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Cônicas
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Porque Cônicas?
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Parábola
Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d
Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d
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Graficamente
FP
P’
v
A d
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Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que passa por P
Assim P pertence à parábola se e somente se
d(F,P)=d(P,P’) -> |FP|=|P’P|
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Notações
F-> foco d-> reta diretriz Eixo -> reta que passa pelo foco e é
perpendicular à diretriz Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a
parábola e o eixo A-> interseção do eixo com a diretriz
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Por definição de parábola, se P = v então d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da
parábola
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Encontrar a equação da parábola
Eixo da parábola = eixo y
V(0,0)
|FP|=|PP’|
PP’ = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2) FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)
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|(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)|
X2=2py ou y = X2/2p
4
222 ppyyx
4
22 p
pyy
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Estudo da Parábola
Se 2py=x2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais iguais
Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima
Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade para baixo
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Eixo da parábola = eixo x
V(0,0)
|FP|=|P’P| P’P = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0) FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y) y2=2px
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Estudo da Parábola
Como y2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x tem sinais iguais
Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita
Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade para esquerda
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Exercício
Determinar a equação da parábola v(0,0) e diretriz d:y=-2
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Exercicio
Determinar a equação da parábola com foco F(2,0), diretriz d:x+2=0
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Determinar a equação da parábola com foco F(0,-3), e v(0,0)
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Determinar a equação da parábola com foco V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)
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Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo
X2=-12y
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Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo
y2-x=0
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Vértices fora da origem
V(a,b) Eixo paralelo ao eixo y (x-a)2=2p(y-b) Eixo paralelo ao eixo x (y-b)2=2p(x-a)
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Exercício
Determine a equação da parábola V(-2,3), F(-2,1)
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Determine a equação da parábola F(2,3) e diretriz y=-1
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Determine a equação da parábola V(1,3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)
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Equação explícita da parábola
A equação da parábola de vértice V(a,b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a)2=2p(y-b)
x2-2ax+a2=2py-2pb y=(x2-2ax+a2+2pb)/2p Esta última é a forma explícita da parábola
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Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x2+4x+8y+12
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Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2+4y+16x-44
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Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2-12x-12=0
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Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8x=y2-6y+10
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Elipse
Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2a
Portanto, P є Elipse se, e somente se,
d(P,F)+d(P,F’)=2a
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Equação
Caso 1: F(-c,0) e F’(c,0), c>=0 Olhando para o triângulo PFF’ vemos que
o lado F’F mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a
a a
ccF F’
P
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Logo, c<a Nota: quanto mais a se aproxima de c,
mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce
e=c/a, 0<e<1
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Elementos
Focos: são os pontos F e F’ Distância Focal = 2c Centro = ponto médio do segmento FF’ Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a Eixo Menor é o segmento B1B2 de
comprimento 2b onde b2=a2-c2
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De acordo com a definição, P(x,y) є elipse se, e somente se, |PF’|+|PF|=2a
aycxycx 2)()( 2222
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Equação
Desenvolvendo a equação anterior obtem-se
x2/a2+y2/b2=1
Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x
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Equação
Caso 2: Focos F(0,c) e F’(0,-c)
Analogamente
x2/b2+y2/a2=1
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Equação
Caso 3: centro fora da origem C(x0,y0)
Eixo maior//eixo x: (x-x0)2/a2 +(y-y0)2/b2=1 Eixo maior//eixo y: (x-x0)2/b2 +(y-y0)2/a2=1
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Exercício
Determinar os vértices A1 e A2, focos e excentricidade
X2/100+y2/36=1 x2+25y2=25 4x2+25y2=1
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Exercício
Determinar a equação da elipse Eixo maior mede 10, focos (4,0) e (-4,0)
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um
vértice A(1,0)
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), F(c,0), F’(-c,0), P(-2(5)1/2,2)
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e
P(2,-5/3)
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(2,4), um foco F(5,4) e=3/4
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é
tangente ao eixo y
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(-3,4), semi-eixos de
comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y
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Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(2,-1), tangente aos eixos
coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados
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Exercício
Determinar centro, vértices A1 e A2 e excentricidade
4x2+9y2-8x-36y+4=0
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Hipérbole
Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com d(F1,F2)=2c
A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais |d(F1,P)-d(F2,p)|=2ª
Com 2ª<2c
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F2F1
P
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Da equação anterior tem-se d(F1,P)-d(F2,p)= ±2a Quando P estiver no ramo da direita,
d(F1,P)>d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)= 2a Quando P estiver no ramo da esquerda,
d(F1,P)<d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)=-2a
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Seja o segmento de reta F1F2 e chame de A1 e A2 a interseção de F1F2 com a hipérbole
Considere outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C de F1F2
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C A2 F2A1F1
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A hipérbole é simétrica em relação a:Segmento F1F2Eixo verticalPonto C
Ainda pela simetria, d(A1,F1)=d(A2,F2)
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Qual é o valor de d(A1,A2)?
