conrole sensorless da velocidade de um motor cc … · 2019-06-13 · universidade federal de ouro...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETOESCOLA DE MINAS

COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLEE AUTOMAÇÃO - CECAU

LOGOMARCA ESCOLA DE MINAS – VERSÃO MÍDIA IMPRESSA - CORES FORMULADAS EM CMYK

LEANDRO DANIEL DA SILVA

CONROLE SENSORLESS DA VELOCIDADE DE UM MOTOR CCUTILIZANDO REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS OBSERVADOS.

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE EAUTOMAÇÃO

Ouro Preto, 2019

LEANDRO DANIEL DA SILVA

CONROLE SENSORLESS DA VELOCIDADE DE UM MOTOR CCUTILIZANDO REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS OBSERVADOS.

Monografia apresentada ao Curso de Enge-nharia de Controle e Automação da Universi-dade Federal de Ouro Preto como parte dosrequisitos para a obtenção do Grau de Enge-nheiro de Controle e Automação

Orientador: Prof. João Carlos Vilela de Castro

Ouro PretoEscola de Minas – UFOP

2019

Catalogação: [email protected]

S586c Silva, Leandro Daniel. Controle sensorless da velocidade de um motor cc utilizando realimentaçãode estados observados. [manuscrito] / Leandro Daniel Silva. - 2019.

67f.: il.: color; grafs; tabs.

Orientador: Prof. MSc. João Carlos Vilela de Castro.

Monografia (Graduação). Universidade Federal de Ouro Preto. Escola deMinas. Departamento de Engenharia de Controle e Automação e TécnicasFundamentais.

1. Motores - Corrente contínua. 2. Controle de velocidade. 3. Observadoresde estado. I. Castro, João Carlos Vilela de. II. Universidade Federal de OuroPreto. III. Titulo.

CDU: 658.5

Aos meus pais.

AGRADECIMENTOS

Os agradecimentos principais são direcionados ao Prof. João Carlos Vilela de Castro, pelaorientação, apoio e confiança incondicionais. Aos professores Dr. Paulo Marcos de BarrosMonteiro e Vinícius Marinho Silva que muito me honraram com suas ilustres presenças na bancade defesa.

Agradecimentos especiais são direcionados a todo o corpo docente, técnico administrativo e aoscompanheiros de classe e irmãos na amizade, obrigado.

Aos meus pais e família, pela compreensão nos momentos de minha ausência.

Persista...

RESUMO

Os métodos de medição indireta da velocidade de sistemas de eixos girantes são uma alternativaaos dispositivos físicos tradicionais como encoders e tacômetros, que podem ser invasivos, deinstalação sujeita a restrições físicas da planta, podem apresentar propensão à falhas e necessitamde manutenção preventiva e corretiva regular de custos relativamente elevados que acabampor tornar o projeto economicamente inviável. O presente trabalho tem como escopo controlara velocidade de motor de corrente contínua através de técnicas que fazem uso da medida decorrente do motor para a estimação de sua velocidade angular, baseadas na realimentação deestados. O sistema de compensação será capaz de controlar a velocidade do motor através daleitura da corrente de armadura. A matriz de ganhos de realimentação de estados é obtida atravésde métodos de imposição direta de pólos e da topologia LQR - Regulador Linear-Quadrático. Éfeita uma análise comparativa de desempenho das estratégias de controle propostas.

Palavras-chaves: Motor de corrente contínua, controle de velocidade, observadores de estado.

ABSTRACT

The methods of indirect speed measurement of rotating shaft systems are an alternative to tradi-tional physical devices such as encoders and tachometers, which may be invasive, installationssubject to physical restrictions of the plant, may be prone to failures and require preventivemaintenance and regular corrective maintenance of relatively high costs for making the projecteconomically unfeasible. The present work has the scope to control the motor speed of dcthrough techniques that make use of the measurement of the motor current for the estimationof its angular velocity, based on the feedback of States. The compensation system will be ableto control the engine speed through the reading of the armature chain. The state feedback gainmatrix is obtained through of direct poles of the poles and the topology LQR - Linear-QuadraticRegulator. Is a comparative performance analysis of the proposed control strategies.

Key-words: DC motor, speed control, status watch.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Motor de Corrente Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 2 – Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 3 – Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 4 – Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 5 – Escovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 6 – Forças de interação Motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 7 – Motor de excitação em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 8 – Motor de excitação em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 9 – Motor de excitação composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 10 – Motor de excitação independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 11 – Modelo de um motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 12 – Forma de onda e intervalos de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 13 – Sistema discreto com realimentação de estados e integrador . . . . . . . . . 33Figura 14 – Observador de Estados de Ordem Completa Discreto . . . . . . . . . . . . 35Figura 15 – Algoritimo do filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 16 – Circuito eletrônico montado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 17 – Representação Conversor buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 18 – Representação Conversor buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 19 – Esquema de construção do encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 20 – Sinais produzidos por um encoder em quadratura . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 21 – Componentes do Arduíno UNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 22 – Microcontrolador ATmega328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 23 – Interface Serial Ploter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 24 – Motor CC com encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 25 – Sinal contínuo e discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 26 – Resposta ao degrau do sistema em malha fechada topologia Alocação de pólos 56Figura 27 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

medida (traço em vermelho) passada ao controlador. . . . . . . . . . . . . . 57Figura 28 – Comportamento da velocidade à variação da carga no eixo do motor. . . . . 58Figura 29 – Comportamento do sinal de Corrente no motor. . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 30 – Velocidade observada experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 31 – Velocidade observada experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 32 – Gráfico da tensão para carga aplicada ao eixo . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 33 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

estimada (traço em azul) passada ao controlador. . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 34 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidademedida passada ao controlador e inserção de integrador de erro. . . . . . . . 60

Figura 35 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidadeestimada (traço em azul) passada ao controlador e inserção de integrador deerro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 36 – Resposta ao degrau do sistema em malha fechada topologia de controle lqr. . 61Figura 37 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

medida (traço em vermelho) passada ao controlador. . . . . . . . . . . . . . 62Figura 38 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

estimada (traço em azul) passada ao controlador. . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 39 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

medida (traço em vermelho) passada ao controlador e integrador de erro. . . 63Figura 40 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade

estimada (traço em azul) passada ao controlador e integrador de erro. . . . . 63

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Tabela dos parâmetros do motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

FEM Força Eletromotriz

FCEM Força Contraeletromotriz

MIMO Multiple Input Multiple Output

SISO Single Input Single Output

LQR Linear Quadratic Regulator

LQG Linear Quadratic Gaussian

CI Circuito Integrado

LIT Linearmente Invariante no Tempo

LISTA DE SÍMBOLOS

E Tensão Induzida

B Densidade do campo magnético

l Comprimento do condutor no campo magnético

v Componente perpendicular da velocidade

F Magnitude da força

ia Corrente de armadura

Rm Resistência dos enrolamentos do motor

Lm Indutância dos enrolamentos do motor

ea Tensão

em Força contra-eletromotriz

ω Velocidade angular do rotor

φ Fluxo de entreferro

kce Constante de força contra-eletromotriz

Td Torque desenvolvido

Tl Torque de carga

J Momento de inércia

B Atrito viscoso

kt Constante de torque

Ia Corrente de armadura

Vcc Tensão nominal

D Duty Cycle

Ton Tempo ligado

Ts Período total

Toff Tempo desligado

Vm Tensão média

x(k) Vetor de estado

u(k) Vetor de entrada

G Matriz de transmissão dos estados

H Matriz de entradas

C Matriz de saída

D Matriz de transmissão direta

C Matriz de Controlabilidade

O Matriz de Observabilidade

k1 Constante de proporcionalidade

k2 Constante de proporcionalidade

K Vetor de ganhos do Controlador

Ke Matriz de ganhos do observador

Klqr Vetor de ganhos do Controlador LQR

J Função custo do controlador LQR

Ke Ganho da lei de Controle, utilizando LQR

Q Matriz de custo - desempenho para os estados

R Matriz de custo - desempenho para a atuação de controle

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 REVISÃO DE LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1 Motores de Corrente Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Aspectos Construtivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Princípio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3 Classificação dos Motores CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 Modelo Matemático de um motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.5 Acionamento de Motores- PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Representação em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Variáveis de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Representação Discreta no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Projeto do Controlador por Alocação de Polos . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Observadores de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8.1 Regulador Quadrático Linear Discreto - LQR . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 MATERIAIS E MÉTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1 Circuito Eletrônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.1 Encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Arduíno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.3 Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.4 Supervisório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Determinação dos parâmetros de um motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 Plataforma de aquisição e controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Projeto de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1 Projeto de Controle por Estados Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.2 Projeto do controlador com a síntese LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.3 Observador de estados de ordem completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.4 Filtro de Kalman como Observador de Estados . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Projeto de controle por realimentação de estados com alocação de pólos . . 564.2 Projeto de controle por realimentação de estados com síntese LQG . . . . . 61

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

17

1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo serão abordados os aspectos teóricos que motivaram o desenvolvimentodesta proposta de trabalho de conclusão de curso, assim como a organização de todo o seuconteúdo.

Os sistemas de controle vêm desempenhando um papel relevante no progresso científicoe tecnológico. Suas aplicações alcançam desde processos simplórios até os de natureza maiscomplexa que exigem técnicas de controle mais sofisticadas.

Os sistemas de controle podem ser classificados como sistemas de controle a malhaaberta e sistemas de controle a malha fechada. Em apertada síntese, a diferença entre eles está naparticipação do sinal de saída na ação de controle.

No sistema a malha aberta, a saída é uma resposta direta ao sinal de entrada aplicadoà planta, espera-se que, a medida que o tempo escoe, a variável controlada evolua para o valoresperado ou apresente um comportamento dentro dos parâmetros pré-estabelecidos. Destarte,a informação colhida na saída do sistema não pesa no cálculo do sinal de controle que seráaplicado para eventuais ratificações. Como consequência, os sistemas de malha aberta apresentamsensibilidade reduzida, são pouco tolerantes a erros/alterações que podem levar a imprecisões.

