M ud ,max=Rmax . f cu .b . d

2

1.5+A' s . f y1.15

(d−d ' )… (3.19)

Donde Rmax se obtiene aparte de la tabla 2.1

Un procedimiento alternativo para obtener el máximo momento es tomar el momento alrededor de la fuerza de compresión de hormigón. Refiriéndose a la Figura 3.4.1, el momento máximo viene dado por:

M ud ,max=A sd ,max f y1.15 (d−amax

2 )+ A's f y1.15

(amax2

−d' )… (3.20)

tenga en cuenta que si la ubicación del eje neutro calculado "c" es menor que el valor máximo permitido por el código cmax continuación, se aplica la siguiente regla

If cd≤Cmax

d; entonces(

. f s=f y /1.15. μ<μdmax. A s<Asd max.M u<M sdmax

)Foto torre peachtree (1990), Atlanta USA (235 m, 50 niveles}

Sección transversal doblemente reforzada

individualmente reforzado con sección de Asmax

sección con A’s la parte superior como en la inferior

Fig. 3.4 momento máximo y el área de acero para secciones doblemente reforzados

Ejemplo 3.1 (los rendimientos de acero de compresión)

encontrar la capacidad del momento de la sección transversal muestran en la figura. asumir la d’=50mm y de materia con propiedades:

Fcu=25 N/mm2

Fy=400 N/mm2

Solución:

As= 4ø22 = 15.2cm2 = 1520 mm2

A’s= 2 ø16 = 4.02 cm2 = 402 mm2

d = 600-50 = 550 mm

Paso 1: calcular a:

d’/ d = 50/550 = 0.09

ya que d’/d (0.09) < 0.1 (tabla 3.1) se puede suponer que los rendimientos de acero de compresión. esta hipótesis se comprueba en la etapa 2. Aplicar la ecuación 3.4 da:

0.67 f cub .a1.5

+A 's . f y1.15

=A s . f y1.15

0.67 x25 x200 x a1.5

+ 402 x 4001.15

=1520 x 4001.15

a = 174.1 mmc = a/0.8 = 217.6 mma/d = 0.317 > a/d)min(0.1) … okc/d = 217.6/550 = 0.396

Paso 2: comprobar fs y f’s

f ' s=600c−d 'c

=600 217.6−50217.6

=462> 4001.15

…ok… (comprension del acero)

f s=600d−cc

=600 550−217.6217.6

=917> 4001.15

…ok… (tensiondel acero)

ya que d’/d (0.09) < 0.1 o d’/a (0.287) < (0.52, tabla 3,1) el rendimiento a compresión del acero

ya que c/d (0.396) < (Cb/d = 0.63, tabla 2.1) rendimiento en tensión del acero

Paso 3: comprobar la capacidad de momento último, Mu

hablando en torno momento concreto fuerza C, y aplicar ecuación 3.7:

M u=A s f y1.15 (d−a

2 )+ A's f y1.15

( a2−d' )

Así:

M u=1520 x 4001.15 (550−174.12 )+ 402 x 4001.15 (174.12 −50)

M u=249.94 x 106=249.94 kN .m

ResultadoFinal :M u=249.94 kN .m

Ejemplo 3.2

calcular el área máxima de acero y la máxima capacidad de momento que está permitido por el código egipcio para la sección doblemente reforzada se muestra en el ejemplo 3.1. Las propiedades del material son

Solución:

Paso 1: calcular máxima área de acero

De tabla 2.1 y para Fy= 400N/mm2: μmax= 4.31x 10-4 fcu,

ya que ya que d’/d (0.09) < 0.176 (at C= Cmax) tabla 3.1, a continuación, la compresión de acero ha dado.

Asd,max = μmaxb d + A´s

Asd,max = (4.31 x 10-4 x 25) 200 x 550 + 402 = 1587 ¿ As(1520) … OK

Paso 2: Calcular la capacidad de momento máximo.

De tabla 2.1: Rmax= 0.187, Cmax/d= 0.42 para Fy=400N/mm2

usando la ecuación 3.19 encontrar Mud,max

M ud ,max=Rmax . f cubd

2

1.5+A '

s f y1.15

(d−d ')

M ud ,max=[ 0.187 x25 x200 x55021.5

+402 x4001.15

(550−50 )]106

=285.5kN .m

el mismo resultado se puede obtener usando ecuación 3.20 como sigue:amax= 0.8 cmax= 0.8 x 0.42 x 550 = 184.8mm

M ud ,max=A sd ,max f y1.15 (d−amax

2 )+ A's f y1.15 (amax2 −d' )

M ud ,max=1587 x 4001.15 (500−184.82 )+ 402 x 4001.15 ( 184.82 −50)=258.5 kN .m

Ejemplo 3.3 (compresión del acero no cede)

encontrar la capacidad de momento de la sección transversal mostrada en la figura.Fcu= 30 N/mm2, y fy= 400 N/mm2

Solución:

d= 750 – 50= 700mm

Paso 1: calcular una.

d 'd

=100700

=0.143>0.10…compresiondel acero quenocede

Podemos usar la ecuación 3.8 o ecuación 3.10 para calcular a.

