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CONFIABILIDADE METROLÓGICA

Prof. Eng. Tobias Roberto Mugge

1 OBJETIVOS DA DISCIPLINA E CRONOGRAMA...............................................................2

2 INTRODUÇÃO À CONFIABILIDADE METROLÓGICA....................................................3 2.1 Metrologia............................................................................................................................3 2.2 Confiabilidade metrológica...................................................................................................3 2.3 Estruturação da metrologia....................................................................................................3

3 VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA (VIM)........................................5 3.1 Metrologia............................................................................................................................5 3.2 Medição...............................................................................................................................6 3.3 Grandeza..............................................................................................................................6 3.4 Unidade de medição.............................................................................................................6 3.5 Padrão..................................................................................................................................6 3.6 Método de medição..............................................................................................................7 3.7 Resultado da medição...........................................................................................................7 3.8 Instrumento de medição e medida materializada..................................................................7

4 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)...............................................................8 4.1 Principais unidades do SI......................................................................................................8 4.2 Prefixos das Unidades SI.......................................................................................................9 4.3 Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo.................................................9 4.4 Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariamente....................................................9 4.5 Conversão de unidades:.......................................................................................................10

5 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS........................................................................................11 5.1 Os algarismos significativos:...............................................................................................11 5.2 Operações com algarismos significativos ...........................................................................12 5.3 Arredondamento.................................................................................................................13 5.4 Quando o zero à direita, sem vírgula, for AS.......................................................................13

6 TEORIA DOS ERROS.............................................................................................................14 6.1 Erros de medição:................................................................................................................14 6.2 Tipos de Erros:....................................................................................................................14 6.3 Exatidão e Repetitividade....................................................................................................15 6.4 Exemplo de comportamento de um sistema de medição: ....................................................16 6.5 Critério de exclusão:...........................................................................................................18

7 INTRODUÇÃO À INCERTEZA DA MEDIÇÃO..................................................................19 7.1 Fontes de erros....................................................................................................................20

8 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO......................................................22

9 CÁLCULO DE INCERTEZA DE MEDIÇÃO.......................................................................25 9.1 Determinação da incerteza padrão Tipo A...........................................................................26 9.2 Determinação da incerteza padrão Tipo B...........................................................................27 9.3 Incerteza Padronizada Combinada.......................................................................................29 9.4 Incerteza Expandida............................................................................................................30 9.5 Fator de Abrangência k........................................................................................................30 9.6 Relatando e apresentando os cálculos de incerteza..............................................................31

CONFIABILIDADE METROLOGICA :: Prof Eng Tobias Roberto Mugge :: 1

1 OBJETIVOS DA DISCIPLINA E CRONOGRAMA

� Aplicar e utilizar princípios de metrologia em calibração de instrumentos e malhas decontrole.

� Cálculo básico de incerteza de medição

� Nomenclatura do VIM

� Algarismos Significativos

� Sistema internacional de Unidades (SI)

� Verificar a confiabilidade metrológica dos instrumentos de medição dentro do sistema daqualidade.

� Interpretação de certificados de calibração.

� Geração de certificados de calibração.

SEMANA CONTEÚDO

1º

� Sondagem diagnóstica; apresentação do cronograma e formas de avaliação.

� Introdução à metrologia.

� Conceitos básicos. Algarismos Significativos.

2º

� VIM � Vocabulário Internacional de Metrologia;

� SI � Sistema Internacional de Unidades

� Conversão de Unidades

3º

� Avaliação

� Teoria dos Erros

� Critérios de exclusão

� Introdução a estatística

4º� Noções de estatística

� Introdução ao cálculo de incerteza para instrumentos de medição

5º� Cálculo básico da incerteza de medição

� Interpretação de certificado de calibração

6º � Determinação da incerteza de medição

� Avaliação

7º � Noções de calibração

8º � Prática de calibração

9º

� Elaboração do certificado de calibração

� Revisão dos conteúdos

� Fechamento da disciplina


2 INTRODUÇÃO À CONFIABILIDADE METROLÓGICA

2.1 Metrologia

A ciência que trata das medições é a metrologia. A metrologia abrange todos os aspectosteóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecnologia. Oproblema central da metrologia é a credibilidade e universalidade dos resultados. Seus principaisdesafios são:

� Melhoria do controle do processo;� Melhoria da qualidade do produto;� Aumento da produtividade;� Redução do impacto ambiental;� Uso de sistema de medição viável técnica e economicamente;

2.2 Confiabilidade metrológica

Confiabilidade metrológica é a capacidade de ter certeza, confiança nos resultados obtidosatravés de medições. A confiabilidade metrológica está intimamente relacionado com o Controleda Qualidade, ou seja, a conformidade de um produto com os requisitos preestabelecidos pelaempresa.

Para isso, é necessário que se trabalhe com procedimentos, rotinas, instruções e métodos deinspeção específicos.

2.3 Estruturação da metrologia

O tratado do metro, que foi assinado em Paris no dia 20 de maio de 1875 contando com apresença de 17 países (entre eles o Brasil), estabeleceu o CGPM (Conférence Générale des Poids etMesures), o CIPM (Comité International des Poids et Mesures) e o BIPM (Bureau International desPoids et Mesures). O organograma abaixo demonstra a estruturação, assim como as funções de cadaparticipante do sistema.


As pirâmides abaixo demonstram a hierarquia do sistema metrológico. Os padrõesinternacionais são de responsabilidade do BIMP (ver figura acima). Os padrões nacionais são deresponsabilidade do Inmetro, no caso do Brasil. O laboratório do Cetemp, credenciado à rede RBC,conta com padrões calibrados a partir dos padrões do Inmetro, e realiza calibrações de padrões deempresas, que estão na base da cadeia.

Como a cada calibração a incerteza do padrão utilizado é somada à incerteza da própriacalibração, a incerteza de um nível mais baixo é sempre maior que a incerteza dos níveis que aprecedem (ver figura abaixo).

A incerteza do padrão primário do metro, por exemplo, é de ± 0,0013 m. A incerteza de�

calibração de um padrão de comprimento para a indústria (um bloco padrão) já é de ± 0,1 m.�


3 VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA (VIM)

Objetivos:

� Permitir uma comunicação clara na área de metrologia, e o entendimento dos

conceitos que serão tratados nas próximas aulas.

� Permitir a compreensão quando da leitura de documentos técnicos, como certificados

e procedimentos de calibração, e a correta utilização do vocabulário quando da

escrita desses documentos.

3.1 Metrologia

A ciência que trata das medições é a metrologia. A metrologia abrange todos os aspectosteóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecnologia.

Medir, entretanto, é uma atividade mais corriqueira do que parece. Ao olhar no relógio, porexemplo, você está vendo no mostrador o resultado de uma medição de tempo. Ao tomar um táxi,comprar um quilograma de carne no açougue ou abastecer o carro no posto de gasolina, vocêpresencia medições. Mas o que é uma medição?

3.1.1 Metrologia Legal

É o ramo da metrologia que desenvolve atividades para estabelecer e assegurar ocumprimento das exigências legais referentes aos direitos básicos da sociedade e dos consumidores.

É a "parte da metrologia que trata das unidades de medida, métodos de medição einstrumentos de medição em relação às exigências técnicas e legais obrigatórias, cujo objetivo éassegurar uma garantia pública do ponto de vista da segurança e da exatidão das medições".

