Semana 2 [1/31]

Continuidad

31 de julio de 2007

Continuidad

El teorema de los valores intermedios Semana 2 [2/31]

Existencia de raices

TeoremaSea f : [a, b] → R una función continua tal que f (a)f (b) ≤ 0. Entonces existex̄ ∈ [a, b] tal que f (x̄) = 0.

Continuidad

El teorema de los valores intermedios Semana 2 [3/31]

Teorema de los valores intermedios

Como corolario inmediato del Teorema anterior se obtiene la Propiedad deDarboux o Teorema de los Valores Intermedios:

TeoremaSea f : [a, b] → R una función continua. Si c, d ∈ f ([a, b]) entonces para todonúmero e comprendido entre c y d , existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = e.

Continuidad

El teorema de los valores intermedios Semana 2 [4/31]

Teorema de los valores intermedios

Como corolario inmediato del Teorema anterior se obtiene la Propiedad deDarboux o Teorema de los Valores Intermedios:

TeoremaSea f : [a, b] → R una función continua. Si c, d ∈ f ([a, b]) entonces para todonúmero e comprendido entre c y d , existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = e.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [5/31]

Teorema de Weierstrass

TeoremaSea f : [a, b] → R una función continua. Entonces f es acotada y alcanza sumínimo y su máximo en [a, b].

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [6/31]

Importancia de hipótesis

Observemos que en el resultado anterior todas las hipótesis son necesarias:

x 7→ exp(x) no tiene mínimo en R. R no es acotado.

x 7→ x2 alcanza mínimo pero no máximo en el intervalo [0, 1), el cual noes cerrado.

La función definida por f (x) = 1/x si x 6= 0 y f (0) = 0 no es acotada y noalcanza ni el mínimo ni el máximo en el intervalo [−1, 1]. No es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [7/31]

Importancia de hipótesis

Observemos que en el resultado anterior todas las hipótesis son necesarias:

x 7→ exp(x) no tiene mínimo en R. R no es acotado.

x 7→ x2 alcanza mínimo pero no máximo en el intervalo [0, 1), el cual noes cerrado.

La función definida por f (x) = 1/x si x 6= 0 y f (0) = 0 no es acotada y noalcanza ni el mínimo ni el máximo en el intervalo [−1, 1]. No es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [8/31]

Importancia de hipótesis

Observemos que en el resultado anterior todas las hipótesis son necesarias:

x 7→ exp(x) no tiene mínimo en R. R no es acotado.

x 7→ x2 alcanza mínimo pero no máximo en el intervalo [0, 1), el cual noes cerrado.

La función definida por f (x) = 1/x si x 6= 0 y f (0) = 0 no es acotada y noalcanza ni el mínimo ni el máximo en el intervalo [−1, 1]. No es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [9/31]

Importancia de hipótesis

Observemos que en el resultado anterior todas las hipótesis son necesarias:

x 7→ exp(x) no tiene mínimo en R. R no es acotado.

x 7→ x2 alcanza mínimo pero no máximo en el intervalo [0, 1), el cual noes cerrado.

La función definida por f (x) = 1/x si x 6= 0 y f (0) = 0 no es acotada y noalcanza ni el mínimo ni el máximo en el intervalo [−1, 1]. No es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [10/31]

Funciones inversas

f : I ⊂ R→ R donde I es un intervalo (finito o infinito, abierto o cerrado osemi-abierto) y sea J = f (I) su recorrido. Recordemos que si f esestrictamente monótona (creciente o decreciente) entonces es inyectiva y enconsecuencia posee una inversa f−1 : J → I.

TeoremaSea f : I ⊂ R→ R continua y estrictamente monótona (creciente odecreciente) con I un intervalo. Entonces J = f (I) es un intervalo y la inversaf−1 : J → I es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [11/31]

Funciones inversas

f : I ⊂ R→ R donde I es un intervalo (finito o infinito, abierto o cerrado osemi-abierto) y sea J = f (I) su recorrido. Recordemos que si f esestrictamente monótona (creciente o decreciente) entonces es inyectiva y enconsecuencia posee una inversa f−1 : J → I.

TeoremaSea f : I ⊂ R→ R continua y estrictamente monótona (creciente odecreciente) con I un intervalo. Entonces J = f (I) es un intervalo y la inversaf−1 : J → I es continua.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [12/31]

Ejemplos

La función ln : (0,∞) → R es la inversa de la función exp, y enconsecuencia es continua.

La función x 7→ tan(x) no es biyectiva. Sin embargo su restricción alintervalo (−π/2, π/2) es continua y estrictamente creciente con recorridoRec(tan) = R. En consecuencia posee una inversa que resulta sercontinua, la cual denotaremos arctan : R→ (−π/2, π/2).

x

arctan(x)

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [13/31]

Ejemplos

La función ln : (0,∞) → R es la inversa de la función exp, y enconsecuencia es continua.