Quando estão disponíveis as medidas ou estimativas das variáveis do processo, a malhapode ser fechada, e o sistema de controle realimentado. Neste contexto os sinais de referência ede saída podem ser comparados e utilizados como parâmetro para calcular a ação de controle aser aplicada ao processo. Os sistemas a malha fechada estabilizam um sistema antes instável emmalha aberta, além de apresentarem boa reposta de rejeição a distúrbios e pertubações externas.

No caso de interesse, destaca-se a aplicação no controle de motores de dimensõesreduzidas, muito utilizados no meio acadêmico e na indústria. Muitos desses dispositivos sãoequipados com mecanismo de realimentação que permite medir e controlar os estados de umprocesso como a posição e a velocidade de rotação de um motor.

O projeto de controladores através de estados realimentados, só é exequível se todas asvariáveis do sistema estiverem acessíveis para leitura, o que na prática nem sempre se verifica.Algumas variáveis não possuem significado físico o que dificulta sua medição. Esse episódio éagravado pela influência de fatores externos, tais como aspectos físicos adversos e baixa acuráciados transdutores. Manter um sensor monitorando cada variável de estado pode tornar o projetoeconomicamente pouco atrativo.

No entanto, é possível contornar esse problema reconstruindo essas variáveis a partir detécnicas de predição. O observador de estado é um subsistema que utiliza das informações deentrada e saída para estimar o vetor de estados da planta.

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Neste contexto, o presente trabalho tem como escopo o projeto de um sistema de controlea partir de uma abordagem "sensorless", onde a velocidade de um motor CC será monitorada econtrolada a partir da leitura da corrente de armadura.

1.1 Justificativa

O controle de velocidade de servomecanismos utilizando motores de corrente contínuade imã permanente tem um leque de aplicações em demandas da engenharia principalmente emsegmentos de automação que requerem controle preciso de velocidade e posição.

Por algum tempo os dispositivos eletromecânicos, dos quais encoders ópticos, tacoge-radores e sensores de campo magnético dominaram as aplicações de leitura da velocidade demáquinas elétricas. No entanto, esses equipamentos são invasivos, estão sujeitos a restrição deespaço, aumentam a propensão à falhas e demandam manutenção preventiva e corretiva regularde custos relativamente elevados.

Não podemos perder de vista, a constante busca por meios de produção mais limpos eeficientes que cumpram com uma agenda norteada por políticas de apelo ambiental.

Todos esses fatores em conjunto tornam os métodos de medição indireta sensorless umaalternativa prática e relativamente barata de rastreamento da trajetória dos estados de um sistemasem recorrer a métodos invasivos. A observação permite o contorno de eventuais restriçõestécnicas de acesso com contribuições significativas no barateamento dos custos de um processo.

1.2 Objetivos

Os objetivos a serem alcançados encontram-se elencados a seguir:

a) Encontrar um modelo matemático que represente com elevado grau de precisão o compor-tamento dinâmico do motor CC de imãs permanentes;

b) Projetar compensadores capazes de controlar a velocidade do motor CC a partir da leiturada corrente elétrica;

c) Aplicar estratégias de controle baseado em técnicas para variáveis de estado, (LQR - LinearQuadratic Regulator), (LQG - Linear Quadratic Gaussian);

d) Fazer a análise comparativa do desempenho das estratégias de controle adotadas.

1.3 Metodologia

Este trabalho teve início com uma pesquisa bibliográfica sobre os aspectos teóricosdas máquinas elétricas, descrevendo suas principais características construtivas e as técnicosdisponíveis para seu controle de velocidade.

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Para a realização do trabalho foi necessário projetar um circuito eletrônico para acionaro motor CC.

Para o controlador, foram experimentados técnicas de compensação que dispensam ouso de sensores mecânicos acoplados ao eixo do motor.

A etapa de ensaios práticos foi precedida de experimentos computacionais realizadasatravés de software de simulação para validar o modelo didático, seguido da análise e comparaçãodos resultados.

1.4 Organização do trabalho

Este trabalho está organizado conforme elencado.

No primeiro capítulo, faz-se uma introdução sobre os aspectos do tema abordado, objeti-vos a serem alcançados e justificativas que levaram ao desenvolvimento do trabalho.

O segundo capítulo faz uma abordagem do referencial teórico que fundamenta a propostade trabalho e os aspectos que o contorna.

O terceiro capítulo faz uma referência aos recursos físicos e computacionais utilizadosna elaboração do projeto e traz a metodologia utilizada nos procedimentos experimentais.

O quarto capítulo traz os resultados e discussões.

As conclusões e sugestões para progressos futuros são apresentados no quinto capítulo.

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2 REVISÃO DE LITERATURA

Neste capítulo serão abordados os aspectos teóricos dos principais assuntos que funda-mentam o projeto. Num primeiro momento será apresentado os aspectos mais relevantes de ummotor CC. Na sequência, uma breve discussão sobre discretização de sistemas. O fechamento docapítulo fica a cargo dos conceitos de representação de sistemas em espaço de estados.

2.1 Motores de Corrente Contínua

Os dispositivos que fazem conversão eletromecânica de energia são frequentementeconhecidos como máquinas elétricas. Nesse contexto, podemos classificá-las consoante direçãodo fluxo de potência. Se a transdução de energia é de mecânica para energia elétrica diz sero equipamento um gerador, caso contrário se há a conversão de energia elétrica em energiamecânica de rotação temos um motor.

O motor de corrente contínua, que a partir daqui por simplicidade será chamado apenasde motor CC, é uma máquina elétrica que oferece suporte para uma gama de aplicações. Sãoempregados no acionamento de eletrodomésticos e em larga escala nos processos industriais quedemandam um controle de velocidade mais requintado.

O que torna esse equipamento bastante atrativo é a facilidade de realizar seu controlede velocidade e posição, bastando pra isso apenas alternar a tensão de alimentação no seusterminais.

Quando levado em consideração todos os seus aspectos de operação o motor CC figuracomo um dispositivo bastante complexo, mas simplificações no modelo real resultam em umarepresentação suficientemente precisa para o estudo de sua regulação.

Os estudos apresentados nesse trabalho foram desenvolvidos tendo como norte a dinâmicade funcionamento dos motores CC com imã permanente da Figura 1.

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Figura 1 – Motor de Corrente Contínua

Fonte:(GEVISA, 2018)

2.1.1 Aspectos Construtivos

As formas construtivas de um motor CC compreendem basicamente da interconexão dascomponentes estacionárias e móveis abaixo elencadas:

• Estator ou carcaça: Estruturado por um material ferromagnético onde estão instaladas aspeças polares do motor compostas por enrolamentos de campo ou imãs permanentes. Suaprincipal função é de conduzir o fluxo magnético.

Figura 2 – Estator

Fonte:(HOWSTUFFWORKS, 2003)

• Armadura ou rotor: É um eletroímã constituído de núcleo de ferro com ranhuras perifé-ricas onde estão alojados bobinas que produzem campo magnético a partir da passagem decorrente elétrica ao longo da sua extensão.

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Figura 3 – Rotor


• Comutador: É um conversor mecânico solidário ao eixo do rotor, confeccionado delâminas de cobre isoladas uma das outras. A função dessa peça é atuar mecanicamenteconduzindo a energia ao enrolamento de armadura, invertendo o sentido da corrente quecircula na bobina de campo.

Figura 4 – Comutador


• Escovas: Conectores confeccionados em liga de carbono que estabelecem a conexãoelétrica entre os enrolamentos de armadura e a fonte externa para alimentar o rotor.

Figura 5 – Escovas


23

2.1.2 Princípio de funcionamento

Para entender a dinâmica de funcionamento das máquinas elétricas é fundamental que osconceitos de eletromagnetismo estejam bem sedimentados.

A fórmula abaixo representa a FEM - (Força Eletromotriz) induzida em um condutor quecorta perpendicularmente linhas de força (linhas de campo) com uma velocidade uniforme v.

E = Blv (2.1)

onde:

E - Tensão Induzida;

B - Densidade do campo magnético;

v - Componente perpendicular da velocidade

l - Comprimento do condutor no campo magnético.

Quando a corrente elétrica passa através da bobina e do campo magnético do imã éproduzida uma força magnética que produz um torque e faz o eixo do motor girar. Este torque,quando o condutor transporta uma corrente constante i e está sujeito a um campo magnéticouniforme é dado pela equação 2.2 e ilustrado na Figura 6.

F = Bli (2.2)

sendo:

F - Magnitude da força;

B - Densidade do campo magnético;

i - Corrente de armadura;

l - Comprimento do condutor sobre o efeito do campo magnético.

Figura 6 – Forças de interação Motor CC

Fonte:(WEG, 2007)

2.1.3 Classificação dos Motores CC

Os motores CC podem ser classificados consoante ao tipo de ligação dos enrolamentosde campo.

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Motor CC Série

No motor CC série, conforme ilustrado na Figura 7, o enrolamento de campo é ligadoem série ao enrolamento de armadura, assim a própria corrente de armadura é utilizada comocorrente de excitação. Uma das prerrogativas dessa configuração é possuir um conjugado departida alto. No entanto, o aumento da carga acoplada ao eixo implica em uma elevação do fluxode corrente de armadura e por efeito cascata, maior atuação da FCEM e queda de velocidade. Éuma opção conveniente para aplicações que envolvem tração elétrica. Partidas a vazio não sãorecomendadas, e a baixas cargas devem ser efetuadas com cautela pois podem comprometer aintegridade física do equipamento.

Figura 7 – Motor de excitação em série

Motor CC Shunt (em Derivação )

Também conhecido como motor shunt, nesse tipo de ligação o enrolamento de campoestá conectado em paralelo com o enrolamento de armadura, Figura 8. Ambos são alimentadospela mesma fonte de tensão. A elevação da carga acoplada ao eixo reduz os efeitos da forçacontra-eletromotriz. O conjugado aumenta de forma linear a incidência de corrente na armadura,em contrapartida nota-se uma ligeira redução da velocidade.

