constantes elásticas en cristales física de la materia i (curso 2004) ricardo marotti

Constantes Elásticas en Cristales

Física de la Materia I (Curso 2004)

Ricardo Marotti

Constantes Elásticas

• Objetivo: Permiten el estudio de deformación y propagación de ondas elásticas (sonido en sólidos).

• Describen: – Naturaleza de Fuerzas de unión en sólidos (enlaces). – Propiedades Térmicas.

• Ejemplos: – Monocristales: Anisotrópico Tensor. – Policristales: Propiedades elásticas isotrópicas

menos constantes.

Regímenes Vibracionales

• Macroscópico (material homogéneo) >> a

: longitud de onda.

a: constante de red. • Nanométrico: ~ a

Relación de dispersión (“Fonones”): (k)

: Frecuencia onda elástica

K=2/: Vector de onda.

Tensión • “Strain” Tensión Deformación.

(l/l, , e, u)• “Stress” Tensión Fuerza.

(F, f, , X, Y, Z)• Ejemplo: Ley de Hooke:

F: Fuerza. K: Constante. l/l:

Deformación.

lll

llk

0

0 uF

Plástico~

Elástico

l

l

Régimen 1

Régimen 1

Strain – 1

a

b

c

Δc,Δb,Δa

Δ,Δ,αΔ :Strain

cba c,b,a

Strain – 2

h

f

g

h

f

g

hgfh

hgfg

hgff

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

1

1

1

DeformaciónBase Ortonormal

Componentes de Strain – 1

hgfh

hgfg

hgff

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

1

1

1

hhhhh

ggggg

fffff

1

1

1

zzzz

yyyy

xxxx

e

e

e

hf

hg

gf

xzzxzx

yzzyyz

xyyxxy

e

e

e


a~e

e

xx

xxxx

fff

fffff 1

~~e

~e

xy

xyyxxy

sen2cos2

cosgf

a

b

c

0:Ortonormal Base

gfgf ,

Ejemplo: Rotación Pura

xzzxzyyzxyyx

zxyzxyyxxy

;;

ee;e

00

0NDEFORMACIÓhay No

gf

gf

Caso general: sólido que rota (rígidamente) y se deforma: e Solo describen Deformaciones. Describen Deformaciones Y Rotaciones.

e son 6 (seis) componentes son 9 (nueve) componentes

Deformación + Rotación

imsyx

imsyx

asyx

asyxsim

yxas

yxyx

0

0

0

aszy

saxz

aszy

asyx

aszx

asyx

imszz

imszy

imsxz

imszy

imsyy

imsyx

imszx

imsyx

imsxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

e e’0


hgfh

hgfg

hgff

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

1

1

1

hgfhhh

hgfggg

hgffff

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

eee

eee

eee

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

Deformación – 1 hgfrhgfr zyxzyx

hgfρ

hhggffρ

rrrρ

wvu

zyx

Deformación – 2

hgfhhggffρ wvuzyx

hgfhhh

hgfggg

hgffff

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

eee

eee

eee

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

zeyexew

zeyexev

zeyexeu

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

Deformación – 3

uniformen deformació

siLINEALFORMA

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

ctes.e

zeyexew

zeyexev

zeyexeu

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

x

w

z

ue,

z

v

y

we,

y

u

x

ve

z

we,

y

ve,

x

ue

zxyzxy

zzyyxx

uniforme) (NO general Caso

Ejemplo: Dilatación

• Dilatación: Incremento fraccional del volumen.

zzyyxx

zzyyxx

eeeV

VV

V

V

eeeV

V

1

1

hgf

hgf

Ejemplo: Deslizamientos

• Deslizamientos = “Shearing Strain”.

y

u

x

vexy

y

x

x

v

y

x

y

u

Componentes de Stress

• Stress: Fuerza por Unidad de Área.

Xx, Xy, Xz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy, Zz.

Notación Ab: A: Dirección de la Fuerza. b: Normal al plano sobre el que actúa.

