condor 1 1er trabajo io
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Facultad de Ingeniería de Minas
CURSO: Investigación de Operaciones TEMA: Método gráfico de solución de un Programa Lineal PERTENECE: Condor Araujo Joel Condor
2015 - IDocente : José AVELLANEDA PURI [email protected]
EJERCICIOSMÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL
1) Maximizar Z = x2 - 0.75x1
s.a. x1 - x2 0 ….……….. (1) -0.5x1 + x2 1 ………….. (2) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 – x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=1 c2 (-1) 1 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10
Función económica o función objetivo
Restricciones estructurales
Restricción de no-negatividad
m = tg = -c1 = x2
c2 x1
Si “m”:Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(-) x1
x20
x10
1 2 3 4 5 6-1-2-3
5
4
3
2
1
-1
-2
1
2
Z óptimo
Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)
x2
x1
P(x1,x2)
P(x1,x2)=P(2,2)Maximizar Z = x2 – 0.75x1 =2-0.75(2)=0.5
Z 11
x1-2 x21Inecuación (2): -0.5x1 + x2 1Si: x2=0; -0.5x1 1, , Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:X1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = –0.75x1 + x2
m = tg = -c1 = -(-0.75) = 0.75 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.75*2=-1.5, x1=1*2=2 c2 (1) 1 x1
Resolviendo la intersección de (1) y (2): x1 – x2 = 0 ………….. (1)-0.5x1 + x2 = 1 ………….. (2)
Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = 2-0.75(2) = 0.5
x10 x20
x2=-1.5 x1=2
x1=2 x2=2
2) Minimizar Z = x1 - 10x2
s.a. x1 - 0.5x2 0 …….….….. (1) x1 - 5x2 -5 ………….. (2) x1,x2 0 Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 – 0.5x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = 2 = x2 ; “m” positivo: x2=-2, x1=1 c2 (-0.5) 0.5 1 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0; o x1x2
Inecuación (2): x1 - 5x2 -5Si: x2=0; , Si: x1=0; -5x2-5,
x10 x20
x1-5 x21
x20
x10
1 2 3 4 5 6-1-2-3
5
4
3
2
1
-1
-2
1
2Polígono Convexo NO Acotado
(abierto)
x2
x1
Minimizar Z = x1 – 10x2
-4-5Z1
1
Z3
Solución NO FACTIBLE oProblema NO SOLUBLE
Z2
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:Minimizar Z = x1 - 10x2
m = tg = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.5, x1=5 c2 (-10) 5 x1
Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polígono Convexo NO Acotado (abierto).
x10 x20
3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 – x3
s.a. x1 + 2x2 + x3 10 ……….….. (1) x1 + x2 + 2x3 9 …………….. (2) 2x1 - x3 12 ……….….. (3) x1,x2,x3 0
Solución: x2
x1
x3
Aquí debemos acudir a un espacio tridimensional, y como se deduce el tratar de resolverlo gráficamente resulta muy complicado. Por lo que es menester la solución por otro método y que será uno analítico como veremos en el próximo capítulo.
4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2
s.a. x1 + x2 = 8 …………….. (1) 2x1 + 3x2 12 ………….. (2) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Ecuación (1): x1 + x2 = 8Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): 2x1 + 3x2 12 Si: x2=0; , Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y
x1=8 x2=8
x16 x24
x10 x20
Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = 2x1 + 3x2
m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3 c2 (3) 3 x1
Del gráfico se deduce: La intersección del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 + x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solución óptima.
Resolviendo la intersección de: x1 + x2 = 8 ………….. (1) x1 = 0 ………….. (2) Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24
x1=0 x2=8
x20
x10
1 2 3 4 5 6-1
5
4
3
2
1
1
2
Z óptimo
x2
x1
P(x1,x2)=P(0,8)
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 =2(0)+3(8)=24
Z1
7 8
6
7
8
Z2
5) Maximizar Z = 3x1 + 2x2
s.a. x1 + x2 1 …….….. (1) x2 - 5x1 0 ………... (2) 5x2 – x1 0 …….….. (3) x1 – x2 -1 ….….…. (4) x1 + x2 6 …….….. (5) x1 3 …….….. (6) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): -5x1 + x2 0m = tg = -c1 = -(-5) = 5 = x2 ; “m” positivo: x2=-5, x1=1 c2 1 1 x1
x11 x21 1 punto
1 punto
Práctica calificada (23.04.20159
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (3): – x1 + 5x2 0m = tg = -c1 = -(-1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=5 c2 5 5 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (4): x1 - x2 -1Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (5): x1 + x2 6Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (6): x1 3Si: x2=0;
x10 x20
x10 x20
x1-1 x21
x16 x26
x13
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = 3x1 + 2x2
m = tg = -c1 = -(3) = -3 = x2 ; “m” negativo: x2=3, x1=2 c2 2 2 x1
Resolviendo la intersección de (5) y (6):x1 + x2 = 6 …….….. (5) x1 = 3 …….….. (6) Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = 3x1 + 2x2 = 3(3) + 2(3) = 15
x10
x1=3
x20
x2=3
1 punto
2 puntos
1 punto
1 punto
x20
x10
1 2 3 4 5 6-1
5
4
3
2
1
1
2
Z óptimo
x2
x1
P(x1,x2)=P(3,3)Maximizar Z = 3x1 + 2x2 =3(3)+2(3)=15
Z1
7 8
6
3
4
5
-2
6
Z2
1 punto
6 puntos
6) Maximizar Z = 8x1 + 5x2
s.a. 2x1 + x2 10 …….….. (1) x1 + 3x2 18 ………... (2) 5x1 + x2 4 ………….. (3) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;
