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CÓNICAS
LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA
Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior llamado centro de la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas
Como se puede apreciar directamente del gráfico:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Ecuación de la circunferencia de centro el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) y radio r.
Lo expuesto se puede escribir mediante la fórmula:
𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Ejemplos
Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0
Solución
La circunferencia tiene de centro el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) y su radio r; valores estos que debemos encontrar.
La ecuación de la circunferencia es:𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0
Y la ecuación general de la circunferencia tiene la forma:
𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Desarrollando e igualando:𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦02 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟐𝒙𝟎𝑥 − 𝟐𝒚𝟎𝑦 + 𝒙𝟎𝟐 + 𝒚𝟎
𝟐 − 𝒓𝟐 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟔𝑥 − 𝟖𝑦 + 0 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟐𝒙𝟎𝑥 − 𝟐𝒚𝟎𝑦 + 𝒙𝟎𝟐 + 𝒚𝟎
𝟐 − 𝒓𝟐 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟔𝑥 − 𝟖𝑦 = 0
Así:
𝟐𝒙𝟎 = 𝟔; 𝟐𝒚𝟎 = 𝟖; 𝒙𝟎𝟐 + 𝒚𝟎
𝟐 − 𝒓𝟐 = 0
Obteniéndose:
𝒙𝟎 = 3; 𝒚𝟎 = 𝟒 y r = 5
Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 6𝑦 + 6 = 0
Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo de vértices A(3,8), B(-5,4) y C(-3,6)
Solución
Situando los tres puntos del triángulo en la circunferencia, sólo hay una circunferencia cirncunscrita al triángulo:
Sabemos que la forma general de la ecuación de la circunferencia es:
𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Por pasar por A(3,8):3 − 𝑥0
2 + 8 − 𝑦02 = 𝑟2
Por pasar por B(-5,4):−5 − 𝑥0
2 + 4 − 𝑦02 = 𝑟2
Por pasar por C(-3,6):−3 − 𝑥0
2 + 6 − 𝑦02 = 𝑟2
Que forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Resolviendo el sistema obtenemos la solución:
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 = 100
LA ELIPSE
LA ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a otros dos interiores, llamados focos F y F’, es constante e igual a 2𝑎.
E L I P S E D E C E N T R O E L O R I G E N D E C O O R D E N A D A S Y E J E S E N L O S D E A B S C I S A S
Y O R D E N A D A S .
Ecuación reducida de la elipse
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Ecuación de la elipse
Ecuación de la elipse de centro C(x0,y0) y semiejes de longitud : a, b.
𝑥 − 𝑥02
𝑎2+
𝑦 − 𝑦02
𝑏2= 1
Elementos de la elipse
Excentricidad
La excentricidad es la relación:
𝑒 =𝑐
𝑎En el caso de la elipse es un número comprendido entre ceo y uno.
0 < 𝑒 < 1
Ejercicios
Calcula la ecuación reducida de la elipse de ejes los ejes de coordenadas, definida por los siguientes datos:
AA’=10; BB’=6
Solución
Como AA’=10 y BB’=6 2.a=10 → a=5.
2.b=6 → b=3.
Así la ecuación de la parábola cuyo centro está en el origen de coordenadas es:
𝑥2
52+𝑦2
32= 1
Ejemplo
Halla la ecuación reducida de la elipse de eje focal el de abscisas, definida por:
2.c=12
e=3/5
Solución
De 2c=12 → c=6.