Quais são os Objetivos da Metrologia Legal e o que envolve: Estabelecer e manter aRegulamentação Metrológica, através de Leis e Portarias Oficiais, para a fiscalização, o controle, asupervisão e a Perícia Metrológica, necessárias a proteger o consumidor enquanto comprador deprodutos e serviços e o vendedor enquanto fornecedor destes. Abrange os instrumentos de medir emedidas materializadas utilizadas nas atividades comerciais, oficiais, produtos pré-medidos,medições e exames nas áreas da saúde e segurança, que afetam a qualidade de vida das pessoas e domeio ambiente.

3.1.2 Metrologia Industrial

É o emprego da Metrologia no chão-de-fábrica e laboratorial, visando controlar asespecificações técnicas e/ou o processo de fabricação de um produto, constituindo-se em umatecnologia fundamental para a Garantia da Qualidade.

Importância da metrologia industrial: Diz um clássico ditado: "Só o que é mensurávelpode ser melhorado". Melhorar continuamente é o caminho da sobrevivência das empresas,impulsionado pela necessidade de satisfazer o "cliente", que assume a posição, cada vez maisdeterminante, no direcionamento dos mercados e na determinação dos produtos que sãoconsumidos. O princípio vale para todas as empresas que disputam mercados, cada vez maisdinâmicos e concorridos, cada qual buscando assegurar sua posição e seu crescimento. Medir torna-se, portanto, um elemento central nas ações em busca da satisfação do cliente e na conquista de


espaços maiores no mercado. Medir viabiliza quantificação das grandezas determinantes à geraçãode um bem ou serviço, subsidiando com informações o planejamento, a produção e o gerenciamentodos processos que o produzem.

3.2 Medição

Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza.Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natureza, tomada como padrão.Existe uma imensa variedade de coisas diferentes que podem ser medidas sob vários aspectos.Imagine uma lata, dessas que são usadas para refrigerante. Você pode medir a sua altura, pode medirquanto ela "pesa" e pode medir quanto líqüido ela pode comportar. Cada um desses aspectos(comprimento, massa, volume) implica numa grandeza física diferente.

3.3 Grandeza

Já deu pra perceber que o conceito de grandeza é fundamental para se efetuar qualquermedição. Grandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o atributo físico de umcorpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado.

Aqui vamos precisar de mais exemplos: a altura de uma lata de refrigerante é um dosatributos desse corpo, definido pela grandeza comprimento, que é qualitativamente distinto deoutros atributos (diferente de massa, por exemplo) e quantitativamente determinável (pode serexpresso por um número).

3.4 Unidade de medição

Para determinar o valor numérico de uma grandeza, é necessário que se disponha deuma outra grandeza de mesma natureza, definida e adotada por convenção, para fazer acomparação com a primeira. Para saber a altura daquela lata, por exemplo, é preciso adotar umcomprimento definido para ser usado como unidade. O comprimento definido como unidade demedida pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, é o Metro, seus múltiplos e submúltiplos. OMetro é definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um

intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.

3.5 Padrão

Seria bem complicado medir a altura de uma lata usando apenas a definição do Metro. Paraisso existem os Padrões Metrológicos. Um padrão metrológico é, em resumo, um instrumentode medir ou uma medida materializada destinado a reproduzir uma unidade de medir paraservir como referência. Medida materializada, instrumento de medição, material dereferencia ou sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou reproduzir umaunidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir de referencia.

O padrão (de qualquer grandeza) reconhecido como tendo a mais alta qualidade metrológicae cujo valor é aceito sem referência a outro padrão, é chamado de Padrão Primário. Um padrão cujovalor é estabelecido pela comparação direta com o padrão primário é chamado Padrão Secundário, eassim sucessivamente, criando uma cadeia de padrões onde um padrão de maior qualidademetrológica é usado como referência para o de menor qualidade metrológica. Pode-se, por exemplo,a partir de um Padrão de Trabalho, percorrer toda a cadeia de rastreabilidade desse padrão,chegando ao Padrão Primário.


3.6 Método de medição

Mesmo na medição mais corriqueira adotamos, de maneira consciente ou inconsciente, ummétodo de medição e um procedimento de medição. Como no exemplo do tópico anterior, métodose procedimentos de medição são adotados em razão da grandeza a ser medida, da exatidão requeridae de outros condicionantes que envolvem uma série de variáveis.

Vamos supor que você queira determinar o volume de 200ml de óleo comestível. Se vocênão necessita grande exatidão e você vai usar o óleo para fazer uma receita culinária o métodoescolhido pode ser, simplesmente, verter o óleo em uma medida de volume graduada (uma proveta,por exemplo). Porém, se o resultado exigir maior exatidão (um ensaio em laboratório), seránecessário utilizar outro método que leve em consideração outras variáveis, como a temperaturado óleo, sua massa, sua massa específica e por ai vai, uma vez que o volume do óleo varia emrazão da temperatura que este apresenta no momento da medição.

3.7 Resultado da medição

Após medir uma grandeza, devemos enunciar o resultado da medição. Parece coisa simples,mas não é. Em primeiro lugar, ao realizar uma medição, é impossível determinar um valorverdadeiro para a grandeza medida.

Vamos supor que você mediu a massa de um corpo em uma balança eletrônica e a indicaçãonumérica que apareceu no visor foi 251 g. Na verdade, um possível valor verdadeiro da massadaquele corpo estaria próximo da indicação obtida, embora este seja, por definição, indeterminável.Os parâmetros dessa aproximação são dados pela incerteza da medição. Como nos exemplosanteriores, se essa medição destina-se a fins domésticos, não é necessário qualquer rigor aoexpressar o seu resultado. Entretanto, quando se trata de medições para fins científicos outecnológicos, será preciso deixar claro se o resultado apresentado refere-se àquela indicação, ou aoresultado corrigido, ou ainda à média de várias medições. Deve conter ainda informações sobre aincerteza de medição, ser expresso utilizando-se o nome e a simbologia da grandeza de formacorreta e levar em consideração os algarismos significativos que compõem o valor numérico.

3.8 Instrumento de medição e medida materializada

Já temos padrões de referência! Agora, antes de fazer qualquer medição, precisamos saberqual a grandeza que pretendemos medir e o grau de exatidão que pretendemos obter como resultadodessa medição, para então podermos escolher o instrumento de medir adequado. Além disso, énecessário que o instrumento ou medida materializada em questão tenha sido calibrado.

Vamos supor que você queira saber quanto você "pesa". A grandeza a ser medida é a massa.Você não necessita de um resultado com grande exatidão de medição. A balança antropométrica dadrogaria resolve o seu caso. Agora, vamos supor que você trabalhe numa farmácia de manipulação eprecise determinar a massa do componente de um medicamento para aviar uma receita. Éaconselhável que você obtenha um resultado com grande exatidão de medição. Uma balançaanalítica compatível com a exatidão requerida é o instrumento mais adequado.


4 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Objetivos:

� Utilizar, na prática metrológica, unidades internacionalmente reconhecidas.

� Realizar conversão para as unidades do SI, de forma a poder utilizar estas unidades

na prática metrológica.

4.1 Principais unidades do SI

Abaixo são representadas as principais unidades que compõe o Sistema Internacional. Estasunidades podem ser utilizadas em conjunto com os prefixos, apresentados na tabela seguinte.