X210X15
Inecuación (2): x1 + 3x2 18
Si: x2=0; Si: x1=0;
Inecuación (3): 5x1 + x2 4
Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; yGráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5
c2 5 5 x1
x1 18 x2 6
x1 0.8 x2 4
x10 x20
Resolviendo la intersección de (3) para x2 = 4:
5x1 + x2 = 4 ………….. (3) x2 = 4entonces:
x1 = 0
x2 = 4Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(0) + 5(4) = 20
x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
Z óptimo
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(0,4)Maximizar Z = 8x1 + 5x2
1614 18
3
Polígono Convexo Acotado(cerrado)
Z
7) Maximizar Z = 8x1 + 5x2
s.a. 2x1 + x2 10 …….….. (1) x1 + 3x2 18 ………... (2) 5x1 + x2 4 ………….. (3) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;
X210X15
Inecuación (2): x1 + 3x2 18
Si: x2=0; Si: x1=0;
Inecuación (3): 5x1 + x2 4
Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; yGráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5
c2 5 5 x1
x1 18 x2 6
x1 0.8 x2 4
x10 x20
Resolviendo la intersección de (1) y (2):
2x1 + x2 10 …….….. (1)
x1 + 3x2 18 …….….. (2) x2 = 5.2 x1 = 2.4Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(2.4) + 5(5.2) = 45.2
x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
Z óptimo
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(2.4,5.2)Maximizar Z = 8x1 + 5x2
1614 18
3
Polígono Convexo Acotado(cerrado)
Z
8) Maximizar Z = -5x2
s.a. x1 + x2 1 …….….. (1) -0.5x1 - 5x2 -10 ….….. (2) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): -0.5 x1 - 5 x2 -10 Si: x2=0; , Si: x1=0;
X11 X21
x1 20 x2 2
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; yGráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = -5x2
m = tg = -c1 = -(0) = 0; la recta Z es horizontal
c2 -5No hay una posible intersección de los 4 semiplanos.
x10 x20
x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
x2
x1
Si “m”:Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg = x2
c2 x1
1614 18 20
Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)
Polígono Convexo Acotado(cerrado)
Solución NO FACTIBLE oProblema NO SOLUBLE
Z
9) Minimizar Z = 2x1 + 3x2
s.a. x1 + x2 13 …….….. (1) 2x1 + x2 18 ………... (2) x1 + 3x2 21 …….….. (3) x1 + 2x2 18 …….….. (4) x1,x2 0
Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 13Si: x2=0; , Si: x1=0;
X213X113
Inecuación (2): 2x1 + x2 18 Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (3): x1 + 3x2 21 Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (4): x1 + 2x2 18 Si: x2=0; , Si: x1=0;
x1 9 x2 18
x1 21 x2 7
X1 18 X2 9
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; yGráfico de la función objetivo:
Minimizar Z = 2x1 + 3x2
m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3
c2 3 3 x1
x10 x20
• Resolviendo la intersección de (1) y (4):• x1 + x2 = 13 …….….. (1)
x1 + 2x2 = 18 …….….. (4) x2 = 5 x1 = 8• Se obtiene la siguiente solución óptima única:• Minimizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(8) + 3(5) = 31
x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2 1
2
Z óptimo
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(8,5)Minimizar Z = 2x1 + 3x2
1614 18
3
12
14
16
18
20 21
4
Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)
Z
10) Una compañía posee dos minas: la Mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de 2.000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?
Solución mediante el método gráfico:
PRODUCCION (ton/dia)
mina Calidad ALTA
ton/dia
Calidad MEDIA ton/dia
Calidad BAJA
ton/dia
DIAS COSTO $/DIA
A 1 3 5 X1 2.000
B 2 2 2 X2 2.000
Cuadro de resumen de datos:
Planta concentradora: 80 ton 160 ton 200 ton capacidad
COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA Restricciones estructurales:
(1ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 80(3ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 160(5ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 200X1; X2 >= 0
Minimizar costos=(2.000$/día)x(X1dias) + (2.000$/día)x(X2dias)
Resumiendo se tiene:MIN Z =2.000X1 + 2.000X2
COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA
s.a.
1X1 + 2X2 >= 80……(1)3X1 + 2X2 >= 160 ……(2)5X1 + 2X2 >= 200 ……(3)X1; X2 >= 0Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): 1X1 + 2X2 >= 80
Si: x2=0; , Si: x1=0; X1 80 X2 40
• Inecuación (2): 3X1 + 2X2 >= 160 • Si: x2=0; Si: x1=0;
• Inecuación (3): 5X1 + 2X2 >= 200 • Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:• x1, x20; y
X1 40 X2 100
X1 53.33 X2 80
x10 x20
Gráfico de la función objetivo
minimizar 2.000X1 + 2.000X2
m = tg = -c1 = -(2) = -2= x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=2
c2 2 2 x1
• Resolviendo la intersección de (1) y (2):• 1X1 + 2X2 = 80 …….….. (1)
3X1 + 2X2 = 160 …….….. (4) x1 = 40 x2 = 20• Se obtiene la siguiente solución óptima única:• Minimizar Z = 2.000x1 + 2.000x2 = 2.000(40) + 2.000(20) = 120.000
x10
x20
2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
X2x(10)
P(x1,x2)=P(40,20)
X1x(10)
1
2
3
Z
Z óptimo
P(x1,x2)
Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)