continuación numérica de oscilaciones periódicas en un...

PROYECTO DE FIN DE CARRERA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

Continuación numérica de oscilaciones

periódicas en un sistema mecánico de dos

grados de libertad

Autor:

Felipe Parejo Palop

Tutores:

Emilio Freire Macías

Alejandro J. Rodríguez Luis

Departamento de Matemática Aplicada II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería,

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

PFC Felipe Parejo Palop

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Contenido

1. Introducción .................................................................................................................. 5

2. Flutter ............................................................................................................................ 7

3. AUTO .......................................................................................................................... 11

3.1. Órdenes para ejecutar en AUTO ............................................................ 12

3.2. Ficheros de salida ................................................................................... 14

3.3. Descripción de las constantes de AUTO ................................................ 14

4. Sistema de dos grados de libertad propuesto por Davide Bigoni ............................... 17

5. Análisis de la estabilidad del sistema (flutter) ............................................................ 25

5.1. Análisis del sistema lineal sin amortiguamiento .................................... 26

5.2. Análisis del sistema lineal visco-elástico ............................................... 27

5.3. Análisis del sistema real (no lineal) ....................................................... 30

6. Simulaciones ............................................................................................................... 35

6.1. Simulación del sistema lineal sin amortiguamiento ............................... 35

6.1.1. Simulación 1 ................................................................................... 36

6.1.2. Simulación 2 ................................................................................... 39

6.2. Simulación del sistema lineal visco-elástico .......................................... 42

6.2.1. Simulación 3 ................................................................................... 43

6.2.2. Simulación 4 ................................................................................... 45

6.2.3. Simulación 5 ................................................................................... 47

6.3. Simulación del sistema real (no lineal) .................................................. 48

6.3.1. Simulación 6 ................................................................................... 49

6.3.2. Simulación 7 ................................................................................... 51

6.3.3. Simulación 8 ................................................................................... 53

7. Conclusiones ............................................................................................................... 57

8. Anexo .......................................................................................................................... 59

8.1. Códigos del programa AUTO ................................................................ 59

8.1.1. Sistema lineal sin amortiguamiento ................................................. 59

8.1.2. Sistema lineal visco-elástico ............................................................ 64

8.1.3. Sistema real (no lineal) .................................................................... 68

8.2. Códigos del programa MATLAB ........................................................... 72

8.2.1. Sistema lineal sin amortiguamiento ................................................. 72

8.2.2. Sistema lineal visco-elástico ............................................................ 76

8.2.3. Sistema real (no lineal) .................................................................... 80

9. Bibliografía ................................................................................................................. 85

5

1. Introducción

Las inestabilidades del tipo flutter (aleteo) y divergencia son un fenómeno

poco estudiado y presente en multitud de estructuras elásticas. El objetivo del

presente trabajo es demostrar que este fenómeno puede ser inducido por la

fricción seca de Coulomb, en sistemas mecánicos elásticos. En nuestro caso

elegiremos un sistema de dos grados de libertad.

Así pues, en primer lugar, se desarrolla el concepto de este tipo de

inestabilidades y con qué sistema afrontaremos el estudio de dicho fenómeno.

También se explicará la diferencia entre las dos formas de inestabilidad (flutter o

aleteo y divergencia).

A continuación se detallará el programa informático de continuación

numérica AUTO, que usaremos para el estudio numérico de nuestro sistema.

Seguidamente describiremos con detalle el sistema elegido para el estudio,

con todas sus ecuaciones, suposiciones y condiciones. Serán descritas las

ecuaciones reales del sistema, así como diferentes linealizaciones de las mismas

con sus respectivas suposiciones.

Una vez descrito el sistema que se usará y todas sus ecuaciones y

condiciones, pasaremos al estudio de su continuación numérica con el programa

AUTO. Se verá el comportamiento del sistema y se comprobará la estabilidad y la

aparición de las inestabilidades de aleteo (flutter) y divergencia.

En la siguiente parte, se procederá a simular el sistema, para así comprobar

que su comportamiento corresponde con el esperado en el estudio llevado a cabo

de su inestabilidad. Se hará implementando todas las ecuaciones y parámetros del

problema en el programa de cálculo numérico MATLAB.

Para terminar, en la siguiente sección se detallarán las conclusiones más

reseñables que se extraen del presente trabajo.

Y ya por último, en el anexo, se incluyen todos los códigos utilizados para

la realización de la continuación y el cálculo numéricos llevados a cabo con los

programas antes citados respectivamente.

7

2. Flutter

Las inestabilidades de divergencia y flutter (aleteo) son un tipo de

inestabilidad que se pueden dar en multitud de estructuras y mecanismos elásticos.

Estas inestabilidades suelen ser provocadas por la interacción entre fuerzas

aerodinámicas, inerciales y elásticas que actúan sobre dichas estructuras o

mecanismos. Entre los casos más típicos de estructuras donde aparecen estas

inestabilidades podríamos nombrar los puentes, las piezas externas de un

vehículo… Sin embargo, estas inestabilidades también pueden darse en

estructuras elásticas sustituyendo la presencia de las fuerzas aerodinámicas por la

presencia de fuerzas inducidas por la fricción de Coulomb. Para el caso de

estructuras o piezas elasto-plásticas sometidas a las fuerzas de un fluido, existen

multitud de estudios publicados por diversos autores. Sin embargo, para el caso de

estructuras elásticas sometidas a fricción de Coulomb, nunca se habían

proporcionado evidencias experimentales claras de su existencia hasta que se

realizó el estudio en el que se basa este proyecto “Experimental evidences of

flutter and divergency instabilities induced by dry friction” de Davide Bigoni [1].

La fricción de Coulomb entre dos cuerpos en contacto que deslizan entre sí

es un claro ejemplo de fuerza viva, ya que actúa en el sentido contrario al

movimiento relativo entre los cuerpos. Además se sabe que está asociada a

diferentes tipos de inestabilidades dinámicas, entre las cuales se hallan las antes

mencionadas, las conocidas como flutter y divergencia. Su aparición en sistemas

estructurales elásticos con fricción de Coulomb ha sido ya demostrada

teóricamente. Sin embargo, el primero en aportar una evidencia experimental

clara ha sido Bigoni en su artículo antes mencionado. En este trabajo

profundizaremos en el análisis de la estabilidad de la estructura usada por Bigoni

en sus experimentos.

Para proporcionar dicha evidencia experimental y teórica de las

inestabilidades de aleteo (flutter) y divergencia en sistemas elásticos con presencia

de fricción de Coulomb seca, será clave encontrar una estructura elástica que sea

capaz de presentar dichas inestabilidades. Encontramos una estructura con esta

característica en la llamada columna de Ziegler (Ziegler 1953 y 1977) [2] y [3].

Esta estructura consiste en dos barras rígidas, internamente articuladas con un

muelle rotacional elástico, el extremo de una ellas se fija externamente mediante

otra articulación con muelle rotacional elástico y en el extremo que queda libre de

2. Flutter

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la otra barra se aplica una carga seguidora tangencial. Por lo tanto, dicha carga

aplicada queda siempre coaxial a la barra en la que se aplica. Podemos ver el

esquema de dicha estructura en la Figura 2.1.

Figura 2.1. La columna de Ziegler, un sistema de dos grados de libertad sujeto a

una carga que sigue el movimiento del sistema (la fuerza P permanece siempre

aplicada en el punto C y en paralelo a la varilla BC), y que experimenta las

inestabilidades flutter y divergencia. Las dos varillas, de densidad lineal, son

rígidas y están conectadas a través de dos articulaciones con muelles

rotacionales.

La única posición de equilibrio para este sistema sería la solución trivial.

Dado que la fuerza aplicada es no conservativa, la estructura se vuelve

dinámicamente inestable a un cierto nivel de carga, evidenciando una

inestabilidad de aleteo y a mayor carga, inestabilidad de divergencia. Para

diferenciar un tipo de inestabilidad de la otra, podríamos decir que en el caso del

flutter, se produce un crecimiento oscilatorio del movimiento hasta alcanzar la

órbita periódica estable. Sin embargo, en la inestabilidad divergencia, el

crecimiento del movimiento se produce de manera exponencial, por lo que no se

producen oscilaciones hasta que se aproxima a la órbita periódica estable

correspondiente.

Por lo tanto, se elige la columna de Ziegler y se demuestra que con la

fuerza modelada como se ha descrito, las inestabilidades mencionadas están

ligadas a estructuras y sistemas mecánicos con fricción seca.

El análisis de sistemas similares ha sido llevado a cabo antes por otros

autores. Por ejemplo, podemos citar el caso de tener las masas concentradas en un

punto de las barras en lugar de distribuidas linealmente (Hermann 1971 y Ziegler

1977) [4], [2] y [3]. A su vez también ha sido analizado el problema análogo de


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una columna fija sometida en su extremo libre a una fuerza tangencial a su eje

(Beck 1952 y Pflüger 1955) [5] y [6].

Como hemos comentado antes, este tipo de fuerzas seguidoras y las

inestabilidades mencionadas pueden darse en aeroelasticidad como resultado de

complejas interacciones entre el fluido y la estructura. Para modelar

experimentalmente este tipo de fuerzas se habían usado antes otro tipo de

dispositivos, como por ejemplo mediante un fluido expulsado a través de una

boquilla (Herrmann y compañía 1966) [7] o un cohete (Sugiyama y compañía

1995 y 2000) [8] y [9], conectados en el extremo de la estructura. Sin embargo, el

difícil modelado teórico y experimental y las limitaciones que implicarían estos

dispositivos, imposibilitaría un análisis en el tiempo de las inestabilidades. Por lo

tanto, Bigoni [1] propone que la fuerza sea transmitida a través de una rueda de

masa despreciable que esté obligada a deslizar en un plano en la dirección de la

barra en la que se coloca y a rodar en la dirección perpendicular. Podemos ver el

esquema de la estructura en la Figura 2.2.

Figura 2.2. Aquí se muestra cómo se produce la fuerza seguidora axial a la barra

en la que se aplica a través de la fricción seca por el deslizamiento entre la rueda

y el plano.

Resumiendo, se consiguen extraer tres claras conclusiones. La primera,

que una fuerza seguidora puede ser modelada fácilmente mediante la fricción seca

y que las inestabilidades flutter y divergencia pueden aparecer haciendo uso de un

montaje experimental relativamente simple. La segunda, que las inestabilidades

flutter y divergencia pueden ser inducidas por la fricción seca. Y la tercera, que

analizando el desarrollo de la inestabilidad, al menos en el caso del flutter, el

sistema alcanza un movimiento periódico estable en el tiempo.

Por lo tanto, podemos concluir que tenemos un sistema de dos grados de

libertad que es una variante de la columna de Ziegler, donde la carga seguidora es

inducida por una fuerza de fricción seca según la ley de Coulomb que actúa sobre

2. Flutter

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una rueda que desliza sobre un plano y que está colocada en el extremo libre de la

estructura. Podemos ver esto en la Figura 2.2. La rueda es lo que hace que la

fuerza se transmita siempre paralela a la barra, es decir, coaxial a su eje.

