congruencia e semelhanca de figuras planas
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Unidade 11 – Geometria Plana I
Congruência e semelhança de figuras planas
Relações métricas do triângulo retângulo
Triângulo qualquer
Congruência e Semelhança de Figuras Planas
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
� Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: os ângulos são respectivamente congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
� Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial.
� Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida.
� Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos correspondentes proporcionais.
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
Para você fazer – p. 33
44
022052.105
105
2)2
5,72
151523.52
3
5
2)1
10
3
5
2
:,
=→=→=→=→=
=→=→=→=→=
==
mmmmm
nnnnn
m
n
temosproporçãoPela
45,7 == mn e
POLÍGONOS SEMELHANTES
� Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham
ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos
segmentos correspondentes proporcionais.
� Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE das figuras
seguintes:
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
� Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança
do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE.
� Dois polígonos com o mesmo número de lados são
de semelhantes quando possuem ângulos
respectivamente congruentes e lados
correspondentes proporcionais.
� A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o
lado correspondente do outro chama-se razão de
semelhança.
POLÍGONOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
CONTINUAÇÃO
Para você fazer – p. 35
→=
=→=
103
2
35
2
3
:,
DF
DFDF
AC
temosproporçãoPela
cmDF3
10=
A
B CH
αααα
m n
a = m + n
αααα ββββ
c bhββββ
Os triângulos HBA, HAC e
ABC são semelhantes
)1(. 2cmaa
c
c
m=⇒=
)2(. 2bnaa
b
b
n=⇒=
amc =2
anb =2
Relação Métricas do Triângulo Retângulo
Relação Métricas do Triângulo Retângulo
22)( cbnma +=+
A
m
αααα
cββββ
HB
h
CH
αααα
nββββ
bh
Somando as
equações (1) e (2) 222 cba +=
n
h
h
m=
nmh .2 =A área do triângulo ABC
pode ser calculada por:
2
.
2
. cbha=
cbha .. =
Ba = m + n
CH
αααα
nββββ
bh
A
mαααα
cββββ
A
mαααα
cββββ
HB
h
CH
αααα
nββββ
bh
Relação Métricas do Triângulo Retângulo
Resolução de Atividades
� Página 37 e 38
Triângulo qualquer e suas propriedades
� O estudo de triângulos é um dos assuntos mais
importantes na Geometria.
� Isso ocorre porque eles podem ser associados a
figuras geométricas circulares, possibilitando
relações importantes, além de serem elementos
básicos constituintes de figuras poligonais com mais
de três lados.
� A seguir, apresentaremos algumas propriedades
geométricas e generalidades sobre triângulos.
Elementos principais de um triângulo
� Os principais elementos de
um triângulo são os lados,
os vértices, os ângulos
internos e externos:
� Considerando o triângulo
ABC ao lado, temos:
C e B ,A ângulos os são externos ângulos Os;C e B Â, formados são internos ângulos Os
,BC e AC ,AB segmentos os são lados Os
eeeˆˆˆ
ˆˆ
→
→
→
Soma dos ângulos internos de um triângulo
� Vamos relembrar agora uma
propriedade que relaciona
os ângulos internos de um
triângulo. Observe:
� Se, pelo vértice C,
traçarmos uma reta paralela
ao lado AB, obteremos
ângulos congruentes aos
ângulos A e B.
� Os três ângulos destacados
no vértice C, juntos,
correspondem a um ângulo
de 180º.
� Logo, podemos concluir
que:
180º C B  =++ ˆˆ
� Portanto, em qualquer triângulo, a
soma dos ângulos internos é
sempre igual a 180º.
� Essa relação é conhecida como
Teorema Angular de Tales.
Soma dos ângulos externos de um triângulo
� Observe, no triângulo ABC
abaixo, que a soma de
qualquer ângulo interno de um
triângulo com correspondente
ângulo externo é sempre igual
a 180º.
º180ˆˆ
º180ˆˆ
º180ˆˆ
=+
=+
=+
e
e
e
C CB BA A
relações. seguintes as escrever podemos Assim,
Soma dos ângulos externos de um triângulo
º180º180º180ˆˆˆˆˆˆ ++=+++++ eee C CB BA A:temos equações, íltimas três
essas membro, a membro Somando,
( )º540ˆˆˆº180
º540ˆˆˆˆˆˆ
=+++
=+++++
eee
eee
C B AC B ACBA
º180º540ˆˆˆ −=++ eee C B A
º360ˆˆˆ =++ eee C B A
Resolução de Atividades
� Página 39
Classificação dos triângulos
� Os triângulos podem ser classificados de acordo
com dois critérios principais: quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
� Quanto aos lados:
� Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os
ângulos com a mesma medida.
� Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois
ângulos com a mesma medida.
� Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os
ângulos com medidas diferentes.
Classificação dos triângulos
� Quanto aos ângulos:
� Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos
internos agudos, ou seja, de medidas
menores que 90º;
� Triângulo retângulo: apresenta um ângulo
reto, ou seja, com medida igual a 90º;
� Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo
interno obtuso, ou seja, de medida maior que
90º.
Condição de existência de um triângulo
� Para a existência de um triângulo cujos lados tenham medidas a, b, e c devem ser verificadas as seguintes condições:
� A medida de cada lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados:
a > b + c
b > a + c
c > a + b
Condição de existência de um triângulo
� A medida de cada lado deve ser maior que o módulo da diferença das medidas dos outros dois lados:
a > |b – c |
b > |a – c |
c > |a – b |
� Para qualquer lado de medida a de um triângulo, necessariamente, devemos ter:
|b – c | < a < b + c
� Essa última expressão é denominada desigualdade triangular.
Outros elementos de um triângulo
� Além dos chamados elementos principais de um
triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos
internos e externos, existem outros elementos cujo
conhecimento será importante no desenvolvimento
da Geometria.
� Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as
alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes.
� Cada um desses elementos determinará um ponto
notável distinto de um triângulo:
Outros elementos de um triângulo
Altura
� Uma altura de um triângulo é um segmento
de reta que tem extremidades em u vértice e
no lado oposto a esse vértice, sendo
perpendicular a esse lado.H é o ortocentro do triângulo ABC
ha
hb
hc
A
B C
Altura
ha
hc
hb
A
B
H é o ortocentro do triângulo ABC
C
Triângulo Obtuso
Mediana
� Mediana em um triângulo é um segmento de
reta que tem extremidades no ponto médio
de um lado e no vértice oposto a esse lado.
A
B CM1
M2M3
G
G é o baricentro
do triângulo ABC
VOCÊ LEMBRA?
� Mediatriz de um segmento é
a reta que passa pelo ponto
médio desse segmento
sendo perpendicular a ele.
� A mediatriz de um segmento
traduz o lugar geométrico
dos pontos equidistantes
dos vértices do segmento:
� Bissetriz de um ângulo é a
reta que divide esse ângulo
em duas partes iguais.
� A bissetriz é o lugar
geométrico dos pontos
equidistantes dos lados de
um ângulo.
Mediatriz
� Todo triângulo admite um
circunferência circunscrita a
ele que passa pelos vértices
desse triângulo.
� O centro dessa
circunferência, chamado
circuncentro, é obtido pela
intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
A
B C
O
Bissetriz
� Todo triângulo admite uma
circunferência inscrita que
tangencia internamente os
três lados.
� O centro dessa
circunferência, chamada de
incentro, é obtido pela
intersecção das bissetrizes
dos ângulos internos do
triângulo.