cong thuc toan cap 3 editor
TRANSCRIPT
Mò
• �� � �� �� �������ầ� � � � �� ��� � ���
• ��� � ���� � ���� � �����
• ��� �� � ����� ����� � ���� • ����� � ����
• ����� � ���� � ��a � ���� • � ! � " �� ! �� # $ ! % • & ' ( ' �) �� ! �� # $ ' % • � ! &* ( + � " �,�-� � �.�-� / 0�1� � 2�1� • 3�,�-� ! �.�-�� ! � 4 # 0�1� ! 5�6� • 3�,�-� ! �.�-�& ' ( ' � 4 # 0�1� ' 5�6�
7 � 189:;<=>?) + ℝ nếu α nguyên dương.
+ ℝ nếu α nguyên âm hay α = 0.
+ (0 ; + ∞ ) các trường hợp còn lại
>B2� 1 9:C2DE�FDG� ! &* ( + �• >B2� 1 � � / 1 � �� � ��H.IJ � K
• >B2� � � &� >B2� � � �� >B2� �L � F • >B2� �9 � >B2� � M >B2� 9� • >B2� �N � >B2� � O >B2� 9 • >B2� �L � F� >B2��� • >B2� �� � O >B2� � � >B2� ��� � �� >B2� �
• >B2� � � >B2� 9 � >B2� 9� >B2� 9 � �H.I N�H.I �
• >B2� � � ��H.P � � >B2�Q � � �L >B2� �
• 3>B2� 0�1� � >B2� 2�1�� ! &* ( + � / 3 0�1� ! &0�1� � 2�1�44 • 3>B2� 0�1� ! >B2� 2�1�� ! � / 3 2�1� ! &0�1� ! 5�6�44 • 3>B2� 0�1� ! >B2� 2�1�& ' ( ' � / 3 0�1� ! &0�1� ' 5�6�44
7 � 0RS�1�T U 7-V � 7WV � S-V � �SX�V � SVX O XVSXY � ZFS[V � OFSVSY �S \ X \ ]�V � SV \ XV \ ]V �S� X�^ � S^X M X^S� �SX]�V � SVX] M SXV] M SX]V
�_�^ � & �18�V � α� 18�� Z�1[V � O �1Y
R�1TV � �`�1 �aGC 1�V � 9Ba 1 �9Ba 1�V � OaGC 1 �b�C 1�V � �9BaY 1
�9Bb 1�V � O �aGCY 1 ��-�V � �- >C � �c-�V � c- �>B2� 1�V � �1>C�
�>C 1�V � �1
�S8�V � α� S8��� Sd Z�S[V � O SVSY
R�STV � SV`�S �aGC S�V � Sd 9Ba S �9Ba S�V � OSd aGC S �b�C S�V � Sd9BaY S
�9Bb S�V � O SdaGCY S ��W�V � �W� SV� >C � �cW�V � SdcW �>B2� S�V � SdS>C�
�>C S�V � SdS
e &f1 � _ e �f1 � 1 M _ g�1 f1 � >C h1h M _
e cL-f1 � �F cL- M _
e 18f1 � 18��α M � M _� α + O�
e �-f1 � �->C � M _
e aGC F1 f1 � O�F 9BaF 1 M _ �F aGC F1 M _
g
�9BaY 1 f1 � b�C 1 M _
g �aGCY 1 f1 � O 9Bb 1 M _
• 1 � �* 1 � �* 7 � 0�1�* i1)j � e h0�1�hf1��
• 1 � �* 1 � �* 7 � 0�1�* 7 � 2�1�)j � e h0�1� O 2�1�hf1�� • 7 � 9* 7 � f* 1 � D�7�)j � e hD�7�hf7kN