11

3. AUTO

Para el análisis de la estabilidad del sistema que estudiaremos usaremos un

programa llamado AUTO07P, el cual está diseñado para el estudio de la

continuación y las bifurcaciones en ecuaciones diferenciales ordinarias. Los

códigos se escriben en FORTRAN, que es un lenguaje de programación

especialmente desarrollado para cálculos numéricos y aplicaciones científicas y de

ingeniería.

Este programa calcula los autovalores en los puntos de equilibrio o los

multiplicadores característicos de las órbitas periódicas y evalúa unas funciones

test para detectar cada tipo de bifurcación que pueda surgir en cada punto de la

continuación.

Los códigos de programación usados, en los que se incluyen nuestras

ecuaciones y las constantes del problema usadas para los análisis realizados, se

encuentran en el anexo (sección 8) al final del presente trabajo. Después

pasaremos a detallar las órdenes para ejecutan los archivos y el significado de las

diferentes constantes con las que trabaja el programa, así como los resultados que

nos proporciona finalmente el programa AUTO.

Como entrada, el programa requiere dos ficheros, uno denominado big.f90

y otro denominado c.big, conteniendo cada uno un tipo diferente de información.

En el primero se recogen todas las ecuaciones y parámetros que definen nuestro

sistema. En el segundo se incluyen las diferentes constantes con las que queremos

que trabaje nuestro programa, como por ejemplo el número de dimensiones, el

número de parámetros a variar, las tolerancias…

Para trabajar con el programa tendremos que abrir una ventana para

ejecutar órdenes del sistema operativo Unix, donde escribiremos las órdenes que

queramos que sean ejecutadas por el programa. Antes de nada tendremos que

decir al programa el directorio en el que deberá trabajar. En esta ventana también

aparecerá un resumen de la ejecución llevaba a cabo.

3. AUTO

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3.1. Órdenes para ejecutar en AUTO

@r @r big para ejecutar el código guardado en el fichero big.f90 en AUTO.

Toma los valores de las constantes del fichero c.big y arranca a partir de

las soluciones guardadas en el fichero s.big si ya existe. Es la forma más

simple de ejecutar AUTO.

@r big 01a 01b ejecuta el código guardado en el fichero big.f90 en AUTO.

Toma los valores de las constantes del fichero c.01b arranca a partir de las

soluciones guardadas en el fichero s.01a que debe haber sido creado

previamente.

@sv @sv big guarda los archivos de salida del programa fort.7, fort.8 y fort.9

como b.big, s.big y d.big, respectivamente. Los ficheros que existan con

anterioridad con esos mismos nombres serán borrados.

@ap @ap big anexiona los ficheros de salida fort.7, fort.8 y fort.9 a los

ficheros de datos existentes b.big, s.big y d.big, respectivamente.

@pp @pp big abre la ventana para visualizar las gráficas de los datos

guardados en los ficheros b.big y s.big.

@pp abre la ventana para visualizar las gráficas de los datos guardados en

los ficheros fort.7 y fort.8.

@ll @ll enumera todas las soluciones que aparecen en el fichero fort.8.

@ll big enumera todas las soluciones que aparecen en el fichero s.big.

@lb @lb big enumera, borra y reetiqueta las soluciones y las diferentes ramas

reflejadas en los ficheros de datos b.big y s.big.

@lb big 01a enumera, borra y reetiqueta las soluciones y las diferentes

ramas reflejadas en los ficheros de datos b.big y s.big. Los ficheros

modificados se guardan como b.01a y s.01a.

Ahora vamos a explicar brevemente las órdenes que ejecutaremos para

nuestro problema. En primer lugar ejecutamos simplemente la orden @r big y

seguidamente usaremos @sv 01a para guardar las soluciones en los ficheros

b.01a, s.01a y d.01a. Ahora querremos que nos continúe el cálculo a partir de la

bifurcación de Hopf encontrada, por lo que tendremos que cambiar los valores de

algunas de las constantes del archivo c.big y lo guardaremos con el nombre c.01b.


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A continuación, ejecutaremos la orden @r big 01a 01b para calcular las órbitas

periódicas.

BP (1) Punto de ramificación (sistemas algebraicos)

LP (2) Silla nodo (sistemas algebraicos)

HB (3) Bifurcación de Hopf

UZ (4) Punto de salida especificado por el usuario

UZ (-4) Parada en el punto de salida especificado por el usuario

LP (5) Silla nodo (ecuaciones diferenciales)

BP (6) Punto de ramificación (ecuaciones diferenciales)

PD (7) Bifurcación con período doble

TR (8) Bifurcación a toros

EP (9) Punto final, finalización normal

MX (-9) Finalización anormal, no convergencia

Tabla 3.1. Tipos de soluciones y sus códigos de identificación.

3. AUTO

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3.2. Ficheros de salida

- Ventana principal: en la misma ventana donde ejecutamos AUTO aparecerá un

breve resumen del resultado de la compilación de los ficheros ejecutados.

Sólo se reflejarán los puntos de soluciones especiales y/o las soluciones

etiquetadas. Los códigos que identifican cada tipo de solución reflejada en

esta ventana se muestran en la Tabla 3.1. Los códigos numéricos se usan

internamente en los ficheros fort.7 y fort.8.

- fort.7: este fichero de salida contiene el diagrama de bifurcaciones. En él se

encuentran los valores de los parámetros que intervienen en la

continuación de todas las órbitas etiquetadas y los puntos de bifurcación.

- fort.8: este fichero contiene los valores de las variables de estado del sistema a lo

largo de un período de todas las órbitas etiquetadas y/o seleccionadas.

- fort.9: este fichero contiene la evolución de todos los autovalores y

multiplicadores de todas las órbitas continuadas.

3.3. Descripción de las constantes de AUTO

Ahora definiremos las diferentes constantes que debemos dar al programa

para que ejecute el fichero con las ecuaciones y parámetros del sistema según las

especificaciones que deseemos. Estas constantes vienen recogidas en un fichero

con formato libre llamado c.big. Ahora detallaremos sólo aquellas constantes que

vamos a querer definir o variar para el caso de nuestro problema.

NDIM dimensión del sistema de ecuaciones recogido en el fichero big.f90.

IPS define el tipo de problema.

IPS=1 detección de soluciones estacionarias de equilibrio de las

ecuaciones diferenciales ordinarias y detección de bifurcaciones

de Hopf.

IPS=2 cálculo de soluciones periódicas, en nuestro caso partiremos de

una bifurcación de Hopf.


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IRS indica la etiqueta de la solución en la cual queremos que arranque el

cálculo.

IRS=0 se usa para la primera ejecución de un nuevo problema.

IRS>0 cuando ya hemos ejecutado el programa al menos una vez y

tenemos un fichero con soluciones indica la etiqueta de la solución

de la cual queremos que arranque el cálculo.

ICP parámetros que varían en la continuación de nuestro problema.

NTST número de puntos en el mallado de la solución periódica.

NMX número máximo de pasos.

NPR sirve para que se muestre y guarde una solución cada NPR pasos.

DSMIN tamaño mínimo de paso.

DSMAX tamaño máximo de paso.

NPAR máximo número de parámetros.

UZR permite seleccionar valores exactos de los parámetros que varían,

recogiendo y mostrando sus soluciones en las diferentes salidas del

programa (en la ventana principal y el fichero fort.8).

UZSTOP indica el valor del parámetro para el que el cálculo debe pararse y

finalizar.

17

4. Sistema de dos grados de libertad

propuesto por Davide Bigoni

Como ya nos indica Bigoni en su artículo, la inestabilidad aleteo puede ser

inducida por cargas seguidoras en estructuras elásticas y el caso que toma como

ejemplo es el denominado columna de Ziegler. Se trata de un sistema de dos

grados de libertad que consta de dos varillas rígidas de una determinada masa

(consideramos su densidad lineal ρ) dispuestas tal como se indica en la Figura 2.1,

donde dos muelles rotacionales de rigidez y proporcionan la elasticidad. La

posición del sistema queda determinada por las coordenadas lagrangianas y .

La carga se supone positiva cuando es de compresión y mantiene en todo

momento una dirección paralela a la barra BC.

La fuerza seguidora (de la estructura mostrada en la Figura 2.1) se

transmite a nuestra estructura mediante una rueda de masa despreciable colocada

en el extremo libre de forma que está obligada a deslizar sobre un plano en la

dirección de la segunda barra y rueda en la dirección perpendicular a la barra

(véase Figura 2.2).

El hecho es que una rueda ideal (sin masa, con rotación totalmente libre,

sin fricción de rodadura con su eje de giro y que se toca en un solo punto de su

circunferencia con el plano rígido) solo puede transmitir una fuerza axial y Bigoni

demuestra que estas condiciones pueden ser aproximadas con éxito en

experimentos reales, ya que las pequeñas desviaciones de los experimentos

respecto al modelo ideal no son lo suficientemente considerables para distorsionar

las inestabilidades del sistema.

Se analiza entonces la estructura mostrada en la Figura 2.1, bajo las

siguientes hipótesis:

(i) la rueda es de masa nula, de rotación totalmente libre y que toca el

plano horizontal en un punto;

(ii) las articulaciones son visco-elásticas, siendo la configuración recta la

posición neutra;

(iii) la fuerza seguidora es transmitida por fricción entre la rueda situada en

el extremo de la estructura y un plano que se desplaza a velocidad

;

4. Sistema de dos grados de libertad propuesto por Davide Bigoni

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(iv) no existe fricción de rodadura en la rueda.

Con las cuatro hipótesis introducidas (i) - (iv) el sistema se aproxima

enormemente al sistema experimental montado por Bigoni, lo cual ha sido

verificado por él mismo de forma experimental y teórica. Por lo tanto, nada de

esto cambia el comportamiento cualitativo del sistema, que se verá muy bien

representado con supuestos simples, aunque obviamente otros modelos más

complejos deberían dar resultados más exactos cuantitativamente hablando.

Con un sencillo análisis estático de la estructura mostrada en la Figura 2.1

es fácil concluir que sólo la configuración trivial satisface las condiciones de

equilibrio estático, es decir, . De hecho, el equilibrio de la barra BC

sólo es posible si y el equilibrio del conjunto ABC precisa , de

modo que la conclusión es clara.

Ahora obtendremos las ecuaciones de movimiento del sistema. Para ello

usaremos los vectores de posición del punto C y de los centros de gravedad de las

barras, G1 y G2. Las coordenadas son las mostradas en la Figura 2.1.

I

donde y son los vectores unitarios de nuestro sistema de referencia. Así

pues, la fuerza seguidora de módulo puede quedar expresada como

II

cuyo modulo viene dado por la ley de fricción de Coulomb:

III

y donde es la reacción vertical de la rueda sobre el plano, y son los

coeficientes de fricción estático y dinámico respectivamente y es la

componente radial ( ) de la velocidad relativa de la

rueda sobre el plano móvil ( ). Y llamando a la velocidad de la rueda (punto C

de la estructura según la Figura 2.1) respecto al origen , se puede escribir:


Página | 19

,

. IV

Para la realización práctica del experimento, se proporcionará la reacción

vertical mediante el uso de una estructura similar a una palanca, a la que se le

aplica una carga constante de valor , tal y como se muestra en la Figura 4.1.

