sur (OzOz) : R) : Rθθxx
•• Rotation de Rotation de θθ sur lsur l’’axe axe OzOz•• Et les transformations inversesEt les transformations inverses
PPRR
OOOO
RR R’R’ θθyy RR
OO
R’R’
θθxx
RR
OO
R’R’
θθ
86
Transformation dans PTransformation dans P33
Rotation sur un axe PQ d’angle Rotation sur un axe PQ d’angle θθ–– Décomposition matricielle :Décomposition matricielle :
zyxyxxyzyx pppyxzxypppPQ TRRRRRTR −−−−−= ,,,,,,,,,, ...... θθθθθθ
avec : avec :
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
x
ppp
P⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡==
z
y
x
rrr
PQPQrr
2222)sin()cos(
zx
xy
zx
zy
rrret
rrr
+=
+= θθ
yxzxx retrr =+= )sin()cos( 22 θθAttention au cas particulier : Attention au cas particulier : rrxx = = rrzz = 0= 0
87
Transformation dans PTransformation dans P33
Autre exemple : réflexion par un planAutre exemple : réflexion par un plan•• Ramener un point du plan à l’origineRamener un point du plan à l’origine•• A l’aide d’une rotation mettre la normale du plan sur A l’aide d’une rotation mettre la normale du plan sur
l’axe (l’axe (OzOz))•• Faire la réflexion par le plan (Faire la réflexion par le plan (OxyOxy))•• Refaire les transformations inversesRefaire les transformations inverses
rrPP
OO
rr
rr
88
Transformation dans PTransformation dans P33
Autre exemple : réflexion par un planAutre exemple : réflexion par un plan–– Décomposition matricielle :Décomposition matricielle :
zyxyxxyzyx pppyxxyxyppprPplan TRRHRRTR −−−−−= ,,,,,,,,, ...... θθθθr
avec : avec :
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
x
ppp
P⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
x
rrr
rr
2222)sin()cos(
zx
xy
zx
zy
rrret
rrr
+=
+= θθ
yxzxx retrr =+= )sin()cos( 22 θθAttention au cas particulier : Attention au cas particulier : rrxx = = rrzz = 0= 0
P point du planP point du plan
rr normale au plannormale au plan
89
RotationsRotations
Objectif : décrire l’orientation d’un objet Objectif : décrire l’orientation d’un objet dans un repèredans un repère–– Pas unicité des descriptionsPas unicité des descriptions
•• matrice, axe d’Euler, angles d’Euler, quaternions, matrice, axe d’Euler, angles d’Euler, quaternions, paramètre de paramètre de RodriguesRodrigues, paramètre , paramètre CayleyCayley--KleinKlein......
–– Idée de base : 3 rotations successivesIdée de base : 3 rotations successivesAngles d’Euler :Angles d’Euler :–– Suite de 3 rotationsSuite de 3 rotations
•• précession précession –– lacet lacet –– «« yawyaw »»•• nutation nutation –– roulis roulis –– «« rollroll »»•• rotation propre rotation propre –– tangage tangage –– «« pitchpitch »»
–– Passage d’un repère à un autrePassage d’un repère à un autre
90
RotationsRotations
Angle d’Euler : constructionAngle d’Euler : construction–– Repère Repère OxyzOxyz →→ Ox’y’zOx’y’z’’–– Précession : ψPrécession : ψ
•• Axe Axe OzOz•• OxyzOxyz →→ OuvzOuvz•• Intersection Intersection OxyOxy & & OxOx’’yy’’
–– Nutation : Nutation : θθ•• Axe OuAxe Ou•• OuvzOuvz →→ OuwzOuwz’’
–– Rotation propre : Rotation propre : φφ•• Axe Axe OzOz’’•• OuwzOuwz’’ →→ OxOx’’yy’’zz’’
16
91
RotationsRotations
Problème des angles d’Problème des angles d’eulereuler ::–– Ordre des rotationsOrdre des rotations–– GimbalGimbal locklock
•• Application des transformations unitaires ?Application des transformations unitaires ?Implique Implique renormalisationrenormalisation de la matricede la matrice
•• Comment retrouver les angles d’EulerComment retrouver les angles d’EulerCertains cas dégénérésCertains cas dégénérés
(0,90, 0)(0,90, 0) (0,90,90)(0,90,90) (0, 0,90)(0, 0,90)(0,0,0)(0,0,0)
90°90°roulisroulis
90°90°tangagetangage
--90°90°roulisroulis
92
RotationsRotations
Quaternion :Quaternion :–– Nouvel objet mathématiqueNouvel objet mathématique–– Représente facilement les rotations 3DReprésente facilement les rotations 3D
•• A l’aide d’un vecteur à 4 coordonnéesA l’aide d’un vecteur à 4 coordonnées–– Représentation :Représentation :
),( Va
dcba
Qr
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
93
RotationsRotations
Quaternions : OpérationsQuaternions : Opérations–– Addition :Addition :
–– Multiplication :Multiplication :
–– Conjugué : Conjugué : –– Produit scalaire et norme :Produit scalaire et norme :
),( 2121
21
21
21
21
2
2
2
2
1
1
1
1
21 VVaa
ddccbbaa
dcba
dcba
QQrr
++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
( )( )211221212121 ,. VVVaVaVVaaQQrrrrrr
∧++−=
( )VaQr
−= ,*
( )212121 .. VVaaQQrr
+= VVaQQQ .. 2+== 94
RotationsRotations
Rotations et quaternions :Rotations et quaternions :–– Rotation d’angle Rotation d’angle 22φφ et de vecteur unitaire et de vecteur unitaire NN–– ReprRepréésentsentééee par le quaternion :par le quaternion :
–– Action sur un vecteur :Action sur un vecteur :
–– Composition : Composition : •• Soit P et Q deux quaternions reprSoit P et Q deux quaternions repréésentant deux sentant deux
rotations, PQ reprrotations, PQ repréésente la composition des rotationssente la composition des rotations
( )NQ )sin(,)cos( ϕϕ=
( ) ( ) ( )( )NVNV ϕϕϕϕ sin,cos,0sin,cos',0 −=
95
RotationsRotations
Rotations et quaternionsRotations et quaternions–– Il existe des formules pour passerIl existe des formules pour passer
•• Du quaternion aux angles d’EulerDu quaternion aux angles d’Euler•• Du quaternion aux matrices 4x4 représentant la Du quaternion aux matrices 4x4 représentant la
rotationrotation•• Du quaternion à d’autres représentations de rotation Du quaternion à d’autres représentations de rotation
plus exotiquesplus exotiques