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Prof.: Lucia Tafernaberry 3º EMT – Matemática “A”

1

REPARTIDO II LÍMITES – CONTINUIDAD – DERIVADA

DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo”.

DISCONTINUIDADES Razones por las que una curva puede no ser continua en un punto… 1 – Tiene ramas infinitas en ese punto

En estos casos, la recta x = a es asíntota vertical de la curva.

Ejemplos:

2 – Presenta un salto en ese punto La función da un salto al llegar a la abscisa a. Ejemplo:

1 4

( )2 4x x

f xx x

3 – Le falta ese punto

La función no está definida en la abscisa a, pero no tiene ramas infinitas ni presenta saltos. Esta discontinuidad se llama evitable ya que basta con añadir ese punto para que la función sea continua. Ejemplo:

2 2( )

2x xf xx

f no está definida en x = 2, porque el denominador se anula.

Para valores distintos de 2 podemos simplificar la expresión ( 2)

( )x x

f x

2x

x , si x 2.

La gráfica de esta función es como la de ( )f x x , sin el punto de abscisa 2. 4 – Tiene ese punto “desplazado”

Este caso es como el anterior, pero la función si está definida en x = a, aunque el punto lo tiene desplazado. También este tipo de discontinuidad se llama evitable y solo puede conseguirse mediante funciones definidas “a trozos”. Ejemplo:

2 1

( )5 1

x xf x

x

2

1( )( 2)

f xx

1( )f xx

Asíntota vertical en x = 2

Asíntota vertical en x = 0


2

LÍMITES ENTORNOS

Dado a se define entorno de centro a y radio (delta), al conjunto de los x situados entre a - y a + .

Definición: entorno

axRxaxaRxaEaE //),()( Entorno de centro a y radio .

Ejemplo:

1,29,1/)1,0;2( xRxE Definición: entorno reducido

axRxaxaxaRxaE 0/;/)(* Definición: semientorno derecho axaRxaE /)( Definición: semientorno izquierdo

axaRxaE /)( INTRODUCCION AL CONCEPTO DE LÍMITE

x 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813

Al representar la función, parece que la gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto (1,3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1 y, como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. En notación de límites, se escribe:

3)(1

xflímx

Se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3”

LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN Definición: Límite finito Sea f: X R, X R, a X´

)()()(/0,0)( * bExfXaExbxflímax

también

)()(0, afxfaxXx

f(x) tiende a 3

x tiende a 1 por la izquierda (x<1) x tiende a 1 por la derecha (x>1)

f(x) tiende a 3

1,11)(

3

xxxxf


3

2)(1

xflímx

4)(1

xflímx

Es decir que, dado un entorno cualquiera de centro “b”, existe otro de centro “a” cuyas imágenes “caen” en el entorno de centro “b”. El entorno de centro “a” es reducido con lo cual la existencia o no de f(a) es independiente de que el límite para x a exista o no. “”, radio del entorno de centro “a”, depende de “” y de la función f.

LÍMITES LATERALES

1

1

3 1 3 43 1( )

2 1 2 2(1) 2x

x

lim xx xf x

x x lim x

x 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 f(x) 1,5 1,8 1,98 1,998 ? 4,001 4,01 4,1 4,25

Definición: x a+, f(x) b f: X R, X R, a X´

)()()(/0,0)( bExfXaExbxflímax

también

bxfaxXx )(0,

Definición: x a-, f(x) b f: X R, X R, a X´

)()()(/0,0)( bExfXaExbxflímax

también

bxfxaXx )(0,

TEOREMA FUNDAMENTAL EN EL CÁLCULO DE LÍMITES: EXISTENCIA DEL LÍMITE

Una función tiene límite finito si y solo si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha.

( ) ( ) ( )x a x a x alim f x b lim f x lim f x b

f(x) tiende a 2 f(x) tiende a 4

x tiende a 1 por la izquierda ( 1 )x x tiende a 1 por la derecha ( 1 )x


4

0( ) .

xlim f x no existe

1 0( )

1 0xx

f xxx

2 20

0

1 1( )

( ) .x

x

f x limx x

lim f x no existe

0

0

1 1( )

( ) .x

x

f x sen lim senx x

lim f x no existe

Ejemplo:

Dada

12

13)(

xxxx

xf ¿Existe 1

( )xlim f x

?

1 1

11 11 1

( ) 3 1 3 4( ) ( ) ( )

( ) 2 2(1) 2x x

xx xx x

lim f x lim xlim f x lim f x NO existe el lim f x

lim f x lim x

Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite.

1. f(x) tiende a números diferentes según x tienda a un valor c por la derecha o por la izquierda. 2. f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c. 3. f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c.