Se P=A2, da def de hipérbole |d(F1,A2)-d(F2,A2)|=2a
Como A2 está no ramo direito, (F1,A2)-d(F2,A2)=2a
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Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)
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C A2 F2A1F1
MN
P Q
r s
θ
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Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)
Substituindo d(F1,A1)+d(A1,A2)- d(F2,A2)=2a
Logo d(A1,A2) =2a
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Elementos da hipérbole
Focos F1 e F2 Distância Focal: d(F1,F2)=2c Centro Ponto médio de F1F2 Vértices: A1,A2 Eixo Real: segmento A1A2 e |A1A2|=2ª Eixo imaginário: Segmento B1B2 onde de
comprimento 2b onde b vem da relação C2=a2+b2
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MNPQ é um retângulo inserido no círculo de raio c
r e s são assíntotas da hipérbole
r passa pelo ponto C e tem inclinação b/a
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s passa por ponto C e tem inclinação –b/a
\theta abertura da hipérbole
e=c/a excentricidade da hipérboleNote que e está relacionado com a abertura \
theta da hipérbole
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Na figura anterior fixando c e aumentando a vemos que a abertura da hipérbole diminui
Menor a abertura menor a excentricidade e>1 Maior a abertura maior a excetrencidade Quando a=b, dizemos que a hipérbole é
equilátera
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Equação
Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0,0) Obs: determinaremos a equação do ramo
direito: F1(-c,0),F2(c,0) e P(x,y) d(F1,P)-d(F2,P)=2a d(F1,P) =2a+d(F2,P) |F1P| =2a+|F2P|
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((x+c)2+y2)1/2=2a+((x-c)2+y2)1/2
x2+2xc+c2+y2=4a2 -4a((x-c)2+y2)1/2+x2-2xc+c2+y2
4xc- 4a2 = -4a((x-c)2+y2)1/2
xc- a2 = -a((x-c)2+y2)1/2
x2c2-2xca2+a4=a2x2-2xca2+a2c2+a2y2
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x2c2-a2x2-a2y2=a2c2-a4
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2) x2b2-a2y2=a2b2
x2/a2-y2/b2=1
Centro C(0,0) eixo real sobre o eixo x
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Observações
Se P(x,y) estivesse no ramo esquerdo, então Q(-x,y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade anterior
Quando o eixo real estiver sobre o eixo y a equação será: y2/a2-x2/b2=1
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Analogamente
Quando C(x0,y0) e o eixo real // eixo x (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1
Quando C(x0,y0) e eixo real // eixo y (y-y0)2/a2-(x-x0)2/b2=1
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Equação das assíntotas
y-y0 = m(x-x0) m é a inclinação r:m=b/a; s:m=-b/a
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Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: x2-y2=1
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Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+y2=1
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Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+2y2=1
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Focos F(±5,0), Vértices (±3,0)Eixo real = eixo x, centro C(0,0)
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:a=4, Vértices (±4,0)Passa por P(8,2), centro C(0,0)
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:b=8, e=5/3Eixo real =eixo y, centro C(0,0)
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Assintotas y=±2x, Vértices (±3,0)
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Um foco em (7,-2), Vértices (5,-2) e 3,-2
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:C (5,1), um foco F(9,1) eixo imaginário méde
4(2)1/2
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Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:C (2,-3), eixo real // eixo y passando por (3,-1)
e (-1,0) (conferir a solução)