Grandeza Nome Plural Símbolocomprimento metro metros márea metro quadrado metros quadrados m²volume metro cúbico metros cúbicos m³ângulo plano radiano radianos radtempo segundo segundos sfreqüência hertz hertz Hzvelocidade metro por segundo metros por segundo m/s

aceleraçãometro por segundopor segundo

metros por segundopor segundo

m/s²

massa quilograma quilogramas kg

massa específicaquilograma pormetro cúbico

quilogramas pormetro cúbico

kg/m³

vazãometro cúbicopor segundo

metros cúbicospor segundo

m³/s

quantidade de matéria mol mols molforça newton newtons Npressão pascal pascals Patrabalho, energia quantidade de calor

joule joules J

potência, fluxo de energia watt watts Wcorrente elétrica ampère ampères Acarga elétrica coulomb coulombs Ctensão elétrica volt volts Vresistência elétrica ohm ohms �

condutância siemens siemens Scapacitância farad farads Ftemperatura Celsius grau Celsius graus Celsius ºCtemp. termodinâmica kelvin kelvins Kintensidade luminosa candela candelas cdfluxo luminoso lúmen lúmens lmiluminamento lux lux lx

Tabela 1 - retirada do site http://www.inmetro.gov.br/


4.2 Prefixos das Unidades SI

Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidadeyotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000tera T 1012 = 1 000 000 000 000giga G 109 = 1 000 000 000mega M 106 = 1 000 000quilo k 10³ = 1 000hecto h 10² = 100deca da 10deci d 10-1 = 0,1centi c 10-2 = 0,01mili m 10-3 = 0,001

micro µ 10-6 = 0,000 001nano n 10-9 = 0,000 000 001pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001


4.3 Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo

Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência

volume litro litros l ou L 0,001 m³ângulo plano grau graus º �/180 radângulo plano minuto minutos ´ �/10 800 radângulo plano segundo segundos ´´ �/648 000 rad

massa tonelada toneladas t 1 000 kgtempo minuto minutos min 60 stempo hora horas h 3 600 s

velocidadeangular

rotaçãopor minuto

rotaçõespor minuto

rpm �/30 rad/s


4.4 Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariamente

Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência

pressão atmosfera atmosferas atm 101 325 Papressão bar bars bar 105 Pa

pressãomilímetro

de mercúriomilímetrosde mercúrio

mmHg133,322 Pa

aprox. quantidade de calor caloria calorias cal 4,186 8 J

área hectare hectares ha 104 m²força quilograma-força quilogramas-força kgf 9,806 65 N

comprimentomilha

marítimamilhas

marítimas1 852 m

velocidade nó nós (1852/3600)m/sTabela 4 - retirada do site http://www.inmetro.gov.br/


4.5 Conversão de unidades:

Para realizar a conversão de uma unidade qualquer para o SI recomenda-se a utilização dométodo descrito abaixo, que utiliza a regra-de-três. Como exemplo, será utilizada a conversão de 67mmHg para a unidade de pressão do SI, o Pascal.

1. Encontrar o fator de conversão entre as unidades:

1 mmHg = 133,322 Pa

2. Iniciar a montagem de uma regra-de-três, reescrevendo a linha acima comosendo a primeira linha da regra.

1 mmHg 133,322 Pa

3. Completar a regra-de-três com o valor da grandeza de unidade conhecida abaixoda mesma unidade que já está na primeira linha e um 'x' abaixo da unidade quese deseja obter:

1 mmHg 133,322 Pa67 mm Hg x Pa

4. Resolver a regra-de-três descobrindo 'x':

1 · x = 133,322 · 67x = 8932,574 Pa

Converta 28 psi para a unidade do SI:


5 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Objetivos:

� Utilizar a teoria dos Algarismos Significativos para expressar o valor de uma medição

e para realizar cálculos com estes valores.

� Reconhecer, a partir desta teoria, a exatidão de uma medida realizada por outro

técnico.

5.1 Os algarismos significativos:

O resultado de uma medição deve, além de expressar um valor, deve expressar também aexatidão dessa medida. Exemplo: realizando a medida do comprimento de um lápis utilizando umarégua temos o seguinte:

Comprimento: 9,2 cm

É muito importante que se consiga distinguir a partir de um valor numérico quais sãoalgarismos corretos e qual é o algarismo duvidoso resultantes da medição. A medida decomprimento do lápis está entre 9,2 e 9,3 cm.

No exemplo acima temos como algarismo correto o �9�. Afinal, ele está na escala da régua.O �2� já é uma subdivisão imaginária da escala da régua. Ele não carrega a mesma certeza que o�9�. Por essa razão o 9 é considerado o algarismo correto, e o 2 é o algarismo duvidoso.

Dizer que o lápis tem um comprimento de 9,25 cm beira o absurdo, já que nenhum olhohumano consegue divir uma escala de 1 mm em 100 subdivisões, apenas no olho. O �5�, destaforma, não tem significado algum, não sendo considerado um algarismo significativo. Desta formauma medida deve ser expressa utilizando os algarismos corretos e apenas UM algarismo duvidoso,expressando a exatidão da medida.

Se for necessário realizar uma transformação de unidade, de forma a expressar a medida emmetros, o resultado seria 0,092 m. E em micrometros, 92000 m. Sabemos que esta medida tem�

dois algarismos significativos: o �9�, que é o correto, e o �2�, que é o duvidoso. Mesmo realizandoa conversão de unidades são esses os algarismos significativos provenientes da medição. Vejamosentão as regras que expressam quantos algarismos significativos têm uma medida, e qual é oduvidoso:

5.1.1 Algarismo MAIS significativo

É o algarismo significativo que mais interfere no valor da medição. A regra para encontrá-loé simples: O algarismo mais significativo é o primeiro algarismo à esquerda diferente de zero.

Exemplos: 9,2 cm 0,092 m 92 000 m�


5.1.2 Algarismo MENOS significativo

É o algarismo significativo que menos influencia na medida. É também o algarismoduvidoso no valor de uma medida. Sabemos que para 9,2 cm; 0,092 m e 92 000 m o algarismo�

duvidoso é o �2�. Por isso existem duas regras para determinar qual é o algarismo menossignificativo de uma medida.

Quando a medida não possui vírgula, o algarismo menos significativo é o ultimo algarismo àdireita diferente de zero. Exemplos: 92 000 m� 125 000 Pa

Quando a medida possui vírgula é o ultimo algarismo à direita. Mesmo que este for zero.Exemplos: 0,092 m 0,0320 Pa 890,670 m/s.

5.1.3 Número de algarismos significativos

Para saber quantos algarismos significativos uma medida possui basta contar todosalgarismos partindo do mais significativo até o menos significativo, inclusive estes:

0,092 m (2 A.S.) 890,670 m/s (6 A.S.)

9,2 cm (2 A.S.) 125 000 Pa (3 A.S.)

92 000 m� (2 A.S.) 0,0320 Pa (3 A.S.)

