- 1 -

Lucrarea nr.1 - Construcţii geometrice și curbe ciclice http://www.mecanica.utcluj.ro/dt/lucrari/1-constructii_geometrice.pdf

Să se reprezinte pe un format A3 construcțiile prezentate în continuare. Se va lucra cu creion de 0,5mm, riglă, echer, compas, etc. La curbele ciclice desenați 3 din cele 5 variante (la alegere) și numai curba normală (nu și cele scurtate sau buclate).Folosiți florarul pentru a interpola punctele intermediare.

TEMA

Folosiți ambele fețe ale formatului (chenar pe ambele fețe) și încadrați armonios desenele pe planșă. Sub fiecare desen scrieți ce reprezintă. Lucrarea poate fi terminată acasă.

Cu ajutorul acestor construcţii, realizate cu rigla compasul şi echerul, se pot rezolva diferite probleme constructive. Printre exemplele cel mai des folosite amintim: împărţirea unui segment de dreaptă în părţi egale sau proporționale, construcţiile de drepte paralele sau perpendiculare care trebuie să treacă prin anumite puncte, racordările de drepte sau arce, curbele compuse din arce de cerc, curbele conice, curbele ciclice.

Împărţirea unui unghi în două părţi egale Dându-se unghiul CAB cu vârful în A se descrie un arc de cerc care taie laturile AB şi AC în punctele D şi E. Din punctul D ca centru, cu o rază mai mare ca jumătatea distanţei DE, se descrie, în interiorul unghiului, un arc scurt. Se face acelaşi lucru din punctul E. Intersecţia celor două arce ne dă punctul F, care împarte unghiul dat în două părţi egale. Segmentul AF este bisectoarea unghiului CAB.

Împărţirea unui cerc în părţi egale Metoda prezentată mai jos are avantajul că poate fi folosită pentru împărţirea unui cerc oricâte părţi. Metoda este aproximativă, dar pentru desenul manual, cu abateri practic neglijabile. Pentru împărţirea unui cerc în, de exemplu, 11 părţi egale se duc cele 2 diametre perpendiculare, apoi se împarte diametrul vertical în 11 părți egale.

Din punctele C şi D ca centre, cu rază egală cu diametrul cercului, se trasează arcele de cerc care se intersectează în punctele A şi B. Se unesc punctele A şi B cu diviziunile pare sau impare, prelungind aceste drepte până intersectează cercul. Punctele de intersecţie cu cercul îl împart în 11 părţi egale. Prin unirea punctelor de diviziune se obţine poligonul cu 11 laturi înscrise în cerc.

Construirea poligoanelor regulate Construirea poligoanelor regulate se face, de obicei folosind compasul sau echerul.

Pentagon În figura de mai jos se arată desfăşurat modul în care se construieşte un pentagon cu ajutorul compasului.

Hexagon În figura de mai jos se arată desfăşurat modul în care se construieşte un hexagon (6 laturi) cu ajutorul compasului.

= =

r

r

R

A B

C

D

E

F

R = Ø cercR = Ø cerc

B

C

A

D

12

3

45

678

910

I

II

III

IV

VVI

VII

VIII

IX

XXI

C C

A AB

B

D D

E E

F F

R

L5

L5

H

1

2

34

5

G GL5

H

R1

R1

R R

R

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

- 2 -

Racordări Racordarea a două drepte cu un arc

Dat fiind unghiul ascuţit şi raza de racordare dată, alăturat se arată modul de realizare a racordării. Practic se duc două paralele la egală distanţă (r) de cele două drepte. Intersecţia lor va da punctul O, centrul arcului de racordare.

Racordarea unei drepte cu un arc Dintr-un punct dat pe dreaptă

Cu un arc de rază dată

Curbele ciclice Curbele ciclice sau cicloidale sunt curbe plane definite de traiectoria unui punct legat rigid de un cerc generator care se rostogoleşte fără alunecare pe o altă curbă numită bază. Baza poate cerc, elipsă, curbă plană oarecare sau chiar dreaptă. Domeniul de aplicare al acestor curbe variază de la profilul dinţilor roţilor dinţate (respectând Legea fundamentală a angrenării), la căi de rulare sau chiar la diferite forme artistice. Deşi aproape toate manualele de desen tehnic descriu modul de generare grafică a acestor curbe, am preferat să prezentăm numai definiţia precum şi ecuaţiile lor parametrice. Cu ajutorul lor şi al calculatorului aceste curbe pot fi generate rapid şi precis. În continuare vor fi prezentate cel mai des întâlnite în practică curbe cicloidale

Cicloida simplă sau Ortocicloida Este curba descrisă de un punct M, aparţinând unui cerc C ce se rostogoleşte fără alunecare pe o curbă fixă D

După poziţia punctului fix M faţă de cercul generator se mai pot genera ortocicloide buclate sau alungite atunci când punctul generator P legat de cercul C se află în exteriorul acestuia şi ortocicloide scurtate atunci când punctul generator N legat de cercul C se află în interiorul acestuia. Dacă punctul generator ajunge să coincidă cu centrul cercului, N≡O, ortocicloida scurtată devine o dreaptă paralelă cu dreapta D.

Ecuaţiile parametrice ale ortocicloidei sunt:

ψ⋅−ψ⋅=ψ⋅−ψ⋅=

cossin

2

2

aryarx

unde a reprezintă distanţa de la punctul generator la centrul O al cercului C. Dacă a < r2 , se obţine ortocicloida scurtată, a = r2 , se obţine ortocicloida normală,

a > r2 , se obţine ortocicloida buclată.

rr

rr

A

B

OO

A

B

O1

C

O2

~~

R

R

A

B

O1

O R

R1

R+R1

r1Scurtatã

Buclatã

Normalã

NN0

M

M0

P

P0

O C

- 3 -

Hipocicloida Hipocicloida este curba descrisă de un punct M aparţinând unui cerc C2 care se rostogoleşte fără alunecare pe un cerc fix C1.