Límites que no existen Ejemplos:

1. Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda 2. Comportamiento no acotado

3. Comportamiento oscilante

LÍMITES INFINITOS

3( )

2f x

x

x 2 - x 2 + x 1,5 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,5

f(x) -6 -30 -300 -3000 ? 3000 300 30 6 f(x) - f(x) +

f(x) crece y decrece sin cota cuando x tiende a 2.

x 2

2

3

25

2

7

29

2

11 0x

1senx

1 -1 1 -1 1 -1 El límite no existe

2

0

32x

limx

2

0

32x

limx


5

Definición: x a, f(x) + f: X R, X R, a X´

( ) , 0 / ,0 ( )x alím f x k R x X x a f x k

Definición: x a, f(x) - f: X R, X R, a X´

( ) , 0 / ,0 ( )x alím f x h R x X x a f x h

Definición: x +, f(x) b

f: X R, X R, X no acotado superiormente,

( ) 0, / , ( ) ( )

( )xlím f x b k R x X x k f x E b

o bien f x b

Definición: x -, f(x) b f: X R, X R, X no acotado inferiormente,

( ) 0, / , ( ) ( )

( )xlím f x b k R x X x k f x E b

o bien f x b

Definición: x +, f(x) + f: X R, X R, X no acotado superiormente,

( ) , / , ( )xlím f x h R k R x X x k f x h

Definición: x +, f(x) - f: X R, X R, X no acotado superiormente,


Definición: x -, f(x) + f: X R, X R, X no acotado inferiormente,


Definición: x -, f(x) - f: X R, X R, X no acotado inferiormente,


Ejemplo: Observando límites.

55 5

( ) 6 ( )

( ) ( ) ( )x x

xx x

lim f x lim f x

lim f x lim f x lim f x

11 1( ) 0 ( ) 4 ( )

xx xlim f x lim f x lim f x

33 3

( 1) 4

( ) 4 ( ) ( )xx x

f

lim f x lim f x lim f x

22 2

(3) 4

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (2) 0xx x

f

lim f x lim f x lim f x f


6

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES TEOREMA: UNICIDAD DEL LÍMITE

El límite de una función (si existe) es único.

: ( ) ( ) :

x a x aHipótesis Existe lim f x m y lim f x p Tesis m p

Ejemplo:

Hallar a sabiendo que: 4 4(3 ) 8 (3 ) 3( 1) 1

x xlim a x a lim a x a

Se aplica el teorema de unicidad del límite, ya que no puede haber dos resultados para el mismo límite.

48 3( 1) 1 2 6 10

xa a a lim x

TEOREMA: CONSERVACIÓN DEL SIGNO

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

*: ( ) 0 : ( , ) ( ) 0

x aHipótesis Existe lim f x b Tesis x E a f x

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.

OPERACIONES

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean ,a b R ; *n N ; f y g funciones con los siguientes límites: ( ) ( )

x a x alim f x L y lim g x K

1 Múltiplo escalar ( )x alim bf x bL

2 Suma o diferencia ( ) ( )x alim f x g x L K

3 Producto ( ). ( ) .x alim f x g x L K

4 Cociente ( ) , 0( )x a

f x Llim Kg x K

5 Potencias ( ) n n

x alim f x L

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS

Sean ,a L R ; f y g funciones con los siguientes límites: ( ) ( )

x a x alim f x y lim g x L

1 Suma o diferencia ( ) ( )x alim f x g x

2 Producto ( ). ( ) 0

( ). ( ) 0x a

x a

lim f x g x L

lim f x g x L

3 Cociente ( ) 0( )x a

g xlimf x

Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x a es -


7

INFINITÉSIMOS Una función es un infinitésimo cuando x a si y solo si su límite vale cero.

f es un infinitésimo cuando x a ( ) 0x alim f x

Ejemplos: 12 2

2 0 1

0 1

2 10 0 05 1

x

x x x

Es un infinitésimo cuando x Es un infinitésimo cuando xEs un infinitésimo cuando x

x xlim L lim e limx x

CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES

LÍMITE DE UNA CONSTANTE Ejemplos:

0 24 4 5 5

x x xlim lim lim b b

LÍMITE DE UN POLINOMIO

( ) ( )x a

Forma general lim P x P a

Ejemplos:

2 2

22 4 8 2( 2) 4( 2) 8 8 8 8 24

xx a lim x x

( ) nnx x

Forma general lim P x lim a x

2 22 3 5 2

x xx lim x x lim x

LÍMITE DE UN COCIENTE DE POLINOMIOS

x a

Sean P(x) y G(x) dos polinomios en la variable x. ( ) ( )( ) ( )x a

P x P alimG x G a

En el resultado se pueden obtener cuatro casos diferentes: ( )1 ( ) 0 ( ) 0 :( )

02 ( ) 0 ( ) 0 : 0( )