• 7 � 9* 7 � f* 1 � D�7�* 1 � F�7�)j � e hD�7� O F�7�hf7kN
• 1 � �* 1 � �* 7 � 0�1�* i1quay quanh Ox : l � me 0Y�1� f1��
• 7 � 9* 7 � f* 1 � 2�7�* i7quay quanh Oy:l � me 2Y�7�f7��
Lòy thõa
Logarit
*
>Gª-¹ aGC 11 � �� >GªW�-�¹ aGCS� 1�S�1� � �� >Gª�¹¸ Z� M �C[� � >Gª�¹0
�� M C��� � c� >Gª-¹ c- O �1 � ��>Gª-¹ �- O �1 � >C�� >Gª-¹ >C�� M 1�1 � �
Mét sè giíi h¹n:
§¹o hµm
Ph¶i cm:
g tanxdx = - ln|cosx| + c
cotxdx = ln|sinx| + c
g
g �� \1Y �Y � \1Y �Y | + c= ln|x + dx
g lnx dx = xlnx - x + c
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay:
G�L � �� G�L�� � G� G�L�Y � O�� G�L�} � OG � M �G � �V M �VG / �� � �V� � � �d� �� M �G� \ ��V M �VG� � �� \ �V� M �� \ �V�G � � � M �G9:aốñốG>àO � � O� O �G �� M �G���V M �VG� � ���V O ��V� M ���V M ��V�G � � � M �G � aố$Dứ9>G�CDợ$�n � � O �G h�� �Vh � h�h� h�Vh� h� M �Vh � h�h M h�Vh ��� � �h�hY � �n� �V� � �V� ��� � �V� �nh�hY � �V� �n�� �n
Z�V� [nnnnnn � �V��n � ��V� � � h�Vhh�h
ðơn vị ảo i: GY � O�
• dạng ñại số : � � � M �G ,a,b ∈ ℝ
�n � � O �G ; �n� � ��� M �dnnnnnnn � �n M �d�� ��dnnnn � �n� �d� z là số thực /z� �n ; �>?aốảB / � � O�n h�h � ��Y M�Y=��� �n ; h�h � &� h�h � & / � � &
�>?9�C�ậ9D�G9ủ�] / �Y � ]
������ ��V � ��V�9Ba� M V� M GaGC� M V�¡��V � ��V �9Ba� O V� M GaGC� O V�¡�� � ���9Ba C M GaGCC ���� � ��� Z9Ba M `FmC M GaGC M `FmC [
4 F � &�C O �nnnnnnnnnnnn
nếu z = x+yi , w = a+bi thì :31Y O 7Y � �`17 � � 4 › Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là \�� › Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là \�O�� G › Phương trình bạc hai : ��Y M �� M _ � & ¢ � �Y O £�_ ; δ là một căn bậc 2 của e . ¢ + & � ��*Y � ��\¥Y� � ¢ � & � �� � �Y � O �Y�
• Dạng lượng giác:
� � �(cos +isin ) với ¦� � h�h � ��Y M�Y9Ba � �§ � aGC � �§ �4 � � �(cos +isin ) �d � �d(cos ^+isin ^)
Sè phøc
�� \ ��Y � �Y \ `�� M �Y ; �� \ ��} � �} \ ~�Y� M ~��Y \ �}
�Y O �Y � �� M ���� O �� ; �} \ �} � �� \ ����Y � �� M �Y� H¼ng ®¼ng thøc