5.2 Operações com algarismos significativos

5.2.1 Soma (adição ou subtração)

Se tivermos uma malha de controle onde precisamos, para realizar determinado controle,somar a leitura de três instrumentos de medição de pressão diferentes, um com resolução decimal,outro centesimal e outro milesimal, qual deve ser a �resolução� do resultado da soma? O cálculo éfacil de ser realizado, como explicitado abaixo:

25,4 Pa + 49,89 Pa + 67,001 Pa = 142,291 Pa

Mas para o primeiro instrumento de medição o algarismo duvidoso está na casa dosdécimos. Para o segundo, na casa dos centésimos. E para o último, na dos milésimos. Sublinhandoos duvidosos de cada medida e repassando cada um deles para o resultado da soma temos:

25,4 Pa + 49,89 Pa + 67,001 Pa = 142,291 Pa

Nossa soma, portanto, possui neste momento três algarismos duvidosos. Só poderia ter um.Para que reste só um precisamos arredondar o resultado de forma a possuir somente a casa decimal,a menor resolução dos instrumentos que utilizamos:

25,4 Pa + 49,89 Pa + 67,001 Pa = 142,3 Pa


5.2.2 Multiplicação e divisão

Se necessitarmos multiplicar ou dividir o resultado de duas medições a fim de encontrar umresultado precisamos considerar, da mesma forma, a teoria dos algarismos significativos. Exemplo:deseja-se encontrar qual é o volume de um determinado fluído que passou pela tubulação emdeterminado tempo, como em uma bomba de posto de gasolina. Para isso mede-se tempo e fluxo,multiplicando-se os valores encontrados:

34,56 m3/s · 22,2 s = 767,232 m3

A regra para a multiplicação e divisão é a seguinte: o resultado precisa ter número dealgarismos significativos do número da sentença que tiver o menor número de A.S.

No exemplo, a medida de fluxo apresenta 4 A.S. e a medida de tempo, 3 A.S. O resultado,portando, necessita ter 3 A.S.

34,56 m3/s · 22,2 s = 767 m3

(4A.S.) (3A.S.) (3A.S.)

5.3 Arredondamento

Em muitos momentos quando se trabalha com algarismos significativos é necessário realizaro arredondamento de casas decimais. Se tivermos uma medida de 26,68 (4 AS) e tivermos quearredondar para 3AS, teremos 26,7.

O problema reside quando temos que arredondar um numero terminado em �5�, �50�,�500�.... Como 28,65. Para ficar com 3 AS, arredonda-se para mais ou para menos? Neste caso aregra é clara: arredonda-se para o valor positivo. Ficaria 28,6. Da mesma forma, 47,875 searredondado para 4 AS ficaria 47,88.

5.4 Quando o zero à direita, sem vírgula, for AS

Utilizando-se um manômetro foi encontrada uma medida de 4 600 Pa. Pela teoria dosalgarismos significativos, o algarismo duvidoso é o �6�, podendo a medida variar de 4 500 Pa a 4700 Pa. Mas o operador do manômetro sabe que na realidade o algarismo duvidoso é o último zero.De forma a possibilitar que teoria e prática ofereçam o mesmo resultado temos que alterar a formade representar esta medida com algarismos significativos. A solução é utilizar a notação científica:4,600 · 103 Pa. O algarismo menos significativo está sublinhado.


6 TEORIA DOS ERROS

Objetivos:

Responder as seguintes questões:

� Qual é a melhor forma de expressar o resultado de uma medição?

� Quais são os tipos de erros envolvidos em uma medição?

� Como cada um destes erros afeta a medição?

� O que é exatidão e o que é repetitividade?

6.1 Erros de medição:

Por diversas razões, que serão discutidas a seguir, todas as medidas estão afetadas por umerro, que trataremos como E. Este erro relativo a uma medida M pode ser sintetizado pelaexpressão:

E = M � VV

Onde VV é o valor verdadeiro que teria de ser representado por um padrão de valorperfeitamente conhecido ou por um sistema de medição livre de erros. Na prática esta situação éimpossível, por esta razão o erro E é calculado por:

E = M � VVC

VVC significa valor verdadeiro convencional, que contém um erro desprezível em relação aoerro do sistema de medição analisado (ideal menor que 1/10). Utilizamos, como ValoresVerdadeiros Convencionais, os padrões metrológicos.

6.2 Tipos de Erros:

6.2.1 Grosseiros

Falta de cuidado ou maus hábitos do operador. Causas: Erros de leitura , anotação errada,operação indevida, ajuste incorreto do instrumento de medição, escolha errada de escalas. Podemser evitados pela repetição cuidadosa das medições. Não podem ocorrer. Inadmissíveis na práticametrológica. Os procedimentos de medição, quando bem elaborados, contribuem para impossibilitaro ocorrência dos erros grosseiros.

6.2.2 Sistemáticos

São erros provenientes do sistema de medição utilizado. Propiciam medidasconsistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Sendoidentificados podem ser eliminados ou compensados. Causas: método de medição, paralaxe, efeitosambientais, simplificações do modelo teórico utilizado.

Exemplo: Em dada balança o método de medição de massa é indireto, utilizando umamedida de força para estabelecer a medida de massa através do modelo físico F = m . g, sendo �F�


a força medida pela balança a partir de stringages, �m� a massa do objeto e �g� a aceleração dagravidade. O fabricante estipulou que a aceleração da gravidade utilizada para calcular a massa é9,8 m/s2. Acontece que o valor da aceleração da gravidade varia de acordo com a longitude e aaltitude do local onde está sendo realizada a medição. Desta forma, se a balança for utilizada em umlocal com aceleração da gravidade diferente de 9,8 m/s2, todas as medidas apresentarão um desvioem relação ao valor real. A boa notícia é que, identificada esta fonte de erro sistemático, ela podeser compensada, bastando medir a aceleração da gravidade local e realizar um cálculo simples decorreção. Caso se deseje pode-se eliminar o erro, alterando o método de medição e utilizando umabalança de comparação.

6.2.3 Aleatórios

São causados por fatores imprevisíveis e aleatórios, tais como vibrações, atritos e folgas doinstrumento de medição. Tais fatores não podem ser identificados. Mas pode-se ter uma avaliaçãoquantitativa deles pois são os erros aleatórios que impossibilitam que, em uma série de medição,uma medida seja igual a outra. Sua quantificação é realizada para cada medida, sendo a diferençaentre cada medida e a média de um número infinito de medições em condições de repetitividade(mesmo operador, mesmo método de medição, mantendo as mesmas condições ambientais). A idéiade se ter 'condições de repetitividade' é que a única váriável no sistema de medição seja a grandezaa ser medida, de forma que grandezas de influência permaneçam constantes.

6.3 Exatidão e Repetitividade

Exatidão é a aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a um valorverdadeiro, sendo um conceito qualitativo.

Repetitividade é a aptidão de um instrumento de medição em fornecer indicações muitopróximas, em repetidas aplicações do mesmo mensurando, sob as mesmas condições de medição.Pode ser expressa quantitativamente em termos das características da dispersão das indicações.

Exato, mas pouco repetitivo. Repetitivo, mas pouco exato.

O instrumento de medição ideal apresenta ótima exatidão e ótima repetitividade. O gráficoabaixo apresenta estes conceitos de forma técnica, sendo sua correta interpretação necessária para acontinuidade dos estudos. Ele demonstra os valores das medidas encontrados a partir da calibraçãode um instrumento de medição. Para esta explicação podemos definir que está sendo calibrado umMicrômetro, utilizando um bloco padrão de 50 mm como padrão.


A linha abaixo de �Valor de referência� indica o valor da grandeza do padrão que está sendoutilizado como Valor Verdadeiro Convencional. Seria, no exemplo, a medida de 50 mm do bloco-padrão.

A linha curva é a curva de dispersão dos resultados encontrados na medição, sendo umacurva de Gauss, indicando no eixo x o valor da medida (50,12 mm; 50,17 mm; 50,10 mm) e no eixoy a ocorrência para este valor durante a série de medições. Esta curva de dispersão será explicadaem detalhes mais adiante, no estudo de incerteza.

A linha abaixo de �Média� indica a média dos resultados encontrados.