În afară de hipocicloida generată de punctul M, mai pot fi generate hipocicloide buclate atunci când punctul generator P legat de cercul C se află în afara acestuia şi hipocicloide scurtate atunci când punctul generator N legat de cercul C se află în interiorul acestuia. Când N≡O2, hipocicloida scurtată degenerează într-un cerc cu centrul în O1. Ecuaţiile parametrice ale hipocicloidei sunt:

ϕ⋅

−⋅+ϕ⋅−=

ϕ⋅

−⋅+ϕ⋅−=

2

121

2

121

1coscos)(

1sinsin)(

rrarry

rrarrx

,

unde a reprezintă distanţa de la punctul generator la centrul cercului O2. Dacă a < r2 , se obţine hipocicloida scurtată, a = r2 , se obţine hipocicloida normală, a > r2 , se obţine hipocicloida buclată.

Epicicloida Epicicloida este curba descrisă de un punct M aparţinând unui cerc C2 care se rostogoleşte fără alunecare pe un alt cerc fix C1. În afară de epicicloida normală generată de punctul M se mai pot genera

epicicloida buclată generată de punctul P care este legat de cercul C2 situat în afara acestuia şi epicicloida scurtată atunci când punctul generator N, legat de C2 este în interiorul acestuia.

Când N≡O2 epicicloida scurtată devine cerc cu centrul în O1 şi de rază r1+r2.Ecuaţiile parametrice ale epicicloidei sunt:

ϕ⋅

+⋅−ϕ⋅+=

ϕ⋅

+⋅−ϕ⋅+=

2

121

2

121

1coscos)(

1sinsin)(

rrarry

rrarrx

unde a reprezintă distanţa de la punctul generator până la centrul cercului O2. Dacă a < r2 , se obţine epicicloida scurtată, a = r2 , se obţine epicicloida normală, a > r2 , se obţine epicicloida buclată. Dacă raportul dintre diametrele celor 2 cercuri este un număr raţional curba nu se “închide” după parcurgerea unui cerc complet.

Pericicloida

T

O1

O2

M

r2

r 1

M0

ScurtatãBuclatã

Normalã N

N0

P

P0

C1

C2

r 1

O1

O2

M

r2M0

N0

Scurtată

Buclată

Normală

N

P0

P

C2

C1

O1

O2

M

r 2 r1

ScurtatãBuclatã

Normalã

NN0

P

P0

C1

C2

T

M0

- 4 -

Pericicloida se asemănă ca mod de generare cu hipocicloida cu deosebirea că cercul mic rămâne fix, iar cercul mare se rostogoleşte, tangent interior, la cel mic. Astfel pericicloida este curba descrisă de un punct M aparţinând unui cerc C2 care se rostogoleşte fără alunecare pe partea interioară pe un cerc fix C1. În afară de pericicloida normală generată de punctul M de pe cercul C2 se mai pot genera pericicloide buclate atunci când punctul generator P legat de C2 se află în interiorul acestuia şi pericicloide scurtate atunci când punctul generator N legat de C2 se află în exteriorul acestuia.

Ecuaţiile generatoare ale coordonatelor carteziene ale punctului curent sunt:

ϕ⋅

−⋅+ϕ⋅−=

ϕ⋅

−⋅+ϕ⋅−=

2

121

2

121

1coscos)(

1sinsin)(

rrarry

rrarrx

unde a reprezintă distanţa de la punctul generator până la centrul cercului O2. Dacă a < r2 , se obţine epicicloida scurtată, a = r2 , se obţine epicicloida normală, a > r2 , se obţine epicicloida buclată Deşi ele sunt identice cu ale hipocicloidei, se observă că notaţiile de pe desen diferă corespunzător poziţiei fixe a cercului mic şi mobile a cercului mare.

Astfel pot fi create figuri de genul celei de mai sus unde cercul mare parcurge 33 de rotaţii pe cercul mare până punctul generator revine în poziţia de pornire.

Evolventa de cerc Evolventa de cerc este curba descrisă de un punct M aparţinând unei drepte Δ care se rostogolește fără alunecare pe un cerc de rază r numit cerc de bază. Evolventa are două ramuri cu punctul de întoarcere M0 aflat pe cercul de bază. În afară de evolventa normală generată de punctul M ce se află pe dreapta Δ se mai pot genera evolvente buclate atunci când punctul generator P este legat de dreapta Δ, dar in afara ei şi anume spre centrul O şi evolvente scurtate atunci când punctul generator N este legat de dreapta Δ, dar în afara ei şi anume în exterior faţă de O.

Dacă MP = r atunci evolventa buclată va trece chiar prin O devenind în acest caz spirala lui Arhimede. Din teoria mecanismelor unghiul α se numeşte unghi de presiune, el modificându-şi valoarea în diferitele puncte ale evolventei. Ecuaţiile parametrice ale evolventei sunt:

α⋅α⋅−α⋅+=α⋅α⋅−α⋅+=

)sin()cos()()cos()sin()(

tgtgrtgarxtgtgrtgarx

unde a reprezintă distanţa de la punctul generator până la dreapta Δ. Dacă a > 0 , se obţine evolventa scurtată, a = 0 , se obţine evolventa normală, a < 0 , se obţine evolventa buclată, a = - r, se obţine spirala lui Arhimede.

TO

M

r

M0

ScurtatãBuclatã

Normalã

P

P0

N0

N