La excentricidad:
𝑒 =𝑐
𝑎=3
5→
6
𝑎=3
5→ 𝑎 = 10
Como:𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 100 − 36 = 64
La ecuación reducida de la elipse es:
𝑥2
100+𝑦2
64= 1
Ejemplo 3
Halla la ecuación de la elipse definida por los siguientes datos:
C(1,-1); F(1,2); A(1,4)
Solución
Se trata de una parábola con el eje focal de ecuación: x=1, (recta paralela al eje de ordenadas)
De los datos que nos dan es fácil deducir:
𝑐 = 𝑑 𝐶𝐹 = 3; 𝑎 = 𝑑 𝐶𝐴 = 5
Y por lo tanto:𝑏2 = 25 − 9 = 16
La ecuación de la elipse será:
𝑑2 𝑃, 𝑒. 𝑠
𝑎2+𝑑2 𝑃, 𝑒. 𝑓
𝑏2= 1
𝑦 − 𝑦02
𝑎2+
𝑥 − 𝑥02
𝑏2= 1
Sustituyendo valores:
𝑦 + 1 2
25+
𝑥 − 1 2
16= 1
La hipérbola
Definición
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una cantidad constante, no nula y estrictamente menor que la distancia entre los dos focos 2c.
Ejercicios
Ejemplo
Halla la ecuación reducida de la hipérbola de eje focal el de abscisas, determinada por los siguientes datos:
a=3; b=4
Solución
𝑥2
32−𝑦2
42= 1
Ejemplo 2
Halla la ecuación reducida de la hipérbola de eje focal el de abscisas, determinada por los siguientes datos:
2.a=18; distancia focal 24.
Solución
De los datos vemos que: a=9 y 2.c=24𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 144 − 81 = 63
Quedando la ecuación:𝑥2
81−𝑦2
63= 1
c
a
b
La parábola
La parábola
Definición
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia del foco a la directriz se llama «parámetro» de la parábola y se denota con la letra p.
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑑)
Análisis de la parábola
Applet:
𝑦 − 𝑦02 = 2𝑝(𝑥 − 𝑥0)
Ejemplos
Halla la ecuación de la parábola definida por los siguientes datos:
F(3,2); V(5,2)
Solución
Situamos los elementos que nos han dado:
Por la disposición del foco y del vértice, vemos que la ecuación es de la forma:
𝑦 − 𝑦02 = −2𝑝 𝑥 − 𝑥0
𝑝
2= 𝑑 𝐹, 𝑉 = 2 → 𝑝 = 4
Solución
Quedando la ecuación de la parábola:
𝑦 − 𝑦22 = −8 𝑥 − 5
La gráfica de la parábola es:
𝑦 − 2 2 = −8 𝑥 − 5
Ejemplo
Halla la ecuación de la parábola definida por los siguientes datos:
Eje: paralelo al OX.
p=1/2.
Pasa por P(-6,4) y Q(9,1).
Solución
Por tener el eje paralelo al eje OX la forma de la ecuación de la parábola es:
𝑦 − 𝑦02 = ±2𝑝(𝑥 − 𝑥0)
Como 𝑝 =1
2→ 𝑦 − 𝑦0
2 = ±(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 𝑦02 = ±(𝑥 − 𝑥0)
Como 𝑃 −6,4 𝑦 𝑄 9,1 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎:
𝑃 −6,4 → 4 − 𝑦02 = ±(−6 − 𝑥0)
𝑄 9,1 → 1 − 𝑦02 = ±(9 − 𝑥0)
Desarrollando ambas expresiones
16 + 𝑦02 − 8𝑦0 = −6 − 𝑥0
1 + 𝑦02 − 2𝑦0 = 9 − 𝑥0
Despejando −𝑥0 de las dos ecuaciones:
𝑦02 − 8𝑦0 + 22 = −𝑥0
𝑦02 − 2𝑦0 − 8 = −𝑥0
Igualado las dos expresiones
𝑦02 − 8𝑦0 + 22 = 𝑦0
2 − 2𝑦0 − 8
Simplificando y despejando 𝑦0:𝑦0 = 5
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones y despejando x:
𝑥0 = −7
Con lo que podemos afirmar que el vértice de la parábola 𝑉(5,−7)
Solución
Finalmente, teniendo en cuenta todo lo calculado obtenemos la ecuación de la parábola que buscamos:
𝑦 − 5 2 = 𝑥 + 7
La gráfica
𝑦 − 5 2 = 𝑥 + 7