A distância entre a média da série de medições e o valor de referência indica o grau deexatidão do instrumento, que tem origem no seus erros sistemáticos. Como já estudado esses errospodem ser identificados e então compensados ou corrigidos.

A abertura da curva de Gauss indica a repetitividade do instrumento. Quanto mais abertaesta curva (no eixo x) maior foi a disperção entre os valores encontrados na série de medições.Quanto mais fechada, menor foi esta dispersão, estando cada medida mais próxima da média. Arepetitividade, portando, está relacionada aos erros aleatórios ocorridos durante a medição, vistoque o erro aleatório de cada medida é �a diferença entre cada medida e a média de um númeroinfinito de medições em condições de repetitividade�.

Para expressar o valor de um mensurando, portanto, precisamos inicialmente realizar umasérie de medições. Apenas desta forma poderemos ter uma idéia da repetitividade e da exatidãodessa medição. Note que se realizássemos apenas uma medição não conseguiríamos determinar acurva de distribuição, tampouco teríamos uma média.

6.4 Exemplo de comportamento de um sistema de medição:

Para exemplificar tem-se o exemplo da balança eletromecânica digital a seguir. Para saberqual o erro que a balança comete ao medir uma massa de 1 kg, coloca-se sobre a mesma uma massapadrão de erro desprezível em relação ao que pode ocorrer na balança.

Caso a experiência de determinação do erro venha a ser repetida, possivelmente a medida,correspondente a mesma massa padrão, seja um pouco diferente da anterior, fato que tambémocorrerá também às medidas subseqüentes. Este comportamento dos sistemas de medição édenominado repetitividade.


a) Primeira medição:

L = 1015gM = L.lM = 1015 gE = 1015 - 1000 = +15 g

b) Comportamento observado em medições subsequentes

Medida

E Td Ea

1015 15 15 01014 14 15 -11018 18 15 +31015 15 15 01013 13 15 -21016 16 15 +11017 17 15 +21014 14 15 -11015 15 15 01016 16 15 +11012 12 15 -31015 15 15 0

Média 1015 15 15 0

c) Análise da distribuição:

Se para um mesmo valor da grandeza a medir obtém-se diferenças nas medidas, o erro deuma medição não é constante. Pode-se caracterizar o erro como sendo a composição das seguintesparcelas:

E = Es + Ea + Eg

O erro sistemático (Es) ou Tendência (Td): é a parcela de erro da medição que se mantémconstante (em sinal e valor) ou varia de uma forma previsível, quando se efetuam várias mediçõesda mesma grandeza. Os erros sistemáticos e suas causas podem ser conhecidos e desconhecidos.


Como o erro sistemático é referente à série de medições ele é igual para todas as medidas(ver tabela acima). O erro sistemático é dado por:

Es = Td = MM �VVC, onde: MM = média das medidas

VVC = valor verdadeiro convencional

O erro aleatório (Ea): é a parcela de erro que surge em, função de fatores aleatórios:

Ea = M - MM

O erro grosseiro (Eg): é uma parcela que pode ocorrer em função de leitura errônea,operação indevida ou dano do sistema de medição. Seu valor é totalmente imprevisível, podendosua aparição suprimida a casos intuito esporádicos, desde que o trabalho de medição seja feito comatenção e coincidentemente. Esta parcela de erro não será considerada nos estudos a seguir.

No exemplo da balança, mostrado anteriormente, como foi aplicado um massa padrão de 1kg, pode-se afirmar que esta balança, sistematicamente apresenta um erro de +15 g, isto é, 15 gacima do valor esperado. O erro aleatório como falado e definido é imprevisível. Apenas pode-sesupor a partir deste experimento que ele ocorrerá dentro de uma faixa de ± 3 g (ver gráfico dedistribuição)

Se não fosse conhecido o valor da massa aplicada a tendência de um leigo seria afirmar:

m = 1015 ± 3 g

Como já é possível observar, ao fazer isto um grave erro será cometido, por simplesmenteter esquecido do erro sistemático. A determinação do resultado será motivo de uma discussão maisdetalhada em itens a seguir.

6.5 Critério de exclusão:

Em uma série de medições pode acontecer dealgumas das medidas não estarem condizentes com asdemais, geralmente devido a algum erro grosseiro. Mascomo saber quando uma medida deve ser excluida dasdemais? Utiliza-se algum critério de exclusão. A seguirestá apresentado o critério de Chauvenet.

O critério de exclusão de Chauvenet compara onúmero de desvios-padrão �r� que a medida �xi� difereda média com um critério de rejeição pré-estabelecido(probabilidade de 95 %). Caso �r� seja maior do que Rca medida em questão está fora da faixa de probabilidadese deve ser excluída da série.


S

xxr

i −=

n Rc n Rc

2 1,15 14 2,10

3 1,38 15 2,13

4 1,53 16 2,15

5 1,64 17 2,18

6 1,73 18 2,20

7 1,80 19 2,22

8 1,86 20 2,24

9 1,91 21 2,26

10 1,96 22 2,28

11 2,00 23 2,30

12 2,04 24 2,31

13 2,07 25 2,33

7 INTRODUÇÃO À INCERTEZA DA MEDIÇÃO

Fazendo-se uma análise da distribuição dos valores medidos normalmente constata-se que,quanto à repetitividade das leituras/medidas, os sistemas de medição apresentam uma distribuiçãoaproximadamente Gaussiana dos valores. Pode-se, então, utilizar os recursos de estatística paraavaliar a faixa dentro da qual ocorrerão os erros aleatórios. Esta faixa é denominada dispersão damedida (DM) ou repetitividade (Re) e seu valor pode ser calculado como sendo:

DM(P) = Re = ± t.S

Onde: DM(P) � dispersão da medida enquadrando P% dos valores.

Re � repetitividadeP � probabilidade de enquadramentot � fator de Student.S � desvio padrão calculado para n medidas.

( )

11

2

−

−

=∑

=

n

MMM

S

n

i

i

A dispersão avaliada desta forma, enquadra praticamente P% dos valores possíveis do erroaleatório. O fator t (coeficiente de Student) para comportamentos Gaussianos pode ser determinadoa partir de tabelas como a mostrada a seguir em função de P e n (tabela abaixo).

A balança mostrada anteriormente pode então ser caracterizada quanto ao seucomportamento metrológico pelos valores dos parâmetros:

� ES ou Td informando a parcela de erro sempre presente;

� DM(P) ou Re informando que a parcela de erro aleatório em P% dos casos não supera ovalor ± DM. Para este caso então teríamos:

Td = Es = 15 g

Sendo o desvio padrão S = 1,65 g

Para: P = 100% � DM(l00) = 4,0.1,65 = ± 6,6 g

P = 95% � DM(95) = 2,3.1,65 = ± 3,8 g

P = 68% � DM(68) = l,05.1,65 = ± 1,7 g


Valores de t e para vários níveis de probabilidade P

7.1 Fontes de erros

Toda medida esta afetada por um erro. Este erro é provocado pelo sistema de medição eoperador, sendo inúmeras as possíveis causas. 0 comportamento metrológico do SM é influenciadopor perturbações externas e internas, bem como efeitos de retroação do SM sobre a grandeza amedir e retroação do receptor da medida sobre o SM (esquematizado na figura abaixo).

As perturbações externas podem provocar erros alterando diretamente o comportamento doSM ou agindo diretamente sobre a grandeza a medir. 0 elemento perturbador mais crítico, de modogeral é a variação de temperatura ambiente. A variação de temperatura provoca, por exemplo,dilatação das escalas dos SM para medição de comprimentos, da mesma forma que age sobre agrandeza a medir, por exemplo, o comprimento a medir de uma peça.