Figura 8 – Motor de excitação em paralelo

Motor CC Composto

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O motor de excitação composta ou motor compound associa numa mesma máquinaas características operacionais do motor em derivação e do motor em série. Nesse aspecto acomposição preserva a elevada capacidade de torque devido ao aumento da corrente atravésdos enrolamentos de efeito de campo em série, e a limitação da velocidade proporcionada pelaligação dos enrolamentos em paralelo, conforme vislumbra-se na Figura 9.

Figura 9 – Motor de excitação composta

Motor CC de excitação independente

Neste tipo de ligação, os enrolamento de campo e de armadura são alimentados comfontes de tensão independentes, Figura 10. A rotação do motor pode ser alterada invertendo-se osentido da corrente de campo ou a de armadura. Esse tipo de motor é utilizado em larga escalaem dispositivos e equipamentos eletros-portáteis acionados por fontes de corrente contínua. Seuuso é restrito a aplicações de baixa potência devido ao alto custo dos imãs.

Figura 10 – Motor de excitação independente

2.1.4 Modelo Matemático de um motor CC

Uma modelagem bem executada que contemple no mínimo as características dominantesdo sistema é o ponto de partida para um projeto de controle bem sucedido, por isso a etapa deidentificação da planta é fundamental.

Modelos matemáticos são, em geral, representações simplórias de um fenômeno real,construídos através de equações regidas pelas leis que governam o seu comportamento físico.

A representação através de modelos matemáticos traz informações relevantes do processo,como por exemplo a correlação das variáveis de manipulação e de controle.

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A dinâmica de operação de um motor CC deriva das equações elétricas do circuito,baseadas nas leis de Kirchhoff, e mecânicas do movimento, segundo as leis de Newton, e dainteração entre elas.

Um motor CC controlado pela armadura pode ser modelado como mostra o circuitoequivalente da Figura 11.

Figura 11 – Modelo de um motor CC

Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões na malha da armadura é possível derivar aprimeira equação básica que modela o motor CC. O circuito de armadura é regido por

ea(t) = Rm.ia(t) + Lm.dia(t)

dt+ em(t) (2.3)

onde os enrolamentos do motor são representado por uma resistência Rm em série com aindutância Lm. Por sua vez ea(t) e ia(t) denotam a tensão aplicada nos terminais do motor e acorrente de armadura respectivamente.

A tensão induzida de armadura em(t), comumente chamada de força contra-eletromotrizpor se opor a tensão aplicada ea(t), é proporcional ao produto do fluxo magnético φ(t) pelavelocidade de rotação angular do motor ω(t), aqui representada por:

em(t) = k1.φ(t).ω(t) (2.4)

onde k1 é uma constante de proporcionalidade.

Considerando que para fins do projeto o motor CC utilizado é de imã permanente econsequentemente o fluxo pode ser aproximado por uma constante,

Kce = k1.φ(t) (2.5)

pode-se representar a equação da força contra-eletromotriz como:

em(t) = Kce.ω(t) (2.6)

onde Kce é a constante de força contra-eletromotriz.

27

Substituindo 2.6 em 2.3 e rearranjando os termos, chegamos a equação diferencial paracorrente na armadura:

dia(t)

dt= −Rm.ia(t)

Lm− Kce.ω(t)

Lm+ea(t)

Lm(2.7)

A partir das leis de Newton para o movimento rotacional chegamos a equação doconjugado eletromagnético desenvolvido pelo motor. O torque eletromagnético, deve ser igual asoma dos torques opostos a orientação do eixo do motor. Daí, manipulando os termos,

Jd

dtω(t) = Td(t)−Bω(t)− Tl (2.8)

sendo Tl o torque de carga , J o momento de inércia combinado da carga e partes girantes e fixasdo motor e B o coeficiente de atrito viscoso entre o motor e a carga.

O torque Td produzido pelo motor depende da corrente de armadura ia(t) e do fluxomagnético φ(t), sendo dado por:

Td = k2.φ(t).ia(t) (2.9)

sendo k2 uma constante.

Considerando os aspectos construtivos do motor CC supramencionado e fazendo,

Kt = k2.φ(t) (2.10)

daí, podemos reescrever a equação do torque como:

Td = Kt.ia(t) (2.11)

Substituindo 2.11 em 2.8, temos a equação diferencial para velocidade angular:

dω(t)

dt=Kt.iα(t)

J− B.ω(t)

J− TlJ

(2.12)

Aplicando a transformada de Laplace às equações 2.7 e 2.12 obtém-se :

sIa(s)− Ia(0) = −Rm

LmIa(s)−

Kce

Lmω(s) +

ea(s)

Lm(2.13)

sω(s)− ω(0) = −Kt

JIa(s)−

B

Jω(s) +

TlJ

(2.14)

Considerando as condições iniciais nulas podemos reescreve-se essas equações da se-guinte forma:

28

Ia(s) =−Kceω(s) + ea(s)

Lm(s) +Rm

(2.15)

ω(s) =KtIa(s) + Tl(s)

J(s) +B(2.16)

Manipulando as equações é possível obter a função de transferência que relaciona atensão de entrada na armadura ea(s), com a velocidade rotacional, ω(s) :

ω(s)

ea(s)=

Kce

(JLm)s2 + (JRm +BLm)s+ (KtKce +RmB)(2.17)

2.1.5 Acionamento de Motores- PWM

Os motores CC podem ser acionados empregando-se sinais elétricos gerados a partir deprocessadores digitais para controlar a tensão total de saída aplicada nos seus terminais.

A Modulação por Largura de Pulso – MLP (em inglês, Pulse Width Modulation – PWM)é um técnica que possibilita o acionamento de motores CC em diversas velocidades.

A técnica consiste basicamente em controlar os períodos de condução e corte de potênciafornecidas ao motor através de um interruptor, usualmente um transistor.

A tensão média de saída fornecida a carga, quando o regime de condução é contínuo,é aproximadamente o produto da tensão nominal Vcc e do Duty Cycle ou ciclo ativo D , que éa relação entre o tempo ligado Ton, período onde a carga recebe a potência máxima, e tempototal de operação, T . Define-se Toff como o intervalo no qual a incidência de potência na cargaé nula.

Destarte:

Vm = Vcc.D (2.18)

D =TonTs

(2.19)

Vm = Vcc.Ton

Ton + Toff(2.20)

Na forma de onda da Figura 12 é possível vislumbrar esses intervalos de tempo.

29

Figura 12 – Forma de onda e intervalos de tempo

Fonte:(OLIVEIRA, 2014)

2.2 Representação em Espaço de Estados

O método clássico de descrever sistemas dinâmicos no domínio da frequência remete aum modelo algébrico de relacionamento dual entre a entrada e saída através de uma função detransferência.

A sensibilidade de resposta a variação de parâmetros do sistema confere a essa técnicafrequencial a vantagem de fornecer rapidamente informações sobre a estabilidade e respostatransitória, mas não é a forma mais apropriada pra tratar séries temporais.

A representatividade do modelo matemático em espaço de estados como instrumento dedescrição e estudo do comportamento dos elementos internos de um sistema dinâmico é umaalternativa viável para retratar casos simples como o apresentado neste trabalho onde deseja-secontrolar a velocidade sem medi-la, e isso não seria possível de se fazer na estratégia por funçãode transferência (entrada saída), tanto quanto para os mais complexos, como é o de sistemas commúltiplas entradas e saídas (MIMO), não lineares e variantes no tempo.

Através dessa abordagem é possível obter um número maior de informações sobre oestado da planta, e assim, buscar uma solução, ainda que não necessariamente otimizada, deforma a garantir que projeto de controle atenda a um elenco de requisitos de resposta transitóriae/ou de regime.

2.2.1 Variáveis de estado

As variáveis de estado são um conjunto minimalista de grandezas linearmente indepen-dentes cujo valores determinam os estados de um sistema. O conhecimento dessas variáveisno instante t = t0, dada uma entrada t ≥ t0, determinam por completude o valor de todas as

30

variáveis do sistema para todo instante de tempo t ≥ t0 (NISE, 2002). Em síntese, se o conjuntode variáveis é conhecido, juntamente com as funções de entrada e as equações dinâmicas domodelo, é possível obter os estados futuros e a saídas futuras do sistema (DORF, 2010).

Em processos reais as grandezas físicas convertidas em variáveis de estados estãoassociadas a elementos armazenadores de energia como componentes eletrônicos, molas, líquidos,entre outros, mas isso não consiste em uma regra.

Outras grandezas que merecem ser avaliadas como candidatas a variável de estado são asassociadas a realimentação, principalmente por estarem ligadas as operações de controle.

2.2.2 Representação Discreta no Espaço de Estados

Um sistema linear discreto do tipo SISO de ordem n pode ser descrito por n equaçõesde diferenças. Considerando um sistema de segunda ordem, com entrada u e saída y, podemosassinalá-lo no espaço de estados como:

x1(k + 1) = f1(x1(k), x2(k), u(k)) (2.21)

x2(k + 1) = f2(x1(k), x2(k), u(k)) (2.22)

y(k) = f(x1(k), x2(k), u(k)) (2.23)

As equações 2.21 e 2.22 são as equações de estado e 2.23 a equação de saída do sistema.As escalares x1 e x2 são as variáveis de estado.

O modelo representado em espaço de estados reduz o sistema de segunda ordem dadopela função de transferência 2.17 em um sistema de primeira ordem conforme mostra as equações2.24 e 2.25.

x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) (2.24)

y(k) = Cx(k) + Du(k) (2.25)

onde x(k) é o vetor de estado

xt =[x1, x2, . . . , xn

],

(2.26)

A matriz G é de evolução de estados ou da planta do sistema, H é a matriz de entradas(eventualmente de controle), C de saídas (medidas por sensores) e a matriz D de transmissãodireta.

