cónicas y rotación de ejes
DESCRIPTION
Calculo vectorialTRANSCRIPT
-
CNICAS ROTADAS
CLCULO VECTORIAL
-
ROTACIN DE EJES
Ax2 +By2 +Dx +Ey+F = 0
Ecuacin cannica de una cnica trasladada:
Crculo Si A = B Parbola Si A o B es cero. Elipse Si A y B Ienen mismo signo. Hiprbola Si A y B Ienen diferente signo.
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx +Ey+F = 0
Ecuacin cannica de una cnica rotada:
Formulas de rotacin de ejes: y = Xsen! +Y cos!
Parbola Si D = 0 Elipse Si D < 0 Hiprbola Si D > 0
(D = B2 - 4AC)
sen(! +" ) = yr
sen! = Yr
cos! = Xr
cot 2! = A!CB
ngulo agudo de rotacin:
cos(! +" ) = xr
x = X cos! !Y sen!
-
EJEMPLO IdenIfique y trace la curva correspondiente: 6 3x2 + 6xy+ 4 3y2 = 21 3
D = B2 - 4AC = 62 ! 4 6 3( ) 4 3( ) = !252 < 0" Elipse
cot 2! = A!CB
=6 3 ! 4 3
6=
33
Eliminacin del trmino xy:
! =
arccot 33
!
"#
$
%&
2= 30o
y = Xsen! +Y cos! = X 12!
"#$
%&+Y
32
!
"#
$
%&
x = X cos! !Y sen! = X 32
"
#$
%
&'!Y 1
2"
#$%
&'
SusItuyendo en las ecuaciones de rotacin de ejes: cos! = 32
;sen! = 12
-
SusItuyendo en las ecuacin dada:
6 3x2 + 6xy+ 4 3y2 = 21 3
6 3 X 32
!
"#
$
%&'Y 1
2!
"#$
%&
!
"##
$
%&&
2
+ 6 X 32
!
"#
$
%&'Y 1
2!
"#$
%&
!
"##
$
%&& X
12!
"#$
%&+Y
32
!
"#
$
%&
!
"##
$
%&&+ 4 3 X
12!
"#$
%&+Y
32
!
"#
$
%&
!
"##
$
%&&
2
= 21 3
Al desarrollar y agrupar trminos semejantes:
7 3X 2 +3 3Y 2 = 21 3
X 2
3+Y 2
7=1
Dividiendo por 21 3 :
-
EJEMPLO IdenIfique y trace la curva correspondiente: 64x2 + 96xy+36y2 !15x + 20y! 25= 0
D = B2 - 4AC = 962 ! 4 64( ) 36( ) = 0" Parbola
cot 2! = A!CB
=64!3696
=2896
=724
Eliminacin del trmino xy:
cos2! = 725sen! = 1! cos2!
2=1! 7252
=925
=35
cos! = 1+ cos2!2
=1+ 7252
=1625
=45
(frmulas de ngulo medio)
-
y = Xsen! +Y cos! = X 35!
"#$
%&+Y
12!
"#$
%&
x = X cos! !Y sen! = X 45"
#$%
&'!Y
35"
#$%
&'
SusItuyendo en las ecuaciones de rotacin de ejes:
64 X 45!
"#$
%&'Y
35!
"#$
%&
!
"#
$
%&
2
+ 96 X 45!
"#$
%&'Y
35!
"#$
%&
!
"#
$
%& X
35!
"#$
%&+Y
12!
"#$
%&
!
"#
$
%&+36 X
35!
"#$
%&'Y
12!
"#$
%&
!
"#
$
%&
2
'15 X 45!
"#$
%&+Y
35!
"#$
%&
!
"#
$
%&+ 20 X
35!
"#$
%&+Y
12!
"#$
%&
!
"#
$
%&' 25= 0
64x2 + 96xy+36y2 !15x + 20y! 25= 0SusItuir en la ecuacin original:
Al desarrollar y agrupar trminos semejantes:
100X 2 + 25Y ! 25= 0
X 2 = 25100
(Y !1)
X 2 = 14(Y !1) ! = cos!1
45"
#$%
&'= 37o