conceptos matemáticos en procesos de producción de levadura
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Ecuación de Monod
Función Producto y Sustrato
Ayuda para la tarea de matemática
TPICI – 2C2015
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
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Levadura
Las levaduras son seres vivos, unicelulares,
pertenecientes al reino de los hongos.
Estos microorganismos tienen un papel importante
en los procesos fermentativos, y comprenden un
variado abanico de criaturas “especializadas” en
panificación, vinificación, nutrición, usos
farmacéuticos, usos cerveceros y destilería. (*)
(*)Marzo 2012 –INDEC www.alimentosargentinos.gob.ar Ministerio de Agricultura
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Cinética de la Levadura
en Sustrato de Cultivo
El incremento del número de células del producto
“levadura” es proporcional al número de células
presentes en el cultivo (X).
A la “constante” de proporcionalidad (µ) se la llama
“tasa de crecimiento”.
𝒅𝑿
𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿
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Ecuación velocidad de
formación del producto.
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Función Producto Levadura
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝜇. 𝑋
Utilizamos el método de variables
separables para hallar la función X(t)
𝑑𝑋
𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡
𝑑𝑋
𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡 𝐿𝑛 𝑋 = 𝜇. 𝑡 + 𝐶
X = 𝑒 𝜇.𝑡+𝐶 X = 𝑒𝐶 . 𝑒𝜇.𝑡
𝑒𝐶 = 𝑋0 Cuando t=0 X= X0 entonces
X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
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Tasa de crecimiento µ
La ecuación de Monod relaciona la tasa de
crecimiento µ con la concentración de sustrato S.
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𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
Donde:
𝝁𝒎𝒂𝒙 Es la tasa máxima de crecimiento
específico de los microorganismos
𝑲𝒔 Es la constante de velocidad media (el
valor de S cuando μ / μ max = 0,5)
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Relación lineal útil
A partir de la ecuación de Monod obtenemos una
relación lineal entre 1/µ y 1/S.
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
𝟏
𝝁=𝑲𝑺 + 𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁=
𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
+𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁=𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙
.𝟏
𝑺+
𝟏
𝝁𝒎𝒂𝒙
pendiente
Ordenada al
origen
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Hallamos experimentalmente µ
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1) Se miden experimentalmente los valores de S y µ
en diferentes momentos del cultivo.
2) A partir de la tabulación de S y µ se construye la
tabla relacional de los valores 1/S y 1/µ.
3) Se calcula la recta de regresión correspondiente
a los pares (1/S ; 1/µ)
4) La ordenada al origen aproxima a 𝟏
𝝁𝒎𝒂𝒙 y la
pendiente a 𝑲𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙 , según la relación lineal
anterior.
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Función Sustrato – parte 1
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El cultivo va consumiendo el sustrato, cuya
concentración decrece en forma proporcional al
crecimiento de la biomasa del producto.
A la constante de proporcionalidad se la
llama “rendimiento de utilización del sustrato”.
𝒀𝒙𝒔
𝒀𝒙𝒔 = −
𝒅𝑿𝒅𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕
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Función Sustrato – parte 2
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
Utilizamos los conocimientos y 𝒅𝑿
𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿
X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕 en la expresión anterior:
𝒀𝒙𝒔 = −
𝒅𝑿𝒅𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕 = −
𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕= −
𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
𝒀𝒙𝒔
𝒅𝑺
𝒅𝒕 𝒅𝒕 = −
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝝁. 𝒆𝝁.𝒕 𝒅𝒕
Integrando a.m.:
𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪
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Función Sustrato – parte 3
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𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪
Cuando t=0 S= S0
entonces 𝑪 = 𝑺𝟎 +
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔
𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑺𝟎 +
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔
Por lo tanto:
Y finalmente:
𝑺 = 𝑺𝟎 −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 − 𝟏