( )3 ( ) 0 ( ) 0 :0

04 ( ) 0 ( ) 0 :0

P aP a y G a el resultado esG a

P a y G a el resultado esG a

P aP a y G a el resultado es

P a y G a el límite es una indeterminación

LÍMITES LATERALES Ejemplo:

2 2

2 22 2

0 0

4 4x x

x xlim limx x

0K


8

Ejemplo: Calcular 2

32

2 5 28x

x xlimx

0

2

32

0

2 5 2 08 0x

x xlimx

2

32 2

( 2)2 5 28x x

xx xlim limx

( 2 1)( 2)

xx

3

22 2

12

2 1 3 12 4 12 4( 2 4) x

xlimx xx x

x

Dados los polinomios: 1 0 1 0( ) ... ( ) ...n mn mP x a x a x a y Q x b x b x b

( )( )

nn

mx xm

a xP xlim limQ x b x

nn

x

a xSi n m lim

m

mb x

0

n

m

nn n

m m nx xm m

n n mn n

mx xm m

ab

a x aSi n m lim limb x b x

a x a xSi n m lim limb x b

Ejemplos: 3 2 3

3 2

3 2 5 32 8x x

x x xlim limx x

32 x2 2 2

3 3

32

3 2 5 3 31x x x

x x x xlim lim limx x

2x3 3 2

3 0

4 2 3 4 41

x

x x x

limxx

x x x x xlim lim limx x

x24

xlim x

RELACIÓN DE LA CONTINUIDAD EN a CON EL LÍMITE CUANDO x a f es continua en x = a si cumple las siguientes condiciones: Tiene límite finito cuando x a ( )

x alim f x b

Está definida en x = a f(a) existe El límite coincide con el valor de la función en a ( ) ( )

x alim f x f a

Observa que la igualdad final resume las tres condiciones ( ) ( ) ( )x a x alim f x lim f x f a b

DOMINIO Y CONTINUIDAD

-2 5 -2 2 -4 2 -2 1 0

1 0 0 -8 2 2 4 8 1 2 4 0

D(f) = R

f no es continua en R ni en su dominio

D(g) = R - -2

f no es continua en R pero si lo es en su dominio.


9

Ejemplos:

Dada la función 2

2( ) 1

3 2

x xf x x

x x x

, estudiar la continuidad de f en x = 2.

2 2 2

2

2

2(2) 22 1

2 ( ) ( ) 213 2

x x x

x

f

xlim lim f x lim f x f no es continua en xx

lim x x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Dada la función 2

4 1( ) 3

1

x xg x x

x ax x

, estudiar si existe algún valor de a para el cual f sea continua en x = - 1.

2

1 1

1

2

1

( 1) ( 1) ( 1) 1( ) ( ) ( 1)4 4 2

3 2 1 2 31

x x

x

x

g a alim g x lim g x gxlim

x a alim x ax a

CONTINUIDAD LATERAL

Una función es continua lateralmente por la derecha de aD(f) si y solo si ( ) ( )x alim f x f a

Una función es continua lateralmente por la izquierda de aD(f) si y solo si ( ) ( )x alim f x f a

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Sean f y g dos funciones continuas en x = a

( ) ( ) ( ) ( )x a x alim f x f a lim g x g a

Las operaciones ( )( ) ( ), ( ). ( ) ( ) 0( )

f xf x g x f x g x y g ag x

de funciones continuas son también continuas

en x = a.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua para todo a < x < b f es continua en un intervalo cerrado a,b si es continua para todo a < x < b y

( ) ( ) ( ) ( )x a x blim f x f a lim f x f b

MEDIDA DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función f en un intervalo [a,b] al cociente:

( ) ( ) ( ) . . . ,variación de f x f b f a T V M a bvariación de x b a

.

La T.V.M. de f(x) en [a,b] es la PENDIENTE del segmento que une los puntos, A(a, f (a)) y B(b, f (b)).

( ) ( ). . . , f b f aT V M a bb a


10

3

( )f x x

13

pendiente

3

2( )g x x

3pendiente

Las funciones f y g crecen lo mismo, 3 unidades, entre los puntos A y B. Sin embargo su crecimiento medio es diferente:

(9) (0) 3 0 3 1. . . 0,99 0 9 0 9 3

(2) (1) 4 1 3. . . 1, 2 32 1 2 1 1

f fT V M

g gT V M

CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO – DERIVADA El crecimiento de una función en un punto viene dado, de forma natural, por el crecimiento (la pendiente) de la recta tangente a la curva en ese punto.

Relación del crecimiento en un punto con la T.V.M. La T.V.M. de una función en un intervalo se interpreta como la pendiente de la cuerda correspondiente.

1 1

2 2

3 3

. . . ,

. . . ,

. . . ,.........................................................

