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Isabelle Araujo – 5º período de Engenharia de Produção
Conjuntos
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Definição
Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie.
- O conjunto de todos os estudantes da UFAL.
- O conjunto de todos os brasileiros.
- O conjunto de todos os números naturais.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z.
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Representações: formas
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Compreensão
A = conjunto de alunos da UFAL
Implícita
Hgh
B
Explícita C
Diagrama de Euler-Venn
Z
2;/ xxxB
semanadadiaéddN /
uoieaC ;;;;
Conjuntos especiais
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Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por:
H
Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único elemento Ex: M = {7}
xxXx /
Conjuntos especiais
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Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos.
O conjunto das cidades de Portugal
O conjunto vazio.
O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia
Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos.
O conjunto N dos números naturais.
O conjunto dos números primos.
O conjunto Z dos números inteiros.
Conjuntos especiais
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Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos, representado pela letra U
Também é admitido como restrito a uma região de interesse.
Ex.: - Conjunto Universo das letras
- Conjunto Universo dos Conjuntos
J
O M W
Relação de pertinência
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Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz parte ou não de tal conjunto
x pertence ao conjunto A Simbologia:
(lê-se: “x pertence a A”)
x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia:
(lê-se: “x NÃO pertence a A”)
Exemplos
F
g
Ax
Ax
23;10;5;45
2;1;0;2;16
Relação de inclusão 1
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Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro
A está contido em B
Simbologia:
A NÃO está contido em B. Simbologia:
Exemplos
F
g
BA
BA
23;10;5;423;5
1;20;2,1011;0
A B
A
B A
A
Relação de inclusão 2
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Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro:
B contém A
Simbologia:
B NÃO contém A
Simbologia:
Exemplos
F
g
AB
AB
10;5;410;4;23;5
3;11;18;1015;3;11;0
A B
A
B A
A
Conjuntos: operações
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BxAxxBA ;U
9
7 6
8
B A
1 2
3 4
5
•Interseção: A B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B. BxAxxBA ;U
A
1 2
3 4
5 7
9
6
8
B
2
4
7
•União: A B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B.
Conjuntos: operações
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DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B.
A
B
A-B
Conjunto complementar
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Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por:
ou B
BxxB ;UO que é equivalente a: BB U
U-B
B
U B
cB
Dicas !!!
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• Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
• Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
• Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
Exemplos
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(PUC) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
R= 69%
Exemplos
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Vamos Praticar!
1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa:
Falso
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Conjunto dos números naturais
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Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza.
A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma:
(Conjuntos dos números naturais não-nulos)
Subconjunto:
Conjunto dos números inteiros
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A subtração de 1 - 4 era impossível.
A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.
O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.
A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:
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Conjunto dos números inteiros
Subconjuntos:
(Conjunto dos números inteiros não-nulos)
(Conjunto dos números inteiros não-negativos)
(Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)
Conjunto dos números inteiros (continuação)
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Subconjuntos:
(Conjuntos dos números inteiros não-positivos)
(Conjuntos dos números inteiros negativos
não-nulos)
Vamos praticar!
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1. Classifique como verdadeiro ou falso:
a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural.
b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural. c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural.
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Vamos praticar!
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2. Classifique como verdadeiro ou falso:
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Conjunto dos números racionais
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• Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados
os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números
racionais (Q).
A representação matemática deste conjunto é:
Q = Z {números fracionários}
Assim,
Q= }0b e Zb Z,a com,b
ax/x{
}b , a com,b
ax/x{ *ZZQ
Será que existe uma forma mais
compacta para Q?
Conjunto dos números racionais
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- Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por:
- Decimal Exata
Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125 -2/5 = -0,4
- Decimal Periódica
Ex.: 17/6 = 2,8333... 23/99 = 0,232323...
Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas,
que tem, respectivamente, períodos 3 e 23.
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Conjunto dos números racionais
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0,2171717...
Demonstração!
Solução: Seja x = 0,2171717... 1
Multiplicando os membros de 1 por 10 e por 1000, temos:
10x = 2,171717... 2
1000x = 217,171717... 3
Subtraindo 2 de 3, obtemos:
990x = 215
x = 215/990 x = 43/198 x = 43/198 = 0,2171717
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Conjunto dos números racionais
Vamos Praticar!
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0, 222... b) 0,35111...
b) Solução :
Seja x = 0,35111... 1
Multiplicando os membros de 1 por 100 e por 1000, temos:
100x = 35,111... 2
1000x = 351,111... 3 Subtraindo 2 de 3, obtemos:
900x = 316
x = 316/900 x = 79/225
0,35111... = 79/225
Conjunto dos números irracionais
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Representam os números decimais infinitos e não-periódicos.
π = 3,1415926535...
31/2 = 1,7320508...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
A representação matemática deste conjunto é:
r} ou x {x/x IQIrQR
Intervalos reais
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Notações intuitivas:
É numa reta real onde todos os infinitos números reais são representados de maneira crescente.
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0 1 2 3 -3 -2 -1
2,7
1,8
1,5 2 5
-2,7
-1,8
-1,5 - 2 - 5
-
O
Do menos infinito ao mais infinito
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Intervalos reais
Um intervalo é um pedaço da reta real representado por:
Bolinha aberta
A extremidade está incluída A extremidade está excluída
(ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo.
• O intervalo vai do -4 até o 4
• O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4
Bolinha fechada Bolinha aberta
-4 4
Referências
• OLIVEIRA, A. Pré-Enem Comunitário 2013.
• DANTE, L.R. Matemática Volume Único. 1°ed. Ática, 2005.
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