Figura 4.1. La estructura se usa a modo de palanca para proporcionar la

reacción vertical R a través de una carga muerta W.

Así pues, la reacción vertical en función de la carga queda del

siguiente modo:

V

donde es la longitud del brazo de la palanca en el cual se aplica la carga y el

denominador es la longitud variable del otro brazo en el cual aparece la fuerza de

reacción vertical .

Se ha supuesto que las articulaciones son visco-elásticas con constantes de

rigidez y y constantes de amortiguamiento y , por lo que los momentos

aplicados en las barras quedarían de la forma para la barra 1 y de la

forma para la barra 2.


Página | 20

Aplicando el principio de los trabajos virtuales (PTV) y denotando los

desplazamientos (rotaciones) virtuales como y obtenemos la siguiente

ecuación:

VI

Asumiendo la arbitrariedad de las coordenadas virtuales y que

nos proporciona el PTV llegamos a las siguientes dos ecuaciones diferenciales no

lineales

VII

que rigen el comportamiento dinámico del sistema. Debido a que la ley de fricción

definida en la ecuación III es una función discontinua de diferentes valores,

pueden aparecer dificultades numéricas en los cálculos. Para paliar este problema

se aproxima el coeficiente de fricción de la siguiente manera:

VIII

donde es un pequeño parámetro, .

Un análisis completamente elástico de la estructura ( ), válido

para posiciones cercanas a la solución trivial ( ), puede ser

implementado en el sistema diferencial no lineal obtenido en las ecuaciones VII.

A través de un desarrollo en serie de Taylor obtendríamos:

IX


Página | 21

Además consideramos que en todo momento, condición que se

verifica sin duda en condiciones de flutter, y que es lo suficientemente elevado

para satisfacer que . Con estas condiciones

podemos trabajar ya con una versión completamente lineal de las ecuaciones VII.

X

donde P es ahora independiente de y se obtiene de la siguiente expresión:

XI

Continuando con la linealización de la ecuación XI, buscamos las

vibraciones armónicas en el tiempo de manera que podríamos concluir que:

• la inestabilidad aleteo aparece cuando , con

XII

donde y

• la inestabilidad divergencia cuando .

Por último, expondremos las ecuaciones del sistema linealizado sin

despreciar las viscosidades, obteniendo así unas ecuaciones diferenciales lineales

del sistema visco-elástico. Estas ecuaciones son mucho más reales que las

anteriores, pues al tener en cuenta el amortiguamiento el sistema se verá frenado

por este efecto, siendo más viable una estabilidad tanto en la posición de

equilibrio como en una órbita periódica. Si bien las hipótesis referidas a las

velocidades siguen siendo las mismas cuando planteamos las ecuaciones, a saber:

en todo momento y . Sin embargo, más

adelante veremos que en casi ningún momento se cumplen estas condiciones, por

lo que procederemos a variar el modelo y explicar dichas modificaciones en la

sección 5. Las ecuaciones quedan como sigue:


Página | 22

XIII

Con estas ecuaciones esperamos obtener un análisis mucho más próximo

al que obtendríamos analizando el sistema real no lineal que el que obtendríamos

con el sistema lineal elástico despreciando las viscosidades ( ).

Longitud de las barras 100 mm

100 mm

50 mm

125 mm

Características de las articulaciones 0.189 N·m

0.189 N·m

0.006 N·m·s

0.006 N·m·s

Datos generales 1.84 gr/mm

0.61

0.47

Tabla 4.1. Valores de los parámetros del sistema.


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Bigoni llega a concluir que, en el caso de que aparezca una pequeña

desviación en la colinealidad de la fuerza seguidora aplicada con la barra en la

que ésta es aplicada, el modelo es lo suficientemente robusto respecto a esta

desviación, por lo que no se suprimen los fenómenos de inestabilidad de aleteo y

divergencia.

El análisis del sistema linealizado nos lleva a la conclusión ya conocida de

que, si bien la inestabilidad divergencia corresponde a un movimiento creciente

exponencialmente en el tiempo, la inestabilidad aleteo corresponde a una

oscilación auto-excitada en el tiempo.

Para poder comenzar con el análisis del sistema y con las simulaciones del

mismo, faltaría por elegir los valores de los diferentes parámetros que aparecen en

nuestras ecuaciones. El significado de cada parámetro ya ha sido explicado, y sus

valores vienen detallados en la Tabla 4.1.

25

5. Análisis de la estabilidad del sistema

(flutter)

En esta sección procederemos a analizar el comportamiento del sistema

cuando varía el parámetro (el contrapeso), el cual determina de forma

proporcional la magnitud de la fuerza de rozamiento tal y como se expresa en las

ecuaciones III y V de la sección 4 del presente proyecto. Para realizar dicho

análisis hacemos uso del programa de continuación AUTO, el cual ya ha sido

explicado en la sección 3. Con este programa podremos buscar el valor de para

el que la posición de equilibrio se hace inestable. A partir de ese valor de , lo

que debemos esperar según los experimentos llevados a cabo por Bigoni es una

órbita periódica en las variables de estado del sistema, sin embargo veremos que

esto no siempre ocurre según cómo modelemos el sistema.

El sistema que analizaremos consta de cuatro ecuaciones y dos grados de

libertad, por lo que en su estudio tendremos dos pares conjugados de autovalores.

Lo que esperaremos de ellos es que mientras el sistema sea estable, los dos pares

de autovalores tengan su parte real negativa (y parte imaginaria distinta de cero).

A medida que aumentemos uno de ellos deberá ir acercándose al eje

imaginario. En el momento que este par pase a la zona de parte real positiva, será

cuando el sistema se vuelva inestable en su posición de equilibrio y aparecerá la

órbita periódica estable, es decir, el flutter. Si seguimos aumentando , lo que

encontraremos será que, a partir de cierto valor, el par de autovalores con parte

real positiva comenzará a acercarse al eje real. Cuando estos dos autovalores

complejos dejen de serlo y solo tengan parte real, será el momento en el que

aparecerá la inestabilidad de divergencia. Esto ocurre para el sistema real (no

lineal) y para el sistema lineal visco-elástico, sin embargo no ocurre para el

sistema lineal sin amortiguamiento. Lo veremos con más detalle en esta sección.

Durante este apartado nos centraremos únicamente en una zona de valores

de cercana al punto donde aparece la inestabilidad (flutter), mientras que para

la aparición de la inestabilidad divergencia sería para valores mucho más altos de

.


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5.1. Análisis del sistema lineal sin amortiguamiento

Comenzaremos estudiando el sistema linealizado despreciando el

amortiguamiento o viscosidad de las articulaciones, que corresponde con las

ecuaciones X y XI de la sección 4 de este trabajo.

En primer lugar haremos uso de la ecuación XII, que nos predice un valor

para la aparición del flutter de . Usando el programa AUTO,

encontramos que la posición de equilibrio se vuelve inestable (aparición del

flutter) también a partir de . Por lo tanto ambas previsiones

coinciden.

Lo que esperábamos encontrar a partir de este punto sería una órbita

periódica tal y como sucede en los experimentos llevados a cabo por Bigoni, sin

embargo vemos claramente que no es así. Además, observamos que el sistema no

tiende a la posición de equilibrio cuando no se encuentra en ella, ni siquiera en la

zona donde la posición de equilibrio es estable. Veamos el porqué analizando la

evolución de los polos del sistema, lo cual representamos en la Figura 5.1.

Observamos que el sistema nunca es realmente estable, pues ningún polo

tiene en ningún momento su parte real negativa. Esto significa que la única forma

de que el sistema tienda a la posición de equilibrio es que se encuentre ya en ella.

Esto se debe a la eliminación del amortiguamiento, por lo que el sistema oscilaría

alrededor de la posición de equilibrio cuando se encuentre en la zona de valores

de para los que el sistema es estable.

Vemos que los cuatro polos se encuentran inicialmente en el eje

imaginario y que un par conjugado se va acercando al otro a medida que se

incrementa . El punto en el que se encuentran y pasan de ser dos pares de polos

conjugados a un solo par conjugado doble es cuando , punto en el

que la parte imaginaria de los polos vale . A partir de ese punto un par de

polos conjugados se adentra en la zona de parte real negativa y el otro par en la

zona de parte real positiva.

Es a partir de este punto cuando debería aparecer el fenómeno del flutter,

que no es otra cosa que una órbita periódica estable. Sin embargo, no encontramos

ninguna órbita periódica, si no que las oscilaciones del sistema van creciendo de

forma exponencial indefinidamente. Esto no es lo que cabría esperar, por lo que

probamos a eliminar la condición impuesta en la linealización de que la velocidad

relativa placa/rueda es siempre positiva ( ) haciendo posible un cambio en

el sentido de dicha velocidad y, por lo tanto, en el sentido de la fuerza de fricción.


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Sin embargo, a pesar de ello, sigue ocurriendo lo mismo. Por tanto, podríamos

concluir que esta diferencia con los experimentos realizados se deba a la

linealización realizada. También ocurre que el valor de hallado no se

corresponde con la realidad, ni con el obtenido más adelante con sistemas de

ecuaciones más reales que el usado en esta ocasión.

Figura 5.1. Evolución de los polos del sistema lineal despreciando la viscosidad.

Los polos del sistema son dos pares de polos conjugados. Se representa en azul la

parte imaginaria y en rojo la parte real de dichos polos.

Por todo esto procederemos a analizar también el sistema linealizado sin

despreciar la viscosidad y el sistema real para, a continuación, comparar los

resultados.

5.2. Análisis del sistema lineal visco-elástico

El sistema que analizaremos a continuación es el sistema linealizado, pero

sin despreciar la viscosidad o amortiguamiento de las articulaciones. Las

ecuaciones correspondientes son las ecuaciones XI y XIII de la sección 4 del

presente proyecto.


Página | 28

En este caso el valor de para el que la posición de equilibrio se vuelve

inestable (aparición del flutter) es de , sin embargo no encontramos

órbita periódica estable como cabría esperar. Por este motivo procedemos a

comprobar si se cumple la condición, impuesta para estas ecuaciones, de que la

velocidad relativa rueda/placa es siempre positiva ( ), resultando que no se

cumple a partir del valor de . Por tanto modificamos el modelo

de forma que se tenga en cuenta este cambio de signo.

Figura 5.2. Representación de los tres modelos para la fricción (mu en la

gráfica) en función de la velocidad relativa (Vcp en la gráfica) rueda placa. Se

representa en azul el modelo usado por Bigoni (ecuación VIII), en rojo el modelo

de la tangente hiperbólica (ecuación XV) y en verde el modelo del arco-tangente

(ecuación XVI).

Lo ideal sería una función escalón del coeficiente de rozamiento. La

podríamos obtener fácilmente multiplicando el coeficiente de rozamiento por la

función signo de la velocidad relativa,

. XIV

Sin embargo esta ecuación no es derivable por ser una función discontinua

y pueden aparecer dificultades numéricas en los cálculos, por lo que Bigoni utiliza


Página | 29

la expresión mostrada en la ecuación VIII de la sección 4. A pesar de esto, nos

encontramos con que esta expresión tampoco puede ser implementada en el

programa AUTO que estamos utilizando, por lo que barajamos otras dos opciones

que detallamos a continuación.