Xy

x

y

Xy

Yy

Yy

Xx

Yx

Yx

Xx

Condición de simetría dinámica (Equilibrio y No-equilibrio):

yzxzxy ZYZXYX ;;

Ley de Hooke – 1

y66x65z64z63y62x61

y56x55z54z53y52x51

y46x45z44z43y42x41

y36x35z34z33y32x31

y26x25z24z23y22x21

y16x15z14z13y12x11

XZYZYX

XZYZYX

XZYZYX

XZYZYX

XZYZYX

XZYZYX

sssssse

sssssse

sssssse

sssssse

sssssse

sssssse

xy

zx

yz

zz

yy

xx

Ley de Hooke – 2

xyzxyzzzyyxx

xyzxyzzzyyxx

xyzxyzzzyyxx

xyzxyzzzyyxx

xyzxyzzzyyxx

xyzxyzzzyyxx

ecececececec

ecececececec

ecececececec

ecececececec

ecececececec

ecececececec

666564636261y

565554535251x

464544434241z

363534333231z

262524232221y

161514131211x

X

Z

Y

Z

Y

X

Constantes Elásticas

• (e) = {s}(F) Constantes Elásticas(“Elastic Compliance Constants”)

• (F) = {c}(e) Módulos de Elasticidad(“Elastic Stiffness Constants”)

Tensorial

Notación

6

5

4

3

2

1

xy

zx

yz

zz

yy

xx

Densidad de Energía – 1

• Trabajo hecho sobre un cubo de lado L:

22 ZYXZYX LwvuW

wvu

L

W

hgf

hgfF

F


2ZYX LwvuW

Yy x

y

z

Yx

Yz

A

B

C

yzyyxy ezeyexv 2

1

2

1

2YY

2Y

Y

zyxyz

yyxy e

ee

L

v


2ZYX LwvuW

zzyzzx

yzyy

xy

zxxyxx

eee

Lw

ee

eLv

eeeLu

zyx

zyx

zyx

Z2

Z2

ZZ

2YY

2YY

2X

2XXX

yzxzxy ZYZXYX ;;


zxyzxyzzyyxx eeeeeeL

LwvuW

xzyzyx3

2

ZYXZYX

ZYX

Energía Elástica por Unidad de Volumen:


WU

xzyzyx

3

ZYXZYX



WU

xzyzyx

3

ZYXZYX

zxyzxy

zzyyxx

e

U;

e

U;

e

U

;e

U;

e

U;

e

U

xzy

zyx

ZYX

ZYX

jiijxxyy

ccccee

2112yx

YX

Simetría Constantes Elásticas

• cij: 6x6=36 elementos:

6 diagonales.

30/2 = 15 no diagonales.

• 6+15= 21 constantes. Triclínico 21

Monoclínico 13

Ortorrómbico 9 Hexagonal 5

Cúbico 3

Cristales Cúbicos – 1• “Four-fold” axis:

• Plano de Simetría perpendicular a dichos ejes

Tensorial

Notación

6

5

4

3

2

1

xy

zx

yz

zz

yy

xx

132321

665544

332211

ccc

ccc

ccc

xz

zy

yx

0

0

0

0

564645

363534

262524

165141

ccc

ccc

ccc

ccc

zz,yy,xx

zz,yy,x

zz,yy,xx

Cristales Cúbicos – 2

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000

000

c

c

c

ccc

ccc

ccc

cij

Energía en Cristales Cúbicos

eCe

δeCF

Fδe

2

1U

U

zxzxyzyzxyxy

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

eceeceece

ececece

ececece

ecececeU

444444

111212

121112

1212112

1

22244

12

22211

2

1

2

1

zxyzxy

zzyyzzxxyyxx

zzyyxx

eeec

eeeeeec

eeecU

Ondas Elásticas en Cristales

x

y z

Xx(x+dx) Xx(x)

Xy(y+dy)

Xy(y)

Xz(z+dz)

Xz(z)

x+dx

z+dz

y+dy

Ecuaciones de Onda

zx

w

yx

vCC

z

u

y

uC

x

uC

t

u 22

44122

2

2

2

442

2

112

2

0

zy

w

yx

uCC

z

v

x

vC

y

vC

t

v 22

44122

2

2

2

442

2

112

2

0

zy

v

zx

uCC

y

w

x

wC

z

wC

t

w 22

44122

2

2

2

442

2

112

2

0

Velocidad de Propagación

constantes elásticas en cristales física de la materia i (curso 2004) ricardo marotti

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