conjuntos 41888__
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INDICEINTRODUCCIÓNRELACION DE PERTENENCIADETERMINACION DE CONJUNTOSDIAGRAMAS DE VENNCONJUNTOS ESPECIALESRELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS NUMÉRICOSUNION DE CONJUNTOSINTERSECCIÓN DE CONJUNTOSDIFERENCIA DE CONJUNTOSDIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOPROBLEMAS
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En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
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Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo:En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas
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NOTACIÓNTodo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.Ejemplo:El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
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Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).
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Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
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I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
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B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
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Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
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Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.A
MT7
23
6
9
aeio
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)841 5
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A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }
Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menores que 5 }P = { x / }
1 0X
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CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0
CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número de elementos.Ejemplos:E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }N = { x / x2 = 4 }
;
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CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }
CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra UEjemplo: El universo o conjunto universal
;
de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS. INDICE
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INCLUSIÓNUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de BNOTACIÓN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B A
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PROPIEDADES:I ) Todo conjunto está incluido en si mismo.
A AII ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto. AIII ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que B incluye a A ( )
A BB A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( )A B
V ) Simbólicamente: A B x A x B
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IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Ejemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente : A B (A B) (B A)
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CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
86
Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
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CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.Ejemplo:F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos.{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F
¿ Es correcto decir que {b} F ? NO
Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo correcto es {b} F
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CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.Ejemplo: Sea A = { m;n;p }Los subconjuntos de A son{m},{n},{p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ
Entonces el conjunto potencia de A es:P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?
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Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y su conjunto potencia osea P(A) tiene 8 elementos.
PROPIEDAD:Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2n.Ejemplo:Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B).
RESPUESTA
Si 5<x<15 y es un número par entonces
B= {6;8;10;12;14}Observa que el conjunto
B tiene 5 elementos entonces:
Card P(B)=n P(B)=25=32
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Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
12 1
512
43
Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31
2
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NZ
Q I
RC
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EJEMPLOS:Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A ) 2P x N /x 9 0
B )C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0
2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
4T 3
B 2
RESPUESTASINDICE
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556
A B
El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
873
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
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REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
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76
556
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 5;6;7
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REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
AB AB=B
B
AB=Φ
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556
A B
El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 1;2;3;4
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556
A B
El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
B A
B A x /x B x A
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
B A 8;9
![Page 31: Conjuntos 41888__](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062316/587004ff1a28ab427f8b5d4f/html5/thumbnails/31.jpg)
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A - B=A
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![Page 32: Conjuntos 41888__](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062316/587004ff1a28ab427f8b5d4f/html5/thumbnails/32.jpg)
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A B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).
A B
A B x /x (A B) x (B A)
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 1;2;3;4 8;9
![Page 33: Conjuntos 41888__](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062316/587004ff1a28ab427f8b5d4f/html5/thumbnails/33.jpg)
También es correcto afirmar que:A B (A B) (B A)
A B (A B) (A B)
A BA-B B-A
A B
![Page 34: Conjuntos 41888__](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062316/587004ff1a28ab427f8b5d4f/html5/thumbnails/34.jpg)
Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
Simbólicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - A
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12 3
45
6
78
9
U AA
A’={2;4;6,8}