A variação de temperatura pode também ser uma perturbação interna. Exemplo típico é anão estabilidade dos sistemas elétricos de medição, por determinado espaço de tempo, após teremsido ligados. Em função da liberação de calor nos circuitos elétricos/eletrônicos pode haver umavariação das características elétricas de alguns componentes e assim do SM. Há necessidade deaguardar uma estabilização térmica, a que minimizará os efeitos da temperatura.

A retroação do SM sobre o processo, ou seja, sobre a GM pode ter diversas causas. Porexemplo, na metrologia dimensional, a dimensão da peça modifica-se em função da forca demedição aplicada.

A retroação do receptor acontece, por exemplo, na conexão indevida de registradores desinal.

Para a operação o fabricante fixa condições limitantes aos fatores que influem sobre ocomportamento do SM. Somente dentro destas faixas é que são garantidas as especificaçõesmetrológicas dos SM.


Fontes de erros de medição

Finalmente existem uma série de outros fatores que influem nos erros, que não se pode

quantificar através de formulações. Estes fatores não são objeto de estudos de técnicas em

metrologia. São fatores relacionados com os erros grosseiros, mas que sem dúvida são necessários

de se conhecer, para que através do treinamento no trabalho seja possível evitá-los. Entre estes

fatores pode-se citar:

� Falhas causadas por cansaço;

� Falhas causadas por leitura distorcida (paralaxe);

� Falhas causadas por manipulação errada;

� Falhas causadas por falta de atenção.


8 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO

O comportamento funcional de um sistema de medição é descrito pelas suas características

(parâmetros) operacionais e metrológicas. Aqui é definida e analisada uma série destes parâmetros

para o uso correto da terminologia e uma melhor caracterização dos sistemas de medição.

Faixa de indicação (FI): A FI é o intervalo entre o menor e o maior valor que o indicador

do SM teria condições de apresentar como leitura (medida). Nos SMs de indicação analógica a Fl

corresponde ao intervalo entre o menor e o maior valor da escala.

Exemplos:

-Fl manômetro: 0 a 20 bar;

-FI termômetro: 700 a 12000C;

Faixa de medição ou faixa de operação (FO): É o intervalo entre o menor e o maior valor

da GM entre o qual o SM opera segundo as especificações metrológicas estabelecidas.

Exemplos:

- termômetro: FO: -50 a 2800C;

- medidor de deslocamento: FO: -0,050 a +0,050 mm;

A FO é menor ou, no máximo, igual a FI. A FO pode ser obtida através do manual de

utilização do SM, de sinais gravados sobre a escala, de especificações de normas técnicas ou de

relatórios de calibração.

Divisão de escala (DE): Característica de SM analógicos em que as leituras são em geral

obtidas a partir da posição de um elemento de referencia (ponteiro, coluna de líquido, etc.) em

relação a uma escala. 0 parâmetro DE corresponde ao valor nominal de variação da leitura entre

dois traços adjacentes da escala. Exemplos:

- manômetro: DE = 0,2 bar;

- termômetro: DE = 5 K;

- escala mecânica: DE = 1 mm.

Incremento digital (ID): Característica observada em SMs digitais e é o valor do

incremento digital. Deve-se tomar cuidado na definição deste parâmetro já que nem sempre a

variação do último dígito é unitária. Esta variação pode também ser de dois em dois ou de cinco

unidades.


Resolução (R): Resolução é a menor variação da grandeza a medir que pode ser

indicada/registrada pelo sistema de medição. A avaliação de resolução é feita em função do tipo de

instrumento:

� nos sistemas de medição de indicação ou registro digital, a resolução corresponde ao

incremento digital.

� nos sistemas de medição de indicação analógica, a resolução teórica é zero; no entanto,

em função das limitações do executor da leitura, da qualidade do indicador e da própria

necessidade de leituras mais ou menos criteriosas, a resolução a adotar no problema

específico pode ser:

• R=DE quando a grandeza a medir apresentar flutuações superiores a própria DE;

• R=DE/2 quando tratar-se de SM de qualidade regular ou inferior e/ou a GM apresentar

flutuações significativas ou tolerâncias de leitura grandes.

• R=DE/5 quando tratar-se de SM de boa qualidade (traços e ponteiros finos, etc.) e a

medição em questão tiver de ser feita criteriosamente.

• R=DE/10 quando o SM for de qualidade e a medição for altamente critica quanto a

erros de medição.

Erro sistemático (Es) ou Tendência (Td): É a parcela de erro que se mantém constante

(em sinal e valor) ou varia da forma previsível, quando se efetuam várias medições da mesma

grandeza.

Os erros sistemáticos (tendências) e suas causas podem ser conhecidos ou desconhecidos.

Dispersão da medição (DM) ou Repetitividade (Re): Especifica a faixa de valores dentro

da qual, com uma probabilidade estatística definida, se situará o erro aleatório de uma medição.

Normalmente especifica-se a DM de modo a abranger 95% dos erros aleatórios.

A utilização de outras probabilidades de enquadramento dos erros aleatórios depende da

aplicação e obedece tradições, determinações de norma ou desejo do usuário.

Função de transferência nominal (FTn) e real (FTr): No caso da balança anterior se

aplicarmos uma massa de 2 kg, o valor da tendência e da repetitividade certamente serão diferentes

de 15 g. Através de sucessivas experiências, com valores de GM distintos, pode-se determinar o

comportamento do SM em toda a sua faixa de operação (ou de interesse).

Esta operação de determinação do comportamento, pela aplicação de valores conhecidos, é


denominada calibração.

A função de transferência real difere da nominal em função dos SM apresentar erro

sistemático e aleatório, podendo notar esta diferença quando estas funções são apresentas em

gráficos, onde a FTr é um conjunto de curvas, onde existe uma linha media e uma faixa de

dispersão associada.

Curva de erro: Os gráficos FTr e FTn, em especial para instrumentos de qualidade, em

geral não oferecem boas condições para visualização do comportamento do SM, tendo em vista que

Os erros são pequenos frente ao valor da medida. Isto faz que este gráfico dê lugar as curvas de erro

(CE).

No gráfico CE, os erros são apresentados em função do valor indicado (leitura ou medida).

Este gráfico é bastante explicito sobre o comportamento do SM e muito prático para determinação

do resultado da medição (RM). Neste mesmo gráfico associa-se a curva de tendências os valores de

dispersão da medição (DM) em cada ponto, de modo a dar noção da faixa de erros total. A curva de

erro pode também apresentar a tendência com a incerteza expandida.

Correção (C): Sabendo-se que determinada leitura contém um erro sistemático de valor

conhecido, pode-se então eliminar este erro. Isto é feito através da correção (C), que é adicionada à

leitura: Lc = L + C, onde: Lc é a leitura corrigida.

O valor da correção é a tendência (Td) com o sinal trocado.

Sensibilidade (Sb): É a variação de sinal de saída (leitura) correspondente a uma variação

unitária da grandeza a medir.

Flutuação da sensibilidade (FS): Em função da variação das condições ambientais e de

outros fatores no decorrer do tempo, a função de transferência real do SM pode apresentar

mudanças em relação a função de transferência nominal. Como exemplo pode-se citar a variação da

Sb de um dinamômetro em função da temperatura que afeta o módulo de elasticidade do material.