En la primera que tendremos en cuenta haremos uso de la ecuación

trigonométrica de la tangente hiperbólica. La expresión quedaría así:

XV

donde es un parámetro grande, . El papel de este parámetro es el

mismo que el del parámetro en el modelo de la ecuación VIII.

En la segunda opción que barajamos hacemos uso de una función parecida,

la función arco-tangente. La expresión quedaría así:

XVI

donde en un parámetro grande, . El papel de este parámetro es el

mismo que el explicado antes.

Estos valores de y han sido escogidos porque son los primeros que

hacen que su función correspondiente se aproxime más a la función XIV que la

empleada por Bigoni, tal y como podemos ver en la Figura 5.2.

En vista de esta gráfica y de los coeficientes usados para cada una de las

opciones ( y ) elegimos usar la opción de la tangente hiperbólica definida en

la ecuación XV.

Con estos cambios introducidos nos encontramos con que el valor de

para el que la posición de equilibrio se vuelve inestable no varía con respecto al

hallado antes, por lo que sigue siendo igual a . Sin embargo, ahora sí

que encontramos una órbita periódica a partir de este valor de , que es

precisamente lo que esperábamos hallar. Todo esto lo podemos ver reflejado en la

Figura 5.3.

Lo que ocurre aquí es que aparece una bifurcación de Hopf en el punto

. Así pues tenemos que, para valores de menores de

, el sistema siempre tenderá a la posición de equilibrio del sistema y

por lo tanto al reposo. Cuando sobrepasemos el valor de nos

encontraremos que, ante cualquier desviación del sistema de su posición de


Página | 30

equilibrio, el sistema tenderá a una órbita periódica estable (el llamado flutter)

cuyo tamaño irá en aumento a medida que se incrementa .

Figura 5.3. Diagrama de bifurcaciones de nuestro sistema. La línea negra

muestra la posición de equilibrio. La línea continua o discontinua indica que la

solución es estable o inestable. L2-NORM no es más que una medida del tamaño

de la órbita periódica. La línea roja nos indica la existencia de la órbita

periódica.

5.3. Análisis del sistema real (no lineal)

El sistema que usaremos ahora será el obtenido con las ecuaciones reales

sin despreciar ni linealizar nada y sin imponer ninguna condición en la velocidad

relativa entre la rueda y la placa. Estas ecuaciones corresponden a las ecuaciones

V, VII y VIII. Sin embargo, la ecuación VIII, que trata sobre el coeficiente de

fricción en función de la velocidad relativa entre la rueda y la placa, no es

implementable en el programa AUTO que estamos usando, tal y como hemos

explicado para el caso anterior. Por tanto, sustituiremos esta ecuación VIII por la

descrita anteriormente de la tangente hiperbólica, la ecuación XV, que también


Página | 31

nos permite contemplar el cambio de signo en la fuerza de rozamiento cuando

cambia el signo de la velocidad relativa entre la rueda y la placa ( ).

Con todo esto, obtenemos que para este caso el valor de para el que la

posición de equilibrio se vuelve inestable (aparición del flutter) es de ,

y dicho valor coincide con el obtenido con las ecuaciones anteriores del sistema

lineal visco-elástico. Así mismo, vemos que a partir de ese valor aparece una

órbita periódica estable, tal y como era de esperar. Podemos verlo reflejado en la

Figura 5.4.

Figura 5.4. Diagrama de bifurcaciones de nuestro sistema. La línea negra

muestra la posición de equilibrio. La línea continua o discontinua indica que la

solución es estable o inestable. L2-NORM no es más que una medida del tamaño

de la órbita periódica. La línea roja nos indica la existencia de la órbita

periódica.

En este caso, tenemos un trozo de línea roja discontinua, lo que nos indica

la existencia de una órbita periódica inestable en ese tramo. Para ver con mayor

precisión y saber lo que ocurre exactamente en ese tramo hemos aumentado el

tamaño de dicha zona, veamos la Figura 5.5.


Página | 32

Empleando las ecuaciones reales se puede observar con claridad que lo

que tenemos en el punto es una bifurcación de Hopf subcrítica.

Esto se traduce en que existe una zona de valores de para los que coexisten dos

órbitas periódicas, una estable y otra inestable, junto al equilibrio estable.

Figura 5.5. El tramo de valores de para el que aparece la órbita periódica

inestable está comprendido entre y .

Así pues, tenemos que para valores de menores de , el

sistema tenderá siempre a su posición de equilibrio y por lo tanto al reposo. Así

mismo, cuando sobrepasemos el valor de nos encontraremos que

ante cualquier desviación de la posición de equilibrio, el sistema tenderá a una

órbita periódica estable (el llamado flutter) cuyo tamaño irá en aumento a medida

que se incrementa . Sin embargo, en este caso aparece un comportamiento un

tanto peculiar en el intervalo de valores de , pues el

sistema tendrá tres comportamientos diferentes en el régimen permanente según

las condiciones iniciales. Las posibilidades son que el sistema tienda a la posición

de equilibrio y, por tanto, al reposo o bien que tienda a una órbita periódica

estable. La tercera posibilidad es que se encuentre justo en la órbita periódica

inestable, en cuyo caso el sistema se mantendría en dicha órbita hasta que


Página | 33

cualquier perturbación lo desviara de ella, provocando que se vaya o bien a la

posición de equilibrio, o bien a la órbita periódica estable.

35

6. Simulaciones

Procedemos a simular el sistema descrito mediante las ecuaciones antes

definidas. Una vez resueltas las ecuaciones podremos comparar los resultados que

obtendremos con los resultados experimentales y analíticos obtenidos por Bigoni.

Simularemos primero el sistema lineal despreciando la viscosidad, luego el

sistema lineal visco-elástico (sin despreciar la viscosidad) y por último el sistema

no lineal.

6.1. Simulación del sistema lineal sin amortiguamiento

Las ecuaciones de movimiento que debemos implementar son las

ecuaciones X mostradas en la sección 4 del presente proyecto. Para

implementarlas debemos hacer un cambio de variables y definir un sistema de

ecuaciones diferenciales tal y como se muestra a continuación.

Con el cambio de variables hecho despejamos y

de las ecuaciones X,

con lo que nos quedan:

6. Simulaciones

Página | 36

donde hemos redefinido los parámetros del sistema, que quedan definidos como

se expresa a continuación:

Recordamos que la fuerza de fricción linealizada viene dada por la

expresión detallada en la ecuación XI.

Los valores numéricos de los parámetros son los mismos que ya fueron

definidos en la Tabla 4.1 de la sección 4 y que son los usados por Bigoni en sus

experimentos y simulaciones.

Las ecuaciones junto con los parámetros han sido implementadas en varios

códigos de MATLAB, los cuales aparecen en el anexo (sección 8), junto con los

códigos del resto de sistemas de ecuaciones.

6.1.1. Simulación 1

La primera simulación que vamos a realizar se corresponde con los

siguientes parámetros y condiciones iniciales:

•

•

•

•

•

•


Página | 37

Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 6.1, la Figura 6.2 y la

Figura 6.3.

Figura 6.1. Evolución de los ángulos (azul) y (rojo) respecto al tiempo.

Figura 6.2. Posiciones de las barras cada 0.04 segundos.

6. Simulaciones

Página | 38

Se puede ver en la Figura 6.1 y la Figura 6.2 que las barras se alejan

rápidamente de la configuración de equilibrio. Si continuásemos la simulación en

el tiempo se vería que el sistema no alcanza ninguna órbita periódica, por lo que

aumentaría sin cesar la amplitud de las oscilaciones de las variables de estado.

Este hecho, además, implica que los ángulos de las barras alcanzarían valores

incompatibles con los límites físicos del montaje experimental.

Figura 6.3. Velocidad relativa entre la rueda móvil y la placa, . Nos sirve para

comprobar si se cumple la condición impuesta para estas ecuaciones de que

.

Esta situación correspondería a una situación de inestabilidad de aleteo

(flutter instability), que se corresponde plenamente con la simulación hecha por

Bigoni para este sistema en estas mismas condiciones.

De esta simulación, podemos concluir claramente que sus resultados están

bastante lejos de representar lo que ocurriría en la realidad, en este sistema y con

estas mismas condiciones. Se puede apreciar en la Figura 6.3 que a partir de cierto

momento la velocidad relativa entre la rueda y la placa ( ) se hace negativa,

violando la condición impuesta para estas ecuaciones de que , por lo que

las ecuaciones utilizadas dejarían de ser válidas a partir de ese momento, haciendo


Página | 39

que los resultados obtenidos en la Figura 6.1 y la Figura 6.2 no se correspondan

con la realidad.


Procedemos ahora a cambiar los parámetros y las condiciones iniciales de

la simulación del sistema linealizado, que quedan así:

•

•

•

•

•

•

Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 6.4, la Figura 6.5 y la

Figura 6.6.

Tal y como se puede apreciar en la Figura 6.4 y la Figura 6.5, el valor de

los ángulos de las barras aumenta rápidamente. Si continuáramos la simulación en

el tiempo veríamos que los ángulos tienden a infinito, valores obviamente

incompatibles con cualquier montaje experimental.

Esta situación correspondería a una situación de inestabilidad divergente

(divergence instability) y en realidad no se corresponde plenamente con la

simulación hecha por Bigoni para este sistema y en estas mismas condiciones. Se

da el caso de que, para que coincida totalmente, hemos tenido que disminuir el

valor de hasta un valor de en lugar de como Bigoni utiliza para

esta simulación. Esto es curioso, pues en la otra simulación no se da esta

discordancia, podría deberse a que los errores cometidos en los cálculos se hagan

muy grandes como consecuencia de las altas velocidades que se alcanzan en esta

simulación entre la rueda y la placa ( ).

6. Simulaciones

Página | 40




Página | 41

Figura 6.6. Velocidad relativa entre la rueda móvil y la placa, . Nos sirve para

comprobar si se cumple la condición impuesta para estas ecuaciones de que

.

Como en la simulación anterior, en esta podemos concluir claramente que

sus resultados están bastante lejos de representar lo que ocurriría en la realidad en

este sistema con estas condiciones. Se puede apreciar en la Figura 6.6 que, a partir

de cierto momento, la velocidad relativa entre la rueda y la placa ( ) se hace

negativa, violando la condición impuesta para estas ecuaciones de . Por lo

que las ecuaciones utilizadas dejarían de ser válidas a partir de ese momento,

haciendo que los resultados obtenidos y representados en la Figura 6.4 y la Figura

6.5 no se correspondan con la realidad.

6. Simulaciones

Página | 42

6.2. Simulación del sistema lineal visco-elástico

En vista de los resultados poco convincentes obtenidos en las simulaciones

del sistema lineal elástico (despreciando la viscosidad o amortiguamiento de las

articulaciones, ), se ha procedido a la simulación del sistema de

ecuaciones linealizadas sin despreciar la viscosidad de las articulaciones. Las

ecuaciones de movimiento que debemos implementar son las ecuaciones XIII

mostradas en la sección 4. Para ello debemos hacer un cambio de variables y

definimos un sistema de ecuaciones diferenciales tal y como se muestra a

continuación.


de las ecuaciones

XIII, con lo que nos quedan:




Página | 43

Recordamos que la fuerza de fricción linealizada viene dada por la

expresión detallada en la ecuación XI.

Los valores numéricos de los parámetros son los mismos que ya fueron

definidos en la Tabla 4.1 de la sección 4 y que son los usados por Bigoni en sus

experimentos y simulaciones.

Las ecuaciones, junto con los parámetros, han sido implementadas en

varios códigos de MATLAB, los cuales aparecen en el anexo (sección 8), junto

con los códigos del resto de sistemas de ecuaciones.

Para las simulaciones de estas ecuaciones hacemos un pequeño cambio en

el coeficiente de fricción respecto a la expresión usada de la tangente hiperbólica

(ecuación XV) en el estudio de la sección 5. En lugar de la expresión mencionada

usaremos directamente la función signo (ecuación XIV), puesto que en MATLAB

sí que se puede implementar dicha expresión. Por lo tanto, al introducir este

cambio hemos eliminado la condición impuesta de que .




•

•

•

•

•

•

Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 6.7 y la Figura 6.8.

6. Simulaciones

Página | 44

Se puede apreciar claramente en la Figura 6.7 que el sistema tiende a

desestabilizarse en el tiempo y que se producen oscilaciones. Y también se

observa cómo las amplitudes de los ángulos van aumentando hasta alcanzar el

régimen permanente, es decir, la órbita periódica estable. Se observa que esto

ocurre poco a poco, de forma oscilatoria y no bruscamente, y, por lo tanto, se trata

de una situación de flutter.




Página | 45

Si comparamos estos resultados con los obtenidos en las simulaciones

hechas por Bigoni, con las ecuaciones no lineales para estas mismas condiciones,

podemos ver que coinciden bastante bien.


Procedemos ahora a cambiar los parámetros y las condiciones iniciales de

la simulación del sistema linealizado visco-elástico, que quedan así:

•

•

•

•

•

•

Y mostramos a continuación la Figura 6.9 y la Figura 6.10 con los

resultados obtenidos para estas condiciones.

Al comparar estos resultados con los obtenidos por Bigoni, para el sistema

no lineal para estas mismas condiciones, podemos observar que coinciden

bastante.

Podemos ver en la Figura 6.9 y la Figura 6.10 como se alcanza

rápidamente el régimen estacionario, sin oscilaciones previas en las amplitudes de

las órbitas. O lo que es lo mismo, vemos que la amplitud del movimiento se

incrementa exponencialmente. Por lo tanto, esta situación se corresponde con una

situación de inestabilidad divergente (divergence instability). Si comparamos

estas simulaciones con las llevadas a cabo para el sistema no lineal, podemos

concluir que el comportamiento de ambos sistemas no difiere de forma apreciable.

Sin embargo, tal y como hemos analizado el sistema en la sección 5, se

supone que no debe coexistir ninguna órbita periódica con el tramo final de

valores de para los que el sistema es estable alrededor de la posición de

equilibrio. Por este motivo realizamos otra simulación y así dejamos comprobado

que se cumple este comportamiento.

6. Simulaciones

Página | 46




Página | 47


Procedemos entonces a cambiar los parámetros y las condiciones iniciales

de la simulación del sistema linealizado visco-elástico, que quedan así:

•

•

•

•

•

•

Figura 6.11. Representación de la amplitud de las oscilaciones de los ángulos

(azul) y (rojo) respecto al tiempo.

Y mostramos en la Figura 6.11 la representación gráfica de los resultados

obtenidos para estas condiciones. Se puede observar en dicha figura que las

6. Simulaciones

Página | 48

amplitudes de las órbitas de los ángulos van disminuyendo progresivamente,

tendiendo nuestro sistema al reposo en la posición de equilibrio.

Por lo tanto, tal y como se predijo anteriormente en la sección 5, se cumple

que nuestro sistema tiende a la posición de equilibrio con estas condiciones

iniciales y este contrapeso . Sin embargo, veremos después que el sistema no

lineal tenderá a la órbita periódica esperada, también según el análisis de la

sección 5. Así pues, encontramos que esta será la principal diferencia apreciable

de importancia entre el sistema lineal visco-elástico y el sistema no lineal.

6.3. Simulación del sistema real (no lineal)

Las ecuaciones de movimiento que debemos implementar son las

ecuaciones VII. Para ello debemos hacer un cambio de variables y definimos un

sistema de ecuaciones diferenciales tal y como se muestra a continuación.


de las ecuaciones

VII, con lo que nos quedan:


Página | 49



Recordamos que la fuerza de fricción viene dada por las expresiones

detalladas en las ecuaciones III y V.

Las ecuaciones junto con los parámetros han sido implementadas en varios

códigos de MATLAB que se incluyen en el anexo (sección 8).

Para las simulaciones de estas ecuaciones hacemos un pequeño cambio en

el coeficiente de fricción respecto a la expresión usada de la tangente hiperbólica

(ecuación XV) en el estudio de la sección 5. En lugar de la expresión mencionada

usaremos directamente la ecuación XIV, puesto que en MATLAB sí que se puede

implementar dicha expresión.




•

•

•

6. Simulaciones

Página | 50

•

•

•

Los resultados obtenidos para estas condiciones se muestran a

continuación en la Figura 6.12 y la Figura 6.13.


Se observa en ambas figuras que el sistema tiende a desestabilizarse en el

tiempo y que se producen oscilaciones. Vemos además, que las amplitudes de las

oscilaciones van aumentando progresivamente, o lo que es lo mismo, la amplitud

del movimiento crece de manera oscilatoria. Por lo tanto, esta situación

corresponde a una situación de inestabilidad de aleteo (flutter instability) y,

además, se corresponde con la simulación hecha por Bigoni, para este sistema con

estas mismas condiciones. Además, los resultados también se corresponden con la

simulación hecha con el sistema lineal visco-elástico para estas mismas

condiciones, variando, única y ligeramente, en el tamaño de las amplitudes de las

órbitas de las variables de estado.


Página | 51



Procedemos a cambiar los parámetros y las condiciones iniciales de la

simulación, que quedan así:

•

•

•

•

•

•

Los resultados obtenidos para estas condiciones se muestran a

continuación en la Figura 6.14 y la Figura 6.15.

En ambas figuras se puede apreciar como las amplitudes alcanzan

rápidamente su régimen estacionario. Se observa, claramente, que la amplitud del

movimiento se incrementa de manera exponencial. Por lo tanto, esta simulación

correspondería con una situación de inestabilidad divergente (divergence

instability) y se puede afirmar que se corresponde con la simulación hecha por

Bigoni para estas condiciones. Además, los resultados también se corresponden

con la simulación hecha con el sistema lineal visco-elástico para estas mismas

6. Simulaciones

Página | 52

condiciones, variando, única y ligeramente, en el tamaño de las amplitudes de las

órbitas de las variables de estado.




Página | 53


Aquí incluiremos dos simulaciones, con las que se pretende comprobar

que existe un tramo de valores de en el que se puede dar una estabilidad

alrededor de la posición de equilibrio y una estabilidad alrededor de una órbita

periódica. Esto lo analizamos ya en la sección 5 y ahora sólo lo comprobaremos

con simulaciones.



Con la primera simulación comprobaremos que el sistema tiende al reposo

alrededor de la posición de equilibrio, para lo que realizaremos una simulación

con los siguientes valores de los parámetros.

•

•

•

•

6. Simulaciones

Página | 54

•

•

Y mostramos en la Figura 6.16 los resultados obtenidos para estas

condiciones.

En esta figura se observa claramente cómo las amplitudes de las

oscilaciones van disminuyendo y tienden a cero, por lo que se confirma que existe

equilibrio estable alrededor de la posición de equilibrio, partiendo de estas

condiciones iniciales y usando este valor del contrapeso .

Ahora cambiamos los parámetros buscando que el sistema tienda a la

órbita periódica que antes encontramos y que supuestamente debe existir. Las

nuevas condiciones serían las siguientes.

•

•

•

•

•

•

Y mostramos a continuación la Figura 6.17 y la Figura 6.18 con los

resultados obtenidos para estas condiciones.

En los resultados representados en ambas figuras, podemos ver que el

sistema se mantiene alejado de la posición de equilibrio, oscilando alrededor de

ella. Claramente el sistema tiende a una órbita periódica, que correspondería con

una situación de inestabilidad de aleteo (flutter instability).

Además, como ya se ha dicho, para el valor de utilizado, se puede dar

también el comportamiento de estabilidad alrededor de la posición de equilibrio.

La tendencia del sistema hacia un comportamiento u otro dependerá,

fundamentalmente, de las condiciones iniciales del sistema ( y )

y, en parte, del valor exacto que usemos para el contrapeso . Por lo tanto, queda

demostrada la existencia de un tramo de valores de para el que coexiste el

equilibrio con una órbita periódica estable, tal y como se predijo en la sección 5.3.


Página | 55




57

7. Conclusiones

En este trabajo se ha buscado estudiar el comportamiento de la columna de

Ziegler (Ziegler 1953 y 1977) [2] y [3], así como demostrar la posibilidad de que

aparezcan las inestabilidades de aleteo (flutter) y divergencia, inducidas por

fricción seca, en sistemas mecánicos. Dicha demostración se consigue gracias a

los resultados obtenidos de los análisis y simulaciones llevadas a cabo. De todo

esto se extraen diferentes conclusiones que se detallan a continuación.

Al llevar a cabo la continuación numérica de las ecuaciones de nuestro

sistema, queda demostrada la existencia de una bifurcación de Hopf subcrítica.

Dicha bifurcación no viene predicha por el sistema lineal (ni por el elástico ni por

el visco-elástico), si no solamente por el sistema real sin linealizar.

Queda pues, demostrada la existencia de las inestabilidades de aleteo

(flutter) y divergencia, inducidas por fricción en sistemas mecánicos. Esto queda

demostrado a través de la bifurcación de Hopf encontrada en el sistema lineal

visco-elástico y en el sistema real, así como con las simulaciones llevadas a cabo

de dichos sistemas. No se encuentra dicha bifurcación en el sistema lineal elástico

(despreciando la viscosidad).

Viendo los resultados obtenidos de los análisis y simulaciones de los tres

sistemas (lineal elástico, lineal visco-elástico y real no lineal), se concluye que el

primero de ellos no representa fielmente lo que ocurre, realmente, en el sistema no

lineal. En primer lugar, no coincide en el valor del contrapeso para el que el

sistema se vuelve inestable e, incluso, difiere en el hecho de que ni siquiera se da

el fenómeno del flutter. Aunque el sistema se vuelve inestable en su posición de

equilibrio a partir de cierto valor del contrapeso , no existe ninguna órbita

periódica a partir de dicho valor. Además, en los resultados obtenidos de las

simulaciones, se observa que una de las condiciones impuestas para dicho sistema

( ) deja de cumplirse poco después de iniciarse las simulaciones. Por lo

tanto, es obvio que el sistema lineal elástico se aleja demasiado de la realidad

como para que sirva de comparación con el sistema real.

Al contrario de lo que ocurre en el sistema lineal elástico, en el lineal

visco-elástico si se predice con exactitud el valor del contrapeso , coincidiendo

7. Conclusiones

Página | 58

con el sistema real, para el que aparece la inestabilidad de la configuración de

equilibrio (aparición del flutter). Sin embargo, falla al predecir, respecto al

sistema real, cómo es la bifurcación de Hopf existente, pues la bifurcación

encontrada no es subcrítica, si no degenerada.

La otra diferencia apreciable, entre el sistema lineal visco-elástico y el

sistema real, se halla en que difieren las amplitudes de las órbitas periódicas. No

se aprecia variación alguna en el período de oscilación de un sistema al otro. Esto

se debe, fundamentalmente, a que la linealización se ha hecho alrededor de la

configuración de equilibrio, por lo que cuanto más se aleje el sistema de esta

posición, mayor será el error cometido. Aparte de estas dos diferencias

mencionadas, se puede concluir que el sistema lineal visco-elástico refleja con

exactitud el comportamiento del sistema real.

59

8. Anexo

En este anexo detallaremos los códigos usados para analizar y simular

nuestro sistema en los programas AUTO y MATLAB respectivamente.

8.1. Códigos del programa AUTO

Estos son los códigos usados en el programa AUTO para el sistema lineal

sin amortiguamiento (despreciando la viscosidad de las articulaciones), el sistema

lineal visco-elástico (sin despreciar la viscosidad de las articulaciones) y el

sistema real (no lineal) respectivamente.

8.1.1. Sistema lineal sin amortiguamiento

•Nombre del fichero: big.f90

!-------------------------------------------------------------

! bigonilineal.f90 - sistema de Bigoni

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE FUNC(NDIM,U,ICP,PAR,IJAC,F,DFDU,DFDP)

!--------- ----

! Evaluates the algebraic equations or ODE right hand side

! Input arguments :

! NDIM : Dimension of the algebraic or ODE system

! U : State variables

! ICP : Array indicating the free parameter(s)

! PAR : Equation parameters

! Values to be returned :

! F : Equation or ODE right hand side values

IMPLICIT NONE

INTEGER, INTENT(IN) :: NDIM, IJAC, ICP(*)

DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: U(NDIM), PAR(*)

DOUBLE PRECISION, INTENT(OUT) :: F(NDIM)

8. Anexo

Página | 60

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) ::

DFDU(NDIM,NDIM),DFDP(NDIM,*)

DOUBLE PRECISION x1, x2, x3, x4, W, mu, ro, L1, L2, L3, Vp

DOUBLE PRECISION K0, k1, k2, Beta0, beta1, beta2, long1,

long2

!definición de variables

x1 = U(1)

x2 = U(2)

x3 = U(3)

x4 = U(4)

!definición de los parámetros

W = PAR(1)

Vp = PAR(2)

mu = PAR(3)

ro = PAR(4)

long1 = PAR(5)

long2 = PAR(6)

k1 = PAR(7)

k2 = PAR(8)

beta1 = PAR(9)

beta2 = PAR(10)

L1 = ro * (long1**2) * (long1 + 3*long2)/3

L2 = ro * long1 * (long2**2)/2

L3 = ro * (long2**3)/3

K0 = k1 + k2

Beta0 = beta1 + beta2

!P = mu * (0.125*W/(0.05 + long1*cos(x1) + long2*cos(x2)))

!P, fuerza de rozamiento

!definición de las ecuaciones

F(1) = x3 !velocidad angular barra 1


F(3) = (- k2*(x1-x2)*L2 &

- L3*K0*x1 + L3*k2*x2 &

+ L3*long1 * mu &

* (0.125*W / (0.05 + long1 + long2)) * (x1-x2)) &

/ (L1*L3 - (L2**2))

F(4) = (-L2*F(3) + k2*(x1-x2)) / L3

END SUBROUTINE FUNC

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE STPNT(NDIM,U,PAR,T)

!--------- -----

! Input arguments :



Página | 61


! U : A starting solution vector

! PAR : The corresponding equation-parameter values

IMPLICIT NONE

INTEGER, INTENT(IN) :: NDIM

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) :: U(NDIM),PAR(*)

DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: T

! Initialize the equation parameters

PAR(1) = 15. !W N

PAR(2) = 0.075 !Vp m/s

PAR(3) = 0.47 !mu

PAR(4) = 1.84 !ro kg/m

PAR(5) = 0.1 !long1 m

PAR(6) = 0.1 !long2 m

PAR(7) = 0.189 !k1 Nm

PAR(8) = 0.189 !k2 Nm

PAR(9) = 0.006 !beta1

PAR(10) = 0.006 !beta2

! Initialize the solution

U(1) = 0.

U(2) = 0.

U(3) = 0.

U(4) = 0.

END SUBROUTINE STPNT

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE BCND(NDIM,PAR,ICP,NBC,U0,U1,FB,IJAC,DBC)

!--------- ----

IMPLICIT NONE

INTEGER, INTENT(IN) :: NDIM, ICP(*), NBC, IJAC

DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: PAR(*), U0(NDIM), U1(NDIM)

DOUBLE PRECISION, INTENT(OUT) :: FB(NBC)

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) :: DBC(NBC,*)

END SUBROUTINE BCND

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE

ICND(NDIM,PAR,ICP,NINT,U,UOLD,UDOT,UPOLD,FI,IJAC,DINT)

!--------- ----

IMPLICIT NONE

INTEGER, INTENT(IN) :: NDIM, ICP(*), NINT, IJAC

DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: PAR(*)

8. Anexo

Página | 62

DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: U(NDIM), UOLD(NDIM),

UDOT(NDIM), UPOLD(NDIM)

DOUBLE PRECISION, INTENT(OUT) :: FI(NINT)

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) :: DINT(NINT,*)

END SUBROUTINE ICND

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE FOPT(NDIM,U,ICP,PAR,IJAC,FS,DFDU,DFDP)

!--------- ----

IMPLICIT NONE

INTEGER, INTENT(IN) :: NDIM, ICP(*), IJAC


DOUBLE PRECISION, INTENT(OUT) :: FS

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) :: DFDU(NDIM),DFDP(*)

END SUBROUTINE FOPT

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE PVLS(NDIM,U,PAR)

!--------- ----

IMPLICIT NONE


DOUBLE PRECISION, INTENT(IN) :: U(NDIM)

DOUBLE PRECISION, INTENT(INOUT) :: PAR(*)

!-------------------------------------------------------------

END SUBROUTINE PVLS

!-------------------------------------------------------------

•Nombre del fichero: c.big

NDIM= 4, IPS = 1, IRS = 0, ILP = 1

ICP = [1]

NTST= 15, NCOL= 4, IAD = 3, ISP = 1, ISW = 1, IPLT= 0,

NBC= 0, NINT= 0

NMX= 99000, NPR= 99000, MXBF= 10, IID = 2, ITMX= 8, ITNW=

5, NWTN= 3, JAC= 0

EPSL= 1e-08, EPSU = 1e-08, EPSS = 1e-06

DS = 0.001, DSMIN= 1e-09, DSMAX= 0.01, IADS= 1

NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZSTOP = {1: 25.}


Página | 63

•Nombre del fichero: c.01b

NDIM= 4, IPS = 2, IRS = 2, ILP = 1

ICP = [1,11]


NBC= 0, NINT= 0

NMX= 20000, NPR= 190000, MXBF= 10, IID = 2, ITMX= 8,

ITNW= 5, NWTN= 3, JAC= 0


DS = 0.01, DSMIN= 1e-08 DSMAX= 0.1, IADS= 1

NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZSTOP = {1: -40.}

8. Anexo

Página | 64

8.1.2. Sistema lineal visco-elástico


!-------------------------------------------------------------

! bigonilinealviscoso.f90 - sistema de Bigoni

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----


! Input arguments :







IMPLICIT NONE






DOUBLE PRECISION x1, x2, x3, x4, W, mu, ro, L1, L2, L3, Vp,

vcp


long2


x1 = U(1)

x2 = U(2)

x3 = U(3)

x4 = U(4)


W = PAR(1)

Vp = PAR(2)

mu = PAR(3)

ro = PAR(4)

long1 = PAR(5)

long2 = PAR(6)

k1 = PAR(7)

k2 = PAR(8)

beta1 = PAR(9)

beta2 = PAR(10)



Página | 65

L2 = ro * long1 * (long2**2)/2

L3 = ro * (long2**3)/3

K0 = k1 + k2




vcp = Vp*cos(x2) - long1*x3*sin(x1-x2)




F(3) = ( -k2*(x1-x2)*L2 &

- beta2*(x3-x4)*L2 &

- L3*K0*x1 + L3*k2*x2 - L3*Beta0*x3 &

+ L3*beta2*x4 &

+ L3*long1 * mu *dtanh(1.e06*vcp) &

* (0.125*W / (0.05 + long1 + long2)) * (x1-x2)) &

/ (L1*L3 - (L2**2))

F(4) = (-L2*F(3) + k2*(x1-x2) + beta2*(x3-x4)) / L3

END SUBROUTINE FUNC

!-------------------------------------------------------------


!--------- -----

! Input arguments :





IMPLICIT NONE





PAR(1) = 1. !W N

PAR(2) = 0.075 !Vp m/s

PAR(3) = 0.47 !mu

PAR(4) = 1.84 !ro kg/m

PAR(5) = 0.1 !long1 m

PAR(6) = 0.1 !long2 m

PAR(7) = 0.189 !k1 Nm

PAR(8) = 0.189 !k2 Nm

PAR(9) = 0.006 !beta1

PAR(10) = 0.006 !beta2

8. Anexo

Página | 66


U(1) = 0.

U(2) = 0.

U(3) = 0.

U(4) = 0.


!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE





END SUBROUTINE BCND

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE


!--------- ----

IMPLICIT NONE







END SUBROUTINE ICND

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE





END SUBROUTINE FOPT


Página | 67

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE




!-------------------------------------------------------------

END SUBROUTINE PVLS

!-------------------------------------------------------------


NDIM= 4, IPS = 1, IRS = 0, ILP = 1

ICP = [1]


NBC= 0, NINT= 0


5, NWTN= 3, JAC= 0



NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZSTOP = {1: 40.}


NDIM= 4, IPS = 2, IRS = 2, ILP = 1

ICP = [1,11]


NBC= 0, NINT= 0


5, NWTN= 3, JAC= 0



NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZR = {1:[15.,16.,17.,18.,19.,20.]}

UZSTOP = {1: 20.}

8. Anexo

Página | 68

8.1.3. Sistema real (no lineal)


!-------------------------------------------------------------

! bigoni.f90 - sistema de Bigoni

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----


! Input arguments :







IMPLICIT NONE






DOUBLE PRECISION x1, x2, x3, x4, W, mu, ro, L1, L2, L3, Vp,

vcp


long2


x1 = U(1)

x2 = U(2)

x3 = U(3)

x4 = U(4)


W = PAR(1)

Vp = PAR(2)

mu = PAR(3)

ro = PAR(4)

long1 = PAR(5)

long2 = PAR(6)

k1 = PAR(7)

k2 = PAR(8)

beta1 = PAR(9)

beta2 = PAR(10)



Página | 69

L2 = ro * long1 * (long2**2)/2

L3 = ro * (long2**3)/3

K0 = k1 + k2




vcp = Vp*cos(x2) - long1*x3*sin(x1-x2)




F(3) = (-L2**2*sin(x1-x2)*cos(x1-x2)*x3**2 &

- k2*(x1-x2)*L2*cos(x1-x2) &

- beta2*(x3-x4)*L2*cos(x1-x2) &

- L2*L3*sin(x1-x2)*x4**2 &

- L3*K0*x1 + L3*k2*x2 - L3*Beta0*x3 &

+ L3*beta2*x4 &

+ L3*long1 * mu*dtanh(5.e01*vcp) &

* (0.125*W / (0.05 + long1*cos(x1) +

long2*cos(x2))) * sin(x1-x2)) &

/ (L1*L3 - (L2**2)*(cos(x1-x2)**2))

F(4) = (-L2*cos(x1-x2)*F(3) + L2*sin(x1-x2)*x3**2 &

+ k2*(x1-x2) + beta2*(x3-x4)) / L3

END SUBROUTINE FUNC

!-------------------------------------------------------------


!--------- -----

! Input arguments :





IMPLICIT NONE





PAR(1) = 1. !W N

PAR(2) = 0.075 !Vp m/s

PAR(3) = 0.47 !mu

PAR(4) = 1.84 !ro kg/m

PAR(5) = 0.1 !long1 m

PAR(6) = 0.1 !long2 m

PAR(7) = 0.189 !k1 Nm

PAR(8) = 0.189 !k2 Nm

PAR(9) = 0.006 !beta1

8. Anexo

Página | 70

PAR(10) = 0.006 !beta2


U(1) = 0.

U(2) = 0.

U(3) = 0.

U(4) = 0.


!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE





END SUBROUTINE BCND

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE


!--------- ----

IMPLICIT NONE







END SUBROUTINE ICND

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE






Página | 71

END SUBROUTINE FOPT

!-------------------------------------------------------------


!--------- ----

IMPLICIT NONE




!-------------------------------------------------------------

END SUBROUTINE PVLS

!-------------------------------------------------------------


NDIM= 4, IPS = 1, IRS = 0, ILP = 1

ICP = [1]


NBC= 0, NINT= 0


5, NWTN= 3, JAC= 0



NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZSTOP = {1: 50.}


NDIM= 4, IPS = 2, IRS = 2, ILP = 1

ICP = [1,11]


NBC= 0, NINT= 0


5, NWTN= 3, JAC= 0



NPAR = 9, THL = {11: 0.0}, THU = {}

UZR = {1:[14.1,15.,16.,17.,18.,19.,20.]}

UZSTOP = {1: 100.}

8. Anexo

Página | 72

8.2. Códigos del programa MATLAB

Estos son los códigos usados en el programa MATLAB para el sistema

linealizado elástico (despreciando la viscosidad de las articulaciones), el sistema

linealizado visco-elástico (sin despreciar la viscosidad de las articulaciones) y el

sistema real respectivamente.

En los tres casos el archivo que se ejecuta es el primero, siendo el segundo

una función donde se incluyen las ecuaciones del sistema.

8.2.1. Sistema lineal sin amortiguamiento

bigonilineal.m

Este primer archivo es el que debemos ejecutar, el segundo es una función

creada por mí que se usa en este archivo.

%bigonilineal.m clear all close all

% parámetros W = 55 %[N] contrapeso Vp= 0.05 %[m/s] velocidad de la placa ro=1.84; %[kg/m] l1=0.1; %[m] l2=0.1; %[m] k1=0.189; %[N·m] k2=0.189; %[N·m] beta1=0.006; %[N·m·s] beta2=0.006; %[N·m·s] ls=0.125; %[m] lf=0.05; %[m] muD=0.47; %coeficiente de rozamiento dinámico muS=0.61; %coeficiente de rozamiento estático eps=10^-5; %epsilon, para definir el coeficiente de rozamiento

cuando Vcp es pequeña A=10^6; %parámetro para tanh, para definir el coeficiente de

rozamiento cuando Vcp es pequeña según la función de tanh B=10^7; %parámetro para arctan, para definir el coeficiente de

rozamiento cuando Vcp está próxima a cero

%coeficientes de las ecuaciones L1=ro*(l1^2)*(l1+3*l2)/3; L2=ro*l1*l2^2/2; L3=ro*l2^3/3; K0=k1+k2; Beta0=beta1+beta2;


Página | 73

%intervalo de integración t0 = 0; tf = 0.2 %[seg]

%condiciones iniciales x0(1,1) = -0.5*pi/180; %alfa1 x0(2,1) = -0.5*pi/180; %alfa2 x0(3,1) = 0; %omega1 x0(4,1) = 0; %omega2

%----------------------------------------------------------------- %integración de las ecuaciones lineales [t x]=ode45(@bigonilinealdif, [t0 tf], x0, [], W, Vp, L1, L2, L3,

K0, Beta0, l1, l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A ,B); N=length(t);

%velocidad radial (axial respecto a la barra) relativa de la rueda

respecto a la placa Vcp=Vp*cos(x(:,2))-l1*x(:,3).*sin(x(:,1)-x(:,2));

%coeficiente de rozamiento mu=[]; R=[]; lambda=1.6; %[s/m] pendiente del coeficiente de fricción for i=1:N mu(i,1)=muD*sign(Vcp(i))+lambda*Vcp(i); R(i,1)=ls*W/(lf+l1*cos(x(i,1))+l2*cos(x(i,2))); %[N] end

%fuerza de rozamiento P=mu.*R;

%----------------------------------------------------------------- %gráficas de los ángulos respecto al tiempo

figure(1) hold on plot(t(:,1),x(:,1)*180/pi)%;grid %alfa1

% figure(2) plot(t(:,1),x(:,2)*180/pi,'r');grid %alfa2 xlabel('Tiempo [seg]') xlim([0 t(N)]) % ylim([-60 60]) % ylim([-max(abs(x(:,1)*180/pi))-5 max(abs(x(:,1)*180/pi))+5]) ylim([-max(abs(x(:,2)*180/pi))-5 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5])

title('Evolución de alfa1 y alfa2 en el tiempo') ylabel('alfa [grados]') legend('alfa1','alfa2')

8. Anexo

Página | 74

%bucle para cada posición

% [Y,I]=max(abs(x(:,2))); % I=t(N)/8; %tiempo entre representaciones I=0.04; %tiempo entre representaciones i=1; j(1)=1; k=2;

while i<=N if t(i)>=I*k-I j(k)=i; k=k+1; end i=i+1; end

%-----------------------------------------------------------------

%representación de la velocidad relativa de la rueda sobre la

placa móvil figure(6) hold on plot(t(:,1), Vcp(:,1), 'g');grid % plot([0 t(N)], [Vp Vp], 'k') title('Evolución de la velocidad relativa de la rueda sobre la

placa móvil') xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Vcp [m/s]') % legend('Vcp','Vp') xlim([0 t(N)]) % vel=l1*sin(x(:,1)-x(:,2)).*x(:,3)./cos(x(:,2)); % plot(t(:,1),vel(:,1),'r') % legend('Vcp','Vp','l1*sin(x1-x2)*x3/cos(x2)')

figure (7) hold on plot(0,0,'k^');grid for k=1:length(j) plot(t(j(k)),0,'k^') plot([t(j(k)) t(j(k))+l1*sin(x(j(k),1))],[0

l1*cos(x(j(k),1))],'r') plot(t(j(k))+l1*sin(x(j(k),1)),l1*cos(x(j(k),1)),'ko') plot([t(j(k))+l1*sin(x(j(k),1))

t(j(k))+l1*sin(x(j(k),1))+l2*sin(x(j(k),2))],[l1*cos(x(j(k),1))

l1*cos(x(j(k),1))+l2*cos(x(j(k),2))],'r') % ylim([0 0.25]) end


Página | 75

plot(t(N),0,'k^') plot([t(N) t(N)+l1*sin(x(N,1))],[0 l1*cos(x(N,1))],'r') plot(t(N)+l1*sin(x(N,1)),l1*cos(x(N,1)),'ko') plot([t(N)+l1*sin(x(N,1))

t(N)+l1*sin(x(N,1))+l2*sin(x(N,2))],[l1*cos(x(N,1))

l1*cos(x(N,1))+l2*cos(x(N,2))],'r')

axis equal % xlim([-I t(N)+I]) xlim([-I t(N)+0.15]) ylim([-0.05 0.25]) xlabel('Tiempo [seg]')

bigonilinealdif.m

En este fichero es donde hemos creado una función que incluye las

ecuaciones diferenciales del sistema.

%bigonilinealdif %función que incluye las ecuaciones diferenciales linealizadas del

sistema function xdot=bigonilinealdif(t, x, W, Vp, L1, L2, L3, K0, Beta0,

l1, l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A, B)

%fuerza de reacción en la rueda % R=ls*W/(lf+l1*cos(x(1,1))+l2*cos(x(2,1))); %[N] fuerza de

reacción completa R=ls*W/(lf+l1+l2); %[N] fuerza de reacción despreciando alfa1 y

alfa2


respecto a la placa Vcp=Vp*cos(x(2,1))-l1*x(3,1)*sin(x(1,1)-x(2,1));

%coeficiente de rozamiento mu=muD; % mu=muD*sign(Vcp); % mu=muBig(x, Vp, l1, muD, muS, eps); % mu=muD*tanh(A*Vcp); % mu=muD*2*atan(B*Vcp)/pi;

%fuerza de rozamiento P=mu*R;

%sistema de ecuaciones diferenciales xdot(1,1)=x(3,1); xdot(2,1)=x(4,1); xdot(3,1)=(-k2*(x(1,1)-x(2,1))*L2-

L3*K0*x(1,1)+L3*k2*x(2,1)+L3*l1*P*(x(1,1)-x(2,1)))/(L1*L3-L2^2); xdot(4,1)=(-L2*xdot(3,1)+k2*(x(1,1)-x(2,1)))/L3;

8. Anexo

Página | 76

8.2.2. Sistema lineal visco-elástico

bigonilinealviscoso.m



%bigonilinealviscoso.m clear all close all

% parámetros W = 14.12 %[N] contrapeso Vp= 0.05 %[m/s] velocidad de la placa ro=1.84; %[kg/m] l1=0.1; %[m] l2=0.1; %[m] k1=0.189; %[N·m] k2=0.189; %[N·m] beta1=0.006; %[N·m·s] beta2=0.006; %[N·m·s] ls=0.125; %[m] lf=0.05; %[m] muD=0.47; %coeficiente de rozamiento dinámico muS=0.61; %coeficiente de rozamiento estático eps=10^-5; %epsilon, para definir el coeficiente de rozamiento





%intervalo de integración t0 = 0; tf = 300 %[seg]

%condiciones iniciales x0(1,1) = 30.5*pi/180; %alfa1 x0(2,1) = 20.5*pi/180; %alfa2 x0(3,1) = 0; %omega1 x0(4,1) = 0; %omega2

%----------------------------------------------------------------- %integración de las ecuaciones lineales


Página | 77

[t x]=ode45(@bigonilinealviscosodif, [t0 tf], x0, [], W, Vp, L1,

L2, L3, K0, Beta0, l1, l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A,

B); N=length(t);


respecto a la placa Vcp=Vp*cos(x(:,2))-l1*x(:,3).*sin(x(:,1)-x(:,2)); %----------------------------------------------------------------- %gráficas de los ángulos respecto al tiempo


% figure(2) plot(t(:,1),x(:,2)*180/pi,'r');grid %alfa2 xlabel('Tiempo [seg]') xlim([0 t(N)]) % ylim([-60 60]) ylim([-max(abs(x(:,2)*180/pi))-5 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5])


%bucle para cada posición

% [Y,I]=max(abs(x(:,2))); % I=t(N)/8; %tiempo entre representaciones I=0.04; %tiempo entre representaciones i=1; j(1)=1; k=2;


%-----------------------------------------------------------------


placa móvil figure(6) hold on plot(t(:,1), Vcp(:,1), 'g');grid plot([0 t(N)], [Vp Vp], 'k')

8. Anexo

Página | 78

title('Evolución de la velocidad relativa de la rueda sobre la

placa móvil') xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Vcp [m/s]') xlim([0 t(N)])

%-------------------------------------- %representación de la amplitud de las oscilaciones figure(8) hold on grid

%blucle para buscar los máximos de alfa1 cont1=0; pun1=[]; for p1=2:N if x(p1-1,3)>0 && x(p1,3)<0 cont1=cont1+1; pun1(cont1)=p1; elseif x(p1-1,3)<0 && x(p1,3)>0 cont1=cont1+1; pun1(cont1)=p1; end end


plot(t(pun1),abs(x(pun1,1)*180/pi)) plot(t(pun2),abs(x(pun2,2)*180/pi),'r') % plot(t(1),x(1,1)*180/pi) % plot(t(1),x(1,2)*180/pi,'r')

title('Evolución de las amplitudes de alfa1 y alfa2') xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Amplitdud de alfa [grados]') xlim([0 t(N)])


Página | 79

ylim([0 0.7]) ylim([0 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5])

% ylim([-max(abs(x(:,2)*180/pi))-5 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5]) legend('alfa1','alfa2')

bigonilinealviscosodif.m



%bigonilinealviscosodif %función que incluye las ecuaciones diferenciales linealizadas del

sistema function xdot=bigonilinealviscosodif(t, x, W, Vp, L1, L2, L3, K0,

Beta0, l1, l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A, B)

%fuerza de reacción en la rueda % R=ls*W/(lf+l1*cos(x(1,1))+l2*cos(x(2,1))); %[N] fuerza de

reacción completa R=ls*W/(lf+l1+l2); %[N] fuerza de reacción despreciando alfa1 y

alfa2



%coeficiente de rozamiento % mu=muD; mu=muD*sign(Vcp); % mu=muBig(x, Vp, l1, muD, muS, eps); % mu=muD*tanh(A*Vcp); % mu=muD*2*atan(B*Vcp)/pi;


%sistema de ecuaciones diferenciales xdot(1,1)=x(3,1); xdot(2,1)=x(4,1); xdot(3,1)=(-L2*beta2*(x(3,1)-x(4,1))-k2*(x(1,1)-x(2,1))*L2-

L3*Beta0*x(3,1)+L3*beta2*x(4,1)-

L3*K0*x(1,1)+L3*k2*x(2,1)+L3*l1*P*(x(1,1)-x(2,1)))/(L1*L3-L2^2); xdot(4,1)=(-L2*xdot(3,1)+beta2*(x(3,1)-x(4,1))+k2*(x(1,1)-

x(2,1)))/L3;

8. Anexo

Página | 80

8.2.3. Sistema real (no lineal)

bigoni.m



%bigoni.m clear all close all

% parámetros W = 14.12 %[N] contrapeso Vp= 0.075 %[m/s] velocidad de la placa ro=1.84; %[kg/m] l1=0.1; %[m] l2=0.1; %[m] k1=0.189; %[N·m] k2=0.189; %[N·m] beta1=0.006; %[N·m·s] beta2=0.006; %[N·m·s] ls=0.125; %[m] lf=0.05; %[m] muD=0.47; %coeficiente de rozamiento dinámico muS=0.61; %coeficiente de rozamiento estático eps=10^-5; %epsilon, para definir el coeficiente de rozamiento





%intervalo de integración t0 = 0; tf = 15 %[seg]

%condiciones iniciales x0(1,1) = 30.5*pi/180; %alfa1 x0(2,1) = 20.5*pi/180; %alfa2 x0(3,1) = 0; %omega1 x0(4,1) = 0; %omega2

%----------------------------------------------------------------- %integración de las ecuaciones [t x]=ode45(@bigonidif, [t0 tf], x0, [], W, Vp, L1, L2, L3, K0,

Beta0, l1, l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A, B);


Página | 81

N=length(t);


respecto a la placa Vcp=Vp*cos(x(:,2))-l1*x(:,3).*sin(x(:,1)-x(:,2)); %----------------------------------------------------------------- %gráficas de los ángulos respecto al tiempo


% figure(2) plot(t(:,1),x(:,2)*180/pi,'r');grid %alfa2 xlabel('Tiempo [seg]') xlim([0 t(N)]) % ylim([-60 60]) % ylim([-0.7 0.7]) ylim([-max(abs(x(:,2)*180/pi))-5 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5]) % ylim([-max(abs(x(:,1)*180/pi))-5 max(abs(x(:,1)*180/pi))+5])


%----------------------------------------------------------------- % %representación gráfica de la posición de las barras respecto al

tiempo

% [Y,I]=max(abs(x(:,2))); % I=t(N)/8; %tiempo entre representaciones I=0.04; %tiempo entre representaciones % I=1 %tiempo entre representaciones i=1; j(1)=1; k=2;


%-----------------------------------------------------------------


placa móvil figure(6) hold on plot(t(:,1), Vcp(:,1), 'g');grid % plot([0 t(N)], [Vp Vp], 'k')

8. Anexo

Página | 82

title('Evolución de la velocidad relativa de la rueda sobre la

placa móvil') xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Vcp [m/s]') xlim([0 t(N)]) % legend('Vcp','Vp')

%-------------------------------------- %representación de la amplitud de las oscilaciones figure(8) hold on grid



plot(((t(pun1)+t(pun1+1))/2),abs(((x(pun1,1)+x(pun1+1,1))/2)*180/p

i)) plot(((t(pun2)+t(pun2+1))/2),abs(((x(pun2,2)+x(pun2+1,2))/2)*180/p

i),'r') % plot(t(pun2),abs(x(pun2,2)*180/pi),'r') % plot(t(1),x(1,1)*180/pi) % plot(t(1),x(1,2)*180/pi,'r')


Página | 83

title('Evolución de las amplitudes de alfa1 y alfa2') xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Amplitdud de alfa [grados]') xlim([0 t(N)]) ylim([0 0.7]) ylim([0 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5])

% ylim([-max(abs(x(:,2)*180/pi))-5 max(abs(x(:,2)*180/pi))+5]) legend('alfa1','alfa2')

bigonidif.m



%bigonidif %función que incluye las ecuaciones diferenciales del sistema function xdot=bigonidif(t, x, W, Vp, L1, L2, L3, K0, Beta0, l1,

l2, k2, beta2, ls, lf, muD, muS, eps, A, B)

%fuerza de reacción en la rueda R=ls*W/(lf+l1*cos(x(1,1))+l2*cos(x(2,1))); %[N] fuerza de reacción



%coeficiente de rozamiento % mu=muD; mu=muD*sign(Vcp); % mu=muBig(x, Vp, l1, muD, muS, eps); % mu=muD*tanh(A*Vcp); % mu=muD*2*atan(B*Vcp)/pi;


%sistema de ecuaciones diferenciales xdot(1,1)=x(3,1); xdot(2,1)=x(4,1); xdot(3,1)=(-L2^2*sin(x(1,1)-x(2,1))*cos(x(1,1)-x(2,1))*x(3,1)^2-

k2*(x(1,1)-x(2,1))*L2*cos(x(1,1)-x(2,1))-beta2*(x(3,1)-

x(4,1))*L2*cos(x(1,1)-x(2,1))-L2*L3*sin(x(1,1)-x(2,1))*x(4,1)^2-

L3*(K0*x(1,1)-k2*x(2,1)+Beta0*x(3,1)-

beta2*x(4,1))+L3*l1*P*sin(x(1,1)-x(2,1)))/(L1*L3-(L2*cos(x(1,1)-

x(2,1)))^2); xdot(4,1)=(-L2*cos(x(1,1)-x(2,1))*xdot(3,1)+L2*sin(x(1,1)-

x(2,1))*x(3,1)^2+k2*(x(1,1)-x(2,1))+beta2*(x(3,1)-x(4,1)))/L3;

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9. Bibliografía

[1] Bigoni, D., Noselli, G., 2011. “Experimental evidence of flutter and

divergence instabilities induced by dry friction”. Journals of the Mechanics

and Physics of Solid. 59 (10), 2208-2226.

[2] Ziegler, H., 1953. “Linear elastic stability. A critical analysis of methods”. Z.

Angew. Maths. Phys. 4, 89-121.

[3] Ziegler, H., 1977. “Principles of Structural Stability”. Birkhäuser Verlag,

Basel and Stuttgart.

[4] Hermann, G., 1971. “Dynamics and Stability of Mechanical Systems with

Follower Forces”. Technical Report NASA CR-1782.

[5] Beck, M., 1952. “Die knicklast des einseitig einsgespannten, tangential

gedrückten Stabes”. Z. Angew. Math. Phys. 3, 225-228.

[6] Pflüger, A., 1955. “Zur Stabilität des tangential gedruckten Stabes”. Z. Angew.

Math. Mech. 5, 191.

[7] Hermann, G., Nemat-Nasser, S., Prasad, S.N., 1966. “Models Demostrating

Instability of Nonconservative Dynamical Systems”. Technical Report No.

66-4, Northwestern University, Department of Civil Engineering.

[8] Sugiyama, Y., Katayama, K., Kinoi, S., 1995. “Flutter of cantilevered column

under rocket thrust”. J. Aerosp. Eng. 8, 9-15.

[9] Sugiyama, Y., Katayama, K., Kiriyama, K., Ryu, B.-J., 2000. “Experimental

verification of dynamic stability of vertical cantilevered columns subjected to

a sub-tangential force”. J. Sound Vib. 236, 193-207.

[10] Doedel, E.J., Oldeman, B.E., 2012. “AUTO-07P: continuation and

bifurcation software for ordinary differential equations”. Concordia

University, Montreal, Canada.

continuación numérica de oscilaciones periódicas en un...

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