31

A planta de interesse é de segunda ordem, portanto, serão necessárias duas variáveis deestado pra representar as condições iniciais do modelo. Definindo-as como

x1 = ω (2.27)

x2 = ia (2.28)

e a entrada u poru = ea, (2.29)

A partir das equações 2.7 e 2.12, é possível representar o modelo matemático do motorCC de imãs permanentes, no espaço de estados, da seguinte forma:

ω(t)

ia(t)

=

−RmLm

−KceLm

KtJ

−BJ

ω(t)

ia(t)

+

1Lm

0

0 − 1J

ea

Td

(2.30)

y =[1 0

] ω(t)

ia(t)

(2.31)

2.3 Controlabilidade

A condição de controlabilidade de um sistema revela a susceptibilidade dos estados aosefeitos do sinal de entrada, sendo de fundamental importância no projeto de controle, já que umsistema considerando não controlável , não é passível de solução.

Seja a representação em espaço de estados discreta,

x((k + 1)τ) = G(τ)x(kτ) + H(t)u(kτ) (2.32)

y(kτ) = Cx(kτ) + Du(kτ) (2.33)

Um sistema LIT é de estado completamente controlável se existe um vetor de entradau(kτ), partindo de qualquer estado inicial e finito, que transfere o estado x(kτ) para um estadoarbitrário.

Em síntese, um sistema de controle é completamente controlável se cada variável deestado sem exceção, responde ao sinal de controle num intervalo de tempo finito.

Algebricamente, para que um sistema seja completamente controlável, sua matriz decontrolabilidade, dada por

32

U =[

H GH . . . Gn−1H],

é não singular.

Um sistema é dito de estados controláveis se os vetores coluna da matriz de controlabili-dade são linearmente independentes, ou seja, se a matriz U tiver posto completo e for de mesmadimensão do sistema.

2.4 Observabilidade

O conceito de observabilidade tange a capacidade de reconstrução dos estados indisponí-veis para medição direta ou pontos de acesso remoto do sistema.

Por sua vez, um sistema classificado como não observável, não está susceptível a respon-der às técnicas de observação de estado. Posto isso, o controle das variáveis de valor desconhecidopor realimentação de estados não será possível.

Considerando ainda a representação em espaço de estados discreto das equações 2.32 e2.33, o sistema é completamente observável se o estado inicial x(0) pode ser determinado daobservação das saídas y(kτ) sobre num intervalo finito.

Algebricamente, um sistema é observável se e somente se a matriz de observabilidade

O =

C

GC...

Gn−1C

,

é não singular.

Um sistema é dito de estados observáveis se os vetores que compõem a matriz deobservabilidade são linearmente independentes, ou seja, se a matriz O tiver posto completo e forde mesma dimensão do sistema.

2.5 Integradores

Em termos algébricos, a ação integral insere um pólo extra na origem do sistema, elevandosua ordem e tipo. Um sistema antes classificado de ordem zero, passará a ter ordem um, porexemplo. A adição de um pólo a mais, melhora a condição do erro em regime permanente parareferências do tipo 1

sp.

Tomamos as equações de estado 2.24 e de saída 2.25 e a equação de estado que representaa integral do erro,

ν(k) = ν(k − 1) + r(k)− y(k) (2.34)

33

sendo, ν(k) = vetor da integral do erro;

y(k) = vetor de entrada de comando (referência).

Reescrevendo 2.34 como:

ν(k + 1) = ν(k) + r(k + 1)− y(k + 1)

= ν(k) + r(k + 1)−C[Gx(k) + Hu(k)]

= −CGx(k) + ν(k)−CHu(k) + r(k + 1) (2.35)

Assumindo a lei de controle linear temos:

u(k) = −K2x(k) +K1ν(k) (2.36)

Assim, basta em calcular os ganhos K1 e K2 que posicione os polos para o sistemaaumentado, segundo critérios preestabelecidos.

Figura 13 – Sistema discreto com realimentação de estados e integrador

Fonte: (OGATA, 1994)

2.6 Projeto do Controlador por Alocação de Polos

O projeto por imposição de polos é um método analítico de formulação de compensadores.Consiste basicamente em introduzir parâmetros adicionais em um sistema de modo que possamoscontrolar a posição de todos os polos em malha fechada em qualquer ponto do plano complexo(DORF, 2010).

Considere a dinâmica de um sistema discreto representado em espaços de estado pelaequação 2.24 e uma lei de controle linear do tipo:

u(k) = −Kx(k) (2.37)

onde K particularmente para o caso em discussão é o vetor de ganho de realimentação de estados.

O sistema sob a ação dessa entrada, dizemos ser este um sistema controlado, substituindo2.37 em 2.24, temos:

x(k + 1) = Gx(k) + HKx(k) (2.38)

34

Colocando os termos comuns em evidência,

x(k + 1) = (G−HK)x(k) (2.39)

sendo (G−HK) a matriz dinâmica que rege o sistema controlado.

O problema de alocação de polos concentra-se na escolha do vetor K que faça com quea matriz do sistema controlado tenha autovalores impostos na posição desejada.

Neste contexto, os conceitos de controlabilidade e observabilidade ganham força, tendoem tela que, nessa síntese o projeto só é exequível caso todas as variáveis respondam ao sinalde controle em um instante de tempo finito e que todos os estados estejam disponíveis paramedição.

Suponha que o sistema definido por 2.24 seja de estados completamente controláveis.

Dado um sinal de controle do tipo 2.37, a matriz de ganho K que define os pólos de(G−HK) pode ser encontrada comparando a equação característica do sistema controlado,onde, µ1, µ2 . . . µn,

(z − µ1)(z − µ2) . . . (z − µn) = zn + α1zn−1 + α2z

n−2 + . . .+ αn−1z + αn (2.40)

são os pólos desejados e,det[zI−G + HK] (2.41)

a equação característica do sistema realimentado.

As escalares do vetor de ganhos são obtidas igualando as equações 2.33 e 2.40,

det[zI−G + HK] = (z−µ1)(z−µ2) . . . (z−µn) = zn+α1zn−1+α2z

n−2+ . . .+αn−1z+αn

(2.42)e resolvendo para K.

2.7 Observadores de Estados

No controle via realimentação de estados é indispensável que os valores das variáveisdo processo sejam conhecidos a todo instante. Mas acreditar que isso é uma regra é premissafalha. Na prática apenas um número parcial de estado estão disponíveis para leitura direta erealimentação, frequentemente apenas as variáveis de entrada e saídas do sistema.

Portanto, é necessário recuperar essas variáveis desconhecidas. Aqui entra em cena osobservadores, uma metodologia de estimação de variáveis ou parâmetros de um processo, comumna solução de problemas de controle.

Um observador de estado é um subsistema que realiza a reconstrução das variáveis doprocesso a partir da medida da saída e do sinal de controle do sistema. Sendo os mais conhecidoso observador de Luenberger (sistemas determinísticos) e o filtro Kalman (sistemas estocásticos).

35

A metodologia de Luenberger se concentra no modelo conhecido da planta e dos dadosrepassados ao sistema real, para fazer as estimativas das variáveis internas do processo. O valorfinal é comparado com o valor medido na saída e utilizado para correções.

Figura 14 – Observador de Estados de Ordem Completa Discreto

Da Figura 14, pode-se escrever a equação do observador:

x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) + Ke(y(k)− y(k)) (2.43)

onde ke é a matriz de ganho de realimentação do observador.

Comparando y(k) = Cx(k) a y(k), substituindo a equação de saída na equação de estadoe rearranjando os temos da equação 2.43 podemos reescreve-la como:

x(k + 1) = (G−KeC)x(k) + Hu(k) + Key(k) (2.44)

A premissa da observação é que, a convergência de qualquer erro de estimação inicial,dado pela diferença entre os estados observados x(k) e os estados reais x(k), para um valorsuficientemente pequeno ou até mesmo nulo deve ser mais célere que a convergência dos estadosreais para seu valor final.

Neste contexto, a escolha dos polos do observador, que são diferentes dos polos do ganhodo controlador, assume um papel fundamental, pois são eles os responsáveis por garantir essaconversão. Aloca-se os pólos para que sejam mais rápidos que os da planta observada, o queminimiza a introdução de erros que podem culminar na lentidão e instabilidade do sistema.

Considere a planta representada pelas equações 2.24 e 2.25, e a representação usada noprojeto do observador dada por:

x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) (2.45)

36

y(k) = Cx(k) + Du(k) (2.46)

Subtraindo as equações de estado do observador 2.45 e 2.46, das equações de estado daplanta 2.24 e 2.25 depois de algumas manipulações algébricas:

x(k + 1)− x(k + 1) = (G−KeC)[x(k)− x(k)] (2.47)

A diferença entre x(k) e x(k) é definida como o erro entre o estado observado e o realex.

ex = x(k)− x(k) (2.48)

Os autovalores de G−KeC são os polos do observador, sendo responsáveis por definiro comportamento dinâmico do erro.

Se os polos estiverem dentro do círculo unitário, ou seja, estáveis em malha fechada,o vetor de erro tenderá para zero, para qualquer erro inicial e(0), e o estado estimado x(k)

convergirá para o valores próximos do estado do sistema x(k) independente dos valores de x(k)

e x(k).

Os observadores de estado podem ser classificados consoantes ao quantidade de variáveisdo sistema que observa:

• Observador de estado de ordem completa: Todos os estados são observados, mesmoaqueles disponíveis para medição direta.

• Observador de estado de ordem mínima: Apenas as variáveis de estado que não sãomedidas são mensuradas.

• Observador de estado ordem reduzida: Estima ambas as categoria de variáveis dosistema, mas geralmente um número menor que a totalidade.

No entanto, a existência de fatores não modelados - ruídos - podem acabar comprome-tendo o desempenho dos reguladores. Uma alternativa para contornar esses efeitos e preservar afiabilidade dos resultados observados é o emprego de técnicas ótimas de observação.