y = a x(a>0)
TX§: R
§KX§: x > 0 ;
x=b x=a
f(x)
g(x)
y=a f(y) y=b
g(y)
a b
f(x)
ab f(y)
1
cos kx dx = g
aGCY 1 M 9BaY 1 � �� b�C 1 � aGC 19Ba 1� 9Bb 1 � 9Ba 1aGC 1 � � M b�CY 1 � �9BaY 1
� M 9BbY 1 � �aGCY 1
C«ng thøc
b�C 1 9Bb 1 � �
aGC 1 aGC 7 � �̀ �9Ba�1 O 7� O 9Ba�1 M 7�¡ aGC 1 9Ba 7 � �̀ �aGC�1 M 7� M aGC�1 O 7�¡ 9Ba 1 9Ba 7 � �̀ �9Ba�1 M 7� M 9Ba�1 O 7�¡
TÝch thµnh tæng
aGC�1 \ 7� � aGC 1 9Ba 7 \ aGC 7 9Ba 1 9Ba�1 \ 7� � 9Ba 1 9Ba 7 � aGC 1 aGC 7 b�C�1 \ 7� � b�C 1 \ b�C 7� � b�C 1 b�C 7 Céng
aGC 1 M aGC 7 � ` aGC 1 M 7` 9Ba 1 O 7`
aGC 1 O aGC 7 � ` 9Ba 1 M 7` aGC 1 O 7`
9Ba 1 M 9Ba 7 � ` 9Ba 1 M 7` 9Ba 1 O 7`
9Ba 1 O 9Ba 7 � O` aGC 1 M 7` aGC 1 O 7`
b�C1 \ b�C7 � aGC�1 \ 7�9Ba19Ba7 9Bb1 \ 9Bb7 � aGC�7 \ 1�aGC1aGC7
Tæng thµnh tÝch
aGC�m̀ M �� � 9Ba � 9Ba�m̀ M �� � O aGC � b�C�m̀ M �� � O9Bb � 9Bb�m̀ M �� � Ob�C � aGC�m̀ O �� � 9Ba � 9Ba�m̀ O �� � aGC � b�C�m̀ O �� � 9Bb � 9Bb�m̀ O �� � b�C � aGC�m O �� � aGC � 9Ba�m O �� � O9Ba � b�C�m O �� � Ob�C � 9Bb�m O �� � O9Bb � aGC�m M �� � OaGC � 9Ba�m M �� � O9Ba � b�C�m M �� � b�C �
9Bb�Oα� � O9Bbα
9Bb�m M �� � 9Bb � ¨©C�Oα� � OaGCα 9Ba�Oα� � 9Baα b�C�Oα� � Ob�Cα
�aGC 1 M �9Ba1 � |�Y M �Y aGC�1 M α� XớG " 9Ba α � ���Y M �Y aGC α � ���Y M �Y
aGC 1 \ 9Ba 1 � �`� aGC�1 \ m£�
aGC ~1 � ~ aGC 1 O £ aGC} 1 9Ba ~1 � £ 9Ba} 1 O ~ 9Ba 1 Nh©n ba
9Ba`1 � 9BaY 1 O aGCY 1 ` � ` 9BaY 1 O �� � O ` aGCY 1 b�C `1 � ` b�C 1� O b�CY 1� 9Bb `1 � 9BbY 1 O �` 9Bb 1
aGCY 1 � � O 9Ba `1` � 9BaY 1 � � M 9Ba `1`
b � b�C 1̀ � aGC1 � `b� M bY
9Ba1 � � O bY� M bY � b�C1 � `b� O bY
Nh©n ®«i vµ h¹ bËcaGC `1 � ` aGC 1 9Ba 1
aGC 1 � aGC α/ ¯1 � α M F`m1 � m O α M F`m 4 9Ba 1 � 9Ba α / ¯1 � α M F`m1 � Oα M F`m4 b�C 1 � b�C α / 1 � α M Fm 9Bb 1 � 9Bb α / 1 � α M Fm
°±±±±±±±²aGC 1 � � / 1 � m̀ M F`m
aGC 1 � O� / 1 � O m̀ M F`maGC 1 � & / 1 � Fm9Ba 1 � � / 1 � F`m9Ba 1 � O� / 1 � m M F`m9Ba 1 � & / 1 � m̀ M Fm4