Histerese (H): Diferença entre leitura/medida (L/M) para um dado valor da GM quando

esta foi atingida por valores crescentes e a L/M quando atingida por valores decrescentes da GM. A

histerese é um fenômeno bastante típico em SMs mecânicos devido a folgas e deformações

associados ao atrito.


9 CÁLCULO DE INCERTEZA DE MEDIÇÃO

Quando se relata o resultado de uma medição de uma grandeza física, é obrigatório que seja

dada uma indicação quantitativa da qualidade do resultado de forma tal que aqueles que o utilizam

possam avaliar sua faixa de dúvidas. Sem esta indicação, resultados das medições não

podem ser comparados, seja entre eles mesmos ou com valores de referência dados numa

especificação ou numa norma. É, portanto, necessário que haja um procedimento prontamente

implementado, facilmente compreendido e de aceitação geral para caracterizar a qualidade de um

resultado de uma medição, isto é, para avaliar e expressar sua incerteza. O procedimento

apresentado a seguir é baseado no ISO-GUM, Guia para determinação da Incerteza de Medição.

Quando se relata o resultado de uma medição de uma grandeza física, é obrigatório que seja

dada uma indicação quantitativa da qualidade do resultado de forma tal que aqueles que o utilizam

possam avaliar sua faixa de dúvidas. Sem esta indicação, resultados das medições não podem ser

comparados, seja entre eles mesmos ou com valores de referência dados numa especificação ou

numa norma. É, portanto, necessário que haja um procedimento prontamente implementado,

facilmente compreendido e de aceitação geral para caracterizar a qualidade de um resultado de uma

medição, isto é, para avaliar e expressar sua incerteza.

O Guia para a Expressão da Incerteza de medição adotou a abordagem de combinação de

componenetes de incerteza em duas categorias baseadas em seus métodos de avaliação:

� Avaliação tipo A - método de avaliação da incerteza pela análise estatística de uma

série de observações.

� Avaliação tipo B - método de avaliação da incerteza por outros meios que não a

análise estatística de uma série de observações.

A incerteza padronizada ou padrão de uma fonte de erro é a faixa de dispersão em torno

do valor central equivalente a um desvio padrão.

A avaliação da incerteza padronizada pode ser classificada em Tipo A e Tipo B. O propósito

de classificação Tipo A e Tipo B é de indicar as duas maneiras diferentes de avaliar as componentes

da incerteza e serve apenas para discussão, a classificação não se propõe a indicar que haja qualquer

diferença na natureza dos componentes resultando dois tipos de avaliação. Ambos os tipos de

avaliação são baseados em distribuições de probabilidade e os componentes de incerteza resultantes

de cada tipo são quantificados por variâncias ou desvios padrão.


Passos para a determinação da Incerteza de Medição:

� Determinar a fonte de incerteza padrão Tipo A

� Determinar as fontes de incerteza padrão Tipo B

� Calcular a Incerteza Combinada

� Determinar o Fator de Abrangência

� Calcular a Incerteza Expandida

� Relatar o valor da medição e a incerteza deste

9.1 Determinação da incerteza padrão Tipo A

Este tipo de avaliação será normalmente utilizado para obter um valor para a repetitividade

ou aleatoriedade de um processo de medição apresentado em uma ocasião particular.

A dispersãos dos resultados indica a repetitividade do processo de medição e depende dos

equipamentos utilizados, do método, e algumas vezes do técnico que está efetuando a medição. A

função estatística utilizada para caracterizar a dispersão nos resultados é o desvio padrão amostral,

lido como:

1

)(1

2

−

−

=∑

=

n

x

S

N

i

i µ

Neste caso, a incerteza padrão será caracterizada pelo desvio padrão experimental da média:

n

sxs i =)(

Nos casos onde o desvio padrão amostral for igual a zero, ou bastante pequeno, como

acontece nos processos de calibração de micrômetros, paquímetros, poderá ser assumido que há um

intervalo dentro do qual existe a possibilidade de se encontrar o valor da grandeza xi. Este intervalo

será ± a divisão da escala do instrumento (± a resolução). Como esta distribuição de probabilidade é

uniforme retangular, deverá ser transformada em normal. Para isso , a seguinte condição

matemática deverá ser satisfeita:

2

.)(

resolxs i = , então assume-se que

3

)()(

_ixs

xs =


9.2 Determinação da incerteza padrão Tipo B

Se um laboratório de medição tivesse recursos e tempo ilimitados, ele poderia conduzir uma

investigação estatística exaustiva de cada causa concebível de incerteza, por exemplo, utilizando

vários instrumentos de feitios e tipos diferentes, métodos diferentes de medição, aplicações

diferentes do método e diferentes aproximações em seus modelos teóricos de medição. As

incertezas associadas à todas estas causas poderiam então ser avaliadas pela análise estatística da

série de observações e a incerteza de cada causa seria caracterizada por um desvio padrão avaliado

estatisticamente. Em outras palavras, todos os componentes de incerteza seriam obtidos de

avaliações do Tipo A. À medida que tal investigação não é uma prática econômica, muitos dos

componentes de incerteza precisam ser avaliados por quaisquer outros meios que sejam práticos, ou

seja, a incerteza padronizada é avaliada através de um julgamento científico baseado em todas as

informações disponíveis sobre a variabilidade possível de uma grandeza de entrada.

O conjunto de informações pode incluir:

� Experiência com ou conhecimento geral do comportamento e propriedades demateriais relevantes e instrumentos;

� Dados fornecidos em certificados de calibrações e outros certificados;

� Incertezas especificadas para dados de referência tomados de manuais;

� Correções a serem feitas;

� Dados de medições anteriores. Por exemplo, histórico em gráficos podem serconstruídos e podem fornecer informações úteis sobre mudanças em função dotempo;

� Experiência ou conhecimento geral do comportamento e propriedades de materiaissimilares e equipamentos;

� Valores aceitos de constantes associadas com materiais e grandezas;

� Especificações de fabricantes;

� Qualquer outra informação relevante.

O uso apropriado do conjunto de informações disponíveis para a avaliação do tipo B de

incerteza padronizada pede um discernimento baseado na experiência e no conhecimento geral, e é

uma habilidade que pode ser apreendida com a prática. Deveria ser reconhecido que uma avaliação

do tipo B de incerteza padronizada pode ser tão confiável quanto uma avaliação tipo A,

especialmente em situações de medição onde uma avaliação tipo A é baseada em um número

comparativamente menor de observações estatisticamente independentes.

As incertezas individuais avaliadas pelo método apropriado serão denominadas

individualmente como uma incerteza padronizada.


Como o potencial para erros em um estágio posterior da avaliação deve ser minimizado

expressaremos todas as componentes de incerteza como um desvio padrão. Este método requer o

ajuste de alguns valores de incerteza, tais como aqueles obtidos de certificados de calibrações e

outras fontes, que freqüentemente serão expressos com um alto nível de confiança, implicando em

um múltiplo do desvio padrão.

Como a incerteza padronizada é derivada da incerteza da grandeza de entrada, tal ajuste é

obtido dividindo-se a grandeza de entrada por um número associado com a distribuição de

probabilidade assumida. Os divisores para as distribuições comumente encontrados são os que

seguem:

Normal (k=x) x

Retangular 3

Triangular 6

Em forma de U 2

Alguns exemplos das fontes mais comuns de incerteza tipo B e sua transformação para

incerteza padronizada serão apresentadas à seguir.