Os estimadores ótimos assumem um papel relevante na implementação de leis de controlede realimentação de estados. Isso porque uma medida colhida in locu pode estar comprometidapor pertubações que nem sempre podem ser reconhecidas, isoladas e tratadas. Essas distorçõestem influência direta no comportamento do controlador com prejuízo para a estabilidade dosistema em malha fechada.

Os estimadores ótimos como o algorítimo de Kalman usam de métodos estatísticos e deobservação para atribuir um valor que se aproxime o máximo do valor real a uma variável ouparâmetro desconhecido.

37

2.8 Filtro de Kalman

Desenvolvido em 1960 pelo Engenheiro Rudolf Emil Kalman, o filtro de Kalman é umconjunto de equações lineares e estocásticas, capaz de reconstruir com acurácia os estados deum sistema. O filtro de Kalman é um estimador ótimo, e isso se deve a sua capacidade preditiva.Em síntese, o algorítimo de Kalman lança mão das informações conhecidas do modelo e dasmedições para estimar os estados de forma ótima.

Assuma um sistema dinâmico representado no espaço de estados por:

xk = Ax(k − 1) + Bu(k − 1) + w(k− 1) (2.49)

ezk = Hx(k) + v(k) (2.50)

onde w(k) e v(k) representam sinais do tipo ruído característico dos erros de modelagem esensores de medição, comuns na entrada e na saída da planta. Os mesmos são descorrelacionados,brancos, com média zero e que seguem a distribuição normal:

w(k) ∼ N(0,Q) (2.51)

v(k) ∼ N(0,R) (2.52)

Sendo Q, é a matriz de covariância do processo, e R, a matriz de covariância dasmedições.

O algoritmo do filtro de Kalman funciona em duas etapas: a predição e a correção.

Na etapa de predição ou estimativa a priori o estado atual das variáveis é estimado semlançar mão de dados observados no tempo real. Na sequência o estado atual é incrementado e ovalor da variável estima é corrigida, gerando uma estimativa aa posteriori.

Podemos definir os erros estimados a priori x−k , e a posterior xk no instante k da mediçãocomo sendo :

e−k = xk − x−k (2.53)

ek = xk − xk (2.54)

As matrizes de covariância do erro a priori e a posteriori são respectivamente:

P−k = E[e−k e−Tk ] (2.55)

P−k = E[ekeTk ] (2.56)

sendo T a transposta da matriz.

38

Na etapa de predição os estados são estimados e atualiza-se a matriz de covariância doerro a priori:

P−k = GP(k−1)GT + Q (2.57)

onde Q pode ser visto como a incerteza na estimação dos estados.

Na etapa de correção atualiza-se o estado a partir da medições realizadas. Isso é feitoatravés de uma combinação linear das estimações dos estados a priori x−k e a diferença entre ovalor medido real zk e o valor predito Hxk resultando na seguinte equação:

xk = x−k + K(zk −Hxk) (2.58)

A matriz Kmxm conhecido como ganho de Kalman, minimiza a covariância de erroestimado a posteriori, de acordo com (BISHOP, 2001) uma forma do K resultante é dada por:

Kk = P−k HT(HP−k HT + R)−1 (2.59)

A síntese do algorítimo de Kalman pode ser visualizado na Figura 15.

Figura 15 – Algoritimo do filtro de Kalman

Fonte:(MAXWELL, 2019)

2.8.1 Regulador Quadrático Linear Discreto - LQR

Em projetos de sistemas de controle é importante ter em mente que requisitos de desem-penho operacionais satisfeitos não implicam necessariamente em otimalidade da solução.

O controle ótimo busca os melhores parâmetros possíveis visando aumentar a eficiênciado sistema em relação a um primeiro projeto de controle, estabelecendo um compromisso entreobjetivos divergentes.

39

Seja o sistema discreto controlável com retenção de ordem zero e período de amostragemTs, dado pela Equação 2.24.

No projeto de compensador Regulador Quadrático Linear - LQR deseja-se encontrar alei de controle que limite a energia dos estados e da ação de controle, minimizando a seguintefunção custo:

J =1

2

∑(x′Qx + u′Ru) (2.60)

As matrizes Q de ponderação dos estados, e R e de ponderação das entradas, sãohermitianas definidas positivas ou reais simétricas, que definem o peso que o estado e o sinal docontrole, nessa ordem, têm no cálculo da função quadrática J .

Não se tem conhecimento de um método sistemático de para escolha dessas matrizes,geralmente são selecionadas por meio de simulações, tentativa e erro e etc.., em conformidade acritérios pré estabelecidos.

Um estratégia comumente adotada é definir Q e R inicialmente como sendo diagonais,os valores para essas matrizes podem ser estabelecidos consoante a regra de Bryson, sendo cadaelemento da matriz dado por:

Qi =1

x2imax(2.61)

tal que,

Q =

Q1 0 . . . 0

0 Q2 . . . 0

0 0. . . 0

0 0 . . . Qn

(2.62)

e

Ri =1

u2imax(2.63)

tal que,

R =

R1 0 . . . 0

0 R2 . . . 0

0 0. . . 0

0 0 . . . Rn

40

(2.64)

Onde, x2imax representa o máximo valor do estado xi e u2imax é o máximo valor do controleui.

O ganho da realimentação de estados Klqr, é dado por:

Klqr = (R + HTPH)−1HTPG (2.65)

onde P é obtida a partir da solução da Equação Algébrica de Riccati com P(0) = 0.

P(k + 1) = Q + GTP(k)G−GTP(k)H(R + HTP(k)H−1HTP(k)G (2.66)

A lei de controle do regulador LQR é dada pela equação:

u(k) = −Klqrx(k) (2.67)

De uma forma geral, esse método busca ajustar o sistema visando estabelecer umcompromisso entre o desempenho e esforço de controle.

O Regulador Linear Quadrático - LQR tem na simplicidade de sua implementação umaprerrogativa, tendo em tela que o cálculo da matriz de ganho de controle por realimentação deestado não esta sujeita a escolhas de polos, resultando em uma matriz de ganho ótima (OGATA,2000).

No entanto, pesa em seu desfavor a elevada sensibilidade as dinâmicas não consideradasna planta, como a variação de parâmetros e deturpações por distúrbios, que podem comprometera ação de controle sobre os estados levando-os a deterioração.

41

3 MATERIAIS E MÉTODOS

Neste capítulo serão apresentados todos os recursos materiais utilizados na etapa expe-rimental do trabalho e será feita uma breve especificação de suas funcionalidade. Disserta-sesobre os detalhes do projeto, simulações e implementações.

3.1 Circuito Eletrônico

O circuito eletrônico da Figura 16 é composto de um motor cc de imãs permanentes, umdispositivo medidor de velocidade,a saber, um encoder óptico solidário ao eixo do motor, umArduíno UNO e um modulo regulador de tensão CC-CC no modo buck.

Figura 16 – Circuito eletrônico montado

Fonte: O autor

A função de um circuito de potência é trabalhar a energia elétrica de modo a fornecerníveis adequados de tensão e corrente vistos por uma carga. O que geralmente é feito com oauxílio de dispositivos semicondutores, dada sua capacidade de condução e chaveamento.

Os choppers são conversores CC-CC chaveados sem filtragem e sem isolamento elétricoque fornecem uma tensão contínua ajustável de saída em detrimento a uma tensão contínuafixa de entrada, sem que ocorra uma grande dissipação de potência aplicada nos elementoschaveadores.

O conversor CC/CC do tipo Buck, representado na Figura 17 é um abaixador de tensãoque usa um chopper com uma etapa de filtro. Sua principal característica é a obtenção de umatensão de saída menor que a tensão de alimentação do conversor. São bastante requisitados emaplicações envolvendo acionamento de motores.

42

Figura 17 – Representação Conversor buck

O módulo regulador de tensão LM2596 da figura Figura 18 utilizado no trabalho, atuacomo um conversor CC-CC no modo Step Down.

Figura 18 – Representação Conversor buck

Fonte: O autor

Para todo tipo de topologia de conversores CC/CC, insta ressaltar a importância de seobservar a frequência de comutação da chave, que pode ser um dispositivo semicondutor, porexemplo. Quando esse chaveamento é baixo pode resultar em descontinuidade e aumento naondulação da corrente de saída, enquanto nas frequência mais altas gera oscilações que podemlevar a perdas nos componentes.

3.1.1 Encoder

O Encoder é um dispositivo transdutor eletromecânico que converte a posição angular doseu eixo em sinal elétrico. Assim é possível fazer a conversão do sinal para velocidade através docircuito integrado ao dispositivo. Os Encoders ópticos utilizam LED como componente emissore um sensor fotodetector como o receptor.

43

Exitem variados modelos desse dispositivo, uma forma de distingui-los é através datecnologia utilizada pro sinal de saída, podendo ser classificados como absoluto ou incremental,sendo esse último o da Figura 19, o mais comum.

Seu princípio de funcionamento é simples, o LED emissor projeta um feixe de luz queatravessa um disco solidário ao eixo com janelas a intervalos regulares, gerando no elementofotossensível uma sequência de pulsos.

Figura 19 – Esquema de construção do encoder

Fonte:(Repositório da Automação, 2014)

O encoder incremental são dispositivos que produzem impulsos quadrados numa deter-minada frequência, defasados em 90 graus, que são chamados usualmente de canal A e canal B,conforme representado na Figura 20. Após a leitura dos pulsos o sinal é tratado algebricamentede forma e convertido em grandezas como posição e velocidade.

Figura 20 – Sinais produzidos por um encoder em quadratura

Fonte:(BITENCOURT, 2016)

44

3.1.2 Arduíno

O Arduíno, Figura 21, é uma plataforma de prototipagem eletrônica open-source, por-tanto, pode ser adaptado para fins diversos, composto por hardware e software flexíveis de fácilutilização (P.ARDUINO, 2016).