aGC 1 � ª 9Ba 1 � ª �aGC 1 M �9Ba1 � 9
PT:
Có nghiệm / hªh � �
Có nghiệm / �Y M �Y � 9Y �S��>?_j_ / ³C ∈ ´µ* S��� � S� M f* f � Da� SL � SL�� M SL��` �F � `�� S� � S� M �C O ��f j� � C�S� M S��` � C�`S� M �C O ��f¡` �S��>?_jK / ³C ∈ ´µ* S��� � S�� ¶� ¶ � Da j� � S�� � O ¶�� O ¶ � h¶h ' � U ·¸ � S�� O ¶
CÊp sè céng
CÊp sè nh©n
SLY � SL��� SL��� �F � `� ;S� � S� � ¶���
& ~& £¬ & ®&
sin & �̀
�`̀
�~̀ �
cos � �~̀
�`̀
�̀
&
tan & �~~ �
�~ hh
cot hh �~ �
�~~ &
Lượng giác : 2
£ª�Y � `�Y M `9Y O �Y
j � �̀ �� D� � �̀ �9aGC� � ��9£« � $� � � |$�$ O ���$ O ���$ O 9� �aGC� � �aGC� � 9aGC_ � `«
Trung tuyến: Diện tích tam giác :
ðl hàm số Cosin: �Y � �Y M 9Y-2bc.cosA ðl hàm số sin:
Tam gi¸c
HÖ 2 Èn
3 �1 M �7 � 9�V1 M �V7 � 9d� = � º � ��V �Vº � =- � º9 �9d �dº4 � =» � º� 9�d 9dº
• KếS= + & U 1 � ¼½¼ � 7 � ¼¾¼ • KếS= � &X?R=- + &D�7=» + &T U Dệ XôC2DGệª
• KếS= � =- � =» � & U DệXôaốC2DGệm
Hệ 3 ẩn :¿ �1 M �7 M 9� � f�V1 M �V7 M 9V� � fV�VV1 M �VV7 M 9VV� � fVVXớG= � À � � 9�V �V 9V�VV �VV 9VVÀ + &4 Có nghiệm 6 � ÁÂÁ � Ã � ÁÄÁ � Å � ÁÆÁ
với ÇÈ � À f � 9fd �V 9VfVV �VV 9VVÀ � =» � À � f 9�V fV 9V�VV fVV 9VVÀ � =É � À � � f�V �V fV�VV �VV fVVÀ
h1h ' ( / O( ' 6 ' (* �( ! &� h1h ! ( / 6 ' O(ÊËặ91 ! (* �( ! &� h�h O h�h � h� M �h � h�h M h�h � � &* � � & � � M �` � ���� �Y M �Y` � ��� �� � Z� M �` [Y � � &� � � &� 9 � & �
� M � M 9~
�
���9Ì � �} M �} M 9}~ � ��9� ��9 � Z� M � M 9~ [}
����� M �Y�Y MvM �����Y � ���Y MvM ��Y����Y MvM ��Y�
• Bất ñẳng thức giá tri tuyệt ñối : Oh�h � � � h�h • Cauchy:
Dấu bằng xảy ra khi các số hạng bằng nhau. • Bất ñẳng thức Bunhiacôpxki:
dấu bằng xảy ra khi : �t�t � �u�u � v � ����
h�h � h�h / � � \�h�h � � / Í � � &� � \�4 h�h � � / Í � � &O� � � � �4h�h ! Î / Ï� ' &�ÐÑ:Ò5ÊE(Í � � &� � O� Ó � � �44 �� � � / Í � � &� � �Y 4 � �� � � / ¦ � � &� � &� � �Y 4 � �� � � / Ô Í� ' &� � &4Í � � &� � �Y 44
TrÞ tuyÖt ®èi vµ c¨n thøc
