consolidado col 1

8/19/2019 Consolidado Col 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412


FASE UNO

Presentado a:YENIFER ELIZABETH GALINDO

Tutor

Entregado or:

ANGIE !ILENA BENITEZ RIOSC"d#go: $%&'&()'

*++++++ *++++ *+++++C"d#go: +++++

*++++++ *++++ *+++++

C"d#go: +++++

*++++++ *++++ *+++++C"d#go: +++++

*++++++ *++++ *+++++C"d#go: +++++

Gruo: ),,$)-.-)

UNI/ERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 0 UNADESCUELA DE CIENCIAS B1SICAS TECNOLOG2A E INGENIER2A

PROGRA!A DE INGENIER2A INDUSTRIALCEAD 3OS4 ACE/EDO Y G5!EZ

!ARZO -, de6 -,)%BOGOT1 D7C7


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Cod. 100412

INTRODUCCION

DESARROLLO DE LA ACTI/IDAD INDI/IDUAL


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Cod. 100412

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

E8ua8#"n O9sera8#ones: Orden dee8ua8#"n; L#nea6 o no 6#nea6 < =ust#>#8a8#"n7

Estud#ante ?ue rea6#@"a8t##dad (sólo debe aparecer1 estudiante por ejercicio)

A.

B. y dx

dy +(sin x ) y3=e x+1 Es una Ecuación de primer

Orden no inealAn!ie Benitez

"

#.

E.

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

Se menciona el ejercicio y se anexa la plantilla con procedimiento y comentarios

". $esuel%a la si!uiente ecuación diferencial por el m&todo de %ariables separables:

e− y+e−2 x− y=e x y

dy

dx

$espuesta

No9re estud#ante ?ue rea6#@a e6 e=er8#8#o: Ang#e !#6ena Bente@ RosPROPOSICION ENUNCIADO OE*PRESI5N !ATE!1TICA

RAZON O E*PLICACION

e− y+e−2 x− y=e x y

dy

dx

Ecuación 'ropuesta

dy ( x)dx

dy ( x)dx

=e−3 x− y( x) (e2 x+1 )

y ( x )

omamos la epresióndy ( x)

dx

* la resol%emos

dy ( x)dx

=e− x+e−3 x

e y( x ) y ( x)

+implificamos la epresión optenida


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dy ( x )dx

y ( x )=e− x+e−3 x #i%idiendo pore− y ( x)

y( x)

∫e y ( x ) dy ( x )dx

y ( x ) dy

∫ ( e− x+e−3 x) dx

nte!rando con respecto a x

e y ( x ) ( y ( x )−1)

−e− x− 1

3 e3 x+C 1

E%aluando nte!rales, cuando C 1, es una

constante arbitraria

y ( x )=W ( 13 e−3 x−1(−3 e2 x+C 1e3 x−1))+1 $esol%iendo y ( x)

DESARROLLO DE LA ACTI/IDAD COLABORATI/A

Pr#era A8t##dad

"onsidere un !ran tanque que contiene 1--- de a!ua, dentro del cual una solución salada de

salmuera empieza a fluir a una %elocidad constante de /min. a solución dentro del tanque se

mantiene bien a!itada * flu*e 0acia el eterior del tanque a una %elocidad de /min. + laconcentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1!/, determine cuando ser2 de

1/34!/ la concentración de sal en el tanque.

PROPOSICION ENUNCIADO OE*PRESION !ATE!ATICA

RAZON O E*PLICACION


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Segunda A8t##dad

E3ERCICIO Y SOLUCI5N PLANTEADA OBSER/ACIONES; ANE*OS;

!ODIFICACIONES A LA SOLUCI5N

PLANTEADAEnunciado:

Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su

equipo) se deja caer de un avión que vuela a una

altura de 2000 m, y cae ajo la in!luencia de la

gravedad y de la resistencia del aire"

#upongamos que la resistencia del aire es

proporcional a la velocidad del paracaidista encada instante, con constante de proporcionalidad

$0 %"s&m con el paraca'das cerrado, y 0 %"s&m

con el paraca'das aierto" #i el paraca'das se

are a los die segundos del lanamiento, *allar

el instante apro+imado en el que el paracaidista

llega al piso" -u.l es su velocidad en ese

instante/ (-onsidere la gravedad como

g=10 m

seg2 )

#olución :

or la segunda ey de%eton

ma= F neta

m dv

dt =mg+kv

Es decir,

dv

dt −

k

m v=g

3l resolver esta ecuación lineal, tenemos

4actor integrante, e∫

k

mdt

=ek

mt

5ultiplicando esta ecuación di!erencial por el

!actor integrante, tenemos

ek

mt

( dvdt + k

m v)=g e

k

mt


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6ue equivale ad

dt (e

m

k t

v )=g em

k t

7ntegrando respecto a t, tenemos

ek

mt

v=m

k

g ek

mt

+C

v=mg

k +C e

−k m

t

3plicando las condiciones iniciales, *aciendo

v (0)=v0 ,

v0=

mg

k +C C =v0−

mg

k

Entonces la ecuación de la velocidad en cualquier

t

v (t )=mg

k +(v0−mgk )e

−k m

t

8eniendo en cuenta que v (t )=dx

dt , y

*aciendo x (0 )= x0 , se llega a que

dx

dt =

mg

k +(v0−mgk )e

−k m

t

7ntegrando respecto a t

x=mg

k −

m

k e

−k m

t

+m

2g

k 2

e−k m

t

+C

Entonces, x0=−m

k v

0e−k m

t

+m

2g

k 2

e−k m

t

+C

C = x0+

m

k v

0e−k

mt

−m

2g

k 2

e−k m

t

9e donde,

x (t )=mg

k t −

m

k v

0e−k m

t

+m2 g

k 2

e−k m

t

+ x0+

m

k v

0e−

x (t )=mg

k t −

m

k (v0−mg

k )e−k m

t

+ x0+

m

k (eagrupando,


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Cod. 100412

x ( t )=mg

k t +

m

k (v0−mg

k )(1−e−k m

t )+ x0

-onsiderando la gravedad como

g=10 m

seg2

y la tapa inicial en la que el

paraca'das est. cerrado, donde

x0=0 , v

0=0 y k =30 Ns/m ,

v (t )=100

3−100

3e−310

t

y

x ( t )=100

3t +

1000

9e−310

t

uego a los die segundos, t =10

v (10) ≈31.6737m

s

; la distancia recorrida por el paracaidista

durante los primeros die segundos ser.

apro+imadamente

x ( t )=227,7541m

ara la segunda etapa, es decir, cuando el

paraca'das est. aierto, se toma como instante

t =0 aquel en el que el paraca'das se are y

k =90 N . sm , con lo que se tiene

x (0 )=227,7541m y v (0 )=31.6737 m

s

Entonces, v (t )=100

9+20,5626 e

−910

t

y

x ( t )=100

9t −22,8473 e

−910

t

+250,6014

Entonces, como x (t )=2000 tenemos,

100

9t −22,8473 e

−910

t

+250,6014=2000

Es decir, que t =2,0563e−910

t

+157,4459

En la anterior ecuación el t


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2,0563e−910

t

se desprecia para valores de

tiempo relativamente grandes (mayores que 10),

es decir, este valor tiende a cero, entonces,

t =157,4459 seg " 9e aqu' se deduce que el

paracaidista tarda apro+imadamente,

10 seg+157,4459 seg=167,4459 seg en

llegar al suelo desde que se arrojó del avión"

a velocidad de


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CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGR1FICAS

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