O Arduíno utilizado no trabalho foi o UNO. Entre seus principais componentes esta ummicrocontrolador ATmega328, um cristal de quartzo de 16MHz, 14 pinos destinados a entradase saídas digitais, 6 pinos para interface analógica além de conectores de alimentação.

Figura 21 – Componentes do Arduíno UNO

Fonte:(NATALMAKERS, 2018)

3.1.3 Microcontrolador

O Microcontrolador, Figura 22, é um CI (Circuito Integrado) constituído por um proces-sador, vários circuitos de memória e periféricos de entrada e saída. Operam executando umasérie de instruções específicas, gravadas na sua memória.

A vantagem de utilizar esse CI reside no seu tamanho compacto, baixo custo de aquisiçãoe baixo consumo de energia.

O Atmega328 é o microcontrolador utilizado na plataforma Arduíno.

45

Figura 22 – Microcontrolador ATmega328

Conforme (ATMEL, 2016), o Atmega328 é um microcontrolador de 8 bits baseadoem RISC AVR que combina memória flash 32Kb ISP com capacidade de leitura e escrita ,1Kb EEPROM, SRAM 2 KB, 23 entradas e saídas de uso geral, 32 registradores de uso geral,três temporizadores, interrupções internas e externas, USART serial programável, porta serialSPI, 6 canais de conversor A/D 10 bits, timer watchdog programável com oscilador interno. Odispositivo opera entre 1,8 e 5,5 volts.

3.1.4 Supervisório

Como sistema supervisório foi utilizado o SerialPlot, um software para plotagem deinformações através da porta serial em tempo real. O SerialPlot aceita três tipos de entradas:

• Cadeia de números binários;

• Informações ASCII em formato CVS;

• Formato especificado pelo usuário;

O usuário também pode criar "comandos"para serem enviados, em formato HEX ouASCII, via serial para o dispositivo conectado (OZDERYA, 2018).

46

Figura 23 – Interface Serial Ploter

Fonte:Autor

3.2 Determinação dos parâmetros de um motor CC

A modelagem matemática precisa de um sistema dinâmico e a identificação de seusparâmetros, tem reflexos diretos no desempenho do controlador, por isso é fundamental oconfronto das simulações com dados experimentais para confirmação do seu poder representativo.

Essa seção é dedicada a identificação e simulação do modelo de um motor CC através desoftware de simulação para validação das grandezas que descrevem sua dinâmica.

O motor selecionado opera com uma tensão nominal de 12V e que integra um codificadorincremental de posição. Tanto os parâmetros elétricos (resistência e indutância de armadura)como os mecânicos (momento de inércia e coeficiente de atrito viscoso) e eletromecânicos(constantes de força contra-eletromotriz e de torque) eram desconhecidos, foi necessário suaidentificação.

Vários métodos são dedicados a obter essas grandezas. Os mais contemporâneos utilizamrecursos computacionais que permitem uma identificação mais dinâmica e com um grau deprecisão maior desses coeficientes. No meio acadêmico, geralmente, são utilizados procedimentosmais ortodoxos, ensaios convencionais que exigem certa intimidade com a literatura e prática emáreas de conhecimento externos a teoria de controle.

47

Figura 24 – Motor CC com encoder

Os parâmetros do motor CC foram obtido previamente através de ensaios em laboratório.

Tabela 1 – Tabela dos parâmetros do motor CC

Grandeza Símbolo Valor UnidadeAtrito viscoso B 4.175e−6 NMomento de inércia J 4.3e−6 Kg.m2

Indutância dos enrolamentos do motor Lm 0.0216e−6 mHResistência dos enrolamentos do motor Rm 4.175e−6 ΩConstante de Torque Kt 0.0253 −

A seguir, apresenta-se o modelo linear em espaço de estados do motor CC, a partir dasgrandezas obtidas. Note que apenas a corrente está sendo medida.

x1

x2

= 1.0e4

−0.0000 1.9231

−0.0002 −0.1159

x1

x2

+

0

96.5904

ea

Td

(3.1)

y =[1 0

] x1

x2

48

(3.2)

Portanto as matrizes de estado do motor CC podem ser expressas por:

A = 1.0e4

−0.0000 1.9231

−0.0002 −0.1159

, (3.3)

,

B =

0

96.5904

, (3.4)

C =[0 1

], (3.5)

D =[0

]. (3.6)

O vetor de estados x(t) é dado pela velocidade de rotação do rotor x1 = ω e acorrente dearmadura por x2 = ia.

3.3 Sistemas de tempo discreto

Em ambientes reais, onde os processos físicos são experimentados, os sinais são geral-mente contínuos no tempo. Já os computadores digitais são limitados a processar e armazenarapenas sinais discretos no tempo. Em aplicações onde esse equipamentos assume o papel docompensador físico, como é o caso em tela, é imperativo que se estabeleça o diálogo entre aspartes para integrar os sistemas. As variáveis contínuas devem amostradas para serem utilizadaspelo controlador. No caso das simulações essa discretização é fictícia.

Em sistemas discretos as variáveis assumem valores distintos em instantes discretos detempo denominados kT , onde T é o período entre as amostragens k.

Conforme Figura 25 através do processo de amostragem é possível converter um sinalcontínuo y(t) em sua representação discreta y(kT ), de acordo com a seguinte relação:

y(n) = y(kT ) (3.7)

Um amostrador assemelha-se a um interruptor que chaveia para admitir um sinal y(t) acada k de tempo convertendo-o num série denominada trem de impulsos. O sinal contínuo passaa ser representado por uma sequência de valores em pontos discretos do tempo. As amostrasdevem ser obtidas com a acurácia indispensável na reconstrução fidedigna do sinal.

Um sistema de controle contínuo pode ser modelado através da Transformada de Laplace,ao passo que um sistema de controle discreto pode ser descrito através de um modelo utilizando

49

Figura 25 – Sinal contínuo e discreto

Fonte:(DORF, 2010)

Transformada Z, usada para passar um sinal discreto no domínio do tempo para o domínio Z.Em ambos os casos o resultado final são equações algébricas.

Dada uma função (t) e os seguintes valores amostrados x(0), x(T ), x(kT ). A transfor-mada Z da função x(t) ou de uma sequência de valores de x(nT ), considerando 0 ≤ t ≤ ∞,com n inteira e positiva é definida como:

Z[x(n)] = X(z) =∞∑n=0

x(n)z−n (3.8)

onde z é um número complexo.

Como o controlador será implementado em um microcontrolador e este por sua vez sotrabalha com sinais discretos foi necessário discretizar a representação matemática do modeloem espaço de estados do motor CC.

As vantagens da implementação de controladores digitais em sistemas de controle resideprincipalmente na sua flexibilidade e no baixo custo de execução agregados, em detrimento aconfiguração mais rígida dos controladores analógicos.

3.3.1 Plataforma de aquisição e controle

A plataforma de aquisição e controle dispõe de um motor CC de imãs permanentescom um dispositivo medidor de velocidade, a saber, um encoder óptico solidário ao eixo. Oacionamento será feito por um circuito utilizando a técnica de modulação por largura de pulso,um conversor CC-CC do tipo buck irá auxiliar no controle da velocidade. Um software com asinstruções que serão interpretadas pelo microcontrolador é responsável por fazer a aquisição e oprocessamento dos sinais e da comunicação com o microcomputador incluindo a interface como usuário.

Os sinais analógicas podem assumir uma faixa de valores inteiros entre 0 e 1023 ao passoque entradas digitais só podem assumir dois estados 0 (low) ou 1 (high). O microcontrolador do

50

Arduíno trabalha internamente com dados digitais, sendo necessário alinhar essas informações.Uma forma de forçar o Arduíno reconhecer a leitura de um sinal analógico é efetuando umaconversão analógica do sinal amostrado para digital. Assim é possível atribuir valores discretospara um sinal que excursiona através de uma amplitude de infinitos valores no tempo.

A leitura da velocidade real do motor foi realizada a partir do sinal colhido de um encoderincremental acoplado ao eixo. Seus terminais estão conectados a um pino analógico da placaconfigurado para aquisição do sinal fornecido pelo dispositivo. Dessa forma é possível efetuar aleitura do número de interrupções por revolução, converter o sinal via software em velocidade(rad/s), comparar com o valor de referência para efetuar a ação de controle.

Para leitura da corrente nos elementos passivos do circuito foi adotado um procedimentoanálogo ao da leitura da velocidade.

Na oportunidade foi possível visualizar no espectro do sinal de entrada a incidência deruído branco. No intuito de mitigar os impactos ocasionados pelo elemento interferente, comoa degradação do sinal durante seu processamento, empregou-se um filtro passa baixas RC deprimeira ordem.

Os filtros são geralmente utilizados para reduzir módulos de corrente e tensão, segre-gando frequências pré determinadas. O filtro de interesse é de primeira ordem e não utiliza deelementos amplificadores no sua estrutura, portanto, imune a restrições de largura de banda.Essa prerrogativa garante um bom desempenho em aplicações que requerem a rejeição de altasfrequência.

Para comunicação do supervisório com o sistema real foi utilizada uma comunicação dotipo USB. Esse interfaceamento entre o software e a aplicação torna possível fazer requisições eenviar informações ao motor. Os dados são passados e recebidos de forma serial.

3.4 Projeto de Controle

O objetivo do projeto de compensadores é encontrar a lei de controle satisfaça todas asespecificações do projeto como por exemplo, o máximo sobre-sinal, o tempo de acomodação,esforço de controle, entre outros.

Para investigar a predisposição do sistema para o controle, foi montada a matriz decontrolabilidade conforme a seção 2.3.

U =[

H GH]

51

U =

6.2550 6.3261

0.0726 −0.0133

(3.9)

Calculando o determinante da matriz de controlabilidade, obtém-se que:

det(U) = −0.5425 (3.10)

Logo ela não é singular, portanto, o modelo é de estado controlável. Sendo o posto 2,mesmo número da ordem do sistema, ele é totalmente controlável, o que implica em afirmar que,todos os estados responderão ao sinal de controle.