_�L � _���L� _�L M _�L�� � _���L
�� M ��� �o_�L���L� �L�Lq � _� �� M _������� MvM _����
Tæ hîp vµ x¸c xuÊt
��L � �����L�� � _�L � ��L����L�� ;x� � C� � ��`�~�C
• <�91Sấb9ủ��GếC9ố� " x��� � h��hh�h � x���� � � O x��� • x��� � �Y � �� ��� �x���� M x��Y� M vx����� �p 1SC2FDắ9� • x����Y���� � x����x��Y��x����� �p�ộ9>ậ$
• x����� � ����������
1n � �KoCp1p�pq� Cp>?bầCaố9ủ�1p� oCp�
pq� � K
aY � �KoCp1pYJpq� O �KY roCp1pJ
pq� sY
Thống kê : Cho mẫu số liệu kích thước N {x1,x2,…,xN }
số trung bình: 1n � -t�-u�v�-�J � �Jw 1pJpq�
Phương sai : aY � �Jw 1pYJpq� O �Ju Rw 1pJpq� TY � �Jw �1p O 1n�YJpq�
S gọi là ñộ lệch chuẩn. Nếu mẫu số liệu cho ở dạng bảng phân bố tần số hay tần số ghép lớp:
�o1p$p�pq� XớG$p � x�< � 1p�* �G � �*`*� C�
l�<� � �1� O y�Y M �1Y O y�Y Mv�1� O y�Y �o�1p O y�Y� $p�pq�
D�7l�<� � ro1pY$p�pq� s O yYXớG$p � x�< � 1p�� y � z�<�
biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,…,xn } Kỳ vọng : z�<� � 1�$� M 1Y$Y Mv1�$�
Phương sai :
ðộ lệch chuẩn : {�<� � |l�<�
x��F� � _�L� $L�� O $���L
• P(AB)=P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
• P(A1A2…An)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)
• �p>?�Dệñầ7ñủ9á9�GếC9ố) �� � F � C� • <jbB?C$DầC " x��� � w x��L�� x����L��Lq�
• ��7ca " x��L��� � ���Q�������Q�w ����������������t
XS biến cố A xuất hiện ñúng k lần trong n phép thử Becnuli:
§K: n
1
�
� �k
0
n
;
BÊt ®¼ng thøc
®«i mét
3
��1 O 1 � M ��7 O 7 � � &
�f�) ��1 M ��7 M 9� � &� �fV�)�Y1 M �Y7 M 9Y � & = � ø�� ���Y �Yø � =- � ø�� 9��Y 9Yø � =» � º9� ��9Y �Yº
�1 M �7 M 9��Y M �Y � \�V1 M �V7 M 9V|�VY M �VY � 9Ba�f* fV� � h��V M ��Vh��Y M �Y� ��VY M �VY
�.ðường thẳng • PTTsố của ñ.t qua Õ�1 � 7 � và có vtcp SÖ× � ��� ��
[UCÖ× � �O�� ��¡: 31 � 1 M �b7 � 7 M �b4 PTCTắc: -�-ù� � »�»ù�
• PT ñường thẳng qua Õ�1 � 7 � và có VTPT CÖ× � ��� ��: • PTTQ : �1 M �7 M _ � &* �Y M �Y ! & U CÖ× � ��� �� • P.T theo ñoạn chắn :
-� M »� � �
• Hệ số góc : F � �� � b�C α; α là góc ñịnh hướng giữa Ox
với ñt d. • ðt có hsg k thì có 1vtcp SÖ× � ��� F�;CÖ× � �F� O�� • P.T ðT qua Õ�1 � 7 �có hsg k :7 � F�1 O 1 � M 7
�.Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng : Cho 2 ñ.t:
• (d) cắt (d’) # D+0#��) �Y + ��:bY • �f����f^�#= � &X?=- + &D�7=» + &#��) �Y � ��:bY + 9�:cY• �f�ç�f^�#= � =- � =» � &#��) �Y � ��:bY � 9�:cY
�Kho¶ng c¸ch vµ gãc f�Õ* ¢� � h�-ú��»ú�Nh|�u��u Đặb0�Õ� � �1â M �7â M 9X?�f�)�1 M �7 M 9 � &• 0�Õ�* 0�K� ' &#Õ*Kở về 2 phía ñối với (d) • 0�Õ�* 0�K� ! &#Õ*Kở về 1 phía ñối với (d)x;�ường phân giác của góc tạo bởi 2 ñ.t d và d’
�1 O ��Y M �7 O ��Y � «Y
1Y M 7Y O `�1 O `�7 M 9 � &* �Y M �Y O 9 ! &
ðường tròn : PTðtròn tâm I(a;b) bán kính R:
• Phương trình :
là phương trình ñường tròn tâm I(a;b) ,bk « � ��Y M �Y O 9 • ðường thẳng : �1 M �7 M 9 � & tiếp xúc với ñường tròn
tâm å�1ü* 7ü� bán kính R #f�å* ¢� � « # h�-ý��»ý�Nh|�u��u �«
• ;Gế$bS7ếCbạGÕ∈�ườC2b�òC)CDậCåÕÖÖÖÖ×>?ªXb$b�
H×nh häc ph¼ng
x;_;) 1Y�Y M 7Y�Y � �* �� ! æ ! &��Y � �Y O 9Y* ;�ụ9>ớC`�� b�ụ9�ì`�
Õ�� � � M c� 1â� Õ�Y � � O c� 1â
Elip
Tiêu ñiểm : ���O9� &�� �Y�9� &�� bG�S9ự���Y � `9 M ∈ (Ellip)#hÕ�� MÕ�Yh � `�*�� ! Ñ�ĐỉCD)��*Y���� &���*Y�0 ; b
�;âªa�G)c � N� ' �xb9�99ạCD9ủ�DóCD9Dữ nhật cơ sở : 1 � \�� 7 � \� Bán kính qua tiêu ñiểm
x;_;) 1Y�Y O 7Y�Y � �* 9Y � �Y M �Y*�ÑậÒ " à � \æ( 6;�ụ9bDự9`�� b�ụ9ảB`�� �� ÑÊîẩÒ6 � \(� \(YÑ
Õ�� � h� M c� 1âh� Õ�Y � h� O c� 1âh
Hyperbol
Tiêu ñiểm : ���O9� &�� �Y�9� &�� bG�S9ự���Y � `9 M ∈ (Hyperbol) #hÕ�� OÕ�Yh � `�*�� ' 9�
;âªa�G)c � N� ! � xb9�99ạCD9ủ�DóCD9Dữ nhật cơ sở : 1 � \�� 7 � \� Bán kính qua tiêu ñiểm
4
-+
Parabol _DB�t∆X?�Gểª��Õ∈x����B>#Õ��f�Õ*∆�x;9DðCDbắ9)ÃY � `�6�$)bD�ªaố tiêu.
� ��Y � &��ường chuẩn : 6 � O �Y
Bán kính qua tiêu ñiểm : MF = p/2 + xM 3 ñường cônic
Cho F cố ñịnh , ñường thẳng e không qua F . M ∈ Cônic ( C ) # â�k�â�∆� � c ,e là số thực cho trước.