0.67 f cub a1.5

+A ' s f ' s=A s f s1.15

0.4466fcu b a2 – (As fs / 1.15 -600 x A’s) a- 480 A’s d’ = 0

3350 a2 – 360869a – 24x106 = 0

Resolviendo para la única variable “a”

a= 154.2 mm … c= 192.73mm

Paso 2: comprobar fs y f’s

f ' s=600192.73−100192.73

=288.6 Nmm2

< 4001.15

…compresiondel aceronocede

Ya que c/d (0.275) < cb/d=0.63 los rendimientos de acero en tensión fs=fy/1.15

Paso 3: calcular Mu

Teniendo en todo momento la fuerza de concreto Cc

M n=A s f y1.15 (d−a

2 )−A 's f

's(d '−a

2 )=A s f y1.15 (d−a

2 )+A 's f

's(d '−a

2 )

M u=1900 x 4001.15 (700−154.22 )−500 x288.6(100−154.22 )=408.3 x 106=408.3 kN .m

Final resultado Mu= 408.3 kN.m

3.1.4 diseño de las secciones doblemente armado mediante la utilización primeros principios.

El mismo procedimiento utilizado en el diseño de las secciones por separado reforzados se utiliza para el diseño de las secciones doblemente reforzados. Las incógnitas en estos tipos de problemas son la profundidad de la viga, área de acero, la posición del eje neutro y la relación de la compresión de acero α.

Dado: fcus fy Mu b d’necesario: d, As y A’svariables: a, d, As y A’s

ya que sólo tenemos dos ecuaciones de equilibrio, tenemos que limitar las incógnitas a sólo dos. si no se da, la profundidad de la compresión de acero se asumirá 0,05-01 de la profundidad de viga para asegurar el calentamiento de las barras comprimidas para todos los grados de acero.

el procedimiento de diseño se puede resumir en los siguientes pasos:

1. hacer que los supuestos necesarios.d’= 0.05 – 0-10 d (los rendimientos de acero de compresión para todos fy)asume As= µmax b d … (µmax para la sección reforzada por separado (tabla 4.1))asume α= 0.2-0.4 yequilibrio de fuerzas.

0.67 f cub a1.5

+(α x A s) f y1.15

=A s f y1.15

Obtener a= λ dteniendo en todo momento la fuerza de concreto da.

M u=A s f s1.15 (d−a

2 )+ A s f s1.15

( a2−d ' )

resolver la ecuación anterior para determinar(a,d), entonces calcular.As= µmax b d

A’s= α As

2. comprobar el área mínima de aceroAs>Asmin

3. comprobar el acero superficie máxima y el momento máximo, asegurando que.

(c/d<cmax/d)

Ejemplo 3.4

la sección doblemente reforzada muestra en la figura se somete a un momento de flexión de un valor factorizada de 200 kN.m

d’=50 mm, fcu= 27 N/mm2, y fy= 280 N/mm2

utilizar los primeros principios para determinar la profundidad de la viga requerida.

Solución:

Paso 1: calcular.

asume que tanto el acero de compresión y la tensión ha cedido esta hipótesis se comprobará más adelante.

Dado: fcus fy Mu b d’, As y A’snecesario: d variables: a, d

ya que tenemos dos incógnitas solamente en este ejemplo, no tiene que ser asumido. Aplicar la primera ecuación de equilibrio:

0.67 f cub a1.5

+A ' s f s1.15

=A s f s1.15

0.67 x27 x250 x a1.5

+ 509 x2801.15

=2260 x2801.15

a= 141.4 mm

c= a/0.8= 176.75 mm

Paso 2: calcular la profundidad de la viga d.

teniendo en todo momento la fuerza de concreto.

M u=A s f y1.15 (d−a

2 )+ A's f y1.15 ( a2−d' )

200 x106=2260 x 2801.15 (d−141.42 )+ 509 x2801.15 ( 141.42 −50)

d= 429.5 mm

Paso 3: comprobar fs y f’s

d’/d = 50/429.5 = 0.116

ya que d’/d= 0.116 < 0.2 (límite de códigos de acero ver tabla 3.1), así

f’s= fy/ 1.15

c/d= 176.75/429.5= 0.4115

de tabla 2.1. Cmax/d= 0.48 de fy= 280 N/mm2

cd

(0.411 )≤cmaxd

(0.48 ) entonces ¿

Resultado final: d= 450 mm y t= 500m