Para checar a observabilidade do sistema seguiu-se o método dado pela literatura daseção 2.4.

O =

C

CA

O =

0 14.4529

1.0000 −0.0275

(3.11)

Calculando o determinante da matriz de observabilidade, obtém-se que:

det(O) = −14.4529 (3.12)

Logo, a matriz é não singular, seu posto é de mesma dimensão do sistema, ela é comple-tamente observável. Dessa forma, pode-se utilizar um observador de estado para se estimar avariável de estado não medida, velocidade.

Com as condições de Controlabilidade e Observabilidade satisfeitas, iniciou-se o projetode controladores.

3.4.1 Projeto de Controle por Estados Realimentados

Preliminarmente admitiu-se que todas as variáveis do modelo eram medidas e disponíveispara realimentação.

Por conseguinte, com auxílio de ferramentas computacionais, obteve-se a matriz deganhos de realimentação de estados pela metodologia de Ackermann para alocação de pólos.

A relação é dada por:

52

K =[

0 0 . . . 1]

U−1Φ(G)

sendo ΦG a matriz,ΦG = Gn + α1G

n−1 + αnI (3.13)

onde, α1, α2 . . . αn são os coeficientes do polinômio característico formados pelos autovaloresµ1, µ2 . . . µn da equação 2.40, C a matriz de controlabilidade dada por 2.3 e n a ordem dosistema.

Sendo a planta do motor completamente controlável para os estados de interesse, existeuma solução para a imposição arbitrária de polos.

Os pólos dominantes em malha fechadas no domínio da frequência são dados por:

s = −ζωn ± ωn√1− ζ2i (3.14)

onde,

ζ é o fator de amortecimento.

ωn é a frequência natural.

Os polos estão representados em tempo contínuo, como o contexto do projeto está notempo discreto, estes serão convertidos utilizando,

z = esTs (3.15)

em que, z representa o polo mapeado no tempo discreto, Ts o período de amostragem, definidoaqui como sendo de 0.005s, levando em consideração o período de aquisição dos sensores emconsonância ao Teorema de Amostragem.

Para o projeto do controlador foi admitido um sobressinal máximo de OS = 10% eum tempo de acomodação de ts = 500ms ao critério de 2%, que estão relacionados com alocalização dos pólos conforme as equações 3.16 e 3.17, respectivamente.

(%)OS = e−( ζπ√

1−ζ2)100 (3.16)

Ts =4

ζωn(3.17)

Para que as especificações sejam atendidas, os polos dominantes de malha fechada foramcalculados e alocados em (0.7884 + 0.2206i) e (0.7884 - 0.2206i).

53

3.4.2 Projeto do controlador com a síntese LQR

Para sintonia do regulador LQR foram feitos ensaios com o objetivo de encontrar osparâmetros para matrizes Q e R de ponderação dos estados para que a resposta atenda osrequisitos de projeto.

A partir dessa síntese têm-se as seguintes matrizes de ponderação dos estados e lei decontrole do LQR:

Q =

0.1 0

0 1

(3.18)

R =[0.02

](3.19)

3.4.3 Observador de estados de ordem completa

Conforme mencionado nas seções anteriores os observadores são úteis na predição devariáveis de estados que não podem ser medidas, mas que estão relacionas indiretamente comoutra variável acessível do processo.

Definidos os polos do sistema, escolheu-se os polos do observador que zelam para umaatenuação mais veloz do erro de saída, quando comparado a saída dada pelos polos dos estadosreais.

Os polos do sistema resultante serão a união dos polos do controlador por realimentaçãode estado com os polos do observador. As matrizes de ganho do sistema e do observador podemser projetados separadamente consoante ao Princípio da Separação e depois incluídas juntas nosistema de controle.

Para obter a matriz de ganho multivariável do sistema e do observador foi utilizado ocomando Acker do software de simulação uma vez que o problema de interesse é um sistemasSISO.

K = acker(G,H, [polos]) (3.20)

54

As matrizes G e H do modelo foram discretizadas segundo um segurador de ordem zeroe o período de amostragem de interesse.

Para o ganho do observador temos:

Ke = place(G′,C′, [polos]) (3.21)

Os polos do observador foram p = [0.5547 0.006455].

3.4.4 Filtro de Kalman como Observador de Estados

A eficiência preditiva do filtro de Kalman está condicionada a modelos adequadamenterepresentativos. Caso contrário as estimativas poder ficar comprometidas.

O motor CC apresenta não linearidades em sua dinâmica de operação, como do tipoZona Morta. No entanto, para fins de simplicidade do projeto, essa particularidade foi abstraídae o problema tratado como de características próximas da linearidade.

Neste trabalho o Filtro de Kalman será utilizado como estimador de estados. As ma-trizes W e V representam as covariâncias dos ruídos do processo e dos ruídos de medição,respectivamente.

A matriz W é quadrada, com dimensão igual ao número de estados e está correlacionadaa confiabilidade do modelo do processo. Quanto menores forem os valores dos parâmetros dessamatriz maior será o grau de confiança no modelo utilizado.

A matriz V é quadrada, de dimensão correspondente ao número de saídas do modeloe está correlacionada as variáveis medidas do processo. Quanto menores forem os valores dosparâmetros dessa matriz maior será o grau de confiança nas variáveis medidas.

A dificuldade de ajustar os elementos dessas matrizes é elevada dado a ausência de umatécnica sistemática para encontrar os melhores parâmetros, principalmente para a matriz W

que representa a fiabilidade do modelo enquanto V está ligado aos erros nos equipamento demedição que são mais fáceis de serem encontrados.

Tenho-que, se a matriz W é superestimada em relação a V a matriz Ke do ganho deKalman sofre um incremento, acelerando a convergência de estimação. O contrário, quandoa matrizW é subestimada em relação a V, Ke do ganho de Kalman sofre um decrementoreduzindo a velocidade de resposta do filtro (LINO, 2001).

Durante as simulações foram feitas diversas mudanças nos parâmetros de V e W

buscando os melhores valores para convergência do Filtro utilizando o método de tentativa e erro, sendo os seguintes elementos para as matrizes de covariância:

55

W =

5000 0

0 0.00001

(3.22)

V =[0.02

](3.23)

Para o caso de interesse, tem -se uma maior confiança nas variáveis medidas do processoem comparação com a confiança no modelo adotado.

56

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Neste capítulo são apresentados os resultados alcançados através da implementação doscontroladores e faz uma avaliação do desempenho de cada topologia utilizada.

Para validação da metodologia desenvolvida, foram realizadas simulações em ambientecomputacional e testes experimentais na planta real.

4.1 Projeto de controle por realimentação de estados com alocação de pólos

Com o modelo obtido e os critérios de operação definidos, implementou-se o controladorutilizando a metodologia de imposição forçada de pólos.

Uma entrada de referência degrau unitário foi aplicado ao modelo no ambiente desimulação para avaliar a resposta em regime transiente.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Resposta ao degrau

Tempo (seconds)

Am

pli

tud

e

Figura 26 – Resposta ao degrau do sistema em malha fechada topologia Alocação de pólos

Fonte: O autor

As informações colhidas a partir da curva obtida do gráfico do sistema Figura 26, apontampara valores comportados dentro das margens pré estabelecidas. O tempo de acomodação éde aproximadamente 0,8s e o sobre-sinal máximo é igual 10%, o que dá indícios de que ametodologia aplicada é satisfatória.

No primeiro cenário de testes no ambiente real, assumiu-se os valores reais de velocidadee corrente medidos diretamente da planta para realimentação do controlador.

Para a variável de interesse, amostra-se duas quantidades: os valores da velocidademedida e observada.

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0 1 2 3 4 5 6

Tempo (s)

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Ve

locid

ad

e (

RP

M)

Velocidade medida

Velocidade estimada

Referência

Figura 27 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade medida(traço em vermelho) passada ao controlador.

Fonte: O autor

O gráfico da Figura 27 mostra as curvas características do sistema controlado em malhafechada com dois traços, um referente a velocidade controlada a partir da variável lida diretamenteda planta e passada ao controlador e outra referente a variável estimada pelo Filtro de Kalman.Para a variável controlada pelo sinal medido, o sobressinal é de aproximadamente 7% e o tempode estabilização de cerca de 0,1s para um critério de 2%. No tocante a velocidade estimada,a proximidade com o resultado medido pelo sensores, indica que a ferramenta utilizada ésatisfatória para a estimativa dos estados dinâmicos do sistema.

Para a variável medida, o sistema apresenta um resultado satisfatório de segmento deentrada de referência de velocidade, com algum erro de regime permanente.

Com raras exceções a resposta em regime estacionário segue a referência com preci-são. Em algumas aplicações é necessário ajustes finos de controle como reparos no ganho docontrolador e inserção de integrador de erro na malha de controle.

É de se esperar alguma discrepância entre os resultados simulados e os obtidos naplataforma real. O modelo nominal não é uma representação ideal da planta e simplificações namodelagem, não linearidades, ruídos e variações paramétricas são uma constante.

O atraso na descarga da tensão presente no gráfico representado pela Figura 27, podeestar relacionada a lentidão na descarga do capacitor de saída do módulo regulador de tensão.

Para corroborar com essa suspeita foi realizado testes com o motor operando em doismodos, a vazio e com o eixo pressionado.

58

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Tempo (s)

500

1000

1500

2000

2500

3000

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Ve

locid

ad

e (

RP

M)

Velocidade medida

Velocidade estimada

Referência

Figura 28 – Comportamento da velocidade à variação da carga no eixo do motor.

Fonte: O autor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Tempo (s)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Co

rre

nte

* 1

03 (

A)

Corrente medida

Figura 29 – Comportamento do sinal de Corrente no motor.