La función x 7→ tan(x) no es biyectiva. Sin embargo su restricción alintervalo (−π/2, π/2) es continua y estrictamente creciente con recorridoRec(tan) = R. En consecuencia posee una inversa que resulta sercontinua, la cual denotaremos arctan : R→ (−π/2, π/2).

x

arctan(x)

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [14/31]

Ejemplos

La función sin : [−π/2, π/2] → R es continua y creciente, con recorridoigual a [−1, 1]. Su inversa es en consecuencia continua y creciente. Sedenota arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].

cos : [0, π] → R es continua y decreciente, con recorrido [−1, 1]. Suinversa arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por lo tanto continua y decreciente.

La función sinh : R→ R es continua y creciente y su recorrido es todo R.Su inversa sinh−1 : R→ R es por lo tanto continua y creciente.

tanh : R→ R es continua y creciente con Rec(tanh) = (−1, 1). Luego, suinversa tanh−1 : (−1, 1) → R es continua y creciente.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [15/31]

Ejemplos

La función sin : [−π/2, π/2] → R es continua y creciente, con recorridoigual a [−1, 1]. Su inversa es en consecuencia continua y creciente. Sedenota arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].

cos : [0, π] → R es continua y decreciente, con recorrido [−1, 1]. Suinversa arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por lo tanto continua y decreciente.

La función sinh : R→ R es continua y creciente y su recorrido es todo R.Su inversa sinh−1 : R→ R es por lo tanto continua y creciente.

tanh : R→ R es continua y creciente con Rec(tanh) = (−1, 1). Luego, suinversa tanh−1 : (−1, 1) → R es continua y creciente.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [16/31]

Ejemplos

La función sin : [−π/2, π/2] → R es continua y creciente, con recorridoigual a [−1, 1]. Su inversa es en consecuencia continua y creciente. Sedenota arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].

cos : [0, π] → R es continua y decreciente, con recorrido [−1, 1]. Suinversa arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por lo tanto continua y decreciente.

La función sinh : R→ R es continua y creciente y su recorrido es todo R.Su inversa sinh−1 : R→ R es por lo tanto continua y creciente.

tanh : R→ R es continua y creciente con Rec(tanh) = (−1, 1). Luego, suinversa tanh−1 : (−1, 1) → R es continua y creciente.

Continuidad

Máximos y mínimos: el teorema de Weierstrass Semana 2 [17/31]

Ejemplos

La función sin : [−π/2, π/2] → R es continua y creciente, con recorridoigual a [−1, 1]. Su inversa es en consecuencia continua y creciente. Sedenota arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].

cos : [0, π] → R es continua y decreciente, con recorrido [−1, 1]. Suinversa arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por lo tanto continua y decreciente.

La función sinh : R→ R es continua y creciente y su recorrido es todo R.Su inversa sinh−1 : R→ R es por lo tanto continua y creciente.

tanh : R→ R es continua y creciente con Rec(tanh) = (−1, 1). Luego, suinversa tanh−1 : (−1, 1) → R es continua y creciente.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [18/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [19/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [20/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [21/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [22/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [23/31]

Ejemplos

Consideremos la función f (x) = x3 y un punto x̄ ∈ R.

Tomemos ε > 0. Debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |x3 − x̄3| ≤ ε.

La condición |x3 − x̄3| ≤ ε puede escribirse como 3√

x̄3−ε ≤ x ≤ 3√

x̄3+ε,la cual a su vez es equivalente a

|x − x̄ | ≤ 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |

de tal forma que basta tomar δ = 3√

|x̄ |3+ε − |x̄ |.

Atención¡Notar que δ depende de x̄ !

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [24/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [25/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [26/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [27/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [28/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [29/31]

Ejemplos

Consideremos ahora la función f (x) =√

x definida en [0,∞) y x̄ ≥ 0.

Dado ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que

|x − x̄ | ≤ δ ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε.

La condición |√

x −√

x̄ | ≤ ε es equivalente a |x − x̄ | ≤ ε2 + 2ε√

x̄ .

Luego basta tomar δ = ε2 + 2ε√

x̄ .

AtenciónAquí δ también depende de x̄ . Sin embargo, nadaimpide escoger δ más pequeño como por ejemploδ = ε2.En este caso δ no depende de x̄ y

|x − x̄ | ≤ δ(ε) = ε2 ⇒ |√

x −√

x̄ | ≤ ε

se satisface independientemente del x̄ considerado.

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [30/31]

Definición

Continuidad uniformeLa función f : A ⊂ R→ R se dice uniformemente continua si para todo ε > 0existe δ = δ(ε) > 0 tal que

(∀x , y ∈ A) |x − y | ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. (1)

Continuidad

Continuidad uniforme Semana 2 [31/31]

Funciones definidas en cerrados y acotados

TeoremaSea f : A ⊂ R→ R cerrado yacotado. Entonces f esuniformemente continua ssi ella escontinua en todo punto x̄ ∈ A.

Continuidad