• ( C ) là ellip #c'�• ( C ) là parabol #c��• ( C ) là hyperbol #c!�
Õ�1� 7� �� / iÕÖÖÖÖÖÖ× � 1� Ø×M 7� Ù×M �� FÖ× �Ö× � �1� 7� �� / �Ö× � 1� Ø×M 7� Ù×M �� FÖ× �Ö× � �Ö× / ¦1 � 1d7 � 7d� � �d4 �
�Ö× \ �Ö× � �1 \ 1V� 7 \ 7V� � \ �V�F� �Ö× � �F1� F7� F���Ö×� �Ö× � 11V M 77V M ��V h�Ö×h � |1Y M 7Y M �Y� �Ö× Ú �Ö× / 11V M 77V M ��V � &
9Ba��Ö×* �Ö×� � �Ö×� �Ö×h�Ö×h� h�Ö×h � 11V M 77V M ��V|1Y M 7Y M �Y� |1VY M 7VY M �VY
��ÖÖÖÖÖ× � �1� O 1�� 7� O 7�� �� O ��� Û��ÖÖÖÖÖ×Û � |�1� O 1��Y M �7� O 7��Y M ��� O ���Y Õ>?b�SC2�Gểª9ủ��� / Õ�1� M 1�` � 7� M 7�` � �� M ��` � Ü�Ö×* �Ö×Ý � �º 7 �7V �Vº � º � 1�V 1Vº � º 1 71V 7Vº�
ÛÜ�Ö×* �Ö×ÝÛ � h�Ö×h� Û�Ö×Û� aGC� �Ö×* �Ö×� �Ö×* �Ö×* 9×�ồC2$DẳC2 / Ü�Ö×* �Ö×Ý� 9× � & jÞ��ß � �̀ ÛÜ��ÖÖÖÖÖ×* �_ÖÖÖÖÖ×ÝÛ� l��ß¼ � � ÛÜ��ÖÖÖÖÖ×* �_ÖÖÖÖÖ×Ý� �=ÖÖÖÖÖ×Û làà���ß¼�á�áßá¼á � ÛÜ��ÖÖÖÖÖ×* �=ÖÖÖÖÖ×Ý� ��VÖÖÖÖÖÖÖ×Û
H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian:
Vectơ ñơn vị Ø×* Ù×* FÖ×) hØ×h � hÙ×h � ÛFÖ×Û � �� Ø×Ù× � Ù×FÖ× � FÖ×Ø× � &Ö× Cho �Ö× � �1� 7� ��� �Ö× � �1d� 7d� �d� ;k ∈ ℝ :
Õ�ÖÖÖÖÖÖ× � F�Õ�ÖÖÖÖÖÖ× / 1â � -��L-ã��L � 7â � »��L»ã��L � �â � É��LÉã��L
Ü�Ö×* �Ö×Ý Ú �Ö× ;Ü�Ö×* �Ö×Ý Ú �Ö×� Ü�Ö×* �Ö×Ý � &Ö× / �Ö×* �Ö×9äC2$DươC2
�1 O ��Y M �7 O ��Y M �� O 9�Y � «Y
1Y M 7Y M �Y M `�1 M `�7 M `9� M f � &XớG�Y M �Y M 9Y O f ! &
MÆt cÇu
Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R :
Phương trình :
+ Là PT mặt cầu tâm å�O��O�� O9� Bk « � ��Y M �Y M 9Y O f + Nếu �Y M �Y M 9Y O f � & ta ñược 1 ñiểm å�O��O��O9� + Nếu �Y M �Y M 9Y O f ' & ta không có mặt cầu.Mặt phẳng �α� cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn ( C ) thì: + Tâm J của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I lên (α) + Bán kính của ( C ) : � � �«Y O fYXớGf � f�å* α�
9Ba � h��V M ��V M __Vh��Y M �Y M _Y� ��VY M �VY M _VY
aGC � hSÖ×� CÖ×hhSÖ×h� hCÖ×h � h�� M �� M _9h��Y M �Y M _Y� ��Y M �Y M 9Y 9Ba � h��V M ��V M 99Vh��Y M �Y M 9Y� ��VY M �VY M 9VY
Gãc
+Góc giữa 2 mp �1 M �7 M _� M = � &� �^1 M �^7 M _^� M =^ � &
+Góc giữa ñường thẳng d có vtcp SÖ× � ��� �� 9�X?ª$�x�9:Xb$b CÖ× � ��� �� _� : +Góc giữa 2 ñường thẳng :
¦1 � 1 M b�7 � 7 M b�� � � M b9 �b ∈ ℝ�4 1 O 1 � � 7 O 7 � � � O � 9 ���9 + &� 3 �1 M �7 M _� M = � &�x��V1 M �V7 M _V� M =V � &�xV�4
ðường thẳng : +Phương trình tham số : ñường thẳng qua Õ �1 � 7 � � �* Xb9$SÖ×��� �� 9�
+Phương trình chính tắc:
+ Phương trình tổng quát :
ðường thẳng này có 1 vectơ chỉ phương là : SÖ× � ÜCÖ×* CVÖÖÖ×Ý với CÖ×� CVÖÖÖ× là vtpt của (P) và (P’) +Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng d qua M0 có vtcp SÖ× và d’ qua M0’có vtcp SÖ×d :