T V M a b pendiente de AB



La recta t, se obtiene como límite de las secantes 1AB , 2AB , 3AB , … Por tanto, su pendiente es el límite de las pendientes de las secantes, iAB , cuando iB A . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El crecimiento de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Se obtiene mediante el siguiente límite:

( ) ( ). . . ,x a x a

f x f aCRECIMIENTO PUNTUAL de f en a limT V M a x limx a

A este valor se le llama derivada de f en a, se designa por f ´(a) y se lee f prima de a.

0

( ) ( ) ( ) ( )(́ )x a h

f x f a f a h f af a lim limx a h

Aplicaciones de la derivada en un punto

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto y mide el crecimiento de la función en ese lugar. Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva de y = f(x) en el punto de abscisa a es:

´( )( ) ( )y f a x a f a Recta Tangente en a

En los máximos y mínimos relativos, la curva tiene tangente horizontal. Por tanto, su derivada es cero. Si hay máximo o mínimo relativo en x = a, entonces (́ ) 0f a

Cuando la derivada es positiva, la función es creciente, y cuando es negativa, la función es decreciente.

(́ ) 0

(́ ) 0

f a f es creciente en a

f a f es decreciente en a


11

Ejemplo: Hallar el valor de la derivada de la función 2( ) 4f x x x en los puntos x = 1, x = 2 y x = 4.

( ) ( )(́ )x a

f x f af a limx a

2 2

1 1 1 1

( 1)( ) (1) 4 3 4 3(́1)1 1 1x x x x

xf x f x x x xf lim lim lim limx x x

( 3)1x

x

13 2

xlim x

2

2 2 2

( 2)( ) (2) 4 4(́2)2 2x x x

xf x f x xf lim lim limx x

( 2)2x

x

22 0

xlim x

2 2

4 4 4 4

( 4)( ) (4) 4 0 4(́4)4 4 4x x x x

x xf x f x x x xf lim lim lim limx x x

4x 44

xlim x

FUNCIÓN DERIVADA DE OTRA Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a una función f ´ que asocia a cada abscisa, x, la derivada de f en ese punto, f ´(x), es decir, la pendiente de la curva y = f(x) en ese punto. A la derivada de f la llamaremos f ´ .

0

( ) ( )´( )h

f x h f xf x limh

UTILIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVADA Obtención de tramos en donde la curva crece

o decrece. Cálculo de la derivada de una función en

varios puntos. (f ´(a), f ´(b), f ´(c), …) Obtención de las abscisas de los puntos

singulares. Obtención de las abscisas en las cuales la

derivada tiene un cierto valor. (f ´(x) = k) TEOREMA (Relación entre continuidad y derivabilidad)

Toda función derivable en x = a es continua en x = a.

: :Hipótesis f es derivable en x a Tesis f es continua en x a Nota: El teorema recíproco no siempre se cumple, una función continua en x = a no tiene por qué ser derivable en x = a. Teorema contra recíproco: Si una función NO es continua en x = a, NO es derivable en x = a. PUNTOS ESPECIALES: f es continua en x = a y NO es derivable en x = a. ANGULOSO RETROCESO INFLEXIÓN

Punto Anguloso: Aparecen cuando los límites de la función derivada son finitos y distintos, o a lo sumo uno de ellos infinito. Punto de retroceso: Aparecen cuando los límites laterales de la función derivada son infinitos de distinto signo. Punto de inflexión con tangente vertical: Aparecen si los límites laterales de la función derivada son infinitos del mismo signo.


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x

g(

DERIVADA SEGUNDA f ´´ (x) ´́ ( ) (́ ) ´f x f x

´́ ( ) 0´́ ( ) 0

Si f x f presenta concavidad positivaSi f x f presenta concavidad negativa

Puntos de Inflexión (cambio de concavidad): Si f ´´(a) = 0 y la derivada segunda cambia de signo a la derecha y a la izquierda de x = a, f presenta un punto de inflexión en x = a.

Ejemplo: Dada la función g por su gráfica estudiar:

Dominio y recorrido. Ceros y signo. Continuidad. Ramas infinitas y asíntotas. Crecimiento, decrecimiento,

extremos. Concavidad y puntos de

inflexión. Dominio y recorrido:

( ) 2 ( )D g R R g Ceros y signo: Continuidad: Ramas infinitas y asíntotas.

2

3

( )

( )0

x

x

lim g x

lim g x

( ) 6

( ) 6 6x

x

lim g x Asíntota y x

lim g x Asíntota y

Crecimiento y decrecimiento: Concavidad y puntos de inflexión:

( 3,0)(0, 4)(2, 4)

(5, 4)

MmMm

( 4, 2)(1,0)(6, 2)

PIPIPI

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ejemplo: De una función f se sabe que es continua x R

2( ) 4 ( ) (́ ) (2) 3 ( 2) (4) 2

x x xlim f x lim f x lim f x f f f

Realizar el bosquejo de la representación gráfica de una función f que se ajuste a los datos dados.

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