conteo_1.pdf

Jornadas deOlimpiadas Matematicas 2013

Juan Neyra Faustino

Principio de Adicion y Multiplicacion

Una de las primeras habilidades que se debe dominar en Combinatoria es conteo. Enesta sesion, veremos como contar objetos de modo estructurado.

El modo matematico mas eficaz para modelar problemas de conteo es utilizar conjun-tos, de modo que todo problema de conteo se resume a encontrar el cardinal de conjuntos.Una principal ventaja de ese metodo es que podemos utilizar las siguientes formulas deconjuntos: denotando |A| como el numero de elementos de A y siendo A y B conjuntosde un universo U , tenemos:

A ⊂ B si y solamente si para todo x ∈ U, x ∈ A ⇒ x ∈ B (inclusion)

A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B} (interseccion)

A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B} (union)

A\B = {x ∈ U : x ∈ A y x 6∈ B} (substraccion de conjuntos)

A× B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B} (producto cartesiano)

Si A ∩ B = ∅, entonces |A ∪B| = |A|+ |B| (principio de la adicion)

En general, |A∪B| = |A|+ |B| − |A∩B| (principio de inclusion-exclusion para dosconjuntos)

Si A ⊂ B, entonces |B\A| = |B| − |A| (“todo menos lo que no interesa”)

|A×B| = |A| · |B| (principio de la multiplicacion)

A continuacion, enunciemos los dos principios basicos de conteo para una cantidadfinita de conjuntos.

Principio de la Adicion

Si para realizar una accion, esta se puede dividir en n casos A1, A2, . . . , An y A1 puede

realizarse de k1 maneras, A2 puede realizarse de k2 maneras, . . . , An puede realizarse de

kn maneras, entonces la accion puede ser realizada de k1+k2+ · · · +kn maneras en total.

http://www.facebook.com/editorial.binaria

Editorial Binaria pagina 1

Principio de la Multiplicacion

Si n acciones aisladas A1, A2, . . . , An, pueden realizarse de k1, k2, . . . , kn maneras, res-

pectivamente, entonces todas las acciones, en conjunto, pueden ser realizadas de k1×k2×· · · × kn maneras en total. Por accion aislada se entiende que no importa de que manera

se elijan las acciones A2, . . . , An, la accion A1 es independiente de ellas, siempre se puede

elegir de k1 maneras.

Veamos algunos ejemplos. Antes, tenga en cuenta lo siguiente:

Defina bien el conjunto que va a contar;

Tenga cuidado en no dejar de contar algun elemento o contar repetido;

Siempre que sea possible, hacer una division en casos con conjuntos disjuntos;

Sea extremadamente organizado;

Tenga presente que hay varias maneras de hacer un conteo.

1. Problemas

1 Esmeralda escribe correctamente todos los numeros desde el 1 hasta el 999, uno trasotro:

12345678910111213 . . .997998999.

¿Cuantas veces aparece el grupo “21”, en ese orden?

2 Andres tiene siete cartas diferentes marcadas con los numeros del 1 al 7 y desearepartirlas en dos cajas, de tal forma que la suma de los numeros en las cartasde cada caja sea un numero impar. ¿De cuantas formas puede Andres realizar suobjetivo?

3 Sea n un entero positivo mayor que 1, y sea n = pa11 pa22 · · ·pakk

la descomposicioncanonica de n. Entonces n tiene (a1+1)(a2+1) · · · (ak+1) divisores enteros positivos,incluyendo al 1 y a el mismo.

4 Calcular la cantidad de divisores positivos de 1099 que son multiplos enteros de 1088.

5 Sea n un entero positivo mayor que 1, y sea n = pa11 pa22 · · ·pakk

la descomposicioncanonica de n. Probar que existen

(2a1 + 1)(2a2 + 1) · · · (2ak + 1)

pares ordenados distintos de enteros positivos (a, b), tal que su mınimo comun multi-plo es igual a n.

