contabilometria eac-303 professor antonio carlos coelho
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CONTABILOMETRIA EAC-303
Professor
Antonio Carlos Coelho
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Modelo de inferência estatística
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Passos na Construção de um Modelo EstatísticoEspecificar um modelo estatístico: fórmula e
premissas
Estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados
amostrais
Examinar os resíduos e testar a adequação do modelo
Usar o modelo para seu propósito pretendido
Se o modelo não for aprovado
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Modelo de Regressão
tipos e técnicas
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Regressão
TIPOSTIPOS
LINEAR Simples Uma variável independenteMúltipla Duas ou mais variáveis
NÃO-LINEAR Curvilínea
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Regressão Linear
ObjetivosObjetivos
Encontrar uma equação matemática que permita Descrever e compreender a relação
entre 2 ou mais variáveis aleatórias Projetar ou estimar uma nova
observação
Ajustar uma reta a partir dos dados amostrais
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UtilidadesUtilidades
• Busca de relações de Causa e Efeito
• Predição de valores• Economia em custos de projeção• Estabelecer explanação sobre uma
população a partir de uma amostra
Regressão Linear
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Na análise de regressão linear simples busca-se encontrar a equação de uma reta que permita
Descrever e compreender a relação entre duas variáveis
Projetar e estimar uma das variáveis em função da outra.
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Supondo uma variável X denominada de independente e uma variável Y, a qual
chamada de dependente (de X), diremos que
Y = f(X)
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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Dado um conjunto de valores observados de x e y, construímos um modelo de regressão linear de y sobre x, baseado numa equação de uma reta do tipo:
ýi = a + bxi
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• f(x) se modifica a uma taxa constante em relação à sua variável independente
• Gráfico da função linear: reta
• Em termos algébricos:– f(x) = b.x + a
– a e b são constantes
– b: coeficiente angular– a: coeficiente linear
Função LinearFunção Linear
x
y
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variação de y variação de xb =
Coeficiente Angular (b) e Linear (a)
x
y
(x1,y1)
(x2,y2)
x2-x1 = ∆ x
y2-y1 = ∆ y b = tg
a → intersecção da reta com o eixo y
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Exercício
Determine o coeficiente angular e a interseção da reta 3y + 2x = 6 com o eixo dos y. Construa o respectivo gráfico.
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• Forma Inclinação-Intersecção:• y = b.x + a
– Inclinação: m (coeficiente angular)– Intersecção com o eixo dos y é (0,b)
• Forma Ponto-Inclinação:• y – y0 = b (x – x0)
– Passa pelo ponto (x0,y0)
– Inclinação: b (coeficiente angular)
Formas de Equação da Reta
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Equação da Reta
ýi = a + bxi
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A Reta de RegressãoA Reta de Regressão
• Equação: ý = a + bx• b = declividade da reta: define o aumento ou diminuição da variável y
por unidade de variação de x• a = intercepto em y: define o valor médio de y com x=0, isto é, sem a
interferência de x
• Nesse modelo se verifica que:– para um valor xi podem existir um ou mais valores de yi amostrados– para esse mesmo valor xi haverá um valor projetado ý – para cada valor xi existirá um dado desvio di dos valores de ý– sempre haverá observações que não são pontos da reta.
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Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
Cálculo de a (coeficiente linear) eb (coeficiente angular).
Considera as seguintes condições:
1. Somatória de todos os desvios verticais dos pontos em relação a reta é zero.
2. A soma do quadrado destes desvios é mínima.
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Desvio do valor projetado
yi
ýc
xi
di = yi - ýc
ý = a + bx
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19Onde: Di = (Yi – Yc) Di = 0 (Di)2 é mínimo
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• É uma técnica matemática de excepcional força e versatilidade;
• Derivada de uma função: exprime o coeficiente angular da tangente à curva f(x) em função de um ponto x de tangência
• Possui grande variedade de aplicações:– Traçado de curvas– Otimização de Funções– Análise de Taxas de Variação
Diferenciação – O que é?
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Taxa de Variação• Função Linear:
x
f(x)
Taxa constante
• Função Não Linear:
x
f(x)
Taxa variável
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Problemas de Otimização• Exemplo: Lucro em função do Preço• P(x) = 400(15-x)(x-2)
x
P(x)
(preço)
(lucro)
2 15
Coeficiente angular positivo
Coeficiente angular = zero
Coeficiente angular negativo
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Técnicas de DiferenciaçãoFunção Derivada da Função
constante (c) 0
[c.f] c.f'
xn n . xn-1
x 1
[f±g] f' + g'
[f.g] f'.g + f.g'
[f/g] f'.g - f.g'
g2
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Regra da Cadeia - Potências
• Seja y em função de u: f(u) = un
• Seja u em função de x: u(x)
1( ) .
ndy dy du dun f u
dx du dx dx
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Regra da Cadeia – Exemplo
3 2( ) (2 3)f x x • Calcule f(x) , sendo:
• Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada de três modos distintos:– Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma– Aplicar a regra do produto– Aplicar a regra da cadeia para potências:
3 2 2'( ) 2(2 3)(6 ) 12 (2 3)f x x x x x • Terceira opção: possibilita uma derivação mais
simples e um resultado fatorado!
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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples • Calculando os coeficientes a e b
n
xx
n
yxxy
22 )(
)).((
a =
b =
n
xby
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a = y - bx
b =Cov (x,y)
Var (x)
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
• Calculando a e b por medidas estatísticas
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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
• Calculando a e b por medidas estatísticas
2
, xy YX Yxy
X X
Cov x y rb r
Var x
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a e b servem como estimativas dos dois parâmetros populacionais correspondentes a A e B, sendo a equação
ýc = a + bx
uma estimativa da relação populacional
y = A + Bx + e
onde e representa a dispersão na população.
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
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Distribuição Condicional
A análise de regressão supõe que, para cada valor de x, há uma distribuição de y’s potenciais que segue a lei normal.
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
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* Existem dados de mensurações tanto para x quanto para y.
* A variável independente é aleatória.
* Para cada valor de x há uma distribuição condicional de y’s que é normal.
* Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.
Hipóteses
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples