continuidad b definición: sea f(x) una función real b f es continua en un punto a si límf(x)=...
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CONTINUIDADCONTINUIDAD
Definición: sea f(x) una función realDefinición: sea f(x) una función real f es continua en un punto a si Límf(x)= f es continua en un punto a si Límf(x)=
f(a) xf(a) xa a 1.- f(a) existe1.- f(a) existe 2.- Lím f(x) exista 2.- Lím f(x) exista xxaa 3.- Lím f(x)=f(a)3.- Lím f(x)=f(a) xxaa
CONTINUIDADCONTINUIDAD
Teorema nº 1Teorema nº 1 Si f1 y f2 son continuas en un
punto a, entonces: f1 (+/-) f2 es continua en a f1·f2 es continua en a si f2(a) distinta de 0; entonces
f1/f2 es continua en a
CONTINUIDADCONTINUIDAD
Teorema nº 2Teorema nº 2 Si f2 es continua en a y f1 es Si f2 es continua en a y f1 es
continua en f2(a) entonces la continua en f2(a) entonces la compuesta f1 con f2 es continua en acompuesta f1 con f2 es continua en a
Definición:Definición: si la función f es continua si la función f es continua en todo punto del intervalo (a, b), se en todo punto del intervalo (a, b), se dice que f es continua en este dice que f es continua en este intervalo.intervalo.
CONTINUIDADCONTINUIDAD
Definición:Definición: se dice que f es se dice que f es continua en el intervalo cerrado (a, continua en el intervalo cerrado (a, b), si es continua en el intervalo b), si es continua en el intervalo abierto (a, b) y lím f(x)=f(a)abierto (a, b) y lím f(x)=f(a)
xxaa límf(x)=f(b) límf(x)=f(b) xxbb
CONTINUIDADCONTINUIDAD
Teorema nº 3Teorema nº 3 si f es continua en el intervalo si f es continua en el intervalo
cerrado (a,b) y f(a) es menor que 0 cerrado (a,b) y f(a) es menor que 0 y éste es menor que f(b) > 0, y éste es menor que f(b) > 0, entonces existe por lo menos un entonces existe por lo menos un número C que está comprendido número C que está comprendido entre a y b tal que f (c) =0entre a y b tal que f (c) =0
CONTINUIDADCONTINUIDAD
(2) (1) -3.3
1013 -2.
310
)(
)3()( -1.
3en continua es 13
)( si Determinar
Ejercicios
3
xx
Lím
af
faf
xxx
xf
x
CONTINUIDADCONTINUIDAD
4
5x-2 si x - 4
x 4( )
2 si x - 4
Verificar si es continua
en el punto x - 4
1.- ( ) ( 4) 2
5 2 222.-
4 0
Por lo tanto la función no es
continua en x - 4
x
f x
f a f
xLím
x
CONTINUIDADCONTINUIDAD2
2
2
2
2
4 si x 2
2( )
8 2 si x 2
Verificar si es continua
en el punto x 2
1.- ( ) (2) 8 2
42.-
2
( 2)( 2) 2
2 2
( 2)( 2) 8 2
Por lo tanto es continua en x 2
x
x
x
X
XF X
f a f
xLím
x
x x xLim
x x
Lim x x
CONTINUIDADCONTINUIDAD
Si una función no es continua en Si una función no es continua en un punto o en un intervalo se dice un punto o en un intervalo se dice que la función es discontinua en el que la función es discontinua en el punto o en el intervalo.punto o en el intervalo.
ProblemasProblemas - cuando se divide por cero- cuando se divide por cero - una raíz par de número negativo- una raíz par de número negativo - tangente de 90º- tangente de 90º
CONTINUIDADCONTINUIDAD
adiscontinu esfunción la 1 x
idaddiscontinu de puntos losHallar 1
23)(
Ejercicio
x
xxf
CONTINUIDADCONTINUIDAD
0 x cuando
adiscontinu esfunción La
0en x ;3sen1
)(
x
xxf
CONTINUIDADCONTINUIDAD
DISCONTINUIDAD EVITABLE.DISCONTINUIDAD EVITABLE. Es cuando podemos redefinir la Es cuando podemos redefinir la
función de tal forma que sea función de tal forma que sea continua. continua.
Si el límite de la función no existe; Si el límite de la función no existe; no existe posibilidad de no existe posibilidad de redefinición, hablamos de redefinición, hablamos de discontinuidad a secas.discontinuidad a secas.
CONTINUIDADCONTINUIDAD
(2)(1) -3.425
-2.
2)4(-1.
4 x si 2
-4 xsi 425
)(
Ejemplo
4
xx
Lim
f
xx
xf
x
CONTINUIDADCONTINUIDAD
3
32
2 2
3
8( )
21.- (2)
82.- ( 2 4) 12
2se redefine:
x 8 si x 2
2(x)
12 si x 2
x x
xf x
xf
xLim Lim x x
x
x
Ejercicio determinar si f(x) tiene discontinuidad evitable
CONTINUIDADCONTINUIDAD
(2)(1) -3.
0cos1)cos1(
)cos1(
cos1
cos1
cos1cos1 -2.
0
11)0( -1.
0en x cos1
)(
0
2
0
2
00
x
senx
x
senxLim
xx
xsenLim
xx
xLim
x
x
x
xLim
f
x
xxf
xx
xx
Luego se puede redefinir la función, para evitar la discontinuidad
CONTINUIDADCONTINUIDAD
)2()1(.3
4
3
)2)(2(
)1)(2(
)2)(2(
2
)2)(2(
)2(
2
2
2
2.2
2)2(.1
2 xsi 2
2 xsi 2
2
)(
2
2
2
2
22
XXx
XxLim
xxx
xxLim
xxx
xxLim
xx
xx
x
xxLim
f
x
xx
xf
xx
xx
Luego se puede redefinir la función para que sea continua
DERIVADASDERIVADAS
0
sea f(x) una función continua
se define:
y f(x)
y' f '(x)
dy ( ) ( )
dx h
f x h f xLim
h
DERIVADASDERIVADAS
La derivada evaluada en 1 punto La derivada evaluada en 1 punto corresponde a la pendiente de la corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho recta tangente a la curva en dicho punto.punto.
3x + y -2 = 03x + y -2 = 0 Y = - 3x + 2Y = - 3x + 2 m=-a/bm=-a/b m=-3m=-3
DERIVADASDERIVADAS
cdx
dxc(cx)
dx
d 2)(
)(cosdx
d 1)(
cos)(dx
d 0)(
2
xxdx
d
senxxxdx
d
xsenxcdx
d
Fórmulas
DERIVADASDERIVADAS
5-4xy
1-4-4xy
-44x1y
1)-4(x1y
)x-m(xy-y
4m4xy'
-13-2y 1 xsi
1 xpunto elen curva la a
tangentela deecuación la Determinar
32
11
1x
2
xy
INTEGRANTESINTEGRANTES
Francisca EspinozaFrancisca Espinoza Irma ArancibiaIrma Arancibia Susana GarcíaSusana García