6 Sea S un conjunto con seis elementos. ¿De cuantas maneras diferentes podemosseleccionar dos subconjuntos de S no necesariamente distintos tal que la union delos dos subconjuntos es S? El orden de la seleccion no importa; por ejemplo elpar de subconjuntos {a, c}, {b, c, d, e, f} representa la misma seleccion que el par{b, c, d, e, f}, {a, c}.



7 Dado el conjunto I = {1, 2, . . . , n}. Se dice que un par ordenado de conjuntos (A,B)es armonioso si cumple las siguientes condiciones:

A ⊆ I,

B ⊆ I,

A ∪B = I.

Hallar la cantidad de pares ordenados armoniosos.

8 Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ¿Cuantas ternas ordenadas de subconjuntos (A,B,C) desubconjuntos de X cumplen que A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅?

9 Dado los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

Halar la cantidad de pares ordenados (M,N) que cumplen las siguientes condiciones:

M ⊂ A,

N ⊂ B,

M ∩N = ∅.

Aclaracion: M y N son conjuntos, siendo posible que alguno o ambos sean vacıos.

10 Encontrar el numero de ternas ordenadas de conjuntos (A,B,C) tales que A∪B ∪C = {1, 2, . . . , 2003} y A ∩ B ∩ C = ∅.

11 Encontrar el numero de subconjuntos de {1, 2, . . . , 2n} en el cual la ecuacion x+y =2n+ 1 no tiene soluciones.

12 ¿Cuantos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} tienen la propiedad de que el productode sus elementos es un multiplo de 5?

13 ¿Para cuantos pares de enteros consecutivos en {1000, 1001, 1002, . . . , 2000} no esrequerido llevar cuando los dos enteros son sumados?

14 Se dispone de un tablero cuadriculado 8 × 8, ¿de cuantas formas puedo pintar doscuadros de negro de tal manera que estos cuadros no sean vecinos? Dos cuadros sonvecinos si comparten una misma arista.

15 Sea S el conjunto de los puntos cuyas coordenadas x, y, z son enteros que satisfacen0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 y 0 ≤ z ≤ 4. Se dice que un par ordenado (a, b) ∈ S2, (a 6= b)es amigable si el punto medio del segmento que ellos determinan tambien pertenecea S. ¿Cuantos pares ordenados amigables existen?

16 ¿Cuantos numeros de 5 dıgitos son multiplos de 3?

17 Un numero de cuatro dıgitos se dice que es paladino si es multiplo de 9 y ningunode sus dıgitos es nulo. ¿Cuantos numeros paladinos existen?



18 ¿Cuantos numeros de seis dıgitos son divisibles por tres y tambien contienen al 6como uno de sus dıgitos?

19 Dado el conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿cuantos numeros capicuas de 7 dıgitos(todos los dıgitos perteneciendo al conjunto A) cumplen que la suma de sus dıgitoses multiplo de 7 ? Por ejemplo, el numero 3454543 es uno de esos numeros quecumple las condiciones requeridas.

Aclaracion: Un numero capicua es aquel que leıdo de izquierda a derecha es el mismoque leıdo de derecha a izquierda, por ejemplo, 1221 y 34043 son capicuas.

20 ¿De cuantas formas podemos ordenar los numeros 21, 31, 41, 51, 61, 71 y 81 tal quela suma de cada cuatro numeros consecutivos sea divisible por 3?

21 Un numero entero positivo A de tres dıgitos detona un numero entero positivo B

de tres dıgitos si cada dıgito de A es mayor que el dıgito correspondiente de B. Porejemplo, 876 detona 345, mientras que 651 no detona 542 pues 1 < 2. ¿Cuantosnumeros de tres dıgitos detonan 314?

22 ¿De cuantas maneras pueden colocarse un caballo blanco y un caballo negro en untablero de ajedrez de modo que se ataquen?

23 Dado un tablero de 8 × 8. Se debe colorear cada uno de los 64 cuadrados o bienblanco o bien negro. Se dice que una coloracion es buena si cada cuadrado de 2× 2tiene una cantidad par de cuadros negros. Hallar el numero de coloraciones buenas.