Fonte: O autor

O gráfico da Figura 28 representa o comportamento do sinal com o motor em operação.Entre os instantes t= 1s e t= 1,5s o motor opera a vazio. Para baixar a tensão nos terminais domotor o compensador envia um sinal de controle para o conversor buck que responde à açãoacionando o dispositivo comutador. A excursão de energia da fonte para o restante do circuito éinterrompida pela abertura da chave. No entanto, o capacitor mantém-se carregado com umatensão residual. A medida que o capacitor descarrega na carga, essa reserva vai se extinguindo.Como a corrente drenada pelo motor é baixa Figura 29, a queda de tensão fica mais lenta.

Quando uma carga é acoplada ao eixo do motor entre os instantes t= 2,4s e t= 3,5s,a corrente de saída do conversor aumenta a fim de compensar o torque aplicado, isso leva adescargas mais céleres do capacitor.

O próximo ensaio foi realizado com o intuito de verificar a funcionalidade do controlecom a variável velocidade estimada pelo Filtro de Kalman.

No primeiro momento submeteu-se o sistema a entradas de referência do tipo degrau deamplitude variando entre 1000 e 3000 RPM de velocidade do motor.

O gráfico da Figura 30 mostra que a velocidade de referência é alcançada quase queinstantaneamente. Observa-se que o filtro consegue estimar satisfatoriamente a variável que nãoestá sendo medida diretamente.

User

Balão de comentário

Região de aplicação da carga

59

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Tempo (s)

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Ve

locid

ad

e (

RP

M)

Velocidade medida

Velocidade observada

Referência

Figura 30 – Velocidade observada experimental

Fonte: O autor

Na sequência uma carga foi introduzida no eixo do motor. A Figura 31 retrata o com-portamento da velocidade do rotor reduzida sensivelmente. Nesse instante a ação de controleatua aumentando a tensão de alimentação visando trazer a velocidade do motor de volta para areferência Figura 32.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Tempo (s)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

Ve

locia

da

de

(R

PM

)

Velocidade medida

Velocidade estimada

Referência

Figura 31 – Velocidade observada experimental

Fonte: O autor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Tempo (s)

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Te

nsã

o *

10

3 (

V)

Tensão

Figura 32 – Gráfico da tensão para carga aplicada ao eixo

Fonte: O autor

A Figura 33 mostra a velocidade angular estimada e medida para o sistema a partir darealimentação de estado, utilizando a corrente medida como uma variável de estado e a velocidade

60

estimada pelo Filtro de Kalman como outra variável de estado. É visível a melhora de seguimentode referência em relação aos cenários onde a variável controlada é medida diretamente.

Observa-se que o sobressinal e o tempo de acomodação diminuem, mas é alta a variânciado sinal, o que pode dar indícios de quão rápidos estão os pólos do observador. Uma soluçãopossível consiste em variar os parâmetros das matrizes de covariâncias dos ruídos do processo edos ruídos de medição de forma empírica.

0 1 2 3 4 5 6

Tempo (s)

500

1000

1500

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2500

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Ve

locid

ad

e (

RP

M)

Velocidade medida

Velocidade estimada

Referência

Figura 33 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade estimada(traço em azul) passada ao controlador.

Fonte: O Autor

Com o objetivo de eliminar o erro em regime permanente mantendo a variável controladaacomodada no valor de setpoint, foi inserido um integrador na malha de controle. A ação integralé gradativa, o desvio existente entre o valor real da velocidade e o esperado é acumulado epassado ao controlador para correção ao longo do tempo.

0 1 2 3 4 5 6

Tempo (s)

0

500

1000

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Ve

locid

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e (

RP

M)

Velocidade medida

Referência

Figura 34 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade medidapassada ao controlador e inserção de integrador de erro.

Fonte: O autor

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Tempo (s)

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M)

Velocidade medida

Velocidade observada

Referência

Figura 35 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade estimada(traço em azul) passada ao controlador e inserção de integrador de erro.

Fonte: O autor

Percebe-se na Figura 34 que a inclusão do integrador de erro elimina o desvio existenteentre a velocidade desenvolvida pelo motor CC e a velocidade de referência. No entanto háum aumento do sobressinal em relação ao primeiro projeto de controle onde a velocidade eramedida.

4.2 Projeto de controle por realimentação de estados com síntese LQG

Nesta seção faz-se uma avaliação quanto ao uso da estratégia de controle LQR.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ud

e

Figura 36 – Resposta ao degrau do sistema em malha fechada topologia de controle lqr.

Fonte: O autor

A partir do gráfico ilustrado na Figura 26, observa-se que os resultados da teoria seaplicam na simulação, o período de acomodação é de 0.08s e o sinal máximo presente noprimeiro projeto foi eliminado. Neste caso, os resultados para essa topologia de controle semostrou mais satisfatórios quando comparado com os resultados apresentados pelo controladorpor alocação direta de pólos.

O gráfico da Figura 37 ilustra a curva da velocidade medida e estimada, utilizando avelocidade medida diretamente da planta para realimentação do controlador LQR. Os resultadosexperimentais corroboram com os teóricos praticados no ambiente de simulação. Com o ganho

62

LQR obteve-se uma melhora na resposta dinâmica de velocidade. O LQR suaviza a sobre elevaçãopercentual. Observa-se ainda que o sistema é estável e rastreia a referência de velocidade, masnão elimina o erro integral.

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RP

M)

Velocidade medida

Velocidade simulada

Referência

Figura 37 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade medida(traço em vermelho) passada ao controlador.

Fonte: O autor

A estratégia de controle estruturada a partir da combinação do controlador LQR eum observador de estados baseado no algorítimo de Kalman é chamado de Problema LinearQuadrático Gaussiano - LQG. Essa topologia utiliza um controlador projetado pela estratégiaLQR que faz uso, em sua realimentação de estado, dos valores das variáveis de estado observadasa partir de um Filtro de Kalman.

Visando verificar a funcionalidade da ação de controle foi aplicado degraus com duasmudanças de referência para a velocidade no valor de 1000 rpm cada, nos instantes entre t =2s et= 5s.

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Velocidade simulada

Referência

Figura 38 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade estimada(traço em azul) passada ao controlador.

Fonte: O autor

A Figura 38, mostra os resultados para a estratégia supracitada. Nela verifica-se queapesar da incidência de ruído a ação reguladora é notada em todas para todas as faixas develocidade.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

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Velocidade medida

Velocidade simulada

Referência

Figura 39 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade medida(traço em vermelho) passada ao controlador e integrador de erro.

Fonte: O autor

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (s)

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M)

Velocidade medida

Velocidade simulada

Referência

Figura 40 – Resposta do sistema real controlado a uma entrada degrau com a velocidade estimada(traço em azul) passada ao controlador e integrador de erro.

Fonte: O autor

Como visto na Figura 39 e na Figura 40, a adição do integrador no controlador foi capazde melhorar o erro em regime permanente. Não houve problemas em sustentar o rastreamento davelocidade do sistema para os casos em que a variável de interesse era diretamente medida ouestimada pelo algorítimo estimador. No entanto, a ação integral acentua a queda abrupta do sinalde tensão causada pelo capacitor de saída do conversor buck.

Em todos os casos foi possível visualizar o sinal da variável observada disperso emrelação a média, mas aceitável para um controle a partir de um sinal que não se está lendo. Nointuito de melhorar esse aspecto, outros parâmetros foram investigados para o observador, noentanto a melhora do sinal ocorria em detrimento a piora do erro em regime permanente.

Como o foco dessa aplicação se concentra no seguimento de referência e não na reduçãodo esforço ou uma ação de controle mais suave, esse aspecto pode ser relegado a segundo plano,sem muitas implicações para o êxito do projeto.

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CONCLUSÃO

Neste capítulo é apresentada uma análise comparativa do ponto de vista teórico e práticodos resultados obtidos, além de traçar perspectivas para trabalhos futuros. Para avaliar qualita-tivamente o desempenho dos controladores utilizou-se como critério a resposta a entradas naforma de degraus como referência para a velocidade e o compromisso com as especificações emregime transiente.

Os resultados obtidos experimentalmente, próximos das simulações em ambiente com-putacional, dão indícios que as técnicas implementadas são válidas. Destaca-se a importânciados modelo matemático para auxiliar o projeto de controle da planta, sendo que, na prática é aferramenta que o projetista dispõe que mais o aproxima da realidade.

Com exceção de suas faixas extremas (velocidade nula ou velocidades muito altas) foipossível obter resultados profícuos para aplicações que não exigem um elevado grau de precisão.

Nos ensaios com o controlador utilizando a síntese LQR vislumbra-se uma melhordesempenho de regime transiente quando comparado com a metodologia de alocação de pólos,como curvas mais suaves de sobressinal e tempo de acomodação, tanto no caso em que a variávelpassada ao controlador era medida por transdutores ou estimada por observadores.

Para todas as metodologias adotadas, num primeiro projeto de controle, a resposta emregime estacionário não seguiu a referência com a precisão requerida. Foi necessário entãoimplementar uma ação integral para eliminar o erro de desvio dado pela a velocidade real emrelação a referência.

Em todos os casos, o ajuste deixou o sinal ficou mais disperso em relação a média, masaceitável para um controle a partir de um sinal que não se está lendo.

As limitações encontradas foram principalmente nesse sentido, encontrar os pólos ideaispara o observador e os elementos da matrizes para convergência do Filtro de Kalman .

No geral, o principal objetivo do trabalho que em síntese, consistia em efetuar o controlede velocidade do motor CC através da corrente de armadura, foi cumprido.

Como perspectiva para trabalhos futuros, tem-se a aplicação de outras técnicas de controlena planta, a inclusão do modelo matemático do conversor buck na dinâmica da planta e obtençãoautomática dos parâmetros do motor CC com o objetivo de tornar o modelo mais próximo doideal. Uma análise mais criteriosa dos ruídos encontrados nos ensaios práticos e o estudo dacausa da queda abrupta da tensão no capacitor de saída do conversor buck.

Também são necessárias um aperfeiçoamento dos métodos de seleção das matrizes doFiltro de Kalman visando um melhorar desempenho do controlador.

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