Prof. Isaías Correa Marín

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

1. Números racionales (Q)

1.1 Propiedades de los racionales1.2 Operatoria en los racionales1.3 Transformaciones de números racionales1.4 Comparación de fracciones

2. Números irracionales (Q*)

Contenidos

3. Números reales ( IR )4. Números imaginarios ( II )

5. Números complejos ( C )

1.5 Secuencia numérica

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

ab

/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:2; 17; 0; -6; -45; -2;

70,489; 2,18; -0,647-1;

814; 3

15, 0 NO es racional

a: numerador y b: denominador

Por ejemplo:3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0),

3 es Entero (3 Z), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 31

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

1.1 Propiedades de los racionales

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

66

Al amplificar la fracción por 6 resulta:23

= 1218

• Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

33

= 915

Al simplificar la fracción por 3 resulta:2745

27 :45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 29

es: 92

Ejemplo:

1.2 Operatoria en los racionales

• Suma y restaEjemplos:1. Si los denominadores son iguales:

415

+ 715

= 1115

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

215

+ 745

= 2∙3 + 7∙145

= 6 + 745

= 1345

415

- 715

= -315

y

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5 12

+ 718

= 5∙3 + 7∙236

15 + 1436

= = 2936

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4 5

+ 7 8

= 4∙8 + 5∙740

32 + 3540

= = 6740

-4 5

∙ 8 7

= -32 35

=

• Multiplicación:Ejemplo:

-4 5

7 8

= ∙ -28 40

= 2840

-

• División:Ejemplo:

-4 5

: 7 8

= 3235

-

• Número Mixto:Ejemplo:

8 3 5 = 8∙5 + 3

5= 43

5

1.3 Transformación de números racionales

• De fracción a decimal:

Ejemplo:Se divide el numerador por el denominador.

7 4 = 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

425∙7 25∙4

=

• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99

Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

3,21 = 321-32 = 289 9090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

Ejemplo:

1.4 Comparación de fracciones

• Multiplicación cruzada:Ejemplo:Al comparar

(Multiplicando cruzado)1315

910

y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 1315

910

<

• Igualando denominadores:Ejemplo:

1315

712

Al comparar

y (Igualando denominadores)

13∙415∙4

7∙512∙5

y

5260

3560

y

Como 52 > 35, entonces 1315

712

>

• Transformar a decimal:Ejemplo:

1315

712

Al comparar

(Transformando a decimal)y

1315

= 0,86666666…

712

= 0,58333333…

1315

712

>Como 0,86 > 0,583 , entonces

• Igualando Numeradores:

Ejemplo:Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores

por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

10 3

13 4

y

10·13 3·13

13·10 4·10

y

130 39

130 40

y

Por lo tanto, 103

13 4

es mayor que

Ejemplo:En la secuencia: 6 ,

516 , 5

26 , 5

36 , ... 5

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

1 ,5

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .

5Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

65 5

1 ,5

65 = 13 5

Es decir:

Respuesta:

1.5 Secuencia Numérica

Observación:La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

1 + 1 ,5

1 + 3 ,5

1 + 5 ,5

1 + 7 , 5

1 + 13…5

... ,

1° 2° 3° 4° ... , 7°…

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Respuesta:Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1

51 + (2n - 1)5

(Con n = posición del término)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

2. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q

U

Q*=

3. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2; 7

2,18; ;2 23,491002

IN IN0 Z Q IR

Q* IR

4. Números imaginarios (II)

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25

5. Números complejos (C)

Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.

Diagrama representativo:

IN IN0 Z Q IR C

II C

IR x II = C

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual

lo que hemos aprendido

Conjunto Q

Propiedadesy comparación Operatoria Transformaciones

Decimal finito a fracción

Decimal periódico a fracción

Decimal semiperiódico a

fracción

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Simplificación

Amplificación

Fracciones equivalentes