� fX?f^ ∈ �ªặb$DẳC2 / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý� Õ Õ VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× � &� f ç f^ / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý � ¯SÖ×* Õ Õ VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê � &Ö× � fhhfV / ëÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý � &Ö×�4 ¯SÖ×* Õ Õ VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê + &Ö×� � f9ắbfV / � ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý� Õ Õ VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× � &� ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý + &Ö× }
� f9DìBfV / ÜSÖ×* SVÖÖÖ×Ý�Õ Õ VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× + &
�1 M �7 M _� M = � &� �Y M �Y M _Y + &
6( M Ãæ M ÅÑ � �
X?�x^�) �V1 M �V7 M _V� M =V � & x��xV / ��V � ��V � __V + ==V x ç xV / ��V � ��V � __V � ==V x9ắbxV / �)�) _ + �V) �V) _d �x Ú xV / ��V M ��V M __V � &�
MÆt ph¼ng
+ Nếu (×* æÖ×lµ 2 vect¬ chøa trong mÆt ph¼ng(P) thì
một vectơ pháp tuyến của (P) là : ÒÖ× � Ü(×* æÖ×Ý� + Phương trình mặt phẳng (P) qua è �6 � à � Å � nhận ÒÖ× � �Ð� Î� é� làm vectơ pháp tuyến : ��1 O 1 � M ��7 O 7 � M _�� O � � � & + Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
+Phương trình theo ñoạn chắn : mặt phẳng (P) không qua O ,cắt 3 trục tại A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) :
Vị trí tương ñối của 2 mặt phẳng �x�)�1 M �7 M _� M = � &
Trong các tỉ lệ quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0.
f�Õ* �x�� � h�1â M �7â M _�â M =h��Y M �Y M _Y
f�Õ�* f� � ÛÜÕ�Õ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×* SÖ×ÝÛhSÖ×h í�í* íV� � ºÜîÖ×* îVÖÖÖ×Ý� è è VÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ׺ÛÜîÖ×* îVÖÖÖ×ÝÛ
lLàốpàộ�Nàữ�àậï � ;í9D~Fð9DbDước;
Nà:� � �~ �fbð9D��7�� �9DGềS9�B� l���.ï§ụ � �fbð9D��7�� R9DGềS9�BT�jâNầW � £m«Y� lñ�NầW � £~m«} jò�àó�àô§ụ � �9DSXG��7�� R9DGềS9�BT � `m�D jï�õó�àô§ụ � j-� M `j��» � `m�D M `m�Y lLàöpô§ụ � fbð9D��7� _DGềS_�B � m�YD j-�J:� � �̀ � �9DSXG��7�� ��ườC2aGCD� � π�> jï�J:� � j-� M j��» � m�> M m�Y lJ:� � �~ �fGệCbð9D��7�� R9DGềS9�BT � �~m�Y� D
Kho¶ng c¸ch
+ Khoảng cách từ ñiểm Õ�1â* 7â* �â� tới mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0
ГDBảC29�9DbừñGểªÕ�bớGñườC2bDẳC2f�¶S�Õ Xà9óXb9$SÖ× ) Khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau d ( qua M0 có vtcp îÖ×� và d’ (qua M’0 có vtcp îÖ×d) :
H×nh kh«ng gian
V
•
•
•
•
•
•
ThÓ tÝch & diÖn tÝch
5
We are TN3 and go straight ahead!