9.2.1 Resolução e divisão de escala de um instrumento de medição:

A resolução de um instrumento de medição digital ou a divisão de escala de um instrumento

de medição analógico, assim como a capacidade de interpolação do operador causam uma

componente de incerteza matematicamente expressa como:

32

duR = , onde �d� é a resolução ou capacidade de interpolação do operador

9.2.2 Histerese:

A histerese �h� na indicação de um instrumento de medição deve ser tratada como uma

incerteza simétrica em relação a média das duas indicações (avanço/retorno) que formam a

histerese. A componente de incerteza atribuída a histerese terá como incerteza padronizada:

32

huh = , onde �h� é a histerese do instrumento de medição.


9.2.3 Certificados de calibração (incerteza herdada):

Certificados de calibração apresentam valores medidos de características metrológicas e

suas respectivas incertezas de medição. Quando um instrumento calibrado é utilizado, as incertezas

padronizadas oriundas do certificado de calibração são as apresentadas à seguir, porém não se

limitam a estas:

Incerteza herdada da calibração do instrumento de medição:

k

Uuc = , onde

U: Incerteza expandida expressa no certificado de calibração;

k: Fator de abrangência expresso no certificado de calibração.

Erro de indicação do instrumento de medição:

3

EuE = , onde

E: Erro de indicação expresso no certificado de calibração;

9.3 Incerteza Padronizada Combinada

Uma vez que as contribuições associadas com o processo de medição forem identificadas e

quantificadas, será necessário combiná-las da mesma maneira a fim de prover um único valor de

incerteza que poderá ser associado com o resultado de medição. Então, as incertezas padronizadas

individuais são combinadas para produzir um valor total de incerteza, denominada como incerteza

padronizada combinada.

Utilizando um conjunto de convenções predeterminadas, os órgãos de credenciamento, os

laboratórios e sues clientes estarão aptos a comparar resultados de diferentes fontes da mesma

maneira, sendo que as incertezas herdadas dos padrões nacionais aos usuários finais,

freqüentemente através de uma cadeia de muitos laboratórios, também serão tratadas de maneira

consistente e da mesma maneira a cada passo do processo.

As componentes de incerteza tem que ser combinadas para produzir uma incerteza total. Na

maioria dos casos, isto é reduzido a aplicar a raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas


padronizadas. Todavia, alguns componentes podem ser interdependentes e podem, por exemplo,

cancelar ou reforçar umas às outras. Em muitos casos isto é facilmente visto e os componentes

interdependentes podem ser adicionados algébricamente para obter um valor líquido. Todavia, em

casos mais complexos, métodos matemáticos mais rigorosos devem ser utilizados para tais

componentes correlacionadas.

( ) ( ) ( )u y c u x u yc i i

i

N

i

i

N

= ≡= =

∑ ∑2 2

1

2

1

9.4 Incerteza Expandida

É usualmente requerida para reunir as necessidades de muitas aplicações, especialmente

onde segurança interessa. Ela intenciona fornecer um intervalo maior do que a incerteza padrão

sobre o resultado de uma medição, consequentemente, uma alta probabilidade de que o valor

verdadeiro do mensurando esteja contido neste intervalo. Isto é obtido através da multiplicação da

incerteza padrão combinada por um fator de abrangência, k.

Para muitas finalidades um valor de 2 é usado para k, fornecendo um nível de confiança de

aproximadamente 95%.

9.5 Fator de Abrangência k

Na maioria dos casos, será possível avaliar incertezas do tipo B com alta confiabilidade.

Além disso, se o procedimento apresentado para fazer as medições é bem estabelecido e as

avaliações do tipo A são obtidas de um número suficiente de observações, então o uso do fator de

abrangência de k=2 significará que a incerteza expandida, U, fornecerá um intervalo com um nível

de confiança de 95%.

Todavia, na maioria dos casos, não é prático basear a avaliação tipo A em um grande

número de leituras, o que poderá resultar em um nível de confiança menor do que 95% se o fator de

abrangência de k=2 for utilizado. Nestas situações o valor de k, ou mais estritamente kp, onde p é a

probabilidade de confiança em termos percentuais, por exemplo 95, deve ser baseada na

distribuição t-student e não na distribuição normal.

Para a obtenção de um valor para kp será necessário obter uma estimativa dos graus efetivos

de liberdade, veff, da incerteza padronizada combinada uc(y). O Guide recomenda que a equação de


Welch-Satterwaite seja utilizada para calcular o valor de veff, baseado nos graus de liberdade, vi, das

contribuições individuais de incerteza ui(y). Logo:

( )( )

vu y

u y

v

eff

c

i

ii

N=

=

∑

4

4

1

Nota 1: Os graus de liberdade, vi, para contribuições obtidas de avaliações tipo A é n-1.

Nota 2: Os graus de liberdade, vi, para contribuições obtidas de avaliações tipo B com

distribuições de probabilidade retangulares, triangulares ou em forma de U é �.

Nota 3: Os graus de liberdade, vi, para a incerteza herdada da calibração de um instrumento

de medição é o veff apresentado no certificado de calibração do instrumento.

Tendo obtido um valor para veff , a tabele t-student será utilizada para encontrar um valor de

tp(v). A tabela abaixo apresenta alguns valores para t95,45(v); Valores para outros níveis de confiança

podem ser encontrados no Guide.

veff 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16t(v) 13,9 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,28 2,23 2,20 2,17

veff 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100 �

t(v) 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,00

Nota: Se o valor de veff obtido da equação não é um número inteiro, que será geralmente o

caso na prática, o valor correspondente de tp poderá ser interpolado ou truncado para o próximo

número inteiro mais baixo. O valor obtido para t95,45(v) é o valor de k95,45 requerido para calcular a

incerteza expandida U95,45.

9.6 Relatando e apresentando os cálculos de incerteza

Para apresentar os dados e cálculos de uma forma na qual seja facilmente entendida, é

sugerida a construção de uma tabela a qual apresenta as grandezas de entrada e saída, as

distribuições de probabilidade associadas e os respectivos divisores. Um layout sugestivo é

apresentado na página seguinte e é similar ao usado no apêndice G da NIS3003, edição 8.


Deve ser relembrado que a incerteza total é somente uma estimação e por esta razão, não

existe a necessidade para precisões inadequadas na apresentação dos resultados. Se a incerteza

expandida é calculada como sendo, por exemplo, ± 0,388 unidades, esta poderá ser arredondada

para ± 0,39 ou até ± 0,4 unidades.

Sugestão de tabela para cálculos de incerteza:

Fonte de IncertezaXi

Estimativa

δ (xi)

IncertezaPadr

ão u(xi

)

Distribuição de

Probabilidade/ fator

divisor

Coeficiente deSensibilidade

Contribuiçãopara

Incerteza ui(y)

Grausde

liberdadeνi eνeff

x1

x2

.....

xn

uc(y)U(y)

O resultado de uma medição deve reportado na forma y ± U. Esta condição não estaria

completa sem a menção ao fator de abrangência usado para obter a incerteza expandida. Uma

indicação do nível de confiança obtido deverá ser incluído. Uma sugestão para fornecer uma

informação completa acerca da incerteza de medição poderá ser a seguinte:

�A incerteza declarada é baseada em uma incerteza padronizada combinada

multiplicada por um fator de abrangência k=2, fornecendo um nível de confiança de

aproximadamente 95%.�

Os valores de k e para o nível de confiança serão, todavia, modificados quando usados

outros, que não este apresentado no exemplo.


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