24 Sea n ≥ 3 un numero entero. En cada una de las casillas de un tablero de n× n seescribe un 0 o un 1 de tal manera que la suma de los numeros de cada subtablero2 × 2 y de cada subtablero 3 × 3 es un numero par, ¿de cuantas formas se puedehacer eso?

25 Determine el numero de funciones

f : {1, 2, . . . , 1999} → {2000, 2001, 2002, 2003}

satisfaciendo la condicion que f(1) + f(2) + · · ·+ f(1999) es impar.

26 La siguiente funcion

f : {1, 2, . . . , 2n} → {1, 2, . . . , 2n}, n ∈ Z+,

es llamada excelente, si cumple las siguientes condiciones:

f(1) + f(3) + · · ·+ f(2n− 1) ≡ 1 (mod 2);f(2) + f(4) + · · ·+ f(2n) ≡ 0 (mod 2).

¿Cuantas funciones son excelentes?

27 Se dice que un numero de tres cifras es isosceles si sus dıgitos representan los ladosde un triangulo isosceles. Por ejemplo 331 es isosceles pero 229 no lo es. ¿Cuantosnumeros isosceles de tres cifras hay?

Aclaracion: Considere que los numeros de la forma aaa tambien son isosceles.



28 En un tablero de 6 × 6, se han colocado dos caballos que ocupan, cada uno, unacasilla. En cada casilla sin ocupar, se escribe un numero que indica la cantidad decaballos que amenazan a esa casilla. Por ejemplo, en la siguiente figura, se muestraun tablero con dos caballos colocados y una de las casillas tiene escrito el numero2, pues esa casilla es amenazada por dos caballos:

2

¿De cuantas formas se puede colocar los dos caballos en este tablero de tal maneraque se cumpla que la suma de los numeros en las casillas desocupadas sea 12 ?

Aclaracion: un caballo amenaza a una casilla si esta casilla y la casilla ocupada porel caballo son casillas de dos esquinas opuestas de un subtablero de 2× 3 o 3× 2.

29 Un conjunto de numeros positivos tiene la propiedad triangular si el tiene tres ele-mentos distintos que son las longitudes de los lados de un triangulo cuya area espositiva. Considerar los conjuntos {4, 5, 6, . . . , n} de enteros positivos consecutivos,que cumplen que todos sus subconjuntos de diez elementos tienen la propiedadtriangular. ¿Cual es el mayor valor posible de n?

30 Dado un tablero de 5×5 y los numeros 1, 2, 3 y 4 que seran colocados en el interiorde las casillas del tablero, teniendo una configuracion. Se dice que la configuraciones buena si para cualesquiera dos numeros consecutivos, el menor de ellos esta enuna columna la cual esta a la izquierda de la columna en la que esta el mayor deellos, y ademas el menor de ellos esta en una fila la cual esta por debajo de la fila enla que esta el mayor de ellos. En la figura se muestran dos ejemplos de una configu-racion buena y una que no es buena. Hallar la cantidad de configuraciones buenasque existen.

1

2

3

4

1

2

3

4

31 Determine el numero de cuadrados con todos sus vertices perteneciendo al arreglode puntos de 10× 10 mostrado en la siguiente figura. (Los puntos estan igualmenteespaciados)



32 Reemplace cada letra en la siguiente suma por un dıgito desde el 0 hasta el 9, detal manera que la suma es correcta.

J J J

G H I

D E F

A B C +

Letras diferentes deben ser reemplazadas por dıgitos diferentes, y letras igualesdeben ser reemplazadas por dıgitos iguales. Los numeros ABC, DEF , GHI y JJJ

no pueden empezar por 0. Determine cuantas ternas de numeros (ABC,DEF,GHI)pueden ser formadas bajo estas condiciones.

Juan Neyra Faustino

[email protected]

Lima, julio de 2013.



conteo_1.pdf

Documents